高考数学一轮复习练习-解三角形及其综合应用

§5.4解三角形及其综合应用

基础篇固本夯基

【基础集训】

考点一正弦定理和余弦定理

1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin A=3sin B,c=√5,且cos C=5

6

,则a=() A.2√2 B.3 C.3√2 D.4

答案B

2.若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsin 2A=asin B,且c=2b,则a

b

等于()

A.3

2B.4

3

C.√2

D.√3

答案D

3.在△ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2-√3bc=a2,bc=√3a2,则角C的大小是()

A.π

6或2π

3

B.π

3

C.2π

3

D.π

6

答案A

4.若△ABC的面积为√3

4(a2+c2-b2),且∠C为钝角,则∠B=;c

a

的取值范围是.

答案π

3

;(2,+∞)

5.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)·sin C.

(1)求A的大小;

(2)若sin B+sin C=1,试判断△ABC的形状.

解析(1)由已知,结合正弦定理,

得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc.

又a2=b2+c2-2bccos A,

所以bc=-2bccos A,即cos A=-1

2

.

由于A为三角形的内角,所以A=2π

3

.

(2)已知2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C,

结合正弦定理,

得2sin2A=(2sin B+sin C)sin B+(2sin C+sin B)sin C,

即sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C=sin22π

3=3

4 .

又由sin B+sin C=1,

得sin2B+sin2C+2sin Bsin C=1, 解得sin B=sin C=1

2

,

因为0

所以B=C=π6

,

所以△ABC 是等腰三角形.

考点二 解三角形及其综合应用

6.在△ABC 中,三边长分别为a,a+2,a+4,最小角的余弦值为1314

,则这个三角形的面积为( )

A.

15√3

4

B.154

C.

21√3

4

D.

35√3

4

答案 A

7.如图所示,为了测量A,B 两处岛屿间的距离,小张以D 为观测点,测得A,B 分别在D 处的北偏西30°、北偏东30°方向,再往正东方向行驶40海里到C 处,测得B 在C 处的正北方向,A 在C 处的北偏西60°方向,则A,B 两处岛屿间的距离为( )

A.20√3 海里

B.40√3 海里

C.20(1+√3)海里

D.40海里 答案 B

8.设锐角△ABC 的三个内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且c=1,A=2C,则△ABC 周长的取值范围为( ) A.(0,2+√2) B.(0,3+√3) C.(2+√2,3+√3) D.(2+√2,3+√3] 答案 C

9.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上,行驶600 m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m.

答案 100√6

综合篇知能转换

【综合集训】

考法一 利用正、余弦定理解三角形

1.(2019湖南四校调研联考,10)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且sinA sinB+sinC +b

a+c

=1,则

C=( )

A.π6

B.π3

C.2π3

D.5π6

答案 B

2.(2020届福建建瓯芝华中学高三暑假学习效果检测,7)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若△ABC 的面积为a 2+b 2-c 2

4

,则

C=( )

A.π2

B.π3

C.π4

D.π6

答案 C

3.(2019上海金山二模,7)已知△ABC 中,tan A=14,tan B=3

5,AB=√17.求:

(1)角C 的大小;

(2)△ABC 中最短边的边长. 解析

(1)tan C=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-tanA+tanB

1-tanAtanB =-14+3

51-14×

35=-1,

所以C=3π4

.

(2)因为tan A

,所以sin A=√17

17

.

又

BC sinA =AB

sinC

, 所以

BC=AB ·sinA sinC

=√17×√17

17√2

2

=√2.

故△ABC 中最短边的边长为√2.

考法二 三角形形状的判断

4.(2020届山东济宁二中10月月考,8)在△ABC 中,若sin A=2sin Bcos C,a 2

=b 2

+c 2

-bc,则△ABC 的形状是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 答案 A

5.(2018湖南师大附中12月月考,6)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,若bcosC ccosB =1+cos2C

1+cos2B

,则△ABC 的形状是( )

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.等腰三角形或直角三角形 答案 D

6.(2018江西南城一中期中,6)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若tanA -tanB tanA+tanB =c -b

c

,则这个三角形必含有(

)

A.90°的内角

B.60°的内角

C.45°的内角

D.30°的内角 答案 B

考法三 与三角形的面积、范围有关的问题

7.(2020届内蒙古杭锦后旗奋斗中学第一次月考,18)在△ABC 中,∠A=60°,c=3

7

a. (1)求sin C 的值; (2)若a=7,求△ABC 的面积.

解析 (1)在△ABC 中,因为∠A=60°,c=37a,所以由正弦定理得sin C=csinA a =37×√32=3√3

14

. (2)因为a=7,所以c=3

7

×7=3.

由余弦定理a 2

=b 2

+c 2

-2cbcos A 得72

=b 2

+32

-2b×3×12,得b=8或b=-5(舍).所以△ABC 的面积S=12bcsin A=12×8×3×√3

2

=6√3.

8.(2019江西临川一中12月月考,17)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c,且2csin B=3atan A. (1)求

b 2

+c 2

a 2

的值; (2)若a=2,求△ABC 的面积的最大值.

解析 (1)2csin B=3atan A ?2csin Bcos A=3asin A ?2bc ·cos A=3a 2

,

即2bc ·b 2

+c 2-a 22bc

=3a 2,∴b 2+c 2=4a 2

, 则

b 2+

c 2

a 2

=4. (2)∵a=2,∴b 2

+c 2

=16,∴cos A=b 2+c 2-a 22bc =6

bc

. 又b 2

+c 2

≥2bc,即8≥bc,

当且仅当b=c 时,取等号, ∴cos A ≥68=3

4

. 由cos A=6bc 得bc=6

cosA

, 则A ∈(0,π2

),

∴S △ABC =12

bcsin A=3tan A.

∵1+tan 2

A=1+sin 2A cos 2A =cos 2A+sin 2A cos 2A =1

cos 2A

, ∴tan A=√

1cos 2A -1≤√169-1=√73

, ∴S △ABC =3tan A ≤√7,

故△ABC 的面积的最大值为√7.

考法四 解三角形的实际应用

9.(2018福建莆田月考,8)A 在塔底D 的正西面,在A 处测得塔顶C 的仰角为45°,B 在塔底D 的南偏东60°处,在塔顶C 处测得B 的俯角为30°,A 、B 间距84米,则塔高为( ) A.24米 B.12√5 米 C.12√7 米 D.36米 答案 C

10.(2018河北石家庄摸底考试,17)某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE,其中三角形区域ABE 为生活区,四边形区域BCDE 为教学区,AB,BC,CD,DE,EA,BE 为学校的主要道路(不考虑宽度).∠BCD=∠CDE=2π

3

,∠BAE=π3

,DE=3BC=3CD=910

km. (1)求道路BE 的长度;

(2)求生活区△ABE 的面积的最大值.

解析 (1)如图,连接BD,在△BCD 中,BD 2

=BC 2

+CD 2

-2BC ·CDcos ∠BCD=

27100,∴BD=3√3

10

(km).

∵BC=CD,∠BCD=2π3

,

∴∠CBD=∠CDB=π-2

3π2=π

6

.

又∠CDE=2π3,∴∠BDE=π2

.

∴在Rt △BDE 中,BE=√BD 2+DE 2

=(3√310

)2

(910

)2

=3√3

5

km.

故道路BE 的长度为

3√3

5

km. (2)设∠ABE=α,∵∠BAE=π3

, ∴∠AEB=2π3

-α. 在△ABE 中,AB sin ∠AEB =AE sin ∠ABE =BE sin ∠BAE =3√35sin π3

=6

5

,

∴AB=65

sin (

2π3-α)km,AE=6

5

sin α km. ∴S △ABE =12AB ·AEsin π3=9√325sin (2π3-α)sin α=9√325·[12sin (2α-π6)+14

]km 2

. ∵0<α<2π3

, ∴-π6

<2α-π6<7π6, ∴当2α-π6=π

2

,

即α=π3时,S △ABE 取得最大值,最大值为9√325×(12+14)=27√3

100

, 故生活区△ABE 面积的最大值为27√3100

km 2.

【五年高考】

考点一 正弦定理和余弦定理

1.(2018课标Ⅱ,6,5分)在△ABC 中,cos C 2=√55

,BC=1,AC=5,则AB=( ) A.4√2 B.√30 C.√29 D.2√5 答案 A

2.(2016天津,3,5分)在△ABC 中,若AB=√13,BC=3,∠C=120°,则AC=( )

A.1

B.2

C.3

D.4 答案 A

3.(2016课标Ⅲ,8,5分)在△ABC 中,B=π4

,BC 边上的高等于13

BC,则cos A=( )

A.

3√10

10

B.

√10

10

C.-

√10

10

D.-

3√10

10

答案 C

4.(2017山东,9,5分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若△ABC 为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是( ) A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 答案 A

5.(2016课标Ⅱ,13,5分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若cos A=45

,cos C=513

,a=1,则b= . 答案

2113

6.(2018浙江,13,6分)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若a=√7,b=2,A=60°,则sin B= ,c= . 答案

√21

7

;3

7.(2019浙江,14,6分)在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D 在线段AC 上.若∠BDC=45°,则BD= ,cos ∠ABD= . 答案 12√25;7√2

10

8.(2019课标Ⅰ,17,12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2

=sin 2

A-sin Bsin C. (1)求A;

(2)若√2a+b=2c,求sin C.

解析 本题主要考查学生对正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换的掌握;考查了学生的运算求解能力;考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.

(1)由已知得sin 2

B+sin 2

C-sin 2

A=sin Bsin C,故由正弦定理得b 2

+c 2

-a 2

=bc. 由余弦定理得

cos A=b 2+c 2-a 22bc =1

2

.

因为0°

(2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得√2sin A+sin(120°-C)=2sin C, 即√62

+√3

2

cos C+1

2

sin C=2sin C,可得cos(C+60°)=-√2

2

.

由于0°

2

,

故sin C=sin(C+60°-60°)=sin(C+60°)cos 60°-cos(C+60°)·sin 60°=

√6+√2

4

.

思路分析 (1)先借助正弦定理将角化为边,然后利用余弦定理求出角A 的余弦值,进而得出角A.(2)利用正弦定理将已知等式中的边化为角,利用三角恒等变换将原式化为含有角C 的正弦、余弦的等式,利用角度变换求出sin C. 9.(2018课标Ⅰ,17,12分)在平面四边形ABCD 中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求cos ∠ADB; (2)若DC=2√2,求BC.

解析 (1)在△ABD 中,由正弦定理得

BD sin ∠A =AB

sin ∠ADB

.

由题设知,

5sin45°=2

sin ∠ADB

,所以sin ∠ADB=√2

5

.

由题设知,∠ADB<90°,所以cos ∠ADB=√1-225=√235

. (2)由题设及(1)知,cos ∠BDC=sin ∠ADB=√2

5

.

在△BCD 中,由余弦定理得BC 2

=BD 2

+DC 2

-2·BD ·DC ·cos ∠BDC=25+8-2×5×2√2×√2

5

=25.

所以BC=5.

10.(2019天津,15,13分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C. (1)求cos B 的值; (2)求sin (2B +π6

)的值.

解析 本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力. (1)在△ABC 中,由

b sinB =c

sinC ,得bsin C=csin B,

又由3csin B=4asin C,得3bsin C=4asin C,即3b=4a. 又因为b+c=2a,得到b=4

3a,c=23

a. 由余弦定理可得

cos B=a 2+c 2-b 22ac =a 2+49a 2-169a 2

2·a ·23

a

=-1

4. (2)由(1)可得sin B=√1-cos 2B =√15

4

,

从而sin 2B=2sin Bcos B=-√15

8

,cos 2B=cos 2

B-sin 2

B=-78

,

故sin (2B +π6

)=sin 2Bcos π6

+cos 2Bsin π6

=-

√15

8

×√32-7

8

×12=-3√5+7

16

. 思路分析 (1)由已知边角关系:3csin B=4asin C 利用正弦定理,得三边比例关系,根据余弦定理即可求出cos B. (2)由(1)利用同角三角函数基本关系式,求出sin B,再由二倍角公式求出sin 2B 、cos 2B,代入两角和的正弦公式即可求出sin (2B +π6

)的值.

11.(2019北京,15,13分)在△ABC 中,a=3,b-c=2,cos B=-12

. (1)求b,c 的值; (2)求sin(B-C)的值.

解析 本题主要考查正弦、余弦定理,同角三角函数的基本关系式,两角差的正弦公式等知识点,考查学生的运算能力. (1)由余弦定理b 2

=a 2

+c 2

-2accos B,得 b 2

=32

+c 2

-2×3×c×(-12

).

因为b=c+2,所以(c+2)2

=32

+c 2

-2×3×c×(-12

).

解得c=5.所以b=7. (2)由cos B=-12

得sin B=√3

2

.

由正弦定理得sin C=c b sin B=

5√3

14

.

在△ABC 中,∠B 是钝角,所以∠C 为锐角. 所以cos C=√1-sin 2C =1114

.

所以sin(B-C)=sin Bcos C-cos Bsin C=

4√3

7

. 12.(2019江苏,15,14分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c. (1)若a=3c,b=√2,cos B=2

3

,求c 的值; (2)若

sinA a =cosB

2b

,求sin (B +π2

)的值.

解析 本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,考查运算求解能力. (1)因为a=3c,b=√2,cos B=23

, 由余弦定理得cos B=a 2+c 2-b 22ac ,得23=(3c)2+c 2-(√2)2

2×3c×c

, 即c 2

=1

3

.所以c=√3

3

.

(2)因为sinA a =cosB

2b

, 由

a sinA =

b sinB ,得cosB 2b =sinB b

,所以cos B=2sin B.

从而cos 2

B=(2sin B)2

,即cos 2

B=4(1-cos 2

B), 故cos 2

B=4

5

.

因为sin B>0,所以cos B=2sin B>0,从而cos B=2√5

5

. 因此sin (B +π2

)=cos B=

2√5

5

. 考点二 解三角形及其综合应用

13.(2019课标Ⅱ,15,5分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π3

,则△ABC 的面积为 . 答案 6√3

14.(2015课标Ⅰ,16,5分)在平面四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB 的取值范围是 . 答案 (√6-√2,√6+√2)

15.(2017浙江,14,6分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D 为AB 延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC 的面积是 ,cos ∠BDC= . 答案

√152

;

√10

4

16.(2017课标Ⅰ,17,12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为a 2

3sinA

. (1)求sin Bsin C;

(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC 的周长.

解析 本题考查正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换,考查学生利用三角形面积公式进行运算求解的能力. (1)由题设得12

acsin B=

a 23sinA ,即12csin B=a

3sinA

.

由正弦定理得12sin Csin B=sinA

3sinA

. 故sin Bsin C=23

.

(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-12

, 即cos(B+C)=-12.所以B+C=2π3,故A=π3

. 由题设得12

bcsin A=

a 2

3sinA

,即bc=8.

由余弦定理得b 2

+c 2

-bc=9,即(b+c)2

-3bc=9,得b+c=√33. 故△ABC 的周长为3+√33.

思路分析 (1)首先利用三角形的面积公式可得12

acsin B=

a 2

3sinA

,然后利用正弦定理,把边转化成角的形式,即可得出sin Bsin C 的

值;(2)首先利用sin Bsin C 的值以及题目中给出的6cos Bcos C=1,结合两角和的余弦公式求出B+C,进而得出A,然后利用三角形的面积公式和a 的值求出bc 的值,最后利用余弦定理求出b+c 的值,进而得出△ABC 的周长. 17.(2016课标Ⅰ,17,12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c. (1)求C;

(2)若c=√7,△ABC 的面积为

3√3

2

,求△ABC 的周长.

解析 (1)由已知及正弦定理得,

2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2分) 2cos Csin(A+B)=sin C. 故2sin Ccos C=sin C.(4分) 可得cos C=12

,所以C=π3

.(6分) (2)由已知,得12

absin C=

3√3

2

. 又C=π3

,所以ab=6.(8分)

由已知及余弦定理得,a 2

+b 2

-2abcos C=7.

故a 2

+b 2

=13,从而(a+b)2

=25.∴a+b=5.(10分)

所以△ABC 的周长为5+√7.(12分)

18.(2018北京,15,13分)在△ABC 中,a=7,b=8,cos B=-17

. (1)求∠A; (2)求AC 边上的高.

解析 (1)在△ABC 中,因为cos B=-17

,所以sin B=√1-cos 2B =4√3

7

. 由正弦定理得sin A=

asinB b =√3

2

. 由题设知π2

<∠B<π,所以0<∠A<π

2

.所以∠A=π3

. (2)在△ABC 中,

因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=

3√3

14

,

所以AC 边上的高为asin C=7×

3√314=3√3

2

. 方法总结 处理解三角形相关的综合题目时,首先,要掌握正弦定理、余弦定理,其次,结合图形分析哪些边、角是已知的,哪些边、角是未知的,然后将方程转化为只含有边或角的方程,最后通过解方程求出边或角.

19.(2018天津,15,13分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acos (B -π6

). (1)求角B 的大小;

(2)设a=2,c=3,求b 和sin(2A-B)的值.

解析 本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力. (1)在△ABC 中, 由

a sinA =b

sinB

,可得bsin A=asin B,

又由bsin A=acos (B -π6

),得asin B=acos (B -π6

), 即sin B=cos (B -π6

),可得tan B=√3. 又因为B ∈(0,π),可得B=π3

.

(2)在△ABC 中,由余弦定理及a=2,c=3,B=π3

, 有b 2

=a 2

+c 2

-2accos B=7,故b=√7.

由bsin A=acos (B -π6

),可得sin A=√3

√7

.

因为a

. 因此sin 2A=2sin Acos A=

4√37,cos 2A=2cos 2

A-1=17.所以,sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B=4√37×12-17×√32=3√314

. 解题关键 (1)利用正弦定理合理转化bsin A=acos (B -π

6

)是求解第(1)问的关键; (2)由余弦定理及已知条件求得sin A,利用a0是求解第(2)问的关键.

教师专用题组

考点一 正弦定理和余弦定理

1.(2015天津,13,5分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为3√15,b-c=2,cos A=-14

,则a 的值为 . 答案 8

2.(2015广东,11,5分)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若a=√3,sin B=12

,C=π6

,则b= . 答案 1

3.(2015重庆,13,5分)在△ABC 中,B=120°,AB=√2,A 的角平分线AD=√3,则AC= . 答案 √6

4.(2015北京,12,5分)在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则

sin2A

sinC

= .

答案 1

5.(2016北京,15,13分)在△ABC中,a2+c2=b2+√2ac.

(1)求∠B的大小;

(2)求√2cos A+cos C的最大值.

解析(1)由余弦定理及题设得cos B=a2+c2-b2

2ac =√2ac

2ac

=√2

2

.

又因为0<∠B<π,所以∠B=π

4

.

(2)由(1)知∠A+∠C=3π

4,∴∠C=3π

4

-∠A.

∴√2cos A+cos C=√2cos A+cos(3π

4

-A)

=√2cos A-√2

2cos A+√2

2

sin A=√2

2

cos A+√2

2

sin A=cos(A-π

4

).

因为0<∠A<3π

4

,

所以当∠A=π

4

时,√2cos A+cos C取得最大值1.

6.(2015安徽,16,12分)在△ABC中,∠A=3π

4

,AB=6,AC=3√2,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.

解析设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=(3√2)2+62-2×3√2×6×cos3π

4

=18+36-(-36)=90,所以a=3√10.

又由正弦定理得sin B=bsin∠BAC

a =

3√10

=√10

10

,

由题设知0

4

,

所以cos B=√1-sin2B=√1-1

10=3√10

10

.

在△ABD中,由正弦定理得AD=AB·sinB

sin(π-2B)=6sinB 2sinBcosB

=3

cosB

=√10.

7.(2015课标Ⅱ,17,12分)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.

(1)求sin∠B

sin∠C

;

(2)若AD=1,DC=√2

2

,求BD和AC的长.

解析(1)S△ABD=1

2

AB·ADsin∠BAD,

S△ADC=1

2

AC·ADsin∠CAD.

因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.

由正弦定理可得sin∠B

sin∠C =AC

AB

=1

2

.

(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=√2. 在△ABD和△ADC中,由余弦定理知

AB 2

=AD 2

+BD 2

-2AD ·BDcos ∠ADB, AC 2

=AD 2

+DC 2

-2AD ·DCcos ∠ADC. 故AB 2

+2AC 2

=3AD 2

+BD 2

+2DC 2

=6.

由(1)知AB=2AC,所以AC=1.

8.(2011课标,17,12分)已知a,b,c 分别为△ABC 三个内角A,B,C 的对边,acos C+√3asin C-b-c=0. (1)求A;

(2)若a=2,△ABC 的面积为√3,求b,c.

解析 (1)由acos C+√3asin C-b-c=0及正弦定理得sin Acos C+√3sin Asin C-sin B-sin C=0. 因为B=π-A-C,所以√3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0. 由于sin C ≠0,所以sin (A -π6)=12

. 又0

.

(2)△ABC 的面积S=1

2bcsin A=√3,故bc=4.

又a 2

=b 2

+c 2

-2bccos A,故b 2

+c 2

=8.

解得b=c=2.

评析 本题考查了正、余弦定理和三角公式,考查了方程的思想.灵活运用正、余弦定理是求解关键.正确的转化是本题的难点.

考点二 解三角形及其综合应用

9.(2014课标Ⅱ,4,5分)钝角三角形ABC 的面积是1

2,AB=1,BC=√2,则AC=( )

A.5

B.√5

C.2

D.1 答案 B

10.(2014课标Ⅰ,16,5分)已知a,b,c 分别为△ABC 三个内角A,B,C 的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC 面积的最大值为 . 答案 √3

11.(2011课标,16,5分)在△ABC 中,B=60°,AC=√3,则AB+2BC 的最大值为 . 答案 2√7

12.(2017天津,15,13分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sin B=35

. (1)求b 和sin A 的值; (2)求sin (2A +π4

)的值.

解析 本小题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角的正弦、余弦公式,两角和的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.

(1)在△ABC 中,因为a>b,故由sin B=35

,可得cos B=45

.由已知及余弦定理,有b 2

=a 2

+c 2

-2accos B=13,所以b=√13. 由正弦定理

a sinA =

b sinB

,得sin A=

asinB b =3√13

13. 所以,b 的值为√13,sin A 的值为3√13

13

. (2)由(1)及a

2√13

13, 所以sin 2A=2sin Acos A=1213

,cos 2A=1-2sin 2

A=-513

.

故sin (2A +π4)=sin 2Acos π4+cos 2Asin π4=

7√2

26

. 方法总结 1.利用正、余弦定理求边或角的步骤:(1)根据已知的边和角画出相应的图形,并在图中标出;(2)结合图形选择用正弦定理或余弦定理求解;(3)在运算和求解过程中注意三角恒等变换和三角形内角和定理的运用.

2.解决三角函数及解三角形问题的满分策略:(1)认真审题,把握变形方向;(2)规范书写,合理选择公式;(3)计算准确,注意符号. 1

3.(2016浙江,16,14分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B. (1)证明:A=2B;

(2)若△ABC 的面积S=a 24

,求角A 的大小.

解析 (1)由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,

故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B, 于是sin B=sin(A-B).

由已知得cos B>0,则B ∈(0,π2

). 又A ∈(0,π),故-π2

(2)由S=a 24

得12

absin C=a 24

,故有sin Bsin C=12

sin 2B=sin Bcos B, 因sin B ≠0,得sin C=cos B. 又B ∈(0,π2

),C ∈(0,π),所以C=π2

±B. 当B+C=π2

时,A=π2

;当C-B=π2

时,A=π4

. 综上,A=π2

或A=π4

.

评析 本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理和三角形面积公式等基础知识,同时考查运算求解能力. 14.(2016山东,16,12分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知2(tan A+tan B)=tanA cosB +tanB

cosA

. (1)证明:a+b=2c; (2)求cos C 的最小值. 解析 (1)由题意知2(

sinA cosA +sinB cosB )=sinA cosAcosB +sinB

cosAcosB

, 化简得2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B, 即2sin(A+B)=sin A+sin B. 因为A+B+C=π,

所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C. 从而sin A+sin B=2sin C. 由正弦定理得a+b=2c. (2)由(1)知c=

a+b

2

, 所以cos C=

a 2+

b 2-c

22ab =

a 2+

b 2-(a+b 2

)2

2ab

=38(a b

+b a

)-14

≥12

,

当且仅当a=b 时,等号成立. 故cos C 的最小值为12

.

评析 本题考查了三角恒等变换、正弦定理和余弦定理及基本不等式,综合性较强,重点考查了化归与转化的思想方法,属中档题. 15.(2015浙江,16,14分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c.已知A=π4

,b 2-a 2

=12

c 2

. (1)求tan C 的值;

(2)若△ABC 的面积为3,求b 的值.

解析 (1)由b 2

-a 2

=12c 2

及正弦定理得sin 2

B-12=12

sin 2

C,所以-cos 2B=sin 2

C.

又由A=π

4,即B+C=34

π,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C, 解得tan C=2.

(2)由tan C=2,C ∈(0,π)得sin C=

2√55,cos C=√5

5

. 又因为sin B=sin(A+C)=sin (π4

+C), 所以sin B=

3√10

10

. 由正弦定理得c=

2√2

3

b, 又因为A=π4,12

bcsin A=3,所以bc=6√2,故b=3.

评析 本题主要考查三角函数及三角恒等变换、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.

16.(2015陕西,17,12分)△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.向量m =(a,√3b)与n =(cos A,sin B)平行. (1)求A;

(2)若a=√7,b=2,求△ABC 的面积.

解析 (1)因为m ∥n ,所以asin B-√3bcos A=0, 由正弦定理,得sin Asin B-√3sin Bcos A=0, 又sin B ≠0,从而tan A=√3, 由于0

.

(2)解法一:由a 2

=b 2

+c 2

-2bccos A 及a=√7,b=2,A=π3

, 得7=4+c 2

-2c,即c 2-2c-3=0,

因为c>0,所以c=3. 故△ABC 的面积为12bcsin A=3√3

2

. 解法二:由正弦定理,得√7

sin π3=2sinB

, 从而sin B=

√21

7

,

又由a>b,知A>B,所以cos B=

2√77

. 故sin C=sin(A+B)=sin (B +π3

)

=sin Bcos π3+cos Bsin π3=

3√21

14

. 所以△ABC 的面积为12

absin C=

3√3

2

. 17.(2015湖南,17,12分)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B 为钝角. (1)证明:B-A=π2

;

(2)求sin A+sin C 的取值范围. 解析 (1)证明:由a=btan A 及正弦定理, 得

sinA cosA =a b =sinA

sinB

, 所以sin B=cos A,即sin B=sin (π2

+A). 又B 为钝角,因此π2+A ∈(π2,π),故B=π2+A,即B-A=π2

. (2)由(1)知,C=π-(A+B)=π-(2A +π2)=π2

-2A>0, 所以A ∈(0,π4

).

于是sin A+sin C=sin A+sin (π2

-2A)

=sin A+cos 2A=-2sin 2

A+sin A+1=-2(sinA -14)2+98

.

因为0

4

,所以0

2

,

因此√2

2

<-2(sinA -14)2+98

≤9

8

.

由此可知sin A+sin C 的取值范围是(

√22,9

8

].

18.(2015四川,19,12分)如图,A,B,C,D 为平面四边形ABCD 的四个内角. (1)证明:tan A 2=

1-cosA

sinA

;

(2)若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan A 2

+tan B 2

+tan C 2

+tan D 2

的值.

解析

(1)证明:tan A 2=sin A

2

cos A 2

=2sin 2A

22sin A 2

cos A 2

=1-cosA sinA

.

(2)由A+C=180°,得C=180°-A,D=180°-B. 由(1),有tan A 2

+tan B 2

+tan C 2

+tan D 2

=

1-cosA sinA +1-cosB sinB +1-cos(180°-A)sin(180°-A)+1-cos(180°-B)

sin(180°-B) =2sinA +2

sinB

.连接BD.

在△ABD 中,有BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·ADcos A,

在△BCD 中,有BD 2

=BC 2

+CD 2

-2BC ·CDcos C, 所以AB 2

+AD 2

-2AB ·ADcos A=BC 2

+CD 2

+2BC ·CDcos A.

则cos A=

AB 2+AD 2-BC 2-CD 22(AB ·AD+BC ·CD)=62+52

-32-422×(6×5+3×4)=3

7

.

于是sin A=√1-cos 2A =√1-(37

)2

=2√10

7

.

连接AC.同理可得

cos B=AB 2+BC 2-AD 2-CD 22(AB ·BC+AD ·CD)=62+32-52-422×(6×3+5×4)=119,

于是sin B=√1-cos 2B =√1-(119

)2

=6√10

19

.

所以,tan A

2

+tan B 2

+tan C 2

+tan D 2

=

2sinA +2sinB =2×72√10+2×196√10=4√103

. 评析 本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查化归与转化等数学思想.

19.(2013课标Ⅰ,17,12分)如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=√3,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90°. (1)若PB=1

2

,求PA;

(2)若∠APB=150°,求tan ∠PBA.

解析 (1)由已知得∠PBC=60°,所以∠PBA=30°.

在△PBA 中,由余弦定理得PA 2

=3+14-2×√3×12cos 30°=74

.故PA=√7

2

.

(2)设∠PBA=α,由已知得∠PAB=30°-α,PB=sin α. 在△PBA 中,由正弦定理得

√3

sin150°=

sinα

sin(30°-α)

,

化简得√3cos α=4sin α.所以tan α=√34,即tan ∠PBA=√3

4

.

思路分析 (1)由已知求出∠PBA,在△PAB 中利用余弦定理求解PA;(2)设∠PBA=α,则∠PAB=30°-α,在Rt △PBC 中求得PB=sin α,然后在△PBA 中利用正弦定理求得tan α.

20.(2013课标Ⅱ,17,12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B. (1)求B;

(2)若b=2,求△ABC 面积的最大值.

解析 (1)由已知及正弦定理得sin A=sin Bcos C+sin C ·sin B.① 又A=π-(B+C),

故sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.② 由①②和C ∈(0,π)得sin B=cos B. 又B ∈(0,π),所以B=π4

.

(2)△ABC 的面积S=1

2

acsin B=√2

4

ac.

由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accosπ

4

.

又a2+c2≥2ac,故ac≤4

2-√2

,当且仅当a=c时,等号成立.

因此△ABC面积的最大值为√2+1.

方法总结求三角形面积的最值时,常利用基本不等式求两边之积的最值,从而确定面积的最值.

【三年模拟】

一、单项选择题(每题5分,共35分)

1.(2019北京朝阳综合练习,4)在△ABC中,B=π

6,c=4,cos C=√5

3

,则b=()

A.3√3

B.3

C.3

2D.4

3

答案B

2.(2020届黑龙江双鸭山一中开学考,3)在△ABC中,a=3,b=5,sin A=1

3

,则sin B=()

A.1

5B.5

9

C.3

5

D.1

答案B

3.(2019上海嘉定(长宁)二模,16)对于△ABC,若存在△A1B1C1,满足cosA

sin A1=cosB

sin B1

=cosC

sin C1

=1,则称△ABC为“V类三角形”.“V类三角形”

一定满足()

A.有一个内角为30°

B.有一个内角为45°

C.有一个内角为60°

D.有一个内角为75°

答案B

4.(2018河北衡水中学4月模拟,11)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos B+√3asin B=b+c,b=1,点D是△ABC的重心,且AD=√7

3

,则△ABC的外接圆的半径为()

A.1

B.2

C.3

D.4

答案A

5.(2018山东济宁二模,12)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acos B-bcos A=2

3

c,则tan(A-B)的最大值为()

A.2√5

5B.√5

5

C.√3

3

D.√3

答案A

6.(2019河南六市3月联考,10)在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若2a-c

b =cosC

cosB

,b=4,则△ABC的面积的最大值为()

A.4√3

B.2√3

C.3√3

D.√3

答案A

7.(2019湘东六校3月联考,5)若△ABC的三个内角满足6sin A=4sin B=3sin C,则△ABC是()

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.以上都有可能

答案C

二、多项选择题(每题5分,共10分)

8.(改编题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是()

A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6

B.△ABC 是钝角三角形

C.△ABC 的最大内角是最小内角的2倍

D.若c=6,则△ABC 外接圆的半径为8√7

7

答案 ACD

9.(改编题)在△ABC 中,根据下列条件解三角形,其中有两解的是( ) A.b=10,A=45°,C=70° B.b=45,c=48,B=60° C.a=14,b=16,A=45° D.a=7,b=5,A=80° 答案 BC

三、填空题(每题5分,共10分)

10.(2019安徽合肥二模,15)在锐角△ABC 中,BC=2,sin B+sin C=2sin A,则中线AD 的长的取值范围是 . 答案 [√3,

√13

2

)

11.(2020届黑龙江双鸭山一中开学考,15)已知A 船在灯塔C 的北偏东85°方向且A 到C 的距离为2 km,B 船在灯塔C 的北偏西65°方向且B 到C 的距离为√3 km,则A,B 两船的距离为 . 答案 √13 km

四、解答题(共60分)

12.(2020届山东夏季高考模拟,18)在△ABC 中,∠A=90°,点D 在BC 边上.在平面ABC 内,过D 作DF ⊥BC 且DF=AC. (1)若D 为BC 的中点,且△CDF 的面积等于△ABC 的面积,求∠ABC; (2)若∠ABC=45°,且BD=3CD,求cos ∠CFB. 解析 (1)因为CD=BD,所以CD=12

BC. 由题设知DF=AC,12

CD ·DF=12

AB ·AC, 因此CD=AB.所以AB=12BC,因此∠ABC=60°. (2)不妨设AB=1,由题设知BC=√2. 由BD=3CD 得BD=

3√24,CD=√2

4. 由勾股定理得CF=3√24,BF=√34

4

. 由余弦定理得

cos ∠CFB=98+178-22×3√24×√344

=5√17

51

. 13.(2020届山东济宁二中10月月考,19)在△ABC 中,a,b,c 分别是角A,B,C 的对边,已知cos 2A-3cos(B+C)=1. (1)求角A 的大小;

(2)若a=√21,b+c=9,求△ABC 的面积.

解析 (1)在△ABC 中,cos(B+C)=cos(π-A)=-cos A, 则由cos 2A-3cos(B+C)=1,得2cos 2

A+3cos A-2=0,

即(2cos A-1)(cos A+2)=0, 解得cos A=12

或cos A=-2(舍去). ∵0

.

(2)由余弦定理,得a 2

=b 2

+c 2

-2bccos π3

,

∵a=√21,b+c=9,

∴21=b 2

+c 2

-bc=(b+c)2

-3bc,即21=81-3bc, 解得bc=20.

∴S △ABC =1

2bcsin A=1

2×20×√3

2

=5√3.

14.(2019上海浦东二模,18)已知向量m =(2sin ωx ,cos 2ωx),n =(√3cos ωx,1),其中ω>0,若函数f(x)=m ·n 的最小正周期为π. (1)求ω的值;

(2)在△ABC 中,若f(B)=-2,BC=√3,sin B=√3sin A,求BA ????? ·BC ????? 的值. 解析 (1)f(x)=m ·n =√3sin 2ωx+cos 2ωx =2sin (2ωx +π6

),

∵f(x)的最小正周期为π,∴T=

2π

2ω

=π,∴ω=1. (2)设△ABC 中角A,B,C 所对的边分别是a,b,c. ∵f(B)=-2,∴2sin (2B +π

6

)=-2, 即sin (2B +π6)=-1,解得B=2π3

. ∵BC=√3,∴a=√3,∵sin B=√3sin A, ∴b=√3a,∴b=3,由

3

sin 2π3

=√3sinA 得sin A=12

,

∵0

3,∴A=π

6,则C=π

6

,∴a=c=√3,

∴BA ????? ·BC ????? =cacos B=-3

2

.

15.(2020届湖南长沙一中第一次月考,17)已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,满足cosA cosB +a b =2c

b

且b=4.

(1)求角B;

(2)求△ABC 周长的最大值. 解析 (1)由cosA cosB +a b =2c b 及正弦定理,得cosAsinB+cosBsinA cosBsinB =2sinC

sinB

, 即

sin(A+B)cosBsinB =2sinC

sinB

,

∵sin(A+B)=sin C ≠0,sin B ≠0,∴cos B=12

, ∵B∈(0,π),∴B=π3

.

(2)在△ABC 中,由余弦定理得b 2

=a 2

+c 2

-2accos B=a 2

+c 2

-ac=16. ∴(a+c)2

=16+3ac ≤16+3(

a+c 2

)2

. 即a+c ≤8,当且仅当a=c 时取等号. ∴△ABC 的周长=a+b+c ≤12, ∴△ABC 周长的最大值为12.

16.(2020届黑龙江哈师大附中9月月考,20)已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,asin A+C

2

=bsin A. (1)求B;

(2)若△ABC 为锐角三角形,且c=1,求△ABC 面积的取值范围.

解析 (1)由asin

A+C

2

=bsin A 及正弦定理可得sin Acos B 2

=sin Bsin A,∵sin A ≠0,

∴cos B 2

=sin B=2sin B 2

cos B 2

?sin B 2=12

(0

. (2)解法一:由

a sinA =c

sinC

得a=

c sinC sin (2π

3-C), ∴S △ABC =12a √32=

√34(

√3

2tanC

+12

)=38

·

1tanC +√38

, 由△ABC 为锐角三角形可得{

0

,0<

2π3

-C <

π2

?π6

tanC <√3, 所以△ABC 面积的取值范围为(

√38

,

√3

2

).

解法二:由余弦定理得b=√a 2-a +1, 由题意得{a 2+1>b 2,

a 2+

b 2>1,b 2+1>a 2?1

2

则S=12a √32=√34

a ∈(

√38

,

√3

2

).

即△ABC 面积的取值范围为(

√38

,

√3

2

).

应用篇知行合一

【应用集训】

1.(2020届湖南长沙一中第一次月考,15)秦九韶是我国南宋著名数学家,在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实,一为从隅,开平方得积”.如果把以上这段文字写成公式就是

S=√14[a 2c 2-(a 2+c 2-b 22

)

2

],其中a,b,c 是△ABC 的内角A,B,C 的对边.若sin C=2sin Acos B,且b 2

,2,c

2

成等差数列,则△ABC 面积S 的最大值为 . 答案

2√5

5

2.(2020届宁夏银川第一次月考,18)如图,在平面直角坐标系xOy 中,角α的顶点是原点,始边与x 轴正半轴重合,终边交单位圆于点A,且α∈(π6,π2

).将角α的终边按逆时针方向旋转π3

,交单位圆于点B.记A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). (1)若x 1=14

,求x 2;

(2)分别过A,B 作x 轴的垂线,垂足依次为C,D.设△AOC 的面积为S 1,△BOD 的面积为S 2若S 1=2S 2,求角α的值.