大学物理上册(本一)期中考试卷解答

2004级大学物理(上)期中考试卷解答2005.4

一、填空题（每空2分，共50分）

1.一质量为

2.0 kg 的质点在XOY 平面内运动，其运动函数为：t x 32-=，37t t y -=(SI)，则第一秒内质点的平均速度为

=v ρs m j i /)63(ρρ+-；质点在任意时刻的的速度=v ρj t i ρρ)37(32-+-；第二秒末质点受合外力的大小为

__24N___；方向为负y 方向。

解：m i r ρρ2)0(=，m j i r )61()1(ρρρ+-=，Δt = 1s ，s m j i t r r v /)63()0()1(ρρρρρ+-=?-= j t i dt r d v ρρρρ)37(32-+-==， j t dt

v d a ρρρ6-==，j mt a m F ρρρ6-==， t = 2s 时 N j j F ρρρ24226-=??-= 2.汽车在半径为400m 的圆弧形弯道上减速行驶。设在某一时刻，汽车的速

率为10m/s,切向加速度的大小为2/2.0s m a t =。汽车的法向加速度

a n=__0.25m/ s 2 __,总加速度大小为a = __0.32m/ s 2 __。（清华1.21）

解：a n=400

102

2=r v =0.25m/ s 2， a =222.025.0+=0.32m/ s 2 3.一人由停着的电动楼梯走上楼需90s ，当他站在开动着的电动楼梯上楼时需60 s ，问他由开动着的电动楼梯走上楼需要___36____ s 。 解：设楼梯长度为 l 。

人上楼梯的速度v /= l / 90，电动楼梯上升的速度u = l / 60

人在开动着的电动楼梯走上楼时的速度v = v ’+ u = l / 90+ l / 60 = l /36 t = l / v = 36 s

4.一质量为80kg 的人乘降落伞下降，向下的加速度为2.5m/s 2，降落伞的质

量为5kg 。则空气向上作用在降落伞上的力F=_621（或638_）_N ，人向下作用在降落伞上的力F=___584_（或600）__N 。

解：设空气向上的作用力为F ，人的质量 M ，降落伞的质量为m ；

由（M+m ）g －F=（M+m ）a ，得：F=（M+m ）(g －a)=85(9.8－2.5)=620.5N 设伞对人的作用力为f ，有：Mg －f =Ma ， f =M(g －a)=584N

（若g=10 m/s 2，则F=637.5N ，f=600N ）

5.一质量为m 的小球,以速率为v o 、与水平面夹角为60°的仰角作斜抛运动，不计空气阻力，小球从抛出点到最高点这一过程中所受合外力的冲量大小为 02

3mv 、冲量的方向是 竖直向下。小球在最高点时的切向加速度____0_____，法向加速度___g______。

解：I =I y = 0－m v o sin 60 = 02

3mv -，方向竖直向下（重力方向） 6.一质量为m 的质点在指向圆心的平方反比力F= －k / r 2的作用下,作半径为r 的圆周运动（r,m,k 已知）。此质点的角动量L =mkr 。若取距圆心无穷远处为势能零点,它的势能Ep = r k -；它的机械能又为E =r

k 2-。 解：由22r

k r v m =，得 ：r 2m 2v 2 =mkr ，即：L= rmv =mkr 势能：r k dr r

k E r P -=-=?∞

)(2，动能：r k mv E K 2212== 所以r k E E E P K 2-=+= 7.用绳子将一质量为m 的物体以g/4的加速度放下一段距离d ，绳子对物体所作的功A=_-3mgd/4_。

解：由mg －F = ma ，得：F = mg －ma =3mg/4，所以mgd r F A 4

3-=??=ρρ

8. 质量m=2千克的物体，以初速v o=10米/秒沿x 轴正方向运动，受到与速率成正比的阻力f 的作用，f = －v /2 (SI),则当它速度降至5米/秒时，它前进的距离x =___20m____；在这段路程中阻力所做的功A f =__－75J___。 解：dt dx v dt dv m 212-=-=，两边消去dt 移项后积分：??-=5

10

02dv m dx x 解得：)(20522)105(2m m x =??=--=

J mv mv A 75)105(22

1212122202-=-=-= 9. 飞轮的转动惯量为J,在t=0时角速度为ω0,此后飞轮经历制动过程。阻力矩M 的大小与角速度ω的平方成正比,比例系数K>0。当ω=ω0 /4时,飞轮

的角加速度β=J k 1620ω-，从开始制动到ω=ω0/4所经过的时间t=0

3ωJ k 。 解：由M =－k ω2

=J β，得：J k 2

ωβ-=。 当ω=ω0 /4时，J k 1620ωβ-= 由2ωωk dt d J -=，得到：0

004/203)14(00ωωωωωωωk J k J d k J dt t t =-=-==??? 10. 用不稳定粒子的平均寿命能最直接地揭示相对论的时间膨胀现象。一个新生的π介子在静止时，只存在2.603×10-8

秒就发生衰变。若不考虑相对论效应，即使它以光速c 飞行，在衰变前其飞行距离也仅为___7.809m _米；而在实际中，当实验室测得一个以0.91c 飞行的新生π介子，却能留下___17.2m _____米的飞行轨迹才发生衰变。（C=3×108米/秒）

解：不考虑相对论效应，x =c τ=3×108×2.603×10-8= 7.809m

考虑相对论效应，根据时间膨胀效应，有：

s c u t 828210278.691.0110603.2)/(1--?=-?=-==τ

γτ

所以x =0.91×3×108×6.278×10-8= 17.2m

11. 静止物体，它的质量m 0=1千克，若它相对观察者以0.6c 速度飞行时，则观察者观测到它的质量m =___1.25kg_，动能E K =2.25×1016J 。

解：kg c u m m m 25.16.011)/(1220

0=-=-==γ

J C m m E k 1628201025.2)103(25.0)(?=??=-=

二、计算题（每题10分，共50分）

1. 一质点从p 点出发，以匀速率0.1m/s 沿顺时针

向做圆周运动（如图），圆周的半径为1m 。求当它

走过3/4圆周时的瞬时速度以及这一过程内的位移、

路程、平均速度。并写出该质点的运动函数。

解：瞬时速度s m i v /1.0ρρ=；位移为))(()0()(m j i i j r t r r ρρρρρρρ+-=-=-=?

路程s=R π24

3=4.71m ，这一过程所需时间为Δt = s/v = 4.72/0.1=47.2s 平均速度s m j i j i t r v /)021.0021.0()(2

.471ρρρρρρ+-=+-=??= 因为角位移R vt -

=θ， 运动函数j R vt i R vt r ρρρ)sin()cos(-+-=j t i t ρρ)1.0sin()1.0cos(-= 2.质量为10×10－3kg 的小球从h o=0.256m 的高度处由静止落到水平桌面上，反弹后最大上升高度h =0.196m 。问小球与桌面碰撞时对桌面作用的冲量是多少？如果小球与桌面的接触时间是0.01秒，求小球对桌面的平均冲力。

解：取y 轴向上

s m gh v /24.2256.08.92200=??==

s m gh v /96.1196.08.922=??==

小球受到的冲量为：I= m[v －(－vo)]=10×10－3(1.96+2.24) =0.042kgm/s 由I t mg N =?-)(，=+?=mg t

I N =F I /Δt +mg = 4.3N 小球对桌面的平均冲力为：N N N 3.4=-='

3. 如图刚体由长为l 质量为m 的均匀细杆和一质量为m 的小球牢固连接在杆的一端而成。可绕杆的另一端点的水平轴转动。先将杆拉至水平位置，然后将其释放。忽略轴的摩擦求：

（1） 刚体绕0轴的转动惯量;

（2） 与竖直方向成θ角时，刚体的角速度ω，角加速度。

解：(1)2223

43ml ml ml J =+= 由于该系统只有重力做功，机械能守恒定律，所以：

22

1cos cos 2ωθθJ mgl l mg =+ ，解得：l g J mgl 4cos 9cos 3θθω== (2)由转动定律M=J β，有：βθθJ mgl l mg =+sin sin 2，解得：l

g 8sin 9θβ= 4. 如图所示，两物体质量分别为m 1和m 2，定滑轮的质量为m ，半径为r ，可视作均匀圆盘。已知m 2与桌面间的滑动摩擦系数为

u k ，求m 1下落的加速度和两段绳子中的张力各是多

少?设绳子和滑轮间无相对滑动，滑轮轴受的摩擦力

忽略不计。

解：m 1g-T 1= m 1a (1)

T 2- u k m 2g = m 2a (2)

ββ22121)(mr J r T T ==- (3)

(3)改写成：T 1-T 2 = ma/2，

(1)+(2)+(3)得：m 1g - u k m 2g =（m 1+ m 2+m/2）a

解得： g m m m m u m a k 2

/2121++-= 2

/2/)(2122111m m m m m u m g m a g m T k +++-=-= 2/2/)(2111222m m m m m u m g

m g u a m T k k ++++=-= 5. 一根米尺静止在S'系中，与O'X'轴成30°角，如果在S 系中测得该尺与OX 轴成60°角，则S'系相对于S 系的速度u 是多少？从S 系 测得该尺的长度是多少？

解：在S /系中测得该尺在x / 方向的长度为2/330cos '==x , 在y /方向的长度为y /= sin 30 = 0.5m

在S 系中测量:x= y= y /= 0.5m ，x= y/tg 60°=6

3 m y x l 33)63(2

12222=+=+= 根据长度缩短效应，有：2

)/(1'c u x x -= ，即：212363??? ??-=c u 解得：c c u 94.0322==