高一数字《函数的单调性》PPT课件
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新教材人教A版必修第一册 3.2.1 第1课时 函数的单调性 课件(48张)
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
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7．图象变换对单调性的影响 (1)上下平移不影响单调区间，即 y＝f(x)和 y＝f(x)＋b 的单调区间相同． (2)左右平移影响单调区间．如 y＝x2 的单调递减区间为(－∞，0]；y＝(x ＋1)2 的单调递减区间为(－∞，－1]． (3)y＝k·f(x)，当 k>0 时单调区间与 f(x)相同，当 k<0 时单调区间与 f(x)相 反．
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2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知函数 f(x)＝x 的图象如图 1 所示，从左至右图象是上升的还是下降 的：________. (2)已知函数 y＝f(x)的图象如图 2 所示，则该函数的单调递增区间是 ________，单调递减区间是________．
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答案
金版点睛 定义法证明单调性的步骤
判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格 按照单调性的定义操作．
利用定义法判断函数的单调性的步骤为：
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注意：对单调递增的判断，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)，也可以用一个 不等式来替代：
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3．单调区间 (1)这个区间可以是整个定义域．如 y＝x 在整个定义域(－∞，＋∞)上单 调递增， y＝－x 在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递减； (2)这个区间也可以是定义域的真子集．如 y＝x2 在定义域(－∞，＋∞) 上不具有单调性，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． 4．函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单 调递增(减)．如函数 y＝1x(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减， 但是在整个定义域上不具有单调性．
函数的单调性ppt课件
利用函数的单调性求最值 [思路分析] (1)结合函数f(x)的图像分析f(x)的单调性，从而确定其最大值； 利用函数增加、减少的定义判断f(x)在[2,6]上的单调性，再求最值．
[规律总结] 1.熟记运用函数单调性求最值的步骤： 判断：先判断函数的单调性． 求值：利用单调性代入自变量的值求得最值． 明确利用单调性求最大值、最小值易出错的几点： 写出最值时要写最高(低)点的纵坐标，而不是横坐标． 求最值忘记求定义域． 求最值，尤其是闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入．
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下列命题正确的是( )
[答案] D
PART 1
利用定义证明或判断函数的单调性
结论：根据差的符号，得出单调性的结论．
定号：判断上式的符号，若不能确定，则分区间讨论；
作差变形：计算f(x1)－f(x2)，通过因式分解、通分、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方、分母(分子)有理化等方法变形；
取值：在给定区间上任取两个值x1，x2，且x1<x2；
在定义域的某个子集上是增加的或是减少的
增函数
减函数
单调函数
3．函数的单调性 如果函数_________________________________，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为________或________，统称为________．
[正解] 因为函数的单调递减区间为(－∞，4]，且函数图像的对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3. [答案] a＝－3 [规律总结] 单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子集．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
人教A版必修1高一数学18导数与函数的单调性【课件】
2.［人B选必三P95练习B第1题变式］对于上可导的任意函数,若满足 ,则必有( )
C
A. B. C. D.
【解析】由，得或①函数在上单调递减， ;在上单调递增，，所以.②若函数 为常数函数，则.综合①②得 .故选C.
3.［人B选必三P114复习题C组第2题变式］已知是定义在上的函数，其导函数是，且当 时总有 ，则下列表述正确的是( )
求解含参函数的单调性的技巧对于含参数的函数的单调性问题，一般要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.如果一阶导数的正负不好判断，那么需要对一阶导函数进行求导，判断二阶导数的正负.分类讨论主要是：①讨论 是否有根；②讨论 的根是否在定义域内；③讨论根的大小关系.
注意 （1）讨论含参数的函数的单调性时优先考虑导数是否恒大于0或恒小于0，再考虑可能大于0或小于0的情况；（2）个别导数为0的点不影响所在区间的单调性,如 , （ 在 时取到）， 在 上是增函数.
变式4 在区间上单调已知函数，若函数在上单调递减，则实数 的取值范围为__________.
【解析】 解法一 因为在上单调递减，所以在上恒成立.所以 即 解得,即实数的取值范围为 .解法二 由题意知在上恒成立，所以在 上恒成立.记,当时，,（由对勾函数的单调性可得）所以,即实数 的取值范围为 .
【解析】 由变式4知在上单调递减时，的取值范围是.若在 上单调递增，则在上恒成立，又在上的值域为,所以实数 的取值范围是,所以函数在上单调时，实数的取值范围是,故 在上不单调时，实数的取值范围是 （补集思想的应用）
变式7 递增和递减区间同时存在如果函数在区间 上单调递减，在区间上单调递增，则实数 的取值范围是( )
2.确定单调区间端点值的两个依据：（1）导函数等于0的点；（2）函数不连续的点.
C
A. B. C. D.
【解析】由，得或①函数在上单调递减， ;在上单调递增，，所以.②若函数 为常数函数，则.综合①②得 .故选C.
3.［人B选必三P114复习题C组第2题变式］已知是定义在上的函数，其导函数是，且当 时总有 ，则下列表述正确的是( )
求解含参函数的单调性的技巧对于含参数的函数的单调性问题，一般要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.如果一阶导数的正负不好判断，那么需要对一阶导函数进行求导，判断二阶导数的正负.分类讨论主要是：①讨论 是否有根；②讨论 的根是否在定义域内；③讨论根的大小关系.
注意 （1）讨论含参数的函数的单调性时优先考虑导数是否恒大于0或恒小于0，再考虑可能大于0或小于0的情况；（2）个别导数为0的点不影响所在区间的单调性,如 , （ 在 时取到）， 在 上是增函数.
变式4 在区间上单调已知函数，若函数在上单调递减，则实数 的取值范围为__________.
【解析】 解法一 因为在上单调递减，所以在上恒成立.所以 即 解得,即实数的取值范围为 .解法二 由题意知在上恒成立，所以在 上恒成立.记,当时，,（由对勾函数的单调性可得）所以,即实数 的取值范围为 .
【解析】 由变式4知在上单调递减时，的取值范围是.若在 上单调递增，则在上恒成立，又在上的值域为,所以实数 的取值范围是,所以函数在上单调时，实数的取值范围是,故 在上不单调时，实数的取值范围是 （补集思想的应用）
变式7 递增和递减区间同时存在如果函数在区间 上单调递减，在区间上单调递增，则实数 的取值范围是( )
2.确定单调区间端点值的两个依据：（1）导函数等于0的点；（2）函数不连续的点.
高一数学必修1-函数的单调性-精品PPT课件
y2
1
x -2 -1 O 1 2
练习2 证明函数f(x)=1/x在(-∞,0)上是减函数。
想一想：函数f(x)=1/x在(0，
+∞)上的单调性呢？
在整个定义域内 f(x)=1/x是不是减函数呢？
反例：取x1= - 1 , x2=1，则f(-1)=-1,f(1)=1
可见 x1 < x2 时; f(x1) > f(x2)不一定成立。
对于二次函数f(x)=x2 ,我们可以这样来描述“在区 间(0,+∞) 上随着x的增大,相应的f(x)也随着增大.”:
试一试:你能仿照这样的描述,说明函数 f(x)=x2在区间(-∞,0]上是减函数吗?
定义:
如果对于定义域I内的某个区间D上的 任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有 f(x1)＜f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是 增函数.
解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]. 其中y=f(x)在区间[-5,-2) ,[1,3)上是减函数,在区间[-2,1), [3,5]上是增函数.
例2 物理学中的波意耳定律p=k/V(k为正常数)告诉我 们,对于一定量的气体,当其体积V减小时,压强p将增大.试 用函数的单调性证明之.
练习：证明函数 f (x) -2x 1 在 R上是
减函数.
小结:
• 1.函数的单调性概念; • 2.增(减)函数的定义; • 3.增(减)函数的图象特征; • 4.增(减)函数的判定; • 5.增(减)函数的证明.
练习1 画出下列函数图象，并写出单调区间：
(1) y x2 2
单调增区间为, 0 单调减区间为0,
1.3.1 函数的单调性
高中数学人教A版必修1课件： 第一章第三节 函数的单调性(共18张PPT)
高中数学人教A版必修1
函数的单调性
1
创设情境 导入新课
2
新知自解 归纳提升
y
一、函数单调性定义
f(x2)
1．增函数
f(x1)
O
x1
x2
x
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内 的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有
f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数．
图象法、定义法 3.用定义证明函数单调性的步骤是：
取值--作差--变形（分解因式，通分，配方） -- 定号--结论； 4. 数学思想方法：数形结合，等价转化，类比等。
12
当堂演练 及时反馈
练习1. 写出一次函数y kx b , 二次函数 y ax 2 bx c ，
反比例函数y
k x
的单调区间以及在区间上的单调性；
8
例 并用2.根定据义函证数明你f (的x)结论1x.的图象，写出其单调区间， 归纳：证明单调性的步骤 取值 作差 变形 定号
结论 9
例3. 讨论函数 f(x) x2 2ax 3 在(-2,2)内的单调性.
10
11
归纳小结 感悟收获
1.两个定义：增函数、减函数的定义； 2.判断函数单调性的两种方法：
其中y=f(x)在区间[－2，1)，[3，5]上是增函数；
在区间[－5，－2），[1，3)上是减函数.
7
三、对单调区间的理解
（1）形式：区间； （2）内容：函数的单调性是在定义域内的某个 区间上的性质，单调区间是定义域的子集； （3）端点：开闭问题； （4）连接：当函数出现两个以上单调区间时，单 调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以 用“和”来表示．
函数的单调性
1
创设情境 导入新课
2
新知自解 归纳提升
y
一、函数单调性定义
f(x2)
1．增函数
f(x1)
O
x1
x2
x
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内 的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有
f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数．
图象法、定义法 3.用定义证明函数单调性的步骤是：
取值--作差--变形（分解因式，通分，配方） -- 定号--结论； 4. 数学思想方法：数形结合，等价转化，类比等。
12
当堂演练 及时反馈
练习1. 写出一次函数y kx b , 二次函数 y ax 2 bx c ，
反比例函数y
k x
的单调区间以及在区间上的单调性；
8
例 并用2.根定据义函证数明你f (的x)结论1x.的图象，写出其单调区间， 归纳：证明单调性的步骤 取值 作差 变形 定号
结论 9
例3. 讨论函数 f(x) x2 2ax 3 在(-2,2)内的单调性.
10
11
归纳小结 感悟收获
1.两个定义：增函数、减函数的定义； 2.判断函数单调性的两种方法：
其中y=f(x)在区间[－2，1)，[3，5]上是增函数；
在区间[－5，－2），[1，3)上是减函数.
7
三、对单调区间的理解
（1）形式：区间； （2）内容：函数的单调性是在定义域内的某个 区间上的性质，单调区间是定义域的子集； （3）端点：开闭问题； （4）连接：当函数出现两个以上单调区间时，单 调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以 用“和”来表示．
函数的单调性ppt课件
在(-∞, 0)
上单调递减
当 ∈ (0, +∞)时， ′ > 0
在(0, +∞)
上单调递增
探究二：观察下列4个函数的图像，探讨函
数的单调性与导数的正负关系：
操作验证
(3)
= 3
o
定义域
导数正负
函数增减
∈
′ = 3 2 ≥ 0
在R上单调
递增
探究二：观察下列4个函数的图像，探讨函
数的单调性与导数的正负关系：
操作验证
(1)
定义域
导数正负
函数增减
∈
′ = 1 > 0
在R上单调
递增
=
o
探究二：观察下列4个函数的图像，探讨函
数的单调性与导数的正负关系：
操作验证
(2)
= 2
o
定义域
导数正负
∈
′ = 2
函数增减
当 ∈(-∞, 0)时， ′ < 0
例2：已知导函数′ 的下列信息,试
画出函数 图像的大致形状：
当 < < 时，′ > ；
当 < ，或 > 时， ′ < ；
当 = ，或 = 时， ′ = .
课后作业
问题1：回顾函数单调性的定义，并思考能否从平均变化
率，瞬时变化率的代数表达式中找到函数单调性与导数正
数的单调性与导数的正负关系：
操作验证
(4)
定义域
1
=
o
导数正负
∈ (−∞, 0) ∪ (0, +∞)
′ = − −2 < 0