第三章运输问题
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运筹学胡运权第三版第三章运输问题
产销平衡运输问题的数学模型可表示如下：
§1运 输 问 题 及 其 数 学 模 型
二、运输问题数学模型的特点： 运输问题一定有最优解；基变量的个数=m+n-1 运输问题约束条件的系数矩阵：
x1m
x2m
xm1
xmm
x11
x12
…
x21
x22
…
xm2
…
…
m行
n行
§1运 输 问 题 及 其 数 学 模 型
解 的 最 优 性 检 验
运输问题及其数学模型
用表上作业法求解运输问题
运输问题的进一步讨论
应用问题举例
本章内容
3运输问题进一步讨论
01.
产销不平衡的运输问题 有转运的运输问题
02.
1.当产大于销时，即 产销不平衡问题 平衡后的数学模型为： 加入假想销地（假想仓库），销量为 ，由于实际并不运 送，它们的运费为 = 0；
解 的 最 优 性 检 验
解 的 最 优 性 检 验
销地产地
B1
B2
B3
B4
产量
ui
A1
16
u1(1)
A2
10
u2(0)
A3
22
u3(-4)
销量
8
14
12
14
48
vj
v1(2)
v2(9)
v3(3)
v4(10)
4
2
8
12
5
4
10
11
3
9
6
11
表3-9
1.增加一位势列和位势行并计算位势
其中
8
10
2
6
8
产量
A1
§1运 输 问 题 及 其 数 学 模 型
二、运输问题数学模型的特点： 运输问题一定有最优解；基变量的个数=m+n-1 运输问题约束条件的系数矩阵：
x1m
x2m
xm1
xmm
x11
x12
…
x21
x22
…
xm2
…
…
m行
n行
§1运 输 问 题 及 其 数 学 模 型
解 的 最 优 性 检 验
运输问题及其数学模型
用表上作业法求解运输问题
运输问题的进一步讨论
应用问题举例
本章内容
3运输问题进一步讨论
01.
产销不平衡的运输问题 有转运的运输问题
02.
1.当产大于销时，即 产销不平衡问题 平衡后的数学模型为： 加入假想销地（假想仓库），销量为 ，由于实际并不运 送，它们的运费为 = 0；
解 的 最 优 性 检 验
解 的 最 优 性 检 验
销地产地
B1
B2
B3
B4
产量
ui
A1
16
u1(1)
A2
10
u2(0)
A3
22
u3(-4)
销量
8
14
12
14
48
vj
v1(2)
v2(9)
v3(3)
v4(10)
4
2
8
12
5
4
10
11
3
9
6
11
表3-9
1.增加一位势列和位势行并计算位势
其中
8
10
2
6
8
产量
A1
第三章--运输问题
A1 A2 A3 销量
B1 B2 B3 B4 产量
3 11 3 10
7
1928
4
7 4 10 5
9
3
6
5
6
20
A1 A2 A3 A1 0 1 3 A2 1 0 M A3 3 M 0
B1
B2
B3
B4
B1
0142
B2
1021
B3
4203
B4
2130
A1 A2 A3 T1 T2 T3 T4 B1 B2 B3 B4 T1 2 3 1 0 1 3 2 2 8 4 6 T2 1 5 M 1 0 1 1 4 5 2 7 T3 4 M 2 3 1 0 2 1 8 2 4 T4 3 2 3 2 1 2 0 1 M 2 6
A1 A2 A3 T1 T2 T3 T4 B1 B2 B3 B4 产量 A1 0 1 3 2 1 4 3 3 1 3 10 27
1
A2 1 0 M 3 5 M 2 1 9 2 8 24 A3 3 M 0 1 M 2 3 7 4 10 5 29 T1 2 3 1 0 1 3 2 2 8 4 6 20 T2 1 5 M 1 0 1 1 4 5 2 7 20 T3 4 M 2 3 1 0 2 1 8 2 4 20 T4 3 2 3 2 1 2 0 1 M 2 6 20 B1 3 1 7 2 4 1 1 0 1 4 2 20 B2 11 9 4 8 5 8 M 1 0 2 1 20 B3 3 2 10 4 2 2 2 4 2 0 3 20 B4 10 8 5 6 7 4 6 2 1 3 0 20 销量 20 20 20 20 20 20 20 23 2 25 26
– 产地和销地之间虽有直达路线，但直达运输的费用或 运输距离分别比经过某些中转站还要高或远。
广工管理运筹学第三章运输问题
闭合回路法的优点是能够找到全局最 优解，适用于大型复杂运输问题。但 该方法的计算复杂度较高，需要较长 的计算时间。
商位法
01
商位法是一种基于商位划分的优化算法，用于解决运输问题。该方法通过将供 应点和需求点划分为不同的商位，并最小化总运输成本。
02
商位法的计算步骤包括：根据地理位置和货物需求量，将供应点和需求点划分 为不同的商位；根据商位的地理位置和货物需求量，计算总运输成本；通过比 较不同商位的总运输成本，确定最优的配送路线。
80%
线性规划法
通过建立线性规划模型，利用数 学软件求解最优解，得到最小化 总成本的运输方案。
100%
启发式算法
采用启发式规则逐步逼近最优解 ，常用的算法包括节约算法、扫 描算法等。
80%
遗传算法
基于生物进化原理的优化算法， 通过模拟自然选择和遗传机制来 寻找最优解。
02
运输问题的数学模型
变量与参数
约束条件
供需平衡
每个供应点的供应量等于对应 需求点的需求量，这是运输问 题的基本约束条件。
非负约束
运输量不能为负数，即每个供 应点对每个需求点的运输量都 应大于等于零。
其他约束条件
根据实际情况，可能还有其他 约束条件，如运输能力的限制 、运输路线的限制等。
03
运输问题的求解算法
表上作业法
总结词
直到达到最优解。这两种方法都可以通过构建线性规划模型来求解最优解。
04
运输问题的优化策略
节约法
节约法是一种基于节约里程的优化算法，用于解决 运输问题。该方法通过比较不同配送路线的距离和 货物需求量，以最小化总运输距离为目标，确定最 优的配送路线。
节约法的计算步骤包括：计算各供应点到需求点的 距离，找出最短路径；根据最短路径和货物需求量 ，计算节约里程；按照节约里程排序，确定最优配 送路线。
运筹学教学课件 第三章 运输问题
7 4 9 3 6 5 6
2.1 确定初始基可行解
• 这与一般线性规划问题不同，产 销平衡的运输问题总是存在可行解。 因有
b a
i 1 j i 1
m
m
i
d
必存在 0≤ xij,i=1,…,m,j=1,…,n 是可行解。又因 0≤xij≤min(a1,bj) • 故运输问题的可行解和最优解必存在。 • 确定初始可行解的方法有很多，一般 希望的方法即简便又尽可能接近最优解。 下面介绍两种方法：最小元素法和伏格 尔（Vogel）法。（其它如西北角法等）
例1
• 某公司经销甲产品，它下设三个加工厂。每 日的产量分别为： • A1——7吨，A2——4吨，A3——9吨。该公 司把这些产品分别运往四个销售点。各销售 点每日的销量为：B1——3吨，B2——6吨， • B3——5吨，B4——6吨。已知从各工厂到各 销售点的单位产品的运价为表3-3所示，问该 公司应如何调运产品，在满足各销点的需要 量的前提下，使总运费为最少。
运价表与行差和 列差的计算
表3-10 伏格尔法
伏格尔法基可行解， 总运费为85，恰好得 到最优解
销地 B1 B2 B3 B4 行 产 差 量 产地
销地 B1 B2 B3 B4 产地 A1 A2
A1
A2 A3
3
1 7
11 3
9 4 5 6 2 1 5
10 0
8 3 6 1 1
7
4 9
10 5
列差 2 销量 3
A3
表3-13
B1 销地 加工厂 A1 A2 A3 销量 ห้องสมุดไป่ตู้2 B3 B4 产量
5 3 6 3 6 5
2 1 3 6
7 4 9
运筹学-3运输问题
产销平衡问题 产销不平衡问题
产大于销 销大于供
当产销平衡时，其模型如下：
当产大于销时，其模型是：
mn
min Z
cij xij
i1 j1
xij ai xij bj
xij
0
( ai bj)
当销大于产时，其模型是：
min Z
cij xij
xij ai xij bj
可行解的方法
Review
二、表上作业法的步骤
Step1.找出初始基本可行解（在m*n产销平衡 表上寻找初始调运方案，一般m+n-1个数字 格），用最小元素法、西北角法、伏格尔法；
Step2.求出各非基变量的检验数，判别是否达 到最优解。如果是停止计算，否则转入下一步， 用闭回路或位势法计算；
Step3.改进当前的基本可行解（确定换入、 换出变量），用闭合回路法调整； Step4.重复2. 3，直到找到最优解为止。
（3）运输问题的解
定义1. 闭回路
x x x x x x 闭回路是能折成 i1 j1, i1 j2 , i2 j2 , i2 j3 ,..., isjs , isj1
形式的变量组集合。其中 i1 , i2 , …， is 互不相同，j1 , j2 , …， js 互不相 同。每个变量称为闭回路的顶点，连接闭回路相邻两顶点的直线段叫做闭
统计学院
运筹学－第三章 运输问题
张红历
本章内容
1.运输问题及其数学模型 2.表上作业法 3.运输问题的进一步讨论
4.应用问题举例
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的提出
例：某运输问题的资料如下：
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量
产大于销 销大于供
当产销平衡时，其模型如下：
当产大于销时，其模型是：
mn
min Z
cij xij
i1 j1
xij ai xij bj
xij
0
( ai bj)
当销大于产时，其模型是：
min Z
cij xij
xij ai xij bj
可行解的方法
Review
二、表上作业法的步骤
Step1.找出初始基本可行解（在m*n产销平衡 表上寻找初始调运方案，一般m+n-1个数字 格），用最小元素法、西北角法、伏格尔法；
Step2.求出各非基变量的检验数，判别是否达 到最优解。如果是停止计算，否则转入下一步， 用闭回路或位势法计算；
Step3.改进当前的基本可行解（确定换入、 换出变量），用闭合回路法调整； Step4.重复2. 3，直到找到最优解为止。
（3）运输问题的解
定义1. 闭回路
x x x x x x 闭回路是能折成 i1 j1, i1 j2 , i2 j2 , i2 j3 ,..., isjs , isj1
形式的变量组集合。其中 i1 , i2 , …， is 互不相同，j1 , j2 , …， js 互不相 同。每个变量称为闭回路的顶点，连接闭回路相邻两顶点的直线段叫做闭
统计学院
运筹学－第三章 运输问题
张红历
本章内容
1.运输问题及其数学模型 2.表上作业法 3.运输问题的进一步讨论
4.应用问题举例
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的提出
例：某运输问题的资料如下：
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量
运筹学第三章 运输问题
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 3
3 1
4
4
2
A3
销量 2
4 7
1 3
4
4 6
3
7 5
3
5
6
8
4 3 13
σ11=-3, σ12=-2,σ23=-4, σ31=-1,σ33=1, σ34=-1
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 0
3 4
4
4
2
A3
销量 2
4 7
4
4 6
3
4 3
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x11检验数为 6-4+8-6+4-4=4
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6 4 2 4
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x12检验数为 5-4+8-6=3
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
2、位势法 当运输问题变量的格数较多时，用闭 回路法计算检验数比较麻烦，而位势法比 较简便。 对于运输问题 minf=CX AX=b X≥0 设B为其一个可行基，则xij的检验数为 σ ij=CBB-1Pij-Cij
第三章运输问题
计算过程如下：
找出初始基本可行解,即在(mn)产销平衡表上给
出m+n-1个独立的数字格。
求各非基变量的检验数，即在表上计算空格的
检验数。判别是否达到最优解。如已是最优解， 则停止计算，否则转到下一步。
确定换入变量和换出变量，找出新的基本 可行解，在表上用闭合回路法调整。 注: m+n-1个变量构成基变量的充要条件是它 们不构成闭回路。 重复2、3直到得到最优解为止。 以上运算都可以在表上完成。下面通过例 子说明表上作业法的计算步骤。
10
表中带圈的数字是非基变量的检验数，可 知所有检验数都大于等于零（基变量的检 验数都等于零），此解是最优解，这时最 小总运费为85元，具体的运输方案如下： A1分厂运5吨到销售公司B3，运2吨给销售 公司B4；A2分厂运3吨给销售公司B1，运 1吨给销售公司B4；A3分厂运6吨给销售公 司B2，运3吨给销售公司B4。
第二步：从行或列差额中选择最大者，选择它所 在行或列中的最小元素 B1 B2 B3 B4 产量 A1 7 A2 4 A3 销量
3
6 6
9
5
6
A1 A2 A3
B1 B2 B3 B4 3 1 7 11 9 4 3 2 10 10 8 5
Chapter 3 运输问题
第三步：对表中未划去的元素部分再分别计算出 各行、各列的最小运费和次最小运费的差额，并 填入该表的最右列和最下行。重复第一、第二步， 直到给出初始解为止。用此法给出例题的初始解 列于下表。 B1 A1 A2 A3 3 6 B2 B3 5 B4 2 1 3 产量 7 4 9
销地 产地 A1 A2 A3
销量
B1
B2
B3 5
B4 2 1 3 6
产
找出初始基本可行解,即在(mn)产销平衡表上给
出m+n-1个独立的数字格。
求各非基变量的检验数，即在表上计算空格的
检验数。判别是否达到最优解。如已是最优解， 则停止计算，否则转到下一步。
确定换入变量和换出变量，找出新的基本 可行解，在表上用闭合回路法调整。 注: m+n-1个变量构成基变量的充要条件是它 们不构成闭回路。 重复2、3直到得到最优解为止。 以上运算都可以在表上完成。下面通过例 子说明表上作业法的计算步骤。
10
表中带圈的数字是非基变量的检验数，可 知所有检验数都大于等于零（基变量的检 验数都等于零），此解是最优解，这时最 小总运费为85元，具体的运输方案如下： A1分厂运5吨到销售公司B3，运2吨给销售 公司B4；A2分厂运3吨给销售公司B1，运 1吨给销售公司B4；A3分厂运6吨给销售公 司B2，运3吨给销售公司B4。
第二步：从行或列差额中选择最大者，选择它所 在行或列中的最小元素 B1 B2 B3 B4 产量 A1 7 A2 4 A3 销量
3
6 6
9
5
6
A1 A2 A3
B1 B2 B3 B4 3 1 7 11 9 4 3 2 10 10 8 5
Chapter 3 运输问题
第三步：对表中未划去的元素部分再分别计算出 各行、各列的最小运费和次最小运费的差额，并 填入该表的最右列和最下行。重复第一、第二步， 直到给出初始解为止。用此法给出例题的初始解 列于下表。 B1 A1 A2 A3 3 6 B2 B3 5 B4 2 1 3 产量 7 4 9
销地 产地 A1 A2 A3
销量
B1
B2
B3 5
B4 2 1 3 6
产
运筹学 第三章 运输问题
（或者在同时划去Ai行与Bj列时，在该行或该列的任意空格处填加一 个0。）
这样可以保证填过数或零的格为m+n-1个，即保证基变量的个数为 m+n-1个。
2021/3/14
14
2.Vogel法
Vogel法的思想是:一地的产品如果不能按照最小运
费就近供应，就考虑次小运费，这就有差额，差额越大， 说明不能按最小运费调运时，运费增加得越多。因而差 额越大处，就应当采用最小运费调运。
同理可以求得 v4=10，u2= -1，等等见上表。
检验数的求法，即用公式 ijciju，i vj
如 1 1 c 1 1 u 1 v 1 3 0 2 1 。
2021/3/14
23
位势法计算检验数：
检验数： ijcijCBB1Pij
cijYiP jcij(u1,..u.m , ,v1,.v.n.)Pij
3
B4
ui
3 10
0
-1 8
-1
35
-5
10
B1
3
31
7
2
B2
11 9
64
9
B3
4(+1) 3 1 (-1) 2
10
3
B4
ui
3(-1) 10
0
+1 8
-1
35
-5
10
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26
调整运量后的新方案：
销地
产地
B1
A1
A2
3
A3
B2
B3
5
6
销量
3
6
5
B4
产量
2
7
1
4
3
9
这样可以保证填过数或零的格为m+n-1个，即保证基变量的个数为 m+n-1个。
2021/3/14
14
2.Vogel法
Vogel法的思想是:一地的产品如果不能按照最小运
费就近供应，就考虑次小运费，这就有差额，差额越大， 说明不能按最小运费调运时，运费增加得越多。因而差 额越大处，就应当采用最小运费调运。
同理可以求得 v4=10，u2= -1，等等见上表。
检验数的求法，即用公式 ijciju，i vj
如 1 1 c 1 1 u 1 v 1 3 0 2 1 。
2021/3/14
23
位势法计算检验数：
检验数： ijcijCBB1Pij
cijYiP jcij(u1,..u.m , ,v1,.v.n.)Pij
3
B4
ui
3 10
0
-1 8
-1
35
-5
10
B1
3
31
7
2
B2
11 9
64
9
B3
4(+1) 3 1 (-1) 2
10
3
B4
ui
3(-1) 10
0
+1 8
-1
35
-5
10
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26
调整运量后的新方案：
销地
产地
B1
A1
A2
3
A3
B2
B3
5
6
销量
3
6
5
B4
产量
2
7
1
4
3
9
第三章 运输问题
10 8
8 40
3 20
• 新基可行解的位势方程组为 u2+v1=2 u1+v1=3 u1+v4=4 u2+v3=3 • 取u1=0，解上述方程组得 u1=0 v1=3 u2=－1 v2=－1 u3=4 • 各非基变量的检验数为 σ12 =7－（0－1）= 8>0 σ13 =6－（0+4）= 2>0 σ22 =4－（－1－1）= 6>0 σ24 =3－（－1+4）= 0 σ31 =8－（4+3）= 1>0 σ34 =9－（4+4）= 1>0
B1 A1 A2 A3 x11 x21 x31 B2 x12 x22 x32 B3 x13 x23 x33 B4 x14 x24 x34 B5 x15 x25 x35 B6 x16 x26 x36 B7 x17 x27 x37
闭回路有如下特点： ①每个顶点都是转角； ②每行或每列只有且仅有两个顶点； ③每个顶点的连线都是水平的或垂直的。
u3+v2=3 u3+v3=8 v3=4 v4=4
由于所有非基变量的检验数均大等于零，故从表3—11 中得到最优解为 x11=25，x14=25，x21=15，x23=5， x32=20，x33=10，其它xij=0
f*=3×25+4×25+2×15+3×5+3×20+8×10=360
此外，由于σ24 = 0，故此问题有另一最优基可行解。具
x11 x12 x1n x21 x22 x2n xm1 xm2 xmn
1 1 ... 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 ... 1 1 1 1 1 1 1 1 m行 n行
运筹学 第三章 运输问题
• 设xij表示产地 i 运往销地 j 的物资量, cij表示对应的单位运费, 则我们有运输问题的数学模型如下:
mn
Min Z = cij xij i1 j1 m xij =ai （i=1, ..., m）产量约束 i 1 n xij =bj（j=1, ..., n）销量约束 j1
xij ≥ 0（i=1, ..., m；j=1, ..., n）
15
2. 伏格尔法（Vogel）
例5
销地 产地
A1
B1 3
②
B2
B3
11
3
⑤
B4
ai
10 7 0 0 0 0
1
A2
①
9
2③ 8 4 1 1 1 1
A3
7
4
⑥
10
③
5 9 12 - -
bj
3
6
5
6 20
2513
2 - 13
2 - 12
2-1-
Z＝2×3 ＋1×1＋6×4＋5×3＋3×8＋3×5＝85 16
0
2.决策变量xij的系数列向量为:
1
i位 置
aij
1
m
j位 置
3. 线性无关的行数为m+n-1.
0
5
四、闭回路
1. 概念
例3
销地 产地
A1
A2
A3 bj
B1
B2
B3
B4
ai
3
11 ④
3 ③
10 7
1 ③
9
2
①
84
7
4
⑥
10 ③
59
3
6
5
6 20
1) 数字格 2) 空格
mn
Min Z = cij xij i1 j1 m xij =ai （i=1, ..., m）产量约束 i 1 n xij =bj（j=1, ..., n）销量约束 j1
xij ≥ 0（i=1, ..., m；j=1, ..., n）
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2. 伏格尔法（Vogel）
例5
销地 产地
A1
B1 3
②
B2
B3
11
3
⑤
B4
ai
10 7 0 0 0 0
1
A2
①
9
2③ 8 4 1 1 1 1
A3
7
4
⑥
10
③
5 9 12 - -
bj
3
6
5
6 20
2513
2 - 13
2 - 12
2-1-
Z＝2×3 ＋1×1＋6×4＋5×3＋3×8＋3×5＝85 16
0
2.决策变量xij的系数列向量为:
1
i位 置
aij
1
m
j位 置
3. 线性无关的行数为m+n-1.
0
5
四、闭回路
1. 概念
例3
销地 产地
A1
A2
A3 bj
B1
B2
B3
B4
ai
3
11 ④
3 ③
10 7
1 ③
9
2
①
84
7
4
⑥
10 ③
59
3
6
5
6 20
1) 数字格 2) 空格
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第三章 运输问题
特殊的线性规划
• 运输问题的典例
• 运输问题的数学模型
• 求解方法——表上作业法 • 产销不平衡的运输问题及应用
第 1页
第三章 运输问题
特殊的线性规划
• 运输问题的典例
• 运输问题的数学模型
• 求解方法——表上作业法 • 产销不平衡问题及应用
第 2页
运输问题的典例
例1.某食品公司经销的主要产品之一是糖果.它下面设有三个加工厂,每 天的糖果产量分别为:A1-7t,A2-4t,A3-9t.该公司把这些糖果分别运往 四个地区的门市销售,各地区每天的销售量分别为：B1-3t,B2-5t,B36t，B4-5t.已知从每个加工厂到各销售门市部每吨的运价如表3-1所示 ，问该食品公司应如何调运,在满足各门市部销售需要的情况下，使 得总的运费支出为最少.
A2
15
1 2 10 6
15
A3 bj
5
5
10
10 25 10
15 50
第32 页 32
(二) 最优性检验与方案的调整
最小元素法或Vogel法给出的是一个运输问题的基可行 解，需要通过最优性检验判别该解得目标函数值是否最优， 当为否时，应进行调整得到优化.
基本思想： 计算非基变量（未填上数值的格，即空格）的 检验数（也称为空格的检验数），若全部大于等 于零，则该方案就是最优调运方案，否则就应进 行调整。 1.闭回路法 2.对偶变量法（位势法）
A的秩为m+n-1
为什么？
第15页
第三章 运输问题
特殊的线性规划
• 运输问题的典例
• 运输问题的数学模型
• 求解方法——表上作业法
第16页
第三章 运输问题
特殊的线性规划
• 运输问题的典例
• 运输问题的数学模型
• 求解方法——表上作业法 • 产销不平衡的运输问题及其应用
第17页
表上作业法
作业表（产销平衡表）：将运输问题的有关 信息表和决策变量——调运量结合在一起构成 “作业表”（产销平衡表）。
第10页
m
n
运输问题的数学模型
m in z
c
i 1 j 1
m
n
ij
xij
n i 1, , m xij ai 1 jm s.t . xij b j j 1, , n i 1 xij 0, i 1, m; j 1, , n
表上作业法和单纯形法的求解思想完全一致， 但是具体作法更加简捷。
第20页
表上作业法 ——求解思路图
确定初始方案 (初始基可行解)
判定是否 最 优？ 否
是
结 束
最优方案
改进调整 （换基迭代）
第21页
(一) 初始方案的给定
给定初始方案的方法很多(如前例)，一 般来说，希望方法简便易行，并能给出 较好的方案。减少迭代次数。这里介绍
第18页
填有数字的格:对应运输问题解中的基变 运输问题的典例 量取值，这里为 3+4-1=6个 空格：对应解中非基变量
销地 产地
A1
B1
B2
B3
B4
产量
3
3 1 4
11
9
3
2
10
8 5 6 6
7
4 9 20
A2
2
7 3 6 4
2
10 3 5
A3
销量
第19页
表上作业法
表上作业法的基本思想是 : 先设法给出一个 初始方案 ( 如典例所示 ), 然后根据确定的 判 别准则对初始方案进行检查、调整、改进， 直至求出最优方案。
n m ai b j j 1 i 1
产销平衡条件
第11页
产销平衡的运输问题的特点与性质
1.约束条件都是等式约束 2.总产量＝总销量
a b
i 1 i j 1
m
n
j
第12页
产销平衡的运输问题的特点与性质
3.系数矩阵是一个结构特殊的稀疏矩阵 将 约 束 方 程 组 展 开
第33页
运输问题中的闭回路
在已给出的初始调运方案的运输表上从一 个代表非基变量的空格出发，沿水平或垂直方向 前，只有遇到代表基变量的填入数字的格才能向 左或右转90度（当然也可以不改变方向）继续前 进，这样继续下去，直至回到出发的那个空格， 由此形成的封闭折线叫做闭回路。
注意：由于任意非基变量均可表示为基向量的 唯一线性组合，因此通过任一空格可以 找到唯一的闭回路
销地 产地
A A 11
BB1
1
B2 B 2
B B3 3
B B44
行 10 产量 7
罚
数
3
11
5
3
2 1 3
6
0 0 0 ( 7 ) (10) 1 1 1 6 8 1 2
A2 A 2
A A 3 3
3
1
7
9
4
2
10
8
5
4
9
6
6
销量
列 罚 数
3
5
20
2 2 2
( 5)
1 1 1 1
3 (3) 2 2
第28页
即此新可行解较原来解运费增加1元
11 1
第38页
同理可以找出所有空格（即非基变量）的检验数。
约定作为起始顶点的非基变量为第一个奇数次顶点，相邻 顶点为偶次顶点，其它顶点依次排列，那么，该非基变量 闭回路法求检验数 xij的检验数： 产量
第25页
为使迭代过程中基变量的个数恰好为(m+n-1) 个，应在同时划去的一行或一列中的某个格中 填入数字0，表示这个格中的变量是取值为0的 基变量。以便当做有数字的格看待。 产量 销地 产地
A1 B1
B2
B3
B4
3
7
11
1
4
6
5
8 6
6 －6
7 －1 -6
4 －4 9 －6 －3
A2
A3
7
3
4
0
第34页
运输问题中的闭回路
表中闭回路的变量集合是 {x11,x12,x42,x
4A2 A3 x31 x11
B2 x12
B3
B4
B5
x 35,x 31}共有8个顶点，
这8个顶点间用水平或垂
x23
x25 x35
直线段连接起来，组成一
条封闭的回路。
A4
x42
x43
第35页
n 行
0 1 第 i行 Pij ei em j 1 第m+j行 0
矩阵的元素均为1或0； 每一列只有两个元素为1，其余元素均为0；
将矩阵分块,特点是:前m行构成m个m×n阶矩阵,而且第k个矩阵只有第k 行元素全为1,其余元素全为0（k=1,…,m）;后n行构成m个n阶单位阵。
运输问题中的闭回路
将如下表中 6 个顶点间用水平或垂直线段连接起来， 孤立格是指在所在行或列中唯一出现的变量。 组成一条封闭的回路。 孤立格一定不会成为闭回路的顶点
销地 产地
A1
A2
A3
B1
B2
B3
B4
3 3 1 7 3 6 6
11 9 4
4 1
3 2 10 5
3
10 8
产 量 7 4 9 20
最小元素法Z = 4*3+3*10+3*1+1*2+6*4+3*5 = 86>85 沃格尔法Z = 5*3+2*10+3*1+1*8+6*4+3*5 = 85
销地 产地
A A 11
B1 B1
B2 B 2
B B3 3
B B 4 4
3
11
5
3
2 1 3
6
10
产量 7
A2 A 2
A A 3 3
3
1
7
9
4
第14页
n行
x11 , x12 , , x1n ; x 21 , x 22 , x 2n , , , , , x m1 , x m2 , x mn
m 行
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
第 4页
运输问题的框图表示
供应量 供应地
运价cij
需求地 需求量
a1
A1
B1
b1
a2 ︰ ︰ am
A2 ︰ ︰ Am
B2 ︰ ︰ Bn
b2 ︰ ︰ bm
第 5页
运输问题的数学模型
产销平衡表
第 6页
运输问题的数学模型
单位运价表
第 7页
运输表（运价，运量）
销地 产地
A1
A2
B1
B2
Bn
产 量
表 3-1 门市部 加工厂 单位：元/t
B1 3 1 7
B2 11 9 4
B3 3 2 10
B4 10 8 5
第 3页
A1 A2 A3
运输问题的一般提法
现有一批货物, 从m个供应地运往n个销售地, Ai ( i=1, ‥‥,m )处有货物ai吨，Bj ( j= 1,‥‥,n)处需 货物bj吨, 已知从Ai到Bj的运价为cij 元/吨. 问如何安排，既可以满足各销地需要，又使 总费用最小？
1 3
3－3
6
2
6 -6
10
5 －4 －1
销量
20
第26页
特殊的线性规划
• 运输问题的典例
• 运输问题的数学模型
• 求解方法——表上作业法 • 产销不平衡的运输问题及应用
第 1页
第三章 运输问题
特殊的线性规划
• 运输问题的典例
• 运输问题的数学模型
• 求解方法——表上作业法 • 产销不平衡问题及应用
第 2页
运输问题的典例
例1.某食品公司经销的主要产品之一是糖果.它下面设有三个加工厂,每 天的糖果产量分别为:A1-7t,A2-4t,A3-9t.该公司把这些糖果分别运往 四个地区的门市销售,各地区每天的销售量分别为：B1-3t,B2-5t,B36t，B4-5t.已知从每个加工厂到各销售门市部每吨的运价如表3-1所示 ，问该食品公司应如何调运,在满足各门市部销售需要的情况下，使 得总的运费支出为最少.
A2
15
1 2 10 6
15
A3 bj
5
5
10
10 25 10
15 50
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(二) 最优性检验与方案的调整
最小元素法或Vogel法给出的是一个运输问题的基可行 解，需要通过最优性检验判别该解得目标函数值是否最优， 当为否时，应进行调整得到优化.
基本思想： 计算非基变量（未填上数值的格，即空格）的 检验数（也称为空格的检验数），若全部大于等 于零，则该方案就是最优调运方案，否则就应进 行调整。 1.闭回路法 2.对偶变量法（位势法）
A的秩为m+n-1
为什么？
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第三章 运输问题
特殊的线性规划
• 运输问题的典例
• 运输问题的数学模型
• 求解方法——表上作业法
第16页
第三章 运输问题
特殊的线性规划
• 运输问题的典例
• 运输问题的数学模型
• 求解方法——表上作业法 • 产销不平衡的运输问题及其应用
第17页
表上作业法
作业表（产销平衡表）：将运输问题的有关 信息表和决策变量——调运量结合在一起构成 “作业表”（产销平衡表）。
第10页
m
n
运输问题的数学模型
m in z
c
i 1 j 1
m
n
ij
xij
n i 1, , m xij ai 1 jm s.t . xij b j j 1, , n i 1 xij 0, i 1, m; j 1, , n
表上作业法和单纯形法的求解思想完全一致， 但是具体作法更加简捷。
第20页
表上作业法 ——求解思路图
确定初始方案 (初始基可行解)
判定是否 最 优？ 否
是
结 束
最优方案
改进调整 （换基迭代）
第21页
(一) 初始方案的给定
给定初始方案的方法很多(如前例)，一 般来说，希望方法简便易行，并能给出 较好的方案。减少迭代次数。这里介绍
第18页
填有数字的格:对应运输问题解中的基变 运输问题的典例 量取值，这里为 3+4-1=6个 空格：对应解中非基变量
销地 产地
A1
B1
B2
B3
B4
产量
3
3 1 4
11
9
3
2
10
8 5 6 6
7
4 9 20
A2
2
7 3 6 4
2
10 3 5
A3
销量
第19页
表上作业法
表上作业法的基本思想是 : 先设法给出一个 初始方案 ( 如典例所示 ), 然后根据确定的 判 别准则对初始方案进行检查、调整、改进， 直至求出最优方案。
n m ai b j j 1 i 1
产销平衡条件
第11页
产销平衡的运输问题的特点与性质
1.约束条件都是等式约束 2.总产量＝总销量
a b
i 1 i j 1
m
n
j
第12页
产销平衡的运输问题的特点与性质
3.系数矩阵是一个结构特殊的稀疏矩阵 将 约 束 方 程 组 展 开
第33页
运输问题中的闭回路
在已给出的初始调运方案的运输表上从一 个代表非基变量的空格出发，沿水平或垂直方向 前，只有遇到代表基变量的填入数字的格才能向 左或右转90度（当然也可以不改变方向）继续前 进，这样继续下去，直至回到出发的那个空格， 由此形成的封闭折线叫做闭回路。
注意：由于任意非基变量均可表示为基向量的 唯一线性组合，因此通过任一空格可以 找到唯一的闭回路
销地 产地
A A 11
BB1
1
B2 B 2
B B3 3
B B44
行 10 产量 7
罚
数
3
11
5
3
2 1 3
6
0 0 0 ( 7 ) (10) 1 1 1 6 8 1 2
A2 A 2
A A 3 3
3
1
7
9
4
2
10
8
5
4
9
6
6
销量
列 罚 数
3
5
20
2 2 2
( 5)
1 1 1 1
3 (3) 2 2
第28页
即此新可行解较原来解运费增加1元
11 1
第38页
同理可以找出所有空格（即非基变量）的检验数。
约定作为起始顶点的非基变量为第一个奇数次顶点，相邻 顶点为偶次顶点，其它顶点依次排列，那么，该非基变量 闭回路法求检验数 xij的检验数： 产量
第25页
为使迭代过程中基变量的个数恰好为(m+n-1) 个，应在同时划去的一行或一列中的某个格中 填入数字0，表示这个格中的变量是取值为0的 基变量。以便当做有数字的格看待。 产量 销地 产地
A1 B1
B2
B3
B4
3
7
11
1
4
6
5
8 6
6 －6
7 －1 -6
4 －4 9 －6 －3
A2
A3
7
3
4
0
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运输问题中的闭回路
表中闭回路的变量集合是 {x11,x12,x42,x
4A2 A3 x31 x11
B2 x12
B3
B4
B5
x 35,x 31}共有8个顶点，
这8个顶点间用水平或垂
x23
x25 x35
直线段连接起来，组成一
条封闭的回路。
A4
x42
x43
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n 行
0 1 第 i行 Pij ei em j 1 第m+j行 0
矩阵的元素均为1或0； 每一列只有两个元素为1，其余元素均为0；
将矩阵分块,特点是:前m行构成m个m×n阶矩阵,而且第k个矩阵只有第k 行元素全为1,其余元素全为0（k=1,…,m）;后n行构成m个n阶单位阵。
运输问题中的闭回路
将如下表中 6 个顶点间用水平或垂直线段连接起来， 孤立格是指在所在行或列中唯一出现的变量。 组成一条封闭的回路。 孤立格一定不会成为闭回路的顶点
销地 产地
A1
A2
A3
B1
B2
B3
B4
3 3 1 7 3 6 6
11 9 4
4 1
3 2 10 5
3
10 8
产 量 7 4 9 20
最小元素法Z = 4*3+3*10+3*1+1*2+6*4+3*5 = 86>85 沃格尔法Z = 5*3+2*10+3*1+1*8+6*4+3*5 = 85
销地 产地
A A 11
B1 B1
B2 B 2
B B3 3
B B 4 4
3
11
5
3
2 1 3
6
10
产量 7
A2 A 2
A A 3 3
3
1
7
9
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n行
x11 , x12 , , x1n ; x 21 , x 22 , x 2n , , , , , x m1 , x m2 , x mn
m 行
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
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运输问题的框图表示
供应量 供应地
运价cij
需求地 需求量
a1
A1
B1
b1
a2 ︰ ︰ am
A2 ︰ ︰ Am
B2 ︰ ︰ Bn
b2 ︰ ︰ bm
第 5页
运输问题的数学模型
产销平衡表
第 6页
运输问题的数学模型
单位运价表
第 7页
运输表（运价，运量）
销地 产地
A1
A2
B1
B2
Bn
产 量
表 3-1 门市部 加工厂 单位：元/t
B1 3 1 7
B2 11 9 4
B3 3 2 10
B4 10 8 5
第 3页
A1 A2 A3
运输问题的一般提法
现有一批货物, 从m个供应地运往n个销售地, Ai ( i=1, ‥‥,m )处有货物ai吨，Bj ( j= 1,‥‥,n)处需 货物bj吨, 已知从Ai到Bj的运价为cij 元/吨. 问如何安排，既可以满足各销地需要，又使 总费用最小？
1 3
3－3
6
2
6 -6
10
5 －4 －1
销量
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