2017春九年级数学下册27.1.2垂径定理(1)讲义(新版)华东师大版
九年级数学下册第27章圆的基本元素圆的对称性垂径定理圆周角2圆的对称性第2课时垂径定理教案华东师大版
27.1 圆的认识 2.圆的对称性第2课时 垂径定理1．理解垂径定理和推论的内容,并会证明,利用垂径定理解决与圆有关的问题；(重点) 2．利用垂径定理及其推论解决实际问题．(难点)一、情境导入你知道赵州桥吗？它又名“安济桥”,位于河北省赵县,是我国现存的著名的古代石拱桥,距今已有1400多年了,是隋代开皇大业年间(605～618)由著名将师李春建造的,是我国古代人民勤劳和智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形,全长50.82米,桥宽约10米,跨度37.4米,拱高7.2米,是当今世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩石拱桥．你知道主桥拱的圆弧所在圆的半径吗？二、合作探究探究点一：垂径定理【类型一】 利用垂径定理求直径或弦的长度如图,⊙O 的直径AB 垂直弦CD 于点P ,且P 是半径OB 的中点,CD ＝6cm,则直径AB 的长是( )A ．23cmB ．32cmC ．42cmD ．43cm 解析：∵直径AB ⊥DC ,CD ＝6,∴DP ＝3.连接OD ,∵P 是OB 的中点,设OP 为x ,则OD 为2x ,在Rt △DOP 中,根据勾股定理列方程32＋x 2＝(2x )2,解得x ＝ 3.∴OD ＝23,∴AB ＝4 3.故选D.方法总结：我们常常连接半径,利用半径、弦、垂直于弦的直径构造直角三角形,然后应用勾股定理解决问题．【类型二】 垂径定理的实际应用如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的AB ︵),点O 是这段弧的圆心,C 是AB ︵上一点,OC ⊥AB ,垂足为D ,AB ＝300m,CD ＝50m,则这段弯路的半径是________m.解析：∵OC ⊥AB ,AB ＝300m,∴AD ＝150m.设半径为R ,根据勾股定理可列方程R 2＝(R －50)2＋1502,解得R ＝250.故答案为250.方法总结：将实际问题转化为数学问题,再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答．【类型三】 垂径定理的综合应用如图,已知圆O 的直径AB 垂直于弦CD 于点E ,连接CO 并延长交AD 于点F ,且CF ⊥AD . (1)求证：点E 是OB 的中点； (2)若AB ＝8,求CD 的长．解析：(1)要证明E 是OB 的中点,只要求证OE ＝12OB ＝12OC ,即∠OCE ＝30°；(2)在Rt △COE 中,根据勾股定理可以解得CE 的长,进而求出CD 的长．(1)证明：连接AC .如图,∵直径AB 垂直于弦CD 于点E ,∴AC ︵＝AD ︵,∴AC ＝AD .∵过圆心O 的直线CF ⊥AD ,∴AF ＝DF ,即CF 是AD 的垂直平分线,∴AC ＝CD ,∴AC ＝AD ＝CD ,即△ACD 是等边三角形,∴∠FCD ＝30°.在Rt △COE 中,OE ＝12OC ,∴OE ＝12OB ,∴点E 为OB 的中点；(2)解：在Rt △OCE 中,AB ＝8,∴OC ＝OB ＝12AB ＝4.又∵BE ＝OE ,∴OE ＝2,∴CE ＝OC 2－OE 2＝16－4＝23,∴CD ＝2CE ＝4 3.方法总结：解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里,运用勾股定理求解．探究点二：垂径定理的推论【类型一】 利用垂径定理的推论求角的度数如图,⊙O 的弦AB 、AC 的夹角为50°,M 、N 分别是AB ︵、AC ︵的中点,则∠MON 的度数是( ) A ．100° B ．110° C ．120° D ．130°解析：已知M 、N 分别是AB ︵、AC ︵的中点,由“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”得OM ⊥AB 、ON ⊥AC ,所以∠AEO ＝∠AFO ＝90°,而∠BAC ＝50°,由四边形内角和定理得∠MON ＝360°－∠AEO －∠AFO －∠BAC ＝360°－90°－90°－50°＝130°.故选D.【类型二】 利用垂径定理的推论求边的长度如图,点A 、B 是⊙O 上两点,AB ＝10cm,点P 是⊙O 上的动点(与A 、B 不重合),连接AP 、BP ,过点O 分别作OE ⊥AP 于点E ,OF ⊥PB 于点F ,求EF 的长．解析：运用垂径定理先证出EF 是△ABP 的中位线,然后运用三角形中位线性质把要求的EF 与AB 建立关系,从而解决问题．解：在⊙O 中,∵OE ⊥AP ,OF ⊥PB ,∴AE ＝PE ,BF ＝PF ,∴EF 是△ABP 的中位线,∴EF ＝12AB＝12×10＝5(cm)． 方法总结：垂径定理虽是圆的知识,但也不是孤立的,它常和三角形等知识综合来解决问题,我们一定要学会把知识融会贯通,在解决问题时才能得心应手．【类型三】 动点问题如图,⊙O 的直径为10cm,弦AB ＝8cm,P 是弦AB 上的一个动点,求OP 长度的取值范围．解析：当点P 处于弦AB 的端点时,OP 最长,此时OP 为半径的长；当OP ⊥AB 时,OP 最短,利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP 的长．解：如图,作直径MN ⊥弦AB ,交AB 于点D ,由垂径定理,得AD ＝DB ＝12AB ＝4cm.又∵⊙O的直径为10cm,连接OA ,∴OA ＝5cm.在Rt △AOD 中,由勾股定理,得OD ＝OA 2－AD 2＝3cm.∵垂线段最短,当点P 处于弦AB 的端点时,OP 最长,此时OP 为半径的长,∴OP 长度的取值范围是3cm ≤OP ≤5cm.方法总结：解题的关键是明确OP 最长、最短时的情况,灵活利用垂径定理求解．容易出错的地方是不能确定最值时的情况．三、板书设计垂径定理1．垂径定理2．垂径定理的推论垂径定理是中学数学中的一个很重要的定理,由于它涉及的条件结论比较多,学生容易搞混淆,本节课采取了讲练结合、动手操作的教学方法,课前布置所有同学制作一张圆形纸片,课上利用此纸片探索、体验圆是轴对称图形,并进一步利用圆的轴对称性探究垂径定理,环环相扣、逐层深入,激发学生的学习兴趣,收到了很好的教学效果.。
华师大版九下数学27.第2课时垂径定理教学课件
∴ EA=EB， A⌒C=B⌒C，A⌒D=B⌒D． C E
O
D
B
例1 如图，两个圆都 以点O为圆心，小圆的 弦CD与大圆的弦AB在 同一条直线上。你认为 AC与BD的大小有什么 关系？为什么？
O
A C G DB
例2 一条排水管的截面如图所示．排水 管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面 圆心O到水面的距离OC ．
思路：由垂径定理可得M、N分别 是AB、AC的中点，所以MN= BC=2．
A
M ．N
O
B
C
１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性； （2）垂径定理．
2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计 算和证明．
3．解题的主要方法：
（1）画弦心距是圆中常见的辅助线；
（2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直 角三角形是研究与圆有关问题的主要思路， 它们之间的关系：
B
理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，
根据圆的轴轴对称性，可得射线EA与EB重合，
∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重
合．
⌒⌒ ⌒⌒
∴ EA=EB， AC=BC，AD=BD．
垂径定理：垂直于弦的直径 平分这条弦，并且平分弦所 对的弧．
垂径定理的几何语言
A
∵CD为直径，CD⊥AB（OC⊥AB）
义务教育教科书（华师）九年级数学
下第册 27章 圆
27.1 圆的认识
——垂径定理
1．若将一等腰三角形沿着底 边上的高对折， 将会产生什 么结果?
２．如果以这个等腰三角形的顶 点为圆心，腰长为半径作圆，得 到的圆是否是轴对称图形呢？
1．结论： 圆是轴对称图形，每一条直径所在 的直线都是对称轴．
九年级数学下册第二十七章圆27.1圆的认识垂直于弦的直径性质说课稿(新版)华东师大版
一．授课背景分析1.学习任务分析“垂径定理” 是义务教育课程标准实验教科书《数学》（华师版）九年级下册第二十七章《圆》的内容，第一课时学习了圆的相关看法，本课是学习圆的轴对称——垂径定理及其推论，在学习过程中让学生经历欣赏、着手实践、思虑、归纳等数学研究活动，最后领悟圆的轴对称美。
“垂径定理”是圆的轴对称性的重要表现，同时也包括了线段、弧、等腰三角形等图形的轴对称性，是初中阶段轴对称中集大成者。
“垂径定理”也是我们计算和证明圆的相关问题的重要基石，并且经过研究“垂径定理及其推论” 十分有益于培养学生实践创新能力和数学审美能力。
2.学生情况分析学生已经学习了线段、等腰三角形等图形的轴对称性。
对轴对称性方面的数学直感已初步形成，同时也初步具备研究某些特别图形的轴对称性的能力。
但学生依旧难以将数学直感提升到公义化定理化层面，依旧难以圆满使用“折叠法”完成定理的证明。
3.重点难点的定位授课垂点：垂径定理及其推论。
授课难点：（1）用“折叠法”证明垂径定理，（2）领悟垂径定理中的对称美。
二．授课目的设计 :1.知识与技术目标：使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决相关的证明、计算和作图问题。
培养学生观察能力、分析能力及联想能力。
2.过程与方法目标：教师播放动画、创立情境，激发学生的求知欲望；学生在老师的引导下进行自主研究、合作交流，收获新知；经过分组训练、深入新知，共同感觉收获的欢喜。
3.感情、态度与价值观：对圆的轴对称美的始于欣赏，进而分析提升，直至最后领悟数学美。
进而陶冶学生情操，发展学生心灵美，提升数学审美力。
三．课堂结构设计：《数学课程标准》重申，要创立性地使用教材，要请教师以发展的眼光来对待它。
因此，我在敬爱教材的前提下，结合学情，对教材例题、习题作合适的办理, 将本节课的课堂结构设计为以下四个环节：1.欣赏美——创立问题情境2.研究美——揭秘中心问题3.徜徉美——问题变式发散4.品味美——重建知识系统课堂授课应以学生为主体，教师为主导。
华东师大版数学九年级下册专题课堂垂径定理与圆周角的应用课件
9．(202X·徐州)如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC与OD交于点E， AE＝EC，OE＝ED.连结BC，CD.求证：
(1)△AOE≌△CDE； (2)四边形OBCD是菱形．
解：(1)在△ AOE 和△ CDE 中，A∠EA＝EOCE＝，∠CED， ∴△AOE≌△CDE(SAS) OE＝DE，
解：如图，作 A 关于 MN 的对称点 Q，连结 MQ，BQ，BQ 交 MN 于 P，此时 AP＋PB＝QP＋PB＝QB，根据两点之间线段最短，可得 PA＋PB 的最小值为 QB 的长度，连结 AO，OB，OQ，∵B 为A︵N 中点，∴∠BON＝∠AMN＝30°，∴ ∠QON＝2∠QMN＝2×30°＝60°，∴∠BOQ＝30°＋60°＝90°.∵MN 是 ⊙O 的直径，且 MN＝2，∴OB＝1，∴BQ＝ 12＋12 ＝ 2 .∴PA＋PB 的最小
值为 2
类型二：圆周角定理与等腰三角形的综合运用 【例4】(杭州中考)如图，AB是⊙O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作 DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DFA＝__3_0_°_．
分析：利用垂径定理和三角函数得出∠CDO的度数，进而得出∠DOA的度数， 利用圆周角定理得出∠DFA的度数即可．
二、圆周角定理与三角形的综合运用 类型一：圆周角定理与直角三角形的综合运用 【例3】(扬州中考)如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都 在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则sin ∠ADC的值为( A)
A．2
13 13
B．3
13 13
CБайду номын сангаас23
D．32
【分析】第一根据圆周角定理可知，∠ADC＝∠ABC，然后在Rt△ACB中， 根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正弦值．
华师版九年级下册27章圆27.1.2垂径定理
垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；（2）平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦（2）四组量关系定理：在同圆或等圆；中，如果两个圆心角；两条弧；两条弦；两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．垂径定理一般与直角三角形结合，半径，弦心距和弦长一半构造勾股定理列方程，解线段长圆中处理问题的思路①找圆心，连半径，转移边；②遇弦，作垂线，垂径定理配合勾股定理建等式； ③遇直径，找直角，由直角，找直径； ④由弧找角，由角看弧．补充：中考数学中涉及“一半”的相关内容①直角三角形斜边中线等于斜边的一半； ②30°所对的直角边等于斜边的一半；③三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半； ④圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半．➢ 精讲精练 一选择题：1. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不一定成立的是（ ） A ．CM =DMB ．CB ︵=BD ︵C ．∠ACD =∠ADCD ．OM =MD2、一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆半径AD 为10，截面圆圆心A 到水面的距离AE 为6，则水面宽CD 的长为（ ）A ．16B ．10C ．8D ．6第2题图第3题图3、如图，CD是⊙A的弦，AE⊥CD于点E，交⊙A于点B，则下列说法不一定正确的是（）A．CE=DE B．∠F=∠CAE C．弧BC=弧BD D．AE=BE 4、如图，BE为⊙A的直径，CD为弦，AB⊥CD，若∠BAC=70°，则∠E的度数为（）A．70°B．35°C．30°D．20°二填空题1、如图，⊙A的弦CD垂直平分半径AB，若CD=6，则⊙A的半径为_________．2.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB 的长度为__________mm．A BC DRO第/2题图 第3题图3. 如图，圆拱桥桥拱的跨度AB =12 m ，桥拱高CD =4 m ，则拱桥的直径为__________．4. 如图，在⊙O 中，直径CD 垂直于弦AB ，垂足为E ，连接OB ，CB ．已知⊙O 的半径为2，AB=，则∠BCD =_______．ADB O E C5. 如图，⊙O 的两条弦AB ，CD 互相垂直，垂足为E ，且AB =CD ，已知CE =1，ED =3，则⊙O 的半径是__________．7、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB ︵），点O 是这段弧的圆心且∠AOB =90°，C 是AB ︵上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，若AB =300 m ，CD =50 m ，则这段弯路的半径是___________m ．BD C OA8、如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，若AE =5，BE =1，CD =∠AED =___________．EACD B O9、某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB =16 m ，半径OA =10 m ，则中间柱CD 的高度为______m ．CD BOADOEBC A第/9题图 第10题图10、如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，若CE =1寸，AB =10寸，则直径CD 的长为_________11、如图，CD 是圆A 的弦，CD 长为8，B 是圆上任意一点，过A 作AE ⊥BD 于点E ，AF ⊥BC 于点F ，则EF=________________11、（中位线）如图，定长弦DF 在以BC 为直径的圆A 上滑动（D,F 不与点B,C 重合）G 是弦DF 的中点，过点D 作DE ⊥AB 于点E,连接EG ,若DF=3,BC=8，则EG 的最大值是_________________12、如图，将半径为4厘米的圆A折叠后，圆弧BC恰好经过圆心，则折痕BC 的长是__________________三、解答题⊙的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB=24 cm，CD=10 cm，1、（分类讨论）已知O求AB，CD之间的距离．2、（垂径定理+中位线）如图，BC是圆A的直径，弦BD=5,AE⊥CD于点E，求AE的长3、（垂径定理+30°所对的直角边等于斜边的一半）如图，∠PAC=30°，在射线AC 上顺次截取AD =3 cm ，DB =10 cm ，以DB 为直径作⊙O ，交射线AP 于E ，F 两点，求线段EF 的长PFE C B ODA4、（垂径定理+等积式）如图，∠A=90°，以AB 为半径的圆A 与BC 相交于点D ，若AB=3,AC=4,求CD 的长5、如图，已知BC 为圆A 的直径，弦EF 交BC 于点D ，∠CDF=30°，AD=4，DE=35，求弦EF 及圆A 的半径长。
华师版九年级数学下册习题课件：27.1.2.2 垂径定理
1 在 Rt△ODP 中，sin∠ODP＝OODP＝2OODD＝12，∴∠ODP＝30° ∴OD＝cosD3P0°＝2 3(cm)，∴AB＝2OD＝4 3(cm)
①CE＝DE；②BE＝OE；③C︵B＝B︵D；④∠CAB＝∠DAB；⑤AC ＝AD.
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
11．如图，⊙O 的直径 AB＝12，CD 是⊙O 的弦，CD⊥AB，垂 足为 P，且 BP∶AP＝1∶5，则 CD 的长为( D )
A．4 2 B．8 2 C．2 5 D．4 5
解：过 O 作 OE⊥AB 于 E，连接 OC，
OA，易求 OE＝ 5，AE＝2 5，则
AB＝2AE＝4 5，∴AC＋DB＝AB－CD ＝4 5－4＝4( 5－1)(千米)
一、选择题(每小题 4 分，共 8 分)
10．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于ห้องสมุดไป่ตู้ E，则下列结论 一定正确的个数是( A )
下列结论错误的是( B )
A．CE＝DE B．AE＝OE
C.B︵C＝B︵D
D．△OCE≌△ODE
2．(4分)(2015·遂宁)如图，在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝6 cm
，OC⊥AB于点C，则OC＝( B )
A．3 cm
B．4 cm C．5 cm
D．6 cm
3．(4分)如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝6，M是AB上任意一
于点 M，则 CM＝DM.∵直径 AB＝16 cm，
P 为 OB 的中点，∴OP＝4 cm.在
Rt△OPM 中，∵∠APD＝30°， ∴OM＝12OP＝2 cm.在 Rt△DOM 中， DM＝ DO2－OM2＝ 82－22＝2 15(cm)， ∴CD＝2DM＝4 15 cm
27-1-2圆的对称性垂径定理(课件)华东师大版数学九年级下册
5.如图是水平放置的水管截面示意图，已知水管的半径为
50cm，水面宽AB＝80cm，则水深CD约为 20 cm．
18
例题讲解
例3.如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接 CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD． （1）求证：E是OB的中点； （2）若AB＝16，求CD的长．
——垂径定理及其推论
垂径定理及其推论
东坡区实验中学 周成文
1
【教学目标】
1．知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性； ②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的
证明与计算问题； ③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线
段。 2．能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑 思维和归纳概括能力；
【解答】解：连接OC
∵M是⊙O弦CD的中点，
根据垂径定理：EM⊥CD，
又CD＝4，则有：CM 1 CD 2, 2
设圆的半径是x米，
在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝22+(6﹣x)2，
解得：X 10
3
所以圆的半径是10
．
3
14
例题讲解
例2．⊙O中，直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm， EB＝5cm，且∠DEB＝60°，求CD的长．
O
AB，则AE=BE，弧AD=弧BD， A 弧AC=弧BC
• 注意:过圆心和垂直于弦两个条
E
B
D
件缺一不可。
9
画图叙述垂径定理，并说出
定理的题设和结论。
题设
①直线CD经过圆心O
结论
③直线CD平分弦AB
27.1.2 第2课时 垂径定理(课件)九年级数学下册(华东师大版)
圆心且垂直于弦的线段、直线均可.
2.“两条弧”是指弦所对的劣弧和优弧或半圆，不要
漏掉了优弧 .
辨析 下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请
说明为什么？
C
C
A
O
A
E
D
是
C
B
O
B
不是，因为
没有垂直
O E
O
A
E
是
B
A
B
D
不是，因为
CD 没有过圆心
归纳总结
所对的弧.
C
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？
如果不能，请举出反例.
A
O
·
：
圆的两条直径是互相平分的
.
B
D
例1 如图27.1-12，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为点H，
且CD=2 ，BD= ，则AB的长为(
A. 2
B. 3
C. 4
)
D. 5
分析： 构造垂径定理的基本图形
解题. 把半径、圆心到弦的垂线段、
解：如图27.1-16，连结AB，BC，分别作
AB，BC的垂直平分线，两条垂直平分线
的交点O即为所求圆的圆心.
垂径定理的实际应用
试一试：根据所学新知，你能利用垂径定理求出引入
中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
解：如图，过桥拱所在圆的圆心 O 作 AB 的垂线，交 AB
于点 C，交弦 AB 于点 D，则 CD = 7.23 m.
结论吗？
推导过程：
① CD 是直径
③ AE = BE
② CD⊥AB，垂足为 E
④ AC BC，AD BD