函数对称性与周期性

补充：函数对称性与奇偶性的综合应用

一、知识点讲解：奇偶性及其拓展——对称性

二、例题讲解：

1.【利用奇偶性、对称性求值】

【例1】（2019·江西省分宜中学高三月考（理）

）已知函数()y f x =的定义域为()(),11,-∞+∞，且(1)f x +为奇函数，当1x <时，2

()2f x x

x =--，则1

()2

f x =

的所 有根之和等于（ ）

A ．4

B ．5

C ．6

D ．12

【例2】．（2020·全国课时练习）已知定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且(1)f x +为偶函数，若(3)1f =，则不等式(21)1f x +<的解集为（ ）

A ．(1,1)-

B ．(1,)-+∞

C ．(,1)-∞

D ．(,1)

(1,)-∞-+∞

【例3】(2018全国卷Ⅱ)已知是定义域为的奇函数，满足, 若，则 A ． B ．0 C ．2 D ．50

2．【奇偶性、对称性与零点问题】

【例4】(2016全国卷II) 已知函数满足，若函数与 图像的交点为，，…，，则

A ．0

B ．m

C ．2m

D ．4m

【例5】（2020·湖北高三）已知是定义域为的偶函数，且满足，

()f x (,)-∞+∞(1)(1)-=+f x f x (1)2=f (1)(2)(3)(50)++++=…f f f f 50-()()f x x ∈R ()()2f x f x -=-1

x y x

+=()y f x =()11x y ，()22x y ，()m m x y ，()1

m

i

i

i x y =+=∑()f x R ()(2)f x f x =-

当时，，则在上零点的个数为（ ） A ．9

B ．10

C ．18

D ．20

【例6】（2019·贵州凯里一中高一期中）已知函数(1)2y f x =+-是奇函数，21

()1

x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，

，66(,)x y ，则

126126x x x y y y ++

++++

+=( )

A ．0

B ．6

C ．12

D ．18

三、巩固练习：

1.（2020·全国高三二模）定义在上的奇函数满足，若

，，则（ ）

A ．

B ．0

C ．1

D ．2

2（2020·河南新乡县一中期末（理））已知函数()f x ()R x ∈满足(2)(4)f x f x +=-，若

函数2

61y x x =-+与()y f x =的图象的交点为()()()()112233,,,,,,

,,n n x y x y x y x y ，

则123n x x x x +++

+=（ ）

A ．3n

B ．2n

C ．n

D ．0

3（2020·江苏鼓楼·高二期中）已知函数()y f x =的图像既关于直线1x =对称，又关于点

()2,0对称，且当[0,1]x ∈时，()2020

x

f x =

，则()2020f =（ ） A ．

3

2020

B ．

1

2020

C ．

11010

D ．0

4．【2016高考新课标2理数】已知函数满足，若函数

与图像的交点为则（ ）

A.0

B.

C.

D.

[0,1]x ∈()f x x =4

()()12x F x f x x

+=+

-[9,10]-R ()f x ()()330f x f x --+-=()11f =()22f =-()()()()1232020f f f f +++

+=1-()()f x x ∈R ()2()f x f x -=-1x y x +=()y f x =1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅1

()m

i i i x y =+=

∑m 2m 4m

5．若的图像是中心对称图形，则( )

A ．4

B ．

C ．2

D ． 6．（2019·安徽金安·六安一中高一月考）已知函数()f x 的定义在R 上的奇函数，当

[]0,1x ∈时，()f x 单调递减，且满足()()11f x f x +=-，则（ ）

A ．()()()123f f f <<

B ．()()()231f f f <<

C ．()()()321f f f <<

D ．()()()132f f f <<

7．（2020·天水市第一中学高二月考）已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）=f （2−x ），若函数 y=|x 2

−2x−3|与y=f （x ）图像的交点为（x 1,y 1），（x 2,y 2），…，（x m ,y m ），则

1

=m

i i x =∑

A ．0

B ．m

C ．2m

D ．4m

8．（2019·山西省静乐县第一中学校月考）定义域为R 的奇函数()y f x =的图象关于直线

2x =对称，且(2)2018f =，则(2018)(2016)f f +=

A ．4034

B ．2020

C ．2018

D ．2 9．（2019·山东潍坊·高一期中）已知函数()f x 满足(2)(2)6f x f x -++=，

31

()2

x g x x -=

-，且()f x 与()g x 的图像交点为()11,x y ，()22,x y ，…，()88,x y ，则128128x x x y y y ++

++++

+的值为( )

A ．20

B ．24

C ．36

D ．40

10．（2019·江苏清江浦·淮阴中学高一期中）已知函数()y f x =在[]0,2上单调递增，且函数(2)f x +是偶函数，则下列结论成立的是（ ）

A ．5

7(1)()()22

f f f <<

B ．75()()(1)22

f f f <<

C ．75()(1)()22

f f f <<

D ．57()(1)()22

f f f <<

11．（2020·全国高一专题练习）已知()3

4f x ax bx =+-其中a ，b 为常数，若

()()()

4f x x a x a x =+-+-a =43-

23

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