第12讲 几何不等式(含解答)
高中数学·选修4-5(人教版)第一讲几何平均不等式及绝对值三角不等式PPT课件
9
3 .
归纳升华
1．利用三个正数的算术—几何平均不等式常处理下
面两个类型的最值： (1)求函数 y＝ax2＋bx的最小值，其中 ax2＞0，bx＞0.
则
y
＝
ax2
＋
b x
＝
ax2
＋
b 2x
＋
b 2x
≥
3
3
ax2·2bx·2bx
＝
3 2
3 2ab2.当且仅当 ax2＝2bx，即 x＝ 3 2ba时，等号成立．
(1)如果 a，b，c∈R，那么a＋3b＋c≥3 abc.(
)
(2)如果 a，b，c∈R＋，那么a＋3b＋c≥3 abc，当且仅
当 a＝b 或 b＝c 时，等号成立．( )
(3)如果 a，b，c∈R＋，那么 abc≤a＋3b＋c3，当且 仅当 a＝b＝c 时，等号成立．( )
(4)如果 a1，a2，a3，…，an 都是实数．那么 a1＋a2
n
＋…＋an≥n· a1a2…an.( )
解析：(1)根据定理 3，只有在 a，b，c 都是正数才成
立．其他情况不一定成立，如 a＝1，b＝－1，c＝－3，
a＋b＋c
3
3
3 ＝－1， abc＝ 3，故(1)不正确．
(2)由定理 3，知等号成立的条件是 a＝b＝c.故(2)不正
确．
(3)由定理 3 知(3)正确． (4)必须 a1，a2，…，an 都是正数，命题才成立． 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式 1．1.3 三个正数的算术—
几何平均不等式
[知识提炼·梳理] 1．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)如果 a1，a2，a3∈R＋，则a1＋a32＋a3叫做这 3 个正 数的算术平均数，3 a1a2a3叫做这三个正数的几何平均数．
高一数学不等式解题技巧精析及针对练习题(含答案)
1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注意：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用例：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
高三数学不等式选讲试题答案及解析
高三数学不等式选讲试题答案及解析1.不等式的解集是．【答案】【解析】由绝对值的几何意义，数轴上之间的距离为，结合图形，当落在数轴上外时.满足不等式，故答案为.【考点】不等式选讲.2.不等式的解集是【答案】【解析】原不等式可化为，解得.考点:绝对值不等式解法3.已知函数（Ⅰ）证明:；（Ⅱ）求不等式:的解集．【答案】（Ⅰ）祥见解析；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）通过对x的范围分类讨论将函数f（x）=|x-2|-|x-5|中的绝对值符号去掉，转化为分段函数，即可解决；（Ⅱ）结合（1）对x分x≤2，2＜x＜5与x≥5三种情况讨论解决即可．试题解析：（Ⅰ）当所以（Ⅱ）由（1）可知，当的解集为空集；当时，的解集为：；当时，的解集为：；综上，不等式的解集为：；【考点】绝对值不等式的解法．4.设函数=（1）证明：2；（2）若，求的取值范围.【答案】（2）【解析】本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出，从而得出结论；对第（2）问，由去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出的取值范围.试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：，当且仅当时，取等号，所以.（2）因为，所以，解得：.【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.【考点】本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键.5.（5分）（2011•陕西）（请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）若不等式|x+1|+|x﹣2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是．B．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°，且AB=6，AC=4，AD=12，则AE= ．C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：p=1上，则|AB|的最小值为．【答案】（﹣∞，3] 2 1【解析】A．首先分析题目已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，求a的取值范围，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．对于求|x+1|+|x﹣2|的最小值，可以分析它几何意义：在数轴上点x 到点﹣1的距离加上点x到点2的距离．分析得当x在﹣1和2之间的时候，取最小值，即可得到答案；B．先证明Rt△ABE∽Rt△ADC，然后根据相似建立等式关系，求出所求即可；C．先根据ρ2=x2+y2，sin2+cos2θ=1将极坐标方程和参数方程化成直角坐标方程，根据当两点连线经过两圆心时|AB|的最小，从而最小值为两圆心距离减去两半径．解：A．已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．故设函数y=|x+1|+|x﹣2|．设﹣1、2、x在数轴上所对应的点分别是A、B、P．则函数y=|x+1|+|x﹣2|的含义是P到A的距离与P到B的距离的和．可以分析到当P在A和B的中间的时候，距离和为线段AB的长度，此时最小．即：y=|x+1|+|x﹣2|=|PA|+|PB|≥|AB|=3．即|x+1|+|x﹣2|的最小值为3．即：k≤3．故答案为：（﹣∞，3]．B．∵∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°∴Rt△ABE∽Rt△ADC而AB=6，AC=4，AD=12，根据AD•AE=AB•AC解得：AE=2，故答案为：2C．消去参数θ得，（x﹣3）2+y2=1而p=1，则直角坐标方程为x2+y2=1，点A在圆（x﹣3）2+y2=1上，点B在圆x2+y2=1上则|AB|的最小值为1．故答案为：1点评：A题主要考查不等式恒成立的问题，其中涉及到绝对值不等式求最值的问题，对于y=|x﹣a|+|x﹣b|类型的函数可以用分析几何意义的方法求最值．本题还考查了三角形相似和圆的参数方程等有关知识，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．6.（2012•广东）不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为_________．【答案】【解析】∵|x+2|﹣|x|=∴x≥0时，不等式|x+2|﹣|x|≤1无解；当﹣2＜x＜0时，由2x+2≤1解得x≤，即有﹣2＜x≤；当x≤﹣2，不等式|x+2|﹣|x|≤1恒成立，综上知不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为故答案为7.设函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由的图象，可知在处取得最小值，∵, ,即,或．∴实数的取值范围为，选C.8.已知不等式的解集与不等式的解集相同，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解不等式得或，所以的两个根为和，由根与系数的关系知.故选.【考点】绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法.9.设函数,其中。
2024年高考数学高频考点(新高考通用)柯西不等式(精讲+精练)解析版
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展01柯西不等式（精讲+精练）
1.二维形式的柯西不等式
.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++2.二维形式的柯西不等式的变式
bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2(
.),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.)
,0,,,(())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++3.
二维形式的柯西不等式的向量形式
.),,,(等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαβk k =≤注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。
比如，对2
2
2
c b a ++，并不是不等式的形状，但变成
()()
2222221113
1
c b a ++∙++∙就可以用柯西不等式了。
4.扩展：()()233221122322212
2322
21)(n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a ++++≥++++++++ ，当且仅当n n b a b a b a :::2211=== 时，等号成立.
【题型训练1-刷真题】
二、题型精讲精练
一、知识点梳理。
不等式-基本不等式辅导讲义(含详细解答)
例题1证明 ∵x ＞0，y ＞0，z ＞0，∴y x ＋z x ≥2 yz x ＞0，x y ＋z y ≥2 xzy ＞0， x z ＋y z ≥2 xyz ＞0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥ 8 yz ·xz ·xyxyz＝8.当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立．训练1解：∵x ，y 都是正数 ∴yx ＞0，x y ＞0，x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0(1)xyy x x y y x ⋅≥+2＝2即x y y x +≥2.(2)x ＋y ≥2xy ＞0 x 2＋y 2≥222y x ＞0 x 3＋y 3≥233y x ＞0∴（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥2xy ·222y x ·233y x ＝８x 3y 3即（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3.例题2解析 (1)由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，得z ＝x 2－3xy ＋4y 2， ∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3. 又x ，y ，z 为正实数，∴x y ＋4yx ≥4， 当且仅当x ＝2y 时取等号，此时z ＝2y 2. ∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋2y＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1，当1y ＝1，即y ＝1时，上式有最大值1.(2)∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2y ＝ 4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥4＋4x y ·yx ＝8.当且仅当x y ＝yx ，即x ＝y ＝4时取等号． 答案 (1)B (2)D训练2解析 (1)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x＝1，y＝12时，等号成立)，∴3x＋4y的最小值是5.(2)由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2×(2x)×(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.答案(1)C(2)C解析由32＋x＋32＋y＝1可化为xy＝8＋x＋y，∵x，y均为正实数，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2xy(当且仅当x＝y时等号成立)，即xy－2xy－8≥0，解得xy≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.答案 D课堂练习1、解析因为ab＞0，即ba＞0，ab＞0，所以ba＋ab≥2ba×ab＝2.答案 C2、解析由题意1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab≥2＋2ba×ab＝4，当且仅当ba＝ab，即a＝b＝12时，取等号，所以最小值为4.答案 C3、解析y＝x－4＋9x＋1＝x＋1＋9x＋1－5，由x＞－1，得x＋1＞0，9x＋1＞0，所以由基本不等式得y＝x＋1＋9x＋1－5≥2(x＋1)×9x＋1－5＝1，当且仅当x＋1＝9x＋1，即(x＋1)2＝9，所以x＋1＝3，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.答案 C4、解析(1＋2a)(1＋b)＝5＋2a＋b≥5＋22ab＝9.当且仅当2a＝b，即a＝1，b ＝2时取等号．答案9解析 ∵x ＞0，y ＞0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y 4，即当x ＝32，y＝2时取等号． 答案 3解析 ∵y ＝a 1－x 恒过点A (1,1)，又∵A 在直线上，∴m ＋n ＝1.而1m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋n n ＝2＋n m ＋m n ≥2＋2＝4，当且仅当m ＝n ＝12时，取“＝”，∴1m ＋1n 的最小值为4. 答案 4课后作业1、答案 C2、答案 A解析 由题意知，a <0，b a ＝－56，－1a ＝16，∴a ＝－6，b ＝5.∴x 2－5x ＋6<0的解是(2,3)．3、答案 C解析 作出可行域如图所示 .由于2x ＋y ＝40、x ＋2y ＝50的斜率分别为－2、－12，而3x ＋2y ＝0的斜率为－32，故线性目标函数的倾斜角大于2x ＋y ＝40的倾斜角而小于x ＋2y ＝50的倾斜角，由图知，3x ＋2y ＝z 经过点A (10,20)时，z 有最大值，z 的最大值为70.4、答案 A解析 x －1x ≥2⇔x －1x －2≥0⇔－x －1x≥0⇔x ＋1x ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋1)≤0x ≠0⇔－1≤x <0. 5、答案 A解析 ∵ab －(a ＋b )＝1，ab ≤(a ＋b 2)2，∴(a ＋b 2)2－(a ＋b )≥1，它是关于a ＋b 的一元二次不等式，解得a ＋b ≥2(2＋1)或a ＋b ≤2(1－2)(舍去)． ∴a ＋b 有最小值2(2＋1)．又∵ab －(a ＋b )＝1，a ＋b ≥2ab ，∴ab －2ab ≥1，它是关于ab 的一元二次不等式， 解得ab ≥2＋1，或ab ≤1－2(舍去)， ∴ab ≥3＋22，即ab 有最小值3＋2 2.6、答案 A 解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax ＋by ＝z (a >0，b >0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值12，即4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，而2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·2a ＋3b 6＝136＋(b a ＋a b )≥136＋2＝256(a ＝b＝65时取等号)．7、答案 [－1,0]解析 由f (x )＝2x 2－2ax －a －1的定义域为R .可知2x 2－2ax －a ≥1恒成立，即x 2－2ax －a ≥0恒成立，则Δ＝4a 2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.8答案 3解析 由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z 2，将其代入y 2xz，得x 2＋9z 2＋6xz 4xz ≥6xz ＋6xz 4xz ＝3，当且仅当x ＝3z 时取“＝”，∴y 2xz的最小值为3.。
高考数学复习备战：最新真题解析—不等式选讲
（3）算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即 ，当且仅当a1=a2=…=an时，等号成立.
（2）法一：利用基本不等式得到 ，再利用不等式的基本性质证明；法二：利用Cauchy不等式证明.
(1)∵ ， ， 都为正整数，且 ．
∴ ，
当且仅当 时“=”成立．
(2)法一：由题意得
①+②+③，得 ，
当且仅当 时“=”成立．
法二：由Cauchy不等式，得 ．
令 ，
则 ．
令 ，则 在 上单调递增．
∴ ，即 ．
(1)当 时， 等价于 ，
该不等式恒成立，所以 ；
当 时， 等价于 ，
解得 ，此时不等式无解；
当 时， 等价于 ，解得 ，所以 ．
综上所述，不等式的解为 ．
(2)由 ，得 ，
当 时， 恒成立，所以 ；
当 时， 恒成立，
因为 ，
当且仅当 时取等号，所以 ．综上所述， 的取值范围是 ．
2．（2022·青海·模拟预测（理））已知函数 ．
当 时， ，解得 ，
故不等式 的解集为 或 ；
(2)由（1）可知：
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
故 的最小值为3，即 ，则 ，即
则 ，
当且仅当 时取等号，
故 的最小值为 .
3．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知函数 .
(1)求不等式 的解集；
(2)设 时， 的最小值为M.若正实数a，b，满足 ，求 的最小值.
高中数学专题-基本不等式
高中数学专题-基本不等式（第1课时）32**学习目标**1.理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系.2.探究并了解基本不等式的证明过程, 会用多种方法证明基本不等式.3.理解基本不等式的意义, 并掌握基本不等式中取等号的条件是: 当且仅当这两个数相等.**要点精讲** 1．基本不等式：2a bab +³ (0,0a b >>)，即：两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当a=b 时等号成立．注：上述不等式对a ≥0,b ≥０时仍成立。
2．基本不等式的几何解释：半径不小于半弦．a ≥0,b ≥0 3．基本不等式的变形公式： （1）20,0a a ≥≥（a R ∈）； （2）2222(,)a b abab a b R +吵?；（3）22(,)2a b ab a b R +Ｎ； （4）2(,)a b ab a b R ++澄；（5）2()(,)2a b ab a b R ++Ｎ。
4．基本不等式的推广：n 个(n>1)非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数．即若 a i ≥0(i=1,2,…,n), 则1212nn n a a a a a a n++鬃?鬃祝(n>1,n ÎN)；**范例分析**例1．（1）如图,已知在正方形ABCD 中,有四个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角边的长为a 、b,则正方形ABCD 的面积为S 1=________,4个直角三角形面积的和为S 2=________,则S 1_______S 2(填“≥”“≤”或“=”).据此,我们就可得到一个不等式(用含a 、b 的式子表示),并且当a______b 时,直角三角形变为________时,S 1=S 2. （2）已知0,0a b >>，求证：2a bab +³ ，你能解释2a b ab +≤（,a b R +∈）的几何意义吗？例2. 利用基本不等式证明下列不等式：(1) 已知a>0,求证 a+12a ³； (2) 已知a>3,求证 a+473a ³-；例3. (1). 已知x , y , z 是互不相等的正数, 且x+y+z=1 , 求证: (1111)(1)(1)8x y z--->(2). 已知0,0x y ≥≥，求证：()()21124x y x y +++≥。
人教版数学七年级下册第九章《不等式的性质及绝对值不等式》优课件
2x－3，x>2 画出此函数的图象可知，f(x)≥1， ∴要使关于 x 的不等式x－1＋x－2≤a2＋a＋1 的解 集为空集，则需 a2＋a＋1<1，解得－1<a<0.
规律总结
1．运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条 件，若弱化了条件或强化了条件都可能得出错误的结论．使 用不等式性质解题时，要搞清性质成立的条件，明确各步推 理的依据，以防出现解题失误．
命题趋势
本单元的内容，是对必修5的补充和深化，预计2011年， 考查的重点一是绝对值不等式的解法；二是利用不等式的 性质求最值；三是柯西不等式和数学归纳法的应用．考查 知识面比较广，有一定的技巧．
使用建议
本单元内容是作为高考的选考内容，在考试中所占的 分值较少，但对提高同学们的逻辑思维能力、分析解决问 题的能力、数形结合的能力和抽象思维能力作用很大．为 此，在复习中建议注意以下几点：
【点评】 本例较好地体现了利用基本不等式求 最值时应充分考虑成立条件，即一正二定三等．不过 首先需由三点共线推出a、b的关系式，利用斜率公式 可得．
变 式 题 已 知 cos2α ＋ cos2β ＋ cos2γ ＝ 1 ， 则 sinαsinβsinγ 的最大值为________．
【思路】利用均值不等式求最值时，一定要注意 “一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧， 积极创造条件利用均值不等式．常用的初等变形有均 匀裂项、增减项、配系数等. 利用均值不等式还可以证 明条件不等式，关键是如何恰当地利用好条件．本题 中目标函数为积式，而cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1为隐含 的条件等式，故需创造条件使各因式之和为定值．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
九年级数学竞赛专题第十二讲几何不等式一、选择题1．已知线段a,b,c的长度满足a < b < c，那么以a,b,c为边组成三角形的条件是（）A．c – a < b ; B．2b < a + c ; C．c – b > a; D．2b< ac2．在△ABC中，若∠A=58°，AB>BC，则∠B的取值范围是（）A．0°< ∠B < 64°; B．58°< ∠B < 64°C．58°< ∠B < 122°; D．64°< ∠B < 122°3．在锐角三角形ABC中，a = 1, b = 3，那么第三边c的变化范围是（）A．2 < c < 4; B．2 < c < 3; C．2 < c < 10; D．22< c < 104．一个等腰三角形ABC，顶角为∠A，作∠A的三等分线AD、AE，即∠1 = ∠2 = ∠3（如图），若BD=x, DE=y, CE=z，则有（）A．x > y > z ; B．x = z > yC．x = z < y; D．x < y = z5．已知三角形三边长a,b,c都是整数，并且a≤b<c，若b =7，那么这样的三角形共有（）个。
A．21; B．28; C．49; D．14二、解答题1．如图，已知△ABC中，AB > AC，AD是中线，AE是角平分线。
求证：（1）2AD < AB + AC；（2）∠BAD > ∠DAC；（3）AE < AD。
2．如图，已知△ABC ，AB=AC，AD是中线，E为∠ABD内任一点。
求证：∠AEB > ∠AEC。
3．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，E 、F 分别在AB 、AC 上且AE=CF 。
求证：EF ≥21BC 。
4．如图，已知△ABC 中，BC 大于其它两边，D 、E 分别在AB 、AC 上，连结DE 。
求证：DE < BC 。
5．如图，已知△ABC 中，∠ABC > ∠ACB ，BE 、CF 分别是角平分线。
求证：BE < CF 。
6．如图，已知△ABC中，AB > AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F。
求证：AB + CF > AC + BE。
7．如图，已知在凸四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，且AC⊥BD，OA > OC，OB > OD。
求证： BC + AD > AB + CD。
8．如图，已知在线段BC同侧作两个三角形△ABC和△DBC，使AB=AC，DB > DC且AB + AC = DB + DC，设AC与DB交于E。
求证：AE > DE。
9．如图，已知△ABC 中，∠BAC=120°，P 为△ABC 内一点。
求证：PA + PB + PC > AB + AC 。
10．已知△ABC 中三边长分别为a,b,c ，相应边上的中线长为a m ，b m ，c m 。
求证：（1）;44222a bc m a bc a +≤≤-（2）;44222b ac m b ac b +≤≤- （3）;44222c ab m c ab c +≤≤-答案 一、 1．A 2．A 3．D 4．B 5．A 略解：1．由A 答案c – a < b 及已条条件a < b < c 可推出a + b > c ，a + c > b, b + c > a ，因此可以组成三角形，B 、C 、D 答案均可举出反例：如a = 1, b = 3, c = 6时，满足B 和C ，但不能组成三角形，当a = 1, b = 2, c = 5时，满足C ，但不能组成三角形。
2．因为AB > BC所以∠C > ∠A = 58°所以∠B=180°-∠C-∠A=180°-58°-∠C < 180°- 58°×2=64° 即∠B < 64°，排除C 、D 。
令∠B=40°，则∠C=82°，符合条件，故排除B 。
3．若∠C 是最大角，则∠C < 90°所以c < 22b a +，即c <；若∠B 是最大角，则∠B < 90° 所以222c a b +< 所以9 < 1 + c 2所以 c > 22 所以22 < c < 104．易证△ABD ≌△ACE ⇒BD=EC ，即x = z又因为∠AEB=∠C+∠3=∠B+∠3 > ∠B 所以AB > AE 又∠1=∠2所以BD > DE 即x > y ，所以x = z > y 选B5．根据两边之和大于第三边和条件a ≤b < c ，b = 7，有以下情况：a 2 3 4 5 6 7b 7 7 7 7 7 7c 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 10 10 10 10 11 11 11 12 12 13 所以共有21个，选A二、1．略解：延长AD 到F ，使DF=AD ，连结BF （如图）易证△ADC ≌△FDB ，所以AC=BF （1）在△ABF 中，AB+BF > AD + DF 所以2AD < AB + AC（2）因为△ADC ≌△FDB ，所以∠CAD=∠F 因为AB > AC ，所以AB > BF ， 所以∠F > ∠BAD ， 所以∠CAD > ∠BAD（3）由（2），∠BAD < ∠DAC 及∠BAE = ∠EAC = 21∠BAC 所以∠BAD < ∠EAC因为AB > AC 所以∠C > ∠B 所以∠BAD + ∠B < ∠EAC + ∠C所以∠ADE < ∠AED ，所以AE < AD2．略证：如图，因为AB=AC ，AD 为中线，所以∠BAD=∠CAD ，∠ABC=∠ACB因为E 在△ABD 内，所以∠BAE < ∠BAD 所以∠BAE < ∠BAD < ∠CAE 在△ABE 与△ACE 中 AB=AC ，AE=AE所以BE < EC 所以∠2 < ∠1所以∠ABC –∠1 < ∠ACB - ∠2即∠3 < ∠4所以180°-∠BAE-∠3 > 180°-∠CAE-∠4 即∠AEB > ∠AEC3．略证：过E 作ED 平行且等于BC ，连结DF ，DC （如图） 所以BCDE 是平行四边行所以DC 平行且等于BE ，所以∠1=∠A因为AB=AC ，AE=FC 所以BE=AF=DC所以△AEF ≌△CFD 所以EF=DF 在△EFD 中，EF+DF > DE所以2EF > BC 即EF >21BC当E 、F 为AB 、AC 中点时，EF=21BC 所以EF ≥21BC4．略证：连结BE （如图）因为BC > AB ，BC > AC ，所以∠A > ∠ACB, ∠A > ∠ABC，所以∠BDE > ∠A > ∠ABC > ∠DBE，所以BE > DE又因为∠BEC > ∠A > ∠C，所以BC > BE，所以DE > BD5．略证：因为∠ABC > ∠ACB，所以∠ABE > ∠ACF，∠BEC > ∠FCB在∠ABE内部以BE为一边作∠GBE=∠ACF，GB交AC于G（如图）在△GBC中，∠GBC > ∠GCB所以GC > GB在GC上截以CH = BG，过H作HK∥BG交CF于K则∠BGE=∠KHC所以△BGE≌△CHK（ASA）所以BE=CK < CF6．略证：在AB上截取AC'=AC过C'作C'F'⊥AC于F'（如图）易证△ACF≌△A C'F'（AAS）所以C'F'=CF过C'作C'D⊥BE交BE于D则BD=BE-DE=BE- C'F'，所以BD=BE-CF在直角三角形BC'D中，BC'> BD所以AB-AC'=AB-AC > AB – CF所以AB + CF > AC + BE7．略证：在OA上截取OC'=OC在OB上截取OD'=OD连结C'D'，AD'，BC'，设BC'、AD'交于E（如图）易证△COD≌△C'OD'（SAS）所以CD= C'D'易证△AOD ≌△AOD '，△COB ≌△C 'OD （SAS ） 所以AD=AD '，CB= C 'B在△C 'D 'E 中，C 'E+D 'E > C 'D '① 在△ABE 中，AE + BE > AB ② ①+②得 AE + D 'E + BE + C 'E > AB + C 'D '所以A D '+ BC ' > AB + CD所以AD + BC > AB + CD8．略证：由已知可得2BD > BD + DC = AB + AC = 2AC, 所以BD > AC在BD 上截取DF=AC ，连结AF 、AD （如图） 因为BD+DC=2AC ， 所以DC+BF=AC=AB ，所以在△BAF 中，AF> AB – BF = DC 在△BADC 与△ADF 中， AD=AD ，AC=DF ，AF > CD ， 所以∠1 > ∠2 所以AE > DE9．略证：延长BA 到D 使AD=AC ，连结DC ，作∠DCE=∠ACP ，且CE=CP ，连结DE 、EP （如图）易证△ADC 是等边三角形，△DCE ≌△ACP 所以AC=CD=AD ，所以∠ECP=∠DCA-∠DCE+∠ACP=60°且DE=AP所以△CEP 是等边三角形 所以CP=EP所以PA+PB+PC=DE+PE+PB > DA + AB 所以PA+PB+PC > AC + AB10．略证：这里只证明（1）利用勾股定理可以证明2222212a m c b a +=+] ∴442)(422222222a bc a bc cb ac b m a-≥-+-=-+= 又422222a cb m a-+=42))((42)(24222222222a a c b a c b bc a a c b bc a a c b +--+-+=+--+=+-+=∵ b – c – a = b – (a + c ) < 0b –c + a = (a + b ) – c > 0∴422a bc m a+<∴44222a bc m a bc a +<<-.。