01应力分析

I1 s x s y s z
s1 s2 s3
2 2 I 2 s xs y s ys z s zs x t xy t 2 t yz zx
2 2 I 3 s xs ys z 2t xyt yzt zx s xt 2 s t s t yz y zx z xy
py px O A x
s v l 2s x m 2s y n 2s z
2lmt xy 2mn t yz 2nlt zx
tv
B
y
s v l 2s 1 m 2s 2 n 2s 3
Pv2 Px2 Py2 Pz2
2 2 2 l 2s 1 m 2s 2 n 2s 3
Fx 0
p x S s x lS t yx mS t zx nS 0 p x ls x m t yx nt zx
C
pz
N
tyx sy tyz
px
A x
txy
O
sx txz
py B y
p y lt xy m s y nt zy pz lt xz m t yz ns z ls x m t yx nt zx Fx lt xy m s y nt zy F y lt xz m t yz ns z Fz
sx
y O
sy
x
txy
t
s x s y s 2
n
s x s y 2 t 2
2
2 t xy
2
此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆，
由德国工程师：Otto Mohr引入）
t
sy
s t
y
n
应力圆的画法 建立应力坐标系，如下图所示， （注意选好比例尺） 在坐标系内画出点A(s x，txy)
s1
s
s1 s x tg 0 t xy
s3 s2
B(sy ,-tyx)
t min
s x s y 2 2 t max （ ） t xy 2 t min
t max R半径 t min t max s1 s 3 2 t min
三、 空间应力状态 1、斜截面上的应力 z C z
第一章 应力分析
§ 1－1 应力状态
§ 1－2 应力张量及分解
§ 1－3 等斜截面上的应力、应力状态参数 § 1－4 平衡微分方程
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§ 1－1 应力状态
点的应力状态的概念 平面应力状态 空间应力状态
2
应力状态
一、点的应力状态的概念
外力：构件外物体作用在构件上的力。
面力：作用在物体表面上的力，如接触力、液体压
2
2
s2 s3
2
y
s1 s2 s3
x
sv
s3
s2
s1
z
4、最大剪应力
s v
s2
2
s2 s3
2
2 tv 2
s2 s3 2
2
s2 s3 s2 s3 2 s t v v 2 2
s x sv t xy t xz
t yx s y sv t yz
t yz t zy 0 sz sv
2、主应力
s x sv t xy t xz
t yx s y sv t yz
t yz t zy 0 sz sv
3 2 sv I 1s v I 2s v I 3 0
应 力 状 态 不 变 量
sz tzx txz txy sx
B
C
pz
tzy
tyz
sy
tyx sy tyz
px
A
txy
O
sx txz
py B
N
O
tyx
y
tzy
tzx sz
y
A x SABC=S
x l=cos(N,x) SOBC=lS
m=cos(N,y) SOAC=mS
n=cos(N,z) SOAB=nS
1、斜截面上的应力 z

sx
txy
t
O
x
和B(sy，-tyx)
C O
A(sx ,txy)
AB与s 轴的交点C便是圆心。 以C为圆心，以AC为半径画 圆——应力圆；
s
B(sy ,-tyx)
sy
s t
y
n
单元体与应力圆的对应关系 面上的应力(s ，t ) 应力圆上一点(s ，t )

sx
txy
Δ N dN s lim dA Δ A0 Δ A Δ T dT 位于截面内的应力称为“剪应力”： t lim dA Δ A0 Δ A
应力状态
一点的应力状态：
过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合， 称为这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）。 应力状态的表示——单元体： 单元体：构件内点的代表物，是包围被研究点的无限小 的几何体，常用的是正六面体。
2
2
s s3 s s3 2 s v 2 tv 2 2 2
s s3 s s3 2 s v 1 tv 1 2 2
2
2
2
tv
s1 s 2
2
2
s1 s 3
2
s1 s 2 s1 s 2 2 s v tv 2 2
sy
y
tyx txy
sx
x
单元体的性质 a、任一面上，应力均布； b、平行面上，应力相等。
sz
z
应力状态
单元体上的应力分量： z
sz
tzx txz tzy tyz
正应力：
sx sy sz
剪应力：
tyx
sy tyz sx
x
txy t yx
sy
y
txy tyx tyz tzy tzx txz
8
应力状态
面的法线
x t n D( s , t) C O 2 O x
应力圆的半径
A(sx ,txy)
两面夹角 且转向一致。
两半径夹角2 ；
s
B(sy ,-tyx)
3. 主应力和最大剪应力
t
t max
O C
x
s 1 OC R半径 s 3
s x s y 2 A(sx ,txy) s 1 s x s y 2 （ ） t 21 xy s 2 2 3 20
截面法的基本步骤：
①截开； ②代替； ③平衡。
4
应力状态
F1
F2
F3 F1 F2
Fn
F1
FR
F3
Fn
F3
M
5
应力状态
应力：内力的分布集度。 ΔP ①平均应力： p A
②全应力：
p
t
M
A
P
s
Δ P dP p lim dA A 0 A
全应力分解为：
垂直于截面的应力称为“正应力”：
当斜面为边界时，可得到应力边界条件：
tzy
tzx sz
SABC=S SOAC=mS
SOBC=lS SOAB=nS
Fx、Fy、Fz 为边界上的面力分量。
2、主应力 z
设 v 表示主应力的方位
则： tv =0
p x ls v
sv 表示主应力
p x ls x m t yx nt zx p y lt xy m s y nt zy pz lt xz m t yz ns z
l 2 m 2 n2 1
2 t 2 v (s v s 2 )(s v s 3 ) l (s 1 s 2 )(s 2 s 3 ) 2 t 2 v (s v s 3 )(s v s 1 ) m (s 2 s 3 )(s 2 s 1 ) 2 t 2 v (s v s 1 )(s v s 2 ) n (s 3 s 1 )(s 3 s 2 )
C
pz
sv
v
p y ms v
p z ns v
py
O
l (s x s v ) m t yx nt zx 0
px
A x
B
y
lt xy m (s y s v ) nt zy 0 lt xz m t yz n(s z s v ) 0
l 2 m 2 n2 1
2. 应力圆（ Stress Circle）
sy
y
O x
txy
s
s x s y s x s y s cos 2 t xy sin 2 2 2 t s x s y sin 2 t cos 2 xy sx 2
对上述方程消去参数（2），得：
力等。用 Fx， Fy， Fz 表示。单位：N/m2。
体力：分布在物体整个体积内部的力，如重力、惯 性力等。用 fx， fy，fz 表示。单位：N/m3。
集中力：当面积趋于零时，面力的合力。用 P、F
表示。单位：N。
3
应力状态
内力：由于外力作用，在构件内各部分之间引起的 相互作用力。 内力的特点： 1. 随外力的变化而变化，是“附加内力”。 2. 内力是分布力系，常用其主矢量和主矩表示。 内力的求法：截面法。
sx
tzx
sx sx
txz
sy
txy tzx tyz
sy
等价
斜截面上的应力 主应力 最大剪应力
sy
txy