【状元之路】2015高考数学(人教A版,文)一轮备考训练：10-8圆锥曲线的综合问题]

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【状元之路】2015高考数学(人教A版,文)一轮开卷速查：9-4直线、平面平行的判定与性质

开卷速查规范特训课时作业实效精炼开卷速查(42)直线、平面平行的判定与性质一、选择题1．已知α∥β，a⊂α，B∈β，则在β内过点B的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线解析：因为a与B确定一个平面，该平面与β的交线即为符合条件的直线．答案：D2．对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是()A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n解析：A中n与α可能相交，B中n与α可能平行，D中m、n可能相交，C中m即m、n所在平面与α的交线．答案：C3．已知直线a、b和平面α、β，则在下列命题中，真命题为()A．若a∥β，α∥β，则a∥αB．若α∥β，a⊂α，则a∥βC．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥bD．若a∥β，b∥α，α∥β，则a∥b解析：A中a可能在α内，C中a、b可能异面，D中a、b可能异面，B中α∥β，a⊂α，则a与β无公共点，∴a∥β.答案：B4．在空间，下列命题正确的是()A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行解析：由于两条平行直线的平行投影可以平行也可以重合，因此A不对．平行于同一直线的两个平面可以平行也可以相交，故B不对．垂直于同一平面的两个平面可以相交也可以平行，故C不对．由于垂直于同一平面的两条直线平行，故D正确.答案：D5．已知m、n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面．下列命题中正确的是()A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β解析：对于D选项，m∥α，m∥β时，α、β可以平行，也可以相交，如m平行于α、β的交线时，α、β便相交，∴D错；对于C选项，m∥α，n∥α时，m、n可以平行，也可以相交，也可以异面，∴C错；对于A选项，α⊥γ，β⊥γ时，α、β可以平行，也可以相交(也可以参照教室的一角)，∴A错；对于B，当m⊥α，n⊥α时，根据直线与平面垂直的性质定理知m∥n，故B正确.答案：B6．设x 、y 、z 是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x 、y 、z 均为直线；②x 、y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x 、y 是平面；④x 、y 、z 均为平面，其中使“x ⊥z 且y ⊥z ⇒x ∥y ”为真命题的是( )A ．③④B ．①③C ．②③D ．①②解析：根据空间中的直线、平面的位置关系的判断方法去筛选知②、③正确．答案：C7．用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ；④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b.其中真命题的序号是( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④解析：由平行公理可知①正确；②不正确，若三条直线在同一平面内，则a ∥c ；③不正确，a 与b 有可能平行，也有可能异面或相交；由线面垂直的性质可知④正确.答案：C8．已知m 、n 为直线，α、β为平面，给出下列命题： ① ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ⊥n ⇒n ∥α；② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥βn ⊥β⇒m ∥n ；③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ⊥β⇒α∥β；④⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂βα∥β⇒m ∥n.其中正确命题的序号是( )A ．③④B ．②③C ．①②D ．①②③④解析：①不正确，n 可能在α内． ②正确，垂直于同一平面的两直线平行．③正确，垂直于同一直线的两平面平行．④不正确，m、n可能为异面直线．故选B.答案：B9．下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是()①②③④A．①②B．①④C．②③D．③④解析：由线面平行的判定定理知图①②可得出AB∥平面MNP.答案：A10．[2014·石家庄质检一]设a，b表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若a⊥α且a⊥b，则b∥αB．若γ⊥α且γ⊥β，则α∥βC．若a∥α且a∥β，则α∥βD．若γ∥α且γ∥β，则α∥β解析：对于A选项，若a⊥α且a⊥b，则b∥α或b⊂α，故A选项不正确；对于B选项，若γ⊥α且γ⊥β，则α∥β或α与β相交，故B选项不正确；对于C选项，若a∥α且a∥β，则α∥β或α与β相交，故C选项不正确．排除A、B、C三选项，故选D.答案：D二、填空题11．在四面体ABCD 中，M 、N 分别是面△ACD 、△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是__________．解析：如图，连接AM 并延长交CD 于E ，连接BN 并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E 、F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由EMMA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB ，因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD.答案：平面ABC 、平面ABD12．如图所示，ABCD-A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝__________.解析：∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1， ∴MN ∥PQ.∵M 、N 分别是A 1B 1、B 1C 1的中点，AP ＝a3， ∴CQ ＝a 3，从而DP ＝DQ ＝2a 3，∴PQ ＝223 a. 答案：223 a13．如图所示，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件__________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.解析：由题意，得HN ∥面B 1BDD 1，FH ∥面B 1BDD 1. ∵HN ∩FH ＝H ，∴面NHF ∥面B 1BDD 1.∴当M 在线段HF 上运动时，有MN ∥面B 1BDD 1.答案：M ∈线段HF14．已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过点P 的直线m 与α、β分别交于A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于B 、D 且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为__________．解析：根据题意可得到以下如图两种情况：可求出BD 的长分别为245或24. 答案：24或245 三、解答题15．如图，已知平行四边形ABCD 中，BC ＝6，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点．(1)求证：GH ∥平面CDE ；(2)若CD ＝2，DB ＝42，求四棱锥F-ABCD 的体积．解析：(1)证明：方法一：∵EF ∥AD ，AD ∥BC ， ∴EF ∥BC.又EF ＝AD ＝BC ，∴四边形EFBC 是平行四边形， ∴H 为FC 的中点．又∵G 是FD 的中点，∴HG ∥CD. ∵HG ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ， ∴GH ∥平面CDE.方法二：连接EA ，∵ADEF 是正方形，∴G 是AE 的中点． ∴在△EAB 中，GH ∥AB. 又∵AB ∥CD ，∴GH ∥CD. ∵HG ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ， ∴GH ∥平面CDE.(2)∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD ，且FA ⊥AD ，∴FA ⊥平面ABCD. ∵AD ＝BC ＝6，∴FA ＝AD ＝6.又∵CD ＝2，DB ＝42，CD 2＋DB 2＝BC 2， ∴BD ⊥CD.∵S ▱ABCD ＝CD·BD ＝82， ∴V F-ABCD ＝13S ▱ABCD ·FA ＝13×82×6＝16 2.答案：(1)证明略；(2)16 2.16．如图，四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PD ＝DC ＝4，AD ＝2，E 为PC 的中点．(1)求三棱锥A-PDE 的体积；(2)AC 边上是否存在一点M ，使得PA ∥平面EDM ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．解析：(1)∵PD ⊥平面ABCD ， ∴PD ⊥AD.又∵ABCD 是矩形， ∴AD ⊥CD. ∵PD ∩CD ＝D ， ∴AD ⊥平面PCD ，∴AD 是三棱锥A-PDE 的高． ∵E 为PC 的中点，且PD ＝DC ＝4，∴S △PDE ＝12S △PDC ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4×4＝4.又AD ＝2，∴V A －PDE ＝13AD·S △PDE ＝13×2×4＝83.(2)取AC 中点M ，连接EM ，DM ，∵E 为PC 的中点，M 是AC 的中点，∴EM ∥PA.又∵EM ⊂平面EDM ，PA ⊄平面EDM ，∴PA ∥平面EDM.∴AM ＝12AC ＝ 5.即在AC 边上存在一点M ，使得PA ∥平面EDM ，AM 的长为 5.答案：(1)83；(2)AM ＝5，理由略．创新试题教师备选教学积累资源共享教师用书独具1．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AB ，CC 1的中点，在平面ADD 1A 1内且与平面D 1EF 平行的直线( )A．不存在B．有1条C．有2条D．有无数条解析：由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l，在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条，且它们都不在平面D1EF内，由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF平行．答案：D2．[2014·山西四校联考]在空间内，设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为假命题的是()A．α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γB．l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥mC．α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥m，则l∥nD．α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β或α∥β解析：对于A，∵如果两个相交平面均垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，∴该命题是真命题；对于B，∵如果一条直线平行于两个相交平面，那么该直线平行于它们的交线，∴该命题是真命题；对于C ，∵如果三个平面两两相交，有三条交线，那么这三条交线交于一点或相互平行，∴该命题是真命题；对于D ，当两个平面同时垂直于第三个平面时，这两个平面可能不垂直也不平行，∴D 不正确．答案：D3．已知m 、n 、l 1、l 2表示直线，α、β表示平面．若m ⊂α，n ⊂α，l 1⊂β，l 2⊂β，l 1∩l 2＝M ，则α∥β的一个充分条件是( )A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥β且n ∥βC ．m ∥β且n ∥l 2D ．m ∥l 1且n ∥l 2解析：由m ∥l 1且n ∥l 2可得α∥β，但α∥β不能得到m ∥l 1且n ∥l 2，故选D .答案：D4．棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 是棱AA 1的中点，过C 、M 、D 1作正方体的截面，则截面的面积是__________．解析：由面面平行的性质知截面与平面AB 1的交线MN 是△AA 1B 的中位线，所以截面是梯形CD 1MN ，易求其面积为92.答案：925．[2014·西安模拟]如图，FD 垂直于矩形ABCD 所在平面，CE ∥DF ，∠DEF ＝90°.(1)求证：BE∥平面ADF；(2)若矩形ABCD的一边AB＝3，EF＝23，则另一边BC的长为何值时，三棱锥F-BDE的体积为3？解析：(1)证明：过点E作CD的平行线交DF于点M，连接AM.∵CE∥DF，∴四边形CEMD是平行四边形．可得EM＝CD且EM∥CD，于是四边形BEMA也是平行四边形，∴有BE∥AM.而AM⊂平面ADF，BE⊄平面ADF，∴BE∥平面ADF.(2)由EF ＝23，EM ＝AB ＝3，得FM ＝3且∠MFE ＝30°. 由∠DEF ＝90°可得FD ＝4，从而得DE ＝2.∵BC ⊥CD ，BC ⊥FD ，∴BC ⊥平面CDFE.∴V F －BDE ＝V B －DEF ＝13S △DEF ×BC.∵S △DEF ＝12DE ×EF ＝23，V F －BDE ＝3，∴BC ＝32.综上当BC ＝32时，三棱锥F-BDE 的体积为 3.答案：(1)证明略；(2)32.。

【状元之路】2015高考数学(人教A版,文)一轮备考训练：10-5椭圆]

考题调研成功体验最有价值备考训练1．[2013·课标全国Ⅰ]已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由A ，B 在椭圆上，得⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1.两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＝－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2. ∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0. 其中(x 0，y 0)为A ，B 的中点． ∵k AB ＝0－13－1＝12，x 0＝1，y 0＝－1，∴－b 2a 2·(－1)＝12，即a 2＝2b 2.① 又∵c ＝3，∴a 2＝b 2＋9.② 由①②解得a 2＝18，b 2＝9. ∴E 的方程为x 218＋y 29＝1. 答案：D2．[2013·大纲全国]椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 解析：当kP A 2＝－1时，P A 2的方程为y ＝－(x －2)．由⎩⎨⎧y ＝－(x －2)，x 24＋y 23＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝27，y ＝127或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，(舍去)．当kP A 2＝－2时，P A 2的方程为y ＝－2(x －2)．由⎩⎨⎧y ＝－2(x －2)，x 24＋y 23＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2619，y ＝2419或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，(舍去)．令P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫27，127，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2619，2419，如图所示．∵kA 1P 2＝2419－02619－(－2)＝38，kA 1P 1＝127－027－(－2)＝34.∴直线P A 1斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34.答案：B3．[2013·福建]椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于__________．解析：∵直线y ＝3(x ＋c )过左焦点F 1，且其倾斜角为60°， ∴∠MF 1F 2＝60°， ∠MF 2F 1＝30°，∴∠F 1MF 2＝90°，即F 1M ⊥F 2M . ∵|MF 1|＝c ，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， ∴|MF 2|＝2a －c . ∵|MF 1|2＋|MF 2|2＝|F 1F 2|2.∴c 2＋(2a －c )2＝4c 2，即c 2＋2ac －2a 2＝0. ∴e 2＋2e －2＝0，解得e ＝3－1. 答案：3－14．[2013·上海]设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且∠CBA ＝π4，若|AB |＝4，|BC |＝2，则Γ的两个焦点之间的距离为__________ .解析：不妨设椭圆Γ的标准方程为x 24＋y 2b 2＝1(4＞b 2＞0)． ∵|BC |＝2，∠CBA ＝π4， |AB |＝4， ∴C (1,1)．∴14＋1b 2＝1，得b 2＝43. ∴c 2＝a 2－b 2＝4－43＝83， ∴c ＝83＝263，2c ＝463.∴Γ的两焦点间的距离为463. 答案：4635．[2013·辽宁]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝__________.解析：由题意，得|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB |·|BF |·cos ∠ABF .即62＝102＋|BF |2－2×10×|BF |×45.解得|BF |＝8. ∵|AF |2＋|BF |2＝|AB |2.∴AF ⊥BF ，即△ABF 为直角三角形．又∵|AO |＝|BO |，∴c ＝|OF |＝5.设椭圆的右焦点为F ′，由椭圆的对称性可知△AFB ≌△AF ′B ，则|AF ′|＝|BF |＝8,2a ＝|AF |＋|AF ′|＝14，a ＝7.∴e ＝c a ＝57. 答案：57。

【状元之路】2015高考数学(人教A版,文)一轮阶段考查1 集合、常用逻辑用语、不等式

阶段考查(一)考查范围：集合、常用逻辑用语、不等式考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U＝R，A＝{x|－x2－3x＞0}，B＝{x|x＜－1}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x|x＞0}B．{x|－3＜x＜－1}C．{x|－3＜x＜0}D．{x|x＜－1}解析：依题意，得集合A＝{x|－3＜x＜0}，所求的集合即为A∩B，所以图中阴影部分表示的集合为{x|－3＜x＜－1}，故选B项．答案：B2．已知函数f(x)＝x2＋bx(b∈R)，则下列结论正确的是()A．∀b∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数B．∀b∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数C．∃b∈R，f(x)为奇函数D．∃b∈R，f(x)为偶函数解析：注意到b＝0时，f(x)＝x2是偶函数．故选D项．答案：D3．给定命题p ：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4和函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的图像关于原点对称；命题q ：当x ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝2(sin2x ＋cos2x )取得极小值．下列说法正确的是( )A ．p ∨q 是假命题B ．綈p ∧q 是假命题C ．p ∧q 是真命题D ．綈p ∨q 是真命题解析：p 命题中y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－π2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4与y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4关于原点对称，故p 为真命题；q 命题中y ＝2(sin2x ＋cos2x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4取极小值时，2x ＋π4＝2k π－π2，则x ＝k π－3π8(k ∈Z )，故q 为假命题，则綈p ∧q 为假命题，故选B.答案：B4．若全集U ＝R ，集合A ＝{x ||2x ＋3|＜5}，B ＝{x |y ＝log 3(x ＋2)}，则∁U (A ∩B )＝( )A ．{x |x ≤－4或x ≥1}B ．{x |x ＜－4或x ＞1}C ．{x |x ＜－2或x ＞1}D ．{x |x ≤－2或x ≥1}解析：A ＝{x ||2x ＋3|＜5}＝{x |－4＜x ＜1}，B ＝{x |y ＝log 3(x ＋2)}＝{x |x ＋2＞0}＝{x |x ＞－2}，所以A ∩B ＝{x |－2＜x ＜1}，所以∁U (A ∩B )＝{x |x ≥1或x ≤－2}，选D.答案：A5．命题“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤5解析：命题“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的充要条件是a ≥4，故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集，正确选项为C.答案：C6．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．[1,4]C ．[e,4]D ．(－∞，1]解析：“p ∧q ”是真命题，则p 与q 都是真命题；p 真则∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，需a ≥e ；q 真则x 2＋4x ＋a ＝0有解，需Δ＝16－4a ≥0，所以a ≤4；p ∧q 为真，则e ≤a ≤4.答案：C7．不等式3x 2－2x －1＜0成立的一个必要不充分条件是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－13，1 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(1，＋∞)C.⎝⎛⎭⎪⎫－13，0 D ．(－1,1)解析：由3x 2－2x －1＜0解得－13＜x ＜1，而⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1(－1,1)，所以(－1,1)是3x 2－2x －1＜0成立的一个必要不充分条件．答案：D8．已知a ，b ，c 是任意实数，且a ＞b ，则下列不等式恒成立的是( ) A ．(a ＋c )4＞(b ＋c )4 B ．ac 2＞bc 2 C ．lg|b ＋c |＜lg|a ＋c |D ．(a ＋c )13＞(b ＋c )13解析：当a ＞b ，a ＋c 与b ＋c 为负数时，由0＞a ＋c ＞b ＋c ，得0＜－(a ＋c )＜－(b ＋c )．∴0＜[－(a ＋c )]4＜[－(b ＋c )]4，即(a ＋c )4＜(b ＋c )4.∴A 不成立；当c ＝0时，ac 2＝bc 2，∴B 不成立；当a ＞b 时，a ＋c ＞b ＋c ，但若a ＋c 、b ＋c 均为负数时， |a ＋c |＜|b ＋c |，即lg|a ＋c |＜lg|b ＋c |. 故C 不恒成立．故选D 项．答案：D9．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0，若目标函数z ＝x ＋ay (a ＞0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为( )A ．0＜a ＜13 B ．a ≥13 C ．a ＞13D ．0＜a ＜12解析：如图，约束条件为图中的三角形区域ABC .目标函数化为y ＝－1a x ＋z a ，当z 最大时，z a 最大，根据图形只要－1a ＞k AB ＝－3，即a ＞13即可．故选C 项．答案：C10．若第一象限内的点A (x ，y )，落在经过点(6，－2)且具有方向向量a ＝(3，－2)的直线l 上，则log 32y －log 23x 有( )A ．最大值32 B ．最大值1 C ．最小值32D ．最小值1解析：直线l 的方程为y ＋2＝－23(x －6)，即2x ＋3y ＝6，所以log 32y－log 23 x ＝log 32 y ＋log 32 x ＝log 32 (xy )≤log 32 ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 262＝1，故选B. 答案：B11．若不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围为( )A ．[0，＋∞)B ．[－4，＋∞)C ．[－5，＋∞)D ．[－4,4]解析：原不等式可转化为a ≥－x 2＋4x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x 在区间(0,1]上恒成立，即将问题转化为求函数f (x )＝－x 2＋4x 在区间(0,1]上的最大值问题．∵函数f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x 在(0,1]上为增函数，∴f (x )max ＝f (1)＝－5，∴a ≥－5. 答案：C12．对于函数f (x )，在使f (x )≤M 恒成立的所有常数M 中，我们把M 中的最小值称为函数f (x )的“上确界”．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1x 2＋1＋a (x ∈[－2,2])是奇函数，则f (x )的上确界为( )A ．2 B.95 C ．1 D.45 解析：因为函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝1＋a ＝0，解得a ＝－1.于是f (x )＝x 2＋2x ＋1x 2＋1－1＝2xx 2＋1.当0＜x ≤2时，f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x ≤1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立，所以M 的最小值为1.答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则不等式cx 2＋bx ＋a ＞c (2x －1)＋b 的解集为__________．解析：由题意可知a ＞0，且－2,1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－1，c a ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a ，c ＝－2a ，所以不等式cx 2＋bx ＋a ＞c (2x －1)＋b 可化为－2ax 2＋ax ＋a ＞－2a (2x －1)＋a ，整理得2x 2－5x ＋2＜0，解得12＜x ＜2.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 14．已知三个不等式：①ab ＞0；②c a ＞d b ；③bc ＞ad .以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成__________个正确命题．解析：此题共可组成三个命题即①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①.若ab ＞0，c a ＞d b ，则c a －d b ＝bc －adab ＞0，得bc －ad ＞0，即可得命题①②⇒③正确；若ab ＞0，bc －ad ＞0，则bc －ad ab ＝c a －d b ＞0，得c a ＞db ，即命题①③⇒②正确；若bc －ad ＞0，c a ＞d b ，则c a －d b ＝bc －adab ＞0，得ab ＞0，即命题②③⇒①正确．综上可得正确的命题有3个．答案：315．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，12x 2－ln x －a ≥0”与命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0－8－6a ＝0”都是真命题，则实数a 的取值范围是__________．解析：若p 真，则∀x ∈[1,2]，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x min≥a ，解得，a ≤12；若q 真，则(2a )2－4×(－8－6a )＝4(a ＋2)·(a ＋4)≥0，解得a ≤－4或a ≥－2.所以实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12.答案：(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，1216．已知命题p ：不等式xx －1＜0的解集为{x |0＜x ＜1}；命题q ：在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”成立的必要不充分条件．有下列四个结论：①p 真q 假；②“p ∧q ”为真；③“p ∨q ”为真；④p 假q 真，其中正确结论的序号是__________．(请把正确结论的序号都填上)解析：解不等式知，命题p 是真命题，在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的充要条件，所以命题q 是假命题，∴①正确，②错误，③正确，④错误．答案：①③三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋x ，若对任意x 1，x 2∈R ，恒有2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≤f (x 1)＋f (x 2)成立，不等式f (x )＜0的解集为A . (1)求集合A ；(2)设集合B ＝{x ||x ＋4|＜a }，若集合B 是集合A 的子集，求a 的取值范围．解析：(1)对任意的x 1, x 2∈R ，由f (x 1)＋f (x 2)－2f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝12a (x 1－x 2)2≥0成立，要使上式恒成立，所以a ≥0.由f (x )＝ax 2＋x 是二次函数知a ≠0，故a ＞0.(3分)由f (x )＝ax 2＋x ＝ax ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1a ＜0，解得A ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1a ，0.(6分)(2)解得B ＝(－a －4，a －4)，因为集合B 是集合A 的子集，所以a －4≤0，且－a －4≥－1a .化简得a 2＋4a －1≤0，解得0＜a ≤－2＋ 5. (10分)18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a . (1)当a ＝12时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若对于任意的x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，求实数a 的取值范围．解析：(1)当a ＝12时，f (x )＝x 2＋2x ＋12，则f (x )＞1的解集为{x |x ＞－1＋62或x ＜－1－62}．(4分)(2)若对于任意的x ∈[1，＋∞)，x 2＋2x ＋a ＞0恒成立，则a ＞－x 2－2x 在x ∈[1，＋∞)上恒成立．(6分)令g (x )＝－x 2－2x ，x ∈[1，＋∞)，则g (x )的对称轴为x ＝－1，又x ∈[1，＋∞)， (8分)则当x ＝1时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝－3， (10分)所以a ＞－3.(12分)19．(本小题满分12分)设命题p ：函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫a －32x 是R 上的减函数，命题q ：函数f (x )＝x 2－4x ＋3在[0，a ]上的值域为[－1,3]，若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求a 的取值范围．解析：由0＜a －32＜1，得32＜a ＜52.(2分)若f (x )＝(x －2)2－1在[0，a ]上的值域为[－1,3]，则2≤a ≤4.(4分) ∵“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题， ∴p 、q 中一真一假，若p 真q 假，得32＜a ＜2，(6分) 若p 假q 真，得52≤a ≤4，(8分)综上，a 的取值范围是32＜a ＜2或52≤a ≤4. (12分)20．(本小题满分12分)已知命题p ：A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，命题q ：B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值；(2)若p 是綈q 的充分条件，求实数m 的取值范围．解析：(1)由已知得：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(2分)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －2＝0，m ＋2≥3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，m ≥1，∴m ＝2.(7分)(2)∵p 是綈q 的充分条件，∴A ⊆∁R B ，而∁R B ＝{x |x ＜m －2或x ＞m ＋2}， ∴m －2＞3或m ＋2＜－1， ∴m ＞5或m ＜－3.(12分)21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝kx ＋b 的图像过点(2,1)，且方向向量v ＝(1，－1)．若不等式f (x )≥x 2＋x －5的解集为A ，且A ⊆(－∞，a ]．(1)求a 的取值范围；(2)解不等式x 2－(a ＋3)x ＋2a ＋3f (x )＜1.解析：(1)∵直线的方向向量v ＝(1，－1)， ∴k ＝－1，由点斜式可得f (x )＝3－x . 由f (x )≥x 2＋x －5，得x 2＋2x －8≤0， ∴解得A ＝{x |－4≤x ≤2}，又A ⊆(－∞，a ]，∴a ≥2即可， ∴a 的取值范围是[2，＋∞)．(5分)(2)由x 2－(a ＋3)x ＋2a ＋3f (x )－1＝x 2－(a ＋2)x ＋2a 3－x ＝(x －2)(x －a )3－x ＜0，得(x －2)(x －a )(x －3)＞0且x ≠3.(6分) ①当a ＝2时，x ＞3；②当2＜a ＜3时，x ＞3或2＜x ＜a ； ③当a ＝3时，x ＞2且x ≠3； ④当a ＞3时，x ＞a 或2＜x ＜3.(10分)综上，当a ＝2时，不等式的解集为(3，＋∞)；当2＜a ≤3时，不等式的解集为(2，a )∪(3，＋∞)；当a ＞3时，不等式的解集为(2,3)∪(a ，＋∞)．(12分)22．(本小题满分12分)设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x 2－(2m ＋1)x ＋2m ＜0}．(1)当m ＜12时，化简集合B ；(2)若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围；(3)若(∁R A )∩B 中只有一个整数，求实数m 的取值范围．解析：(1)B ＝{x |(x －1)(x －2m )＜0}，(1分)当m ＜12时，2m ＜1，∴集合B ＝{x |2m ＜x ＜1}．(3分)(2)若A ∪B ＝A ，则B ⊆A .(4分)A ＝{x |－1≤x ≤2}，①当m ＜12时，B ＝{x |2m ＜x ＜1}，此时－1≤2m ，∴－12≤m ＜12；②当m ＝12时，B ＝∅，B ⊆A 成立；③当m ＞12时，B ＝{x |1＜x ＜2m }，此时2m ≤2，∴12＜m ≤1.综上所述，所求m 的取值范围是－12≤m ≤1.(8分)(3)∵A ＝{x |－1≤x ≤2}， ∴∁R A ＝{x |x ＜－1或x ＞2}，(9分)①当m ＜12时，B ＝{x |2m ＜x ＜1}，若(∁R A )∩B 中只有一个整数，则－3≤2m ＜－2，∴－32≤m ＜－1；②当m ＝12时，B ＝∅，不符合题意； ③当m ＞12时，B ＝{x |1＜x ＜2m }，若(∁R A )∩B 中只有一个整数，则3＜2m ≤4，∴32＜m ≤2.综上，m 的取值范围是－32≤m ＜－1或32＜m ≤2.(12分)。

【状元之路】(新课标通用版)2015届高考数学一轮复习 10-3圆的方程同步检测(2)文

【状元之路】（新课标，通用版）2015届高考数学一轮复习 10-3圆的方程同步检测（2）文一、选择题1．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析：由(a －1)x －y ＋a ＋1＝0得a (x ＋1)－(x ＋y －1)＝0， ∴直线恒过定点(－1,2)，∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0. 答案：C2．过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4解析：由题意得线段AB 的中点C 的坐标为(0,0)，直线AB 的斜率为k AB ＝－1，则过点C 且垂直于AB 的直线方程y ＝x ，圆心坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －2＝0，得y ＝x ＝1，从而圆的半径为－2＋[1－－2＝2，因此，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 答案：C3．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1 D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：设点(x ，y )与圆C 1的圆心(－1,1)关于直线x －y －1＝0对称，则⎩⎪⎨⎪⎧y －1x ＋1＝－1，x －12－y ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.从而可知圆C 2的圆心为(2，－2)，又知其半径为1，故所求圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 答案：B4．若直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交，则P (a ，b )( ) A ．在圆上 B ．在圆外 C ．在圆内 D ．以上都有可能解析：由已知条件1a 2＋b2<1，即a 2＋b 2>1.因此点P (a ，b )在圆外．答案：B5. 已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值为( ) A ．8 B ．－4 C ．6D ．无法确定解析：圆上存在关于直线x －y ＋3＝0对称的两点，则x －y ＋3＝0过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，0，即－m2＋3＝0，∴m ＝6. 答案：C6．将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0解析：要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A ，B ，C ，D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心．答案：C7．圆心在y 轴上且通过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0解析：设圆心为(0，b )，半径为R ，则R ＝b ，圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2. ∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b )2＝b 2，解得b ＝5， ∴圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0. 答案：B8．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆 x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是( )A ．3－ 2B ．3＋ 2C ．3－22D.3－22解析：l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的距离d ＝|3|2＝32，∴AB 边上的高的最小值为32－1，∴S min ＝12×(22)×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝3－ 2 .答案：A9．若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by －4＝0对称，则a 2＋b 2的最小值是( ) A ．2 B. 3 C. 2D ．1解析：由题意知圆心(－1,2)在直线2ax ＋by －4＝0上，则有－2a ×1＋2b －4＝0，∴b －a ＝2. 方法一：a 2＋b 2的几何意义是原点与直线b －a ＝2上点的距离的平方，再利用点到直线的距离公式易得点(0,0)到直线b －a ＝2的距离为d ＝2，则a 2＋b 2的最小值为2.方法二：a 2＋b 2＝a 2＋(a ＋2)2＝2a 2＋4a ＋4＝2(a ＋1)2＋2≥2.当a ＝－1时等号成立，故a 2＋b 2的最小值为2.答案：A10．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )A.95 B ．1 C.45D.135解析：圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45. 答案：C 二、填空题11．若圆x 2＋y 2－4x ＋2my ＋m ＋6＝0与y 轴的两交点A ，B 位于原点的同侧，则实数m 的取值范围是__________．解析：令x ＝0，可得y 2＋2my ＋m ＋6＝0，由题意知，此方程有两个不相等且同号的实数根，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋6>0，4m 2－m ＋，解得－6<m <－2或m >3.答案：－6<m <－2或m >312．已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是__________．解析：过点M 的最短弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2,1)，∵k CM ＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－1(x －1)，即x ＋y －1＝0. 答案：x ＋y －1＝013．若圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点(x ，y )都使不等式x ＋y ＋m ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是__________．解析：据题意圆x 2＋(y －1)2＝1上所有的点都在直线x ＋y ＋m ≥0的右上方． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ≥0，|1＋m |2≥1.∴m 的取值范围是m ≥－1＋ 2. 答案：m ≥－1＋ 214．已知A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是圆x 2＋y 2＝2上两点，O 为坐标原点，且∠AOB ＝120°，则x 1x 2＋y 1y 2＝__________.解析：O A →＝(x 1，y 1)，O B →＝(x 2，y 2)，〈O A →，O B →〉＝120°，则x 1x 2＋y 1y 2＝O A →·O B →＝|O A →|·|O B →|cos120°＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝－1. 答案：－1 三、解答题15．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解析：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)， ∴直线CD 的方程为y －2＝－( x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①又直径|CD |＝410，∴|PA |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2，∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)， ∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或 (x －5)2＋(y ＋2)2＝40. 答案：(1)x ＋y －3＝0；(2)(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.16．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)设圆心为C (a ，b )，由OC 与直线y ＝x 垂直，知O 、C 两点的斜率k OC ＝ba＝－1，故b ＝－a ，又|OC |＝22，即a 2＋b 2＝22，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.结合点C (a ，b )位于第二象限知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2.故圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8. (2)假设存在Q (m ，n )符合题意，则⎩⎪⎨⎪⎧m －2＋n 2＝42，m 2＋n 2≠0，m ＋2＋n －2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝45，n ＝125.故圆C 上存在异于原点的点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，125符合题意．答案：(1) (x ＋2)2＋(y －2)2＝8；(2)存在，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，125.创新试题教师备选教学积累资源共享1．[2014·常州模拟]以双曲线x 26－y 23＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋y 2＝1 B ．(x －3)2＋y 2＝3 C ．(x －3)2＋y 2＝3D ．(x －3)2＋y 2＝9解析：双曲线的渐近线方程为x ±2y ＝0，其右焦点为(3,0)，所求圆半径r ＝|3|12＋22＝3，所求圆方程为(x －3)2＋y 2＝3.答案：B2．由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT (T 为切点)，当|PT |最小时，点P 的坐标是( )A ．(－1,1)B ．(0,2)C ．(－2,0)D ．(1,3)解析：根据切线长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系，可知|PT |＝|PC |2－1，故|PT |最小时，即|PC |最小，此时PC 垂直于直线y ＝x ＋2，则直线PC 的方程为y ＋2＝－(x －4)，即y ＝－x ＋2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，y ＝－x ＋2，解得点P 的坐标为(0,2)．答案：B3．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2解析：由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)，半径是10，且点E (0,1)位于该圆内，故过点E (0,1)的最短弦长|BD |＝210－2＋22＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E (0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC |＝210，且AC ⊥BD ，因此四边形ABCD 的面积等于12|AC |×|BD |＝12×210×25＝10 2.答案：B4．如果三角形三个顶点分别是O (0,0)，A (0,15)，B (－8,0)，则它的内切圆方程为__________．解析：因为△AOB 是直角三角形，所以内切圆半径为r ＝|OA |＋|OB |－|AB |2＝15＋8－172＝3，圆心坐标为(－3,3)，故内切圆方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝9.答案：(x ＋3)2＋(y －3)2＝95．[2014·河南三市调研]已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为__________．解析：设所求圆的半径是R ，依题意得，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋－2＝1，则R 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝10，因此圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10.答案：x 2＋(y －1)2＝106．[2014·吉林摸底]已知关于x ，y 的方程C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0. (1)当m 为何值时，方程C 表示圆；(2)在(1)的条件下，若圆C 与直线l ：x ＋2y －4＝0相交于M 、N 两点，且|MN |＝455，求m 的值．解析：(1)方程C 可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，显然只要5－m ＞0，即m ＜5时方程C 表示圆． (2)因为圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，其中m ＜5，所以圆心C (1,2)，半径r ＝5－m ，则圆心C (1,2)到直线l ：x ＋2y －4＝0的距离为d ＝|1＋2×2－4|12＋22＝15，因为|MN |＝455，所以12|MN |＝255，所以5－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2552，解得m ＝4.答案：(1)m ＜5；(2)4.。

【状元之路】(新课标通用版)2015届高考数学一轮复习 10-1直线的倾斜角与斜率、直线的方程同步

【状元之路】（新课标，通用版）2015届高考数学一轮复习 10-1直线的倾斜角与斜率、直线的方程同步检测（2）文一、选择题1．直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π2所得的直线方程是( )A ．x －2y ＋4＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．x －2y －4＝0D ．x ＋2y ＋4＝0解析：直线2x －y －2＝0与y 轴交点为A (0，－2)，所求直线过A 且斜率为－12，故所求直线方程为y ＋2＝－12(x －0)，即x ＋2y ＋4＝0 .答案：D2．如图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2解析：直线l 1的斜率角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2，故选D.答案：D3．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1 解析：由题意得a ＋2＝a ＋2a，∴a ＝－2或a ＝1. 答案：D4．过两点(－1,1)和(0,3)的直线在x 轴上的截距为( )A ．－32 B.32C ．3D ．－3解析：过两点(－1,1)和(0,3)的直线方程为y －13－1＝x －－10－－1，即y ＝2x ＋3，令y ＝0得x ＝－32，即为所求．答案：A5．已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1解析：线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0代入直线x ＋2y －2＝0中，得m ＝3.答案：C6．若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(－1,2) D ．(－1，－2)解析：因为k ，－1，b 三个数成等差数列，所以k ＋b ＝－2，即b ＝－2－k ，于是直线方程化为y ＝kx －k －2，即y ＋2＝k (x －1)，故直线必过定点(1，－2)．答案：A7．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab ＞0，bc ＜0 B ．ab ＞0，bc ＞0 C ．ab ＜0，bc ＞0 D ．ab ＜0，bc ＜0解析：由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－ab x －c b ，易知－a b ＜0且－c b＞0，故ab ＞0，bc ＜0.答案：A8．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0 (θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的X 围是( ) A ．[0，π) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4解析：当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2；当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1cos θ.∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0，∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4.由上知，倾斜角的X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，故选C. 答案：C9．设点A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值X 围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，43 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－43∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞解析：直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M (0，－2)，且斜率为－a ， ∵k MA ＝3－－2－2－0＝－52，k MB ＝2－－23－0＝43，由图可知：－a >－52且－a <43，∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52. 答案：B10．直线Ax ＋By －1＝0在y 轴上的截距是－1，而且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．A ＝3，B ＝1 B ．A ＝－3，B ＝－1C ．A ＝3，B ＝－1D ．A ＝－3，B ＝1解析：将直线Ax ＋By －1＝0化成斜截式y ＝－A Bx ＋1B.∵1B＝－1，∴B ＝－1，故排除A 、D.又直线3x －y ＝33的倾斜角α＝π3，∴直线Ax ＋By －1＝0的倾斜角为2α＝2π3，∴斜率－A B ＝tan 2π3＝－3，∴A ＝－ 3.答案：B 二、填空题11．直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P 、Q 两点，线段PQ 中点是(1，－1)，则l 的斜率是__________．解析：设P (m,1)，则Q (2－m ，－3)， ∴(2－m )＋3－7＝0， ∴m ＝－2，∴P (－2,1)， ∴k ＝1＋1－2－1＝－23.答案：－2312．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是__________．解析：直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1，设P (x ，y )，则x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3. 即当P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，xy 取最大值3. 答案：313．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值X 围是__________．解析：k ＝tan α＝2a －1＋a 3－1－a ＝a －1a ＋2. ∵α为钝角，∴a －1a ＋2＜0，即(a －1)(a ＋2)＜0，故－2＜a ＜1.答案：(－2,1)14. 若ab >0，且A (a,0)、B (0，b )、C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为__________．解析：根据A (a,0)、B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y b＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a＋－2b＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号．即ab 的最小值为16. 答案：16 三、解答题15．已知两点A (－1,2)，B (m,3)． (1)求直线AB 的方程； (2)已知实数m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值X 围．解析：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1；当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)． (2)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，m ＋1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪(0，3]， ∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞， ∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3.综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.答案：(1)m ＝－1时，x ＝－1；m ≠－1时，y －2＝1m ＋1(x ＋1)；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.16．过点P (3,0)作一直线，使它夹在两直线l 1：2x －y －2＝0与l 2：x ＋y ＋3＝0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程．解析：设点A (x ，y )在l 1上，点B (x B ，y B )在l 2上．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋xB 2＝3，y ＋yB2＝0，则点B (6－x ，－y )，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，6－x ＋－y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝113，y ＝163，则k ＝163－0113－3＝8. 故所求的直线方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. 答案：8x －y －24＝0.创新试题教师备选教学积累资源共享1．过点M (3，－4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为__________．解析：①当过原点时，直线方程为y ＝－43x ；②当不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a .代入点(3，－4)，得a ＝7. 即直线方程为x －y －7＝0. 答案：y ＝－43x 或x －y －7＝02．[2014·某某检测]已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为__________．解析：直线方程可化为x2＋y ＝1，故直线与x 轴的交点为A (2,0)，与y 轴的交点为B (0,1)，由动点P (a ，b )在线段AB 上，可知0≤b ≤1，且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，故ab ＝(2－2b )b ＝－2b 2＋2b ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122＋12，由于0≤b ≤1，故当b ＝12时，ab 取得最大值12.答案：123．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为__________．解析：设所求直线的方程为x a ＋y b＝1，∵A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b＝1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |·|b |＝1.② 由①②可得(1)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，ab ＝2或(2)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，ab ＝－2.由(1)解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解．故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程．答案：x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝04．已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点如图，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．解析：设A (a,0)，B (0，b )，(a ＞0，b ＞0)，则直线l 的方程为x a ＋y b＝1， ∵l 过点P (3,2)，∴3a ＋2b＝1.∴1＝3a ＋2b ≥26ab，即ab ≥24.∴S △ABO ＝12ab ≥12.当且仅当3a ＝2b ，即a ＝6，b ＝4时，△ABO 的面积最小，最小值为12. 此时直线l 的方程为x 6＋y4＝1.即2x ＋3y －12＝0. 答案：2x ＋3y －12＝0。

【状元之路】2015高考数学(人教A版,文)一轮开卷速查：1-2命题及其关系、充分条件与必要条件

开卷速查规范特训课时作业实效精炼开卷速查(02) 命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题 B ．命题“x ＞1，则x 2＞1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2＞0，则x ＞1”的逆否命题解析：对于A ，其逆命题是：若x ＞|y |，则x ＞y ，是真命题，这是因为x ＞|y |≥y ，必有x ＞y ；对于B ，否命题是：若x ≤1，则x 2≤1，是假命题．如x ＝－5，x 2＝25＞1；对于C ，其否命题是：若x ≠1，则x 2＋x －2≠0，由于x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，所以是假命题；对于D ，若x 2＞0，则x ＞0或x ＜0，不一定有x ＞1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题，故选A.答案：A2．设a ，b ∈R ，则“a ＞0，b ＞0”是“a ＋b2＞ab ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a ＞0，b ＞0不能得知a ＋b 2＞ab ，如取a ＝b ＝1时，a ＋b2＝ab ；由a ＋b 2＞ab 不能得知a ＞0，b ＞0，如取a ＝4，b ＝0时，满足a ＋b2＞ab ，但b ＝0.综上所述，“a ＞0，b ＞0”是“a ＋b2＞ab ”的既不充分也不必要条件，故选D.答案：D3．已知p：“a＝2”，q：“直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切”，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切得，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离等于圆的半径，即有|a|2＝1，a＝±2.因此，p是q的充分不必要条件，故选A.答案：A4．方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是()A．0＜a≤1 B．a＜1C．a≤1 D．0＜a≤1或a＜0解析：方法一(直接法)当a＝0时，原方程变形为一元一次方程2x＋1＝0，有一个负实根；当a≠0时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是Δ＝4－4a≥0，即a≤1.设两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－2a，x1x2＝1a，当有一负实根时，⎩⎨⎧a≤1，1a＜0⇒a＜0；有两个负实根时，⎩⎪⎨⎪⎧a≤1，－2a＜0，1a＞0⇒0＜a≤1.综上所述，a≤1.方法二：(排除法)当a＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A、D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B，所以选C.答案：C5．对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图像关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，所以|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，故y＝|f(x)|的图像关于y轴对称，但若y＝|f(x)|的图像关于y轴对称，如y＝f(x)＝x2，而它不是奇函数，故选B.答案：B6．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，则“A＜B”是“cos2A＞cos2B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由大边对大角可知，A＜B⇔a＜b.由正弦定理可知asin A＝bsin B，故a＜b⇔sin A＜sin B.而cos2A＝1－2sin2A，cos2B＝1－2sin2B，又sin A＞0，sin B＞0，所以sin A＜sin B⇔cos2A＞cos2B.所以a＜b⇔cos2A＞cos2B，即“A＜B”是“cos2A＞cos2B”的充要条件，故选C.答案：C7．命题p：|x＋2|＞2；命题q：13－x＞1，则綈q是綈p的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：解|x＋2|＞2，即x＋2＜－2或x＋2＞2，得x＜－4或x＞0，所以p：x＜－4或x＞0，故綈p：－4≤x≤0；解13－x＞1，得2＜x＜3，所以q ：2＜x ＜3，綈q ：x ≤2或x ≥3.显然{x |－4≤x ≤0}{x |x ≤2，或x ≥3}，所以綈q 是綈p 的必要不充分条件，故选B.答案：B8．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“f (x )为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的( )A ．既不充分也不必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．充要条件解析：∵x ∈[0,1]时，f (x )是增函数，又∵y ＝f (x )是偶函数， ∴x ∈[－1,0]时，f (x )是减函数．当x ∈[3,4]时，x －4∈[－1,0]，∵T ＝2， ∴f (x )＝f (x －4)．∴x ∈[3,4]时，f (x )是减函数，充分性成立．反之，x ∈[3,4]时，f (x )是减函数，x －4∈[－1,0]，∵T ＝2，∴f (x )＝f (x －4)，∴x ∈[－1,0]时，f (x )是减函数．∵y ＝f (x )是偶函数，∴x ∈[0,1]时，f (x )是增函数，必要性亦成立．答案：D9．若“x ∈{3，a }”是不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[3，＋∞)C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪(3，＋∞) 解析：由2x 2－5x －3≥0得x ≤－12或x ≥3.∵x ∈{3，a }是不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件，又根据集合元素的互异性a ≠3，∴a ≤－12或a ＞3，故选D. 答案：D10．设a ＞0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：p ：“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”等价于0＜a ＜1.q ：“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”等价于2－a ＞0，即a ＜2.而{a |0＜a ＜1}是{a |a ＜2}的真子集，故选A.答案：A 二、填空题11．已知集合A ＝{x |y ＝lg(4－x )}，集合B ＝{x |x ＜a }，若P ：“x ∈A ”是Q ：“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________．解析：A ＝{x |x ＜4}，由题意得A B ，结合数轴易得a ＞4. 答案：(4，＋∞)12．若“x 2＞1”是“x ＜a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为__________．解析：由x 2＞1，得x ＜－1或x ＞1，又“x 2＞1”是“x ＜a ”的必要不充分条件，知由“x ＜a ”可以推出“x 2＞1”，反之不成立，所以a ≤－1，即a 的最大值为－1.答案：－113．下列命题：①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件；④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数．其中正确命题的序号是__________．解析：对于①，ac 2＞bc 2，c 2＞0，∴a ＞b 正确；对于②，sin30°＝sin150°A ⇒/30°＝150°，所以②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2A ⇒/A 2C 1，所以③正确；④显然正确．答案：①③④14．设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数．．根的充要条件是n ＝__________.解析：∵x 2－4x ＋n ＝0有整数根， ∴x ＝4±16－4n 2＝2±4－n ， ∴4－n 为某个整数的平方且4－n ≥0， ∴n ＝3或n ＝4.当n ＝3时，x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3；当n ＝4时，x 2－4x ＋4＝0，得x ＝2. ∴n ＝3或n ＝4. 答案：3或4 三、解答题15．已知p ：－x 2＋6x ＋16≥0，q ：x 2－4x ＋4－m 2≤0(m ＞0)． (1)若p 为真命题，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解析：(1)由－x 2＋6x ＋16≥0，解得－2≤x ≤8；所以当p 为真命题时，实数x 的取值范围为－2≤x ≤8.(2)方法一：若q 为真，可由x 2－4x ＋4－m 2≤0(m ＞0)，解得2－m ≤x ≤2＋m (m ＞0)．若p 是q 成立的充分不必要条件，则[－2,8]是[2－m ，2＋m ]的真子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，2－m ≤－2，2＋m ≥8(两等号不同时成立)，得m ≥6.所以实数m 的取值范围是m ≥6. 方法二：设f (x )＝x 2－4x ＋4－m 2(m ＞0)，若p 是q 成立的充分不必要条件，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，f (－2)≤0，f (8)≤0(两等号不同时成立)，解得m ≥6.所以实数m 的取值范围是m ≥6. 答案：(1)－2≤x ≤8；(2)m ≥6.16．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝{x |x －2x －(3a ＋1)＜0}，B ＝{x |x －a 2－2x －a ＜0}．(1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ；(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．解析：(1)当a ＝12时，A ＝{x |x －2x －52＜0}＝{x |2＜x ＜52}，B ＝{x |x －94x －12＜0}＝{x |12＜x ＜94}，所以∁U B ＝{x |x ≤12或x ≥94}，故(∁U B )∩A ＝{x |94≤x ＜52}．(2)∵a 2＋2＞a ，∴B ＝{x |a ＜x ＜a 2＋2}．①当3a ＋1＞2，即a ＞13时，A ＝{x |2＜x ＜3a ＋1}． ∵p 是q 的充分条件，∴A ⊆B .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ＋1≤a 2＋2，即13＜a ≤3－52. ②当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，符合题意； ③当3a ＋1＜2，即a ＜13时，A ＝{x |3a ＋1＜x ＜2}，由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2，∴－12≤a ＜13.综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3－52. 答案：(1){x |94≤x ＜52}；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3－52. 创新试题教师备选教学积累资源共享教师用书独具1．在命题p 的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，正确命题的个数记为f (p )，已知命题p ：“若两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0，l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，则a 1b 2－a 2b 1＝0”，那么f (p )＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：若两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0与l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，则必有a 1b 2－a 2b 1＝0，但当a 1b 2－a 2b 1＝0时，直线l 1与l 2不一定平行，还有可能重合，因此命题p 是真命题，但其逆命题是假命题，从而其否命题为假命题，逆否命题为真命题，所以在命题p 的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，有2个正确命题，即f (p )＝2，故选B.答案：B2．条件p ：π4＜α＜π2，条件q ：f (x )＝log tan αx 在(0，＋∞)内是增函数，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵f (x )＝log tan αx 在(0，＋∞)内是增函数，∴tan α＞1，得α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋k π，π2＋k π，k ∈Z ，而⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋k π，π2＋k π(k∈Z )．∴p 是q 的充分不必要条件，故选B. 答案：B3．“－3＜a ＜1”是“方程x 2a ＋3＋y 21－a ＝1表示椭圆”的__________条件．解析：方程表示椭圆时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＞0，1－a ＞0，a ＋3≠1－a ，解得－3＜a ＜1且a ≠－1，故“－3＜a ＜1”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．答案：必要不充分4．已知集合A ＝{x |⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x －6＜1}，B ＝{x |log 4(x ＋a )＜1}，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__________．解析：由⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x 2－x －6＜1，即x 2－x －6＞0，解得x ＜－2或x ＞3，故A ＝{x |x ＜－2，或x ＞3}；由log 4(x ＋a )＜1，即0＜x ＋a ＜4，解得－a ＜x ＜4－a ，故B ＝{x |－a ＜x ＜4－a }，由题意，可知B ⊆A ，所以4－a ≤－2或－a ≥3，解得a ≥6或a ≤－3.答案：(－∞，－3]∪[6，＋∞)5．已知不等式|x －m |＜1成立的充分不必要条件是13＜x ＜12，则m 的取值范围是__________．解析：由题意知：“13＜x ＜12”是“不等式|x －m |＜1”成立的充分不必要条件．所以{x |13＜x ＜12}是{x ||x －m |＜1}的真子集．而{x ||x －m |＜1}＝{x |－1＋m ＜x ＜1＋m }，所以有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ≤13，1＋m ≥12，解得－12≤m ≤43.所以m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，436．在“a ，b 是实数”的大前提之下，已知原命题是“若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集，则a 2－4b ≥0”，给出下列命题：①若a 2－4b ≥0，则不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集；②若a 2－4b ＜0，则不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是空集；③若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是空集，则a 2－4b ＜0；④若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集，则a 2－4b ＜0；⑤若a 2－4b ＜0，则不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集；⑥若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是空集，则a 2－4b ≥0.其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题和命题的否定的命题的序号依次是__________(按要求的顺序填写)．解析：“非空集”的否定是“空集”，“大于或等于”的否定是“小于”，根据命题的构造规则，题目的答案是①③②④.答案：①③②④7．设有两个命题p 、q .其中p ：对于任意的x ∈R ，不等式ax 2＋2x ＋1＞0恒成立；命题q ：f (x )＝(4a －3)x 在R 上为减函数．如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a 的取值范围是__________．解析：当a ＝0时，不等式为2x ＋1＞0，显然不能恒成立，故a ＝0不适合；当a ≠0时，不等式ax 2＋2x ＋1＞0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝22－4a ＜0，解得a ＞1.若命题q 为真，则0＜4a －3＜1，解得34＜a ＜1.由题意，可知p ，q 一真一假．当p 真q 假时，a 的取值范围是{a |a ＞1}∩{a |a ≤34或a ≥1}＝{a |a ＞1}；当p 假q 真时，a 的取值范围是{a |a ≤1}∩{a |34＜a ＜1}＝{a |34＜a ＜1}；综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1∪(1，＋∞)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1∪(1，＋∞) 8．已知集合M ＝{x |x ＜－3，或x ＞5}，P ＝{x |(x －a )·(x －8)≤0}．(1)求M∩P＝{x|5＜x≤8}的充要条件；(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5＜x≤8}的一个充分但不必要条件．解析：(1)由M∩P＝{x|5＜x≤8}，得－3≤a≤5，因此M∩P＝{x|5＜x≤8}的充要条件是－3≤a≤5；(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5＜x≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a|－3≤a≤5}中取一个值，如取a＝0，此时必有M∩P ＝{x|5＜x≤8}；反之，M∩P＝{x|5＜x≤8}未必有a＝0，故a＝0是M∩P ＝{x|5＜x≤8}的一个充分不必要条件．答案：(1)－3≤a≤5；(2)a＝0.。

2015年全国各省市高考文数——圆锥曲线(选择+填空+答案)

2015年全国各省市高考文数——圆锥曲线1.2015新课标1文数（5）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y ²=8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个焦点，则|AB|= （A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）122.2015安徽文数6下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2212y x -= （D ）2212x y -= 3.2015北京文数（2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（A ）22(1)(1)1x y -+-=（B ）22(1)(1)1x y +++=（C ）22(1)(1)2x y +++=（D ）22(1)(1)2x y -+-=4.2015重庆文数9.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12A ,A ,过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥,则双曲线的渐近线的斜率为(A) 12±(B) ±(C) 1± (D) 5.2015福建文数7.设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b ⊥c ，则实数k 的值等于A.23-B. 35-C.35D.23 6.2015天津文数6.如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N ，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE 的长为 (A) 83 (B) 3 (C) 103 (D) 527.2015浙江文数7、如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60 ，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB = ，则点P 的轨迹是（）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支8.2015广东文数8.已知椭圆222125x y m +=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（）A ．9B ．4C ．3D ．2 9.2015湖北文数9. 将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >10.2015湖南文数6若双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为54 C.43 D.5311.2015湖南文数9. 已知点,,A B C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为（2,0），则||PA PB PC ++的最大值为A.6B.7C.8D.9 12.2015陕西文数3. 已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（）A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(0,1)-D ．(0,1)13.2015四川文数7、过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于,A B 两点，则|AB|＝14.2015四川文数10、设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与圆222(5)(0)x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是(A)(1,3) (B)(1,4) (C)(2,3) (D)(2,4)15.2015天津文数5.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆()2223x y -+=相切，则双曲线的方程为(A)221913x y -= (B) 221139x y -= (C)2213x y -= (D) 2213y x -= 16.2015福建文数11. 已知椭圆E:12222=+by a x （a ＞b ＞0）的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l:3x-4y=0交椭圆E 于A,B 两点.若4=+BF AF ，点M 到直线l 的距离不小于54，则椭圆E 的离心率的取值范围是 A.⎥⎥⎦⎤⎝⎛230， B.⎥⎦⎤⎝⎛430， C.⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡123， D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,43 17.2015重庆文数12.若点P （1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为___________.118.2015湖南文数13. 若直线3450x y -+=与圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点，且120AOB ∠= （O 为坐标原点），则r =___________.19.2015山东文数（15）过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>> 的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P ，若点P 的横坐标为2a 则C 的离心率为 .20.2015上海文数7.抛物线)0(22>=p px y 上的懂点Q 到焦点的距离的最小值为1，则=p ___________.21.2015上海文数12.已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为1422=-y x ，若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为___________.22.2015浙江文数15、椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点()F ,0c 关于直线b y x c =的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是．23.2015北京文数（12）已知（2，0）是双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点，则b =________________24.2015新课标1文数（16）已知F 是双曲线C ：x 2-82y =1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A （0,66）.当△APF 周长最小是，该三角形的面积为25.2015年新课标II 文数15．已知双曲线过点，且渐近线方程为12y x =±，则该双曲线的标准方程为__________。

【状元之路】2015高考数学(人教A版,文)一轮阶段考查2 函数、导数及其应用

阶段考查(二)考查范围：函数、导数及其应用考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f(x)＝1lg x＋2－x的定义域为() A．(0,2]B．(0,2) C．(0,1)∪(1,2] D．(－∞，2]解析：f(x)＝1lg x＋2－x是复合函数，所以定义域要满足lg x≠0且2－x≥0，所以0＜x≤2且x≠1.答案：C2．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()A．y＝lg 1－x1＋xB．y＝x＋1xC．y＝tan x D．y＝1 x解析：对于选项B、C、D，其在定义域内是奇函数，但不是减函数．答案：A3．已知a＝log132，b＝log23，c＝⎝⎛⎭⎪⎫120.3，则a，b，c大小关系是()A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a解析：a＝log132＝－log32＜0，b＝log23＞log22＝1，c＝⎝⎛⎭⎪⎫120.3＜⎝⎛⎭⎪⎫120＝1，所以b＞c＞a.答案：D4．函数f(x)＝12x 2－ln x 的单调递减区间是( ) A ．(－1,1)B ．(0,1]C ．(－∞，－1)∪(0,1)D ．(0,1)解析：f(x)＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝x －1x ＝x 2－1x ，∴由f ′(x)≤0得0＜x ≤1.∴函数f(x)＝12x 2－ln x 的单调递减区间为(0,1]．答案：B5．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3－x ＋1，x ≤0，则f[f(1)]＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值是( )A ．5B ．3C ．－1D .72解析：f(1)＝log 21＝0，f[f(1)]＝f(0)＝3－0＋1＝2，∵log 312＜0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312＝3－log 312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3，∴f[f(1)]＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312＝5.答案：A6．已知f(x)＝a x －2，g(x)＝log a |x|(a ＞0，a ≠1)，若f(4)·g(－4)＜0，则y ＝f(x)，y ＝g(x)在同一坐标系内的大致图像是( )ABCD解析：∵f(4)·g(－4)＜0，∴a2·log a4＜0，∴log a4＜0，∴0＜a＜1.依据对数函数、指数函数的性质可知选项B正确．答案：B7．若函数f(x)＝x3－32ax2＋a在R上存在三个零点，则实数a的取值范围是()A．a＞ 2 B．a＜－ 2 C．a＞2或a＜－ 2 D．a＜－1解析：f ′(x )＝3x 2－3ax ＝3x (x －a )＝0，有两个根x 1＝0，x 2＝a .∵函数f (x )＝x 3－32ax 2＋a 在R 上存在三个零点，∴a ≠0且这个函数f (x )的极大值一定要大于0，极小值一定要小于0，即f (0)f (a )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a 3＋a ＜0，解得a ＞2或a ＜－ 2.答案：C8．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则ab 的值为( )A.13B.23 C ．－23D ．－13解析：设曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率为k ，则k ＝f ′(1)＝3，因为直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，所以ab ＝－13.答案：D9．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3m ，x ∈[0，＋∞)，若f (x )＋5≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥19 B ．m ＞19 C ．m ≤29D ．m ＜29解析：f ′(x )＝x 3－4x ，x ∈[0，＋∞)，令f ′(x )＝x (x －2)(x ＋2)＝0，则f (x )在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的最小值为f (2)＝13×23－2×22＋3m ＝－163＋3m ，要使f (x )＋5≥0恒成立，则f (2)＋5＝－163＋3m＋5＝－13＋3m ≥0，解得m ≥19.答案：A10．已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m 、n 满足m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则m 、n 的值分别为( )A.12、2 B.14、2 C.22、 2D.14、4解析：由题意得－log 2m ＝log 2n ，1m ＝n,0＜m ＜1，n ＞1.∵函数f (x )＝|log 2x |在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，0＜m 2＜1，n ＞1，∴f (x )在区间[m 2，n ]上的最值在端点处取得，∴|log 2m 2|＝2或log 2n ＝2.当|log 2m 2|＝2时，1m 2＝4，结合n ＝1m ，解得n ＝2，m ＝12，满足条件；当log 2n ＝2时，n ＝4，则m ＝14，此时，f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为|log 2116|＝4，不满足条件．综上，n ＝2，m ＝12.答案：A11．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f ′(x )＞0，且f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，则不等式f (x )＜0的解集为( ) A ．{x |x ＜12} B ．{x |0＜x ＜12}C ．{x |x ＜－12或0＜x ＜12}D．{x|－12≤x≤0或x≥12}解析：由题意可画草图，如图所示，根据图像得不等式f(x)＜0的解集为{x|x＜－12或0＜x＜12}．答案：C12．函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)＞1，则不等式e x·f(x)＞e x＋1的解集为()A．{x|x＞0}B．{x|x＜0}C．{x|x＜－1或x＞1}D．{x|x＜－1或0＜x＜1}解析：构造函数g(x)＝e x·f(x)－e x，因为g′(x)＝e x·f(x)＋e x·f′(x)－e x＝e x[f(x)＋f′(x)]－e x＞e x－e x＝0，所以g(x)＝e x·f(x)－e x为R上的增函数．又因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)＞g(0)，解得x＞0.答案：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0的解集为__________．解析：由f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＞0得[f (x )g (x )]′＞0，所以F (x )＝f (x )g (x )在(－∞，0)上是增函数．又f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以F (x )＝f (x )g (x )在R 上为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数．因为g (－3)＝0，所以F (－3)＝0，F (3)＝0.当x ＜0时，f (x )g (x )＜0的解集为(－∞，－3)；当x ＞0时，不等式f (x )g (x )＜0的解集为(0,3)．综上，不等式的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．答案：(－∞，－3)∪(0,3)14．若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值为__________．解析：由题意，f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ， ∵f (x )在x ＝1处有极值，∴12－2a －2b ＝0，∴a ＋b ＝6.∵a ＞0，b ＞0，∴ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，∴ab 的最大值为9.答案：915．已知函数f (x )＝ln x －a ，若f (x )＜x 2在(1，＋∞)上恒成立，则实数a 的取值范围是__________．解析：∵函数f (x )＝ln x －a ，且f (x )＜x 2在(1，＋∞)上恒成立，∴函数f (x )＝ln x －a ＜x 2在(1，＋∞)上恒成立，∴a ＞ln x －x 2，令h (x )＝ln x －x 2，有h ′(x )＝1x －2x ，∵x ＞1，∴1x －2x ＜0，∴h (x )在(1，＋∞)上为减函数，∴当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＜h (1)＝－1，∴a ≥－1.答案：[－1，＋∞)16．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意x ∈R ，都有f (x )＝f (x ＋4)，当x ∈(－2,0)时，f (x )＝2x ，则f (2 012)－f (2 013)＝__________.解析：由题意，函数f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.∵对任意x ∈R ，都有f (x )＝f (x ＋4)，∴函数的最小正周期为4，∴f (2 012)＝f (4×503)＝f (0)＝0.∵当x ∈(－2,0)时，f (x )＝2x ，∴f (－1)＝12，f (1)＝－12，∴f (2 013)＝f (4×503＋1)＝f (1)＝－12， ∴f (2 012)－f (2 013)＝12. 答案：12三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像过点(0,1)和(1,4)，且对于任意的实数x ，不等式f (x )≥4x 恒成立．(1)求函数f (x )的表达式；(2)设g (x )＝kx ＋1，若F (x )＝log 2[g (x )－f (x )]在区间[1,2]上是增函数，求实数k 的取值范围．解析：(1)f (0)＝c ＝1，f (1)＝a ＋b ＋c ＝4， ∴f (x )＝ax 2＋(3－a )x ＋1，f (x )≥4x 即ax 2－(a ＋1)x ＋1≥0恒成立得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，(a ＋1)2－4a ≤0，解得a ＝1， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋1.(4分) (2)F (x )＝log 2[g (x )－f (x )] ＝log 2[－x 2＋(k －2)x ]．由F (x )在区间[1,2]上是增函数，得h (x )＝－x 2＋(k －2)x 在区间[1,2]上为增函数且恒为正实数，∴⎩⎨⎧k －22≥2，h (1)＝－1＋k －2＞0，解得k ≥6，∴实数k 的取值范围为k ≥6.(10分)18．(本小题满分12分)设a ∈R ，函数f (x )＝(x 2－ax －a )e x . (1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在[－2,2]上的最小值．解析：(1)f ′(x )＝(2x －a )e x ＋(x 2－ax －a )e x ＝(x ＋2)(x －a )e x .(2分)当a ＝1时，f ′(0)＝－2，f (0)＝－1.(3分)所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －(－1)＝－2x ，即2x ＋y ＋1＝0.(4分)(2)令f ′(x )＝0，解得x ＝－2或x ＝a .(5分)当a ≥2时，在区间(－2,2)内，f ′(x )＜0，则函数f (x )在(－2,2)上单调递减，所以当x ＝2时，函数f (x )取得最小值，最小值为f (2)＝(4－3a )e 2.(7分) 当－2＜a ＜2时，在区间(－2,2)内，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↘) 当a ≤－2时，在区间(－2,2)内，f ′(x )＞0，函数f (x )在(－2,2)上单调递增，所以当x ＝－2时，函数f (x )取得最小值，最小值为f (－2)＝(4＋a )e －2.(11分)综上，当a ≤－2时，f (x )的最小值为(4＋a )e －2；当－2＜a ＜2时，f (x )的最小值为－a ·e a ；当a ≥2时，f (x )的最小值为(4－3a )e 2.(12分)19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a x ，g (x )＝log a (2x ＋m －2)，其中x ∈[1,2]，a ＞0且a ≠1，m ∈R .(1)当m ＝4时，若函数F (x )＝f (x )＋g (x )有最小值2，求a 的值； (2)当0＜a ＜1时，f (x )≥2g (x )恒成立，求实数m 的取值范围．解析：(1)由题意，m ＝4时，F (x )＝f (x )＋g (x )＝log a x ＋log a (2x ＋2)＝log a (2x 2＋2x )．(2分)又x ∈[1,2]，则2x 2＋2x ∈[4,12]．(4分) 而函数F (x )＝f (x )＋g (x )有最小值2，∴a ＞1，由log a 4＝2得a ＝2.(5分)(2)由题意，0＜a ＜1时，⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤2，2x ＋m －2＞0，log a x ≥log a (2x ＋m －2)2⇒⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤2，m ＞2－2x x ≤(2x ＋m －2)2⇒⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤2，m ＞0，4x 2＋(4m －9)x ＋(m －2)2≥0.(7分)令h (x )＝4x 2＋(4m －9)x ＋(m －2)2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫98－m 22＋(m －2)2－(9－4m )216. (ⅰ)当0＜m ＜14时，1＜98－m 2＜98＜2，函数h (x )min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫98－m 2＝(m －2)2－(9－4m )216≥0⇒m 无解；(9分)(ⅱ)当m ≥14时，函数h (x )在x ∈[1,2]上单调递增，则h (x )min ＝h (1)＝m 2－1≥0⇒m ≥1.(11分)综上，实数m 的取值范围为[1，＋∞)．(12分)20．(本小题满分12分)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )．当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)；当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)，每件商品售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解析：(1)由题意可得L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0.05×1 000x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋10x ＋250，0＜x ＜80，0.05×1 000x －⎝ ⎛⎭⎪⎫51x ＋10 000x －1 450＋250，x ≥80＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋40x －250，0＜x ＜80，1 200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x ，x ≥80.(5分)(2)当0＜x ＜80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950， ∴当x ＝60时，L (x )取得最大值，且L (60)＝950. (8分) 当x ≥80时， L (x )＝1 200－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x ≤1 200－2x ·10 000x ＝1 200－200＝1 000，∴当且仅当x ＝10 000x ，即x ＝100时，L (x )取得最大值，且L (100)＝1 000＞950.(11分)综上所述，当x ＝100时，L (x )取得最大值1 000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．(12分)21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x ＋2x ＋a ln x ，a ∈R . (1)若函数f (x )在[1，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)记函数g (x )＝x 2[f ′(x )＋2x －2]，若g (x )的最小值是－6，求函数f (x )的解析式．解析：(1)依题意f ′(x )＝2－2x 2＋ax ≥0，即a ≥2x －2x 在[1，＋∞)上恒成立，即a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2x max .(2分) 令h (x )＝2x －2x ，x ∈[1，＋∞)， ∵h ′(x )＝－2x 2－2＜0恒成立， ∴h (x )在[1，＋∞)上单调递减， h (x )max ＝h (1)＝0， ∴a ≥0.(5分)(2)∵f ′(x )＝2－2x 2＋ax ， ∴g (x )＝2x 3＋ax －2，x ＞0， ∴g ′(x )＝6x 2＋a ，(6分)易知a ≥0时，g ′(x )≥0恒成立，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增，无最小值，不合题意， ∴a ＜0.(8分) 令g ′(x )＝0，则x ＝－a6(x ＝－－a6舍去)，g ′(x )，g (x )随x 的变化情况如下表：↘(10∴g (x )min ＝g (x )极小值＝g ⎝⎛⎭⎪⎫－a 6＝－6，解得a ＝－6，∴f (x )＝2x ＋2x －6ln x .(12分)22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋ax ＋1(a ∈R )．(1)当a ＝92时，如果函数g (x )＝f (x )－k 仅有一个零点，求实数k 的取值范围；(2)当a ＝2时，试比较f (x )与1的大小；(3)求证：ln(x ＋1)＞13＋15＋17＋…＋12n ＋1(n ∈N *)．解析：(1)当a ＝92时，f (x )＝ln x ＋92(x ＋1)，定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －92(x ＋1)2＝(2x －1)(x －2)2x (x ＋1)2，令f ′(x )＝0，得x ＝12或x ＝2.(2分)∵当0＜x ＜12或x ＞2时，f ′(x )＞0，当12＜x ＜2时，f ′(x )＜0， ∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，12，(2，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫12，2上单调递减．(4分)∴f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3－ln2，极小值是f (2)＝32＋ln2.∵当x →0时，f (x )→－∞；当x →＋∞时，f (x )→＋∞，∴当g (x )＝f (x )－k 仅有一个零点时，k 的取值范围是k ＞3－ln2或k ＜32＋ln2.(5分)(2)当a ＝2时，f (x )＝ln x ＋2x ＋1，定义域为(0，＋∞)．令h (x )＝f (x )－1＝ln x ＋2x ＋1－1，∵h ′(x )＝1x －2(x ＋1)2＝x 2＋1x (x ＋1)2＞0，∴h (x )在(0，＋∞)上是增函数．(7分) 当x ＞1时，h (x )＞h (1)＝0，即f (x )＞1；当0＜x ＜1时，h (x )＜h (1)＝0，即f (x )＜1；当x ＝1时，h (x )＝h (1)＝0，即f (x )＝1.(9分)(3)根据(2)的结论，当x ＞1时，ln x ＋2x ＋1＞1，即ln x ＞x －1x ＋1.令x ＝k ＋1k ，k ∈N *，则有ln k ＋1k ＞12k ＋1，∴∑nk ＝1ln k ＋1k ＞∑nk ＝112k ＋1. ∵ln(n ＋1)＝∑nk ＝1ln k ＋1k ， ∴ln(n ＋1)＞13＋15＋17＋…＋12n ＋1.(12分)。

2015届高考数学第一轮复习(典型题+详解)专题五高考中的圆锥曲线问题档强练(新人教A版)文

专题五高考中的圆锥曲线问题1.已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点.若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________. 答案 8解析由题意知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|) ＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8.2.设AB 为过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，则|AB |的最小值为( )A.p 2B.pC.2pD.无法确定答案 C解析当弦AB 垂直于对称轴时|AB |最短，这时x ＝p2，∴y ＝±p ，|AB |min ＝2p .3.若双曲线x 2a 2－y 23＝1的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为( )A.1B.2C.3D.6答案 B解析双曲线x 2a 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3a x ，即3x ±ay ＝0，圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心为C (2,0)，半径为r ＝2，如图，由圆的弦长公式得弦心距|CD |＝22－12＝3，另一方面，圆心C (2,0)到双曲线x 2a 2－y 23＝1的渐近线3x －ay ＝0的距离为d ＝|3×2－a ×0|3＋a 2＝233＋a 2，所以233＋a 2＝3，解得a 2＝1，即a ＝1，该双曲线的实轴长为2a ＝2.4.在抛物线y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A.(－2,1)B.(1,2)C.(2,1)D.(－1,2)答案 B解析如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2的准线，F 为其焦点，PN ⊥l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |， ∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋|PN |≥|AN 1|，当且仅当A 、P 、N 三点共线时取等号. ∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1，则可排除A 、C 、D ，故选B.5.设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA →·OB →等于 ( ) A.34B.－34C.3D.－3答案 B解析方法一 (特殊值法)抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫12，0，过F 且垂直于x 轴的直线交抛物线于A (12，1)，B (12，－1)， ∴OA →·OB →＝⎝⎛⎭⎫12，1·⎝⎛⎭⎫12，－1＝14－1＝－34. 方法二设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2.由抛物线的过焦点的弦的性质知： x 1x 2＝p 24＝14，y 1y 2＝－p 2＝－1.∴OA →·OB →＝14－1＝－34.题型一圆锥曲线中的范围、最值问题例1 (2012·浙江改编)如图所示，在直角坐标系xOy 中，点P (1，12)到抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线的距离为54.点M (t,1)是C 上的定点，A ，B是C 上的两动点，且线段AB 的中点Q (m ，n )在直线OM 上. (1)求曲线C 的方程及t 的值； (2)记d ＝|AB |1＋4m 2，求d 的最大值.思维启迪 (1)依条件，构建关于p ，t 的方程；(2)建立直线AB 的斜率k 与线段AB 中点坐标间的关系，并表示弦AB 的长度，运用函数的性质或基本不等式求d 的最大值. 解 (1)y 2＝2px (p >0)的准线x ＝－p2，∴1－(－p 2)＝54，p ＝12，∴抛物线C 的方程为y 2＝x . 又点M (t,1)在曲线C 上，∴t ＝1.(2)由(1)知，点M (1,1)，从而n ＝m ，即点Q (m ，m )，依题意，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 的斜率为k (k ≠0). 且A (x 1，y 1)，B (x 2.y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝x 1－x 2，故k ·2m ＝1，所以直线AB 的方程为y －m ＝12m (x －m )，即x －2my ＋2m 2－m ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2my ＋2m 2－m ＝0，y 2＝x 消去x ，整理得y 2－2my ＋2m 2－m ＝0，所以Δ＝4m －4m 2>0，y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝2m 2－m . 从而|AB |＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝1＋4m 2·4m －4m 2 ＝2(1＋4m 2)(m －m 2) ∴d ＝|AB |1＋4m 2＝2m (1－m )≤m ＋(1－m )＝1，当且仅当m ＝1－m ，即m ＝12时，上式等号成立，又m ＝12满足Δ＝4m －4m 2>0.∴d 的最大值为1.思维升华圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.椭圆C ：x 236＋y 220＝1的左顶点、右焦点分别为A ，F ，直线的方程为x ＝9，N 为直线上一点，且在x 轴的上方，AN 与椭圆交于M 点． (1)若M 是AN 的中点，求证：MA ⊥MF .(2)过A ，F ，N 三点的圆与y 轴交于P ，Q 两点，求|PQ |的取值范围． (1)证明由题意得A (－6,0)，F (4,0)，x N ＝9，∴x M ＝32，又M 点在椭圆上，且在x 轴上方，得y M ＝532，∴MA →＝(－152，－532)，MF →＝(52，－532)，∴MA →·MF →＝－754＋754＝0，∴MA ⊥MF .(2)解方法一设N (9，t )，其中t >0，∵圆过A ，F ，N 三点，∴圆心在线段AF 的中垂线上．设圆心为(－1，b )，半径为r ，有r ＝(－1－4)2＋b 2＝(－1－9)2＋(b －t )2，∴b ＝t 2＋752t ＝12(t ＋75t)，|PQ |＝2r 2－1＝2b 2＋24.∵t >0，∴b ≥ t ·75t＝53，当且仅当t ＝75t ，即t ＝53时取“＝”∴|PQ |≥299＝611.∴|PQ |的取值范围是[611，＋∞)．方法二设N (9，t )，其中t >0， ∵圆过A ，F ，N 三点，∴设该圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，有 ⎩⎪⎨⎪⎧36－6D ＋F ＝0，16＋4D ＋F ＝0，81＋t 2＋9D ＋tE ＋F ＝0，解得D ＝2，E ＝－t －75t ，F ＝－24，∴圆心为(－1，12(t ＋75t ))，半径r ＝ 25＋14(t ＋75t)2，∴|PQ |＝2r 2－1＝2 24＋14(t ＋75t)2，∵t >0，∴t ＋75t ≥2 t ·75t ＝103，当且仅当t ＝75t ，即t ＝53时取“＝”∴|PQ |≥299＝611，∴|PQ |的取值范围是[611，＋∞)．题型二圆锥曲线中的定点、定值问题例2 (2012·福建)如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上. (1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q ，证明：以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点.思维启迪既然圆过y 轴上的点，即满足MP →·MQ →＝0，对任意P 、Q 恒成立可待定M (0，y 1)，也可给定特殊的P 点，猜想M 点坐标，再证明. (1)解依题意，得|OB |＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12. 因为点B (43，12)在x 2＝2py 上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2. 故抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)证明方法一由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，且l 的方程为 y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1. 所以Q 为⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1.设M (0，y 1)，令MP →·MQ →＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立.由于MP →＝(x 0，y 0－y 1)，MQ →＝⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1－y 1，由MP →·MQ →＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0，即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*)由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1). 方法二由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1.取x 0＝2，此时P (2,1)，Q (0，－1)，以PQ 为直径的圆为(x －1)2＋y 2＝2，交y 轴于点M 1(0,1)或M 2(0，－1)；取x 0＝1，此时P ⎝⎛⎭⎫1，14，Q ⎝⎛⎭⎫－32，－1，以PQ 为直径的圆为⎝⎛⎭⎫x ＋142＋⎝⎛⎭⎫y ＋382＝12564，交y 轴于点M 3(0,1)、M 4⎝⎛⎭⎫0，－74. 故若满足条件的点M 存在，只能是M (0,1). 以下证明点M (0,1)就是所要求的点.因为MP →＝(x 0，y 0－1)，MQ →＝⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－2，所以MP →·MQ →＝x 20－42－2y 0＋2＝2y 0－2－2y 0＋2＝0.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1). 思维升华求定点及定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.(2013·江西)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝ 32，a ＋b ＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图所示，A 、B 、D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m .证明：2m －k 为定值.(1)解因为e ＝32＝ca，所以a ＝23c ，b ＝13c .代入a ＋b ＝3得，c ＝3，a ＝2，b ＝1. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明方法一因为B (2,0)，点P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0，k ≠±12)，①①代入x 24＋y 2＝1，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1.直线AD 的方程为y ＝12x ＋1.②①与②联立解得M ⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋22k －1，4k 2k －1.由D (0,1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1，N (x,0)三点共线知－4k4k 2＋1－18k 2－24k 2＋1－0＝0－1x －0，解得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －22k ＋1，0.所以MN 的斜率为m ＝4k2k －1－04k ＋22k －1－4k －22k ＋1＝4k (2k ＋1)2(2k ＋1)2－2(2k －1)2＝2k ＋14. 则2m －k ＝2k ＋12－k ＝12(定值).方法二设P (x 0，y 0)(x 0≠0，±2)，则k ＝y 0x 0－2，直线AD 的方程为y ＝12(x ＋2)，直线BP 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，直线DP 的方程为y －1＝y 0－1x 0x ，令y ＝0，由于y 0≠1可得N ⎝⎛⎭⎪⎫－x 0y 0－1，0，联立⎩⎨⎧y ＝12(x ＋2)y ＝y0x 0－2(x －2)，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4y 0＋2x 0－42y 0－x 0＋2，4y 02y 0－x 0＋2，因此MN 的斜率为m ＝4y 02y 0－x 0＋24y 0＋2x 0－42y 0－x 0＋2＋x 0y 0－1＝4y 0(y 0－1)4y 20－8y 0＋4x 0y 0－x 20＋4＝4y 0(y 0－1)4y 20－8y 0＋4x 0y 0－(4－4y 20)＋4 ＝y 0－12y 0＋x 0－2，所以2m －k ＝2(y 0－1)2y 0＋x 0－2－y 0x 0－2＝2(y 0－1)(x 0－2)－y 0(2y 0＋x 0－2)(2y 0＋x 0－2)(x 0－2)＝2(y 0－1)(x 0－2)－2y 20－y 0(x 0－2)(2y 0＋x 0－2)(x 0－2)＝2(y 0－1)(x 0－2)－12(4－x 20)－y 0(x 0－2)(2y 0＋x 0－2)(x 0－2)＝12(定值). 题型三圆锥曲线中的探索性问题例3 (2012·广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程.(2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )，使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由.思维启迪圆锥曲线中，这类问题的解题思想是假设其结论成立、存在等，在这个假设下进行推理论证，如果得到了一个合情合理的推理结果，就肯定假设，对问题作出正面回答；如果得到一个矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回答.解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝23，∴a 2＝3b 2，∴椭圆方程为x 23b 2＋y 2b2＝1，即x 2＋3y 2＝3b 2.设椭圆上的点到点Q (0,2)的距离为d ，则 d ＝(x －0)2＋(y －2)2＝x 2＋(y －2)2＝3b 2－3y 2＋(y －2)2＝－2(y ＋1)2＋3b 2＋6， ∴当y ＝－1时，d 取得最大值，d max ＝3b 2＋6＝3，解得b 2＝1，∴a 2＝3. ∴椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)假设存在点M (m ，n )满足题意，则m 23＋n 2＝1，即m 2＝3－3n 2.设圆心到直线l 的距离为d ′，则d ′<1， d ′＝|m ·0＋n ·0－1|m 2＋n 2＝1m 2＋n 2.∴|AB |＝212－d ′2＝2 1－1m 2＋n 2. ∴S △OAB ＝12|AB |d ′＝12·21－1m 2＋n 2·1m 2＋n 2＝1m 2＋n 2⎝⎛⎭⎫1－1m 2＋n 2. ∵d ′<1，∴m 2＋n 2>1， ∴0<1m 2＋n 2<1，∴1－1m 2＋n 2>0.∴S △OAB ＝1m 2＋n 2⎝⎛⎭⎫1－1m 2＋n 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m 2＋n 2＋1－1m 2＋n 222＝12，当且仅当1m 2＋n 2＝1－1m 2＋n 2，即m 2＋n 2＝2>1时，S △OAB 取得最大值12.由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2＝2，m 2＝3－3n2得⎩⎨⎧m 2＝32，n 2＝12，∴存在点M 满足题意，M 点坐标为⎝⎛⎭⎫62，22，⎝⎛⎭⎫62，－22，⎝⎛⎭⎫－62，22或⎝⎛⎭⎫－62，－22，此时△OAB 的面积为12.思维升华 (1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.(2013·长春调研)已知椭圆C 1、抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：(1)求C 1，C 2(2)是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同的两点M ，N ，且满足OM →⊥ON →？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 解 (1)设抛物线C 2：y 2＝2px (p ≠0)，则有y 2x＝2p (x ≠0)，据此验证四个点知(3，－23)，(4，－4)在C 2上，易求得C 2的标准方程为y 2＝4x . 设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，把点(－2,0)，(2，22)代入得⎩⎨⎧4a 2＝12a 2＋12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1，所以C 1的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)容易验证当直线l 的斜率不存在时，不满足题意. 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)，与C 1的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2). 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝k (x －1)消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－1)＝0，于是x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，①x 1x 2＝4(k 2－1)1＋4k 2.②所以y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1] ＝k 2[4(k 2－1)1＋4k 2－8k 21＋4k 2＋1]＝－3k 21＋4k 2.③由OM →⊥ON →，即OM →·ON →＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0.(*) 将②③代入(*)式，得4(k 2－1)1＋4k 2－3k 21＋4k 2＝k 2－41＋4k 2＝0，解得k ＝±2，所以存在直线l 满足条件，且直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0.(时间：80分钟)1.已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点. (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解方法一 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0).从而有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝32x ＋t .由⎩⎨⎧y ＝32x ＋t ，x 216＋y212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4×3×(t 2－12)≥0，解得－43≤t ≤4 3.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4，得|t |94＋1＝4，解得t ＝±213. 由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在.方法二 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且有⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4.解得b 2＝12，b 2＝－3(舍去).从而a 2＝16.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)同方法一.2 ．已知椭圆x 24＋y 22＝1上的两个动点P ，Q ，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)且x 1＋x 2＝2.(1)求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ；(2)设点A 关于原点O 的对称点是B ，求|PB |的最小值及相应的P 点坐标．(1)证明 ∵P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，且x 1＋x 2＝2.当x 1≠x 2时，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4x 22＋2y 22＝4，得y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2.设线段PQ 的中点为N (1，n )，∴k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12n ，∴线段PQ 的垂直平分线方程为y －n ＝2n (x －1)， ∴(2x －1)n －y ＝0，该直线恒过一个定点A (12，0)．当x 1＝x 2时，线段PQ 的垂直平分线也过定点A (12，0)．综上，线段PQ 的垂直平分线恒过定点A (12，0)．(2)解由于点B 与点A 关于原点O 对称，故点B (－12，0)．∵－2≤x 1≤2，－2≤x 2≤2，∴x 1＝2－x 2∈[0,2]，|PB |2＝(x 1＋12)2＋y 21＝12(x 1＋1)2＋74≥94，∴当点P 的坐标为(0，±2)时，|PB |min ＝32.3.如图，已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2＝－2py (p >0)交于A 、B两点，O 为坐标原点，OA →＋OB →＝(－4，－12). (1)求直线l 的方程和抛物线C 的方程；(2)若抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2x 2＝－2py，得x 2＋2pkx －4p ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4.∵OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk 2－4) ＝(－4，－12)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2pk ＝－4－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1k ＝2，故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线C 的方程为x 2＝－2y .(2)方法一由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2x 2＝－2y，得x 2＋4x －4＝0，∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋22·(－4)2－4·(－4)＝410. 设P (t ，－12t 2)(－2－22<t <－2＋22)，∵|AB |为定值，∴当点P 到直线l 的距离d 最大时，△ABP 的面积最大. 而d ＝|2t ＋12t 2－2|22＋(－1)2＝|12(t ＋2)2－4|5，又－2－22<t <－2＋22，∴当t ＝－2时，d max ＝455. ∴当P 点坐标为(－2，－2)时，△ABP 面积的最大值为410×4552＝8 2.方法二设P (x 0，y 0)，依题意，知当抛物线在点P 处的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大.∵y ′＝－x ，∴x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，P (－2，－2).此时点P 到直线l 的距离＝|2·(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2＝45＝455.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2x 2＝－2y，得x 2＋4x －4＝0，∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋22·(－4)2－4(－4)＝410，故△ABP 面积的最大值为410×4552＝8 2.4. 如图，椭圆长轴的端点为A ，B ，O 为椭圆的中心，F 为椭圆的右焦点，且AF →·FB →＝1，|OF →|＝1.(1)求椭圆的标准方程；(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰为△PQM 的垂心，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则c ＝1，又∵AF →·FB →＝(a ＋c )·(a －c )＝a 2－c 2＝1. ∴a 2＝2，b 2＝1，故椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 恰为△PQM 的垂心，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，∵M (0,1)，F (1,0)，∴直线l 的斜率k ＝1. 于是设直线l 为y ＝x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m x 22＋y 2＝1 得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0， x 1＋x 2＝－43m ，① x 1x 2＝2m 2－23.②∵MP →·FQ →＝x 1(x 2－1)＋y 2(y 1－1)＝0. 又y i ＝x i ＋m (i ＝1,2)，∴x 1(x 2－1)＋(x 2＋m )(x 1＋m －1)＝0，即2x 1x 2＋(x 1＋x 2)(m －1)＋m 2－m ＝0.将①②代入得2·2m 2－23－4m3(m －1)＋m 2－m ＝0，解得m ＝－43或m ＝1，经检验m ＝－43符合条件.故存在直线l ，使点F 恰为△PQM 的垂心，直线l 的方程为y ＝x －43.5.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 29＋y 25＝1的左，右顶点分别为A ，B ，右焦点为F .设过点T (t ，m )的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中m >0，y 1>0，y 2<0. (1)设动点P 满足：|PF |2－|PB |2＝4，求点P 的轨迹； (2)设x 1＝2，x 2＝13，求点T 的坐标；(3)设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关). (1)解设P (x ，y )，由题知F (2,0)，B (3,0)，A (－3,0)，则|PF |2＝(x －2)2＋y 2，|PB |2＝(x －3)2＋y 2，由|PF |2－|PB |2＝4，得(x －2)2＋y 2－[(x －3)2＋y 2]＝4，化简，得x ＝92.故点P 的轨迹方程是x ＝92.(2)解将x 1＝2，x 2＝13分别代入椭圆方程，并考虑到y 1>0，y 2<0，得M ⎝⎛⎭⎫2，53，N ⎝⎛⎭⎫13，－209. 则直线MA 的方程为y －053－0＝x ＋32＋3，即x －3y ＋3＝0直线NB 的方程为y －0－209－0＝x －313－3，即5x －6y －15＝0.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋3＝0，5x －6y －15＝0，解得x ＝7，y ＝103，所以点T 的坐标为⎝⎛⎭⎫7，103. (3)证明如图所示，点T 的坐标为(9，m ).直线TA 的方程为y －0m －0＝x ＋39＋3，直线TB 的方程为y －0m －0＝x －39－3，分别与椭圆x 29＋y 25＝1联立方程，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3(80－m 2)80＋m 2，40m 80＋m 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫3(m 2－20)20＋m 2，－20m 20＋m 2. 直线MN 的方程为y ＋20m 20＋m 240m 80＋m 2＋20m 20＋m 2＝x －3(m 2－20)20＋m 23(80－m 2)80＋m 2－3(m 2－20)20＋m 2.令y ＝0，解得x ＝1，所以直线MN 必过x 轴上的一定点(1,0). 6.(2012·上海)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.(1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积.(2)设斜率为1的直线l 交C 1于P 、Q 两点.若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ . (3)设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.若M 、N 分别是C 1、C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值.(1)解双曲线C 1：x 212－y 2＝1，左顶点A ⎝⎛⎭⎫－22，0，渐近线方程：y ＝±2x .不妨取过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为 y ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1. 解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1得⎩⎨⎧x ＝－24，y ＝12.所以所求三角形的面积为S ＝12|OA ||y |＝28.(2)证明设直线PQ 的方程是y ＝x ＋b . 因为直线PQ 与已知圆相切，故|b |2＝1，即b 2＝2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，2x 2－y 2＝1得x 2－2bx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2b ，x 1x 2＝－1－b 2. 又y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )，所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2 ＝2(－1－b 2)＋2b 2＋b 2＝b 2－2＝0. 故OP ⊥OQ .(3)证明当直线ON 垂直于x 轴时， |ON |＝1，|OM |＝22，则O 到直线MN 的距离为33. 当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y ＝kx ⎝⎛⎭⎫显然|k |>22，则直线OM 的方程为y ＝－1kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，4x 2＋y 2＝1得⎩⎨⎧x 2＝14＋k 2，y 2＝k24＋k 2，所以|ON |2＝1＋k 24＋k 2.同理|OM |2＝1＋k 22k 2－1.设O 到直线MN 的距离为d ，因为(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2|ON |2，所以1d 2＝1|OM |2＋1|ON |2＝3k 2＋3k 2＋1＝3，即d ＝33. 综上，O 到直线MN 的距离是定值.。

2015年高考数学真题分类汇编：专题(09)圆锥曲线(文科)及答案

2015年高考数学真题分类汇编专题09 圆锥曲线文1.【2015高考新课标1，文5】已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = ( )（A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 【答案】B【解析】∵抛物线2:8C y x =的焦点为（2,0），准线方程为2x =-，∴椭圆E 的右焦点为（2,0），∴椭圆E 的焦点在x 轴上，设方程为22221(0)x y a b a b +=>>，c=2，∵12c e a ==，∴4a =，∴22212b a c =-=，∴椭圆E 方程为2211612x y +=，将2x =-代入椭圆E 的方程解得A （-2,3），B （-2，-3），∴|AB|=6，故选B. 【考点定位】抛物线性质；椭圆标准方程与性质【名师点睛】本题是抛物线与椭圆结合的基础题目，解此类问题的关键是要熟悉抛物线的定义、标准方程与性质、椭圆的定义、标准方程与性质，先由已知曲线与待确定曲线的关系结合已知曲线方程求出待确定曲线中的量，写出待确定曲线的方程或求出其相关性质.2.【2015高考重庆，文9】设双曲线22221(a 0,b 0)x y a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12A ,A ,过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥,则双曲线的渐近线的斜率为（）(A) 12±(B) ± (C) 1±(D) 【答案】C【解析】由已知得右焦点(,0)F c (其中)0,222>+=c b a c ，)0,(),0,(21a A a A -，),(),,(22ab c C a b c B -，从而),(),,(2221a b a c C A a b a c B A -=-+=，又因为12A B A C ⊥，所以021=∙C A B A ，即0)()()()(22=⋅-++⋅-a b a b a c a c ，化简得到1122±=⇒=a bab ，即双曲线的渐近线的斜率为1±，故选C.【考点定位】双曲线的几何性质与向量数量积.【名师点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，利用向量垂直的条件来转化两直线垂直的条件而得到a 与b 的关系式来求解.本题属于中档题，注意运算的准确性.3.【2015高考四川，文7】过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB |＝( )(A (B (C )6 (D 【答案】D【解析】由题意，a ＝1，b ，故c ＝2，渐近线方程为y x将x ＝2代入渐近线方程，得y 1，2＝±故|AB |＝，选D【考点定位】本题考查双曲线的概念、双曲线渐近线方程、直线与直线的交点、线段长等基础知识，考查简单的运算能力.【名师点睛】本题跳出直线与圆锥曲线位置关系的常考点，进而考查直线与双曲线渐近线交点问题，考生在解题中要注意识别.本题需要首先求出双曲线的渐近线方程，然后联立方程组，接触线段AB 的端点坐标，即可求得|AB |的值.属于中档题.4.【2015高考陕西，文3】已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（）A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(0,1)-D ．(0,1)【答案】B【解析】由抛物线22(0)y px p =>得准线2px =-，因为准线经过点(1,1)-，所以2p =，所以抛物线焦点坐标为(1,0)，故答案选B 【考点定位】抛物线方程和性质.【名师点睛】1.本题考查抛物线方程和性质，采用待定系数法求出p 的值.本题属于基础题，注意运算的准确性.2.给出抛物线方程要求我们能够找出焦点坐标和直线方程，往往这个是解题的关键.5.【2015高考新课标1，文16】已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为．【答案】【考点定位】双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题【名师点睛】解决解析几何问题，先通过已知条件和几何性质确定圆锥曲线的方程，再通过方程研究直线与圆锥曲线的位置关系，解析几何中的计算比较复杂，解决此类问题的关键要熟记圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质及直线与圆锥曲线位置关系的常见思路.6.【2015高考广东，文8】已知椭圆222125x y m +=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（） A ．9 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】C【解析】由题意得：222549m =-=，因为0m >，所以3m =，故选C ．【考点定位】椭圆的简单几何性质．【名师点晴】本题主要考查的是椭圆的简单几何性质，属于容易题．解题时要注意椭圆的焦点落在哪个轴上，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是椭圆的简单几何性质，即椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的左焦点()1F ,0c -，右焦点()2F ,0c ，其中222a b c =+．7.【2015高考天津，文5】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为(2,0)F ,且双曲线的渐近线与圆()222y 3x -+=相切,则双曲线的方程为（）(A) 221913x y -= (B) 221139x y -= (C) 2213x y -= (D)2213y x -= 【答案】D【解析】由双曲线的渐近线0bx ay -=与圆()222y 3x -+=相切得=,由2c ==,解得1,a b ==,故选D.【考点定位】圆与双曲线的性质及运算能力.【名师点睛】本题是圆与双曲线的交汇题,虽有一定的综合性,但方法容易想到,仍属于基础题.不过要注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.8.【2015高考湖南，文6】若双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为( )A B 、54 C 、43 D 、53【答案】D【解析】因为双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点（3，-4），2225349163c b a c a a e a ∴=∴-=∴=，（），=．故选D. 【考点定位】双曲线的简单性质【名师点睛】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形结合上找突破口.与渐近线有关的结论或方法还有：(1)与双曲线22221x y a b-=共渐近线的可设为2222(0)x y a b λλ-=≠；(2)若渐近线方程为b y x a =±，则可设为2222(0)x y a b λλ-=≠；(3) 双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b ；(4) 22221(0.0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的斜率为b a ==可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置. 9.【2015高考安徽，文6】下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -=（C ）2212y x -= （D ）2212x y -=【答案】A【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A 的渐进线方程为x y 2±=，故选A . 【考点定位】本题主要考查双曲线的渐近线公式.【名师点睛】在求双曲线的渐近线方程时，考生一定要注意观察双曲线的交点是在x 轴，还是在y 轴，选用各自对应的公式，切不可混淆.10.【2015高考湖北，文9】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（） A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >【答案】D .【解析】不妨设双曲线1C 的焦点在x 轴上，即其方程为：22221x y a b-=，则双曲线2C 的方程为：22221()()x y a m b m -=++，所以1e ==，2e ==，当a b >时，()()()0()()b m b b m a b a m a b m a m a a m a a m a ++-+--==>+++，所以b m b a m a +>+，所以22b m b a m a +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以21e e >；当a b <时，()()()0()()b m b b m a b a m a b m a m a a m a a m a ++-+--==<+++，所以b m ba m a+<+，所以22b m b a m a +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以21e e <；故应选D . 【考点定位】本题考查双曲线的定义及其简单的几何性质，考察双曲线的离心率的基本计算，涉及不等式及不等关系.【名师点睛】将双曲线的离心率的计算与初中学习的溶液浓度问题联系在一起，突显了数学在实际问题中实用性和重要性，充分体现了分类讨论的数学思想方法在解题中的应用，能较好的考查学生思维的严密性和缜密性.11.【2015高考福建，文11】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（）A ．B ．3(0,]4C ．D ．3[,1)4【答案】A【解析】设左焦点为F ，连接1AF ，1BF ．则四边形1BF AF 是平行四边形，故1AF BF =，所以142AF AF a +==，所以2a =，设(0,)M b ，则4455b ≥，故1b ≥，从而221ac -≥，203c <≤，0c <≤，所以椭圆E的离心率的取值范围是，故选A ．【考点定位】1、椭圆的定义和简单几何性质；2、点到直线距离公式．【名师点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，将4AF BF +=转化为142AF AF a +==，进而确定a 的值，是本题关键所在，体现了椭圆的对称性和椭圆概念的重要性，属于难题．求离心率取值范围就是利用代数方法或平面几何知识寻找椭圆中基本量,,a b c 满足的不等量关系，以确定ca的取值范围． 12．【2015高考浙江，文15】椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点()F ,0c 关于直线by xc=的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是．【解析】设()F ,0c 关于直线b y x c =的对称点为(,)Q m n ，则有1222n bm c cn b m c⎧⋅=-⎪⎪-⎨+⎪=⨯⎪⎩，解得3222222,c b bc bc m n a a --==，所以3222222(,)c b bc bcQ a a --在椭圆上，即有32222422(2)(2)1c b bc bc a a b --+=，解得222a c =，所以离心率c e a ==【考点定位】1.点关于直线对称；2.椭圆的离心率.【名师点睛】本题主要考查椭圆的离心率.利用点关于直线对称的关系，计算得到右焦点的对称点，通过该点在椭圆上，代入方程，转化得到关于,a c 的方程，由此计算离心率.本题属于中等题。

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1．[2013·浙江]已知抛物线C 的顶点为O (0,0)，焦点为F (0,1)．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点．若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求|MN |的最小值．
解析：(1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2
＝2py (p ＞0)，则p 2＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋1，x 2＝4y 消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.
从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1.
由⎩⎨⎧ y ＝y 1x 1
x ，y ＝x －2，
解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－x 214
＝84－x 1. 同理点N 的横坐标x N ＝84－x 2
.
所以|MN |＝2|x M －x N | ＝2⎪
⎪⎪⎪⎪⎪84－x 1－84－x 2 ＝82⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x 1－x 2x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16 ＝82k 2＋1|4k －3|
. 令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋34.
当t ＞0时，|MN |＝2 2
25t 2＋6t ＋1＞2 2. 当t ＜0时，|MN |＝2 2 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5t ＋352＋1625≥85 2. 综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时，|MN |的最小值是85 2.
答案：(1)x 2＝4y ；(2)85 2.
2．[2014·济宁模拟]如图，在直角坐标系xOy 中有一直角梯形ABCD ，AB 的中点为O ，AD ⊥AB ，AD ∥BC ，AB ＝4，BC ＝3，AD ＝1，以A ，B 为焦点的椭圆经过点C .
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点E (0,1)，问是否存在直线l 与椭圆交于M ，N 两点且|ME |＝|NE |？若存在，求出直线l 斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．
解析：(1)连接AC ，依题意设椭圆的标准方程为：
x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，
在Rt △ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，∴AC ＝5.
∴CA ＋CB ＝5＋3＝2a ，a ＝4.
又2c ＝4，∴c ＝2，从而b ＝a 2－c 2＝23，
∴椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1.
(2)由题意知，当l 与x 轴垂直时，不满足|ME |＝|NE |，
当l 与x 轴平行时，|ME |＝|NE |显然成立，此时k ＝0.
设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，
由⎩⎨⎧ y ＝kx ＋m ，
x 216＋y 212＝1消去y 整理得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－48＝0. 由直线与椭圆交于两点得Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－48)＞0， ∴16k 2＋12＞m 2.①
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为F (x 0，y 0)，
则x 0＝x 1＋x 22＝－4km 3＋4k 2，y 0＝kx 0＋m ＝3m 3＋4k 2
. ∵|ME |＝|NE |，∴EF ⊥MN ，∴k EF ·k ＝－1，
即3m 3＋4k 2
－1－4km
3＋4k 2
×k ＝－1，化简得m ＝－(4k 2＋3)，结合①得16k 2＋12＞(4k 2＋3)2，
即16k 4＋8k 2
－3＜0，解得－12＜k ＜12(k ≠0)．综上可知，存在满足条件的直线l ，且其斜率k 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，12.
答案：(1)x 216＋y 212＝1；(2)存在满足条件的直线l ，且其斜率k 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，12.。