2023全国乙卷高考文科数学试卷及答案解析
2023全国乙卷高考文科数学试卷及答案解
析
2023年高考全国乙卷数学(文)试题
2023年高考全国乙卷数学(文)试题参考答案
2023高考数学答题技巧有哪些
一、巧解选择、填空题
解数学选择、填空题的基本原则是“小题不可大做”。思路:第一、直接从
题干出发考虑,探求结果;第二、从题干和选择联合考虑;第三、从选择出发探求
满足题干的条件。
解数学填空题基本方法有：直接求解法、图像法、构造法和特殊化法(如特
殊值、特殊函数、特殊角、特殊数列、图形的特殊位置、特殊点、特殊方程、特
殊模型等)。
二、细答解答题
1、数学规范答题很重要，找到解题方法后，书写要简明扼要，快速规范，
不拖泥带水，高考评分是按步给分，关键步骤不能丢，但允许合理省略非关键步
骤。答题时，尽量使用数学符号，这比文字叙述要节省时间且严谨。即使过程比
较简单，也要简要地写出基本步骤，否则会被扣分。
经常看到考生的数学卷面出现“会而不对”、“对而不全”的情况，造成考
生自己的估分与实际得分相差很多。尤其是平面几何初步中的“跳步”书写，使
考生丢分，所以考生要尽可能把过程写得详尽、准确。
2、分步列式，尽量避免用综合或连等式。数学高考评分是分步给分，写出
每一个过程对应的式子，只要表达正确都可以得到相应的分数。
有些考生喜欢写出一个综合或连等式，这种方式就不好，因为只要发现综合
式中有一处错误，就可能丢过程分。对于没有得出最后结果的试题，分步列式也
可以得到相应的过程分，由此增加得分机会。
3、尽量保证证明过程及计算方法大众化。解题时，使用通用符号，不易吃
亏。有些考生为图简便使用一些特殊方法，可一旦结果有错，就会影响得分。
高考注意事项
(1)临时考试不慌
考试中恐慌的表现形式是：考生感到紧张、不安、焦虑、全身颤抖、心跳加
快、头脑发热、呼吸困难、喉咙干燥等。由于高度紧张，通常很容易回答错误的
问题，甚至错误地看到问题，甚至不会做原来的问题。我一离开考场，就突然意
识到，但已经太晚了，后悔也没用。
可见，临时考试恐慌是一种普遍现象，是一种值得考生关注的现象。 那么，
如何才能使临考不慌张呢?这要从三个方面入手：
首先，在平时的学习中，要认真复习，扎实学习知识，这样遇到高考就不会
慌张。
第二，在高考中放松。你可以这样做：闭上眼睛，冷静下来，慢慢深吸气，
吸足，然后呼气，这就是深呼吸。深呼吸不仅能使身心放松，还能给血液充分输
送氧气，使头脑清醒，增强记忆力。
第三，在高考中树立考试的信心。有了信心，精神就会振作起来，头脑就会
非常清晰，就不会出现紧张的现象。信心从何而来?一是来自坚实的基础;二是系
统复习;三是对恐慌和紧张的蔑视。只有蔑视，而不是恐惧，才能产生信心。
(2)认真审题法
因为军考没有认真审题，答案错了，题目漏了。那么如何才能认真审题呢?
我们可以从以下几个方面努力:
①要认真对待答卷，克服粗心大意。有的考生拿到试卷，一看题目并不难，
很快就完成了，连看都不看，就交了头卷。其实上面有很多错误，要么丢了数字，
要么看错题。当然，结果不好。这是粗心大意的结果。这种粗心大意的作风不好。
如果养成习惯，以后上班会误大事。设计高层建筑，如果有一个数字错了，就会
出大事。如果设计人造卫星，稍有错误，就可能使卫星飞不上天，等等。对待粗
心的性格，一定要严格要求自己。
②注意全面排队。一拿到题目，就要全部看一遍，哪些比较容易回答，哪些
比较难做，要全面排队，心里有数。这样，就可以确定哪些问题是先做的，哪些
问题是后做的。一般来说，先做容易，后做难题。因为容易的问题把握大，难的
问题把握不大，可能做不到，也可能做不到。如果你把它们放在前面，客人很容
易浪费时间。
(3)认真回答试卷
认真回答问题的方法是关于如何认真回答问题的一些方法。如何回答问题?
应注意以下问题：
①先易后难。②注意回答问题的进展。现在试题的重量比较重，题目又多又
细。做题的时候要注意速度，不要像平时做作业那么慢。如果你做得慢，你可能
无法完成这个问题。有的考生因为动作慢，慢慢做，结果下课铃响了，还有很多
题没做，结果很遗憾。这是这些考生不了解高考特点造成的。注意进度，只是说
集中精力，掌握时间做题目，不仅快，而且不注意答题质量。
③注意书面清洁。这似乎是一件小事，但事实并非如此。如果你在高考中涂
草，所以考官看不到你的答案，这不是一件大事。其次，任何书面不干净，按规
定扣除不干净的点。第二，书面不干净，如果养成习惯，就会对一个人的生活产
生影响。因此，在答案中必须注意书面清洁，不要乱涂乱画。
④注意全面检查。答案完成后，你应该从头到尾检查一下。主要检查两个内
容：一是检查问题是否完成。二是检查是否有错误的单词，答案的格式是否正确。
如果你不再检查它，匆忙地提交论文，就不容易发现错误。
总之，答卷要准确、快速、整洁，千万不要马虎，千万不要马虎。
全国乙卷数学试卷2023文科
全国乙卷数学试卷2023文科2023年全国乙卷数学试卷（文科）第一部分：选择题（共50分）1. 设函数f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 6x + 1，求f(-1)的值。
2. 已知函数f(x) = 2x + 3和g(x) = x^2 - 5x + 2，求复合函数f(g(x))的表达式。
3. 已知函数y = log2(x)，若点(2, y)在图像y = ax^2 + bx + c 上，求a + b + c的值。
4. 若等差数列的第一项为a1，第n项为an，公差为d，已知an = 3n + 1，a1 + a2 + ... + an = 136，求d的值。
5. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a > 0，若f(1) = 2，f(-1) = 6，求函数f(x)的表达式。
6. 设正方形边长为a，内接圆的半径为r，已知a^2 - r^2 = 18，求a的值。
7. 平面上有一圆心坐标为(-3, 4)，通过点(-1, 2)，求该圆的方程。
8. 已知函数f(x) = 2x^2 + ax + b的图像过点(1, 3)，且切线为y = 2x - 1，求参数a和b的值。
9. 设等差数列的公差为d，已知其前5项的和为10，后5项的和为20，求d的值。
10. 在平面直角坐标系中，直线y = 3x + 1与x轴和y轴分别交于点A和B，点P在直线上，且PA的长度是PB的2倍，求点P的坐标。
11. 设函数f(x) = e^x - ax^2 + 4ax - 4，已知f(0) = 0，f'(0)= 0，求参数a的值。
12. 在△ABC中，AB = 6，AC = 8，BC = 10，点D是边BC上的一点，且AD ⊥ BC，求AD的长度。
13. 已知函数f(x) = a^x，其中a > 1，若f(2) + f(3) = 40，求参数a的值。
14. 设函数f(x) = 2x^2 + 3x + k，在区间[1, 2]上的图像与x轴围成的面积为1，求参数k的值。
2023年高考押题预测卷03卷-文科数学(全国乙卷)(原卷及解析版)
绝密★启用前2023年高考押题预测卷03（全国乙卷）文科数学（考试时间：150分钟 试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
评卷人 得分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U =R ，2{|60}A x x x =--<，{|ln(1)}B x y x ==-，则()UA B =（ ）A ．[)1,3B ．(]1,3C ．()1,3D ．(]2,1-2．设复数z 的共轭复数为z ，且满足11iz z i+-=-，i 为虚数单位，则复数z 的虚部是（ ） A ．12B ．2C ．12-D ．2-3．已知函数2()log 164x f x x =-()f x 的定义域为（ ） A ．(,4]-∞B ．(,2]-∞C ．(0,2]D ．(0,4]4．“湖畔波澜飞，耕耘战鼓催”，合肥一六八中学的一草一木都见证了同学们的成长．某同学为了测量澜飞湖两侧C ，D 两点间的距离，除了观测点C ，D 外，他又选了两个观测点12,P P ，且12PP a =，已经测得两个角1221,PP D P PD αβ∠=∠=，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C ，D 间距离的有（ ）组①1DPC ∠和1DCP ∠；②12PP C ∠和12PCP ∠；③1PDC ∠和1DCP ∠ A ．0B ．1C ．2D ．35．设向量(0,2),(2,2)a b ==，则（ ） A ．||||a b =B ．()//a b b -C ．a 与b 的夹角为3πD ．()a b a -⊥ 6．已知双曲线22144x y a a -=+-(a >4)的实轴长是虚轴长的3倍，则实数a =（ ）A ．5B ．6C ．8D ．97．在等比数列{}n a 中，若25234535,44a a a a a a =-+++=，则23451111a a a a +++= A ．1B ．34-C ．53-D ．43-8．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥表面上的点M ､N ､P ､Q 在三视图上对应的点分别为A ､B ､C ､D ，且A ､B ､C ､D 均在网格线上，图中网格上的小正方形的边长为1，则几何体MNPQ 的体积为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．239．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边经过点A (1，-3)，则tan()4πα+=（ ）A ．12B ．12-C ．1D ．-110．2021年电影春节档票房再创新高，其中电影《唐人街探案3》和《你好，李焕英》是今年春节档电影中最火爆的两部电影，这两部电影都是2月12日（大年初一）首映，根据猫眼票房数据得到如下统计图，该图统计了从2月12日到2月18日共计7天的累计票房（单位：亿元），则下列说法中错误的是（ ）A ．这7天电影《你好，李焕英》每天的票房都超过2.5亿元B ．这7天两部电影的累计票房的差的绝对值先逐步扩大后逐步缩小C ．这7天电影《你好，李焕英》的当日票房占比逐渐增大D ．这7天中有4天电影《唐人街探案3》的当日票房占比超过50%11．已知函数()()sin 02f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移3ωπ个单位得到函数()g x 的图象，点A ，B ，C 是()f x 与()g x 图象的连续相邻的三个交点，若ABC 是钝角三角形，则ω的取值范围是（ ） A ．3,⎫+∞⎪⎪⎝⎭B ．2,⎫+∞⎪⎪⎝⎭C ．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D ．3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭12．已知球O 的半径为R ，A ，B ，C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为12R ，3AB AC ==，120BAC ∠=︒，则球O 的表面积为（ ）A ．48πB ．16πC ．64πD ．36π评卷人 得分二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知1e ，2e 均为单位向量，若123e e -=，则1e 与2e 的夹角为______．14．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>2,直线l 与椭圆交于A ,B 两点,当AB 的中点为()1,1M 时,直线l 的方程为___________.15．已知锐角ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则ABC 的面积是__________．16．在四面体ABCD 中，ABC 与ACD △都是边长为3G 为AC 的中点，且2BGD π∠=，则该四面体ABCD 外接球的表面积为___________. 评卷人 得分三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（12分）已知一个由正数组成的数阵，如下图各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，且公比都相等，1214332,4,12a a a ===. 第一行111213141,,,n a a a a a 第二行212223242,,,n a a a a a第三行313233343,,,n a a a a a……第n 行1234,,,n n n n nn a a a a a (1)求数列{}2n a 的通项公式； (2)设()()()12122,1,2,3,11n n n n b n a a -+==-⋅-，求数列{}n b 的前n 项和n S .18．（12分）为纪念建党100周年，某校举办党史知识竞赛，现从参加竞赛的同学中，选取200名同学并将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组[)40,50，第2组[)50,60，第3组[)60,70，第4组[)70,80，第5组[)80,90，第6组[]90,100.得到如图所示的频率分布直方图.(1)求a 的值，并估计这200名学生成绩的中位数；(2)若先用分层抽样的方法从得分在[)40,50和[)50,60的学生中抽取5人，然后再从抽出的5人中任意选取2人，求此2人得分恰在同一组的概率. 19．（12分）如图，四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中AB BC ⊥，//CD AB ，面ABE ⊥面ABCD ，且224AB AE BE BC CD =====，点M 在棱AE 上．（1）若直线//CE 平面BDM ，求:EM AM 的值． （2）当AE ⊥平面MBC 时，求点C 到平面BDM 的距离． 20.（12分）已知椭圆方程为221259y x +=，若抛物线22(0)x py p =>的焦点是椭圆的一个焦点．(1)求该抛物线的方程；(2)过抛物线焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，分别在点A ，B 处作抛物线的切线，两条切线交于P 点，则PAB △的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 21．（12分）已知函数()1e xf x ax -=-，(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 在()0,2上有两个不相等的零点12,x x ，求证：121x x a>. （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(其中t 为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 40m ρρθ--=（其中m 0>）. (1)若点M 的直角坐标为()3,3，且点M 在曲线C 内，求实数m 的取值范围； (2)若3m =,当α变化时，求直线l 被曲线C 截得的弦长的取值范围. 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数()241f x x x =++-.(1)求不等式()6f x >的解集；(2)设函数()f x 的最小值为m ，正实数a ，b 满足229a b m +=，求证：326a b ab +≥.2023年高考押题预测卷03（全国乙卷）文科数学·全解全析1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 DBACDDBDDDAD1．D解：∵{}12A x x =<<，{}12B x x =≤≤， ∵{}12A B x x ⋂=<<， 故选：D ． 2．B因为()()()221i 1i 12i i i 1i 1i 1i 2++++===--+， 所以其共轭复数为i -，则其虚部为1-， 故选：B 3．A 当14a >，0x >时，由基本不等式可知21a ax x a x x +≥⋅=， 故“14a >”是“对任意的正数x ，均有1ax x+≥”的充分条件； 当14a =时，114a a x x x x +≥⋅=成立，14a >不成立， 故“14a >”是“对任意的正数x ，均有1ax x+≥”的不必要条件. 故选：A 4．C解：因为函数()f x 是定义域为R 的偶函数， 所以()()f x f x =-， 又因为()()11f x f x +=-， 所以()()2f x f x -=，则()()2f x f x -=-，即()()2f x f x +=， 所以周期为2T =，因为112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，33121222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：C 5．D对于A ：当2a =，4b =-时不成立，故A 错误；对于B ：当12a =-，1b =-，所以2ba =，101b a +=+，即11b b a a +>+，故C 错误；对于C ：当0c 时不成立，故C 错误；对于D ：因为a b >，所以330a b >>，又30b ->，所以33332332b b a b b b ---≥⨯+>+=（等号成立的条件是0b =），故D 正确. 故选：D. 6．D函数的定义域为{x |x ≠0}，11()ln ||cos(3)ln ||cos3()22f x x x x x f x -=--==，则f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，排除B ，C ，当06x π<<时，f (x )<0，排除A ，D 符合要求.故选：D. 7．B设AF x =，则3DF x =，BD AF x ==，4AD x =，120ADB ∠=， 在ABD △中，根据余弦定理得，22222212cos 1624212AB AD BD AD BD ABD x x x x x ∠⎛⎫=+-⋅⋅=+-⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭，∵221393sin60(3)24EFDS DF DE x =⋅⋅⋅==， 2213213sin602124ABCSAB BC x =⋅⋅⋅==， ∵73ABC EFDSS=，∵图中阴影部分与空白部分面积之比为34.故选：B. 8．D设2,x a y b =+=，则2,a x b y =-=，故28x y +=，其中2,0x y >>，()2212214226288x y x y a b x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 由4242x yy x+≥ 当且仅当(422422x yy x x y x=⇒=⇒=，()821y =时等号成立，此时2x >，0y >满足， 故222a b ++的最小值为(13264284+= 故选：D. 9．D当受血者为B 型血时，供血者可以为B 型或O 型，所以一位供血者能为这位受血者正确输血的概率为41%+24%=65%=0.65. 故选：D 10．D∵等差数列{an }中，a 1，a 6为函数2()914f x x x =-+的两个零点， ∵a 1＝2，a 6＝7，或a 1＝7，a 6＝2， 当a 1＝2，a 6＝7时，61161a a d -==-，a 3＝4，a 4＝5，所以a 3a 4＝20． 当a 1＝7，a 6＝2时，61161a a d -==--，a 3＝5，a 4＝4，所以a 3a 4＝20． 故选：D ． 11．A双曲线22271x y -=，273c =+=， 所以(3,0)F ，3,2122pp ==，所以抛物线2:12C y x =. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 的方程为()(3)0y k x k =->.联立2(3)12y k x y x =-⎧⎨=⎩消去y ，化简整理得()222261290k x k x k -++=.设()()1122,,,A x y B x y ，则122126x x k +=+，129x x =. ∵||3||AF BF =，()12333x x +=+，∵1236x x -= ∵122126x x k +=+，∵1296x k =+，223x k=，又129x x =，∵23k =， ∵0k >，∵3k =因此直线l 3330x y --=. 故选：A 12．D由0ln 2lne 1x <=<=，10lg 2102y <=<可得2211log e,log 10x y ==，故()22211log e log 10log 10e 1x y +=+=>，即x y xy +>，2221110log 10log e log 1e y x ⎛⎫-=-=> ⎪⎝⎭，即x y xy ->，又(0,)2x π∈时，tan x x >，3022x y π<+<<，故()tan x y x y +>+，综上()tan x y x y x y xy +>+>->. 故选：D. 13．23π因为1e ，2e 均为单位向量，且123e e -=， 所以22212112223e e e e e e -=-⋅+=，即121cos ,2e e =-，因为[]12,0,e e π∈， 所以122,3e e π=， 故答案为：23π 14．230x y +-=由题可知直线AB 的斜率存在；设()()1122,,,A x y B x y ,由于点,A B 都在椭圆上，所以2211221x y a b+=①, 2222221(0)x y a b a b +=>>②,-①②，化简得2221222212y y b a x x --=-；22221b a -所以2212b a =，即()()()()221212122212121212y y y y y y x x x x x x -+-==---+； 又线段AB 的中点为()1,1M ，所以()()()()()()()()121212121212121212121222y y y y y y y y y y x x x x x x x x x x +--+-===-+-+--， 所以直线AB 的斜率为12-，故所求直线l 的方程为()1112y x =--+，即230x y +-=．故答案为：230x y +-=. 1523因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，所以由正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，由0,0B C ππ<<<<，则1sin 2A =，而三角形ABC为锐角三角形，所以3cos 6A A π=⇒=. 由余弦定理，222383cos 223b c a A bc bc bc +-==11123sin 2223ABCSbc A ===. 2316．28π过点D 作DE ∵BG ，易得DE ∵平面ABC ， 记ABC 的中心为O 1，几何体的球心为O ， 连接OO 1，过点O 作OF //O 1E 交DE 于点F ，如图所示，由题可得BG =DG =3，∵DGB =23π， 333,2EG DE ==，111,2,O G O A == 设1OO x =，外接球的半径为R ，所以2221222R O A x R DF OF ⎧=+⎨=+⎩，即2222222335()2R xR x ⎧=+⎪⎨⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎩， 解得73R x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以该四面体外接球的表面积为28π. 17．(1)解：由题意，设第一行的公差为1d ，第三列的公比为q ， 则由122a =，144a =，可得1141222d a a =-=， ∵11d =，∵133a =，又3312a =，∵331324a a q ==，∵2q ，∵11212222n n nn a a q --=⋅=⨯=；(2)解：∵()()()()()()()()()11111212121212222121212111n nn n n n n n n n n b a a +--+++⎡⎤---⎣⎦===------111122121n n +⎡⎤=-⎢⎥--⎣⎦. ∵121223111111112212121212121n n n n S b b b +⎡⎤=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥------⎣⎦1121111122121222n n ++⎡⎤=-=-⎢⎥---⎣⎦. 18．(1)由频率分布直方图可得：()0.028 2 0.0232 0.0156 0.004101a +⨯+++⨯=，解得0.006a =；由频率分布的直方图可得设中位数为m ，故可得()()0.004 0.006 0.023210 700.0280.5m ++⨯+-⨯=，解得76m =，所以这200名学生成绩中位数的估计值为76； (2)由频率分布直方图可知：得分在[40,50)和[50,60)内的频率分别为0.04和0.06， 采用分层抽样知，抽取的5人，在[40,50)内的人数为2人，在[50,60)内的人数为3人. 设分数在[ 40，50 )内的2人为12,a a ，分数在[ 50，60 )内的3人为123,,b b b ，则在这5人中抽取2人的情况有：()12,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()23,a b ，()12,b b ，()13,b b ，()23,b b ，共有10种情况，其中分数在同一组的2人有()12,a a ，()12,b b ，()13,b b ，()23,b b ，有4种情况， 所以概率为42105P ==. 19． （1）连接AC 与BD 交于点N ，连接MN ，//AB CD ，24AB CD ==，CND ANB ∴△∽△，12CD CN AB AN ∴==， 又//CE 平面BDM ，CE ⊂平面ACE ，且平面ACE 平面BDM MN =//CE MN ∴12EM CN MA AN ∴==．（2）AE 平面MBC ，BM ⊂平面MBC ，AE BM ∴⊥，AB AE BE ==，M ∴是AE 的中点，面ABE ⊥面ABCD ，∴点E 到面ABCD 的距离为3423d ==∴点M 到面ABCD 的距离为32dh ==11123223332C BDM M BCD BCD V V S h --∴==⋅=⋅⋅⋅△ BDM 中，22BD =，22DM =23BM =1235152BDM S ⋅∴==△∴点C 到平面BDM 的距离满足123153h =，所以距离25h =20． (1)由椭圆221259y x +=，知222594c a b --．又抛物线22(0)x py p =>的焦点是椭圆的一个焦点． 所以42p=，则8p =． 所以抛物线的方程为216x y =． (2)由抛物线方程216x y =知，焦点(0,4)F ．易知直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为4y kx =+．由2416y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 并整理，得216640x kx --=．22(16)4(64)2562560k k ∆=---=+>． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1216x x k +=，1264x x =-．对216x y =求导，得8x y '=，∵直线AP 的斜率18AP x k =， 则直线AP 的方程为111()8x y y x x -=-，即211816x x y x =-．同理得直线BP 的方程为222816x x y x =-．设点00(,)P x y ，联立直线AP 与BP 的方程，()012120182416x x x k x x y ⎧=+=⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩即(8,4)P k -． 2222121212||11()41AB k x k x x x x k +-=++-+22(16)256161()k k +=+，点P到直线AB 的距离22288811k d k k +==++所以PAB △的面积32222116(1)164(1)642S k k k =⨯+⨯+=+，当且仅当0k =时等号成立．所以PAB △面积的最小值为64，此时直线l 的方程为4y =． 21．(1)()1e x f x a -='-，x ∈R .①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 单调递增；②当0a >时，由()0f x '>得，()1ln ,x a ∈++∞，()f x 单调递增， 由()0f x '<得，(),1ln x a ∈-∞+，()f x 单调递减.综上：当0a ≤时，()f x 单调递增；当0a >时，()f x 在()1ln ,x a ∈++∞上单调递增，在(),1ln x a ∈-∞+上单调递减.(2)∵()f x 在()0,2上有两个不相等的零点1x ，2x ，不妨设12x x <， ∵1e x a x-=在()0,2上有两个不相等的实根，令()1e x g x x -=，()0,2x ∈，∵()()12e 1x x g x x --'=，由()0g x '<得，()0,1x ∈，()g x 单调递减，由()0g x '>得，()1,2x ∈，()g x 单调递增，()11g =，()e22g =，0x →，()g x ∞→+， ∵e 1,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭要证121x x a>，即证121ax x >，又∵()()12g x g x a ==，只要证211e1x x ->，即证211e x x ->，∵121x x ，即证()()211e xg x g -<即证()()212ex g x g -<，即证12221e 112e e ex x x x ----<，即证212e ln 10x x -+->令()1eln 1xh x x -=+-，()1,2x ∈，∵()11e x h x x-'=-+，令()e e x x x ϕ=-，()1,2x ∈，则()e e x x ϕ'=-，当()1,2x ∈时，()e e>0xx ϕ'=-恒成立，所以()e e x x x ϕ=-在()1,2x ∈上单调递增，又()()10x ϕϕ>=，∵e e x x >，∵11e xx-<，∵()0h x '> ∵()h x 在()1,2上递增，∵()()10h x h >>，∵1e ln 10x x -+-> ∵121x x a>. 22． 试题解析：(1)由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线C 对应的直⻆角坐标⽅方程为:()2224x m y m -+=+由点M 在曲线C 的内部，()22394m m ∴-+<+, 求得实数m 的取值范围为7,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)直线l 的极坐标⽅方程为θα=，代入曲线C 的极坐标⽅方程整理理得26cos 40ρρα--=，设直线l 与曲线C 的两个交点对应的极径分别为1212126cos 4ρρρραρρ+==-，，，， 则直线l 截得曲线C 的弦长为：()22121212436cos 164,213ρρρρρρα⎡⎤-=+-+⎣⎦. 即直线l 与曲线C 截得的弦长的取值范围是4,213⎡⎣.23． (1)由条件可知原不等式可化为①12416x x x ≥⎧⎨++->⎩，②()212416x x x -<<⎧⎨+-->⎩，③()()22416x x x ≤-⎧⎨-+-->⎩，解①得1x >；解②得x ∈∅；解③得3x <-， 所以原不等式的解集为()(),31,-∞-⋃+∞. (2)因()33,12415,2133,2x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪--≤-⎩，所以当2x =-时，函数()f x 的最小值为3m =，于是2293a b +=，∵a >0，b >0而2239236a b a b ab=+≥⨯=，于是1 02ab<≤.∵313326 a bab b a ab≥+=+≥∵326a b ab+≥，原不等式得证。
2023年全国统一高考数学试卷(新高考I ) (解析版)
2023年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，则M∩N＝（ ）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{0，1，2}C．{﹣2}D．{2}【答案】C【解答】解：∵x2﹣x﹣6≥0，∴（x﹣3）（x+2）≥0，∴x≥3或x≤﹣2，N＝（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），则M∩N＝{﹣2}．故选：C．2．（5分）已知z＝，则z﹣＝（ ）A．﹣i B．i C．0D．1【答案】A【解答】解：z＝＝＝，则，故＝﹣i．故选：A．3．（5分）已知向量＝（1，1），＝（1，﹣1）．若（+λ）⊥（+μ），则（ ）A．λ+μ＝1B．λ+μ＝﹣1C．λμ＝1D．λμ＝﹣1【答案】D【解答】解：∵＝（1，1），＝（1，﹣1），∴+λ＝（λ+1，1﹣λ），+μ＝（μ+1，1﹣μ），由（+λ）⊥（+μ），得（λ+1）（μ+1）+（1﹣λ）（1﹣μ）＝0，整理得：2λμ+2＝0，即λμ＝﹣1．故选：D．4．（5分）设函数f（x）＝2x（x﹣a）在区间（0，1）单调递减，则a的取值范围是（ ）A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，0）C．（0，2]D．[2，+∞）【答案】D【解答】解：设t＝x（x﹣a）＝x2﹣ax，对称轴为x＝，抛物线开口向上，∵y＝2t是t的增函数，∴要使f（x）在区间（0，1）单调递减，则t＝x2﹣ax在区间（0，1）单调递减，即≥1，即a≥2，故实数a的取值范围是[2，+∞）．故选：D．5．（5分）设椭圆C1：+y2＝1（a＞1），C2：+y2＝1的离心率分别为e1，e2．若e2＝e1，则a＝（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由椭圆C2：+y2＝1可得a2＝2，b2＝1，∴c2＝＝，∴椭圆C2的离心率为e2＝，∵e2＝e1，∴e1＝，∴＝，∴＝4＝4（﹣）＝4（﹣1），∴a＝或a＝﹣（舍去）．故选：A．6．（5分）过点（0，﹣2）与圆x2+y2﹣4x﹣1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝（ ）A．1B．C．D．【答案】B【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣1＝0可化为（x﹣2）2+y2＝5，则圆心C（2，0），半径为r＝；设P（0，﹣2），切线为PA、PB，则PC＝＝2，△PAC中，sin＝，所以cos＝＝，所以sinα＝2sin cos＝2××＝．故选：B．7．（5分）记S n为数列{a n}的前n项和，设甲：{a n}为等差数列；乙：{}为等差数列，则（ ）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【解答】解：若{a n}是等差数列，设数列{a n}的首项为a1，公差为d，则S n＝na1+d，即＝a1+d＝n+a1﹣，故{}为等差数列，即甲是乙的充分条件．反之，若{}为等差数列，则可设﹣＝D，则＝S1+（n﹣1）D，即S n＝nS1+n（n﹣1）D，当n≥2时，有S n﹣1＝（n﹣1）S1+（n﹣1）（n﹣2）D，上两式相减得：a n＝S n﹣S n﹣1＝S1+2（n﹣1）D，当n＝1时，上式成立，所以a n＝a1+2（n﹣1）D，则a n+1﹣a n＝a1+2nD﹣[a1+2（n﹣1）D]＝2D（常数），所以数列{a n}为等差数列．即甲是乙的必要条件．综上所述，甲是乙的充要条件．故本题选：C．8．（5分）已知sin（α﹣β）＝，cosαsinβ＝，则cos（2α+2β）＝（ ）A．B．C．﹣D．﹣【答案】B【解答】解：因为sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣sinβcosα＝，cosαsinβ＝，所以sinαcosβ＝，所以sin（α+β）＝sinαcosβ+sinβcosα＝＝，则cos（2α+2β）＝1﹣2sin2（α+β）＝1﹣2×＝．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年全国统一高考数学试卷(新高考Ⅰ)含答案解析
绝密★启用前2023年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M={−2,−1,0,1,2}，N={x|x2−x−6≥0}，则M∩N=( )A. {−2,−1,0,1}B. {0,1,2}C. {−2}D. {2}2.已知z=1−i2+2i，则z−z−=( )A. −iB. iC. 0D. 13.已知向量a⃗=(1,1)，b⃗⃗=(1,−1).若(a⃗⃗+λb⃗⃗)⊥(a⃗⃗+μb⃗⃗)，则( )A. λ+μ=1B. λ+μ=−1C. λμ=1D. λμ=−14.设函数f(x)=2x(x−a)在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是( )A. (−∞,−2]B. [−2,0)C. (0,2]D. [2,+∞)5.设椭圆C1：x2a2+y2=1(a>1)，C2：x24+y2=1的离心率分别为e1，e2.若e2=√ 3e1，则a=( )A. 2√ 33B. √ 2C. √ 3D. √ 66.过点(0,−2)与圆x2+y2−4x−1=0相切的两条直线的夹角为α，则sinα=( )A. 1B. √ 154C. √ 104D. √ 647.记S n为数列{a n}的前n项和，设甲：{a n}为等差数列；乙：{S nn}为等差数列，则( )A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.已知sin(α−β)=13，cosαsinβ=16，则cos(2α+2β)=( )A. 79B. 19C. −19D. −79二、多选题：本题共4小题，共20分。
高考数学试卷全国乙卷2023
2023全国乙卷高考数学试卷及答案一、选择题（每题5分，共40分）1. 已知集合A={x|1≤x＜4}，B={x|x≤2或x≥3}，则A∩B=（）A. {x|1≤x＜3}B. {x|1≤x＜4}C. {x|2≤x＜4}D. {x|1≤x≤2}答案：A2. 若函数f(x)=2x^3-3x^2+x+1在x=1处的切线斜率为k，则k=（）A. -1B. 0C. 1D. 3答案：D3. 已知函数f(x)=ln(x-1)，则函数f(x)的单调递增区间为（）A. (1, +∞)B. (-∞, 1)C. (0, +∞)D. (-∞, 0)答案：A4. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=9，S6=27，则公差d=（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B5. 若函数y=f(x)的图像关于点(2, 3)对称，则f(3)+f(1)=（）A. 6B. 9C. 12D. 15答案：B6. 已知函数f(x)=x^2+bx+c（b、c为常数）的图像上存在两个不同的点A、B，使得∠OAB=90°（O为坐标原点），则b的取值范围是（）A. b＞1B. b＜-1C. b＞0D. b＜0答案：D7. 若平面直角坐标系xOy中，点A(2, 3)关于直线y=2x-1的对称点为B，则线段AB的中点坐标为（）A. (1, 2)B. (2, 1)C. (3, 2)D. (2, 3)答案：A8. 若直线y=kx+1与函数y=x^3-3x的图像有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A. k＞1B. k＜-1C. -1＜k＜1D. k＞0答案：C二、填空题（每题5分，共30分）9. 若函数y=2x^3-3x^2+x+1在x=2处的切线方程为y=5x+b，则b=________。
答案：-610. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10=100，S20=400，则S30=________。
答案：70011. 若函数y=f(x)的图像关于点(1, -2)对称，则f(0)=________。
2023年全国新高考一卷数学真题及答案解析
2023年全国新高考一卷数学真题及答案解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21012，，，，--=M ，{}062>--=x x x N ，则M ∩=N （）A .{}1012，，，--B .{}2,1,0C .{}2-D .{}22.已知iiz 221+-=，则=-z z （）A .i -B .iC .0D .13.已知向量()1,1=a，()1,1-=b .若()()b a b a μλ+⊥+，则（）A .1=+μλB .1-=+μλC .1=λμD .1-=λμ4.设函数()()a x x x f -=2在区间()1,0单调递减，则a 的取值范围是（）A .(]2-∞-，B .[)0,2-C .(]2,0D .[)∞+，25.设椭圆12221=+y a x C ：()1>a ，14222=+y x C ：的离心率分别21,e e .若123e e =，则=a （）A .332B .2C .3D .66.过点()20-，与圆01422=--+x y x 相切的两条直线的夹角为α，则=αsin （）A .1B .415C .410D .467.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：⎭⎫⎩⎨⎧n S n 为等差数列，则（）A .甲是乙的充分条件但不是必要条件B .甲是乙的必要条件但不是充分条件C .甲是乙的充要条件D .甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.已知()31sin =-βα，61sin cos =βα，则()=+βα22cos （）A .97B .91C .91-D .97-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有一组样本数据621,,x x x ，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（）A .5432,,,x x x x 的平均数等于621,,x x x 的平均数B .5432,,,x x x x 的中位数等于621,,x x x 的中位数C .5432,,,x x x x 的标准差不小于621,,x x x 的标准差D .5432,,,x x x x 的极差不大于621,,x x x 的极差10.噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级lg20p pL p ⨯=，其中常数()000>p p 是听觉下线的阈值，p 是实际声压.下表为不同声源的声压级：已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为321,,p p p ，则（）A .21p p >B .3210p p >C .03100p p =D .21100p p <11.已知函数()x f 的定义域为R ，()()()y f x x f y xy f 22+=，则（）A .()00=fB .()01=f C .()x f 是偶函数D .0=x 为()x f 的极小值点12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A .直径为m 99.0的球体B .所有棱长均为m 4.1的四面体C .底面直径为m 01.0，高为m 8.1的圆柱体D .底面直径为m 2.1，高为m 01.0的圆柱体声源与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040三、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分.13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选修方案共有种（用数字作答）.14.在正四棱台1111D C B A ABCD -中，2=AB ，111=B A ，21=AA ，则该棱台的体积为.15.已知函数()()01cos >-=ωωx x f 在区间[]π2,0有且仅有3个零点，则ω的取值范围是.16.已知双曲线()0012222>>=-b a by a x C ，：的左、右焦点分别为21F F ，，点A 在C 上.点B 在y 轴上，B F A F 11⊥，B F A F 2232-=，则C 的离心率为.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知在ABC ∆中，C B A 3=+，()B C A sin sin 2=-.（1）求A sin ；（2）设5=AB ，求AB 边上的高.18.如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，2=AB ，41=AA .点2222,,,D C B A 分别在棱1111,,,DD CC BB AA 上，12=AA ，222==DD BB ，32=CC .（1）证明：2222D A C B ∥；（2）点P 在棱1BB 上，当二面角222D C A P --为150°时，求P B 2.19.已知函数()()x a e a x f x-+=.（1）讨论()x f 的单调性；（2）证明：当0>a 时，()23ln 2+>a x f .20.设等差数列{}n a 的公差为d ，且1>d ，令nn a nn b +=2，记n n T S ,分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和.（1）若31223a a a +=，2133=+T S ，求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 为等差数列，且999999=-T S ，求d .21.甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为6.0，乙每次投篮的命中率均为8.0，由抽签决定第一次投篮的任选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为5.0.（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()i i i q X P X P ==-==011，n i ,,2,1 =，则()∑∑===ni i ni i q X E11，记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()Y E .22.在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点⎪⎭⎫ ⎝⎛210，的距离，记动点P 的轨迹为W .（1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD 的周长大于33.答案解析一、选择题12345678CADDABCB1.解：(][)∞+⋃-∞-∈，，32N ，∴{}2=⋂N M 2.解：i i i z 21221-=+-=，∴i z z -=-3.解：()()b a b aμλ+⊥+∵，∴()()()01222=+=+⋅++λμλμμλb b a a ，∴1-=λμ4.解：由复合函数的单调性可知()a x x y -=在区间()1,0单调递减，∴12≥a，∴a 的取值范围是[)∞+，2.5.解：由题意得：a a e 121-=，232=e ，得2112=-a a ，解得332=a .6.解：易得()5222=+-y x ，故圆心()0,2B ，5=R 记()20-，A ，设切点为N M ,，则22=AB ，5=BM ，可得3=AM 223sin 2sin==∠=AB AM MBA α，2252cos =α∴4152cos 2sin 2sin ααα=7.解：甲：∵{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，则()d n n na S n 211++=，∴222111d a n d d n a n S n -+=-+=，211d n S n S n n =-++，故⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，⎭⎫⎩⎨⎧n S n 为等差数列，即()()()1111111+-=++-=-++++n n S na n n S n nS n S n S n n n n n n 为常数，设为t ，即()t n n S na nn =+-+11，故()11+⋅-=+n n t na S n n ，故()()111-⋅--=-n n t a n S n n ，2≥n ，两式相减有：()tn n a na a n n n 211---=+，即t a a n n 21=-+，对1=n 也成立，故{}n a 为等差数列，∴甲是乙的必要条件综上，甲是乙的充要条件.8.解：∵()31sin cos cos sin sin =-=-βαβαβα，61sin cos =βα，则21cos sin =βα，故()326131sin cos cos sin sin =+=+=+βαβαβα.()()913221sin 2122cos 22=⎪⎭⎫⎝⎛⨯-=+-=+βαβα.二、选择题9101112BDACDABCABD10.解：∵0lg 20lg 20lg2021020121≥⨯=⨯-⨯=-p p p p p p L L ，∴121≥p p，即21p p >∴A 正确；10lg 203232>⨯=-p p L L ，即21lg 32>p p ，∴213210>p p ，∴B 错误；∵40lg20033=⨯=p p L ，∴10010203==p p，∴C 正确；405090lg202121=-≤⨯=-p p L L ，∴2lg 21≤p p ，∴10021≤p p，∴D 正确.11.解：选项A ，令0==y x ，则()()()000000=⨯+⨯=f f f ，故A 正确；选项B ，令1==y x ，则()()()11111f f f ⨯+⨯=，则()01=f 故B 正确；选项C，令1-==y x ，则()()()()()1111122-⨯-+-⨯-=f f f ，则()01=f ，再令1-=y ，则()()()()1122-+⨯-=-f x x f x f ，即()()x f x f =-，故C 正确；选项D，对式子两边同时除以22yx ()022≠y x，得到：()()()2222xx f y y f y x xy f +=，故可设()()0ln 2≠=x x x x f ，故可以得到()⎩⎨⎧=≠=0,00,ln 2x x x x x f ，故D 错误.12.解：选项A，球直径为199.0<，故球体可以放入正方体容器内，故A 正确；选项B，连接正方体的面对角线，可以得到一个正四面体，其棱长为4.12>，故B 正确；选项C，底面直径m 01.0，可以忽略不计，但高为38.1>，3为正方体的体对角线的长，故C 不正确；选项D，底面直径为32.1<，高为m 01.0的圆柱体，其高度可以忽略不计，故D 正确.三、填空题13.64；14.667；15.32<≤ω；16.55313.解：当从这8门课中选修2门课时，共有161414=C C ；当从这8门课中选修3门课时，共有4814242414=+C C C C ；综上共有64种.14.解：如图，将正四棱台1111D C B A ABCD -补成正四棱锥，则2=AO ，22=SA ，261=OO ，故()()667261212313122222121=⋅⋅++=++=h S S S S V .15.解：令()01cos =-=x x f ω得1cos =x ω，又[]π2,0∈x ，则[]ωπω2,0∈x ，∴ππωπ624<≤，即32<≤ω.16.解：由B F A F 2232-=32=，设x A F 22-=，x B F 32=.由对称性可得x 3=，由定义可得，a x 22+=x 5=，设θ=∠21AF F ，则5353sin ==x x θ，∴xax 52254cos +==θ，解得a x =，∴a x AF 221+=，a AF 22=，在21F AF ∆中，由余弦定理可得54164416cos 2222=-+=a c a a θ，即2295a c =可得553=e .四、解答题17.解：（1）由题意得C B A 3=+，∴，π==++C C B A 4，∴4π=C ∴A C A B -=--=43ππ，∵()B C A sin sin 2=-，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-A A ππ43sin 4sin 2，即A A A A sin 22cos 22cos 22sin 222+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-，整理得：A A cos 3sin =又∵1cos sin 22=+A A ，()π，0∈A ∴0sin >A ，∴0cos >A 解得10103sin =A ，1010cos =A （2）∵()552sin cos cos sin sin sin =+=+=C A C A C A B 由正弦定理可知C c B b sin sin =，即22510103=b ，解得102=b 设AB 边上的高为h ，∵ch A bc S 21sin 21==，∴6sin ==A b h 18.解：以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴建立空间直角坐标系则()2,2,02B ，()3,0,02C ，()1,222，A ，()2,0,22D （1）∵()1,2022-=，C B ，()12022，，-=D A ∴=22C B 22D A ，∴2222D A C B ∥（2）设()t P ,2,0，其中42≤≤t ∴()t P A -=1022，，，()t PC --=3,202，，()1,0,222-=C D ，()12,022-=，A D .设平面22C P A 的一个法向量为()z y x m ,,= ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅022PC m P A m 即()()⎩⎨⎧=-+-=-+032012z t y z t x ，令2=z ，则()2,3,1t t m --=.设平面222C A D 的一个法向量为()z y x n '''=,, ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02222C D n A D n即⎩⎨⎧=-'=+'-0202z y z x ，令2=z ，则()2,1,1=n .∵二面角222D C A P --为150°，∴2314826150cos 2=+-=︒⇒=t t ，解得：1=t （舍去）或3=t .∴12=P B 19.解：（1）由题可得()1-='xae x f ①当0≤a 时，()0<'x f ，()x f 在()∞+∞-，单调递减；②当0>a 时，令()0='x f 得ax ln -=∴当()a x ln ,-∞-∈时，()0<'x f ，()x f 在()a ln ,-∞-单调递减；当()∞+-∈，a x ln 时，()0>'x f ，()x f 在()∞+-，a ln 单调递增.（2）由（1）得当0>a 时，()()a a a f x f ln 1ln 2min ++=-=.设()21ln 23ln 2ln 122--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=a a a a a a g ，则()a a a g 12-='，令()0='a g 可得22=a ∴当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈22,0a 时，()0<'a g ，()a g 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,0上单调递减；当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+∈，22a 时，()0>'a g ，()a g 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞+，22上单调递增.∴()02ln 22min >=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=g a g ，故()0>a g ，∴当0>a 时，()23ln 2+>a x f .20.解：（1）∵31223a a a +=，∴d a a d 2313+==，即d a =1，nd a n =故nd a n =，∴d n a n n b n n 12+=+=，()21d n n S n +=，()dn n T n 23+=，又2133=+T S ，即21263243=⨯+⨯dd ，即03722=+-d d ，解得3=d 或21=d （舍），故{}n a 的通项公式为：n a n 3=.（2）若{}n b 为等差数列，则3122b b b +=，即da a d a 24321322111+⨯+⨯=+⨯⋅，即0232121=+-d d a a ，∴d a =1或d a 21=，当d a =1时，nd a n =，故()21d n n S n +=，()dn n T n 23+=.又999999=-T S ，即99210299210099=⨯-⨯dd ，即051502=--d d ，∴5051=d 或1=d （舍）.当d a 21=时，()d n a n 1+=，d n b n =，故()23d n n S n +=，()dn n T n 21+=.又999999=-T S ，即99210099210299=⨯-⨯dd ，即050512=--d d ，∴5051-=d （舍）或1=d （舍）.综上所述：5051=d .21.解：（1）第二次是乙的概率为6.08.05.04.05.0=⨯+⨯.（2）第i 次投篮的人是甲的概率为i p ，则第i 次投篮的人是甲的概率为i p -1，则()2.04.012.06.01+=-+=+i i i i p p p p ，构造等比数列()λλ+=++i i p p 521，解得31-=λ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+3152311i i p p ，又211=p ，∴61311=-p ∴1526131-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-i i p ，则3152611+⎪⎭⎫⎝⎛⋅=-i i p .（3）当*∈N n 时，()352118535215216121n n p p p Y E n nn +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=+++= .11当0=n 时，()0=Y E ，符合上式，故()3521185n Y E n+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-=.22.解：（1）设()y x P ,，∵点P 到x 轴的距离等于点P 到点⎪⎭⎫ ⎝⎛210，的距离，∴2221⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y x y ，化简得412+=x y .故W 的方程为412+=x y .（2）不妨设D B A ,,三点在W 上，且有DA BA ⊥.设⎪⎭⎫ ⎝⎛+41,2a a A ，设DA BA ，的斜率分别为kk 1-，，由对称性不妨设1≤k ，则直线BA 的方程为：()412++-=a a x k y 联立()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+=414122a a x k y x y ，整理可得：022=-+-a ka kx x ，则kx x B A =+∴()()ak k y y x x AB B A B A 21222-+=-+-=同理可得：a kk AD 21112++=∴CD AB +a k k 212-+=a kk 21112+++()232221112121k k k k k a k a k k +=⎪⎭⎫ ⎝⎛++≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+≥设()()313123+++=+=m m m mm m f ，则()()()222112132m m m m m m f +-=-+='，可知()m f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛210，上单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛021，上单调递增，∴()m f 在()10，上最小值为42721=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，∴()3232≥=+kf CD AB ，由于两处相等的条件不一致，∴矩形ABCD 的周长为()332>+CD AB .。
2023年高三2月大联考(全国乙卷)文科数学试题及参考答案
2023届高三2月大联考（全国乙卷）文科数学试题及参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数i z -=2，则=+i z 1（）A .i 4141+B .i 2121+C .i 2121-D .i 4141-2.若集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-∈=024x x Nx A ，{}4,3,2,0,1-=B ，则=B A （）A .{}4,3,2,1,0,1-B .{}3,2,0,1-C .{}32,0，D .{}3,23.已知命题p ：1>∀x ，()01≥-x x ，则p ⌝为（）A .1>∀x ，()01<-x xB .1>∃x ，()01<-x xC .1<∀x ，()01≥-x x D .1>∃x ，()01≥-x x 4.下列函数中，既是奇函数又在()∞+，0上单调递增的为（）A .xy tan =B .()()x x y --+=1ln 1ln C .xx y 12+=D .xe e y x x 2--=-5.如图，已知正三棱柱111C B A ABC -的棱长都相等，D 为棱AB 的中点，则CD 与1AC 所成角的正弦值为（）A .46B .410C .42D .436.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n a S 263=-，则55a S 的值为（）A .1611B .1633C .211D .4831-7.将函数()x x x x f 22sin cos 62sin -+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π的图象向右平移ϕ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<20πϕ个单位长度后得到函数()x g 的图象.若3π=x 是函数()x g 的一个极值点，则ϕ的值为（）A .6πB .4πC .3πD .125π8.已知函数()x f 是偶函数，当0>x 时，()xax x f +=2.若曲线()x f y =在点()()1,1--f 处的切线方程为a x y +-=，则实数a 的值为（）A .4B .2C .1D .219.克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论.如图，四边形ABCD 内接于半径为32的圆，︒=∠120A ，︒=∠45B ，AD AB =，则四边形ABCD 的周长为（）A .2634+B .310C .2434+D .2534+10.如图，已知线段AD 的长为3，C B ,是线段AD 上的两点，则线段CD BC AB ，，能够成三角形的概率为（）A .81B .41C .31D .2111.已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：()012222>>=+b a by a x 的左焦点.若椭圆C 上存在两点B A ，满足FB F A ⊥，且O B A ,,三点共线，则椭圆C 的离心率的取值范围为（）A .()1,0B .⎥⎦⎤⎝⎛220，C .⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡122，D .⎦⎤⎢⎣⎡2322，12.已知1.1ln =a ，1112ln=b ，111=c ，则下列判断正确的是（）A .c b a <<B .c a b <<C .ab c <<D .ac b <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线E ：()0,012222>>=-b a by a x 上一点到两个焦点的距离之差为-2，且双曲线E 的离心率为2，则双曲线E 的方程为.14.已知0>m ，平面向量()m m a ,22+= ，()1,λ=b .若b a ∥，则实数λ的取值范围是.15.已知ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为c b a ,,，2=a ，422=-+bc c b ，-B b sin AC c sin 2sin =，则ABC ∆的面积等于.16.在四面体ABCD 中，CA BC AB ==，BD AB ⊥，CD AC ⊥.若四面体ABCD 的体积为38，则四面体ABCD 外接球的表面积的最小值.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.（12分）某种植大户购买了一种新品种蔬菜种子，种植后从收获的蔬菜果实中随机选取了一个容量为20的样本，得到果实长度数据如下边：（单位：cm）（1）估计该种植大户收获的果实长度的平均数x 和方差2s ；（2）判断说明书标明的“蔬菜果实的平均长度为11.5cm”的说法是否成立.（记()sx n U 0θ-=，其中x 为蔬菜果实长度的平均数，s 为蔬菜果实长度的标准差，n 是选取蔬菜果实的个数.当20=n 时，5.110=θ.若96.1>U ，则说明标明的“蔬菜果实的平均长度为11.5cm”的说法不成立）参考数据：∑==2016.3133i ix，074.23.4≈，557.643≈，236.25≈.18.已知数列{}n a 满足对任意*,N n m ∈都有m n m n a a a +=+，数列{}n b 是等比数列，且11a b =，022=-a b ，133=-a b .（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设nnn b a c =，求数列{}n c 的前n 项和n T .19.（12分）如图，多面体ABCDEF 的面ABCD 是正方体，其中心为M .平面⊥ADE 平面ABCD ，AE BF ∥，BF AE 2=，2===AE DE AD .（1）求证：CF ⊥平面AEFB ；（2）在CADE 内（包括边界）是否存在一点N ，使得MN ∥平面CEF ？若存在，求点N 的轨迹，并求其长度；若不存在，请说明理由.20.（12分）已知抛物线C ：()022>=p px y ，圆E ：()12422=+-y x 与抛物线C 有且只有两个公共点.（1）求抛物线C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过圆心E 的直线与圆E 交于点B A ,，直线OB OA ,分别交抛物线C 于点Q P ,（点Q P ,不与点O 重合）.记OAB ∆的面积为1S ，OPQ ∆的面积为2S ，求21S S 的最大值.21.（12分）已知函数()()1ln +=x e x f x，()x f '是()x f 的导函数.（1）讨论函数()x f 的单调性；（2）设0≤a ，若函数()()()11--+⋅'=-x a e x f x F x在()2,0上存在小于1的极小值，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==t y t x sin 2cos （t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为04cos 2=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-m πθρ.（1）写出直线l 的直角坐标方程；（2）设曲线C 与x 轴的交点为B A ,（点A 在点B 的左侧），若直线l 上存在点M ，满足MB MA 3=，求实数m 的取值范围.23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()()R a x ax x f ∈---=22.（1）当2=a 时，求不等式()2>x f 的解集；（2）若存在[]4,2∈x ，使得()0≤x f ，求a 的取值范围.参考答案一、选择题1.C解析：∵i z -=2，∴i z +=2，∴()i i i i z 4141411211-=-=+=+.2.C解析：∵{}{}3,2,1,042024=<<-∈=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-∈=x N x x x Nx A ，{}4,3,2,0,1-=B ∴{}3,2,0=B A .3.B 解析：根据全程命题的否定为特称命题，可知p ⌝为1>∃x ，()01<-x x .4.D解析：对于A，函数x y tan =在()∞+，0上不是单调函数，A 错误；对于B，由题得⎩⎨⎧>->+0101x x ，解得11<<-x ，∴()()x x y --+=1ln 1ln 的定义域为()1,1-，不符合题意，B 错误；对于C，根据对勾函数单调性可知：函数xx x x y 112+=+=在()1,0上单调递减，C 错误；对于D，令()x ee xf xx2--=-，则()x f 的定义域为R，且()()x f x e ex f x x-=+-=--2，因此x e e y x x 2--=-是奇函数，又0222=-⋅≥-+='--x x xxe e ee y ，当且仅当0=x 时等号成立，则函数x e e y xx2--=-在R 上单调递增，D 正确.5.B解析：取11B A 的中点E ，连接DE E C AE ,,1，设正三棱柱111C B A ABC -的棱长为2，如图所示：∵11BB AA ∥，∴四边形B B AA 11为平行四边形，∴11B A AB ∥且11B A AB =，又∵E D 、分别为11B A AB 、的中点，则E A AD 1∥且E A AD 1=，∴四边形ED AA 1为平行四边形，则DE AA ∥1且DE AA =1，又∵11CC AA ∥，∴11CC AA =，∴1CC DE ∥且1CC DE =，∴四边形ED CC 1为平行四边形，∴E C CD 1∥，∴CD 与1AC 所成的角即为E C 1与1AC 所成的角，E AC 1∠或其补角即为所求.在E AC 1∆中，222121=+=CC AC AC ，52121=+=E A AA AE ，31=E C .∵21221E C AE AC +=，∴E AC 1∆为直角三角形，且︒=∠901AEC ，∴410225sin 11===∠AC AE E AC .6.A解析：当1=n 时，得11263a a =-，解得61=a ；由n n a S 263=-得11263++=-n n a S ，两式相减得：11223++-=n n n a a a ，整理得n n a a 21-=+，故数列{}n a 是以6为首项，-2为公比的等比数列，∴()126--⨯=n n a ，()[]()()[]n nn S 21221216--⨯=----⨯=，则()()1611262124555=-⨯+⨯=a S .7.A解析：由()x x x x f 22sin cos 62sin -+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π，化简得()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin πx x f ，∴()⎪⎭⎫⎝⎛-+=ϕπ262sin x x g .又3π=x 是函数()x g 的一个极值点，∴当3π=x 时，函数()x g 取得最值，∴()Z k k ∈+=-+⨯22632ππϕππ，解得()Z k k ∈+⋅-=62ππϕ，∵20πϕ<<，∴6πϕ=.8.C 解析：当0<x 时，0>-x ，∴()x a x x a x x f -=-+=-22，又()x f 是偶函数，∴当0<x 时，()x a x x f -=2，则()22xa x x f +='，∴()a f +-=-'21.又()a f +=-11，∴曲线()x f y =在点()()1,1--f 处的切线方程为()()121+-=--x a a y ，即()122-+-=a x a y ，∴12-=-a ，a a =-12，解得1=a .9.A解析：连接BD AC ，.由︒=∠120A ，︒=∠45B 及正弦定理，得34sin sin =∠=∠ABCACBAD BD ，解得626==AC BD ，.在ABD ∆中，︒=∠120BAD ，AD AB =，6=BD ，∴32==AD AB .∵四边形ABCD 内接于半径为32的圆，它的对角互补，∴BC AD DC AB BD AC ⋅+⋅=⋅，∴()CD BC +=32612.∴26=+CD BC .∴四边形ABCD 的周长为2634+.10.B 解析：设x AB =，y BC =，则y x CD --=3，且⎪⎩⎪⎨⎧<--<<<<<3303030y x y x ，即⎪⎩⎪⎨⎧<+<<<<<303030y x y x .作出不等式组表示的平面区域，如图中OMN ∆（不含边界），其面积为293321=⨯⨯=∆OMN S .若线段CD BC AB ,,能构成三角形，则还要满足：()()⎪⎩⎪⎨⎧>--+>--+-->+xy x y y y x x y x y x 333，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<>+232323x y y x .作出不等式组表示的平面区域，如图中GEF ∆（不含边界），其面积为89232321=⨯⨯=∆GEF S .由几何概型概率计算公式得，线段CD BC AB ，，能够成三角形的概率为412989==P .11.C 解析：设椭圆C 的右焦点为F '，连接F A '.由椭圆的性质得：BF F A ∥'，2π='∠F F A ，即以F F '为直径的圆与椭圆有公共点.设椭圆C 的半焦距为c ()0>c ，∴只需b c ≥，∴222c a c -≥，即122<≤e ，∴椭圆C 的离心率的取值范围为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡122，.12.D 解析：（1）比较b a ,的大小：∵11121.1>，∴1112ln 1.1ln >，∴b a >.（2）比较c b ,的大小：令()()1ln --=x x x f ，则()xxx x f -=-='111.当10<<x 时，()0>'x f ；当1>x 时，()0<'x f ，∴当0>x 时，()()01=≤f x f ，即1ln -≤x x ，∴1111112ln <，即c b <.（3）比较c a ,大小：∵1ln -≤x x ，∴111ln -≤x x ，即xx 11ln -≥，∴111111011011ln 1.1ln =->=，即c a >.综上，a c b <<二、填空题13.1322=-y x 解析：由题意知，22=a ，1=a .又∵2==a c e ，∴2=c ，∴3=b ，∴双曲线E 的方程为1322=-y x .14.[)∞+，22解析：由()m m a ,22+= ，()1,λ=b ，b a ∥，得22+=m m λ，∵0>m ，∴22222≥+=+=mm m m λ，当且仅当2=m 时等号成立，∴实数λ的取值范围是[)∞+，22.15.332解析：由2=a ，422=-+bc c b ①知，222a bc c b =-+，由余弦定理得212cos 222=-+=bc a c b A.又π<<A 0，∴3π=A .由-B b sin AC c sin 2sin =及正弦定理得4222-=-a c b ②.联立①②得3342==c b ，∴ABC ∆的面积为3322333233421sin 21=⨯⨯⨯==A bc S .16.π48解析：由BD AB ⊥，CD AC ⊥知，四面体ABCD 外接球的球心O 是AD 的中点，连接OC OB ，，则OC OB OA ==.∵CA BC AB ==，∴ABC ∆为等边三角形，∴ABC ∆的外接圆的圆心为ABC ∆的中心H .连接AH OH ，，则OH ⊥平面ABC .设a CA BC AB ===，h OH =，则点D 到平面ABC 的距离为h 2，∴四面体ABCD 的体积为226343231ha a h V =⋅⋅=，即38632=ha ，482=ha .设四面体ABCD 外接球O 的半径为R ，则222AH OH OA +=，即h h a h a h R 16312332222222+=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅+=.设()()0162>+=x x x x m ，则()232162162xx x x x m -=-='，令01923=-x ，则2=x ，当20<<x 时，()0<'x m ；当2>x 时，()0>'x m ，∴()x m 在()2,0上单调递减，在()∞+，2上单调递增，∴()x m 在2=x 处取得极小值，即最小值，∴当2=h 时，R 取得最小值为32，∴四面体ABCD 外接球O 的表面积的最小值为πππ4812442=⨯=R .三、解答题（一）必考题：共60分17.解：（1）由题意知，2.138.129.124.124.137.125.118.120.128.118.120.136.11++++++++++++0.2500.122.138.128.116.122.115.13=+++++++，∴5.1220250==x ，()()()[]22022212201x x x x x x S -++-+-=()[]43.020120220120122220212202221=-=++++-+++=∑=i i x x x x x x x x x x ∴估计该种植大户收获的蔬菜果实长度的平均数和方差分别为5.12，43.0.（2）结合已知，由（1）得，()()96.182.643.05.115.12200>≈-⨯=-=sx n U θ，∴说明书标明的“蔬菜果实的平均长度为11.5cm”的说法不正确.18.解：（1）∵对任意*,N n m ∈，m n m n a a a +=+，∴11a a a n n +=+，∴数列{}n a 是公差1a d =的等差数列，1na a n =.设等比数列{}n b 的公比为q ，∵11a b =，022=-a b ，133=-a b ，∴⎩⎨⎧=-=-130212111a q a a q a .又∵011≠=a b ，解得111==a b ，2=q ，∴n a n =，12-=n n b .（2）∵n n n b a c =，∴12102232221-++++=n n n T ，n n nT 22322212321++++= ，两式相减得nn nn n n n n n T 222221121112212121212132+-=--⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=- ，∴1224-+-=n n n T .19.解：（1）如图，取AE 的中点G ，连接DG GF ，.∵AE BF ∥，BF AE 2=∴AG BF AG BF =，∥.∴四边形ABFG 是平行四边形，∴AB FG ∥，AB FG =又∵CD BA ∥，CD BA =，∴CD FG ∥，CD FG =，∴四边形CDGF 是平行四边形，∴DG CF ∥，∵AD BA ⊥，平面ADE ⊥平面ABCD ，⊂BA 平面ABCD ，平面ADE ∩平面ABCD AD =，∴⊥BA 平面ADE ，又⊂DG 平面ADE ，∴DGBA ⊥∵AE DE AD ==,G 为AE 的中点，∴AE DG ⊥，又⊂BA AE ,平面AEFB ，且A BA AE = ，∴⊥DG 平面AEFB ，∴⊥CF 平面AEFB （2）如图，连接BG BD ，，由（1）知，AG BF ∥，AG BF =，∴EG BF ∥，EG BF =，∴四边形BGEF 是平行四边形，∴EF BG ∥，∵⊂EF 平面CEF ，⊄BG 平面CEF ，∴∥BG 平面CEF ，又由（1）知，DG CF ∥，⊂CF 平面CEF ，⊄DG 平面CEF ，∴∥DG 平面CEF ，∵⊂BG DG ，平面BDG ，且G BG DG = ，∴平面BDG ∥平面CEF ，设点N 为线段DG 上任意一点，则⊂MN 平面BDG ，MN ∥平面CEF ，∴点N 的轨迹为线段DG ，长度为3.20.解：（1）由()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1242222y x px y 整理得()04282=+--x p x .由对称性可得关于x 的方程有两个相等的正的实数根，∴()016282=--=∆p ，且028>-p ，解得2=p ，∴抛物线C 的方程为x y 42=.（2）由题意，知直线AB 的斜率不为0，故设直线AB 的方程为4+=my x ，如图，设()()()()44332211,,,,y x Q y x P y x B y x A ，，，.将直线AB 的方程代入圆E 的方程中，消去x ，得()12122=+y m，∴11222+=m y ，∴12y y -=，且11222221+==m y y .直线OA 的方程为x x y y 11=，代入抛物线方程x y 42=，消去x ，得y y x y 1124=，解得114y x y =或0=y ，∴1134y xy =.同理得2244y x y =，∴22211142312144sin 21sin 21y x y y x y y y y y OQ OP OB OA POQ OQ OP AOB OB OA S S ⋅=⋅=⋅⋅=∠⋅∠⋅=()()()()()()16416441616212122212122121221+++=++==y y m y y m y y my my y y x x y y ()()()9254941491611216112161622222222212221-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=m m m m m m y y m y y ∴当0=m 时，21S S 取得最大值为169.21.解：（1）由题意知()x f 的定义域为()∞+，0，()⎪⎭⎫ ⎝⎛++='11ln x x e x f x，令()x x x g 1ln +=，则()21x x x g -='，∴()01='g ，且当()1,0∈x 时，()0<'x g ；当()+∞∈,1x 时，()0>'x g ，∴()x g 在()1,0上单调递减，在()∞+，1上单调递增，∴()+∞∈∀,0x ，()()11=≥g x g ，从而()+∞∈∀,0x ，()0>'x f ，∴()x f 在()∞+，0上单调递增.（2）由题意，得()()11ln -++=x a x x x F ，()2,0∈x ，()221x x ax x F -+='.①当0=a 时，()()x g xx x F =+=1ln ，()()x g x F '='，由（1）知，()01='F ，且当()1,0∈x 时，()0<'x F ；当()2,1∈x 时，()0>'x F ，∴()x F 仅在1=x 处取得极小值，且极小值为()11=F ，不符合题意.②当0<a 时，令()12++=x ax x h ，则a 41+=∆.（ⅰ）若041≤+=∆a ，即41-≤a ，则()2,0∈∀x ，()0≤x h ，∴()0≤'x F 恒成立，此时()x F 无极值，不符合题意.（ⅱ）若041>+=∆a ，即041<<-a ，则()x h 图象的对称轴为221>-=ax ，∴()x h 在()2,0上单调递增.∵()01<=a h ，()0142>+=a h ，由函数单调性和零点存在性定理得，在()2,1上存在唯一的实数1x ，使得()01=x h ，从而()01='x F ，且当()1,0x x ∈时，()0<x h ，从而()0<'x F ；当()2,1x x ∈时，()0>x h ，从而()0>'x F .∴()x F 在()1,0x 上单调递减，在()2,1x 上单调递增，∴()x F 仅在1x x =处取得极小值，极小值为()1x F .∵()x F 在()1,0x 上单调递减，且211<<x ，∴()()111=<F x F ，符合题意.综上，实数a 的取值范围为⎪⎭⎫ ⎝⎛-041.（二）选考题22.解：（1）∵04cos 2=+⎪⎭⎫⎝⎛-m πθρ，∴0sin 22cos 222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅m θθρ，即0cos sin =++m θρθρ.又y =θρsin ，x =θρcos ，∴0=++m y x ，即直线l 的直角坐标方程为0=++m y x .（2）由⎪⎩⎪⎨⎧==2sin cos y t xt ，且1sin cos 22=+t t ，则曲线C 的普通方程为1422=+y x ，其与x 轴的交点分别为()()0,101B A ，，-.设点()y x M ,，由MB MA 3=，得()()[]2222131y x y x +-=++，即01422=+-+x y x ，∴()3222=+-y x ，它表示圆心为()02，E ，半径为3的圆.∵点()y x M ,既在直线l 上，又在圆E 上，∴322≤+m ，即62≤+m ，∴6262+-≤≤--m ，即实数m 的取值范围为[]6262+---，.23.解：（1）当2=a 时，原不等式可化为2212>---x x .当2≥x 时，原不等式可化为()()2212>---x x ，整理得2>x ，∴2>x .当21<<x 时，原不等式可化为()()2212>-+-x x ，整理得2>x ，∴此时不等式的解集为空集..当1≤x 时，原不等式可化为()()2212>-+--x x ，整理得2-<x ，∴2-<x .综上，当2=a 时，不等式()2>x f 的解集为()()∞+-∞-，，22 .（2）若存在[]4,2∈x ，使得()0≤x f ，即存在[]4,2∈x ，使得22-≤-x ax ①①式可转化为()22-≤--ax x ，即⎩⎨⎧-≤--≤+-2222x ax ax x ②∵[]4,2∈x ，∴②式可化为()⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥0114x a xa ③若存在[]4,2∈x 使得③式成立，则⎪⎩⎪⎨⎧≤-⎪⎭⎫⎝⎛-≥0114min a x a ，即⎩⎨⎧≤≥10a a ，∴10≤≤a ，即a 的取值范围为[]1,0.。
2023年全国新课标I卷高考数学真题及答案(Word版)
2023年全国新课标I卷高考数学真题及答案本试卷共 4 页，22 小题，满分150 分。
考试用时120 分钟注意事项:1.答卷前，考生务必用黑色字迹笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答卡上用2 笔试(A)在答卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
作答选择题时，选出每小题等案后，用2B 笔把答卡上对应题目选项的答案信息点涂黑:如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，符案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准便用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题爷的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题: 本大题共8 小题, 每小题 5 分, 共40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的1. 已知集合, 则A.B.C.D.2. 已知, 则A.B.C. 0D. 13. 已知向量. 若, 则A.B.C.D.4. 设函数在区间单调递减, 则的取值范围是A.B.C.D.5. 设椭圆的离心率分别为. 若,则A.B.C.D.6. 过点与圆相切的两条直线的夹角为, 则A. 1B.C.D.7. 记为数列的前项和, 设甲: 为等差数列; 乙: 为等差数列, 则A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8. 已知, 则A.B.C.D.二、选择题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共20 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得0 分9. 有一组样本数据, 其中是最小值, 是最大值, 则A. 的平均数等于的平均数B. 的中位数等于的中位数C. 的标准差不小于的标准差D. 的极差不大于的极差10. 噪声污染问题越来越受到重视, 用声压级来度量声音的强弱, 定义声压级, 其中常数是听觉下限阑值, 是实际声压. 下表为不同声源的声压级:已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为, 则A.B.C.D.11. 已知函数的定义域为, 则A.B.C. 是偶函数D. 为的极小值点12. 下列物体中, 能够被整体放入核长为1 (単位: ) 的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有A. 直径为的球体B. 所有棱长均为的四面体C. 底面直径为, 高为的圆柱体D. 底面直径为, 高为的圆柱体三、填空题: 本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共20 分.13. 某学校开设了4 门体育类选修课和4 门艺术类选修课, 学生需从这8 门课中选修2 门或 3 门课, 并且每类选修课至少选修 1 门, 则不同的选课方案共有种(用数字作答).14. 在正四棱台中, , 则该棱台的体积为15. 已知函数在区间有且仅有3 个零点, 则的取值范围是16. 已知双曲线的左、右焦点分别为. 点在上. 点在轴上, , 则的离心率为四、解答题: 本大题共 6 小题, 共70 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知在中, .(1) 求;（2）设, 求边上的高.18. 如图, 在正四棱杜中, . 点分别在棱上, , .(1) 证明: ;（2）点在棱上, 当二面角为时, 求.19. 已知函数.(1) 讨论的単调性;（2）证明: 当时, .20. 设等差数列的公差为, 且, 令, 记分别为数列, 的前项和.(1) 若, 求的通项公式;( 2 ) 若为等差数列, 且, 求.21. 甲乙两人投篮, 每次由其中一人投篮, 规则如下: 若命中则此人继续投篮, 若末命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何, 甲每次投篮的命中率均为0.6 , 乙每次投篮的命中率均为0.8 , 由抽签决定第一次投篮的人选, 第一次投篮的人是甲, 乙的概率各为0.5 .( 1 ) 求第2 次投篮的人是乙的概率;( 2 ) 求第次投篮的人是甲的概率;( 3 ) 已知: 若随机变量服从两点分布, 且, 则, 记前次(即从第1 次到第次投篮) 中甲投篮的次数为, 求.22. 在直角坐标系中, 点到轴的距离等于点到点的距离, 记动点的轨迹为.(1) 求的方程;( 2 ) 已知矩形有三个顶点在上, 证明: 矩形的周长大于.参考答案（非官方答案仅供参考）1、C2、A3、D4、D5、A6、B7、C8、B9、BD10、ACD11、ABC12、ABD13、6414、15、[2,3)16、。
2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题(解析版)
2023年普通高等学校招生全国统一考试数学（新高考全国Ⅰ卷）试卷类型：A一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（）A.{}2,1,0,1-- B.{}0,1,2 C.{}2- D.2【答案】C【解析】因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+，而{}2,1,0,1,2M =--，所以M N ⋂={}2-．故选：C ．2.已知1i22iz -=+，则z z -=（）A.i -B.iC.0D.1【答案】A【解析】根据复数除法运算求出z ，再由共轭复数的概念得到z ，从而解出．因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----====-++-，所以1i 2z =，即i z z -=-．故选：A ．3.已知向量()()1,1,1,1a b ==-，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则（）A.1λμ+=B.1λμ+=-C.1λμ=D.1λμ=-【答案】D【解析】根据向量的坐标运算求出a b λ+ ，a b μ+，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．因为()()1,1,1,1a b ==- ，所以()1,1a b λλλ+=+- ，()1,1a b μμμ+=+-，由()()a b a b λμ+⊥+ 可得，()()0a b a b λμ+⋅+=，即()()()()11110λμλμ+++--=，整理得：1λμ=-．故选：D ．4.设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（）A.(],2-∞-B.[)2,0-C.(]0,2 D.[)2,+∞【答案】D【解析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.函数2x y =在R 上单调递增，而函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则有函数22()()24a a y x x a x =-=--在区间()0,1上单调递减，因此12a ≥，解得2a ≥，所以a 的取值范围是[)2,+∞.故选：D5.设椭圆2222122:1(1),:14x x C y a C y a +=>+=的离心率分别为12,e e ．若21e =，则=a （）A.233B.C.D.【答案】A【解析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.由21e =，得22213e e =，因此2241134a a --=⨯，而1a >，所以3a =，故选：A 6.过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（）A.1B.4C.4D.4【答案】B【解析】因为22410x y x +--=，即()2225x y -+=，可得圆心()2,0C ，半径r =，过点()0,2P -作圆C 的切线，切点为,A B ，因为PC ==，则PA ==，可得106sin ,cos44APC APC ∠==∠=，则sin sin 22sin cos 2444APB APC APC APC ∠=∠=∠∠=⨯⨯=，22221cos cos 2cos sin 0444APB APC APC APC ⎛⎫⎛⎫∠=∠=∠-∠=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即APB ∠为钝角，所以()sin sin πsin 4APB APB =-∠=∠=α；故选：B.7.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【解析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判断作答.，甲：{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，则1111(1)1,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a n a n n n +--=+=+=+--=+，因此{}nS n为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：{}nS n为等差数列，即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数，设为t ，即1(1)n nna S t n n +-=+，则1(1)n n S na t n n +=-⋅+，有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥，两式相减得：1(1)2n n n a na n a tn +=---，即12n n a a t +-=，对1n =也成立，因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C 正确.故选：C8.已知()11sin ,cos sin 36αβαβ-==，则()cos 22αβ+=（）．A.79 B.19C.19-D.79-【答案】B【解析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin()αβ+，再利用二倍角的余弦公式计算作答.因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，而1cos sin 6αβ=，因此1sin cos 2αβ=，则2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=，所以2221cos(22)cos 2()12sin ()12()39αβαβαβ+=+=-+=-⨯=.故选：B【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（）A.2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数B.2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数C.2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差D.2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差【答案】BD【解析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.对于选项A ：设2345,,,x x x x 的平均数为m ，126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数为n ，则()()165234123456234526412x x x x x x x x x x x x x x x x n m +-+++++++++++-=-=，因为没有确定()1652342,x x x x x x ++++的大小关系，所以无法判断,m n 的大小，例如：1,2,3,4,5,6，可得 3.5m n ==；例如1,1,1,1,1,7，可得1,2m n ==；例如1,2,2,2,2,2，可得112,6m n ==；故A 错误；对于选项B ：不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤，可知2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数均为342x x +，故B 正确；对于选项C ：因为1x 是最小值，6x 是最大值，则2345,,,x x x x 的波动性不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的波动性，即2345,,,x x x x 的标准差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差，例如：2,4,6,8,10,12，则平均数()12468101276n =+++++=，标准差11053s =，4,6,8,10，则平均数()14681074m =+++=，标准差2s ==显然53>，即12s s >；故C 错误；对于选项D ：不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤，则6152x x x x -≥-，当且仅当1256,x x x x ==时，等号成立，故D 正确；故选：BD.10.噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级20lgp pL p =⨯，其中常数()000p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车106090混合动力汽车105060电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ，则（）．A.12p p ≥B.2310p p >C.30100p p =D.12100p p ≤【答案】ACD【解析】根据题意可知[][]12360,90,50,60,40p p p L L L ∈∈=，结合对数运算逐项分析判断.由题意可知：[][]12360,90,50,60,40p p p L L L ∈∈=，对于选项A ：可得1212100220lg 20lg 20lg p p p p pL L p p p =-⨯=⨯-⨯，因为12p p L L ≥，则121220lg 0p p p L L p =-⨯≥，即12lg 0p p ≥，所以121pp ≥且12,0p p >，可得12p p ≥，故A 正确；对于选项B ：可得2332200320lg20lg 20lg p p p p p L L p p p =-⨯=⨯-⨯，因为2324010p p p L L L -=-≥，则2320lg10p p ⨯≥，即231lg 2p p ≥，所以23pp ≥23,0p p >，可得23p ≥，当且仅当250p L =时，等号成立，故B 错误；对于选项C ：因为33020lg 40p p L p =⨯=，即30lg 2p p =，可得30100pp =，即30100p p =，故C 正确；对于选项D ：由选项A 可知：121220lgp p p L L p =-⨯，且12905040p p L L ≤-=-，则1220lg40p p ⨯≤，即12lg2p p ≤，可得12100pp ≤，且12,0p p >，所以12100p p ≤，故D 正确；故选：ACD.11.已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（）．A.()00f =B.()10f =C.()f x 是偶函数 D.0x =为()f x 的极小值点【答案】ABC【解析】因为22()()()f xy y f x x f y =+，对于A ，令0x y ==，(0)0(0)0(0)0f f f =+=，故A 正确.对于B ，令1x y ==，(1)1(1)1(1)f f f =+，则(1)0f =，故B 正确.对于C ，令1x y ==-，(1)(1)(1)2(1)f f f f =-+-=-，则(1)0f -=，令21,()()(1)()y f x f x x f f x =--=+-=，又函数()f x 的定义域为R ，所以()f x 为偶函数，故C 正确，对于D ，不妨令()0f x =，显然符合题设条件，此时()f x 无极值，故D 错误.故选：ABC .12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A.直径为0.99m 的球体B.所有棱长均为1.4m 的四面体C.底面直径为0.01m ，高为1.8m 的圆柱体D.底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体【答案】ABD【解析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.对于选项A ：因为0.99m 1m <，即球体的直径小于正方体的棱长，所以能够被整体放入正方体内，故A 正确；对于选项B 1.4>，所以能够被整体放入正方体内，故B 正确；对于选项C 1.8<，所以不能够被整体放入正方体内，故C 正确；对于选项D ：因为正方体的体对角线长为 1.2>，设正方体1111ABCD A B C D -的中心为O ，以1AC 为轴对称放置圆柱，设圆柱的底面圆心1O 到正方体的表面的最近的距离为m h ，如图，结合对称性可知：111111133,0.6222OC C A C O OC OO ===-=-，则1111C O h AA C A =，即30.6213h -=，解得10.60.340.0123h =->>，所以能够被整体放入正方体内，故D 正确；故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．【答案】64【解析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有144116C C =种；（2）当从8门课中选修3门，①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有1244C C 24=种；②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有2144C C 24=种；综上所述：不同的选课方案共有16242464++=种.故答案为：64.14.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1112,1,2AB A B AA ===，则该棱台的体积为________．【答案】766【解析】结合图像，依次求得111,,AO AO A M ，从而利用棱台的体积公式即可得解.如图，过1A 作1A M AC ⊥，垂足为M ，易知1A M 为四棱台1111ABCD A B C D -的高，因为1112,1,2AB A B AA ===则11111111112,22222222AO AC B AO AC ======，故()111222AM AC AC =-=，则221116222A M A A AM =-=-=，所以所求体积为1676(4141)326V =⨯++⨯⨯=.故答案为：766.15.已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[]0,2π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．【答案】[2,3)【解析】令()0f x =，得cos 1x ω=有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.因为02x π≤≤，所以02x πωω≤≤，令()cos 10f x x ω=-=，则cos 1x ω=有3个根，令t x ω=，则cos 1t =有3个根，其中[0,2π]t ω∈，结合余弦函数cos y t =的图像性质可得4π2π6πω≤<，故23ω≤<，故答案为：[2,3).16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上，点B 在y 轴上，11222,3F A F B F A F B ⊥=-，则C 的离心率为________．【答案】355【解析】依题意，设22AF m =，则2113,22BF m BF AF a m ===+，在1Rt ABF 中，2229(22)25m a m m ++=，则(3)()0a m a m +-=，故a m =或3a m =-（舍去），所以124,2AF a AF a ==，213BF BF a ==，则5AB a =，故11244cos 55AF a F AF ABa ∠===，所以在12AF F △中，2221216444cos 2425a a c F AF a a +-∠==⨯⨯，整理得2259c a =，故355c e a ==.故答案为：355.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=．（1）求sin A ；（2）设5AB =，求AB 边上的高．【答案】（1）31010；（2）6.【解析】（1）3A B C += ，π3C C ∴-=，即π4C =，又2sin()sin sin()A C B A C -==+，2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C ∴-=+，sin cos 3cos sin A C A C ∴=，sin 3cos A A ∴=，即tan 3A =，所以π02A <<，310sin10A ∴==.（2）由（1）知，10cos 10A ==，由sin sin()B A C =+23101025sin cos cos sin (210105A C A C =+=+=，由正弦定理，sin sin c bC B=，可得255522b ⨯==，11sin 22AB h AB AC A ∴⋅=⋅⋅，310sin 610h b A ∴=⋅==.18.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12,4AB AA ==．点2222,,,A B C D 分别在棱111,,AA BB CC ,1DD 上，22221,2,3AA BB DD CC ====．（1）证明：2222B C A D ∥；（2）点P 在棱1BB 上，当二面角222P A C D --为150︒时，求2B P ．【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】（1）以C 为坐标原点，1,,CD CB CC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，则2222(0,0,0),(0,0,3),(0,2,2),(2,0,2),(2,2,1)C C B D A ，2222(0,2,1),(0,2,1)B C A D ∴=-=- ，2222B C A D ∴ ∥，又2222B C A D ，不在同一条直线上，2222B C A D ∴∥.【小问2详解】设(0,2,)(04)P λλ≤≤，则22222(2,2,2)(0,2,3),=(2,0,1),A C PC D C λ=--=---，设平面22PA C 的法向量(,,)n x y z = ，则22222202(3)0n A C x y z n PC y z λ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，令2z =，得3,1y x λλ=-=-，(1,3,2)n λλ∴=--，设平面222A C D 的法向量(,,)m a b c = ，则2222222020m A C a b c m D C a c ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1a =，得1,2==b c ，(1,1,2)m ∴=，3cos ,cos1502n m n m n m ⋅∴==︒= ，化简可得，2430λλ-+=，解得1λ=或3λ=，(0,2,1)P ∴或(0,2,3)P ，21B P ∴=.19.已知函数()()e xf x a a x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，()32ln 2f x a >+．【答案】（1）答案详见解析；（2）证明详见解析【解析】（1）因为()()e xf x a a x =+-，定义域为R ，所以()e 1xf x a '=-，当0a ≤时，由于e 0x >，则e 0x a ≤，故()0e 1xf x a -'=<恒成立，所以()f x 在R 上单调递减；当0a >时，令()e 10xf x a '=-=，解得ln x a =-，当ln x a <-时，()0f x '<，则()f x 在(),ln a -∞-上单调递减；当ln x a >-时，()0f x ¢>，则()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增；综上：当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞-上单调递减，()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增.（2）由（1）得，()()()ln min 2ln ln ln e 1af a a x a f a a a --+=++=+=，要证3()2ln 2f x a >+，即证2312ln 2ln a a a ++>+，即证21ln 02a a -->恒成立，令()()21ln 02g a a a a =-->，则()21212a g a a a a-'=-=，令()0g a '<，则02a <<；令()0g a '>，则2a >；所以()g a在2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()2min2212ln 02222g a g ⎛⎫⎛==--= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则()0g a >恒成立，所以当0a >时，3()2ln 2f x a >+恒成立，证毕.20.设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >．令2n nn nb a +=，记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和．（1）若2133333,21a a a S T =++=，求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 为等差数列，且999999S T -=，求d ．【答案】（1）3n a n =；（2）5150d =.【解析】（1）21333a a a =+ ，132d a d ∴=+，解得1a d =，32133()6d d S a a =+==∴，又31232612923T b b b d d d d =++=++=，339621S T d d∴+=+=，即22730d d -+=，解得3d =或12d =（舍去），1(1)3n a a n d n ∴=+-⋅=.（2）{}n b 为等差数列，2132b b b ∴=+，即21312212a a a =+，2323111616()d a a a a a ∴-==，即2211320a a d d -+=，解得1a d =或12a d =，1d > ，0n a ∴>，又999999S T -=，由等差数列性质知，5050999999a b -=，即50501a b -=，505025501a a ∴-=，即2505025500a a --=，解得5051a =或5050a =-（舍去）当12a d =时，501495151a a d d =+==，解得1d =，与1d >矛盾，无解；当1a d =时，501495051a a d d =+==，解得5150d =.综上，5150d =.21.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==-===⋅⋅⋅，则11n ni i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()E Y ．【答案】（1）0.6；（2）1121653i -⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭；（3）52()11853nnE Y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【解析】（1）记“第i 次投篮的人是甲”为事件i A ，“第i 次投篮的人是乙”为事件i B ，所以()()()()()()()21212121121||P B P A B P B B P A P B A P B P B B =+=+()0.510.60.50.80.6=⨯-+⨯=.（2）设()i i P A p =，依题可知，()1i i P B p =-，则()()()()()()()11111||i i i i i i i i i i i P A P A A P B A P A P A A P B P A B +++++=+=+，即()()10.610.810.40.2i i i i p p p p +=+-⨯-=+，构造等比数列{}i p λ+，设()125i i p p λλ++=+，解得13λ=-，则1121353i i p p +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又11111,236p p =-=，所以13i p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为16，公比为25的等比数列，即11112121,365653i i i i p p --⎛⎫⎛⎫-=⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（3）因为1121653i i p -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，1,2,,i n =⋅⋅⋅，所以当*N n ∈时，()122115251263185315nnnn n E Y p p p ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+++=⨯+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- ，故52()11853nnE Y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．22.在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离，记动点P 的轨迹为W ．（1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD的周长大于【答案】（1）214y x =+；（2）见解析.【解析】（1）设(,)P x y ,则y =，两边同平方化简得214y x =+，故21:4W y x =+.（2）设矩形的三个顶点222111,,,,,444A a a B b b C c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在W 上,且a b c <<，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，则1,AB BC k k a b b c =⋅-+<+,令2240114AB k b a b a b am ⎛⎫+-+ ⎪⎝=+⎭==<-，同理令0BC k b c n =+=>，且1mn =-，则1m n=-，设矩形周长为C ,由对称性不妨设||||m n ≥，1BC AB k k c a n m n n-=-=-=+，则11||||(((2C AB BC b a c b c a n n ⎛=+=-+-≥-=+ ⎝.0n >，易知10n n ⎛+> ⎝则令()222111()1,0,()22f x x x x f x x x x x x '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++>=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,令()0f x '=，解得22x =，当20,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，此时()f x 单调递减，当2,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，()0f x '>，此时()f x 单调递增，则min 227()24f x f ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，故13322C ≥=,即C ≥.当C =时,,2n m ==,且((b a b a -=-m n =时等号成立，矛盾，故C >得证.。
2023年高考(新高考1卷)数学试卷及详细答案解析
2023年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国Ⅰ卷）数 学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合M ={−2,−1,0,1,2}，N ={x |x 2−x −6≥0}，则M ∩N =（ ） A. {−2,−1,0,1} B. {0,1,2}C. {−2}D. {2}2. 已知1i22iz −=+，则z z −=（ ） A. i −B. iC. 0D. 13. 已知向量()()1,1,1,1a b ==−，若()()a b a b λμ+⊥+，则（ ） A. 1λμ+= B. 1λμ+=− C. 1λμ= D. 1λμ=−4. 设函数()()2x x a f x −=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A. (],2−∞−B. [)2,0−C. (]0,2D. [)2,+∞5. 设椭圆2222122:1(1),:14x x C y a C y a +=>+=的离心率分别为12,e e ．若21e =，则=a （ ）A.3B.C.D.6. 过点()0,2−与圆22410x y x +−−=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（ ）A. 1B.4C.4D.47. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8. 已知()11sin ,cos sin 36αβαβ−==，则()cos 22αβ+=（ ）． A.79 B.19C. 19−D. 79−二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（ ） A. 2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数 B. 2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数 C. 2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差 D. 2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差10. 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级020lg p pL p =⨯，其中常数()000p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ，则（ ）． A. 12p p ≥ B. 2310p p > C. 30100p p =D. 12100p p ≤11. 已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（ ）．A. ()00f =B. ()10f =C. ()f x 是偶函数D. 0x =为()f x 的极小值点12. 下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ） A. 直径为0.99m 的球体 B. 所有棱长均为1.4m 的四面体C. 底面直径为0.01m ，高为1.8m 的圆柱体D. 底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．14. 在正四棱台1111ABCD A B C D −中，1112,1,AB A B AA ===，则该棱台的体积为________．15. 已知函数()cos 1(0)f x x ωω=−>在区间[]0,2π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________． 16. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上，点B 在y 轴上，11222,3F A F B F A F B ⊥=−，则C 的离心率为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=−=． （1）求sin A ；（2）设5AB =，求AB 边上的高．18. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D −中，12,4AB AA ==．点2222,,,A B C D 分别在棱111,,AA BB CC ,1DD 上，22221,2,3AA BB DD CC ====．（1）证明：2222B C A D ∥；（2）点P 在棱1BB 上，当二面角222P A C D −−为150︒时，求2B P ． 19. 已知函数()()e xf x a a x =+−．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，()32ln 2f x a >+．20. 设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >．令2n nn nb a +=，记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和．（1）若2133333,21a a a S T =++=，求{}n a 的通项公式； （2）若{}n b 为等差数列，且999999S T −=，求d ．21. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==−===⋅⋅⋅，则11n ni i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()E Y ． 22. 在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离，记动点P 的轨迹为W ． （1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD的周长大于（2023·新高考Ⅰ卷·1·★）已知集合{2,1,0,1,2}M =−−，2{|60}N x x x =−−≥，则M N =（ ）（A ）{2,1,0,1}−− （B ）{0,1,2} （C ）{2}− （D ）{2} 答案：C解析：260(2)(3)02x x x x x −−≥⇔+−≥⇔≤−或3x ≥，所以(,2][3,)N =−∞−+∞， 又{2,1,0,1,2}M =−−，所以{2}MN =−.（2023·新高考Ⅰ卷·2·★）已知1i22iz −=+，则z z −=（ ） （A ）i − （B ）i （C ）0 （D ）1 答案：A解析：由题意，221i (1i)(22i)22i 2i 2i 4i 1i22i (22i)(22i)44i 82z −−−−−+−=====−++−−，所以1i 2z =，故11i i i 22z z −=−−=−. （2023·新高考Ⅰ卷·3·★）已知向量(1,1)=a ，(1,1)=−b ，若()()λμ+⊥+a b a b ，则（ ） （A ）1λμ+= （B ）1λμ+=− （C ）1λμ= （D ）1λμ=− 答案：D解析：向量垂直可用数量积为0来翻译，此处可先求两个向量的坐标，再算数量积，但若注意到0⋅=a b ，则会发现直接展开计算量更小，因为()()λμ+⊥+a b a b ，所以22()()()0λμλμλμ+⋅+=++⋅+=a b a b a a b b ①，又(1,1)=a ，(1,1)=−b ，所以222112=+=a ，2221(1)2=+−=b ，111(1)0⋅=⨯+⨯−=a b ， 代入①得：220λμ+=，所以1λμ=−.（2023·新高考Ⅰ卷·4·★★）设函数()()2x x a f x −=在区间(0,1)单调递减，则a 的取值范围是（ ） （A ）(,2]−∞− （B ）[2,0)− （C ）(0,2] （D ）[2,)+∞ 答案：D解析：函数()y f x =由2u y =和()u x x a =−复合而成，可由同增异减准则分析单调性， 因为2u y =在R 上，所以要使()()2x x a f x −=在(0,1)上，只需()u x x a =−在(0,1)上，二次函数2()u x x a x ax =−=−的对称轴为2a x =，如图，由图可知应有12a≥，解得：2a ≥.x =（2023·新高考Ⅰ卷·5·★）设椭圆2212:1(1)x C y a a +=>，222:14x C y +=的离心率分别为1e ，2e ，若21e =，则a =（ ）（A （B （C （D 答案：A解析：由题意，1e =，22e ==，因为21e =，解得：a =. （2023·新高考Ⅰ卷·6·★★）过点(0,2)−与圆22410x y x +−−=相切的两直线的夹角为α，则sin α=（ ） （A ）1 （B（C（D答案：B解析：2222410(2)5x y x x y +−−=⇒−+=，圆心为(2,0)C，r =，记(0,2)P −，两切点分别为A ，B ， 如图，P A ，PB 的夹角APB απ=−∠，所以sin sin()sin APB APB απ=−∠=∠，注意到2APB APC ∠=∠，故要求sin APB ∠，可先在Rt PAC ∆中求sin APC ∠和cos APC ∠，再用二倍角公式，因为PC ==AC r ==，所以PA =从而cos PA APC PC∠==，sin AC APC PC∠==故sin sin 22sin cos 2APB APC APC APC ∠=∠=∠∠==.（2023·新高考Ⅰ卷·7·★★★）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列，乙：n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则（ ）（A ）甲是乙的充分条件但不是必要条件 （B ）甲是乙的必要条件但不是充分条件 （C ）甲是乙的充要条件（D ）甲既不是乙的充分也不是乙的必要条件 答案：C解析：判断是否为等差数列，就看通项是否为pn q +或前n 项和是否为2An Bn +的形式，故直接设形式来分析，先看充分性，若{}n a 为等差数列，则可设2n S An Bn =+， 此时nS An B n=+，满足等差数列的形式特征， 所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，故充分性成立；再看必要性，此时可将nS n设为等差数列的通项形式，看看n S 是否满足等差数列的形式特征， 若n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，则可设n S pn q n =+，所以2n S pn qn =+，满足等差数列前n 项和的形式特征， 从而{}n a 是等差数列，必要性成立，故选C.【反思】{}n a 是等差数列的充要条件是通项为pn q +的形式，或前n 项和n S 为2An Bn +的形式，熟悉这一特征可巧解一些等差数列的概念判断题.（2023·新高考Ⅰ卷·8·★★★）已知1sin()3αβ−=，1cos sin 6αβ=，则cos(22)αβ+=（ ）（A ）79 （B ）19（C ）19− （D ）79− 答案：B解析：只要求出cos()αβ+或sin()αβ+，就能用二倍角公式算cos(22)αβ+，而已知的cos sin αβ是sin()αβ+展开才有的结构，故先算sin()αβ+，将sin()αβ−展开也会出现cos sin αβ，于是展开， 由题意，1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ−=−= ①， 又1cos sin 6αβ=，代入①可求得1sin cos 2αβ=， 所以112sin()sin cos cos sin 263αβαβαβ+=+=+=， 故2221cos(22)12sin ()12()39αβαβ+=−+=−⨯=.（2023·新高考Ⅰ卷·9·★★★）（多选）有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（ ） （A ）2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数 （B ）2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数 （C ）2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差 （D ）2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差 答案：BD解析：A 项，1x 和6x 偏离平均数的程度不一定相同，所以去掉它们后，平均数可能发生变化，故能想象A 项错误，我们举个例子，不妨设这组数据为0，2，3，4，5，6， 则原平均数023*******x +++++==， 去掉0和6之后的平均数2345742x x +++'==≠， 故A 项错误；B 项，不妨假设126x x x ≤≤⋅⋅⋅≤，则2345,,,x x x x 和126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数都是342x x +，故B 项正确； C 项，1x 和6x 偏离平均数较大，去掉它们后，标准差可能减小，故通过直观想象能得出C 项错误， 举个例子，不妨设这组数据为1，2，3，5，6，7， 则12356746x +++++==，2221[(14)(24)6s =−+−+222214(34)(54)(64)(74)]3−+−+−+−=，去掉1和7后，235644x +++'==， 2222215[(24)(34)(54)(64)]42s '=−+−+−+−=，所以22s s '<，从而s s '<，故C 项错误；D 项，沿用B 项的假设，则2345,,,x x x x 的极差为52x x −，126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差为61x x −， 要比较两个极差的大小，可再将它们作差判断正负，因为61526521()()()()0x x x x x x x x −−−=−+−≥，所以5261x x x x −≤−，故D 项正确.（2023·新高考Ⅰ卷·10·★★★）（多选）噪声污染问题越来越受到重视. 用声压级来度量噪声的强度，定义声压级020lgP pL p =⨯，其中常数00(0)p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压. 下表为不同声源的声压级：已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为1p ，2p ，3p ，则（ ） （A ）12p p ≥ （B ）2310p p > （C ）30100p p = （D ）12100p p ≤ 答案：ACD解析：因为我们要比较的是1p ，2p ，3p 的一些大小情况，所以先由所给等式解出p ，由题意，020lg P p L p =⨯，所以0lg20P L p p =，从而20010PL p p =，故20010P Lp p = ①， A 项，由式①可以看到，P L 越大，则p 也越大，由表中数据可知燃油汽车的声压级P L 大于等于混合动力汽车的声压级，所以12p p ≥，故A 项正确； B 项，由表中数据可知506020200201010p p p ≤≤，所以0201000p p ≤≤ ①， 又402030010100p p p ==，所以2310p p ≤，故B 项错误，C 项正确；D 项，由表中数据可知609020200101010p p p ≤≤，所以0101000p p ≤≤，而由①可得020*********p p ≤≤， 所以12100p p ≤，故D 项正确.（2023·新高考Ⅰ卷·11·★★★）（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，22()()()f xy y f x x f y =+，则（ ） （A ）(0)0f = （B ）(1)0f = （C ）()f x 是偶函数 （D ）0x =为()f x 的极小值点 答案：ABC解析：A 项，给出22()()()f xy y f x x f y =+这类性质，让求一些具体的函数值，常用赋值法， 令0x y ==可得22(00)0(0)0(0)f f f ⨯=+，所以(0)0f =，故A 项正确；B 项，令1x y ==可得22(11)1(1)1(1)f f f ⨯=+，所以(1)0f =，故B 项正确；C 项，要判断奇偶性，就看()f x −与()f x 的关系，为了产生()f x −，可将y 取成1−， 令1y =−可得2()()(1)f x f x x f −=+− ①，所以还得算(1)f −，继续赋值，令1x y ==−可得222((1))(1)(1)(1)(1)f f f −=−−+−−，所以(1)2(1)f f =−，结合(1)0f =可得(1)0f −=， 代入①得()()f x f x −=，所以()f x 是偶函数，故C 项正确；D 项，ABC 都对，可大胆猜测D 项错误，正面推理判断此选项较困难，可尝试举个反例，观察发现常值函数()0f x =满足所给等式，故可用它来判断选项，令()0f x =，经检验，满足22()()()f xy y f x x f y =+，显然此时0x =不是()f x 的极小值点，故D 项错误.（2023·新高考Ⅰ卷·12·★★★★）（多选）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ） （A ）直径为0.99m 的球体（B ）所有棱长均为1.4m 的正四面体 （C ）底面直径为0.01m ，高为1.8m 的圆柱体 （D ）底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体 答案：ABD解析：A 项，因为正方体的内切球直径为1m ，所以直径为0.99m 的球体可以放入正方体容器，故A 项正确； B 项，看到正方体和正四面体，要想到由正方体的面对角线可以构成正四面体，如图1，，比1.4大，从而所有棱长均为1.4m 的正四面体可以放入正方体容器，故B 项正确；C 项，注意到圆柱的底面直径很小，圆柱很细长，不妨将其近似成线段，故先看1.8m 的线段能否放入正方体， 如图1，正方体的棱长为1，则正方体表面上任意两点之间距离的最大值为1 1.8BD =<，所以高为1.8m 的圆柱不可能放入该正方体，故C 项错误；D 项，注意到圆柱的高很小，不妨将圆柱近似看成圆，故先分析直径为1.2m 的圆能否放入正方体，为了研究这一问题，我们得先找正方体的尽可能大的截面，正方体有一个非常特殊的截面，我们不妨来看看， 如图2，E ，F ，G ，H ，I ，J 分别为所在棱的中点，则EFGHIJ的正六边形， 其内切圆如图3，其中K 为HI中点，则内切圆半径r OK ===，直径2 1.2r =>， 所以可以想象，底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体能放进正方体容器，故D 项正确.1A 1B 1C 1D AB CD1图2图1A 1B 1C 1D A B CDE FGHIJ E F GHIJOK 3图（2023·新高考Ⅰ卷·13·★★）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选2门或3门课，并且每类选修课至少选1门，则不同的选课方案共有_____种.（用数字作答） 答案：64解析：由于一共可以选2门或3门，所以据此分类，若选2门，则只能体育类、艺术类各选1门，有1144C C 16=种选法；若选3门，则可以体育1门艺术2门，或体育2门，艺术1门，有12214444C C C C 48+=种选法；由分类加法计数原理，不同的选课方案共有164864+=种.（2023·新高考Ⅰ卷·14·★★★）在正四棱台1111ABCD A B C D −中，2AB =，111A B =，1AA =积为_____.答案：7√66解析：求正四棱台的体积只差高，由于知道侧棱长，故在包含高和侧棱的截面11AAC C 中来分析， 设正四棱台的高为h ，如图，作1A E AC ⊥于点E ，1C F AC ⊥于点F ，则11A E C F h ==， 因为111A B =，2AB =，所以11EF AC ==AC =1()2AE AC EF =−=，又1AA =，所以1A E ==h =，正四棱台的上、下底面积分别为1S '=，4S =，所以正四棱台的体积1(3V S S h '=++=1A 1B 1C 1D ABCDEF（2023·新高考Ⅰ卷·15·★★）已知函数()cos 1(0)f x x ωω=−>在区间[0,2]π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是_____. 答案：[2,3)解析：()0cos 10cos 1f x x x ωω=⇔−=⇔=，所以问题等价于cos y x ω=在[0,2]π恰有3个最大值点， 函数cos y x ω=的图象容易画出，故直接画图来看， 如图，要使cos y x ω=在[0,2]π上有恰有3个最大值点，应有462πππωω≤<，解得：23ω≤<.（2023·新高考Ⅰ卷·16·★★★）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 在C上，点B 在y 轴上，11F A F B ⊥，2223F A F B =−，则C 的离心率为_____.解析：如图，条件中有2223F A F B =−，不妨设一段长度，看能否表示其余线段的长，设22AF m =，因为2223F A F B =−，所以23BF m =，故225AB AF BF m =+=，由对称性，123BF BF m ==， 又11F A F B ⊥，所以14AF m ==，1AF 和2AF 都有了，用双曲线的定义可找到m 和a 的关系，于是用双余弦法建立方程求离心率，由图可知A 在双曲线C 的右支上，所以1222AF AF m a −==，从而m a =，故123BF BF a ==， 又122F F c =，所以在12BF F ∆中，由余弦定理推论， 22212121212cos 2BF BF F F F BF BF BF +−∠=⋅222222994922339a a c a c a a a +−−==⨯⨯，在1ABF ∆中，1133cos 55BF m ABF ABm ∠===， 因为112ABF F BF ∠=∠，所以22292395a c a −=， 故双曲线C的离心率c e a ==.（2023·新高考Ⅰ卷·17·★★★）已知在ABC ∆中，3A B C +=，2sin()sin A C B −=. （1）求sin A ；（2）设5AB =，求AB 边上的高.解：（1）由题意，3A B C C π+=−=，所以4C π=，（要求的是sin A ，故用4C π=和34A B π+=将2sin()sin A C B −=的消元，把变量统一成A ） 由334A B C π+==可得34B A π=−，代入2sin()sin A C B −=可得32sin()sin()44A A ππ−=−， 所以332(sin coscos sin )sin cos cos sin 4444A A A A ππππ−=−，整理得：1cos sin 3A A =， 代入22sin cos 1A A +=可得221sin sin19A A +=，所以sin A =0A π<<可得sin A =.（2）设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则5c AB ==，如图，AB 边上的高sin CD CD a B == ①， （已知A ，C ，故sin B 可用内角和为π来求）3sin sin()422B A A A π=−=+=， （再求a ，已知条件有C ，c ，sin A ，故用正弦定理求a ） 由正弦定理，sin sin a c A C =，所以sin sin c Aa C==代入①得6CD ==，故AB 边上的高为6.ABCa5c =（2023·新高考Ⅰ卷·18·★）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D −中，2AB =，14AA =. 点2A ，2B ，2C ，2D 分别在棱1AA ，1BB ，1CC ，1DD 上，21AA =，222BB DD ==，23CC =. （1）证明：22B C ∥22A D ；（2）点P 在棱1BB 上，当二面角222P A C D −−为o 150时，求2B P .1A 1B 1C 1D ABC DP 2B 2C2D 2A解：（1）（正四棱柱底面为正方形，侧棱垂直于底面，故天然就有三条两两垂直的直线，可建系证明） 以C 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则2(0,2,2)B ，2(0,0,3)C ，2(2,2,1)A ，2(2,0,2)D ， 所以22(0,2,1)B C =−，22(0,2,1)A D =−，故2222B C A D =， 由图可知直线22B C 与22A D 不重合，所以22B C ∥22A D .（2）（点P 在棱1BB 上运动时，只有z 坐标会变，故可直接设其坐标，用于计算平面22PA C 的法向量） 设(0,2,)(04)P a a ≤≤，则22(2,2,2)A C =−−，2(0,2,3)C P a =−，22(2,0,1)C D =−， 设平面22PA C 和平面222A C D 的法向量分别为111(,,)x y z =m ，222(,,)x y z =n ，则2211121122202(3)0A C x y z C P y a z ⎧⋅=−−+=⎪⎨⋅=+−=⎪⎩m m ， 令13y a =−，则1112x a z =−⎧⎨=−⎩，所以(1,3,2)a a =−−−m 是平面22PA C 的一个法向量，222222222222020A C x y z C D x z ⎧⋅=−−+=⎪⎨⋅=−=⎪⎩n n ，令21x =，则2212y z =⎧⎨=⎩， 所以(1,1,2)=n 是平面222A C D 的一个法向量， 因为二面角222P A C D −−为o 150，所以cos ,⋅<>===⋅m n m n m n， 解得：3a =或1，所以221B P a =−=.（2023·新高考Ⅰ卷·19·★★★）已知函数()(e )x f x a a x =+−. （1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，3()2ln 2f x a >+. 解：（1）由题意，()e 1x f x a '=−，（1()0ln f x x a'=⇒=，但这个零点只在0a >时有意义，故据此讨论） 当0a ≤时，()0f x '<，所以()f x 在R 上单调递减， 当0a >时，11()0e 10e ln x x f x a x a a '<⇔−<⇔<⇔<，1()0ln f x x a'>⇔>， 所以()f x 在1(,ln )a −∞上单调递减，在1(ln ,)a+∞上单调递增.（2）由（1）可得当0a >时，()f x 有最小值1ln 2111(ln )(e )ln ()ln 1ln a f a a a a a a a a a a=+−=++=++，（要证3()2ln 2f x a >+，只需证13(ln )2ln 2f a a >+，此不等式中ln a 已孤立，故直接移项构造函数分析） 令13()(ln )2ln (0)2g a f a a a =−−>，则21()ln 2g a a a =−−，所以2121()2a g a a a a−'=−=，故()0g a a '>⇔>，()00g a a '<⇔<<， 所以()g a在上单调递减，在)+∞上单调递增，故11()(ln ln 022222g a g ≥=−−=−>，所以13(ln )2ln 2f a a >+， 又因为1(ln )f a是()f x 的最小值，所以3()2ln 2f x a >+.（2023·新高考Ⅰ卷·20·★★★★）设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >，令2n n n nb a +=，记n S ，n T 分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和.（1）若21333a a a =+，3321S T +=，求{}n a 的通项公式； （2）若{}n b 为等差数列，且999999S T −=，求d .解：（1）（所给条件容易用公式翻译，故直接代公式，建立关于1a 和d 的方程组并求解） 因为21333a a a =+，所以1113()3(2)a d a a d +=++，整理得：1a d = ①， 又311323332S a d a d ⨯=+=+，3123123111261226122T b b b a a a a a d a d=++=++=++++， 代入3321S T +=可得1111261233212a d a a d a d++++=++ ②， 将①代入②整理得：327d d+=，解得：3d =或12，又由题意，1d >，所以3d =，结合①可得13a =， 所以1(1)3n a a n d n =+−=.（2）（条件{}n b 为等差数列怎样翻译？可先由1b ，2b ，3b 为等差数列建立方程找1a 和d 的关系） 由题意，112b a =，216b a d=+，31122b a d =+，因为{}n b 为等差数列，所以2132b b b =+，故111122122a d a a d=+++， （上式要化简，同乘以3个分母即可）所以11111112(2)2()(2)12()a a d a d a d a a d +=++++， 整理得：11()(2)0a d a d −−=，所以1a d =或12a d =，（求d 肯定要由999999S T −=来建立方程，故讨论上述两种情况，分别求出n S 和n T ）若1a d =，则1(1)n a a n d nd =+−=，1()()(1)222n n n a a n d nd n n S d +++===，21n n n n b nd d++==， 所以121()()(3)222n n n n n b b n n d d T d++++===，故999999S T −=即为9951995099d d ⨯⨯−=，解得：5150d =或1−（舍去）； 若12a d =，则1(1)(1)n a a n d n d =+−=+，1()[2(1)](3)222n n n a a n d n d n n S d ++++===，2(1)n n n nb n d d+==+，所以11()()(1)222n n nn n b b n n d d T d+++===， 故999999S T −=即为9950995199d d ⨯⨯−=，解得：5051d =−或1，均不满足1d >，舍去； 综上所述，d 的值为5150.（2023·新高考Ⅰ卷·21·★★★★）甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签确定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. （1）求第二次投篮的人是乙的概率； （2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且(1)1(0)i i i P X P X q ==−==，1,2,,i n =⋅⋅⋅，则11()nni i i i E X q ===∑∑，记前n 次（即从第1次到第n 次）投篮中甲投篮的次数为Y ，求()E Y .解：（1）（第一次投篮的人可能是甲，也可能是乙，两种情况下第二次投篮的人是乙的概率都是已知的，故按第一次投篮的人是谁划分样本空间，套用全概率公式）记第(1,2,3,)i i =⋅⋅⋅次投篮的人是甲为事件i A ，第2次投篮的人是乙为事件B ， 由全概率公式，1111()()(|)()(|)0.5(10.6)0.50.80.6P B P A P B A P A P B A =+=⨯−+⨯=.（2）（要分析第i 次投篮的人是甲的概率，先看第1i −次的情况，不外乎是甲或乙投篮，且两种情况下第i 次投篮的人是甲的概率都已知，故根据第1i −次由谁投篮划分样本空间，套用全概率公式来建立递推公式） 当2i ≥时，由全概率公式，111111()()(|)()(|)()0.6[1()]0.2i i i i i i i i i P A P A P A A P A P A A P A P A −−−−−−=+=⨯+−⨯， 整理得：121()()55i i P A P A −=+ ①， （要由此递推公式求()i P A ，可用待定系数法构造等比数列，设12()[()]5i i P A P A λλ−+=+，展开化简得123()()55i i P A P A λ−=−，与121()()55i i P A P A −=+对比可得3155λ−=，所以13λ=−） 由①可得1121()[()]353i i P A P A −−=−，又11()0.52P A ==，所以111()36P A −=，故1()3i P A ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭是等比数列， 首项为16，公比为25，所以1112()()365i i P A −−=⨯，故1121()()653i i P A −=⨯+，即第i 次投篮的人是甲的概率为1121()653i −⨯+.（3）（题干给出了一个期望的结论，我们先把它和本题的背景对应起来. 所给结论涉及两点分布，那本题背景下有没有两点分布呢？有的，在第i 次的投篮中，若设甲投篮的次数为i X ，则i X 的取值为1（表示第i 次投篮的是甲）或0（表示第i 次投篮的是乙），所以i X 就服从两点分布，且前n 次投篮的总次数即为1ni i X =∑，故直接套用所给的期望公式就能求得答案）设第i 次投篮中，甲投篮的次数为i X ，则(1)()i i P X P A ==，且12n Y X X X =++⋅⋅⋅+， 所以12()()n E Y E X X X =++⋅⋅⋅+，由所给结论， 01112121121121()()()()()()()653653653n n E Y P A P A P A −=++⋅⋅⋅+=⨯++⨯++⋅⋅⋅+⨯+ 01121()12221525[()()()][1()]26555363185315nn n n n n −−=++⋅⋅⋅++=⨯+=−+−.（2023·新高考Ⅰ卷·22·★★★★）在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点1(0,)2的距离，记动点P 的轨迹为W . （1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD的周长大于解：（1）设(,)P x y ,则y =214y x =+，故21:4W y x =+. （2）方法一：设矩形的三个顶点222111,,,,,444A a a B b b C c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在W 上,且a b c <<，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，则1,AB BC k k a b b c =⋅−+<+,令2240114ABk b a b a b am ⎛⎫+−+ ⎪⎝=+⎭==<−， 同理令0BC k b c n =+=>，且1mn =−，则1m n=−， 设矩形周长为C ,由对称性不妨设||||m n ≥，1BC AB k k c a n m n n−=−=−=+，则11||||(((2C AB BC b a c b c a n n ⎛=+=−−≥−=+ ⎝0n >，易知10n n ⎛+> ⎝则令()222111()1,0,()22f x x x x f x x x x x x '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++>=+− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令()0f x '=，解得2x =，当0,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，此时()f x 单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，()0f x '>，此时()f x 单调递增，则min 27()24f x f ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，故12C ≥=,即C ≥当C =,2n m ==,且((b a b a −=−m n =时等号成立，矛盾，故C >得证.方法二：不妨设,,A B D 在W 上，且BA DA ⊥，依题意可设21,4A a a ⎛⎫+⎪⎝⎭，易知直线BA ，DA 的斜率均存在且不为0， 则设BA ,DA 的斜率分别为k 和1k−，由对称性，不妨设1k ≤， 直线AB 的方程为21()4y k x a a =−++，则联立22141()4y x y k x a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=−++⎪⎩得220x kx ka a −+−=，()()222420k ka a k a ∆=−−=−>，则2k a ≠则||2|AB k a =−，同理||2AD a =+，||||2|2AB AD k a a ∴+=−1122k a a k k ⎫≥−++≥+=⎪⎭令2k m =，则(]0,1m ∈，设32(1)1()33m f m m m m m+==+++，则2221(21)(1)()23m m f m m m m '−+=+−=，令()0'=f m ，解得12m =， 当10,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f m '<，此时()f m 单调递减， 当1,2m ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0f m '>，此时()f m 单调递增， 则min 127()24f m f ⎛⎫==⎪⎝⎭，||||AB AD ∴+≥但1|2|2|2|2k a a k a a k ⎫−≥−++⎪⎭，此处取等条件为1k =，与最终取等时2k =不一致，故2AB AD +>. 方法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动14个单位得抛物线2:W y x '=,矩形ABCD 变换为矩形A B C D '''',则问题等价于矩形A B C D ''''的周长大于 设 ()()()222001122,,,,,B t t A t t C t t ''', 根据对称性不妨设 00t ≥.则 1020,A B B C k t t k t t ''''=+=+, 由于 A B B C ''''⊥, 则 ()()10201t t t t ++=−.由于 1020,A B t B C t ''''=−=−, 且 0t 介于 12,t t 之间,则 1020A B B C t t ''''+=−+−. 令 20tan t t θ+=,10πcot ,0,2t t θθ⎛⎫+=−∈ ⎪⎝⎭,则2010tan ,cot t t t t θθ=−=−−,从而))002cot tan 2A B B C t t θθ''''+=+−故330022222(cos sin )11sin cos sin cos 2sin cos cos sin sin cos sin cos t A B B C t θθθθθθθθθθθθθθ''''−+⎛⎫+=−++=+ ⎪⎝⎭①当π0,4θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,332222sin cos sin cos sin cos cos sin A B B C θθθθθθθθ''''++≥=+≥=≥ ②当 ππ,42θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,由于102t t t <<,从而000cot tan t t t θθ−−<<−, 从而0cot tan 22t θθ−<<又00t ≥, 故0tan 02t θ≤<,由此330222(cos sin )sin cos sin cos sin cos t A B B C θθθθθθθθ''''−++=+ 3323222sin (cos sin )(sin cos )sin cos 1cos sin cos sin cos cos sin θθθθθθθθθθθθθθ−+>+=+==2≥≥=，当且仅当cos 3θ=时等号成立，故A B B C''''+>.（本题的第二个的关键是通过放缩得12C =|AB|+|BC|≥(n +1n )√1+n 2，同时为了简便运算，对右边的式子平方后再设新函数求导，最后再排除边界值即可.）。