2019年高考数学理科全国1卷19题-解析几何说题
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2019年高考数学理科全国1卷19题说题
已知抛物线2:3C y x =的焦点为F ，斜率为3
2
的直线l 与C 的交点分别为,A B ，与x 轴
的交点为P 。
（1）若||||4AF BF +=，求l 的方程. （2）若3AP PB =u u u r u u u r
，求||AB
【背景】本题是2019年高考数学理科全国1卷19题。对比往年的圆锥曲线大题，可见今年理科的圆锥曲线大题有降低难度、减少运算量的趋势。
【分析】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用。解题的第一个关键是能通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系；第二个关键是要善用转化与化归思想：用抛物线的定义转
化||||4AF BF +=，用相似三角形或线性运算破译3AP PB =uuu r uu u r
。本题的第一问来自于教
材，稍高于教材，是2018年全国二卷圆锥曲线大题的改编题，第二问是个常规题型，在椭圆、双曲线及抛物线都出过很多类型题：
题源1：【2018年全国I 理8】设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且
斜率为2
3的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅u u u u r u u u r = （ ）
A 。5
B 。6
C 。7
D 。8
题源2：【2018年全国Ⅱ卷理】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为
(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =。
（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程。 【解法分析】 （1）设直线l ：3,2y x t =
+1122(,),(,),A x y B x y 由抛物线定义得1252
x x +=； 联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于t 的方程，解方程求得结果； （2）设直线l ：2
,3
x y m =
+联立直线方程与抛物线方程，利用3AP PB =u u u r u u u r 可得123,y y =-结合韦达定理求出123,1y y ==-；根据弦长公式可求得结果. 【参考解法】
解法1：（1）设直线与轴交于，方程为
2
由
2
2
3
3
x y m
y x
⎧
=+
⎪
⎨
⎪=
⎩
得2230
y y m
--=，设
112
(,),(,
A x y
B x y
1212
23
y y y y m
+==-
，，=4120
m
∆+>
12
323
||||=4
232
AF BF x x y y m
+=++=
12
（+)+2+
得
7
=
12
m，因此直线l的方程为
27
,
31228
x y y
=+=
即
（2）由3
AP PB
=
u u u r u u u r
，得
12
3,
y y
=-又
12
2
y y
+=，
从而
22
32,
y y
-+=故
12
3,1
y y
==-，
代入C的方程得
12
1
3,
3
x x
==，故得A(3,3),
1
(,1)
3
B-,
故||
3
AB=
解法2：设直线l的方程为
3
,
2
y x t
=+1122
(,),(,),
A x y
B x y
由题设得
3
(,0)
4
F，故
12
3
||||
2
AF BF x x
+=++，由题设得
12
5
2
x x
+=
由
2
3
2
3
y x t
y x
⎧
=+
⎪
⎨
⎪=
⎩
，得22
912(1)40
x t x t
+-+=，
则22
=144(-1)494144(12)0
t t t
∆-⨯⨯=->，
12
4
(1)
3
x x t
+=--
从而
45
(1)
32
t
--=，得
7
8
t=-
因此直线l的方程即
37
28
y x
=-
（2）由（1）22
912(1)40
x t x t
+-+=，得
12
4
(1)
3
x x t
+=--
1122
222
,0),(,),(,)
333
P t AP t x y PB t x y
-=---=+
u u u r u u u r
又（
由3
AP PB
=
u u u r u u u r
,得
21
2
23=
3
t x t x y y
+--
12
，=-3
可得
21
22
=1+)=2
33
x t x t
--
（，
l x(,0)
P m