高三数学周考、月考、段考原创测试卷(江苏版)：专题06 9月第三次周考【第三章 三角函数】答案解析
2025届江苏省赣榆智贤中学高考数学三模试卷含解析
2025届江苏省赣榆智贤中学高考数学三模试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论不正确的是（ ） A ．()y f x =的图像关于点(),0π中心对称 B ．()y f x =既是奇函数，又是周期函数C ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称D ．()y f x =的最大值是322．已知集合{}|26Mx x =-<<，{}2|3log 35N x x =-<<，则MN =（ ）A ．{}2|2log 35x x -<<B ．{}2|3log 35x x -<<C ．{}|36x x -<<D ．{}2|log 356x x <<3．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 的中点，,M N 分别为线段1AC 和 棱 11B C 上任意一点，则22PM MN +的最小值为（ ）A ．22B 2C 3D ．24．已知复数z 满足：((1)11)i z i +-=-，则z 的共轭复数为（ ） A ．12i -B ．1i +C ．1i -+D ．12i +5．函数()sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0>ω），当[]0,x π∈时，()f x 的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的范围为（ ） A ．53,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．55,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦6．已知复数z 满足i i z z ⋅=+,则z 在复平面上对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．“”αβ≠是”cos cos αβ≠的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知函数()22cos sin 4f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，则()f x 的最小值为( )A ．12+B ．12C ．12-D ．14-9．若P 是q ⌝的充分不必要条件，则⌝p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知函数()()614,7,7x a x x f x a x -⎧-+≤=⎨>⎩是R 上的减函数，当a 最小时，若函数()4y f x kx =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1(,0)2-B ．1(2,)2- C ．(1,1)-D ．1(,1)211．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( ) A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度12．已知,a b 为非零向量，“22a b b a =”为“a a b b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学第三次模拟考试试题苏教版
高三年级第三次模拟考试数学试题【考试时间：120分钟分值：160分】参考公式：样本数据12,,,nx x x的方差2211()niis x xn==-∑，其中11niix xn==∑；一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答进程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1、集合{}3,6A=，{}3,9B=，则A B=▲．2、若复数1(4),()z a a i a R=++-∈是实数，则a=▲．3、若是22sin3α=，α为第一象限角，则sin()2πα+=▲．4、已知正六棱锥ABCDEFP-的底面边长为1cm，高为1cm，则棱锥的体积为▲3cm．5、高三（1）班共有56人，学号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同窗在样本中，那么还有一个同窗的学号应为▲．6、已知某一组数据8,9,10,11,12，则其方差为▲．7、阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S值为▲．8、若)(xfy=是概念在R上周期为2的偶函数，当[]1,0∈x时，12)(-=xxf，则函数3()()logg x f x x=-的零点个数为▲．9、若命题“Rx∃∈，使得2(1)10x a x+-+≤”为假命题，则实数a的范围▲．10、在△ABC 中，AH 为BC 边上的高，tan C ＝43，则过点C ，以A ，H 为核心的双曲线的离心率为 ▲ ． 11、设等比数列{}n a 的公比1q ≠，n S 表示数列{}n a 的前n 项的和，n T 表示数列{}n a 的前n 项的乘积，()n T k 表示{}n a 的前n 项中除去第k 项后剩余的1n -项的乘积，即()(),,nn kT T k n k N k n a *=∈≤，则当11a =，2q =，数列()()(){}12n n nn n S T T T T n +++的前n 项的和是 ▲ ．12、已知)(),(x g x f 都是概念在R 上的函数，()0,()()()()g x f x g x f x g x ''≠>,()(),x f x a g x =⋅（01a a >≠且）,(1)(1)5,(1)(1)2f f g g -+=- 在有穷数列)10,,2,1}()()({ =n n g n f 中，任意取正整数k （110k ≤≤），则前k 项和不小于1615的概率是 ▲ ．13、设A ,B ,C 为单位圆O 上不同的三点，则点集{(,)|,A x y OC xOA yOB ==+02,02}x y <<<<所对应的平面区域的面积为 ▲ ．14、函数21()23ln 2f x x tx x =-+，2()3x tg x x +=+，函数()f x 在,x a x b ==处取得极值（0a b <<）， ()g x 在[,]b a --上的最大值比最小值大13，若方程()f x m =有3个不同的解，则函数152m y e +=的值域为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解承诺写出必要的文字说明，证明进程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15、(本小题满分14分) 在ABC ∆中，c b a ,,别离是∠A 、∠B 、∠C 的对边, c b a ,,知足222b a c ac =+-(Ⅰ）求角B 的大小；(Ⅱ)在区间(0,)B 上任取θ，求cos 12θ<<的概率；（Ⅲ）若AC ＝，求ΔABC 面积的最大值.16、(本小题满分14分)直三棱柱111C B A ABC -中，11===BB BC AC ，31=AB ．（Ⅰ）求证：平面⊥C AB 1平面CB B 1； (Ⅱ)求三棱锥C AB A 11-的体积．17、(本小题满分14分)工厂生产某种零件，天天需要固定本钱100元，每生产1件，还需再投入资金2元，若天天生产的零件能全数售出，每件的销售收入()P x （元）与当天生产的件数x （*x N ∈）之间有以下关系：()23183,01035201331,10x x P x x x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩ ,设当天利润为y 元.（Ⅰ）写出y 关于x 的函数关系式；（Ⅱ)要使当天利润最大，当天应生产多少零件？（注：利润等于销售收入减去总本钱）18、(本小题满分16分) 设等比数列{}n a 的首项为12a =，公比为(q q 为正整数），且知足33a 是18a 与5a 的等差中项；等差数列{}n b 知足2*32()0(,)2n n n t b n b t R n N -++=∈∈.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ) 若对任意*n N ∈，有111n n n n n n a b a a b a λ++++≥成立，求实数λ的取值范围;（Ⅲ）对每一个正整数k ，在ka 和1k a +之间插入kb 个2，取得一个新数列{}n c .设n T 是数列{}n c 的前n 项和，试求知足12m m T c +=的所有正整数m .19、(本小题满分16分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点，椭圆C 左右核心别离为21,F F ，上极点为E ，21F EF ∆为等边三角形.概念椭圆C 上的点00(,)M x y 的“伴随点”为00(,)x y N a b .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若圆1C 的方程为2(2)x a +＋2y ＝2a ，圆1C 和x 轴相交于A ，B 两点，点P 为圆1C 上不同于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 交y 轴于S ，T 两点．当点P 转变时，以ST 为直径的圆2C 是不是通过圆1C 内必然点？请证明你的结论；（Ⅲ）直线l 交椭圆C 于H 、J 两点,若点H 、J 的“伴随点”别离是L 、Q,且以LQ 为直径的圆通过坐标原点O.椭圆C 的右极点为D ，试探讨ΔOHJ 的面积与ΔODE 的面积的大小关系,并证明.20、(本小题满分16分)已知函数2()ln(1),()f x ax x a R =++∈． （Ⅰ）设函数(1)y f x =-概念域为D ①求概念域D ；②若函数41()[()ln(1)]()h x x f x x x x =+-++2(0)cx f '++在D 上有零点，求22a c +的最小值； (Ⅱ) 当12a =时，2()(1)(1)(1)2g x f x bf x ab x a '=-+---+，若对任意的],1[e x ∈，都有2()2g x e e ≤≤恒成立，求实数b 的取值范围；（注：e 为自然对数的底数）（Ⅲ）当[0,)x ∈+∞时，函数()y f x =图象上的点都在0,0x y x ≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．高三年级第三次模拟考试数学试题（附加题）（满分40分，考试时间30分钟）21、[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤A、[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，M, N是圆上两点，直线MN交AD的延长线于点C，交⊙O的切线于B，BM＝MN＝NC＝1，求AB的长和⊙O的半径．B、[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵213122A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦（Ⅰ）求矩阵A的逆矩阵B；（Ⅱ）若直线l通过矩阵B变换后的直线方程为730x y-=，求直线l的方程.C、[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知圆C的极坐标方程是2cosρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，成立平面直角坐标系，直线l的参数方程为1,55x ty a t⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩=+=+（t为参数）.若直线l与圆C 相交于P,Q两点，且455PQ=.（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程，并求出圆心坐标和半径；（Ⅱ）求实数a的值.D 、[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知函数()|3|f x x =-，()|4|g x x m =-++（Ⅰ）已知常数2a <，解关于x 的不等式()20f x a +->；（Ⅱ）若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求实数m 的取值范围.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤． 22、（本小题满分10分） 已知12310,,,,A A A A 等10所高校举行的自主招生考试，某同窗参加每所高校的考试取得通过的概率均为12.（Ⅰ）若是该同窗10所高校的考试都参加，试求恰有2所通过的概率； （Ⅱ）假设该同窗参加每所高校考试所需的费用均为a 元，该同窗决定按12310,,,,A A A A 顺序参加考试，一旦通过某所高校的考试，就再也不参加其它高校的考试，试求该同窗参加考试所需费用ξ的散布列及数学期望. 23、（本小题满分10分） 已知,m n 为正整数.（Ⅰ）用数学归纳法证明：当1x >-时，(1)1mx mx +≥+；（Ⅱ）对于6n ≥，已知11(1)32n n -<+，求证：1(1)()32n mm n -<+， (1,2,,)m n =；（Ⅲ）求出知足等式345(2)(3)n n nn n n n +++++=+的所有正整数n .高三年级第三次模拟考试参考答案1、{}3,6,9 2、4 3、13 4、 5、20 6、2 7、 8、2 9、(1,3)- 10、2 11、21n - 12、710 13、2514、4(27,)e 15、解：(Ⅰ）由222b ac ac =+-得3B π=-------------------4分；(Ⅱ)由cos 1θ<<，得(0,)4πθ∈，--------------6分所以cos 12θ<<的概率为34-------------8分（Ⅲ）由b =，22212b a c ac ac ==+-≥.4ABC S ac ∆=≤面积的最大值为分16、(Ⅰ）略；--------------8分(Ⅱ)三棱锥C AB A 11-的体积为16．--------------14分17、解：(1) 当0＜x ≤10时，y ＝x(83－x2)－100－2x ＝－x3＋81x －100； 当x ＞10时，y ＝x(－)－2x －100＝－2x －＋420.① 当0＜x ≤10时，y ′＝81－x2，令y ′＝0，得x ＝9 ------- .(9分) 当x ∈(0,9)时，y ′＞0；当x ∈(9,10)时，y ′＜0. ∴ 当x ＝9时，ymax ＝386；(10分)② 当x ＞10时，y ′＝－－2，令y ′＝0，得x ＝11. ------- (12分) 当x ∈(10,11)时，y ′＞0；当x ∈(11，＋∞)时，y ′＜0. ∴ 当x=11时，ymax ＝387.(14分) ∵ x ∈N*，∴ 综合①②知：当x ＝11时，y 取最大值．故要使当天利润最大，当天应生产11件零件．------- (14分)18、解： （1）由题意31568a a a =+，则2468q q =+，解得24q =或22q =因为q 为正整数，所以2q =， 又12a =，所以*2()n n a n N =∈------3分2n b n=。
2022-2023学年全国高中高三下数学苏教版月考试卷(含解析)
2022-2023学年全国高三下数学月考试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知集合，集合，则( )A.B.C.D.2. 已知，点，，则向量在方向上的投影为（ ）A.B.C.D.3. 若复数满足(其中为虚数单位)，则 A.B.C.D.M ={y|y =,x ∈R}2x N ={x|y =lg(3−x)}M ∩N ={y|y ≥3}{y|y ≤0}{y|0<y <3}∅=(2,1)AB −→−C(−1,0)D(4,5)AB −→−CD −→−−32–√2−35–√32–√235–√z (1−i)z =3+i i |z |=()12–√25–√=1(m >6)224. 已知椭圆的焦距为，则 A.B.C.D.5. 已知，则 A.B.C.D.6. 设随机变量服从正态分布，若，则 与的值分别为（ ）A.B.C.，D.7. 设定义在上的偶函数，满足对任意都有，且时，，则的值等于( )A.B.C.D.8. 已知函数，，若与的图象交于点，且存在过点的直线与，的图象都相切，则的图象在处的切线方程为( )A.B.+=1(m >6)x 26y 2m2m =()37−−√37749sin(α+)=π613sin(−2α)=(π6)89−8979−79ξN(μ,7)P(ξ<2)=P(ξ>4)μDξμ=，Dξ=3–√7–√μ=，Dξ=73–√μ=3Dξ=7μ=3,Dξ=7–√R y =f(x)t ∈R f(t)=f(2−t)x ∈[0,1]f(x)=−ln(+e)x 2f(2016)−ln(e +1)−ln(4+e)−1−ln(e +)14f (x)=(x >0)x 2g(x)=ae x f (x)g(x)P P f (x)g(x)g(x)x =14x −ey =0ex −4y =0C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 下列说法不正确的是( )A.若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面所成的角等于B.两条异面直线的夹角等于它们的方向向量的夹角C.二面角的大小范围是D.二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小10. 已知函数，下列说法不正确的是A.在区间上单调递增B.的图象关于点中心对称C.的图象关于直线对称D.的图象向右平移个单位得到的的图象关于点中心对称11. 假定生男孩和生女孩是等可能的，若一个家庭中有三个小孩，记事件“家庭中没有女孩”，“家庭中最多有一个女孩”，“家庭中至少有两个女孩”，“家庭中既有男孩又有女孩”，则( )A.与互斥B.C.与对立D.与相互独立12. 已知抛物线：，焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，则下列说法一定正确的是( )A.的最小值为B.线段为直径的圆与直线相切C.为定值D.过点，分别作准线的垂线，垂足分别为，，则2x −y =0x −2y =0l α150∘l α30∘[,]0∘180∘f (x)=A sin(2x −)+1(A ≠0)π6( )f (x)[kπ−,kπ+](k ∈Z)π6π3f (x)(,0)π12f (x)x =π4f (x)π6y =g(x)(,1)π4A =B =C =D =A C A ∪D =BB C B D C =4x y 2F l C A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2|AB|2AB x =−1x 1x 2A B C D ||=4|AF||BF|OD 2卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 设函数 则的值为________． 14. 在等比数列中，，，则________．15. 设，，且，的最小值为，记满足的所有整点坐标为,…,，则________．16. 如图，是半圆的直径，点在半圆上运动（不与，重合），平面，若，二面角等于，则三棱锥体积的最大值为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 在等差数列中，，．求数列的通项公式；若数列的前项和，求的值．18.为了响应国家号召，某校组织部分学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答，并将学生的作答结果分为“合格”与“不合格”两类，统计如下所示：不合格合格男生女生是否有以上的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关？在成绩合格的学生中，利用性别进行分层抽样，共选取人进行座谈，再从这人中随机抽取人发送奖品，记拿到奖品的男生人数为，求的分布列及数学期望.附：f(x)={1−，x ≤1,x 2+x −2，x >1,x 2f ()1f(2){}a n =−2a 2=−8a 6=a 4a >0b >0a +b =2+1a 1b m +≤3m x 2y 2(,)(i =1,2,3x i y i n)||∑i=1n x i y i AB O C A B PA ⊥ABC AB =2A −BC −P 60∘P −ABC {}a n =1a 1=−3a 3(1){}a n (2){}a n k =−35S k k 14161020(1)90%(2)995X X E(X)=K 2n(ad −bc)2(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)19. 如图，与在同一个平面内，，，.求；若，且的面积为，求的长． 20. 如图所示，直棱柱，底面是平行四边形，，，是边的中点，是边上的动点．（1）求证：；（2）当时，①求证：平面②求面与底面所成的二面角的余弦值．21. 已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为且双曲线过点求双曲线的方程；若点 在双曲线上，（其中 ，求 的值．22. 已知函数.经过点 作函数 图象的切线，求切线的方程设函数 ，求 在 上的最小值△ABC △ACD ∠CAD =π4AB =BC 2–√A −B =AC ⋅BC C 2C 22–√(1)∠ACB (2)AB =2−23–√△ACD 3CD ABCD −A 1B 1C 1D 1ABCD A =AB ==3A 1B 1D 1BC =2E B 1C 1F CC 1E ⊥BF D 1F =BC C 1BF ⊥EFD 1BF D 1A 1B 1C 1D 1F 1F 22–√P(4,−)10−−√(1)(2)M (3,m)m <0)⋅MF 1−→−−MF 2−→−−f(x)=x +2lnx (1)(0,−2)f(x).(2)g(x)=x(−1)−f(x)e x g(x)(0,+∞).参考答案与试题解析2022-2023学年全国高三下数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】由指数函数的值域得到集合，求对数函数的定义域化简集合，然后直接利用交集的运算求解．【解答】解：，由得，故,.故选．2.【答案】C【考点】平面向量数量积的运算【解析】运用向量的加减运算可得，运用向量的数量积的坐标表示，以及向量在方向上的投影为，即可得到所求值．【解答】解：，点，，可得，，M N M ={y|y =,x ∈R}={y|y >0}=(0,+∞)2x 3−x >0x <3N ={x|y =lg(3−x)}={x|x <3}=(−∞,3)∴M ∩N ={y|0<y <3}C =(5,5)CD −→−AB −→−CD −→−||CD −→−˙=(2,1)AB −→−C(−1,0)D(4,5)=(5,5)CD −→−⋅=2×5+1×5=15AB −→−CD −→−|=5−→−，可得向量在方向上的投影为：．故选．3.【答案】D【考点】复数的模复数代数形式的乘除运算【解析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．【解答】解：由，得，∴．故选.4.【答案】C【考点】椭圆的应用椭圆的定义和性质【解析】【解答】解：依题意可得，则．故选.5.||=5CD −→−2–√AB −→−CD −→−==⋅AB −→−CD −→−||CD −→−1552–√32–√2C (1−i)z =3+i z =3+i 1−i |z |=||===3+i 1−i |3+i ||1−i |10−−√2–√5–√D =m −6=1c 2m =7C【答案】C【考点】二倍角的余弦公式运用诱导公式化简求值【解析】根据三角函数的诱导公式，结合余弦函数的倍角公式进行化简即可．【解答】解：.故选.6.【答案】C【考点】正态分布的密度曲线【解析】根据随机变量服从正态分布，，由正态曲线的对称性得结论．【解答】解：∵随机变量服从正态分布，，∴，．故选：．7.【答案】C【考点】sin(−2α)=sin[−(2α+)]π6π2π3=cos(2α+)π3=1−2(α+)=sin 2π679C ξN(u,7)P(ξ<2)=P(ξ>4)ξN(u,7)P(ξ<2)=P(ξ>4)u ==34+22Dξ=7C函数奇偶性的性质函数的求值【解析】由已知得，由此利用时，，能求出．【解答】解：∵定义在上的偶函数，满足对任意都有，∴，故函数是以为周期的周期函数，∵时，，∴．故选.8.【答案】A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，，所以，，设，则即，解得，，所以，切点为，所以的图象在处的切线方程为，即.故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.f(2+t)=f(2−2−t)=f(−t)=f(t)x ∈[0,1]f(x)=−ln(+e)x 2f(2016)R y =f(x)t ∈R f(t)=f(2−t)f(2+t)=f(2−2−t)=f(−t)=f(t)f(x)2x ∈[0,1]f(x)=−ln(+e)x 2f(2016)=f(1008×2)=f(0)=−ln e =−1C f (x)=(x >0)x 2g(x)=ae x (x)=2x (x >0)f ′g(x)=ae x =t x P {f (t)=g(t)，(t)=(t)，f ′g ′{=a t 2e t 2t =ae t t =2a =4e 2g(1)=(1)=g ′4e (1,)4eg(x)x =1y −=(x −1)4e 4e4x −ey =0A【答案】A,B,D【考点】命题的真假判断与应用异面直线及其所成的角直线与平面所成的角平面向量的夹角【解析】此题暂无解析【解答】解：当直线的方向向量与平面的法向量的夹角为时，直线与平面所成的角为，故不正确；向量夹角的取值范围是，而异面直线夹角的取值范围是，故不正确；二面角的大小范围是，故正确；二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角的大小相等或互补，故不正确．故选．10.【答案】A,B,C【考点】正弦函数的单调性正弦函数的对称性函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】本题考查三角函数的图象和性质．【解答】解：对于，尽管由，可得到，，但由于不知道的正负，所以不能说在区间上单调递增，故不正确；对于，由于，所以的图象关于点中心对称，故不正确；l α150∘l α60∘A [,]0∘180∘(,]0∘90∘B [,]0∘180∘C D ABD A 2kπ−≤2x −≤+2kππ2π6π2k ∈Z kπ−≤x ≤kπ+π6π3k ∈Z A f (x)[kπ−,kπ+](k ∈Z)π6π3A B sin(2×−)=sin 0=0π12π6f (x)(,1)π12B (2×−)=sin =≠±1–√对于，由于，所以的图象不关于直线对称，故不正确；对于，由于的图象向右平移个单位得到的图象，所以，由，，知函数的图象关于点中心对称，故正确.故选．11.【答案】A,C,D【考点】互斥事件与对立事件相互独立事件【解析】1【解答】解：，事件与事件互斥，故正确；，事件男，男女，男女，而事件男，男女，故错误；，事件与事件对立，故正确；，事件与事件相互独立，故正确.故选.12.【答案】B,C,D【考点】直线的斜率直线与圆的位置关系抛物线的性质抛物线的标准方程【解析】C sin(2×−)=sin =≠±1π4π6π33–√2f (x)x =π4CD f (x)π6y =g(x)g(x)=f (x −)π6=A sin[2(x −)−]+1π6π6=A sin(2x −)+1π22x −=kπ⇒x =+π2π4kπ2k ∈Z y =g(x)(,1)π4D ABC A A C A B A ∪D ={32112}B ={321}B C B C C D B D D ACD根据抛物线和过焦点的直线位置关系，结合抛物线的定义和性质，结合韦达定理，逐个判断即可得解．【解答】解：，抛物线：的焦点坐标为，准线方程为，过焦点的弦中通径最短，所以最小值为，故不正确；，如图，设线段中点为，过点，，作准线的垂线，垂足分别为， ，，由抛物线定义，得，，所以，所以以线段为直径的圆与直线相切，故正确；，设所在直线的方程为，由消去，得，所以，，故正确；，因为，，故正确．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】分段函数的应用函数的求值【解析】此题暂无解析A C =4x y 2(1,0)x =−1|AB|2p =4AB AB D A B D A 1B 1D 1|A |=|AF|A 1|B |=|BF|B 1|D |=(|A |+|B |)=|AB|D 112A 1B 112AB x =−1BC AB x =ny +1{x =ny +1,=4x,y 2x −4ny −4=0y 2=−4y 1y 2==1x 1x 2()y 1y 2216C D +=4n y 1y 2+=+k AM k BM y 1+1x 1y 2+1x 2=(+1)+(+1)y 1x 2y 2x 1(+1)(+1)x 1x 2=(n +2)+(n +2)y 1y 2y 2y 1(+1)(+1)x 1x 2==02n +2(+)y 1y 2y 1y 2(+1)(+1)x 1x 2D BCD 1516【解答】解：函数 则，．故答案为：.14.【答案】【考点】等比数列的通项公式等比数列的性质【解析】直接利用等比数列的性质可求，代入通项公式即可求解．【解答】解：等比数列中，，，，，则，故答案为： ．15.【答案】【考点】基本不等式数列的求和点与圆的位置关系【解析】依题意，可求得，．从而求得整点坐标，计算即可得．【解答】f(x)={1−，x ≤1,x 2+x −2，x >1,x 2f(2)=4f ()1f(2)=f()=1−(=1414)215161516−4q {}a n =−2a 2=−8a 6∴==4q 4a 6a 2=2q 2==−2×2=−4a 4a 2q 2−420m =2+≤3m ⇔+≤6x 2y 2x 2y 2(,)x i y i ||∑i=1n x i y i b >0a +b =2解：∵，，且，∴（当且仅当时取“”）．∴的最小值为，即．∴．∴其整点坐标为：，，，，，，共个．∴．故答案为：．16.【答案】【考点】柱体、锥体、台体的体积计算二面角的平面角及求法【解析】本题考查直线和平面位置关系，二面角求法，锥体体积求法，设出未知角，用含三角函数的方程替代锥体体积，再求函数极值.【解答】解：由圆的性质， ,，所以，故为二面角的平面角， ，设，，又，令，，由函数极值和单调性可知，，时，取得极大值，故三棱锥体积的最大值为.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】a >0b >0a +b =2+=(+)×(a +b)=(1+++1)≥×4=21a 1b 1a 1b 1212b a a b 12a =b =1=+1a 1b 2m =2+≤3m ⇔+≤6x 2y 2x 2y 2(0,0)(0,±1)(0,±2)(±1,0)(±1,±1)(±1,±2)(±2,±1)19||=4×1+4×2+4×2=20∑i=119x i y i 2089∠ACB =90∘PA ⊥BC BC ⊥平面PAC ∠ACP A −BC −P ∠ACP =60∘∠CAB =θ=⋅⋅2sin θ⋅2cos θ⋅2cos θ⋅tan V P −ABC 131260∘=θsin θ=(sin θ−θ)43–√3cos 243–√3sin 3sin θ∈(0,1)f(sin θ)=(sin θ−θ)43–√3sin 3(sin θ)=(1−3θ)f ′43–√3sin 2(sin θ)=0f ′sin θ=3–√3f(sin θ)89P −ABC 8989(1){}d解：设等差数列的公差为，则.由，，可得，解得，故；由可知，所以，进而由，可得，即，解得或，又，故为所求．【考点】等差数列的前n 项和等差数列的通项公式【解析】（1）设出等差数列的公差为，然后根据首项为和第项等于，利用等差数列的通项公式即可得到关于的方程，求出方程的解即可得到公差的值，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；（2）根据等差数列的通项公式，由首项和公差表示出等差数列的前项和的公式，当其等于得到关于的方程，求出方程的解即可得到的值，根据为正整数得到满足题意的的值．【解答】解：设等差数列的公差为，则.由，，可得，解得，故；由可知，所以，进而由，可得，即，解得或，又，故为所求．18.【答案】解：完善列表如下所示：(1){}a n d =+(n −1)d a n a 1=1a 1=−3a 31+2d =−3d =−2=1+(n −1)×(−2)=3−2n a n (2)(1)=3−2n a n ==2n −S n n[1+(3−2n)]2n 2=−35S k 2k −=−35k 2−2k −35=0k 2k =7k =−5k ∈N +k =7d 13−3d d k −35k k k k (1){}a n d =+(n −1)d a n a 1=1a 1=−3a 31+2d =−3d =−2=1+(n −1)×(−2)=3−2n a n (2)(1)=3−2n a n ==2n −S n n[1+(3−2n)]2n 2=−35S k 2k −=−35k 2−2k −35=0k 2k =7k =−5k ∈N +k =7(1)=≈1.111<2.70660×(14×20−10×16)2，故没有 的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关．依题意，成绩合格的男生抽取人，成绩合格的女生抽取人，故的可能取值为,,,,,，，， ，故的分布列为：所以.【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列独立性检验的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：完善列表如下所示：，故没有 的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关．∴=≈1.111<2.706K 260×(14×20−10×16)230×30×24×3690%(2)45X 01234P(X =0)==，C 55C 591126P(X =1)==C 45C 14C 5920126P(X =2)==C 35C 24C 5960126P(X =3)==C 25C 34C 5940126P(X =4)==C 15C 44C 595126X E(X)=0×+1×+2×+3×1126201266012640126+4×=5126209(1)∴=≈1.111<2.706K 260×(14×20−10×16)230×30×24×3690%(2)依题意，成绩合格的男生抽取人，成绩合格的女生抽取人，故的可能取值为,,,,,，，，，故的分布列为：所以.19.【答案】解：因为，，所以，，所以．因为，，所以．又因为，所以，整体得，解得或（舍去）．因为，所以，由余弦定理得，所以.【考点】余弦定理正弦定理【解析】(2)45X 01234P(X =0)==，C 55C 591126P(X =1)==C 45C 14C 5920126P(X =2)==C 35C 24C 5960126P(X =3)==C 25C 34C 5940126P(X =4)==C 15C 44C 595126X E(X)=0×+1×+2×+3×1126201266012640126+4×=5126209(1)AB =BC 2–√A −B =AC ⋅BC C 2C 22–√A +B −A C 2C 2B 2=A +B −2B =AC ⋅BC C 2C 2C 22–√cos ∠ACB =A +B −A C 2C 2B 22AC ⋅BC ==AC ⋅BC 2–√2AC ⋅BC2–√2∠ACB =π4(2)AB =BC 2–√AB =2−23–√BC =−6–√2–√A −B =AC ⋅BC C 2C 22–√A −(−=AC ⋅(−)C 26–√2–√)22–√6–√2–√A −2(−1)AC +4(−2)=0C 23–√3–√AC =2AC =2(−2)3–√=AC ⋅AD ⋅sin ∠CAD =AD =3S △ACD 122–√2AD =32–√C =A +A −2AC ⋅AD ⋅cos ∠CAD =10D 2C 2D 2CD =10−−√（1）答案未提供解析．（2）答案未提供解析．【解答】解：因为，，所以，，所以．因为，，所以．又因为，所以，整体得，解得或（舍去）．因为，所以，由余弦定理得，所以.20.【答案】证明：（1）连结，∵，是的中点，∴，∵平面，平面，∴，又，∴平面，又平面，∴．（2）①由题意可知，，，，∴，，，∴，∴，同理可得：，又，∴平面．②以为原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，则，，，，∴，，设平面的法向量为，则，令得，又是平面的一个法向量，(1)AB =BC 2–√A −B =AC ⋅BC C 2C 22–√A +B −A C 2C 2B 2=A +B −2B =AC ⋅BCC 2C 2C 22–√cos ∠ACB =A +B −A C 2C 2B 22AC ⋅BC==AC ⋅BC 2–√2AC ⋅BC 2–√2∠ACB =π4(2)AB =BC 2–√AB =2−23–√BC =−6–√2–√A −B =AC ⋅BC C 2C 22–√A −(−=AC ⋅(−)C 26–√2–√)22–√6–√2–√A −2(−1)AC +4(−2)=0C 23–√3–√AC =2AC =2(−2)3–√=AC ⋅AD ⋅sin ∠CAD =AD =3S △ACD 122–√2AD =32–√C =A +A −2AC ⋅AD ⋅cos ∠CAD =10D 2C 2D 2CD =10−−√B 1D 1==B 1D 1A 1B 1D 1C 1E B 1C 1E ⊥D 1B 1C 1C ⊥C 1A 1B 1C 1D 1E ⊂D 1A 1B 1C 1D 1C ⊥E C 1D 1∩C =B 1C 1C 1C 1E ⊥D 1BCC 1B 1BF ⊂BCC 1B 1E ⊥BF D 1BC =2CF =1F =2C 1E =1C 1BF =5–√EF =5–√BE =10−−√B +E =B F 2F 2E 2BF ⊥EF BF ⊥F D 1F ∩EF =F D 1BF ⊥EF D 1D 1D 1A 1E D 1D D 1−xyz D 1(0,0,0)D 1B(1,2,3)2–√F(−1,2,2)2–√D(0,0,3)=(1,2,3)B D 1−→−−2–√=(−1,2,2)F D 1−→−2–√BF D 1=(x,y,z)n →{x +2y +3z =02–√−x +2y +2z =02–√x =1=(1,,−2)n →52–√4=(0,0,3)D D 1−→−−A 1B 1C 1D 1<，>==−˙∴．又面与底面所成的二面角为锐角，∴面与底面所成的二面角的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法直线与平面垂直的判定【解析】（1）证明平面，从而可得；（2）①利用勾股定理证明，，从而可得平面；②建立空间坐标系，求出平面和平面的法向量，求出法向量的夹角即可得出二面角的大小．【解答】证明：（1）连结，∵，是的中点，∴，∵平面，平面，∴，又，∴平面，又平面，∴．（2）①由题意可知，，，，∴，，，∴，∴，同理可得：，又，∴平面．②以为原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，则，，，，∴，，设平面的法向量为，则，令得，又是平面的一个法向量，∴．又面与底面所成的二面角为锐角，∴面与底面所成的二面角的余弦值为．21.cos <，>==−n →D D 1−→−−||||n →D D 1−→−−˙815−−√45BF D 1A 1B 1C 1D 1BF D 1A 1B 1C 1D 1815−−√45E ⊥D 1BCC 1B 1E ⊥BF D 1BF ⊥EF BF ⊥F D 1BF ⊥EF D 1BF D 1A 1B 1C 1D 1B 1D 1==B 1D 1A 1B 1D 1C 1E B 1C 1E ⊥D 1B 1C 1C ⊥C 1A 1B 1C 1D 1E ⊂D 1A 1B 1C 1D 1C ⊥E C 1D 1∩C =B 1C 1C 1C 1E ⊥D 1BCC 1B 1BF ⊂BCC 1B 1E ⊥BF D 1BC =2CF =1F =2C 1E =1C 1BF =5–√EF =5–√BE =10−−√B +E =B F 2F 2E 2BF ⊥EF BF ⊥F D 1F ∩EF =F D 1BF ⊥EF D 1D 1D 1A 1E D 1D D 1−xyz D 1(0,0,0)D 1B(1,2,3)2–√F(−1,2,2)2–√D(0,0,3)=(1,2,3)B D 1−→−−2–√=(−1,2,2)F D 1−→−2–√BF D 1=(x,y,z)n →{x +2y +3z =02–√−x +2y +2z =02–√x =1=(1,,−2)n →52–√4=(0,0,3)D D 1−→−−A 1B 1C 1D 1cos <，>==−n →D D 1−→−−||||n →D D 1−→−−˙815−−√45BF D 1A 1B 1C 1D 1BF D 1A 1B 1C 1D 1815−−√45【答案】解：∵，∴可设双曲线的方程，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线的方程.∵∴∵点在双曲线上， ，即，∴．【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴可设双曲线的方程，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线的方程.∵∴∵点在双曲线上， ，即，∴．22.【答案】解：由于 ，设切点坐标为 ，则，切线斜率；另一方面故，此时切点坐标为 ，(1)e =2–√−=λx 2y 2P(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=6x 2y 2(2)=(−3−2,−m),MF 1−→−−3–√MF 2−→−−=(2−3,−m)3–√⋅=(−3−2)×(2−3)MF 1−→−−MF 2−→−−3–√3–√+=−3+m 2m 2M ∴9−=6m 2−3=0m 2⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−(1)e =2–√−=λx 2y 2P(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=6x 2y 2(2)=(−3−2,−m),MF 1−→−−3–√MF 2−→−−=(2−3,−m)3–√⋅=(−3−2)×(2−3)MF 1−→−−MF 2−→−−3–√3–√+=−3+m 2m 2M ∴9−=6m 2−3=0m 2⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−(1)(x)=1+f ′2x (,)x 0y 0=+2ln y 0x 0x 0k =()=1+f ′x 02x 0k ==+2y 0x 0+2ln +2x 0x 0x 01+=⇒ln =0⇒=1⇒k =32x 0+2ln +2x 0x 0x 0x 0x 0(1,1)y −1=3(x −1)所以切线方程为 ，即 .由已知 ， 故，由于 ，故 ，由于 在 上单调递增故存在 使得 ，且当 时， ，当 时，，所以当 时，，当 时，， 即函数 先减后增．故，由于，.【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由于 ，设切点坐标为 ，则，切线斜率；另一方面故，此时切点坐标为 ，所以切线方程为 ，即 .由已知 ， 故，由于 ，故 ，由于 在 上单调递增故存在 使得 ，且当 时， ，当 时，，所以当 时，，当 时，， 即函数 先减后增．故，由于，.y −1=3(x −1)y =3x −2(2)g(x)=x −2x −2ln x e x (x)=(x +1)−2(1+)=(x +1)(−)g ′e x 1x e x 2x x ∈(0,+∞)x +1>0h(x)=−e x 2x (0,+∞).>0x 0h()=0x 0x ∈(0,)x 0h(x)<0x ∈(,+∞)x 0h(x)>0x ∈(0,)x 0(x)<0g ′x ∈(,+∞)x 0(x)>0g ′g(x)g(x =g()=−2(+ln ))min x 0x 0e x 0x 0x 0h()=−=0⇒=2⇒ln +=ln 2x 0e x 02x 0x 0e x 0x 0x 0g(x =2−2ln 2)min (1)(x)=1+f ′2x (,)x 0y 0=+2ln y 0x 0x 0k =()=1+f ′x 02x 0k ==+2y 0x 0+2ln +2x 0x 0x 01+=⇒ln =0⇒=1⇒k =32x 0+2ln +2x 0x 0x 0x 0x 0(1,1)y −1=3(x −1)y =3x −2(2)g(x)=x −2x −2ln x e x (x)=(x +1)−2(1+)=(x +1)(−)g ′e x 1x e x 2x x ∈(0,+∞)x +1>0h(x)=−e x 2x (0,+∞).>0x 0h()=0x 0x ∈(0,)x 0h(x)<0x ∈(,+∞)x 0h(x)>0x ∈(0,)x 0(x)<0g ′x ∈(,+∞)x 0(x)>0g ′g(x)g(x =g()=−2(+ln ))min x 0x 0e x 0x 0x 0h()=−=0⇒=2⇒ln +=ln 2x 0e x 02x 0x 0e x 0x 0x 0g(x =2−2ln 2)min。
2022-2023学年全国高中高三下数学苏教版月考试卷(含解析)
2022-2023学年全国高三下数学月考试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知集合，，则（ ）A.B.C.D.2. 设复数，则的的虚部是（ ）A.B.C.D.3. 已知分别是双曲线的左，右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是 A.B.C. D.A ={x|−x −2<0}x 2B ={x|+2x ≤0}x 2A ∩B ={x|0<x <2}{x|−1<x ≤0}{x|−1<x <0}{x|0≤x <2}z =1+i 20212−iz 35i 3515i 15，F 1F 2−=1(b >0)x 2y 2b 2F 1P P F 1F 2()(1，2)(，+∞)3–√(1，)∪(2，+∞)3–√(2，+∞)ξN(1,4)P(ξ>2)=0.3P(0<ξ<1)=4. 设随机变量服从正态分布，且，则 ( )A.B.C.D.5. 某校周五的课程表设计中，要求安排节课（上午节、下午节），分别安排语文数学、英语、物理、化学、生物、政治、历史各一节，其中生物只能安排在第一节或最后一节，数学和英语在安排时必须相邻（注：上午的最后一节与下午的第一节不记作相邻），则周五的课程顺序的编排方法共有 A.种B.种C.种D.种6. 已知正方体的棱长为，点在线段上，且，过点，，作该正方体的截面，截面将正方体分成两部分，则较小部分与较大部分的体积的比值为( )A.B.C.D.7. 如图，在平行四边形中， ，，点，，，分别是，，，边上的中点，则( )A.ξN(1,4)P(ξ>2)=0.3P(0<ξ<1)=0.150.20.40.7844()480024001200240ABCD −A 1B 1C 1D 16P B A 1P =B A 125A 1A C P αα135451813411441ABCD AB =1AD =2E F G H AB BC CD AD ⋅+⋅=EF −→−FG −→−GH −→−HE −→−323B.C.D.8. 已知函数，，若方程恰有个互异的实数根，则实数的取值范围为( )．A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 已知，且，则下列不等式正确的( )A.B.C.D.10. 有以下四个命题，正确命题是( )A.函数的一个增区间是B.若函数为奇函数，则为的整数倍C.对于函数，若，则必是的整数倍D.函数的图象关于点对称11. 如图，在直四棱柱中，四边形为正方形，，为面对角线上的一个动点，则下列说法中正确的有（ ）−3234−34f(x)=|+3x |x 2x ∈R f(x)−a |x −1|=04a (−∞,1)∪(9,+∞)(0,1)∪(1,9)(−∞,1)∪(1,9)(0,1)∪(9,+∞)a >0，b >04a +b =ab ab ≥162a +b ≥6+42–√a −b <0+≥1a 216b 212f (x)=sin(−2x)π3(,)5π1211π12f (x)=sin(ωx +φ)φπf (x)=tan(+2x)π3f ()=f ()x 1x 2−x 1x 2πf (x)=2sin(+2x)π3(,0)π3ABCD −A 1B 1C 1D 1ABCD A =2AB A 1P BC B 1C 1C B 1A.平面B.与所成角的余弦值为C.三棱锥的体积为定值D.平面内存在直线与平面和底面的交线平行12. 在直角坐标系中，若三点中恰有两点在抛物线且，均为常数）的图象上，则下列结论正确是（ ）A.抛物线的对称轴是直线B.抛物线与轴的交点坐标是 和C.当时，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根D.若和都是抛物线上的点且，则卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. ________；若 ，则________．14. 若 展开式的奇数项二项式系数之和为，，则展开式中 的二项式系数是________.15. 某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示），已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为________．B ⊥D 1DA 1C 1CB 1A 1C 110−−√10P −D A 1C 1ABB 1A 1D A 1C 1ABCD A (1,−2),B (2,−2),C (2,0)y=a +bx −2(a >0x 2a b x =12x (−,0)12(2,0)t >−94x a +bx −2=t x 2P (m,n)Q (m +4,h)n <0h >0lg2+lg5=sin x +cos x =15sin 2x =(2−)x 21x n 32x 34.8m 1m m16. 如图，矩形中，为的中点，将沿直线翻折成，连结，为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是________．①翻折过程中，的长是定值；②存在某个位置，使得；③若，则；④若，三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知正项数列的前项和为，且，.求数列的通项公式；若，数列前项和为，求使的最小的正整数的值． 18. 已知，，是的内角，，的对边，且求角的大小；若的面积，求的值． 19. 如图，在四棱柱中，底面和侧面都是矩形，是的中点，，．求证：；若平面与平面所成的锐二面角的大小为，求线段的长度． 20. 某健身馆在年，两月推出优惠项目吸引了一批客户．为预估年，两月客户投入的健身消费金额，健身馆随机抽样统计了年，两月名客户的消费金额，分组如下：，， ，， （单位：元），得到如图所示的频率分布直方图：ABCD M BC △ABM AM △A M B 1D B 1N D B 1CN CN ⊥AB 1AB =BM AM ⊥D B 1AB =BM =1−AMD B 1−AMD B 14π{}a n n S n =2+n +1a 2n+1S n =2a 2(1){}a n a n (2)=⋅b n a n 2n {}b n n T n >2021T n n a b △ABC A B C 5cos B cos C +2=5sin B sin C +cos 2A(1)A (2)△ABC S =,c =323–√3–√sin B sin C ABCD −A 1B 1C 1D 1ABCD BCC 1B 1E CD E ⊥CD D 1AB=2BC =2(1)BC ⊥E D 1(2)BCC 1B 1BED 1π3E D 1201991020209102019910100[0,200)[200,400)[400,600)⋯[1000,1200]估计该健身馆在年，两月健身消费金额的中位数；若把年，两月健身消费金额不低于元的客户，称为“健身达人”，经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，请补全空格处的数据，并根据列联表判断是否有的把握认为“健身达人”与性别有关？健身达人非健身达人总计男女总计如果该健身馆制定消费方案：购买消费券金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率为，且每次抽奖互不影响，中奖次打折，中奖次打折，中奖次打折．若某人打算购买元的消费券，预估需要付款多少元？附： 21. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，.求在点处的切线方程；若关于的方程有三个不同的实数根，求的取值范围.22. 已知椭圆的长轴两端点为，，离心率为，，分别是椭圆的左，右焦点，且.求椭圆的标准方程；设，是椭圆上两个不同的点，若直线在轴上的截距为，且，的斜率之和等于，求直线的方程．(1)2020910(2)201991080095%1030(3)800121928372000=K 2n(ad −bc)2(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)P (≥k)K 20.1500.1000.0500.0100.005k 2.0722.7063.8416.6357.879f(x)R x <0f(x)=(x +1)e x (1)f(x)P(−1,f(−1))(2)x f(x)=m m C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2A 1A 23–√2F 1F 2C ||⋅||=1A 1F 1A 2F 1(1)(2)A B C AB y 4OA OB 4AB参考答案与试题解析2022-2023学年全国高三下数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】A【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念【解析】先化简复数，再利用复数的概念求解即可.【解答】解：，虚部为.故选.3.【答案】D z ====+i1+i 20212−i 1+i 2−i (2+i)(1+i)(2−i)(2+i)153535A【考点】双曲线的渐近线双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】解：设，双曲线的渐近线方程为，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线方程为，联立渐近线方程，可得交点，点在以线段为直径的圆外，可得，即有，可得双曲线的离心率，即.故选.4.【答案】B【考点】正态分布的密度曲线【解析】根据随机变量服从正态分布，知正态曲线的对称轴是是，且，欲求，只须依据正态分布对称性，即可求得答案．【解答】解： 随机变量服从正态分布，正态曲线的对称轴是：，又 ，，．(−c ，0)F 1−=1x 2y 2b 2y =±bx F 1y =b(x +c)y =−bx P(−，)c 2bc 2P F 1F 2(+(>c 2)2bc 2)2c 2>3b 2e ===>2c a 1+b 2a 2−−−−−−√1+b 2−−−−−√e >2D ξx =1P(ξ>2)=0.3P(0<ξ<1)∵ξN(1,4)∴x =1∵P(ξ>2)=0.3∴P(ξ≤0)=0.3∴P(0<ξ<1)=[1−(0.3+0.3)]=0.212故选．5.【答案】B【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】解：分步排列，第一步：由题意知，生物只能出现在第一节或最后一节，∴在第一个位置和最后一个位置选一个位置安排生物，有种编排方法；第二步：数学和英语在安排时必须相邻，则有种编排方法；第三步：剩下的节课安排科课程，有种编排方法．根据分步计数原理知，周五的课程顺序的编排方法共有种编排方法．故选.6.【答案】C【考点】柱体、锥体、台体的体积计算截面及其作法【解析】首先确定截面位置，再计算即可.【解答】解：如图，延长交于点，由，B =2A 125=10A 2255=120A 552×10×120=2400B AP A 1B 1M P =B A 125A 1=2=2易得，取上点，且，连结，，则易得，又，则，则平面即为平面，故，故另一个较大部分的体积为，故较小部分的体积与较大部分的体积比为.故选.7.【答案】A【考点】平面向量数量积的运算向量在几何中的应用【解析】将所求利用平行四边形的相邻两边对应向量表示，然后进行向量的运算．【解答】解：在平行四边形中，因为，，点，，，分别是，，，边上的中点，则， ，所以.故选．8.【答案】D【考点】根的存在性及根的个数判断函数的零点与方程根的关系M =A 123A 1B 1B 1C 1N N =C 123C 1B 1MN A 1C 1//MN A 1C 1AC//A 1C 1AC//MN αACNM =×(18+2+)×6=52V 三棱台ABC−M N B 11318×2−−−−−√6×6×6−56=164=521641341C ABCD AB =1AD =2EFGH AB BC CD DA =−EF −→−GH −→−=−FG −→−HE −→−⋅+⋅EF −→−FG −→−GH −→−HE −→−=2⋅EF −→−FG −→−=(+)×(−)AB −→−BC −→−12AD −→−AB −→−=(−)=12AD −→−2AB −→−232A由得，作出函数，的图象利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由得，作出函数，的图象，如图，当，两个函数的图象不可能有个交点，不满足条件，当时，当时，，，当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时，即，则由，即，解得或，当时，，，此时不成立，∴此时，要使两个函数有四个零点，则此时，若，此时与，有两个交点，此时只需要当时，有两个不同的零点即可，即，整理得，则由，即，解得（舍去）或，综上的取值范围是.故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.y =f(x)−a |x −1|=0f(x)=a |x −1|y =f(x)y =a |x −1|y =f(x)−a |x −1|=0f(x)=a |x −1|y =f(x)y =g(x)=a |x −1|a ≤04a >0g(x)=a |x −1|={a(x −1)−a(x −1)x ≥1，x <1，−3<x <0f(x)=−−3x x 2g(x)=−a(x −1)−−3x =−a(x −1)x 2+(3−a)x +a =0x 2Δ=(3−a −4a =0)2−10a +9=0a 2a =1a =9a =9g(x)=−9(x −1)g(0)=9a =10<a <1a >1g(x)=−a(x −1)f(x)x >1f(x)=g(x)+3x =a(x −1)x 2+(3−a)x +a =0x 2Δ=(3−a −4a >0)2−10a +9>0a 2a <1a >9a (0,1)∪(9,+∞)DA,B,D【考点】基本不等式【解析】无【解答】解：，，当且仅当时等号成立，，故正确；由得，同理，，当且仅当，即时等号成立，故正确．满足题意，但，故错误；由得，，当且仅当即时等号成立， ，故正确．故选．10.【答案】A,B,D【考点】命题的真假判断与应用正弦函数的图象函数y=Asin （ωx+φ）的性质【解析】∵a >0，b >0ab =4a +b ≥2=44ab −−−√ab−−√4a =b ∴ab ≥16A 4a +b =ab b =>0，a >14a a −1b >42a +b =2a +=2(a −1)++64a a −14a −1≥2+6=4+62(a −1)×4a −1−−−−−−−−−−−−−−√2–√2(a −1)=4a −1a =1+2–√B a =5，b =5a −b =0C 4a +b =ab +=11a 4b ∴2(+)≥=11a 216b 2(+)1a 4b 2=1a 216b 2b =4a ∴+≥1a 216b 212D ABD ,]5π11π，利用函数的一个增区间，判断是否是判断；，直接判断函数为奇函数，则为的整数倍判断；，对于函数 ，利用，推出是否是的整数倍判断．，函数 的图象关于点 对称．只需把代入，函数值是否为，判断正误即可．【解答】解：，函数的单调增区间为：，，它的一个增区间是，故正确；，若函数为奇函数，则，则为的整数倍，故正确；，对于函数，若，则必是的整数倍，故错误；，将代入函数 ，得，则函数的图象关于点对称，故正确.故选．11.【答案】B,C【考点】直线与平面平行的性质异面直线及其所成的角棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定【解析】利用线面垂直的定义即可判断；因为 ，利用线面角的概念和余弦定理即可判断；证明平面 ，即可判断；利用线面平行的性质定理即可判断．【解答】解：，因为与不垂直，所以与平面不垂直，故错误；，因为，所以就是与所成的角，设 ，则在中， ，，于是由余弦定理可知，故正确；A f (x)=sin(−2x)π3[,]5π1211π12B f (x)=sin(ωx +ϕ)φπC f (x)=tan(2x +)π3f ()=f ()x 1x 2−x 1x 2πD y =2sin(2x +)π3(,0)π3x =π30A f (x)=sin(−2x)π3[+kπ,+kπ]5π1211π12k ∈Z [,]5π1211π12A B f (x)=sin(ωx +φ)f (0)=sin φ=0φπB C f (x)=tan(+2x)π3f ()=f ()x 1x 2−x 1x 2π2C D x =π3f(x)=2sin(+2x)π3f(x)=0f (x)=2sin(+2x)π3(,0)π3D ABD A C//D B 1A 1B C//B 1D A 1C 1C D A D A 1BD 1BD 1D A 1C 1A B C//D B 1A 1∠D C 1A 1C B 1A 1C 1AB =1△D C 1A 1D =D =A 1C 15–√=A 1C 12–√cos ∠D ==C 1A 15+2−52××5–√2–√10−−√10B C C//D B A C ⊂B D A C D ⊂A D A C，因为，平面，平面 ，所以平面，从而点到平面的距离都相等，从而三棱锥的体积为定值，故正确；，因为平面，平面，所以平面和底面的交线与平行，而与平面相交，所以错误．故选．12.【答案】【考点】曲线与方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】对数及其运算二倍角的正弦公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答14.【答案】20【考点】二项展开式的特定项与特定系数二项式系数的性质C C//D B 1A 1C ⊂B 1D A 1C 1D ⊂A 1D A 1C 1C//B 1D A 1C 1P D A 1C 1P −D A 1C 1C D //A 1C 1ABCD ⊂A 1C 1D A 1C 1D A 1C 1ABCD A 1C 1A 1C 1ABB 1A 1D BC【解析】本题考查二项式展开式的特定项系数问题，熟练掌握二项式的性质是解题的关键，由已知条件可求出n=6，列出二项式的通项公式即可解答本题.【解答】∵展开式的奇数项二项式系数之和为32，∴，解得：n=6，∵二项式的展开式的通项公式为，∴当只有r=3时，展开式中含项，∴展开式中的二项式系数为=20.故答案为：20.15.【答案】【考点】抛物线的标准方程抛物线的应用【解析】本题考查抛物线的定义,设点代入计算即可【解答】解：依题意该曲线为抛物线，设其方程为.因为接收天线的口径（直径）为，深度为，故抛物线经过点，代入抛物线方程得，解得：，所以该抛物线的焦点到顶点的距离为.故答案为：.16.【答案】①④【考点】柱体、锥体、台体的体积计算余弦定理(2−)x 21xn =322n−1(2−)x 21x 6=(2T r+1C r 6x 2)6−r (−1x)r x 3x 3C 361.44=2px y 24.8m 1m (1,2.4)=2p 2.42p =2.88 1.44m 1.44两条直线垂直的判定球内接多面体【解析】此题暂无解析【解答】解：对于①，如图，可得由（定值），（定值），（定值），由余弦定理可得，所以是定值，故①正确；对于②，如图，取中点，连接交于，则，，如果，可得到，又，且三线，，共面共点，不可能，故②错误；对于③，如图，取中点，连接，，易得面，即可得，从而，显然不成立，可得③错误；对于④，当平面平面时，三棱锥的体积最大，易得中点就是三棱锥的外接球的球心，球半径为，表面积是．故④正确．故答案为：①④．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：当时， ，与已知的等式联立可得，即.∵为正项数列，∴，当时，，∴，∴数列是以为首项，为公差的等差数列，∴.，∴ ①，②，1∠NEC =∠MAB 1NE =A 12B 1AM =EC N =N +E −2NE ⋅EC ⋅cos ∠NEC C 2E 2C 2NC 1AD E EC MD F NE//AB 1NF//MB 1CN ⊥AB 1EN ⊥NF EN ⊥CN NE NF NC 2AM O O B 1DO AM ⊥ODB 1OD ⊥AM AD =MD AM ⊥B 1AMD −AMD B 1AD H −AMD B 114π(1)n ≥2=2+n −1+1a 2n S n−1−=2+1a 2n+1a 2n a n =+2+1=a 2n+1a 2n a n (+1)a n 2{}a n =+1a n+1a n n =1=2+2=4a 22a 1=1a 1{}a n 11=n a n (2)=⋅=n ⋅b n a n 2n 2n =1⋅+2⋅+3⋅T n 212223+⋯+n ⋅2n 2=T n 1⋅+2⋅2223+⋯+(n −1)⋅+n ⋅2n 2n+1=−n ⋅=(1−n)−22⋅(1−)2n +1+1①②得，∴，当时，单调递增，当时，，当时，，∴使的最小的正整数的值为.【考点】数列递推式等差数列的通项公式数列的求和数列与不等式的综合【解析】此题暂无解析【解答】解：当时， ，与已知的等式联立可得，即.∵为正项数列，∴，当时，，∴，∴数列是以为首项，为公差的等差数列，∴.，∴ ①，②，①②得，∴，当时，单调递增，当时，，当时，，∴使的最小的正整数的值为.18.【答案】【考点】−−=−n ⋅=(1−n)−2T n 2⋅(1−)2n 1−22n+12n+1=(n −1)+2T n 2n+1n >1T n n =7=6×+2=1538<2021T 728n =8=7×+2=3586>2021T 829>2021T n n 8(1)n ≥2=2+n −1+1a 2n S n−1−=2+1a 2n+1a 2n a n =+2+1=a 2n+1a 2n a n (+1)a n 2{}an =+1a n+1a n n =1=2+2=4a 22a 1=1a 1{}a n 11=n a n (2)=⋅=n ⋅b n a n 2n 2n =1⋅+2⋅+3⋅T n 212223+⋯+n ⋅2n 2=T n 1⋅+2⋅2223+⋯+(n −1)⋅+n ⋅2n 2n+1−−=−n ⋅=(1−n)−2T n 2⋅(1−)2n 1−22n+12n+1=(n −1)+2T n 2n+1n >1Tn n =7=6×+2=1538<2021T 728n =8=7×+2=3586>2021T 829>2021T n n 8余弦定理正弦定理三角形的面积公式三角形求面积解三角形【解析】【解答】19.【答案】证明：∵底面和侧面是矩形，∴，，又∵，∴平面，∵平面，∴.解：由可知，又∵，且，∴平面．设为的中点，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，．设，则，．设平面的一个法向量为，，，由，令，得；(1)ABCD BCC 1B 1BC ⊥CD BC ⊥CC 1CD ∩CC 1=C BC ⊥DCC 1D 1E ⊂D 1DCC 1D 1BC ⊥E D 1(2)(1)BC ⊥E D 1E ⊥CD D 1BC ∩CD =C E ⊥D 1ABCD G AB E EG EC ED 1x y z E(0,0,0)B(1,1,0)C(0,1,0)G(1,0,0)E D 1=a (0,0,a)D 1(1,2,a)B 1BED 1=(x,y,z)n →=(1,1,0)EB −→−=(0,0,a)ED 1−→−− ⋅=x +y =0n →EB →⋅=az =0n →ED 1−→−−x=1=(1,−1,0)n →(,,)→设平面的一个法向量为，，，由，令，得．由平面与平面所成的锐二面角的大小为，得，解得．∴．【考点】用空间向量求平面间的夹角两条直线垂直的判定【解析】（1）由已知底面和侧面是矩形，可得，，由线面垂直的判定可得平面，进一步得到；（2）由（1）可知，结合，可得平面．设为的中点，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，由平面与平面所成的锐二面角的大小为列式求得值，则线段的长度可求．【解答】证明：∵底面和侧面是矩形，∴，，又∵，∴平面，∵平面，∴.解：由可知，又∵，且，∴平面．设为的中点，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图，BCC 1B 1=(,,)m →x 1y 1z 1=(1,0,0)CB −→−=(−1,1,a)BC 1−→− ⋅==0m →CB −→−x 1⋅=−++a =0m →BC 1−→−x 1y 1z 1z 1=1=(0,−a,1)m →BCC 1B 1BED 1π3|cos <，>|=m →n →|=cos =a ⋅2–√+1a 2−−−−−√π312a=1E D 1=1ABCD BCC 1B 1BC ⊥CD BC ⊥CC 1BC ⊥DCC 1D 1BC ⊥E D 1BC ⊥E D 1E ⊥CD D 1E ⊥D 1ABCD G AB E EG EC ED 1x y z BED 1BCC 1B 1BCC 1B 1BED 1π3a E D 1(1)ABCD BCC 1B 1BC ⊥CD BC ⊥CC 1CD ∩CC 1=C BC ⊥DCC 1D 1E ⊂D 1DCC 1D 1BC ⊥E D 1(2)(1)BC ⊥E D 1E ⊥CD D 1BC ∩CD =C E ⊥D 1ABCD G AB E EG EC ED 1x y z E(0,0,0)B(1,1,0)C(0,1,0)G(1,0,0)则，，，．设，则，．设平面的一个法向量为，，，由，令，得；设平面的一个法向量为，，，由，令，得．由平面与平面所成的锐二面角的大小为，得，解得．∴．20.【答案】解：在直方图中，从左至右前个小矩形的面积之和为，所以中位数位于区间内．设中位数为，则，解得，所以估计该健身馆在年，两月健身消费金额的中位数为元．列联表如下：健身达人非健身达人总计男女总计因为，所以有的把握认为“健身达人”与性别有关系．设付款元，则的可能取值为，，，，，，，，所以（元）．【考点】E(0,0,0)B(1,1,0)C(0,1,0)G(1,0,0)E D 1=a (0,0,a)D 1(1,2,a)B 1BED 1=(x,y,z)n →=(1,1,0)EB −→−=(0,0,a)ED 1−→−− ⋅=x +y =0n →EB →⋅=az =0n →ED 1−→−−x=1=(1,−1,0)n →BCC 1B 1=(,,)m →x 1y 1z 1=(1,0,0)CB −→−=(−1,1,a)BC 1−→− ⋅==0m →CB −→−x 1⋅=−++a =0m →BC 1−→−x 1y 1z 1z 1=1=(0,−a,1)m →BCC 1B 1BED 1π3|cos <，>|=m →n →|=cos =a ⋅2–√+1a 2−−−−−√π312a=1E D 1=1(1)3(0.00050+0.00075+0.00100)×200=0.45[600,800)x (x −600)×0.00125=0.5−0.45x =6402020910640(2)1040502030503070100=K 2100×(10×30−20×40)250×50×30×70≈4.762>3.84195%(3)X X 1400160018002000P(x =1400)==C 33()12318P(x =1600)==C 23()12338P(x =1800)==C 13()12338P(x =2000)==C 03()12318E(X)=1400×+1600×1838+1800×+2000×=17003818众数、中位数、平均数、百分位数离散型随机变量的期望与方差独立性检验【解析】此题暂无解析【解答】解：在直方图中，从左至右前个小矩形的面积之和为，所以中位数位于区间内．设中位数为，则，解得，所以估计该健身馆在年，两月健身消费金额的中位数为元．列联表如下：健身达人非健身达人总计男女总计因为，所以有的把握认为“健身达人”与性别有关系．设付款元，则的可能取值为，，，，，，，，所以（元）．21.【答案】解：当时，，，， ，所以切线的方程为.当时，，函数为奇函数，(1)3(0.00050+0.00075+0.00100)×200=0.45[600,800)x (x −600)×0.00125=0.5−0.45x =6402020910640(2)1040502030503070100=K 2100×(10×30−20×40)250×50×30×70≈4.762>3.84195%(3)X X 1400160018002000P(x =1400)==C 33()12318P(x =1600)==C 23()12338P(x =1800)==C 13()12338P(x =2000)==C 03()12318E(X)=1400×+1600×1838+1800×+2000×=17003818(1)x <0(x)=(x +2)f ′e x ===k l |y ′x=−1e −11e f(−1)=0∴P(−1,0)l y =(x +1)1e(2)x >0−x <0,f(−x)=(−x +1)=−(x −1)e −x e −xf(x)∴f(x)=−f(−x)=(x −1)−x，由因为函数是定义在上的奇函数，所以，所以，由知，当时，，当时，，所以函数在上为减函数；当时，，所以函数在上为增函数，，时，，当时，，结合函数时定义在上的奇函数，如图所示，作出函数的图象知：关于的方程有三个不同的实数根，等价于直线与函数的图象有个不同的交点，由图知，的取值范围为.【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：当时，，，， ，∴f(x)=−f(−x)=(x −1)e −x f(x)R f(0)=0f(x)= (x −1),e −x 0,(x +1),e x x >0x =0x <0(1)x <0(x)=(x +2)f ′e x x <−2(x)<0f ′f(x)(−∞,−2)−2<x <0(x)>0f ′f(x)(−2,0)f(−2)=−<01e 2x →0f(x)→1>1e 2x <−2f(x)<0f(x)R f(x)x f(x)=m L ：y =m y =f(x)3m {m|−<m <}1e 21e 2(1)x <0(x)=(x +2)f ′e x ===k l |y ′x=−1e −11e f(−1)=0∴P(−1,0)=(x +1)1所以切线的方程为.当时，，函数为奇函数，，由因为函数是定义在上的奇函数，所以，所以，由知，当时，，当时，，所以函数在上为减函数；当时，，所以函数在上为增函数，，时，，当时，，结合函数时定义在上的奇函数，如图所示，作出函数的图象知：关于的方程有三个不同的实数根，等价于直线与函数的图象有个不同的交点，由图知，的取值范围为.22.【答案】解：由题意可知，，，，则.，解得，椭圆的标准方程为．设， ，直线的方程为，l y =(x +1)1e(2)x >0−x <0,f(−x)=(−x +1)=−(x −1)e −x e −xf(x)∴f(x)=−f(−x)=(x −1)e −x f(x)R f(0)=0f(x)= (x −1),e −x 0,(x +1),e x x >0x =0x <0(1)x <0(x)=(x +2)f ′e x x <−2(x)<0f ′f(x)(−∞,−2)−2<x <0(x)>0f ′f(x)(−2,0)f(−2)=−<01e 2x →0f(x)→1>1e 2x <−2f(x)<0f(x)R f(x)x f(x)=m L ：y =m y =f(x)3m {m|−<m <}1e 21e 2(1)(−a,0)A 1(a,0)A 2(−c,0)F 1||⋅||=1A 1F 1A 2F 1(a +c)(a −c)==1b 2∵====e 2c 2a 2−a 2b 2a 2−1a 2a 234=4a 2∴+=1x 24y 2(2)A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2AB y =kx +4 y =kx +4，联立得 ，则，.由 ，解得，直线的方程为．【考点】椭圆的标准方程圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】利用已知条件求出，，代入即可根据斜率之和等于，求出，代入直线方程求出即可．【解答】解：由题意可知，，，，则.，解得，椭圆的标准方程为．设， ，直线的方程为，联立得 ，则，.由 ，解得，直线的方程为． y =kx +4，+=1，x 24y 2(4+1)+32kx +60=0k 2x 2+=−x 1x 232k 4+1k 2=x 1x 2604+1k 2+=+=k OA k OB y 1x 1y 2x 2(k +4)+(k +4)x 1x 2x 2x 1x 1x 2=2k +4⋅=2k −=−=4−32k 4+1k 2604+1k 232k 152k 15k =−30∴AB y =−30x +4(1)a =2b =1(1)4k (1)(−a,0)A 1(a,0)A 2(−c,0)F 1||⋅||=1A 1F 1A 2F 1(a +c)(a −c)==1b 2∵====e 2c 2a 2−a 2b 2a 2−1a 2a 234=4a 2∴+=1x 24y 2(2)A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2AB y =kx +4 y =kx +4，+=1，x 24y 2(4+1)+32kx +60=0k 2x 2+=−x 1x 232k 4+1k 2=x 1x 2604+1k 2+=+=k OA k OB y 1x 1y 2x 2(k +4)+(k +4)x 1x 2x 2x 1x 1x 2=2k +4⋅=2k −=−=4−32k 4+1k 2604+1k 232k 152k 15k =−30∴AB y =−30x +4。
江苏省五校2024年高三第三次诊断考试数学试题
江苏省五校2024年高三第三次诊断考试数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数32()2()f x x mx x m R =-+∈在1x =处有极值，则()f x 在区间[0,2]上的最大值为（ ）A ．1427B ．2C ．1D ．32．德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P 表示π的近似值),若输入10n ＝,则输出的结果是( )A ．11114(1)35717P =-+-+⋅⋅⋅+ B ．11114(1)35719P =-+-+⋅⋅⋅- C ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅+D ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅-3．821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中12x y -的系数是（ ）A ．160B ．240C ．280D ．3204．已知不重合的平面,,αβγ 和直线l ，则“//αβ ”的充分不必要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行B ．l α⊥ 且l β⊥C ．αγ⊥ 且γβ⊥D ．α内的任何直线都与β平行5．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线24y x =上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）A ．1B ．12C ．22D ．526．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB 的长为254，则AF BF =（ ） A ．2或12B ．3或13C ．4或14D ．5或157．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b8．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）A ．甲的数据分析素养优于乙B ．乙的数据分析素养优于数学建模素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数学运算最强9．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．10．函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移34π个单位 11．设一个正三棱柱ABC DEF -，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC 的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为10P ，则10P 为（ ）A ．10111432⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭B ．111132⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．111132⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．10111232⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭12．已知定点,A B 都在平面α内，定点,,P PB C αα∉⊥是α内异于,A B 的动点，且PC AC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ） A ．圆，但要去掉两个点 B ．椭圆，但要去掉两个点 C ．双曲线，但要去掉两个点D ．抛物线，但要去掉两个点二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年全国高中高三上数学苏教版月考试卷(含解析)
2022-2023学年全国高三上数学月考试卷考试总分：130 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 7 小题 ，每题 5 分 ，共计35分 ）1. 设集合＝，＝，＝，则＝（ ）A.B.C.D.2. 命题“，”的否定是( )A. ，B. ，C.，D.，3. 三个数：，，大小顺序正确的是A.B.C.D.4. 如图为函数＝的部分图象，则下列判断可能正确的是（ ）U {1,2,3,4,5}M {1,2,3}N {2,3,4,5}(M ∩N)∁U {2,3}{1,4,5}{2,3,4}{2,4,5}∀x ∈(0,+∞)sin x ≥x +1x ∀x ∈(0,+∞)sin x <x +1x∃x ∈(0,+∞)sin x ≥x +1x∃x ∈(0,+∞)sin x <x +1x∃x ∈(−∞,0]sin x <x +1xa =ln 23b =−log 332c =(23)13()c >a >bc >b >ab >a >ca >b >cy (x ≠0,a,b ∈Z)A.＝，＝B.＝，＝C.＝，＝D.＝，＝5. 如图，正方形的边长为，为的中点，射线从出发，绕着点顺时针方向旋转至，在旋转的过程中，记为，所经过的在正方形内的区域（阴影部分）的面积＝，那么对于函数有以下三个结论，其中不正确的是（ ）①②函数在上为减函数③任意，都有＝．A.①B.③C.②D.①②③6. 指数函数在同一坐标系中的图象如图所示，则与的大小关系为A.a 1b −1a 1b 1a 2b −1a 2b 1ABCD 2O AD OP OA O OD ∠AOP x(x ∈[0,π])OP ABCD S f(x)f(x)f()=π33–√2f(x)(,π)π2x ∈[0,]π2f(x)+f(π−x)4y =,y =,y =,y =a x b x c x d xa,b,c,d 1()a <b <1<c <da <b <1<d <cB.C.D.7. 方程的根所在的一个区间是A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）8. 关于函数，下列命题正确的是( )A.由可得是的整数倍B.的图象关于点对称C.的表达式可改写成D.的图象关于直线对称9. 若将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列关于的说法错误的是（ ）A.的最小正周期为B.图象的一个对称中心坐标为C.的值域为D.图象的一条对称轴方程为10. 函数对任意，总有＝，当时，，，则下列命题中正确的是（ ）A.是上的减函数a <b <1<d <c1<a <b <C <db <a <1<d <c+x −4=02x ()[−1,0][0,1][1,2][2,3]f(x)=3sin x cos x +3x −+13–√sin 233–√2f()x 1=f()x 2=1−x 1x 2πy=f(x)(,1)3π4y=f(x)f(x)=3cos(2x −)+15π6y=f(x)x =−π12g(x)g(x)g(x)2πg(x)g(x)g(x)f(x)x y ∈R f(x +y)f(x)+f(y)x <0f(x)<0f(x)R f(x)[−6,6]B.在上的最小值为C.是奇函数D.若，则实数的取值范围为11. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（ ）A.B.C.D.＝卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）12. 将直线＝向上平移个单位后，所得直线的表达式是________．13. 设，则________．14. 如图，直角中，，以为圆心、为半径作圆弧交于点．若圆弧等分的面积，且弧度，则________．15. 已知，，则的最小值为________．四、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 11 分 ，共计55分 ）16. 设函数，若，则________．17. 求值：（1）；f(x)[−6,6]−2f(x)f(x)+f(x −3)≥−1x x ≥0(−∞,0)y =x 2−−√3y =(12)|x|y =log 121|x |y sin xy 2x −45sin(+θ)=π413sin 2θ=△POB ∠PBO =90∘O OB OP A AB ˆ△POB ∠AOB =α=αtan αa>1b >2(a +b)2+−1a 2−−−−−√−4b 2−−−−−√{3x −b,x < 1，,x ≥12x f(f())=456b =sin sin −sin cos 25∘215∘245∘35∘(−)+tan 3π7π（2）． 18. 为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款有贴息优惠政策，现有应届毕业大学生甲贷款开小型超市，初期投入为万元，经营后每年的总收入为万元，该公司第年需要付出的超市维护和工人工资等费用为万元，已知为等差数列，相关信息如图所示．Ⅰ求；Ⅱ该超市第几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）Ⅲ该超市经营多少年，其年平均获利最大？最大值是多少？（年平均获利） 19. 已知函数＝ϖ,ϖ部分图象如图所示，函数＝（1）求函数的表达式（2）求函数的单调增区间和对称中心．20. 已知函数，求的单调区间．tan(−)+tan 3π47π121−tan 7π127250n a n {}a n ()a n ()()=n nf(x)A sin(x +ϕ)(A >0>0,0<ϕ<π)g(x)f(x)cos 2x g(x)g(x)f (x)=+a ln x (a ∈R,a ≠0)12x 2f (x)参考答案与试题解析2022-2023学年全国高三上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 7 小题 ，每题 5 分 ，共计35分 ）1.【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算【解析】运用交集的运算求出，然后直接利用补集的运算求解．【解答】由＝，，，，∴＝，又＝，∴＝．2.【答案】C【考点】全称命题的否定【解析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题“，”的否定是：，.故选.3.【答案】M ∩N M {1,2,3}343}M ∩N {1,2,8}∩{2,3,8,3}U {1,4,3,4,7}(M ∩N)∁U {1,4,3}∀x ∈(0,+∞)sin x ≥x +1x ∃x ∈(0,+∞)sin x <x +1x CA【考点】对数值大小的比较【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，，∴.故选.4.【答案】C【考点】函数的图象与图象的变换【解析】由图可知，函数为偶函数，且当时，，再结合选项即可确定和的值．【解答】由图可知，函数为偶函数，所以为偶数，排除选项和，当时，＝，所以不可能为，于是＝．5.【答案】C【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】由图形可得函数的解析式，再分别判断，即可得出结论．0=ln 1>a =ln>b =−=23log 332log 323c =(>023)13c >a >b A f(x)0<x <1y <0a b f(x)a A B 0<x <1y b 1b −2【解答】当时，；当，在中，＝＝＝；当时，＝；当时，同理可得＝．当时，＝＝．于是可得：①，正确；②当时，由＝，为增函数．当时，＝，为增函数，因此不正确．③，由图形及其上面，利用对称性可得：＝，因此正确；6.【答案】D【考点】指数函数的图象与性质【解析】在已知函数图象中作直线然后由各交点向轴作垂线，很容易可以得出【解答】此题暂无解答7.【答案】C【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：令，，，0≤x ≤arctan 2f(x)=tan x 12arctan 2<x <π2△OBE f(x)−S 矩形OABM S △OME 2−EM ⋅OM 122−2tan x x =π2f(x)2<x ≤π−arctan 2π2f(x)2−2tan x π−arctan 2<x ≤πf(x)4−×1×tan(π−x)124+tan x 12f()=tan =π312π33–√2<x ≤π−arctan 2π2f(x)2−2tan x π−arctan 2<x ≤πf(x)4+tan x 12∀x ∈[0,]π2f(x)+f(π−x)4x =1y b <a <1<d <cf(x)=+x −42x f(1)=2+1−4<0f(2)=+2−4>022y =f(x)[1，2]又曲线在上不间断.故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）8.【答案】C,D【考点】三角函数的恒等变换及化简求值正弦函数的对称性【解析】首先把函数的关系式，利用三角函数的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质求出函数的周期，对称轴，对称中心的应用求出结果．【解答】解：．，，由于只有时，函数，，所以是的整数倍，故选项错误；，当时，，故选项错误；，利用诱导公式，故选项正确；，当时，，故选项正确．故选．9.【答案】A,C,D【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】y =f(x)[1，2]C f(x)=3sin x cos x +3x −+13–√sin 233–√2=sin 2x +−+1323(1−cos 2x)3–√233–√2=sin 2x −cos 2x +13233–√2=3sin(2x −)+1π3A T ==π2π2sin(2x −)=0π3f(x)=1−=x 1x 2π2−x 1x 2π2A B x =3π4f()3π4=3sin(−)+1=−3π2π312B C f(x)=3sin(2x −)+1π3=3cos(2x −)+15π6C D x =−π12f(−)=3sin(−−)+1=−3+1π12π6π3=−2D CD此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】B,C,D【考点】抽象函数及其应用【解析】利用赋值法求出的值，进而可以证明函数的奇偶性以及单调性，再利用赋值法求出＝，即可求解．【解答】令＝＝可得：＝，则＝，令＝，则＝，即＝＝，所以函数是奇函数，正确，任取，则＝，因为，所以，则，即，所以函数是上的单调递增函数，错误，又＝，则＝-，则＝，＝，正确，不等式可化为：，因为函数单调递增，所以，解得，正确，故选：．11.【答案】A,C【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】结合奇偶性及单调性的定义，再结合指数与对数函数，幂函数及余弦函数的性质即可判断．【解答】解；结合幂函数的性质可知为偶函数且在上单调递减，符合题意；结合指数函数的性质可知，＝在上单调递增，不符合题意；f(0)f(−3)−1x y 0f(0)f(0)+f(0)f(0)0y −x f(x −x)f(x)+f(−x)f(0)f(x)+f(−x)0f(x)C <∈R x 1x 2f()−f()x 1x 2f(−)x 1x 2<x 1x 2−<0x 1x 2f(−)<0x 1x 2f()<f()x 1x 2f(x)R A f(1)f(−1)f(−3)−1f(−6)−2B f(x)+f(x −3)≥−1f(2x −3)≥f(−3)2x −3≥−3x ≥0D BCD y =x 2−−√3(−∞,0)y (12)|x|(−∞,0)(−∞,0)1结合对数函数的性质可知，＝上单调递减且为偶函数，符合题意；结合正弦函数的性质可知＝为奇函数，不符合题意．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）12.【答案】＝【考点】一次函数的性质与图象【解析】根据平移的性质，向上平移几个单位的值就加几．【解答】由题意得：向上平移个单位后的解析式为：＝＝．13.【答案】【考点】两角和与差的三角函数二倍角的三角函数【解析】利用两角和的正弦公式可得 ，平方可得 ，由此解得 的值．【解答】∵，即 ，平方可得 ，解得 ，14.【答案】y log (−∞,0)121|x |y sin x y 2x +1b 5y 2x −4+52x +1−79sin θ+cos θ=2–√22–√213+sin 2θ=121219sin 2θsin(+θ)=π413sin θ+cos θ=2–√22–√213+sin 2θ=121219sin 2θ=−7912【考点】扇形面积公式【解析】设出扇形的半径，求出扇形的面积，再在直角三角形中求出高，计算直角三角形的面积，由条件建立等式，解此等式求出与的关系，即可得出结论．【解答】解：设扇形的半径为，则扇形的面积为，直角三角形中，，的面积为，由题意得，∴，∴．故答案为：．15.【答案】【考点】基本不等式及其应用函数的最值及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：设，则，∴PB tan ααr α12r 2POB PB =r tan α△POB r ×r tan α12r ×r tan α=2×α1212r 2tan α=2α=αtan α12126m =n =−1a 2−−−−−√−4b 2−−−−−√a =,b =+1m 2−−−−−−√+4n 2−−−−−√=(a +b)2+−1a 2−−−−−√−4b 2−−−−−√++2aba 2b 2m +n=++5+2⋅m 2n 2+1m 2−−−−−−√+4n 2−−−−−√m+n=++5+2m 2n 2+(4+)+4m 2n 2m 2n 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√m +n≥++5+2m 2n 2+2m 2n 24+4m 2n 2−−−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−−−−√m +n =++5+2(mn +2)m 2n 2m +n =(m +n +9)2m +n(m +n)+≥2=6−−−−−−−−−−−−−，当且仅当，易知，即当时，等号成立，因此，的最小值为.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 11 分 ，共计55分 ）16.【答案】【考点】分段函数的应用【解析】先求出，再分和两种情况分析求解即可.【解答】解：，由于，则，若，即，有，解得，舍去；若，即，有，解得，综上所述，.故答案为：.17.【答案】原式＝＝＝．=(m +n)+≥2=69m +n (m +n)⋅9m +n −−−−−−−−−−−−−√m +n =9m +nm +n >0m +n =3(a+b)2+−1a 2−−−−−√−4b 2−−−−−√6612f （）=−b 5652−b <152−b ≥152f （）=3×−b =−b 565652f (f ())=456f (−b)=452−b <152b >323×（−b ）−b =452b =78−b ≥152b ≤32=42−b 52b =12b =1212sin sin(+)−sin(−)cos 25∘180∘35∘270∘25∘35∘sin (−sin )−(−cos )cos 25∘35∘25∘35∘cos cos −sin sin 25∘35∘25∘35∘cos(+)=cos 60=25∘35∘12+tan 7π原式．【考点】两角和与差的三角函数【解析】（1）直接利用诱导公式的应用和特殊角三角函数的值的应用求出结果．（2）利用三角函数关系式的恒等变换和诱导公式的应用及和角公式的运用求出结果．【解答】原式＝＝＝．原式．18.【答案】（1）由题意知，每年需付出的费用是以为首项，为公差的等差数列，求得＝＝．（2）设超市第年后开始盈利，盈利为万元，则，由，得，解得，，故＝．即第年开始盈利．Ⅲ年平均盈利为．当且仅当，即＝时，年平均盈利最大．故经过年经营后年平均盈利最大，最大值为万元．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】Ⅰ由题意知，利用等差数列的通项公式求解即可．Ⅱ设超市第年后开始盈利，盈利为万元，列出不等式求解即可．Ⅲ列出年平均盈利的表达式，通过基本不等式转化求解即可．【解答】（1）由题意知，每年需付出的费用是以为首项，为公差的等差数列，==tan(+)=tan =tan(π−)=−tan =−tan +tan π47π121−tan tan π47π12π47π125π6π6π63–√3sin sin(+)−sin(−)cos 25∘180∘35∘270∘25∘35∘sin (−sin )−(−cos )cos 25∘35∘25∘35∘cos cos −sin sin 25∘35∘25∘35∘cos(+)=cos 60=25∘35∘12==tan(+)=tan =tan(π−)=−tan =−tan +tan π47π121−tan tan π47π12π47π125π6π6π63–√3124a n +4(n −1)a 14n +8n y y =50n −[12n +×4]−72=−2+40n −72n(n −1)2n 2y >0−20n +36<0n 22<n <18n ∈N n 33()=−2n −+40=−2(n +)+40≤−2×2+40=16y n 72n 36n n ⋅36n−−−−−√n =36n n 6696()()n y ()124+4(n −1)求得＝＝．（2）设超市第年后开始盈利，盈利为万元，则，由，得，解得，，故＝．即第年开始盈利．Ⅲ年平均盈利为．当且仅当，即＝时，年平均盈利最大．故经过年经营后年平均盈利最大，最大值为万元．19.【答案】由图可知＝，，所以＝，又因为＝，可得，则＝，所以＝＝＝＝．令，解得，，所以单调增区间为：．令，解得，所以对称中心为：．【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】（1）根据图象可求得＝，＝，，所以＝，进而求得＝；（2）令，求得单调增区间为：；令，求得对称中心为：．【解答】由图可知＝，，所以＝，又因为＝，可得，则＝，所以＝＝＝＝a n +4(n −1)a 14n +8n y y =50n −[12n +×4]−72=−2+40n −72n(n −1)2n 2y >0−20n +36<0n 22<n <18n ∈N n 33()=−2n −+40=−2(n +)+40≤−2×2+40=16y n 72n 36n n ⋅36n −−−−−√n =36n n 6696A 2T =−345π6π12ω2f()π122∅=π3f(x)2sin(2x +)π3g(x)f(x)cos 2x 2sin(2x +)cos 2x π32(sin 2x +cos 2x)cos 2x 123–√2sin 2x cos 2x +2x =sin 4x +cos 4x +=sin(4x +)+3–√cos 2123–√23–√2π33–√2−+2kπ≤4x +≤+2kππ2π3π2−+≤x ≤+5π24kπ2π24kπ2k ∈Z g(x)[−+,+](k ∈Z)5π24kπ2π24kπ24x +=kππ3x =−+π12kπ4(−+,)(k ∈Z)π12kπ43–√2A 2ω2∅=π3f(x)2sin(2x +)π3g(x)sin(4x +)+π33–√2−+2kπ≤4x +≤+2kππ2π3π2g(x)[−+,+](k ∈Z)5π24kπ2π24kπ24x +=kππ3(−+,)(k ∈Z)π12kπ43–√2A 2T =−345π6π12ω2f()π122∅=π3f(x)2sin(2x +)π3g(x)f(x)cos 2x 2sin(2x +)cos 2x π32(sin 2x +cos 2x)cos 2x 123–√22x cos 2x +2x =sin 4x +cos 4x +=sin(4x +)+–√–√–√．令，解得，，所以单调增区间为：．令，解得，所以对称中心为：．20.【答案】解：，①当时，，则在上单调递增；②当时，令，解得： ，或舍），令，解得，∴在上单调递增，在上单调递减．综上所述，当时，在上单调递增；当时，在 上单调递增，在上单调递减．【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】求出，分和分类讨论导数的大小，即可得到函数的单调性.【解答】解：，①当时，，则在上单调递增；②当时，令，解得： ，或舍），令，解得，∴在上单调递增，在上单调递减．综上所述，当时，在上单调递增；当时，在 上单调递增，在上单调递减．sin 2x cos 2x +2x =sin 4x +cos 4x +=sin(4x +)+3–√cos 2123–√23–√2π33–√2−+2kπ≤4x +≤+2kππ2π3π2−+≤x ≤+5π24kπ2π24kπ2k ∈Z g(x)[−+,+](k ∈Z)5π24kπ2π24kπ24x +=kππ3x =−+π12kπ4(−+,)(k ∈Z)π12kπ43–√2(x)=x +f ′a x a >0(x)>0f ′f (x)(0,+∞)a <0(x)>0f ′x >−a −−−√x <−(−a −−−√(x)<0f ′0<x <−a −−−√f (x)(,+∞)−a −−−√(0,)−a−−−√a >0f (x)(0,+∞)a <0f (x)(,+∞)−a −−−√(0,)−a −−−√(x)=x +f ′a xa >0a <0(x)=x +f ′a x a >0(x)>0f ′f (x)(0,+∞)a <0(x)>0f ′x >−a −−−√x <−(−a −−−√(x)<0f ′0<x <−a −−−√f (x)(,+∞)−a −−−√(0,)−a−−−√a >0f (x)(0,+∞)a <0f (x)(,+∞)−a −−−√(0,)−a −−−√。
2024-2025学年江苏省南通市海安高级中学高三上学期9月月考数学试题及答案
江苏省海安中学2025届高三年级学习测试数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的1.已知集合{}{}20,1,2,3,log 1A B xx ==≤∣，则A B ⋂=（ ）A.{}0,1,2B.{}1,2C.{}0,1D.{}12.命题“20,10x x x ∀>-+>”的否定为（ ）A.20,10x x x ∀>-+≤B.20,10x x x ∀≤-+≤C.20,10x x x ∃>-+≤D.20,10x x x ∃≤-+≤3.已知函数()21,0cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩，则下列结论正确的是（ ）A.()f x 是偶函数B.()f x 是增函数C.()f x 是周期函数D.()f x 的值域为[)1,∞-+4.若a b >，则（ ）A.ln ln a b >B.0.30.3a b >C.330a b ->D.0a b ->5.已知函数()()1ln 1f x x x=+-，则()y f x =的图象大致是（ ）A. B.C. D.6.如图，矩形ABCD 的三个顶点A B C ､､分别在函数12,,xy y x y ===的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为（）A.11,24⎛⎫⎪⎝⎭ B.11,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.11,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭7.已知()912160,0,log log log a b a b a b >>==+，则ab=（ ）C.128.已知()()5,15ln4ln3,16ln5ln4a b c ==-=-，则（ ）A.a c b <<B.c b a <<C.b a c <<D.a b c<<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求､全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分9.下列函数中，在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的函数是（ ）A.πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.cos y x x=-C.sin2y x =D.πcos 3y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭10.下面的结论中正确的是（ ）A.若22ac bc >，则a b >B.若0,0a b m >>>，则a m ab m b+>+C.若110,0,a b a b a b>>+=+，则2a b +≥D.若20a b >>，则()44322a b a b +≥-11.已知函数()cos sin2f x x x =，下列结论中正确的是（ ）A.()y f x =的图像关于()π,0中心对称B.()y f x =的图像关于π2x =对称C.()f xD.()f x 既是奇函数，又是周期函数三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()321f x g x x x -=+-，则()()11f g +=__________.13.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为__________.14.若存在实数t ，对任意的(]0,x s ∈，不等式()()ln 210x x t t x -+---≤成立，则整数s 的最大值为__________.（参考数据：ln3 1.099,ln4 1.386≈≈）四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题13分）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90,6,A BC D E ∠== ､分别是,AC AB 上的点，CD BE O ==为BC 的中点.将ADE 沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-，其中AO =（1）求证：A O '⊥平面BCDE ；（2）求点B 到平面A CD '的距离.16.（本题15分）设数列{}n a 的各项均为正整数.（1）数列{}n a 满足1121212222n n n n a a a a n --++++= ，求数列{}n a 的通项公式；（2）若{}n a 是等比数列，且n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列，求公比q .17.（本题15分）已知函数()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在2π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在2π,π3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，设()0,0x 为曲线()y f x =的对称中心.（1）求0x 的值；（2）记ABC 的角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，若0cos cos ,6A x b c =+=，求BC 边上的高AD 长的最大值.18.（本题17分）已知函数()()e ln xf x x m =-+.（1）当0m =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）当2m ≤时，求证()0f x >.19.（本题17分）在平面内，若直线l 将多边形分为两部分，多边形在l 两侧的顶点到直线l 的距离之和相等，则称l 为多边形的一条“等线”，已知O 为坐标原点，双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,,F F E 的离心率为2，点P 为E 右支上一动点，直线m 与曲线E 相切于点P ，且与E 的渐近线交于,A B 两点，当2PF x ⊥轴时，直线1y =为12PF F 的等线.（1）求E 的方程；（2）若y =是四边形12AF BF 的等线，求四边形12AF BF 的面积；（3）设13OG OP =，点G 的轨迹为曲线Γ，证明：Γ在点G 处的切线n 为12AF F 的等线江苏省海安中学2025届高三年级学习测试数学试卷答案解析人：福佑崇文阁一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.12345678BCDCBADB二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.91011ACACDABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.11-14.2四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【详解】（1）解：（1）连接,,45,3OD OE B C CD BE CO BO ∠∠====== ，在COD 中，OD ==，同理得OE =，因为6BC =，所以AC AB ==所以AD A D A E AE ='==='因为AO =所以222222,A O OD A D A O OE A E '+=='+''所以,A O OD A O OE'⊥⊥'又因为0,OD OE OD ⋂=⊂平面,BCDE OE ⊂平面BCDE 所以A O '⊥平面BCDE ；（2）取DE 中点H ，则OH OB ⊥以O 为坐标原点，,,OH OB OA '所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系则()(()()0,0,0,,0,3,0,1,2,0O A C D --'，设平面A CD '的一个法向量为(),,n x y z =，又((),1,1,0CA CD ==' ，所以300n CA y n CD x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪'⎩，令1x =，则1,y z =-=，则(1,n =-，又()()0,3,0,0,6,0B CB =，所以点B 到平面A CD '16.【详解】（1）因为1121212222n n n na a a a n --++++= ，①所以当2n ≥时，1121211222n n a a a n --+++=- ，②由①-②得，12nn a =，所以2nn a =，经检验，当1n =时，12a =，符合题意，所以2nn a =（2）由题设知0q >.若1q =，则1,n n a a a n n n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是递减数列，符合题意.若1q <，则当1log q n a >时，11nn a a q =<，不为正整数，不合题意.若1q >，则()()1111n n n qn n a a a n n n n +⎡⎤-+⎣⎦-=++，当1qn n >+，即11n q >-时，11n n a a n n +>+，这与n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列相矛盾，不合题意.故公比1q =.17.【详解】（1）因为()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭在2π(0,}3上单调递增，在2π,π3⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，所以2π13f ⎛⎫=⎪⎝⎭且4π3T ≥，所以2πππ2π,362k k ω⋅+=+∈Z ，可知13,2k k ω=+∈Z ，又由2π4π3ω≥，可知302ω<≤，所以12ω=，故()1πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由1ππ,26x m m +=∈Z ，可得π2π3x m =-，即0π2π,3x m m =-∈Z .（2）22222201()2362cos cos 2222b c a b c bc a bc a A x bc bc bc+-+----=====，化简得2363a bc =-，因为11sin 22ABC S a AD bc A =⋅=，所以AD =，所以()22223()3()44363bc bc AD a bc ==-，又b c +≥，所以9bc ≤，当且仅当3b c ==时取等号，所以()22223()3327363436343634499()bc AD bc bc bc ==≤=-⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以AD ≤，故AD.18.【详解】（1）当()()10,e ln ,e xxm f x x f x x==--'=，所以()1e 1k f '==-，而()1e f =，切线方程为()()e e 11y x -=--，即所求切线方程为()e 110x y --+=；（2）()f x 得定义域为()()1,,e xm f x x m∞='-+-+，设()()1e xg x f x x m='=-+，则()21e 0()xg x x m '=+>+，故()f x '是增函数，当x m →-时，(),f x x ∞∞→-→+'时，()f x ∞'→+，所以存在()0,x m ∞∈-+，使得001e x x m=+①，且()0,x m x ∈-时，()()0,f x f x '<单调递减，()0,x x ∞∈+时，()()0,f x f x '>单调递增，故()()0min 00()e ln xf x f x x m ==-+②，由①式得()00ln x x m =-+③，将①③两式代入②式，结合2m ≤得：min 000011()20f x x x m m m m x m x m =+=++-≥-=-≥++，当且仅当01x m =-时取等号，结合（2）式可知，此时()00e 0x f x =>，故()0f x >恒成立.19.【详解】（1）由题意知()()212,,,0,,0b P c F c F c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，显然点P 在直线1y =的上方，因为直线1y =为12PF F 的等线，所以222212,2,b ce c a b a a -====+，解得1a b ==，E 的方程为2213y x -=（2）设()00,P x y ，切线()00:m y y k x x -=-，代入2213y x -=得：()()()2222200000032230k xk kx y x k x y kx y -+--+-+=，故()()()22222000000243230k kx y kkx y kx y ⎡⎤-+-+-+=⎣⎦，该式可以看作关于k 的一元二次方程()22200001230x k x y k y --++=，所以000002200031113x y x y x k x y y ===-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，即m 方程为()001*3y y x x -=当m 的斜率不存在时，也成立渐近线方程为y =，不妨设A 在B 上方，联立得A B x x ==，故02A B x x x +==，所以P 是线段AB 的中点，因为12,F F 到过O 的直线距离相等，则过O 点的等线必定满足：,A B 到该等线距离相等，且分居两侧，所以该等线必过点P ，即OP的方程为y =，由2213y y x ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故P .所以03A A y ====，所以03B B y ====-，所以6A B y y -=，所以1212122ABCD A B A B S F F y y y y =⋅-=-=（3）设(),G x y ，由13OG OP =，所以003,3x x y y ==，故曲线Γ的方程为()229310x y x -=>由（*）知切线为n ，也为0093133x y y x -=，即00133y y x x -=，即00310x x y y --=易知A 与2F 在n 的右侧，1F 在n 的左侧，分别记12,,F F A 到n 的距离为123,,d d d ，由（2）知000011A A x y y y x x ===--，所以3d 由01x ≥得12d d ==因为231d d d +==，所以直线n 为12AF F .等线.。
江苏省海门市2025届高三第三次测评数学试卷含解析
江苏省海门市2025届高三第三次测评数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．把函数()sin 2(0)6f x A x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()()0g x m m ->是偶函数，则实数m 的最小值是（ ）A ．512πB ．56π C ．6π D ．12π2．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42B ．21C ．7D ．33．已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．(2,)+∞B ．2)C ．D ．4．已知函数()2()2ln (0)f x a e x x a =->，1,1D e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若所有点(,())s f t ，(,)s t D ∈所构成的平面区域面积为2e 1-，则a =（ ）A ．eB ．1e 2- C ．1 D ．2e e - 5．已知集合{}10A x x =+≤，{|}B x x a =≥，若A B R =，则实数a 的值可以为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．2-6．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()22125x y -+-=的圆心，则11m n+的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．若2332a b a b +=+，则下列关系式正确的个数是（ ） ①0b a << ②a b = ③01a b <<< ④1b a << A ．1B ．2C ．3D ．48．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（ ）A ．84B ．54C ．42D ．189．若集合{}10A x x =-≤≤，01xB x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ）A ．[)1,1-B ．(]1,1-C ．()1,1-D ．[]1,1-10．已知双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，过原点作一条倾斜角为π3直线分别交双曲线左、右两支P ，Q 两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为( ) A ．21+B ．31+C ．2D ．511．在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，152AC =-，则AC 边上的高为（ ） A ．52B ．2C ．5D ．15212．若函数()xf x e =的图象上两点M ，N 关于直线y x =的对称点在()2g x ax =-的图象上，则a 的取值范围是（ ） A ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,)e -∞C ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,)e二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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【高三数学优质试卷原创精品】第六周 三角函数与解三角形测试时间： 班级： 姓名： 分数： 试题特点：为配合一轮复习,精选2016年全国地高考试题和模拟试题,结合江苏高考的考情和实际,进行合理的组合与精心改编,重在检测三角函数与解三角形这两章的基础知识和基本方法.试题具有针对性强、覆盖性广、效度和信度高等特点.本套试卷重点考查集合的运算、命题及真假性的判断、充要条件等。
在命题时，注重考查基础知识、基本方法和基本技能等；注重考查知识之间的网络交汇，同时注重转化化归、函数方程、数形结合、分类整合的数学思想和方法的运用和考查。
讲评建议：评讲试卷时除了要对试题中的基础知识、基本方法和基本技能的揭示之外，还要注重对三角函数的图像和性质、三角变换、解三角形等知识的深刻理解和综合运用上，特别对于一些综合性的问题要充分进行分析和解析，深入理解题设中蕴含的数学思想和方法。
通过练和评的过程提高对所学知识的理解，评讲时应予以重视。
一、填空题（每题5分,共70分）1．函数y ＝2sin(3x ＋π6)的最小正周期为 ．【答案】2π3【解析】试题分析：根据函数()sin()f x A x ωϕ=+的最小正周期是2T πω=可得.考点：三角函数的周期.2．角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则)cos(απ-的值是 ▲ 【答案】55- 【解析】试题分析：由已知cosα==，cos()cos παα-=-=. 考点：三角函数的定义，诱导公式.3．已知α为第三象限角,且tan 2α=,则sin 2α= ．【答案】45【解析】试题分析：2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 15ααααααα===++. 考点：1.同角三角函数的基本关系式；2.二倍角公式. 4．函数()2sin()(0,f x x ωϕω=+>且||)2πϕ<的部分图像如图所示,则(0)f 的值为 .【答案】考点：三角函数图像与性质5．已知442cos sin ,(0,)32πααα-=∈，则2cos(2)3πα+= ．【答案】 【解析】试题分析：4422cos sin cos 233ααα-=⇒=，而(0,)2πα∈，2(0,)απ∈，所以sin 2α=，21cos(2)cos 2232πααα+=--=考点：二倍角公式，两角和余弦公式6．已知函数2()21f x x ax =-+，若存在(,)42ππϕ∈，使(sin )(cos )f f ϕϕ=，则实数a的取值范围____▲_____.【答案】(2, 【解析】试题分析：由题意sin cos 2a ϕϕ+=，2(sin cos ))4a πϕϕϕ=+=+，因为(,)42ππϕ∈，所以3(,)424πππϕ+∈，sin()4πϕ+∈，从而(2,a ∈.考点：二次函数的对称性，三角函数的值域. 7．已知1sin cos 2αα=+，且(0,)2πα∈，则cos 2sin()4απα-的值为 ▲ ．【答案】考点：1.同角三角函数的关系式；2.二倍角公式；3.两角和差的正弦；8．若将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向左平移π6个单位长度后，与函数cos()4y x p w =+的图象重合，则ω的最小值为_____________. 【答案】3 【解析】试题分析：由题意sin[()]sin()cos()64464x x x πππωππωωω++=++=+，2,62k k Z ωπππ=+∈，最小的正数3(0)k ω==.考点：三角函数图象平移，诱导公式. 9．已知函数),20)(6sin()(<<+=ωπωx x f 若,1)32(=πf 则函数)(x f y =的最小正周期为 ▲ . 【答案】4π 【解析】 试题分析：22()sin()1336f πππω=⋅+=,所以22,()362k k Z πππωπ⋅+=+∈，由此可得：13()2k k Z ω=+∈，又因为02ω<<，所以令0k =得2ω=，所以函数()y f x =的最小正周期24T ππω==.考点：三角函数的性质.10．锐角ABC △中角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,4,5a b ==, ABC △的面积为则c = ．【解析】试题分析：由4,5a b ==, ABC △的面积为可得145sin 2C ⨯⨯⨯=所以sin C =又ABC △是锐角三角形,所以1cos 2C =,所以c ==.考点：1.三角形面积公式；2.余弦定理.11．平面内四点,,,O A B C 满足4,0OA OB OC OB OC ===⋅=,则ABC ∆面积的最大值为 ． 【答案】15考点：1.三角形面积；2.向量. 12．将函数)0)(3sin(2)(>+=ωπωx x f 的图象向右平移3πω个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,]4π上为增函数，则ω的最大值为 ．【答案】2 【解析】试题分析：由题意得：()2sin(())2sin()33g x x x ππωωω=-+=，因为()y g x =在[0,]4π上为增函数，所以0242ππωω≤⋅≤⇒≤，即ω的最大值为2考点：三角函数图像变换与性质13．已知π()3sin(2)6f x x =-，若存在π(0,)2α∈，使()()f x f x αα+=--对一切实数x 恒成立，则α= ． 【答案】12π考点：三角函数的性质.14．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 成等比数列，则sin sin BA的取值范围是 ．【答案】 【解析】试题分析：由条件得2b ac =，不妨设a b c ≤≤，则2b c a b a =<+，即2210b ba a--<，1b a ≤；同理得当a b c ≥≥时，2b b c b a a +=+>，2210b b a a +->1b a<≤．而sin sin B b A a =，∴sin sin B A 的取值范围是． 考点：正弦定理，等比数列 二、解答题（每题15分，共90分） 15．(本小题满分15分)已知(2sin ,sin cos )m x x x =-，(3cos ,sin cos )n x x x =+，记函数()f x m n =⋅. （1）求函数()f x 取最大值时x 的取值集合；（2）设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()2f C =，c =求ABC∆面积的最大值.【答案】(1) ,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；(2)【解析】试题分析：（1）由()f x m n =⋅，化简得()2sin(2)6f x x π=-，由三角函数的有界性得()2f x ≤，()f x 取得最大值2，此时sin(2)16x π-=，即22,()62x k k Z πππ-=+∈，故,3x k k Z ππ=+∈，所以函数()f x 取最大值时x 的取值集合,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；试题解析：（1）由题意，得()3sin 2cos 22sin(2)6f x m n x x x π=⋅=-=-，当()f x 取最大值时，即sin(2)16x π-=，此时22()62x k k Z πππ-=+∈，所以x 的取值集合为,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. （2）因()2f C =，由（1）得sin(2)16C π-=，又0C π<<，即112666C πππ-<-<， 所以262C ππ-=，解得3C π=，在ABC ∆中，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得223a b ab ab =+-≥，所以1sin 2ABC S ab C ∆=≤，所以ABC ∆面积的的最大值为考点：1.平面向量的数量积运算；2.余弦定理；3.三角形的面积公式. 16．（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作角α和β，0,,,22ππαβπ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,其终边分别交单位圆于A B ，两点．若A B ，两点的横坐标分别是53，102-． 试求（1）αtan ，βtan 的值； （2）AOB ∠的值．【答案】（1）34tan =α，7tan -=β；（2）4π【解析】试题分析：（1）由三角函数定义得：3cos ,cos 5αβ==，4sin ,sin 5αβ==，因此34tan =α，7tan -=β；（2）因为AOB ∠βα=-，所以先求tan()βα-，由47tan tan 3tan()141tan tan 1(7)3βαβαβα----===++-⨯得4παβ=-.（2）因为134)7(1347tan tan 1tan tan )tan(tan =⨯-+--=+-=-=∠αβαβαβAOB ，…………12分又因为20πα<<，πβπ<<2，所以παβ<-<0， 所以4παβ=-．………14分考点：三角函数定义，两角差正切公式 17．（本小题满分15分）ABC ∆的内角,A B 满足2cossin 22A B A Ba i j +-=+(单位向量,i j 互相垂直),且6||a =．⑴求tan tan A B 的值； ⑵若sin A =,边长2a =,求边长c ． 【答案】⑴13⑵c =【解析】试题分析：⑴由6||a =,可得cos()cos()2A B A B -+=,展开化简得tan tan A B =13；⑵先求出2tan 3A =,1tan 2B =,再求得sin C =再利用正弦定理可得c =.(2)由(1)可知,AB 为锐角．因为sin A =,所以2tan 3A =,1tan 2B =,tan tan 7tan tan()1tan tan 4A B C A B A B +=-+=-=--,sin C =因为正弦定理sin sin a cA C=,=,所以边长c =．考点：1.向量；2.三角变换；3.正弦定理. 18．（本小题满分15分）已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<，其图像经过点1(,)32M π，且与x 轴两个相邻的交点的距离为π． （1）求()f x 的解析式；（2）在△ABC 中，a ＝13，3()5f A =，5()13f B =，求△ABC 的面积． 【答案】（1）()cos f x x =；（2）84. 【解析】试题分析：本题主要考查三角函数的图象、诱导公式、平方关系、两角和的正弦公式、正弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由图象与x 轴两个相邻的交点的距离为π，得到2T π=，利用2T πω=，计算ω，再代入特殊点M ，解出ϕ的值，从而得到函数()f x 的解析式，最后利用诱导公式化简即可；第二问，结合第一问的结论，先求出()f A 、()f B ，即cos A 、cos B 的值，再利用平方关系解出sin A 和sin B 的值，再利用两角和的正弦公式求sin C ，利用直线定理求出边b ，最后利用三角形面积公式计算面积.试题解析：（1）依题意知，2T π=，∴1ω=，∴()sin()f x x ωϕ=+ (2)分∵1()sin()332f ππϕ=+=，且0ϕπ<< ∴4333πππϕ<+< ∴536ππϕ+= 即2πϕ=……5分∴()sin()cos 2f x x x π=+=． ………6分注意：不写φ的范围，直接得φ的值扣1分，f (x )的解析式不化简不扣分．考点：三角函数的图象、诱导公式、平方关系、两角和的正弦公式、正弦定理、三角形面积公式.19．（本小题满分15分）在△ABC ，角C B A ,,的对边分别为,,,c b a 已知.cos 2sin ,31cos B A C == （1） 求B tan 的值；（2）若,5=c 求△ABC 的面积.【答案】. 【解析】试题分析：(1)先求sin C 的值，再用角,B C 的正、余弦值表示sin A ，代入已知式可求tan B . (2)由tan B 求出sin B ，再用正弦定理及三角形内角和求出边b 和sin A ，用面积公式求之即可.试题解析：（1）因为1cos 3C =，()0,C π∈，所以sin C =． ………………………2分 因为πA B C ++=，所以()sin sin A B C =+1sin cos cos sin sin 3B C B C B B =+=+，…………5分由题意1sin 3B B B =，所以1sin 3B B =，所以tan B =7分 （2）由（1）知tan B =sin B =，cos B =．…………………………9分 由正弦定理得sin sin b cB C=，所以b == …………………………11分又sin A B ==， ……………………………………………………………12分所以11sin 22S bc A ===14分 考点：1.正弦定理的应用；2.三角公式变换；3.三角形内角和定理及面积公式.20．（本小题满分15分）如图，摩天轮的半径OA 为50m ，它的最低点A 距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m 的景观带MN ，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM ＝60m ．点P 从最低点A 处按逆时针方向转动到最高点B 处，记AOP ＝， ∈(0，π)． （1）当＝23时，求点P 距地面的高度PQ ；（2）试确定 的值，使得MPN 取得最大值．【答案】（1）75m ；（2） ＝ 2．【解析】 试题分析：（1）当23πθ=时，要求PQ 的长度，这个具体的位置，方法较多，可用解直角三角形的方法，如25050sin()32PQ ππ=+-，当然我们也可以OA 为x 轴正半轴，借助三角形函数的定义，则有5050cos PQ θ=-；（2）要求MPN 的最大值，可以通过求tan MPN ∠的最大值来求得，而tan tan()MPN QPN QPM ∠=∠-∠，这里的线段有AQ ＝50sin ，从而MQ ＝60－50sin ，NQ ＝300－50sin ，PQ ＝50－50cos ，由两角差正切公式可把tan MPN ∠表示为θ的函数，然后利用函数的知识求得最大值.试题解析：（1）由题意，得PQ ＝50－50cos ． 从而，当 ＝23 时，PQ ＝50－50cos 23＝75． 即点P 距地面的高度为75m ． ………………………… 4分（2）（方法一）由题意，得AQ ＝50sin ，从而MQ ＝60－50sin，NQ ＝300－50sin ． 又PQ ＝50－50cos ，所以tan NPQ ＝NQ PQ ＝6－sin 1－cos ，tan MPQ ＝MQ PQ ＝6－5sin 5－5cos． ………………………… 6分从而tan MPN ＝tan(NPQ －MPQ )＝tan NPQ －tan MPQ 1＋tan NPQ tan MPQ ＝6－sin 1－cos － 6－5sin 5－5cos 1＋6－sin 1－cos × 6－5sin 5－5cos＝12(1－cos )23－18sin －5cos． ………………………… 9分 令g ( )＝12(1－cos )23－18sin －5cos， ∈(0，π)，则g ()＝12×18(sin ＋cos －1)(23－18sin －5cos )2 ， ∈(0，π)． 由g ()＝0，得sin ＋cos －1＝0，解得 ＝ 2．………………………… 11分 当 ∈(0，2)时，g ( )＞0，g ( )为增函数；当 ∈(2，)时，g ( )＜0，g ( )为减函数， 所以，当 ＝ 2时，g ( )有极大值，也为最大值． 因为0＜MPQ ＜NPQ ＜2，所以0＜MPN ＜2， 从而当g ( )＝tanMPN 取得最大值时，MPN 取得最大值． 即当 ＝ 2时，MPN 取得最大值． ………………………… 14分 （方法二）以点A 为坐标原点，AM 为x 轴建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为 x 2＋(y －50)2＝502，即x 2＋y 2－100y ＝0，点M (60，0)，N (300，0)． 设点P 的坐标为 (x 0，y 0)，所以Q (x 0，0)，且x 02＋y 02－100y 0＝0．从而tan NPQ ＝NQ PQ ＝300－x 0y 0 ，tan MPQ ＝MQ PQ ＝60－x 0y 0． ………………………… 6分（下同方法一）考点：应用题，三角函数的定义，三角函数的最值，两角和与差的正（余）弦、正切公式.。