几何不等式-高中数学知识点讲解
高中数学知识点精讲精析 不等式的基本性质
4.1不等式的基本性质1．不等式的基本性质： ①对称性：a>b b<a; ②传递性：a>b,b>c a>c; ③可加性：a>b a+c>b+c; ④加法法则：a>b,c>d a+c>b+d; ⑤可乘性：a>b,c>0 ac>bc; a>b,c<0 ac<bc; ⑥乘法法则：a>b>0,c>d>0 ac>bd;⑦倒数法则：a>b,ab>0 ; ⑧乘方法则：a>b>0 an>bn;⑨开方法则：a>b>0 ;⑩绝对值不等式的性质： |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 2．基本不等式（以下√表示根号，＾表示指数）如果a 、b 都为实数，那么a 平方+b 平方≥2ab，当且仅当a=b 时等号成立 证明如下： ∵（a-b)^2≥0 ∴a^2+b^2-2ab≥0 ∴a^2+b^2≥2ab如果a 、b 、c 都是正数，那么a+b+c≥3*3√abc,当且仅当a=b=c 时等号成立 如果a 、b 都是正数，那么（a+b ）/2 ≥√ab ，当且仅当a=b 时等号成立。
（这个不等式也可理解为两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数，当且仅当a=b 时等号成立。
）和定积最大：当a+b=S 时，ab≤S^2/4（a=b 取等） 积定和最小：当ab=P 是，a+b≥2√P（a=b 取等）ba 11<⇒nn b a >⇒均值不等式：如果a,b 都为正数，那么√(( a 平方+b 平方)/2)≥（a+b ）/2 ≥√ab≥2/（1/a+1/b)（当且仅当a=b 时等号成立。
）( 其中√(( a 平方+b 平方)/2)叫正数a,b 的平方平均数也叫正数a,b 的加权平均数；（a+b ）/2叫正数a,b 的算数平均数；√ab 正数a,b 的几何平均数；2/（1/a+1/b)叫正数a,b 的调和平均数。
高中数学不等式知识点总结
不等式一、不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>； d b c a d c b a +>+⇒>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(5)倒数法则：ba ab b a 110,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 二、均值不等式1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 2、使用均值不等式的条件：3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即2221122a b a b ab a b++≥≥≥+（当a =b 时取等）例题1、（1）已知a ，b 为正常数，x 、y 为正实数，且1a b+=x y，求x+y 的最小值。
（2） 已知00>>y x ，，且302=++xy y x ，求xy 的最大值．三、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2 （0>a ）的图象))((212x x x x a c bx ax y --=++=))((212x x x x a c bx ax y --=++=c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根 )(,2121x x x x <有两相等实根a bx x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx axR的解集)0(02><++a c bx ax∅ ∅注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 例题2、解关于x 的不等式：12)1(>--x x a 例题3：不等式03)4)(23(22≤+-+-x x x x 的解为（ ）（数轴穿跟法: 奇穿，偶不穿）A ．－1<x ≤1或x ≥2B ．x <－3或1≤x ≤2C ．x =4或－3<x ≤1或x ≥2D ．x =4或x <－3或1≤x ≤2四、含有绝对值的不等式1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离2、则不等式：如果,0>a a x a x ax -<><=>>或|| a x a x ax -≤≥<=>≥或||a x a ax <<-<=><||a x a ax ≤≤-<=>≤||3．当0c >时， ||ax b c ax b c +>⇔+>或ax b c +<-，||ax b c c ax b c +<⇔-<+<；当0c <时，||ax b c x R +>⇔∈，||ax b c x φ+<⇔∈． 4、解含有绝对值不等式的主要方法：①解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；②去掉绝对值的主要方法有：（1）公式法：|| (0)x a a a x a <>⇔-<<，|| (0)x a a x a >>⇔>或x a <-．（2）定义法：零点分段法； （3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方． 例题4：求解不等式：|21||2|4x x ++->．例题5：设p ：x 2－x －20>0,q ：212--x x <0,则p 是q 的 ( )（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 五、其他常见不等式形式总结：①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩ ②无理不等式：转化为有理不等式求解()0()()()0()()f x f x g x g x f x g x ⎧≥⎫⇒⎪⎬>⇔≥⎨⎭⎪>⎩定义域⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f ③指数不等式：转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>④对数不等式：转化为代数不等式()0()0log ()log ()(1)()0;log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩六、三角不等式： |b ||a ||b a ||b |-|a |+≤+≤七、不等式证明的几种常用方法比较法（做差法、做商法）、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法。
高中数学专题-基本不等式
高中数学专题-基本不等式（第1课时）32**学习目标**1.理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系.2.探究并了解基本不等式的证明过程, 会用多种方法证明基本不等式.3.理解基本不等式的意义, 并掌握基本不等式中取等号的条件是: 当且仅当这两个数相等.**要点精讲** 1．基本不等式：2a bab +³ (0,0a b >>)，即：两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当a=b 时等号成立．注：上述不等式对a ≥0,b ≥０时仍成立。
2．基本不等式的几何解释：半径不小于半弦．a ≥0,b ≥0 3．基本不等式的变形公式： （1）20,0a a ≥≥（a R ∈）； （2）2222(,)a b abab a b R +吵?；（3）22(,)2a b ab a b R +Ｎ； （4）2(,)a b ab a b R ++澄；（5）2()(,)2a b ab a b R ++Ｎ。
4．基本不等式的推广：n 个(n>1)非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数．即若 a i ≥0(i=1,2,…,n), 则1212nn n a a a a a a n++鬃?鬃祝(n>1,n ÎN)；**范例分析**例1．（1）如图,已知在正方形ABCD 中,有四个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角边的长为a 、b,则正方形ABCD 的面积为S 1=________,4个直角三角形面积的和为S 2=________,则S 1_______S 2(填“≥”“≤”或“=”).据此,我们就可得到一个不等式(用含a 、b 的式子表示),并且当a______b 时,直角三角形变为________时,S 1=S 2. （2）已知0,0a b >>，求证：2a bab +³ ，你能解释2a b ab +≤（,a b R +∈）的几何意义吗？例2. 利用基本不等式证明下列不等式：(1) 已知a>0,求证 a+12a ³； (2) 已知a>3,求证 a+473a ³-；例3. (1). 已知x , y , z 是互不相等的正数, 且x+y+z=1 , 求证: (1111)(1)(1)8x y z--->(2). 已知0,0x y ≥≥，求证：()()21124x y x y +++≥。
基本不等式中常用公式高一知识点
基本不等式中常用公式高一知识点摘要：1.引言：介绍基本不等式2.基本不等式的常用公式3.高一知识点中的基本不等式应用4.结论：基本不等式在高中数学中的重要性正文：【引言】在高中数学中，基本不等式是一个重要的知识点。
基本不等式能够帮助我们解决许多与不等式相关的问题，它在数学中有着广泛的应用。
今天我们将探讨基本不等式中的一些常用公式，并介绍它们在高一数学中的应用。
【基本不等式的常用公式】在基本不等式中，有一些常用的公式，它们可以帮助我们更方便地解决不等式问题。
这些公式包括：1.两个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，即(a+b)/2 >= sqrt(ab)。
2.两个负数的算术平均数小于等于它们的几何平均数，即(a+b)/2 <= sqrt(-ab)。
3.一个正数和一个负数的算术平均数小于等于它们的几何平均数，即(a-b)/2 <= sqrt((-a-b)/2)。
【高一知识点中的基本不等式应用】在高一数学中，基本不等式在许多章节中都有应用，例如在解不等式、求最值等问题中。
下面我们通过一些例子来看一下基本不等式在高一数学中的应用。
例1：求解不等式x^2 - 3x + 2 > 0。
解：我们可以通过求解这个不等式的根，然后根据根的情况来确定不等式的解集。
首先，我们可以通过求解判别式来找到这个不等式的根：Δ= (-3)^2 - 4*1*2 = 9 - 8 = 1。
由于判别式大于0，所以这个不等式有两个实根，它们分别为x1 = 1 和x2 = 2。
因此，这个不等式的解集为x < 1 或x > 2。
例2：求函数f(x) = x^2 - 2x + 1 在区间[0, 1] 上的最小值。
解：我们可以通过求解函数的导数来找到函数的极值点。
首先，求解函数的导数：f"(x) = 2x - 2。
然后令导数等于0，解得x = 1。
将x = 1 带入原函数，得到f(1) = 1 - 2 + 1 = 0。
高一基本不等式知识点讲解
高一基本不等式知识点讲解在高中数学中，基本不等式是一个重要的知识点。
本文将对高一基本不等式的知识点进行详细的讲解。
一、不等式的定义和性质不等式是数学中用于表示大小关系的符号，包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。
在解不等式问题时，需要根据不等式的性质进行推导和分析。
1.1 大于和小于大于和小于是最基本的不等式关系。
对于两个实数a和b，如果a大于b，可以表示为a > b；如果a小于b，可以表示为a < b。
这种大小关系在数轴上可以直观地表示出来，通过比较两个实数在数轴上的位置来确定大小关系。
1.2 大于等于和小于等于大于等于和小于等于是包含了等于的不等式关系。
对于两个实数a和b，如果a大于等于b，可以表示为a ≥ b；如果a小于等于b，可以表示为a ≤ b。
这种不等式关系意味着两个数相等或者一个数大于另一个数。
在数轴上，可以用实心点表示。
二、基本不等式的证明和应用基本不等式是指一些常见且易证明的不等式，它们在解决实际问题时具有重要的作用。
接下来，我们将介绍几个常见的基本不等式及其应用。
2.1 三角不等式三角不等式是指对于任意实数a、b和c，有以下不等式成立：|a + b| ≤ |a| + |b|、|a - b| ≤ |a| + |b|。
这个不等式在解决绝对值问题和距离问题时特别有用。
2.2 平均不等式平均不等式是指对于任意一组非负实数x1、x2、...、xn，有以下不等式成立：（x1 + x2 + ... + xn）/n ≥ √(x1 * x2 * ... * xn)。
平均不等式在数论、代数等领域中有广泛的应用。
2.3 柯西不等式柯西不等式是指对于任意一组实数a1、a2、...、an和b1、b2、...、bn，有以下不等式成立：(a1 * b1 + a2 * b2 + ... + an * bn)²≤ (a₁² + a₂² + ... + an²)(b₁² + b₂² + ... + bn²)。
(完整版)高中数学不等式知识点总结
选修 4--5 知识点1、不等式的基本性质①（对称性） a b b a同向可加性）a b,c⑧（倒数法则）2、几个重要不等式用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大） 三相等” .④ （可积性）a b,cac bca b ,c 0 acbc⑤ （同向正数可乘性）a b0,c d 0 acbdb 0,0cdab （异向正数可除性） cd⑥ （平方法则）a bna b n(n N,且n1)异向可减性）a b,c dN,且n b 1)a na n b(n③（三个正数的算术—几何平均不等式） abc33 abc(a 、b 、 cR ）（当且仅当a b c 时取到等号）②（传递性）a b,bc ac③（可加性） a bacbc⑦（开方法则） 11a b ;a22①a 2b 2 2aba ，,（当且仅当b时取 "" 号） . 变形公式：aba2 b22②（基本不等式）aba ，,（当且仅当 a b 时取到等号）变形公式： a 2 ababa b2，要注意满足三个条件“一正、二定、(a 2 b 2)(c 2 d 2) (ac bd ）2 （a,b,c,d R ）.当且仅当 ad bc 时，等号成立2ax⑨绝对值三角不等式3、几个著名不等式②幂平均不等式：④二维形式的柯西不等式：2④ab 22c ab bc ca a ， b R（当且仅当a b c 时取到等号） .3⑤ab33c 3abc(a 0,b 0,c 0)（当且仅当a b c 时取到等号） .若ab⑥0,则ba2ab （当仅当 a=b 时取等号）若ab b 0,则aa 2b (当仅当 a=b 时取等号）b b m1anbn a ⑦aa mb ，（其中a b 0，规律： 小于 1 同加则变大，大于 1 同加则变小 .⑧当a 0时，x22a x a x a 或 x a;m 0， n 0)1（a 1n ③二维形式的三角不等式： 22 a 1 a 2 2 a n a 2a n )2.22 x 1 y 122x 2 y 2(x 1 x 2)2 (y 1 y 2)2(x 1,y 1,x 2,y 2 R).a. b.①平均不等式： 211ababb a 2 b 2，（a,b R ，当且仅当 ab 时取 " "号） . （即调和平均 变形公式：几何平均 算术平均 平方平均） .aba b22abb 2(a b)2 20)⑤ 三维形式的柯西不等式：顺序和)，当且仅当 a1 a2 ... an 或 b1 b2 ... bn 时，反序和等于顺序和 ⑨琴生不等式 : (特例 :凸函数、凹函数)若定义在某区间上的函数f ( x),对于定义域中任意两点 x1,x2(x1 x2),有f(x 1 x 2)f(x 1) f(x 2)或 f(x 1 x 2) f (x 1) f(x 2).f (2 )2或 f (2 )2 .则称 f(x) 为凸(或凹)函数4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法(作差，作商法) 、综合法、分析法； 其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等 一化：化二次项前的系数为正数 二判：判断对应方程的根 . 三求：求对应方程的根 .2 2 2 2 2 2 (a 1 a 2 a3 )(b 1 b 2 b 3) (a 1b 1 a 2b 2⑥一般形式的柯西不等式：(a 12a 22... a n 2)(b 12b 22... b n 2) (a 1b 1⑦向量形式的柯西不等式：ur urur urur ur设 ,是两个向量，则,当且仅当等号成立 .⑧排序不等式( 排序原理)：设a 1 a 2... a n ,b 1 b 2bn为两组实数 a 1b n a 2b n 1... a n b 1a 1c 1 a 2c 2... a n c na 3b 3) .a 2b 2 ... a n b n ) .ur ur ur是零向量，或存在实数 k ，使 k 时， .c 1,c 2,...,c n是b 1,b 2,...,b n的任一排列，则①舍去或加上一些项，如 1(a12)234②将分子或分母放大(缩小) ，11,11如k 2 k(k 1),k 2k(k1),1 2 (k * N *,k1)等.kk k 15、一元二次不等式的解法2求一元二次不等式 ax bx c0(或12(a12)2;22 1 22 k k k k k k 1常见不等式的放缩方法：(a 0,2b 4ac 0)解集的步骤：四画：画出对应函数的图象 . 五解集：根据图象写出不等式的解集 . 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边 .6、高次不等式的解法：穿根法 . 分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿(奇穿偶切) ，结合原式不等号的方向， 写出不等式的解集 .7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则f(x)0 f (x) g(x) 0 g(x)f(x) 0f (x) g(x) 0g(x) g(x) 0(“ 或 ”时同理)规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解 .8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解⑵当0 a 1时,a f(x) a g(x)f (x) g(x)规律：根据指数函数的性质转化 .10、对数不等式的解法f(x) 0log a f (x) log a g(x) g(x) 0⑴当a 1时,f(x) g(x)f(x)⑴a(a 0)f(x) f(x)f(x)⑵a(a 0)f(x) f(x) f(x) g(x) f(x)g(x) f(x) 0 02 [g(x)]2或f(x) 0 或g(x) 0 f(x)g(x) f(x)g(x) f(x)0 02[g(x)]2f(x)g(x)f (x) g(x) f (x) 0g(x) ⑸ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解 9、指数不等式的解法：⑴当 a 1时 ,af (x) a g(x)f (x) g(x)f (x) 0log a f(x) log a g(x) g(x) 0 .f (x) g(x)⑵当0 a 1时,规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：a (a 0)a.⑴定义法： a (a 0)2(x) g2(x).⑵平方法：f(x) g(x) f⑶同解变形法，其同解定理有：①x a a x a(a 0);或x a(a 0);②x a x a③ f (x) g(x) g(x) f (x) g(x) (g(x) 0)或f(x) g(x) (g(x) 0) 规律：关键是去掉绝对值的符号.④f (x) g(x) f(x) g(x)12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法2解形如ax bx c 0 且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：⑴讨论a与0的大小；⑵讨论与0 的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题c 0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是⑴不等式ax2 bx0 时b0,c 0;①当aa00.②当a0时⑵不等式ax2 bx c 0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是①当a 0 时b 0,c 0;a0②当a 0 时0.⑶f (x) a恒成立f (x)max a;f(x) a恒成立f(x)max a⑷ f (x) a 恒成立f (x)min a;f(x) a恒成立f(x)min a.15、线性规划问题常见的目标函数的类型：①“截距”型：zAx By;z ②“斜率”型：y z yx 或x b; a③“距离”型：z22x2 y2或z22 xyz (x a)2 (y b)2或z (x a)2(y b)2.在求该“三型” 的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，题简单化.从而使问。
高中数学不等式知识点
1、不等式的基本性质①（对称性）②（传递性）③（可加性）（同向可加性）（异向可减性）④（可积性）；⑤（平方法则）⑥（开方法则）⑦（倒数法则）2、几个重要不等式①,（当且仅当时取号）. 变形公式：②（基本不等式） ,（当且仅当时取到等号）.变形公式：用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.3、几个著名不等式平均不等式：，，当且仅当时取号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.变形公式：4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；①舍去或加上一些项，如②将分子或分母放大（缩小），如等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则（时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、指数不等式的解法：⑴当时,⑵当时,规律：根据指数函数的性质转化.9、对数不等式的解法⑴当时,⑵当时,规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：⑵平方法：⑶同解变形法，其同解定理有：①②③④规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含参数的不等式的解法解形如且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：⑴讨论与0的大小；⑵讨论与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当时②当时⑵不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当时②当时⑶恒成立恒成立⑷恒成立恒成立15、线性规划问题常见的目标函数的类型：①“截距”型：②“斜率”型：或③“距离”型：或或在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.。
高一数学基本不等式知识点
高一数学基本不等式知识点高一数学阶段，不等式的学习是一个重要的组成部分。
基本不等式是指一些关于数值的大小关系的基本规律，通过对这些不等式的掌握，学生不仅可以提升自己对数学的理解，还可以在解决实际问题时运用这些知识，从而提高数学思维能力和解决问题的能力。
一、基本不等式的意义1.定义：基本不等式是指在特定条件下，某些数之间存在的一种不可逆转的大小关系。
2.应用：这些不等式在几何、代数等个领域具有广泛应用，可以用来简化复杂问题的计算。
二、基本不等式的种类1.柯西-施瓦茨不等式：对任意实数a1, a2, ..., an和b1,b2, ..., bn都有(Σai*bi)² ≤ (Σai²)(Σbi²)，这条不等式在线性代数和统计学中非常常用。
2.阿米尔-阿米尔不等式：对于非负实数a1, a2, ..., an，有(a1 + a2 + ... + an)² ≤ n(a1² + a2² + ... + an²)，这为后续证明各种其他不等式打下了基础。
3.霍尔德不等式：如果p,q>1且p+q=1，则对于非负数a, b，有(ab)^(1/p) ≤ (a + b)/2，且在某些情况下等号成立。
三、基本不等式的推导1.推导方法：不等式的推导一般采用反证法或直接代入法，逻辑严谨，层次分明。
2.示例：推导柯西-施瓦茨不等式时，可以通过构造特定的向量来进行分析，细致分解可帮助理解不等式的成因。
四、不等式的应用1.数学竞赛：不等式在各类数学竞赛中均有应用，是解题的重要技巧之一。
2.证明题：在许多几何证明题中，基本不等式常常用来提供不等关系，为证明过程提供支撑。
五、解题技巧1.反证法：常用于不等式的证明，通过假设不等式的反面来推导出矛盾。
2.函数性质：利用单调性或凹凸性来处理不等式。
3.选取合适的变量：有时通过适当变换变量可以简化不等式，使问题变得更加直观。
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几何不等式
1．几何不等式
1、几何不等式
几何问题中出现的不等式称为几何不等式．常常表现为角的大小，线段的长短，面积的多少等．
2、几个常见几何不等式
①托勒密定理的推广：
在凸四边形ABCD 中，一定有：AB•CD+AD•BC≥AC•BD，等号成立时ABCD 是圆的内接四边形．
②艾尔多斯﹣莫迪尔（Erdos﹣Mordell）不等式：
在△ABC 内部任取点P，d a，d b，d c 分别表示由点P 到边BC，CA，AB 的距离，d A，d B，d C 分别表示由点P 到定点A，B，C 之间的距离；则d A+d B+d C≥2（d a+d b+d c）．
③外森比克不等式：
设△ABC 的边长和面积分别为a，b，c 和S，则a2+b2+c2≥4 3S，当且仅当△ABC 为正三角形时等号成立．
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