算术平均数与几何平均数——基本不等式

算术平均数与几何平均数——基本不等式
知识要点：
1．如果,a b ∈ ，那么2
2
a b + 2ab （当且仅当 时取“=”号）；反之，
ab 22
2
a b +也成立。

2．如果,a b ∈ ，那么
2
a b
+≥ （当且仅当a b =时取“=”号）；反之，ab ≤ 也成立。

3．把2
a b +称,a b 的
；把,a b 的
；不等式,)2a b
a b R *+≥∈可叙述为 ；
疑误知识辨析：
例1． 若,a b R ∈，求证：222||a b ab +≥； 例2．x R *
∈，求证：1
2x x
+≥； 经典名题：
例3．已知0a b >>，全集,{|}2
a b
U R M x b x +==<<
，
{},{|N x x a P x b x =<<=<≤，则
A ．U P M C N =⋂;
B ．U P N
C M =⋂;C ．P N M =⋂;
D ．P N M =⋃； 例4．已知,,{|0}a b c x x ∈>，证明：（1）1
1
()()4a b c a b c
+++≥+； （2
2
21()2
a b c ++。

同步训练：
一、选择题
1．“a 是正数，b
是正数”是“a b +≥ 的
A ．充分不必要条件；
B ．必要不充分条件；
C ．充要条件；
D ．既不充分也不必要条件。

2．若a 、b
都是正实数，则在不等式2
2
2,a b ab a b +≥+≥22,2a b a b
a b b a b a
+≥++≥ 中不正确的个数是
A ．0；
B ．1；
C ．2；
D ．3
3．,x y R *
∈，则下列不等式中等号不成立的是
A ．11
21
x x x x
+
+≥+； B ．11()()4x y x y ++≥；
C ．11
()()4x y x y
++≥； D ．222lg lg lg lg ()22x y x y ++≤ 二、填空题
4．已知2
211(3),()22
x P a a Q a -=+
>=-，则P 、Q 的大小关系是 ； 5．若a 、b 、c >0，则b c c a a b
a b c
+++++≥ ； 6．下列不等式的证明过程 ①若,a b R ∈、
则
2b a a b ≥=+；②若0x >，
则1cos 2cos x x +≥=；③若0x <
，则44x x +
≤；④若a b R ∈、且0ab <，
则
[()()]2a b a b b a b a +=--+-≤--。

证明过程正确的是 。

三、解答题：
7．证明222a b ab +≥下面的几种变形：（1）222||2a b ab ab +≥≥±；（2）2
2
21
()2
a b a b +≥
+；（3）2
()4a b ab +≥；（4）(0)a b a b ab b a --≥>；（5）222
()22
a b a b ++≥ 8．（1）已知a b c R ∈、、，求证：222
ac ab bc a b c ++≤++；
（2）已知实数a b x y 、、、满足2
2
2
2
1,1a b x y +=+=，求证：1ax by +≤。

9．设a 、b 、c
)a b c >++。

10．设a 、b 、c 为正数，证明：222
a b c a b c b c a
++≥++。