液体的平衡微分方程式

容器中液面是一个斜平面。
z
25
图2.3.4 容器中的平衡液体
26
X= -a g
a
x
图2.3.5 容器中的平衡液体受力分析
27
X= -a
来自百度文库
等压面 a g x
图2.3.6 容器中的平衡液体等压面形状
28
10
z
p
p dy y 2
A
dz
p
p d y y 2
dx dy O y
表面力 设形心点坐标为 A=A(x,y,z) ，边长为dx,dy,dz
x
图2.2.4 平衡液体中的微元体放大示意 侧面中心点 压强
（p p dy ) y 2
面积
d xd z
11
左侧面
（x , y
dy , z) 2
则dp （Xdx Ydy Zdz）=dU
dp＝ dU
积分上式，则
p＝U C
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2.2.3 等压面
等压面
液体中压强相等的点连成的面（曲面，或平面）
21

平衡液体中等压面就是等势面
p＝constant dp 0 dU 0
对于不可压缩液体，ρ= 常数，故在 等压面上 p = constant，即 dU =0 , U = constant 。
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2.2 液体的平衡方程
2.2.1 液体平衡微分方程
2.2.2 质量力性质 2.2.3 等压面
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p p p dp dx dy dz （Xdx Ydy Zdz） x y z
若存在一个与坐标有关 的函数U(x,y,z)，使质量力 的分量等于这个函数的偏 导数，即
物理意义
静水压强沿某方向的变化率 与该方向单位体积的质量力相等
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液体平衡微分方程形式 2
p X x p Y y p Z z
× dx
× dy
× dz
+)
p p p dp dx dy dz （Xdx Ydy Zdz） x y z
左侧面 底侧面
p dz p dz )dxdy （p )dxdy Zdxdydz 0 z 2 z 2 14
上侧面
p dx p dx （p )dydz （p )dydz Xdxdydz 0 x 2 x 2 p dy p dy （p )dxdz （p )dxdz Ydxdydz 0 y 2 y 2 p dz p dz （p )dxdy （p )dxdy Zdxdydz 0 z 2 z 2
x
13
z
图2.2.4 平衡液体中的微元体放大示意
p dy p y 2
A
dz
p
p d y y 2
dx dy O y
前侧面
后侧面
x
（p （p （p p x p y dx )dydz （p 2 dy )dxdz （p 2 p dx )dydz Xdxdydz 0 x 2 p dy 右侧面 )dxdz Ydxdydz 0 y 2
2.2.1 液体平衡微分方程
2.2.2 质量力性质
4
液体处于平衡状态时，作用于微元液体上
的各种力与空间坐标之间的微分关系。
5
泰勒展开式
1 f ( x ) f ( x 0 ) f ' ( x 0 )( x x 0 ) f ' ' ( x 0 )( x x 0 )2 ... 2! x x0
右侧面
（x , y
dy , z) 2
p dy （p ) y 2
d xd z
z
p dy p y 2
A
Y
dx
dz
p
p d y y 2
X
Z
dy
O
y
x
图2.2.4 平衡液体中的微元体放大示意
质量力
x : Xdxdydz y : Ydxdydz z : Zdxdydz
12
z
p dy p y 2
U X x U Y y U Z z
则U(x,y,z)称为力势函数，满足上式关系的力称 为有势力，如重力和惯性力都是有势力。
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U U U dU ( x, y, z ) dx dy dz Xdx Ydy Zdz x y z
x
图2.2.4 平衡液体中的微元体放大示意
平衡液体中取一块平行六面微元体，并放大
9
z
p dy p y 2
A
dz
p
p d y y 2
dx
dy
O y
x
图2.2.4 平衡液体中的微元体放大示意
该六面体在质量力和表面力的作用下处于平衡。
设形心点坐标： A = A(x,y,z) ，边长：dx,dy,dz
x O x0-δ x0 x0+δ
图2.2.1 泰勒展开式示意
6
在平衡液体中取一块平 行六面微元体，其他形状
也可以，但六面体方便。
图2.2.2 平衡液体示意
7
在平衡液体中取一 块平行六面微元体。
图2.2.3 平衡液体中的微元体
8
z
p dy p y 2
A
dz
p
p d y y 2
dx dy O y
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等压面和质量力正交
dp （Xdx Ydy Zdz） =0 Xdx Ydy Zdz =0
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例 1 液体绝对静止问题
在静止状态下，作用于液体上的质量力
只有重力，那么就局部范围，等压面一定是
一个水平面；就大范围讲，等压面是一个处
处与地心正交的曲面。
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例2 等加速运动容器中液体的相对平衡
2 水静力学
1
2.1 静水压强及其特性 2.2 液体的平衡微分方程式 2.3 重力作用下的液体平衡 2.4 压强的度量与量测 2.5 作用于平面上的静水总压力
2.6 作用于曲面上的静水总压力
2
2.2 液体的平衡微分方程
2.2.1 液体平衡微分方程 2.2.2 质量力性质
2.2.3 等压面
3
2.2 液体的平衡方程
以ρdxdydz 除上式、并化简，则
p X x p Y y p Z z
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液体平衡微分方程形式 1
p X x p Y y p Z z
欧拉平衡微分方程 瑞士学者（Euler） 1775年首先提出的
A
dz
p
p d y y 2
dx
dy
O y
图2.2.4 平衡液体中的微元体放大示意
p dx p dx （p )dydz （p )dydz Zdx d ydz 0 考虑y方向微元体的受力平衡，则 x 2 x 2 p d y p dy （p )dxdz （p )dxdz Ydx d ydz 0 y 2 y 2