抛物线和圆综合探究1
圆周运动和平抛运动的综合问题专业知识讲座
将弹簧缓慢压缩到C点释放，物块过B点后其位移与时间的关系
为s=6t-2t2，物块飞离桌边缘D点后由P点沿切线落入圆弧轨道。
g=10 m/s2，求：
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22RvDt解得：vD=4
m/s
在桌面上过B点后由s=6t-2t2得初速度v0=ห้องสมุดไป่ตู้ m/s，加速度
a=-4 m/s2 BD间位移为xBD= v2D v02 2.5 m
2a
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(2)若物块能沿轨道到达M点，其速度为vM，由能量守恒定律
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【解析】(1)小球在绳断前瞬间受力如图所示：
由牛顿第二定律得：
竖直方向：FTmcosθ-mg=0
水平方向：FTmsinθ= m
v
2 1
r
由几何关系得：r=Lsinθ
解得：v1= 3 g L
2
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【解析】选A。设伞边缘距地面的高度为h，伞边缘水滴的速
度v＝ωR，水滴下落时间t＝ 2 h ， 水滴平抛的水平位移x＝
g
vt＝ R 2 h ， 如图所示。由几何关系，R2＋x2＝r2，可得：
2
平抛运动与圆周运动的综合问题探究
张 秀 亮
平 抛抛 运动 与 圆周 运 动结 合 的 问题 ， 应 守恒 有 ： １ 用运 动 的合 成 与分解 的思想 ， 化 曲为直 ． 这 两 了 ＋ 尺＋ ＋Ｋ …ｃ ｏ ｓ Ｏ） ｍ ｖＡ ｍ ｖ ｃ２＋ｍｇｔ 种运 动 联 系 的 纽 带— — 物 体 的 速 度 ， 是 解 题 的关 键 ． 得 ｃ ＝ √ ７ ｍ ／ Ｓ 小球 做 圆周 运 动 ， 则 平 抛 运 动 与 竖 直 面 内 的 圆 周
（ ３ ）小球 到 达 圆弧 最 高 点 Ｃ 时 对 轨 道 道 的 压 力 大 小 ； （ ３ ） 平 台末 端 ０ 点 到 Ａ 点 的 竖 直 高 的 压 力．
解析
（ １ ）小
照 Ｈ．
球 到 Ａ点 的 速 度 如 图 ２ 所示 ， 由图可 知
ｏ
＝
解析
，
（ １ ）小 球恰 通过 Ｃ点 ， 则ｍ ｇ
：
一
、
２
，
运 动
Ｎｃ＋ ｍ ｇ＝ｍ 得Ⅳ ｃ： ８ Ｎ
竖 直平 面 内 圆周运 动 的最 高点 和最 低 点 由牛顿 第 三 定 律 可 知 球 对 轨 道 的 压 力 的速 度 常用 动 能 定 理 来 建 立 关 系 ， 然 后 结 合 Ｎ 。 ＝ Ｎ。＝ ８ Ｎ， 方 向竖 直 向上． 牛顿 第 二定 律运 用 动力 学来 求 解．
运 动
拉住 线 的另 一 端 ， 使 小球 在 光 滑 的 水 平 桌 面
上做 匀速 圆周运 动 ， 使 小球 的 转速 很 缓 慢 地 增加 ， 当小球 的 转速 增加 到 开 始 时转 速 的 ３
． ５ ｍ 的 圆截 去 了左上 角 １ ２ ７ 。 的 圆弧 ， Ｃ Ｂ为 ０ ． ３ ｍ， ０ ＝６ ０ 。 ， 小球 到 达 Ａ 点 时 的 速 度 ＝ ２ 其 竖直 直径 ， （ ｓ ｉ ｎ ５ ３ 。 ＝ ０ ． ８ ， Ｃ Ｏ Ｓ ５ ３ 。 ＝０ ． ６， 重 ４ ｍ ／ ｓ ． （ 取 ｇ＝１ ０ ｍ／ ｓ ） 求： 力加 速度 ｇ＝１ ０ ｍ／ ｓ ） 求： （ １ ）小球 做 平抛 运动 的初 速 度 。 ； （ １ ）小球 经过 Ｃ点 的速度 大小； （ ２ ）Ｐ 点 与 Ａ 点 的 水 平 距 离 和 竖 直 （ ２ ）小球 运 动 到 轨 道 最低 点 Ｂ 时 对轨 高度 ；
第8节 抛物线综合探究-【触摸数学】GeoGebra高中数学实验探究与应用教程
第8节 抛物线综合探究教材对抛物线的引入，通常从圆锥曲线的第二定义开始．动点到定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e ，若10<<e ，则动点的轨迹是椭圆，若1>e ，则轨迹为双曲线，此时出现一个问题：1=e 时的轨迹是什么？【实验1】抛物线的生成1=e 时的轨迹即是要求动点到定点的距离等于它到定直线的距离．据此，可以作以下探究．【探究步骤】1.隐藏平面直角坐标系；2.作直线AB 和定点C ，过点C 作直线AB 的垂线b ；3.在直线AB 上任取一点D ；4.连结CD ，作CD 的垂直平分线c ；5.过点D 作AB 的垂线交直线c 于点F ，连结CF ；6.由垂直平分线的性质，可知点F 到直线AB 的距离恰好等于F 到点C 的距离，符合题设的要求，由此，跟踪点F ；7.拉动点D ，得到点F 的轨迹，该轨迹被称为抛物线；8.为方便研究，取消对点F 的跟踪，选择“轨迹”工具，依次点击点F 和点D ，得到点F 的轨迹；9.显示平面直角坐标系；10.调节点F 和直线AB 的位置，使得抛物线的顶点为坐标原点，开口分别向左，向右，向上，向下，得到４种抛物线的标准位置及其标准方程．【思考】满足“动点到定点的距离等于它到定直线的距离”的动点轨迹一定是抛物线吗？ 事实并非如此．调整点C 的位置，使之在直线AB 上，观察此时轨迹是什么？GGB 课件显示，此时轨迹未定义．这是因为前面作图的过程中，把点F 设定为CD 的垂直平分线c 与过点D 所作AB 的垂线的交点，当点F 在直线AB 上时，上述两直线恰好平行，无法相交，轨迹未定义．为解决这个问题，打开案例中的“2-6实验3.ggb”课件，调节滑杆e ，使1=e ，调节点F 的位置，使点F 恰好在y 轴上，此时，课件清晰显示轨迹为一条过点F 且与y 轴垂直的直线．【实验2】求折线段距离之和的最值已知定点)4,1(A 和抛物线x y 42=，点B 是抛物线上的任一点，过点B 作y 轴的垂线，交y 轴于点C ，求BC AB +的最小值．【探究步骤】1.在GGB 绘图区作出定点)4,1(A 和抛物线x y 42=，在抛物线上任取一点B ；2.过点B 作y 轴的垂线，交y 轴于点C ；3.测量BC AB ,的值，并计算BC AB +；4.拉动点B ，观察BC AB +的最小值． 经实验，发现BC AB +的最小值可能为３．这是因为若设抛物线x y 42=的焦点为F ，则1-=BF BC ，从而1-+=+BF AB BC AB ，对于折线BF AB ,，显然的，当F B A ,,三点共线时，长度最短，即4=≥+AF BF AB ，从而3≥+BC AB ，故本题答案为３．【拓展探究1】设点A 是椭圆13422=+y x 上任一点，点21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，点)2,3(-B ，求AB AF +1的最大值．【探究步骤】1.作出椭圆13422=+y x 及点,,B A 21,F F ； 2.作出线段AB AF ,1，测量AB AF ,1，计算AB AF +1的值；3.拉动点A ，观察AB AF +1的最大值． 经观察，可得AB AF +1的最大值可能为83.6．【分析】在【实验1】的求解中，把BC 转化为1-BF ，折线AB AF ,1又该如何转化呢？容易想到根据椭圆的定义，421=+AF AF ，故可得214AF AF -= 据此给出以下解答：AB AF AB AF +-=+214，要求AB AF +1的最大值，只需求24AF AB -+的最大值，易得当点2,,F B A 三点共线时，2AF AB -将取得最大值222=BF ，本题答案为224+．【拓展探究2】已知双曲线1:22=-y x C 的左、右焦点分别为21,F F ，点M 是双曲线C 右支一动点，)1,2(A ，求2MF AM +的最小值．【实验3】抛物线若干性质的验证和圆、椭圆、双曲线一样，抛物线也有很多常用的重要性质，在此选择其中几个，用数学实验的方法对其进行验证．【探究问题1】设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于B A ,两点，点C 在抛物线的准线上，且x BC //轴．证明：直线AC 过原点O ．【探究步骤】1.在GGB 绘图区作出抛物线px y 22=，设置参数()10,0∈p ，增量1.0； 2.作出焦点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p F ，过焦点的直线，及直线与抛物线的交点B A ,； 3.过点B 作x BC //轴，且与准线交于点C ；4.连结AC ；5.拉动滑杆p ，验证直线AC 是否恒过原点O ．经实验验证，以上结论成立．设),(),,(2211y x B y x A ，又设2:p my x AB +=，代入px y 22=，得0222=--p mpy y .由根与系数的关系，得221p y y -=，即122y p y -=． ∵x BC //轴，且C 在准线2p x -=上，∴),2(2y p C -． 则OA OC k x y y p p y k ===-=111222，∴直线AC 经过原点O . 【探究问题2】 设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于B A ,两点，设),(),,(2211y x B y x A ，则221p y y -=，4221p x x =． 以上性质可由【探究问题1】得到验证．【探究问题3】设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于B A ,两点，则pBF AF 211=+． 抛物线的其他性质，读者可参照前面的例子对其进行验证和证明．【实验4】抛物线综合探究【探究问题4】若直线1-=x y 与抛物线x y C 4:2=相交于N M ,两点，设直线l 是抛物线C 的切线，且MN l //，P 为l 上一点，求PN PM ⋅的最小值．【分析】本题因直线1-=x y 与抛物线x y C 4:2=均已经确定，故点N M ,也是定点，直线l 是抛物线C 的切线，且MN l //，故直线l 也是定直线．求得直线l ：1+=x y ．【探究步骤】1.作直线1-=x y 与抛物线x y C 4:2=相交于N M ,两点；2.作直线l ：1+=x y ，并在l 上任取一点P ；3.作PN PM ,，在指令栏输入“v u *”得到PN PM ⋅；4.拉动点P ，寻求PN PM ⋅的最小值． 探究可得，PN PM ⋅的最小值大约为14-．以下给出数学求解：若设),(),,(2211y x N y x M ， 由⎩⎨⎧+==142y x x y 可知：(*)0442=--y y ，则21,y y 是方程(*)的两根，4,42121-==+y y y y ．又点P 在直线1:+=x y l 上，可设)1,(+m m P ， 则)1,(),1,(2211---=---=m y m x PN m y m x PM682)1(288)1(2)(22)1)(1()1)(1()1)(1())((222212*********--=++--=+++-=----+-+-+=----+--=⋅m m m m m y y m y y m y m y m y m y m y m y m x m x PN PM又R ∈m ，故可求得PN PM ⋅的最小值为14-.【说明】在列出方程(*)之后，我们发现直接把21,y y 求出来，其表达式是比较复杂的，故用了“设而不求”的思路．如果21,y y 的值较简单，可直接求解21,y y ，这样可以使得计算更加便捷．【探究问题5】已知直线022:=+-y x l 交抛物线)0(:2>=m mx y C 于B A ,两点，点P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q ，试探究是否存在实数m ，使ABQ ∆是以Q 为直角顶点的直角三角形．【分析】这是一道存在性的探究问题，探究是否存在以Q 为直角顶点的ABQ Rt ∆，其本质为探究以AB 为直径的圆是否与抛物线相交，而交点Q 和点P 的连线是否恰好垂直于x 轴．【探究步骤】1.作出抛物线2:mx y C =，设置参数)10,0(∈m ，增量为1.0；2.作直线022:=+-y x l 与抛物线C 交于B A ,两点；3.作线段AB 的中点P ；4.作以AB 为直径的圆，并作该圆与抛物线C 的交点Q ；5.作直线PQ ；6.拉动滑杆m ，仔细观察是否存在实数m ，使得直线PQ 恰好垂直于x 轴． 经实验探究，应该存在唯一的实数2≈m ，使得命题成立． 给出以下数学证明：联立方程⎩⎨⎧=+-=0222y x mx y 得(*)0222=--x mx 依题意，有21,08)2(2->∴>+-=∆m m ， 若设),(),,(2211y x B y x A ，则21,x x 是方程(*)的两根，因为点P 是AB 的中点，所以)22,1(+mm P 假设满足条件的点Q 存在，则)1,1(mm Q ，222121212122111)12())(34(5)1)(1()1)(1()1,1()1,1(m m x x m x x my m y m x m x my m x m y m x QB QA +-++-+=--+--=--⋅--=⋅∴04641)12(2)34(10222=+--=+-+-+-=m m m m m m m 21,2-==∴m m 或， 又21->m ． ∴存在实数2=m ，使ABQ ∆是以Q 为直角顶点的直角三角形．。
二次函数与圆的综合探究题
1 2 1 5 y=4x -2x+4求得 5
x=1,即圆心 P(1,1),
1 5
1=4m2-2m+4 = 4(m-1)2,PD=1,则有(m-1)2+[4(m-1)2]2=12,令(m-1)2=t, 则上式可替换为
1 ������ 4ห้องสมุดไป่ตู้
t=4 5-8,cos∠APD=
������������ ������������
(4)如图③,半径为 1,即 y=1,代入
1 1 1 2 5
又可知 P(1,1)即为函数 y=4x2-2x+4的顶点,故作出如图.则 D(m,4m2m+4),过点 D 作 DH⊥AP 于点 H,则 DH=m-1,HP=4m -2m+41 1 1 1 1 1 t+( t)2=12,解得 4 1
2 1
在△EPM 与△EMA 中,∵������������ =
1 2 1 5 ∴y=4x -2x+4.
(3)根据集合的定义可知:点A(1,2) x轴. 解析:根据圆的定义可知|AP|=|PB|,即点P到点A的距离等于点P到x 轴的距离. 所以PA2=PB2,(PA)2=(x-1)2+(y-2)2,PB2=y2. 所以,此函数图象可以看成是到点A的距离等于到x轴的距离的所有 点的集合.
(3)①设 E(m,2m+4),则 F(m,-2m-6) .
过点A作AN⊥EG,过点H作HQ⊥EG. 四边形AFHE是矩形,∴△AFN≌△HEQ, ∴AN=QH,∴m+4=-m, 解得m=-2,E(-2,0) .
1
EQ=FN=-4+2m+6=1,∴H(0,-1) .
1
②由题意可得,E(-2,0),H(0,-1), ∴EH= 5,即☉E 的半径为 5, ∵M 点在☉E 上,∴EM= 5. ∵A(-4,-4),E(-2,0),∴AE=2 5. 1 1 在 AE 上截取 EP=2EM,则 EP=2 5,连接 PM,
抛物线与圆共存问题例题及解题思路
抛物线与圆共存例题及解题思路抛物线与圆共存问题是中考必考题，也是压轴题，希望能通过例题帮到你！[分析]( 1) 设顶点式，把A、C 代入求出( 2)见切点时，常做过切点的半径构造直角三角形( 3) 由相似得到对应线段成比例，从而求出BF 的长。
[答案]解:( 1) 设抛物线的解析式为y=a(x-6)2 +k抛物线经过点A(3,0)和C( 0，9)[涉及知识点] 抛物线、相似三角形、勾股定理、切线长定理由y o=1,得x02-4x0 +3=1，解得x0 =2±√2由y o=-1,得x02-4x0 +3=-1，解得x0 =2由yo=-1,得场-4x,+3=-1，解得x=2此时，点P的坐标为(2-√2,1)，(2+√2,1)，(2，-1) .综上所述，园心P的坐标为: (1，0)，(-1,8)，(2-√2,)，P(2+√2,1)，(2，-1) .（3）由（2）知，不能设抛物线y=x2-4x+3上下平移后解析式为y=(x-2)2-1+h若圆P能与两坐标轴都相切，则|x0|=|y0|=1即x0=y0=1;或x0=y0=-1或x0=1，y0=-1或x0=-1，y0=1取x0=y0=1，带入y=(x-2)2-1+h,得h=1∴只需将y=x2-4x+3向上平移1个单位，就可使圆P与两座坐标轴都相切(2)过点作线段AB 的线交抛物线于点D，如果以点C 为心的与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴I与o C有怎样的位置关系，并给出证明（3）已知点P是抛物线上的一个动点,且位于4,C 两点之间,:当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大? 并求出此时P点的坐标和△PAC 的最大面积(2)答: 1与圆C相交证明：当14(x−4)2−1=0时，x1=2 x2=6∴B（2,0）C（6,0）∴AB=√32+22=√13a=1/4( 1)求此抛物线的解析式;(2)若此抛物线的对称轴与直线y= 2 交于点D，作圆D与x轴相切，圆D交轴于点E、F 两点，求劣弧EF的长;(3)P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1: 2 两部分∴此时点P的坐标为(-3 ，152√3)。
解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等章节综合考点检测练习(一)带答案新教材高中数学家教辅导
高中数学专题复习《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．（汇编福建理2）以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A ．22x +y +2x=0 B ．22x +y +x=0C ．22x +y -x=0D ．22x +y -2x=0第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2． 如果以原点为圆心的圆经过双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a bya x 的顶点，并且被双曲线的右准线分成弧长之比为3:1的两段弧，则双曲线的离心率为________3．已知圆x 2+y 2－6x －7=0与抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线相切，则p =_____.（汇编全国理，16）评卷人得分三、解答题4．如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，(0,8)A ，直线(08)y t t =<<与线段1AF 、2AF 分别交于点P 、Q . (1)当3t =时，求以12,F F 为焦点，且过PQ 中点的椭圆的标准方程； (2)过点Q 作直线1QR AF 交12F F 于点R ，记1PRF∆的外接圆为圆C .①求证:圆心C 在定直线7480x y ++=上；②圆C 是否恒过异于点1F 的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．5．已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，过点(m ,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A 、B 两点．（1）求椭圆C 的焦点坐标和离心率；（2）将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值．6．如图，椭圆22143x y +=的左焦点为F ，上顶点为A ， 过点A 作直线AF 的垂线分别交椭圆、x 轴于,B C 两点. ⑴若AB BC λ=,求实数λ的值；[来源:Z|xx|] ⑵设点P 为ACF △的外接圆上的任意一点，第20题 PAR OF 1Q xy F 2 Oxy当PAB △的面积最大时，求点P 的坐标. (江苏省苏州市汇编年1月高三调研) （本小题满分16分）7．已知抛物线:C 22(0)y px p =>的准线为l ,焦点为F ．M 的圆心在x 轴的正半轴上,且与y 轴相切．过原点O 作倾斜角为3π的直线n ,交l 于点A ,交M 于另一点B ,且2AO OB ==． （Ⅰ）求M 和抛物线C 的方程；（Ⅱ）若P 为抛物线C 上的动点,求PM PF ⋅的最小值；（Ⅲ）过l 上的动点Q 向M 作切线,切点为,S T ,求证:直线ST 恒过一个定点,并求该定点的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除O lxyA B F · M第17题评卷人得分一、选择题1．DD【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为22x-1)+y =1（，即22x -2x+y =0，选D 。
解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等章节综合学案练习(一)带答案高中数学
高中数学专题复习《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为（ ） A ．22x +y +2x=0 B ．22x +y +x=0 C ．22x +y -x=0D ．22x +y -2x=0(汇编福建理）第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2．圆心在抛物线y x 42=上，并且和抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为 ▲ ．xNMOyA B l :x =t 3．椭圆21)0,0(12222=>>=+e b a by ax 的离心率，右焦点F （c,0），方程02=-+c bx ax 的两个根分别为x 1,x 2，则点P （x 1,x 2）在与圆222=+y x 的位置关系是▲ . 评卷人得分三、解答题4．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，椭圆的左、右两个顶点分别为A ，B ，AB=4，直线(22)x t t =-<<与椭圆相交于M ，N 两点，经过三点A ，M ，N 的圆与经过三点B ，M ，N 的圆分别记为圆C1与圆C2． （1）求椭圆的方程；（2）求证：无论t 如何变化，圆C1与圆C2的圆心距是定值； （3）当t 变化时，求圆C1与圆C2的面积的和S 的最小值．5．已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左焦点为F ，左、右顶点分别为A 、C ，上顶点为B ．过F 、B 、C 作⊙P ，其中圆心P 的坐标为（m ，n ）． (Ⅰ）当m ＋n >0时，求椭圆离心率的范围； (Ⅱ）直线AB 与⊙P 能否相切？证明你的结论．6．若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，椭圆上的点到焦点的最短距离为1，椭圆的离心率为45，以原点为圆心、短轴长为直径作圆O ，过圆O 外一点P 作圆O 的两条切线,PA PB 。
高中物理“抛体运动与圆周运动”教学研究
专题讲座高中物理“抛体运动与圆周运动”教学研究方习鹏（北京市十一学校，中学高级）第一部分该主题的学科知识的深层次理解一、该主题内容的知识结构二、本主题的知识在整个高中物理教学中的地位及相互关系抛体运动和圆周运动，是在自然界和技术中比前面所学直线运动更普遍的运动形式，研究曲线运动是力学研究的必然。
在以前研究直线运动时，学生建立了一套研究物体运动规律的方法，将这一套研究方法推广到研究曲线运动，是认知发展的必然。
在知识上是对物体运动形式的扩展，在方法上是对研究物体运动规律的方法认识的深入。
牛顿运动定律在曲线运动中的具体应用，是运动学和动力学知识从“一维”到“二维”的延伸。
学好本主题内容，为将来研究带电粒子在电场的运动，带电粒子在磁场中的圆运动提供了基本的思想和方法，奠定了一个良好的基础。
三、从三个维度认识教学内容1．从知识与技能层面来看（ 1 ）要求学生知道物体做曲线运动的条件，知道什么是抛体运动，会用运动合成与分解的方法分析抛体运动。
（ 2 ）要求知道什么是匀速圆周运动，会用角速度、线速度、周期等物理量描述这种特殊的圆周运动。
（ 3 ）要求掌握圆周运动的向心加速度和向心力概念，理解向心力与向心加速度的关系，会用牛顿第二定律分析匀速圆周运动的向心力。
（ 4 ）要求知道什么是离心现象，结合所学知识分析生活、生产中的离心现象，例如洗衣机脱水、汽车拐弯时人倾斜等都属于离心现象，进一步了解人们是如何利用离心现象或避免离心现象的。
2．从过程与方法层面来看（ 1 ）渗透科学思想方法教育。
如研究蜡块在平面内的运动得到的是解决二维运动的一般性方法。
（ 2 ）用实验研究平抛运动的特点和规律，形成对抛体运动的认识，体会实验在发现自然规律中的作用。
（ 3 ）通过研究平抛运动，学习研究抛体运动普遍规律的方法，体会把一个复杂的曲线运动分解为几个简单的运动，是研究问题的一种重要方法。
（ 4 ）通过分析抛体运动和圆周运动问题，进一步掌握应用牛顿运动定律解决问题的过程与方法。
圆与抛物线的问题
（2010•盐城）已知：函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点． （1）求这个函数关系式； （2）如图所示，设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标； （3）在（2）中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上？若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由．
考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）此题应分两种情况：①a=0，此函数是一次函数，与x轴只有一个交点； ②a≠0，此函数是二次函数，可由根的判别式求出a的值，以此确定其解析式； （2）设圆与x轴的另一个交点为C，连接PC，由圆周角定理知PC⊥BC；由于PB是圆的直径，且AB切圆于B，得PB⊥AB，由此可证得△PBC∽△BAO，根据两个相似三角形的对应直角边成比例，即可得到PC、BC的比例关系，可根据这个比例关系来设P点的坐标，联立抛物线的解析式即可求出P点的坐标； （3）连接CM，设CM与PB的交点为Q，由于C、M关于直线PB对称，那么PB垂直平分CM，即CQ=QM；过M作MD⊥x轴于D，取CD的中点E，连接QE，则QE是Rt△CMD的中位线；在Rt△PCB中，CQ⊥OB，QE⊥BC，易证得∠BQE、∠QCE都和∠CPQ相等，因此它们的正切值都等于1 2 （在（2）题已经求得）；由此可得到CE=2QE=4BE，（2）中已经求出了CB的长，根据CE、BE的比例关系，即可求出BE、CE、QE的长，由此可得到Q点坐标，也就得到M点的坐标，然后将点M代入抛物线的解析式中进行判断即可．解答：解：（1）当a=0时，y=x+1，图象与x轴只有一个公共点（1分） 当a≠0时，△=1-4a=0，a=1 4 ，此时，图象与x轴只有一个公共点． ∴函数的解析式为：y=x+1或y=1 4 x2+x+1；（3分）
二次函数与圆的综合探究题拓展与提升练习(共18张PPT)
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5 2
∴△EPM∽△EMA,∴PM=2AM, ∴线段 PC 的长即为2AM+CM 的最小值.
由 EP=2EM=4AE,A(-4,-4),E(-2,0), 易得 P(-2,-1),又∵C(0,-6),∴PC= 即 AM+CM 的最小值为
(4)当☉P的半径为1时,若☉P与以上(2)中所得函数图象相交于点C 、D,其中交点D(m,n)在点C的右侧.请利用图②,求cos∠APD的大小. 【思路导引】(1)过A作AM⊥x轴于M,过P作PH⊥AM于H,通过构造 Rt△AHP,结合勾股定理得出关于r的方程,通过解方程求出半径;(2) 类比(1)构造Rt△AHP,利用勾股定理得出y与x的关系式,再判断函 数图形的形状;(3)根据函数图象,结合集合定义的特征,得出结论;(4) 利用☉P的半径为1,得出P点坐标,而P点恰好为二次函数的顶点,过 点D作DH⊥AP于H,构造Rt△PDH,然后将D点纵坐标用m来表示,进 而表示出DH,HP,利用勾股定理得出关于m的方程,整体求出(m-1)2 的值,再利用锐角三角函数的定义,把所求三角函数值与(m-1)2建立 联系可求结果.
(4)如图③,半径为 1,即 y=1,代入
1 1 1 2 5
又可知 P(1,1)即为函数 y=4x2-2x+4的顶点,故作出如图.则 D(m,4m2m+4),过点 D 作 DH⊥AP 于点 H,则 DH=m-1,HP=4m -2m+41 1 1 1 1 1 t+( t)2=12,解得 4 1
2 1
∴(2-y) +1 =y .∴y=4.
2 2 2
5
答:当 x=2 时,x轴于点M,过点P作PH⊥AM于点H.连接 PA,PB,则PB⊥x轴于点B,PA=PB=MH=y. ∵A(1,2),∴AM=2,OM=1.∵P(x,y),∴OB=x,PB=HM=y.∴PH=x1,AH=2-y. ∵在Rt△AHP中,AH2+HP2=AP2,∴(2-y)2+(x-1)2=y2. ∴4-4y+y2+x2-2x+1=y2.∴4y=x2-2x+5.
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圆和抛物线综合探究题1
已知如图，抛物线cbxaxy2与x轴相交于B（1，0）、C（4，0）两点，与y轴的正半
轴相交于A点，过A、B、C三点的⊙P与y轴相切于点A．M为y轴负半轴上的一个动点，
直线MB交⊙P于点D，交抛物线于点N。
⑴ 请求出点A坐标和⊙P的半径；
⑵ 请确定抛物线的解析式；
⑶若2:15:AOBBNCSS，求N点坐标。
(4)若△AOB与以A、B、D为顶点的三角形相似，求MB•MD的值．（先画出符合题意的示
意图再求解）。
y
x
O
P
BAC
备用图
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解（1）A点坐标是（0，2），⊙P的半径长为25。……………………2分
（2）抛物线的解析式是：225212xxy ……………………4分
（3）设N点坐标为（x0，y0），由题意有
21521||2
1
0
OBOAyBC
∴ 21512213210y 解得y0=5 ………………………………5分
∵ N点在抛物线上 ∴ 522521020xx
解得 x0=6 或 x0=-1（不合题意，舍去）
∴ N点的坐标为（6，5）……………………………………………………6分
（4）根据题意∠OAB=∠ADB，所以△AOB和△ABD相似有两种情况
①∠ABD和∠AOB对应，此时AD是⊙P的直径
则AB=5，AD=5
∴ BD=25
∵Rt△AMB∽Rt△DAB
∴ MA：AD=AB：BD 即 MA=25BDADAB
∵Rt△AMB∽Rt△DMA
∴MA：MD=MB：MA
即 MB·MD=MA2=425……………………………………9分
②∠BAD和∠AOB对应，此时BD是⊙P的直径，所以直线
MB过P点
∵B（1，0），P（)2,25
∴直线MB的解析式是：3434xy
∴M点的坐标为（0，)34
∴ AM=310
由△MAB∽△MDA 得MA：MD=MB：MA
∴MB·MD=MA2=9100……………………………………12分