2023全国乙卷高考文科数学试卷及答案解析
全国乙卷数学试卷2023文科
全国乙卷数学试卷2023文科2023年全国乙卷数学试卷（文科）第一部分：选择题（共50分）1. 设函数f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 6x + 1，求f(-1)的值。
2. 已知函数f(x) = 2x + 3和g(x) = x^2 - 5x + 2，求复合函数f(g(x))的表达式。
3. 已知函数y = log2(x)，若点(2, y)在图像y = ax^2 + bx + c 上，求a + b + c的值。
4. 若等差数列的第一项为a1，第n项为an，公差为d，已知an = 3n + 1，a1 + a2 + ... + an = 136，求d的值。
5. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a > 0，若f(1) = 2，f(-1) = 6，求函数f(x)的表达式。
6. 设正方形边长为a，内接圆的半径为r，已知a^2 - r^2 = 18，求a的值。
7. 平面上有一圆心坐标为(-3, 4)，通过点(-1, 2)，求该圆的方程。
8. 已知函数f(x) = 2x^2 + ax + b的图像过点(1, 3)，且切线为y = 2x - 1，求参数a和b的值。
9. 设等差数列的公差为d，已知其前5项的和为10，后5项的和为20，求d的值。
10. 在平面直角坐标系中，直线y = 3x + 1与x轴和y轴分别交于点A和B，点P在直线上，且PA的长度是PB的2倍，求点P的坐标。
11. 设函数f(x) = e^x - ax^2 + 4ax - 4，已知f(0) = 0，f'(0)= 0，求参数a的值。
12. 在△ABC中，AB = 6，AC = 8，BC = 10，点D是边BC上的一点，且AD ⊥ BC，求AD的长度。
13. 已知函数f(x) = a^x，其中a > 1，若f(2) + f(3) = 40，求参数a的值。
14. 设函数f(x) = 2x^2 + 3x + k，在区间[1, 2]上的图像与x轴围成的面积为1，求参数k的值。
2023年高考押题预测卷03卷-文科数学(全国乙卷)(原卷及解析版)
绝密★启用前2023年高考押题预测卷03（全国乙卷）文科数学（考试时间：150分钟 试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
评卷人 得分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U =R ，2{|60}A x x x =--<，{|ln(1)}B x y x ==-，则()UA B =（ ）A ．[)1,3B ．(]1,3C ．()1,3D ．(]2,1-2．设复数z 的共轭复数为z ，且满足11iz z i+-=-，i 为虚数单位，则复数z 的虚部是（ ） A ．12B ．2C ．12-D ．2-3．已知函数2()log 164x f x x =-()f x 的定义域为（ ） A ．(,4]-∞B ．(,2]-∞C ．(0,2]D ．(0,4]4．“湖畔波澜飞，耕耘战鼓催”，合肥一六八中学的一草一木都见证了同学们的成长．某同学为了测量澜飞湖两侧C ，D 两点间的距离，除了观测点C ，D 外，他又选了两个观测点12,P P ，且12PP a =，已经测得两个角1221,PP D P PD αβ∠=∠=，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C ，D 间距离的有（ ）组①1DPC ∠和1DCP ∠；②12PP C ∠和12PCP ∠；③1PDC ∠和1DCP ∠ A ．0B ．1C ．2D ．35．设向量(0,2),(2,2)a b ==，则（ ） A ．||||a b =B ．()//a b b -C ．a 与b 的夹角为3πD ．()a b a -⊥ 6．已知双曲线22144x y a a -=+-(a >4)的实轴长是虚轴长的3倍，则实数a =（ ）A ．5B ．6C ．8D ．97．在等比数列{}n a 中，若25234535,44a a a a a a =-+++=，则23451111a a a a +++= A ．1B ．34-C ．53-D ．43-8．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥表面上的点M ､N ､P ､Q 在三视图上对应的点分别为A ､B ､C ､D ，且A ､B ､C ､D 均在网格线上，图中网格上的小正方形的边长为1，则几何体MNPQ 的体积为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．239．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边经过点A (1，-3)，则tan()4πα+=（ ）A ．12B ．12-C ．1D ．-110．2021年电影春节档票房再创新高，其中电影《唐人街探案3》和《你好，李焕英》是今年春节档电影中最火爆的两部电影，这两部电影都是2月12日（大年初一）首映，根据猫眼票房数据得到如下统计图，该图统计了从2月12日到2月18日共计7天的累计票房（单位：亿元），则下列说法中错误的是（ ）A ．这7天电影《你好，李焕英》每天的票房都超过2.5亿元B ．这7天两部电影的累计票房的差的绝对值先逐步扩大后逐步缩小C ．这7天电影《你好，李焕英》的当日票房占比逐渐增大D ．这7天中有4天电影《唐人街探案3》的当日票房占比超过50%11．已知函数()()sin 02f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移3ωπ个单位得到函数()g x 的图象，点A ，B ，C 是()f x 与()g x 图象的连续相邻的三个交点，若ABC 是钝角三角形，则ω的取值范围是（ ） A ．3,⎫+∞⎪⎪⎝⎭B ．2,⎫+∞⎪⎪⎝⎭C ．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D ．3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭12．已知球O 的半径为R ，A ，B ，C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为12R ，3AB AC ==，120BAC ∠=︒，则球O 的表面积为（ ）A ．48πB ．16πC ．64πD ．36π评卷人 得分二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知1e ，2e 均为单位向量，若123e e -=，则1e 与2e 的夹角为______．14．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>2,直线l 与椭圆交于A ,B 两点,当AB 的中点为()1,1M 时,直线l 的方程为___________.15．已知锐角ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则ABC 的面积是__________．16．在四面体ABCD 中，ABC 与ACD △都是边长为3G 为AC 的中点，且2BGD π∠=，则该四面体ABCD 外接球的表面积为___________. 评卷人 得分三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（12分）已知一个由正数组成的数阵，如下图各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，且公比都相等，1214332,4,12a a a ===. 第一行111213141,,,n a a a a a 第二行212223242,,,n a a a a a第三行313233343,,,n a a a a a……第n 行1234,,,n n n n nn a a a a a (1)求数列{}2n a 的通项公式； (2)设()()()12122,1,2,3,11n n n n b n a a -+==-⋅-，求数列{}n b 的前n 项和n S .18．（12分）为纪念建党100周年，某校举办党史知识竞赛，现从参加竞赛的同学中，选取200名同学并将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组[)40,50，第2组[)50,60，第3组[)60,70，第4组[)70,80，第5组[)80,90，第6组[]90,100.得到如图所示的频率分布直方图.(1)求a 的值，并估计这200名学生成绩的中位数；(2)若先用分层抽样的方法从得分在[)40,50和[)50,60的学生中抽取5人，然后再从抽出的5人中任意选取2人，求此2人得分恰在同一组的概率. 19．（12分）如图，四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中AB BC ⊥，//CD AB ，面ABE ⊥面ABCD ，且224AB AE BE BC CD =====，点M 在棱AE 上．（1）若直线//CE 平面BDM ，求:EM AM 的值． （2）当AE ⊥平面MBC 时，求点C 到平面BDM 的距离． 20.（12分）已知椭圆方程为221259y x +=，若抛物线22(0)x py p =>的焦点是椭圆的一个焦点．(1)求该抛物线的方程；(2)过抛物线焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，分别在点A ，B 处作抛物线的切线，两条切线交于P 点，则PAB △的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 21．（12分）已知函数()1e xf x ax -=-，(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 在()0,2上有两个不相等的零点12,x x ，求证：121x x a>. （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(其中t 为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 40m ρρθ--=（其中m 0>）. (1)若点M 的直角坐标为()3,3，且点M 在曲线C 内，求实数m 的取值范围； (2)若3m =,当α变化时，求直线l 被曲线C 截得的弦长的取值范围. 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数()241f x x x =++-.(1)求不等式()6f x >的解集；(2)设函数()f x 的最小值为m ，正实数a ，b 满足229a b m +=，求证：326a b ab +≥.2023年高考押题预测卷03（全国乙卷）文科数学·全解全析1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 DBACDDBDDDAD1．D解：∵{}12A x x =<<，{}12B x x =≤≤， ∵{}12A B x x ⋂=<<， 故选：D ． 2．B因为()()()221i 1i 12i i i 1i 1i 1i 2++++===--+， 所以其共轭复数为i -，则其虚部为1-， 故选：B 3．A 当14a >，0x >时，由基本不等式可知21a ax x a x x +≥⋅=， 故“14a >”是“对任意的正数x ，均有1ax x+≥”的充分条件； 当14a =时，114a a x x x x +≥⋅=成立，14a >不成立， 故“14a >”是“对任意的正数x ，均有1ax x+≥”的不必要条件. 故选：A 4．C解：因为函数()f x 是定义域为R 的偶函数， 所以()()f x f x =-， 又因为()()11f x f x +=-， 所以()()2f x f x -=，则()()2f x f x -=-，即()()2f x f x +=， 所以周期为2T =，因为112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，33121222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：C 5．D对于A ：当2a =，4b =-时不成立，故A 错误；对于B ：当12a =-，1b =-，所以2ba =，101b a +=+，即11b b a a +>+，故C 错误；对于C ：当0c 时不成立，故C 错误；对于D ：因为a b >，所以330a b >>，又30b ->，所以33332332b b a b b b ---≥⨯+>+=（等号成立的条件是0b =），故D 正确. 故选：D. 6．D函数的定义域为{x |x ≠0}，11()ln ||cos(3)ln ||cos3()22f x x x x x f x -=--==，则f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，排除B ，C ，当06x π<<时，f (x )<0，排除A ，D 符合要求.故选：D. 7．B设AF x =，则3DF x =，BD AF x ==，4AD x =，120ADB ∠=， 在ABD △中，根据余弦定理得，22222212cos 1624212AB AD BD AD BD ABD x x x x x ∠⎛⎫=+-⋅⋅=+-⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭，∵221393sin60(3)24EFDS DF DE x =⋅⋅⋅==， 2213213sin602124ABCSAB BC x =⋅⋅⋅==， ∵73ABC EFDSS=，∵图中阴影部分与空白部分面积之比为34.故选：B. 8．D设2,x a y b =+=，则2,a x b y =-=，故28x y +=，其中2,0x y >>，()2212214226288x y x y a b x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 由4242x yy x+≥ 当且仅当(422422x yy x x y x=⇒=⇒=，()821y =时等号成立，此时2x >，0y >满足， 故222a b ++的最小值为(13264284+= 故选：D. 9．D当受血者为B 型血时，供血者可以为B 型或O 型，所以一位供血者能为这位受血者正确输血的概率为41%+24%=65%=0.65. 故选：D 10．D∵等差数列{an }中，a 1，a 6为函数2()914f x x x =-+的两个零点， ∵a 1＝2，a 6＝7，或a 1＝7，a 6＝2， 当a 1＝2，a 6＝7时，61161a a d -==-，a 3＝4，a 4＝5，所以a 3a 4＝20． 当a 1＝7，a 6＝2时，61161a a d -==--，a 3＝5，a 4＝4，所以a 3a 4＝20． 故选：D ． 11．A双曲线22271x y -=，273c =+=， 所以(3,0)F ，3,2122pp ==，所以抛物线2:12C y x =. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 的方程为()(3)0y k x k =->.联立2(3)12y k x y x =-⎧⎨=⎩消去y ，化简整理得()222261290k x k x k -++=.设()()1122,,,A x y B x y ，则122126x x k +=+，129x x =. ∵||3||AF BF =，()12333x x +=+，∵1236x x -= ∵122126x x k +=+，∵1296x k =+，223x k=，又129x x =，∵23k =， ∵0k >，∵3k =因此直线l 3330x y --=. 故选：A 12．D由0ln 2lne 1x <=<=，10lg 2102y <=<可得2211log e,log 10x y ==，故()22211log e log 10log 10e 1x y +=+=>，即x y xy +>，2221110log 10log e log 1e y x ⎛⎫-=-=> ⎪⎝⎭，即x y xy ->，又(0,)2x π∈时，tan x x >，3022x y π<+<<，故()tan x y x y +>+，综上()tan x y x y x y xy +>+>->. 故选：D. 13．23π因为1e ，2e 均为单位向量，且123e e -=， 所以22212112223e e e e e e -=-⋅+=，即121cos ,2e e =-，因为[]12,0,e e π∈， 所以122,3e e π=， 故答案为：23π 14．230x y +-=由题可知直线AB 的斜率存在；设()()1122,,,A x y B x y ,由于点,A B 都在椭圆上，所以2211221x y a b+=①, 2222221(0)x y a b a b +=>>②,-①②，化简得2221222212y y b a x x --=-；22221b a -所以2212b a =，即()()()()221212122212121212y y y y y y x x x x x x -+-==---+； 又线段AB 的中点为()1,1M ，所以()()()()()()()()121212121212121212121222y y y y y y y y y y x x x x x x x x x x +--+-===-+-+--， 所以直线AB 的斜率为12-，故所求直线l 的方程为()1112y x =--+，即230x y +-=．故答案为：230x y +-=. 1523因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，所以由正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，由0,0B C ππ<<<<，则1sin 2A =，而三角形ABC为锐角三角形，所以3cos 6A A π=⇒=. 由余弦定理，222383cos 223b c a A bc bc bc +-==11123sin 2223ABCSbc A ===. 2316．28π过点D 作DE ∵BG ，易得DE ∵平面ABC ， 记ABC 的中心为O 1，几何体的球心为O ， 连接OO 1，过点O 作OF //O 1E 交DE 于点F ，如图所示，由题可得BG =DG =3，∵DGB =23π， 333,2EG DE ==，111,2,O G O A == 设1OO x =，外接球的半径为R ，所以2221222R O A x R DF OF ⎧=+⎨=+⎩，即2222222335()2R xR x ⎧=+⎪⎨⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎩， 解得73R x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以该四面体外接球的表面积为28π. 17．(1)解：由题意，设第一行的公差为1d ，第三列的公比为q ， 则由122a =，144a =，可得1141222d a a =-=， ∵11d =，∵133a =，又3312a =，∵331324a a q ==，∵2q ，∵11212222n n nn a a q --=⋅=⨯=；(2)解：∵()()()()()()()()()11111212121212222121212111n nn n n n n n n n n b a a +--+++⎡⎤---⎣⎦===------111122121n n +⎡⎤=-⎢⎥--⎣⎦. ∵121223111111112212121212121n n n n S b b b +⎡⎤=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥------⎣⎦1121111122121222n n ++⎡⎤=-=-⎢⎥---⎣⎦. 18．(1)由频率分布直方图可得：()0.028 2 0.0232 0.0156 0.004101a +⨯+++⨯=，解得0.006a =；由频率分布的直方图可得设中位数为m ，故可得()()0.004 0.006 0.023210 700.0280.5m ++⨯+-⨯=，解得76m =，所以这200名学生成绩中位数的估计值为76； (2)由频率分布直方图可知：得分在[40,50)和[50,60)内的频率分别为0.04和0.06， 采用分层抽样知，抽取的5人，在[40,50)内的人数为2人，在[50,60)内的人数为3人. 设分数在[ 40，50 )内的2人为12,a a ，分数在[ 50，60 )内的3人为123,,b b b ，则在这5人中抽取2人的情况有：()12,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()23,a b ，()12,b b ，()13,b b ，()23,b b ，共有10种情况，其中分数在同一组的2人有()12,a a ，()12,b b ，()13,b b ，()23,b b ，有4种情况， 所以概率为42105P ==. 19． （1）连接AC 与BD 交于点N ，连接MN ，//AB CD ，24AB CD ==，CND ANB ∴△∽△，12CD CN AB AN ∴==， 又//CE 平面BDM ，CE ⊂平面ACE ，且平面ACE 平面BDM MN =//CE MN ∴12EM CN MA AN ∴==．（2）AE 平面MBC ，BM ⊂平面MBC ，AE BM ∴⊥，AB AE BE ==，M ∴是AE 的中点，面ABE ⊥面ABCD ，∴点E 到面ABCD 的距离为3423d ==∴点M 到面ABCD 的距离为32dh ==11123223332C BDM M BCD BCD V V S h --∴==⋅=⋅⋅⋅△ BDM 中，22BD =，22DM =23BM =1235152BDM S ⋅∴==△∴点C 到平面BDM 的距离满足123153h =，所以距离25h =20． (1)由椭圆221259y x +=，知222594c a b --．又抛物线22(0)x py p =>的焦点是椭圆的一个焦点． 所以42p=，则8p =． 所以抛物线的方程为216x y =． (2)由抛物线方程216x y =知，焦点(0,4)F ．易知直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为4y kx =+．由2416y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 并整理，得216640x kx --=．22(16)4(64)2562560k k ∆=---=+>． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1216x x k +=，1264x x =-．对216x y =求导，得8x y '=，∵直线AP 的斜率18AP x k =， 则直线AP 的方程为111()8x y y x x -=-，即211816x x y x =-．同理得直线BP 的方程为222816x x y x =-．设点00(,)P x y ，联立直线AP 与BP 的方程，()012120182416x x x k x x y ⎧=+=⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩即(8,4)P k -． 2222121212||11()41AB k x k x x x x k +-=++-+22(16)256161()k k +=+，点P到直线AB 的距离22288811k d k k +==++所以PAB △的面积32222116(1)164(1)642S k k k =⨯+⨯+=+，当且仅当0k =时等号成立．所以PAB △面积的最小值为64，此时直线l 的方程为4y =． 21．(1)()1e x f x a -='-，x ∈R .①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 单调递增；②当0a >时，由()0f x '>得，()1ln ,x a ∈++∞，()f x 单调递增， 由()0f x '<得，(),1ln x a ∈-∞+，()f x 单调递减.综上：当0a ≤时，()f x 单调递增；当0a >时，()f x 在()1ln ,x a ∈++∞上单调递增，在(),1ln x a ∈-∞+上单调递减.(2)∵()f x 在()0,2上有两个不相等的零点1x ，2x ，不妨设12x x <， ∵1e x a x-=在()0,2上有两个不相等的实根，令()1e x g x x -=，()0,2x ∈，∵()()12e 1x x g x x --'=，由()0g x '<得，()0,1x ∈，()g x 单调递减，由()0g x '>得，()1,2x ∈，()g x 单调递增，()11g =，()e22g =，0x →，()g x ∞→+， ∵e 1,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭要证121x x a>，即证121ax x >，又∵()()12g x g x a ==，只要证211e1x x ->，即证211e x x ->，∵121x x ，即证()()211e xg x g -<即证()()212ex g x g -<，即证12221e 112e e ex x x x ----<，即证212e ln 10x x -+->令()1eln 1xh x x -=+-，()1,2x ∈，∵()11e x h x x-'=-+，令()e e x x x ϕ=-，()1,2x ∈，则()e e x x ϕ'=-，当()1,2x ∈时，()e e>0xx ϕ'=-恒成立，所以()e e x x x ϕ=-在()1,2x ∈上单调递增，又()()10x ϕϕ>=，∵e e x x >，∵11e xx-<，∵()0h x '> ∵()h x 在()1,2上递增，∵()()10h x h >>，∵1e ln 10x x -+-> ∵121x x a>. 22． 试题解析：(1)由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线C 对应的直⻆角坐标⽅方程为:()2224x m y m -+=+由点M 在曲线C 的内部，()22394m m ∴-+<+, 求得实数m 的取值范围为7,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)直线l 的极坐标⽅方程为θα=，代入曲线C 的极坐标⽅方程整理理得26cos 40ρρα--=，设直线l 与曲线C 的两个交点对应的极径分别为1212126cos 4ρρρραρρ+==-，，，， 则直线l 截得曲线C 的弦长为：()22121212436cos 164,213ρρρρρρα⎡⎤-=+-+⎣⎦. 即直线l 与曲线C 截得的弦长的取值范围是4,213⎡⎣.23． (1)由条件可知原不等式可化为①12416x x x ≥⎧⎨++->⎩，②()212416x x x -<<⎧⎨+-->⎩，③()()22416x x x ≤-⎧⎨-+-->⎩，解①得1x >；解②得x ∈∅；解③得3x <-， 所以原不等式的解集为()(),31,-∞-⋃+∞. (2)因()33,12415,2133,2x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪--≤-⎩，所以当2x =-时，函数()f x 的最小值为3m =，于是2293a b +=，∵a >0，b >0而2239236a b a b ab=+≥⨯=，于是1 02ab<≤.∵313326 a bab b a ab≥+=+≥∵326a b ab+≥，原不等式得证。
2023年全国统一高考数学试卷(新高考I ) (解析版)
2023年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，则M∩N＝（ ）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{0，1，2}C．{﹣2}D．{2}【答案】C【解答】解：∵x2﹣x﹣6≥0，∴（x﹣3）（x+2）≥0，∴x≥3或x≤﹣2，N＝（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），则M∩N＝{﹣2}．故选：C．2．（5分）已知z＝，则z﹣＝（ ）A．﹣i B．i C．0D．1【答案】A【解答】解：z＝＝＝，则，故＝﹣i．故选：A．3．（5分）已知向量＝（1，1），＝（1，﹣1）．若（+λ）⊥（+μ），则（ ）A．λ+μ＝1B．λ+μ＝﹣1C．λμ＝1D．λμ＝﹣1【答案】D【解答】解：∵＝（1，1），＝（1，﹣1），∴+λ＝（λ+1，1﹣λ），+μ＝（μ+1，1﹣μ），由（+λ）⊥（+μ），得（λ+1）（μ+1）+（1﹣λ）（1﹣μ）＝0，整理得：2λμ+2＝0，即λμ＝﹣1．故选：D．4．（5分）设函数f（x）＝2x（x﹣a）在区间（0，1）单调递减，则a的取值范围是（ ）A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，0）C．（0，2]D．[2，+∞）【答案】D【解答】解：设t＝x（x﹣a）＝x2﹣ax，对称轴为x＝，抛物线开口向上，∵y＝2t是t的增函数，∴要使f（x）在区间（0，1）单调递减，则t＝x2﹣ax在区间（0，1）单调递减，即≥1，即a≥2，故实数a的取值范围是[2，+∞）．故选：D．5．（5分）设椭圆C1：+y2＝1（a＞1），C2：+y2＝1的离心率分别为e1，e2．若e2＝e1，则a＝（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由椭圆C2：+y2＝1可得a2＝2，b2＝1，∴c2＝＝，∴椭圆C2的离心率为e2＝，∵e2＝e1，∴e1＝，∴＝，∴＝4＝4（﹣）＝4（﹣1），∴a＝或a＝﹣（舍去）．故选：A．6．（5分）过点（0，﹣2）与圆x2+y2﹣4x﹣1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝（ ）A．1B．C．D．【答案】B【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣1＝0可化为（x﹣2）2+y2＝5，则圆心C（2，0），半径为r＝；设P（0，﹣2），切线为PA、PB，则PC＝＝2，△PAC中，sin＝，所以cos＝＝，所以sinα＝2sin cos＝2××＝．故选：B．7．（5分）记S n为数列{a n}的前n项和，设甲：{a n}为等差数列；乙：{}为等差数列，则（ ）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【解答】解：若{a n}是等差数列，设数列{a n}的首项为a1，公差为d，则S n＝na1+d，即＝a1+d＝n+a1﹣，故{}为等差数列，即甲是乙的充分条件．反之，若{}为等差数列，则可设﹣＝D，则＝S1+（n﹣1）D，即S n＝nS1+n（n﹣1）D，当n≥2时，有S n﹣1＝（n﹣1）S1+（n﹣1）（n﹣2）D，上两式相减得：a n＝S n﹣S n﹣1＝S1+2（n﹣1）D，当n＝1时，上式成立，所以a n＝a1+2（n﹣1）D，则a n+1﹣a n＝a1+2nD﹣[a1+2（n﹣1）D]＝2D（常数），所以数列{a n}为等差数列．即甲是乙的必要条件．综上所述，甲是乙的充要条件．故本题选：C．8．（5分）已知sin（α﹣β）＝，cosαsinβ＝，则cos（2α+2β）＝（ ）A．B．C．﹣D．﹣【答案】B【解答】解：因为sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣sinβcosα＝，cosαsinβ＝，所以sinαcosβ＝，所以sin（α+β）＝sinαcosβ+sinβcosα＝＝，则cos（2α+2β）＝1﹣2sin2（α+β）＝1﹣2×＝．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年全国统一高考数学试卷(新高考Ⅰ)含答案解析
绝密★启用前2023年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M={−2,−1,0,1,2}，N={x|x2−x−6≥0}，则M∩N=( )A. {−2,−1,0,1}B. {0,1,2}C. {−2}D. {2}2.已知z=1−i2+2i，则z−z−=( )A. −iB. iC. 0D. 13.已知向量a⃗=(1,1)，b⃗⃗=(1,−1).若(a⃗⃗+λb⃗⃗)⊥(a⃗⃗+μb⃗⃗)，则( )A. λ+μ=1B. λ+μ=−1C. λμ=1D. λμ=−14.设函数f(x)=2x(x−a)在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是( )A. (−∞,−2]B. [−2,0)C. (0,2]D. [2,+∞)5.设椭圆C1：x2a2+y2=1(a>1)，C2：x24+y2=1的离心率分别为e1，e2.若e2=√ 3e1，则a=( )A. 2√ 33B. √ 2C. √ 3D. √ 66.过点(0,−2)与圆x2+y2−4x−1=0相切的两条直线的夹角为α，则sinα=( )A. 1B. √ 154C. √ 104D. √ 647.记S n为数列{a n}的前n项和，设甲：{a n}为等差数列；乙：{S nn}为等差数列，则( )A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.已知sin(α−β)=13，cosαsinβ=16，则cos(2α+2β)=( )A. 79B. 19C. −19D. −79二、多选题：本题共4小题，共20分。
高考数学试卷全国乙卷2023
2023全国乙卷高考数学试卷及答案一、选择题（每题5分，共40分）1. 已知集合A={x|1≤x＜4}，B={x|x≤2或x≥3}，则A∩B=（）A. {x|1≤x＜3}B. {x|1≤x＜4}C. {x|2≤x＜4}D. {x|1≤x≤2}答案：A2. 若函数f(x)=2x^3-3x^2+x+1在x=1处的切线斜率为k，则k=（）A. -1B. 0C. 1D. 3答案：D3. 已知函数f(x)=ln(x-1)，则函数f(x)的单调递增区间为（）A. (1, +∞)B. (-∞, 1)C. (0, +∞)D. (-∞, 0)答案：A4. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=9，S6=27，则公差d=（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B5. 若函数y=f(x)的图像关于点(2, 3)对称，则f(3)+f(1)=（）A. 6B. 9C. 12D. 15答案：B6. 已知函数f(x)=x^2+bx+c（b、c为常数）的图像上存在两个不同的点A、B，使得∠OAB=90°（O为坐标原点），则b的取值范围是（）A. b＞1B. b＜-1C. b＞0D. b＜0答案：D7. 若平面直角坐标系xOy中，点A(2, 3)关于直线y=2x-1的对称点为B，则线段AB的中点坐标为（）A. (1, 2)B. (2, 1)C. (3, 2)D. (2, 3)答案：A8. 若直线y=kx+1与函数y=x^3-3x的图像有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A. k＞1B. k＜-1C. -1＜k＜1D. k＞0答案：C二、填空题（每题5分，共30分）9. 若函数y=2x^3-3x^2+x+1在x=2处的切线方程为y=5x+b，则b=________。
答案：-610. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10=100，S20=400，则S30=________。
答案：70011. 若函数y=f(x)的图像关于点(1, -2)对称，则f(0)=________。
2023年全国新高考一卷数学真题及答案解析
2023年全国新高考一卷数学真题及答案解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21012，，，，--=M ，{}062>--=x x x N ，则M ∩=N （）A .{}1012，，，--B .{}2,1,0C .{}2-D .{}22.已知iiz 221+-=，则=-z z （）A .i -B .iC .0D .13.已知向量()1,1=a，()1,1-=b .若()()b a b a μλ+⊥+，则（）A .1=+μλB .1-=+μλC .1=λμD .1-=λμ4.设函数()()a x x x f -=2在区间()1,0单调递减，则a 的取值范围是（）A .(]2-∞-，B .[)0,2-C .(]2,0D .[)∞+，25.设椭圆12221=+y a x C ：()1>a ，14222=+y x C ：的离心率分别21,e e .若123e e =，则=a （）A .332B .2C .3D .66.过点()20-，与圆01422=--+x y x 相切的两条直线的夹角为α，则=αsin （）A .1B .415C .410D .467.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：⎭⎫⎩⎨⎧n S n 为等差数列，则（）A .甲是乙的充分条件但不是必要条件B .甲是乙的必要条件但不是充分条件C .甲是乙的充要条件D .甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.已知()31sin =-βα，61sin cos =βα，则()=+βα22cos （）A .97B .91C .91-D .97-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有一组样本数据621,,x x x ，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（）A .5432,,,x x x x 的平均数等于621,,x x x 的平均数B .5432,,,x x x x 的中位数等于621,,x x x 的中位数C .5432,,,x x x x 的标准差不小于621,,x x x 的标准差D .5432,,,x x x x 的极差不大于621,,x x x 的极差10.噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级lg20p pL p ⨯=，其中常数()000>p p 是听觉下线的阈值，p 是实际声压.下表为不同声源的声压级：已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为321,,p p p ，则（）A .21p p >B .3210p p >C .03100p p =D .21100p p <11.已知函数()x f 的定义域为R ，()()()y f x x f y xy f 22+=，则（）A .()00=fB .()01=f C .()x f 是偶函数D .0=x 为()x f 的极小值点12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A .直径为m 99.0的球体B .所有棱长均为m 4.1的四面体C .底面直径为m 01.0，高为m 8.1的圆柱体D .底面直径为m 2.1，高为m 01.0的圆柱体声源与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040三、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分.13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选修方案共有种（用数字作答）.14.在正四棱台1111D C B A ABCD -中，2=AB ，111=B A ，21=AA ，则该棱台的体积为.15.已知函数()()01cos >-=ωωx x f 在区间[]π2,0有且仅有3个零点，则ω的取值范围是.16.已知双曲线()0012222>>=-b a by a x C ，：的左、右焦点分别为21F F ，，点A 在C 上.点B 在y 轴上，B F A F 11⊥，B F A F 2232-=，则C 的离心率为.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知在ABC ∆中，C B A 3=+，()B C A sin sin 2=-.（1）求A sin ；（2）设5=AB ，求AB 边上的高.18.如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，2=AB ，41=AA .点2222,,,D C B A 分别在棱1111,,,DD CC BB AA 上，12=AA ，222==DD BB ，32=CC .（1）证明：2222D A C B ∥；（2）点P 在棱1BB 上，当二面角222D C A P --为150°时，求P B 2.19.已知函数()()x a e a x f x-+=.（1）讨论()x f 的单调性；（2）证明：当0>a 时，()23ln 2+>a x f .20.设等差数列{}n a 的公差为d ，且1>d ，令nn a nn b +=2，记n n T S ,分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和.（1）若31223a a a +=，2133=+T S ，求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 为等差数列，且999999=-T S ，求d .21.甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为6.0，乙每次投篮的命中率均为8.0，由抽签决定第一次投篮的任选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为5.0.（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()i i i q X P X P ==-==011，n i ,,2,1 =，则()∑∑===ni i ni i q X E11，记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()Y E .22.在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点⎪⎭⎫ ⎝⎛210，的距离，记动点P 的轨迹为W .（1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD 的周长大于33.答案解析一、选择题12345678CADDABCB1.解：(][)∞+⋃-∞-∈，，32N ，∴{}2=⋂N M 2.解：i i i z 21221-=+-=，∴i z z -=-3.解：()()b a b aμλ+⊥+∵，∴()()()01222=+=+⋅++λμλμμλb b a a ，∴1-=λμ4.解：由复合函数的单调性可知()a x x y -=在区间()1,0单调递减，∴12≥a，∴a 的取值范围是[)∞+，2.5.解：由题意得：a a e 121-=，232=e ，得2112=-a a ，解得332=a .6.解：易得()5222=+-y x ，故圆心()0,2B ，5=R 记()20-，A ，设切点为N M ,，则22=AB ，5=BM ，可得3=AM 223sin 2sin==∠=AB AM MBA α，2252cos =α∴4152cos 2sin 2sin ααα=7.解：甲：∵{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，则()d n n na S n 211++=，∴222111d a n d d n a n S n -+=-+=，211d n S n S n n =-++，故⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，⎭⎫⎩⎨⎧n S n 为等差数列，即()()()1111111+-=++-=-++++n n S na n n S n nS n S n S n n n n n n 为常数，设为t ，即()t n n S na nn =+-+11，故()11+⋅-=+n n t na S n n ，故()()111-⋅--=-n n t a n S n n ，2≥n ，两式相减有：()tn n a na a n n n 211---=+，即t a a n n 21=-+，对1=n 也成立，故{}n a 为等差数列，∴甲是乙的必要条件综上，甲是乙的充要条件.8.解：∵()31sin cos cos sin sin =-=-βαβαβα，61sin cos =βα，则21cos sin =βα，故()326131sin cos cos sin sin =+=+=+βαβαβα.()()913221sin 2122cos 22=⎪⎭⎫⎝⎛⨯-=+-=+βαβα.二、选择题9101112BDACDABCABD10.解：∵0lg 20lg 20lg2021020121≥⨯=⨯-⨯=-p p p p p p L L ，∴121≥p p，即21p p >∴A 正确；10lg 203232>⨯=-p p L L ，即21lg 32>p p ，∴213210>p p ，∴B 错误；∵40lg20033=⨯=p p L ，∴10010203==p p，∴C 正确；405090lg202121=-≤⨯=-p p L L ，∴2lg 21≤p p ，∴10021≤p p，∴D 正确.11.解：选项A ，令0==y x ，则()()()000000=⨯+⨯=f f f ，故A 正确；选项B ，令1==y x ，则()()()11111f f f ⨯+⨯=，则()01=f 故B 正确；选项C，令1-==y x ，则()()()()()1111122-⨯-+-⨯-=f f f ，则()01=f ，再令1-=y ，则()()()()1122-+⨯-=-f x x f x f ，即()()x f x f =-，故C 正确；选项D，对式子两边同时除以22yx ()022≠y x，得到：()()()2222xx f y y f y x xy f +=，故可设()()0ln 2≠=x x x x f ，故可以得到()⎩⎨⎧=≠=0,00,ln 2x x x x x f ，故D 错误.12.解：选项A，球直径为199.0<，故球体可以放入正方体容器内，故A 正确；选项B，连接正方体的面对角线，可以得到一个正四面体，其棱长为4.12>，故B 正确；选项C，底面直径m 01.0，可以忽略不计，但高为38.1>，3为正方体的体对角线的长，故C 不正确；选项D，底面直径为32.1<，高为m 01.0的圆柱体，其高度可以忽略不计，故D 正确.三、填空题13.64；14.667；15.32<≤ω；16.55313.解：当从这8门课中选修2门课时，共有161414=C C ；当从这8门课中选修3门课时，共有4814242414=+C C C C ；综上共有64种.14.解：如图，将正四棱台1111D C B A ABCD -补成正四棱锥，则2=AO ，22=SA ，261=OO ，故()()667261212313122222121=⋅⋅++=++=h S S S S V .15.解：令()01cos =-=x x f ω得1cos =x ω，又[]π2,0∈x ，则[]ωπω2,0∈x ，∴ππωπ624<≤，即32<≤ω.16.解：由B F A F 2232-=32=，设x A F 22-=，x B F 32=.由对称性可得x 3=，由定义可得，a x 22+=x 5=，设θ=∠21AF F ，则5353sin ==x x θ，∴xax 52254cos +==θ，解得a x =，∴a x AF 221+=，a AF 22=，在21F AF ∆中，由余弦定理可得54164416cos 2222=-+=a c a a θ，即2295a c =可得553=e .四、解答题17.解：（1）由题意得C B A 3=+，∴，π==++C C B A 4，∴4π=C ∴A C A B -=--=43ππ，∵()B C A sin sin 2=-，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-A A ππ43sin 4sin 2，即A A A A sin 22cos 22cos 22sin 222+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-，整理得：A A cos 3sin =又∵1cos sin 22=+A A ，()π，0∈A ∴0sin >A ，∴0cos >A 解得10103sin =A ，1010cos =A （2）∵()552sin cos cos sin sin sin =+=+=C A C A C A B 由正弦定理可知C c B b sin sin =，即22510103=b ，解得102=b 设AB 边上的高为h ，∵ch A bc S 21sin 21==，∴6sin ==A b h 18.解：以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴建立空间直角坐标系则()2,2,02B ，()3,0,02C ，()1,222，A ，()2,0,22D （1）∵()1,2022-=，C B ，()12022，，-=D A ∴=22C B 22D A ，∴2222D A C B ∥（2）设()t P ,2,0，其中42≤≤t ∴()t P A -=1022，，，()t PC --=3,202，，()1,0,222-=C D ，()12,022-=，A D .设平面22C P A 的一个法向量为()z y x m ,,= ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅022PC m P A m 即()()⎩⎨⎧=-+-=-+032012z t y z t x ，令2=z ，则()2,3,1t t m --=.设平面222C A D 的一个法向量为()z y x n '''=,, ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02222C D n A D n即⎩⎨⎧=-'=+'-0202z y z x ，令2=z ，则()2,1,1=n .∵二面角222D C A P --为150°，∴2314826150cos 2=+-=︒⇒=t t ，解得：1=t （舍去）或3=t .∴12=P B 19.解：（1）由题可得()1-='xae x f ①当0≤a 时，()0<'x f ，()x f 在()∞+∞-，单调递减；②当0>a 时，令()0='x f 得ax ln -=∴当()a x ln ,-∞-∈时，()0<'x f ，()x f 在()a ln ,-∞-单调递减；当()∞+-∈，a x ln 时，()0>'x f ，()x f 在()∞+-，a ln 单调递增.（2）由（1）得当0>a 时，()()a a a f x f ln 1ln 2min ++=-=.设()21ln 23ln 2ln 122--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=a a a a a a g ，则()a a a g 12-='，令()0='a g 可得22=a ∴当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈22,0a 时，()0<'a g ，()a g 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,0上单调递减；当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+∈，22a 时，()0>'a g ，()a g 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞+，22上单调递增.∴()02ln 22min >=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=g a g ，故()0>a g ，∴当0>a 时，()23ln 2+>a x f .20.解：（1）∵31223a a a +=，∴d a a d 2313+==，即d a =1，nd a n =故nd a n =，∴d n a n n b n n 12+=+=，()21d n n S n +=，()dn n T n 23+=，又2133=+T S ，即21263243=⨯+⨯dd ，即03722=+-d d ，解得3=d 或21=d （舍），故{}n a 的通项公式为：n a n 3=.（2）若{}n b 为等差数列，则3122b b b +=，即da a d a 24321322111+⨯+⨯=+⨯⋅，即0232121=+-d d a a ，∴d a =1或d a 21=，当d a =1时，nd a n =，故()21d n n S n +=，()dn n T n 23+=.又999999=-T S ，即99210299210099=⨯-⨯dd ，即051502=--d d ，∴5051=d 或1=d （舍）.当d a 21=时，()d n a n 1+=，d n b n =，故()23d n n S n +=，()dn n T n 21+=.又999999=-T S ，即99210099210299=⨯-⨯dd ，即050512=--d d ，∴5051-=d （舍）或1=d （舍）.综上所述：5051=d .21.解：（1）第二次是乙的概率为6.08.05.04.05.0=⨯+⨯.（2）第i 次投篮的人是甲的概率为i p ，则第i 次投篮的人是甲的概率为i p -1，则()2.04.012.06.01+=-+=+i i i i p p p p ，构造等比数列()λλ+=++i i p p 521，解得31-=λ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+3152311i i p p ，又211=p ，∴61311=-p ∴1526131-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-i i p ，则3152611+⎪⎭⎫⎝⎛⋅=-i i p .（3）当*∈N n 时，()352118535215216121n n p p p Y E n nn +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=+++= .11当0=n 时，()0=Y E ，符合上式，故()3521185n Y E n+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-=.22.解：（1）设()y x P ,，∵点P 到x 轴的距离等于点P 到点⎪⎭⎫ ⎝⎛210，的距离，∴2221⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y x y ，化简得412+=x y .故W 的方程为412+=x y .（2）不妨设D B A ,,三点在W 上，且有DA BA ⊥.设⎪⎭⎫ ⎝⎛+41,2a a A ，设DA BA ，的斜率分别为kk 1-，，由对称性不妨设1≤k ，则直线BA 的方程为：()412++-=a a x k y 联立()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+=414122a a x k y x y ，整理可得：022=-+-a ka kx x ，则kx x B A =+∴()()ak k y y x x AB B A B A 21222-+=-+-=同理可得：a kk AD 21112++=∴CD AB +a k k 212-+=a kk 21112+++()232221112121k k k k k a k a k k +=⎪⎭⎫ ⎝⎛++≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+≥设()()313123+++=+=m m m mm m f ，则()()()222112132m m m m m m f +-=-+='，可知()m f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛210，上单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛021，上单调递增，∴()m f 在()10，上最小值为42721=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，∴()3232≥=+kf CD AB ，由于两处相等的条件不一致，∴矩形ABCD 的周长为()332>+CD AB .。
2023年高三2月大联考(全国乙卷)文科数学试题及参考答案
2023届高三2月大联考（全国乙卷）文科数学试题及参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数i z -=2，则=+i z 1（）A .i 4141+B .i 2121+C .i 2121-D .i 4141-2.若集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-∈=024x x Nx A ，{}4,3,2,0,1-=B ，则=B A （）A .{}4,3,2,1,0,1-B .{}3,2,0,1-C .{}32,0，D .{}3,23.已知命题p ：1>∀x ，()01≥-x x ，则p ⌝为（）A .1>∀x ，()01<-x xB .1>∃x ，()01<-x xC .1<∀x ，()01≥-x x D .1>∃x ，()01≥-x x 4.下列函数中，既是奇函数又在()∞+，0上单调递增的为（）A .xy tan =B .()()x x y --+=1ln 1ln C .xx y 12+=D .xe e y x x 2--=-5.如图，已知正三棱柱111C B A ABC -的棱长都相等，D 为棱AB 的中点，则CD 与1AC 所成角的正弦值为（）A .46B .410C .42D .436.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n a S 263=-，则55a S 的值为（）A .1611B .1633C .211D .4831-7.将函数()x x x x f 22sin cos 62sin -+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π的图象向右平移ϕ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<20πϕ个单位长度后得到函数()x g 的图象.若3π=x 是函数()x g 的一个极值点，则ϕ的值为（）A .6πB .4πC .3πD .125π8.已知函数()x f 是偶函数，当0>x 时，()xax x f +=2.若曲线()x f y =在点()()1,1--f 处的切线方程为a x y +-=，则实数a 的值为（）A .4B .2C .1D .219.克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论.如图，四边形ABCD 内接于半径为32的圆，︒=∠120A ，︒=∠45B ，AD AB =，则四边形ABCD 的周长为（）A .2634+B .310C .2434+D .2534+10.如图，已知线段AD 的长为3，C B ,是线段AD 上的两点，则线段CD BC AB ，，能够成三角形的概率为（）A .81B .41C .31D .2111.已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：()012222>>=+b a by a x 的左焦点.若椭圆C 上存在两点B A ，满足FB F A ⊥，且O B A ,,三点共线，则椭圆C 的离心率的取值范围为（）A .()1,0B .⎥⎦⎤⎝⎛220，C .⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡122，D .⎦⎤⎢⎣⎡2322，12.已知1.1ln =a ，1112ln=b ，111=c ，则下列判断正确的是（）A .c b a <<B .c a b <<C .ab c <<D .ac b <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线E ：()0,012222>>=-b a by a x 上一点到两个焦点的距离之差为-2，且双曲线E 的离心率为2，则双曲线E 的方程为.14.已知0>m ，平面向量()m m a ,22+= ，()1,λ=b .若b a ∥，则实数λ的取值范围是.15.已知ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为c b a ,,，2=a ，422=-+bc c b ，-B b sin AC c sin 2sin =，则ABC ∆的面积等于.16.在四面体ABCD 中，CA BC AB ==，BD AB ⊥，CD AC ⊥.若四面体ABCD 的体积为38，则四面体ABCD 外接球的表面积的最小值.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.（12分）某种植大户购买了一种新品种蔬菜种子，种植后从收获的蔬菜果实中随机选取了一个容量为20的样本，得到果实长度数据如下边：（单位：cm）（1）估计该种植大户收获的果实长度的平均数x 和方差2s ；（2）判断说明书标明的“蔬菜果实的平均长度为11.5cm”的说法是否成立.（记()sx n U 0θ-=，其中x 为蔬菜果实长度的平均数，s 为蔬菜果实长度的标准差，n 是选取蔬菜果实的个数.当20=n 时，5.110=θ.若96.1>U ，则说明标明的“蔬菜果实的平均长度为11.5cm”的说法不成立）参考数据：∑==2016.3133i ix，074.23.4≈，557.643≈，236.25≈.18.已知数列{}n a 满足对任意*,N n m ∈都有m n m n a a a +=+，数列{}n b 是等比数列，且11a b =，022=-a b ，133=-a b .（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设nnn b a c =，求数列{}n c 的前n 项和n T .19.（12分）如图，多面体ABCDEF 的面ABCD 是正方体，其中心为M .平面⊥ADE 平面ABCD ，AE BF ∥，BF AE 2=，2===AE DE AD .（1）求证：CF ⊥平面AEFB ；（2）在CADE 内（包括边界）是否存在一点N ，使得MN ∥平面CEF ？若存在，求点N 的轨迹，并求其长度；若不存在，请说明理由.20.（12分）已知抛物线C ：()022>=p px y ，圆E ：()12422=+-y x 与抛物线C 有且只有两个公共点.（1）求抛物线C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过圆心E 的直线与圆E 交于点B A ,，直线OB OA ,分别交抛物线C 于点Q P ,（点Q P ,不与点O 重合）.记OAB ∆的面积为1S ，OPQ ∆的面积为2S ，求21S S 的最大值.21.（12分）已知函数()()1ln +=x e x f x，()x f '是()x f 的导函数.（1）讨论函数()x f 的单调性；（2）设0≤a ，若函数()()()11--+⋅'=-x a e x f x F x在()2,0上存在小于1的极小值，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==t y t x sin 2cos （t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为04cos 2=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-m πθρ.（1）写出直线l 的直角坐标方程；（2）设曲线C 与x 轴的交点为B A ,（点A 在点B 的左侧），若直线l 上存在点M ，满足MB MA 3=，求实数m 的取值范围.23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()()R a x ax x f ∈---=22.（1）当2=a 时，求不等式()2>x f 的解集；（2）若存在[]4,2∈x ，使得()0≤x f ，求a 的取值范围.参考答案一、选择题1.C解析：∵i z -=2，∴i z +=2，∴()i i i i z 4141411211-=-=+=+.2.C解析：∵{}{}3,2,1,042024=<<-∈=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-∈=x N x x x Nx A ，{}4,3,2,0,1-=B ∴{}3,2,0=B A .3.B 解析：根据全程命题的否定为特称命题，可知p ⌝为1>∃x ，()01<-x x .4.D解析：对于A，函数x y tan =在()∞+，0上不是单调函数，A 错误；对于B，由题得⎩⎨⎧>->+0101x x ，解得11<<-x ，∴()()x x y --+=1ln 1ln 的定义域为()1,1-，不符合题意，B 错误；对于C，根据对勾函数单调性可知：函数xx x x y 112+=+=在()1,0上单调递减，C 错误；对于D，令()x ee xf xx2--=-，则()x f 的定义域为R，且()()x f x e ex f x x-=+-=--2，因此x e e y x x 2--=-是奇函数，又0222=-⋅≥-+='--x x xxe e ee y ，当且仅当0=x 时等号成立，则函数x e e y xx2--=-在R 上单调递增，D 正确.5.B解析：取11B A 的中点E ，连接DE E C AE ,,1，设正三棱柱111C B A ABC -的棱长为2，如图所示：∵11BB AA ∥，∴四边形B B AA 11为平行四边形，∴11B A AB ∥且11B A AB =，又∵E D 、分别为11B A AB 、的中点，则E A AD 1∥且E A AD 1=，∴四边形ED AA 1为平行四边形，则DE AA ∥1且DE AA =1，又∵11CC AA ∥，∴11CC AA =，∴1CC DE ∥且1CC DE =，∴四边形ED CC 1为平行四边形，∴E C CD 1∥，∴CD 与1AC 所成的角即为E C 1与1AC 所成的角，E AC 1∠或其补角即为所求.在E AC 1∆中，222121=+=CC AC AC ，52121=+=E A AA AE ，31=E C .∵21221E C AE AC +=，∴E AC 1∆为直角三角形，且︒=∠901AEC ，∴410225sin 11===∠AC AE E AC .6.A解析：当1=n 时，得11263a a =-，解得61=a ；由n n a S 263=-得11263++=-n n a S ，两式相减得：11223++-=n n n a a a ，整理得n n a a 21-=+，故数列{}n a 是以6为首项，-2为公比的等比数列，∴()126--⨯=n n a ，()[]()()[]n nn S 21221216--⨯=----⨯=，则()()1611262124555=-⨯+⨯=a S .7.A解析：由()x x x x f 22sin cos 62sin -+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π，化简得()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin πx x f ，∴()⎪⎭⎫⎝⎛-+=ϕπ262sin x x g .又3π=x 是函数()x g 的一个极值点，∴当3π=x 时，函数()x g 取得最值，∴()Z k k ∈+=-+⨯22632ππϕππ，解得()Z k k ∈+⋅-=62ππϕ，∵20πϕ<<，∴6πϕ=.8.C 解析：当0<x 时，0>-x ，∴()x a x x a x x f -=-+=-22，又()x f 是偶函数，∴当0<x 时，()x a x x f -=2，则()22xa x x f +='，∴()a f +-=-'21.又()a f +=-11，∴曲线()x f y =在点()()1,1--f 处的切线方程为()()121+-=--x a a y ，即()122-+-=a x a y ，∴12-=-a ，a a =-12，解得1=a .9.A解析：连接BD AC ，.由︒=∠120A ，︒=∠45B 及正弦定理，得34sin sin =∠=∠ABCACBAD BD ，解得626==AC BD ，.在ABD ∆中，︒=∠120BAD ，AD AB =，6=BD ，∴32==AD AB .∵四边形ABCD 内接于半径为32的圆，它的对角互补，∴BC AD DC AB BD AC ⋅+⋅=⋅，∴()CD BC +=32612.∴26=+CD BC .∴四边形ABCD 的周长为2634+.10.B 解析：设x AB =，y BC =，则y x CD --=3，且⎪⎩⎪⎨⎧<--<<<<<3303030y x y x ，即⎪⎩⎪⎨⎧<+<<<<<303030y x y x .作出不等式组表示的平面区域，如图中OMN ∆（不含边界），其面积为293321=⨯⨯=∆OMN S .若线段CD BC AB ,,能构成三角形，则还要满足：()()⎪⎩⎪⎨⎧>--+>--+-->+xy x y y y x x y x y x 333，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<>+232323x y y x .作出不等式组表示的平面区域，如图中GEF ∆（不含边界），其面积为89232321=⨯⨯=∆GEF S .由几何概型概率计算公式得，线段CD BC AB ，，能够成三角形的概率为412989==P .11.C 解析：设椭圆C 的右焦点为F '，连接F A '.由椭圆的性质得：BF F A ∥'，2π='∠F F A ，即以F F '为直径的圆与椭圆有公共点.设椭圆C 的半焦距为c ()0>c ，∴只需b c ≥，∴222c a c -≥，即122<≤e ，∴椭圆C 的离心率的取值范围为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡122，.12.D 解析：（1）比较b a ,的大小：∵11121.1>，∴1112ln 1.1ln >，∴b a >.（2）比较c b ,的大小：令()()1ln --=x x x f ，则()xxx x f -=-='111.当10<<x 时，()0>'x f ；当1>x 时，()0<'x f ，∴当0>x 时，()()01=≤f x f ，即1ln -≤x x ，∴1111112ln <，即c b <.（3）比较c a ,大小：∵1ln -≤x x ，∴111ln -≤x x ，即xx 11ln -≥，∴111111011011ln 1.1ln =->=，即c a >.综上，a c b <<二、填空题13.1322=-y x 解析：由题意知，22=a ，1=a .又∵2==a c e ，∴2=c ，∴3=b ，∴双曲线E 的方程为1322=-y x .14.[)∞+，22解析：由()m m a ,22+= ，()1,λ=b ，b a ∥，得22+=m m λ，∵0>m ，∴22222≥+=+=mm m m λ，当且仅当2=m 时等号成立，∴实数λ的取值范围是[)∞+，22.15.332解析：由2=a ，422=-+bc c b ①知，222a bc c b =-+，由余弦定理得212cos 222=-+=bc a c b A.又π<<A 0，∴3π=A .由-B b sin AC c sin 2sin =及正弦定理得4222-=-a c b ②.联立①②得3342==c b ，∴ABC ∆的面积为3322333233421sin 21=⨯⨯⨯==A bc S .16.π48解析：由BD AB ⊥，CD AC ⊥知，四面体ABCD 外接球的球心O 是AD 的中点，连接OC OB ，，则OC OB OA ==.∵CA BC AB ==，∴ABC ∆为等边三角形，∴ABC ∆的外接圆的圆心为ABC ∆的中心H .连接AH OH ，，则OH ⊥平面ABC .设a CA BC AB ===，h OH =，则点D 到平面ABC 的距离为h 2，∴四面体ABCD 的体积为226343231ha a h V =⋅⋅=，即38632=ha ，482=ha .设四面体ABCD 外接球O 的半径为R ，则222AH OH OA +=，即h h a h a h R 16312332222222+=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅+=.设()()0162>+=x x x x m ，则()232162162xx x x x m -=-='，令01923=-x ，则2=x ，当20<<x 时，()0<'x m ；当2>x 时，()0>'x m ，∴()x m 在()2,0上单调递减，在()∞+，2上单调递增，∴()x m 在2=x 处取得极小值，即最小值，∴当2=h 时，R 取得最小值为32，∴四面体ABCD 外接球O 的表面积的最小值为πππ4812442=⨯=R .三、解答题（一）必考题：共60分17.解：（1）由题意知，2.138.129.124.124.137.125.118.120.128.118.120.136.11++++++++++++0.2500.122.138.128.116.122.115.13=+++++++，∴5.1220250==x ，()()()[]22022212201x x x x x x S -++-+-=()[]43.020120220120122220212202221=-=++++-+++=∑=i i x x x x x x x x x x ∴估计该种植大户收获的蔬菜果实长度的平均数和方差分别为5.12，43.0.（2）结合已知，由（1）得，()()96.182.643.05.115.12200>≈-⨯=-=sx n U θ，∴说明书标明的“蔬菜果实的平均长度为11.5cm”的说法不正确.18.解：（1）∵对任意*,N n m ∈，m n m n a a a +=+，∴11a a a n n +=+，∴数列{}n a 是公差1a d =的等差数列，1na a n =.设等比数列{}n b 的公比为q ，∵11a b =，022=-a b ，133=-a b ，∴⎩⎨⎧=-=-130212111a q a a q a .又∵011≠=a b ，解得111==a b ，2=q ，∴n a n =，12-=n n b .（2）∵n n n b a c =，∴12102232221-++++=n n n T ，n n nT 22322212321++++= ，两式相减得nn nn n n n n n T 222221121112212121212132+-=--⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=- ，∴1224-+-=n n n T .19.解：（1）如图，取AE 的中点G ，连接DG GF ，.∵AE BF ∥，BF AE 2=∴AG BF AG BF =，∥.∴四边形ABFG 是平行四边形，∴AB FG ∥，AB FG =又∵CD BA ∥，CD BA =，∴CD FG ∥，CD FG =，∴四边形CDGF 是平行四边形，∴DG CF ∥，∵AD BA ⊥，平面ADE ⊥平面ABCD ，⊂BA 平面ABCD ，平面ADE ∩平面ABCD AD =，∴⊥BA 平面ADE ，又⊂DG 平面ADE ，∴DGBA ⊥∵AE DE AD ==,G 为AE 的中点，∴AE DG ⊥，又⊂BA AE ,平面AEFB ，且A BA AE = ，∴⊥DG 平面AEFB ，∴⊥CF 平面AEFB （2）如图，连接BG BD ，，由（1）知，AG BF ∥，AG BF =，∴EG BF ∥，EG BF =，∴四边形BGEF 是平行四边形，∴EF BG ∥，∵⊂EF 平面CEF ，⊄BG 平面CEF ，∴∥BG 平面CEF ，又由（1）知，DG CF ∥，⊂CF 平面CEF ，⊄DG 平面CEF ，∴∥DG 平面CEF ，∵⊂BG DG ，平面BDG ，且G BG DG = ，∴平面BDG ∥平面CEF ，设点N 为线段DG 上任意一点，则⊂MN 平面BDG ，MN ∥平面CEF ，∴点N 的轨迹为线段DG ，长度为3.20.解：（1）由()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1242222y x px y 整理得()04282=+--x p x .由对称性可得关于x 的方程有两个相等的正的实数根，∴()016282=--=∆p ，且028>-p ，解得2=p ，∴抛物线C 的方程为x y 42=.（2）由题意，知直线AB 的斜率不为0，故设直线AB 的方程为4+=my x ，如图，设()()()()44332211,,,,y x Q y x P y x B y x A ，，，.将直线AB 的方程代入圆E 的方程中，消去x ，得()12122=+y m，∴11222+=m y ，∴12y y -=，且11222221+==m y y .直线OA 的方程为x x y y 11=，代入抛物线方程x y 42=，消去x ，得y y x y 1124=，解得114y x y =或0=y ，∴1134y xy =.同理得2244y x y =，∴22211142312144sin 21sin 21y x y y x y y y y y OQ OP OB OA POQ OQ OP AOB OB OA S S ⋅=⋅=⋅⋅=∠⋅∠⋅=()()()()()()16416441616212122212122121221+++=++==y y m y y m y y my my y y x x y y ()()()9254941491611216112161622222222212221-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=m m m m m m y y m y y ∴当0=m 时，21S S 取得最大值为169.21.解：（1）由题意知()x f 的定义域为()∞+，0，()⎪⎭⎫ ⎝⎛++='11ln x x e x f x，令()x x x g 1ln +=，则()21x x x g -='，∴()01='g ，且当()1,0∈x 时，()0<'x g ；当()+∞∈,1x 时，()0>'x g ，∴()x g 在()1,0上单调递减，在()∞+，1上单调递增，∴()+∞∈∀,0x ，()()11=≥g x g ，从而()+∞∈∀,0x ，()0>'x f ，∴()x f 在()∞+，0上单调递增.（2）由题意，得()()11ln -++=x a x x x F ，()2,0∈x ，()221x x ax x F -+='.①当0=a 时，()()x g xx x F =+=1ln ，()()x g x F '='，由（1）知，()01='F ，且当()1,0∈x 时，()0<'x F ；当()2,1∈x 时，()0>'x F ，∴()x F 仅在1=x 处取得极小值，且极小值为()11=F ，不符合题意.②当0<a 时，令()12++=x ax x h ，则a 41+=∆.（ⅰ）若041≤+=∆a ，即41-≤a ，则()2,0∈∀x ，()0≤x h ，∴()0≤'x F 恒成立，此时()x F 无极值，不符合题意.（ⅱ）若041>+=∆a ，即041<<-a ，则()x h 图象的对称轴为221>-=ax ，∴()x h 在()2,0上单调递增.∵()01<=a h ，()0142>+=a h ，由函数单调性和零点存在性定理得，在()2,1上存在唯一的实数1x ，使得()01=x h ，从而()01='x F ，且当()1,0x x ∈时，()0<x h ，从而()0<'x F ；当()2,1x x ∈时，()0>x h ，从而()0>'x F .∴()x F 在()1,0x 上单调递减，在()2,1x 上单调递增，∴()x F 仅在1x x =处取得极小值，极小值为()1x F .∵()x F 在()1,0x 上单调递减，且211<<x ，∴()()111=<F x F ，符合题意.综上，实数a 的取值范围为⎪⎭⎫ ⎝⎛-041.（二）选考题22.解：（1）∵04cos 2=+⎪⎭⎫⎝⎛-m πθρ，∴0sin 22cos 222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅m θθρ，即0cos sin =++m θρθρ.又y =θρsin ，x =θρcos ，∴0=++m y x ，即直线l 的直角坐标方程为0=++m y x .（2）由⎪⎩⎪⎨⎧==2sin cos y t xt ，且1sin cos 22=+t t ，则曲线C 的普通方程为1422=+y x ，其与x 轴的交点分别为()()0,101B A ，，-.设点()y x M ,，由MB MA 3=，得()()[]2222131y x y x +-=++，即01422=+-+x y x ，∴()3222=+-y x ，它表示圆心为()02，E ，半径为3的圆.∵点()y x M ,既在直线l 上，又在圆E 上，∴322≤+m ，即62≤+m ，∴6262+-≤≤--m ，即实数m 的取值范围为[]6262+---，.23.解：（1）当2=a 时，原不等式可化为2212>---x x .当2≥x 时，原不等式可化为()()2212>---x x ，整理得2>x ，∴2>x .当21<<x 时，原不等式可化为()()2212>-+-x x ，整理得2>x ，∴此时不等式的解集为空集..当1≤x 时，原不等式可化为()()2212>-+--x x ，整理得2-<x ，∴2-<x .综上，当2=a 时，不等式()2>x f 的解集为()()∞+-∞-，，22 .（2）若存在[]4,2∈x ，使得()0≤x f ，即存在[]4,2∈x ，使得22-≤-x ax ①①式可转化为()22-≤--ax x ，即⎩⎨⎧-≤--≤+-2222x ax ax x ②∵[]4,2∈x ，∴②式可化为()⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥0114x a xa ③若存在[]4,2∈x 使得③式成立，则⎪⎩⎪⎨⎧≤-⎪⎭⎫⎝⎛-≥0114min a x a ，即⎩⎨⎧≤≥10a a ，∴10≤≤a ，即a 的取值范围为[]1,0.。
2023年全国新课标I卷高考数学真题及答案(Word版)
2023年全国新课标I卷高考数学真题及答案本试卷共 4 页，22 小题，满分150 分。
考试用时120 分钟注意事项:1.答卷前，考生务必用黑色字迹笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答卡上用2 笔试(A)在答卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
作答选择题时，选出每小题等案后，用2B 笔把答卡上对应题目选项的答案信息点涂黑:如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，符案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准便用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题爷的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题: 本大题共8 小题, 每小题 5 分, 共40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的1. 已知集合, 则A.B.C.D.2. 已知, 则A.B.C. 0D. 13. 已知向量. 若, 则A.B.C.D.4. 设函数在区间单调递减, 则的取值范围是A.B.C.D.5. 设椭圆的离心率分别为. 若,则A.B.C.D.6. 过点与圆相切的两条直线的夹角为, 则A. 1B.C.D.7. 记为数列的前项和, 设甲: 为等差数列; 乙: 为等差数列, 则A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8. 已知, 则A.B.C.D.二、选择题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共20 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得0 分9. 有一组样本数据, 其中是最小值, 是最大值, 则A. 的平均数等于的平均数B. 的中位数等于的中位数C. 的标准差不小于的标准差D. 的极差不大于的极差10. 噪声污染问题越来越受到重视, 用声压级来度量声音的强弱, 定义声压级, 其中常数是听觉下限阑值, 是实际声压. 下表为不同声源的声压级:已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为, 则A.B.C.D.11. 已知函数的定义域为, 则A.B.C. 是偶函数D. 为的极小值点12. 下列物体中, 能够被整体放入核长为1 (単位: ) 的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有A. 直径为的球体B. 所有棱长均为的四面体C. 底面直径为, 高为的圆柱体D. 底面直径为, 高为的圆柱体三、填空题: 本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共20 分.13. 某学校开设了4 门体育类选修课和4 门艺术类选修课, 学生需从这8 门课中选修2 门或 3 门课, 并且每类选修课至少选修 1 门, 则不同的选课方案共有种(用数字作答).14. 在正四棱台中, , 则该棱台的体积为15. 已知函数在区间有且仅有3 个零点, 则的取值范围是16. 已知双曲线的左、右焦点分别为. 点在上. 点在轴上, , 则的离心率为四、解答题: 本大题共 6 小题, 共70 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知在中, .(1) 求;（2）设, 求边上的高.18. 如图, 在正四棱杜中, . 点分别在棱上, , .(1) 证明: ;（2）点在棱上, 当二面角为时, 求.19. 已知函数.(1) 讨论的単调性;（2）证明: 当时, .20. 设等差数列的公差为, 且, 令, 记分别为数列, 的前项和.(1) 若, 求的通项公式;( 2 ) 若为等差数列, 且, 求.21. 甲乙两人投篮, 每次由其中一人投篮, 规则如下: 若命中则此人继续投篮, 若末命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何, 甲每次投篮的命中率均为0.6 , 乙每次投篮的命中率均为0.8 , 由抽签决定第一次投篮的人选, 第一次投篮的人是甲, 乙的概率各为0.5 .( 1 ) 求第2 次投篮的人是乙的概率;( 2 ) 求第次投篮的人是甲的概率;( 3 ) 已知: 若随机变量服从两点分布, 且, 则, 记前次(即从第1 次到第次投篮) 中甲投篮的次数为, 求.22. 在直角坐标系中, 点到轴的距离等于点到点的距离, 记动点的轨迹为.(1) 求的方程;( 2 ) 已知矩形有三个顶点在上, 证明: 矩形的周长大于.参考答案（非官方答案仅供参考）1、C2、A3、D4、D5、A6、B7、C8、B9、BD10、ACD11、ABC12、ABD13、6414、15、[2,3)16、。
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2023全国乙卷高考文科数学试卷及答案解
析
2023年高考全国乙卷数学(文)试题
2023年高考全国乙卷数学(文)试题参考答案
2023高考数学答题技巧有哪些
一、巧解选择、填空题
解数学选择、填空题的基本原则是“小题不可大做”。思路:第一、直接从
题干出发考虑,探求结果;第二、从题干和选择联合考虑;第三、从选择出发探求
满足题干的条件。
解数学填空题基本方法有：直接求解法、图像法、构造法和特殊化法(如特
殊值、特殊函数、特殊角、特殊数列、图形的特殊位置、特殊点、特殊方程、特
殊模型等)。
二、细答解答题
1、数学规范答题很重要，找到解题方法后，书写要简明扼要，快速规范，
不拖泥带水，高考评分是按步给分，关键步骤不能丢，但允许合理省略非关键步
骤。答题时，尽量使用数学符号，这比文字叙述要节省时间且严谨。即使过程比
较简单，也要简要地写出基本步骤，否则会被扣分。
经常看到考生的数学卷面出现“会而不对”、“对而不全”的情况，造成考
生自己的估分与实际得分相差很多。尤其是平面几何初步中的“跳步”书写，使
考生丢分，所以考生要尽可能把过程写得详尽、准确。
2、分步列式，尽量避免用综合或连等式。数学高考评分是分步给分，写出
每一个过程对应的式子，只要表达正确都可以得到相应的分数。
有些考生喜欢写出一个综合或连等式，这种方式就不好，因为只要发现综合
式中有一处错误，就可能丢过程分。对于没有得出最后结果的试题，分步列式也
可以得到相应的过程分，由此增加得分机会。
3、尽量保证证明过程及计算方法大众化。解题时，使用通用符号，不易吃
亏。有些考生为图简便使用一些特殊方法，可一旦结果有错，就会影响得分。
高考注意事项
(1)临时考试不慌
考试中恐慌的表现形式是：考生感到紧张、不安、焦虑、全身颤抖、心跳加
快、头脑发热、呼吸困难、喉咙干燥等。由于高度紧张，通常很容易回答错误的
问题，甚至错误地看到问题，甚至不会做原来的问题。我一离开考场，就突然意
识到，但已经太晚了，后悔也没用。
可见，临时考试恐慌是一种普遍现象，是一种值得考生关注的现象。 那么，
如何才能使临考不慌张呢?这要从三个方面入手：
首先，在平时的学习中，要认真复习，扎实学习知识，这样遇到高考就不会
慌张。
第二，在高考中放松。你可以这样做：闭上眼睛，冷静下来，慢慢深吸气，
吸足，然后呼气，这就是深呼吸。深呼吸不仅能使身心放松，还能给血液充分输
送氧气，使头脑清醒，增强记忆力。
第三，在高考中树立考试的信心。有了信心，精神就会振作起来，头脑就会
非常清晰，就不会出现紧张的现象。信心从何而来?一是来自坚实的基础;二是系
统复习;三是对恐慌和紧张的蔑视。只有蔑视，而不是恐惧，才能产生信心。
(2)认真审题法
因为军考没有认真审题，答案错了，题目漏了。那么如何才能认真审题呢?
我们可以从以下几个方面努力:
①要认真对待答卷，克服粗心大意。有的考生拿到试卷，一看题目并不难，
很快就完成了，连看都不看，就交了头卷。其实上面有很多错误，要么丢了数字，
要么看错题。当然，结果不好。这是粗心大意的结果。这种粗心大意的作风不好。
如果养成习惯，以后上班会误大事。设计高层建筑，如果有一个数字错了，就会
出大事。如果设计人造卫星，稍有错误，就可能使卫星飞不上天，等等。对待粗
心的性格，一定要严格要求自己。
②注意全面排队。一拿到题目，就要全部看一遍，哪些比较容易回答，哪些
比较难做，要全面排队，心里有数。这样，就可以确定哪些问题是先做的，哪些
问题是后做的。一般来说，先做容易，后做难题。因为容易的问题把握大，难的
问题把握不大，可能做不到，也可能做不到。如果你把它们放在前面，客人很容
易浪费时间。
(3)认真回答试卷
认真回答问题的方法是关于如何认真回答问题的一些方法。如何回答问题?
应注意以下问题：
①先易后难。②注意回答问题的进展。现在试题的重量比较重，题目又多又
细。做题的时候要注意速度，不要像平时做作业那么慢。如果你做得慢，你可能
无法完成这个问题。有的考生因为动作慢，慢慢做，结果下课铃响了，还有很多
题没做，结果很遗憾。这是这些考生不了解高考特点造成的。注意进度，只是说
集中精力，掌握时间做题目，不仅快，而且不注意答题质量。
③注意书面清洁。这似乎是一件小事，但事实并非如此。如果你在高考中涂
草，所以考官看不到你的答案，这不是一件大事。其次，任何书面不干净，按规
定扣除不干净的点。第二，书面不干净，如果养成习惯，就会对一个人的生活产
生影响。因此，在答案中必须注意书面清洁，不要乱涂乱画。
④注意全面检查。答案完成后，你应该从头到尾检查一下。主要检查两个内
容：一是检查问题是否完成。二是检查是否有错误的单词，答案的格式是否正确。
如果你不再检查它，匆忙地提交论文，就不容易发现错误。
总之，答卷要准确、快速、整洁，千万不要马虎，千万不要马虎。