算术-几何平均值不等式
算术-几何平均值不等式
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在数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。
设为个正实
数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是。
算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：
等号成立当且仅当。
算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。
算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。
例子
在的情况，设: ，那么
.可见。
历史上的证明
历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。
的情况很早就为人所知，但对于一般的，不等式并不容易证明。
1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。
柯西的证明
1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]：
命题：对任意的个正实数，
当时，显然成立。
假设成立，那么成立。
证明：对于个正实数，
假设成立，那么成立。
证明：对于个正实数，设，，那么由于成立，。
但是，，因此上式正好变成
也就是说
综上可以得到结论：对任意的自然数，命题都成立。
这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数，命题都成立。
因此对任意的，可以先找使得，再结合第三条就可以得到命题成立了。
归纳法的证明
使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的[2]：
由对称性不妨设是中最大的，由于，设，则，并且
有。
根据二项式定理，
于是完成了从到的证明。
此外还有更简洁的归纳法证明[3]：
在的情况下有不等式和成立，于是：
所以，从而有。
基于琴生不等式的证明
注意到几何平均数实际上等于，因此算术-几何平均不等式等价于：。
由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。
基于排序不等式的证明
令，于是有，再作代换，运用排序不等式得到：
，
于是得到，即原不等式成立。
此外还有基于伯努利不等式或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。
推广
算术-几何平均不等式有很多不同形式的推广。
加权算术-几何平均不等式
不仅“均匀”的算术平均数和几何平均数之间有不等式，加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式。
设和为正实数，并且，那么：。
加权算术-几何平均不等式可以由琴生不等式得到。
矩阵形式
算术-几何平均不等式可以看成是一维向量的系数的平均数不等式。
对于二维的矩阵，一样有类似的不等式：对于系数都是正实数的矩阵
设，，那么有：
也就是说：对个纵列取算术平均数，它们的几何平均小于等于对个横行取的个几何平均数的算术平均。
极限形式
也称为积分形式：对任意在区间上可积的正值函数，都有
这实际上是在算术-几何平均值不等式取成后，将两边的黎曼和中的趋于无穷大后得到的形式。
参考来源
1. ^ Augustin-Louis Cauchy, Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique, premier partie, Analyse algébrique, Paris, 1821. p457.
2. ^ George Chrystal, Algebra:An Elementary Text-Book, Part II, Chapter XXIV.p46.
3. ^ P. H. Diananda , A Simple Proof of the Arithmetic Mean Geometric Mean Inequality ,The American Mathematical Monthly, Vol. 67, No. 10 (Dec., 1960), pp. 1007
•匡继昌，《常用不等式》，山东科技出版社。
•李胜宏，《平均不等式与柯西不等式》，华东师大出版社。
•莫里斯·克莱因（Morris Kline），张理京张锦炎江泽涵译，《古今数学思想》，上海科学技术出版社。
•李兴怀，《学科奥林匹克丛书·高中数学》，广东教育出版社。
2. 三个正数的算术——几何平均不等式
∴E2＝1k62 ·sin2θ·cos4θ＝3k22 (2sin2θ)·cos2θ·cos2θ ≤3k22 ·(2sin2θ＋co3s2θ＋cos2θ)3＝1k028， 当且仅当 2sin2θ＝cos2θ 时取等号， 即 tan2θ＝12，tan θ＝ 22时，等号成立． ∴h＝2tan θ＝ 2，即 h＝ 2时，E 最大． 因此选择灯的高度为 2米时，才能使桌子边缘处最亮．
∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，
∴y2≤12(2x2＋1－3x2＋1－x2)3＝247.
当且仅当 2x2＝1－x2，
即 x＝ 33时等号成立．
∴y≤2
9
3，∴y
的最大值为2 9
3 .
1．解答本题时，有的同学会做出如下拼凑： y＝x(1－x2)＝x(1－x)(1＋x)＝12·x(2－2x)·(1＋x)≤12 (x＋2－23x＋1＋x)3＝12. 虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取 “＝”号的条件，显然 x＝2－2x＝1＋x 无解，即无法取“＝”号，也 就是说，这种拼凑法是不正确的． 2．解决此类问题时，要注意多积累一些拼凑方法的题型及数 学结构，同时也要注意算术－几何平均不等式的使用条件，三个 缺一不可．
用平均不等式求解实际问题 例 3 如图所示，在一张半径是 2 米的 圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道， 灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小； 挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．
由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度 E 和电灯射到 桌子边缘的光线与桌子的夹角 θ 的正弦成正比，而和这一点 到光源的距离 r 的平方成反比．
变式训练
若 2a＞b＞0，试求 a＋
4
的最小值．
（2a－b）·b
【解】 a＋2a－4b·b＝2a－2b＋b＋2a－4b·b ＝2a－ 2 b＋b2＋2a－4b·b
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算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。
.可见
历史上的证明
的情况，设:
。
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式
B．3
C.523 5
D．4
3 2
解析：y＝3x＋
1 2x2
＝
3x 2
＋
3x 2
＋
1 2x2
≥3
3
33 1 2x·2x·2x2
＝
3 3
98＝323 9.
当且仅当32x＝21x2，即x＝ 3 13时，等号成立． 答案：A
3．设x＞0，则y＝x＋x42的最小值为(
)
ห้องสมุดไป่ตู้
A．2
B．2 2
C．3 2
D．3
解析：y＝x＋x42＝x2＋x2＋x42≥3· 3 x2·x2·x42＝3， 当且仅当x2＝x42时取“＝”号． 答案：D
(3)如果a，b，c∈R＋，那么abc≤
a＋b＋c 3
3
，当且
仅当a＝b＝c时，等号成立．( )
(4)如果a1，a2，a3，…，an都是实数．那么a1＋a2
n
＋…＋an≥n· a1a2…an.( )
解析：(1)根据定理3，只有在a，b，c都是正数才成
立．其他情况不一定成立，如a＝1，b＝－1，c＝－3，
第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式 1．1.3 三个正数的算术—
几何平均不等式
[学习目标] 1.探索并了解三个正数的算术—几何平 均不等式的证明过程，会用三项的平均值不等式证明一 些简单问题(难点)． 2.能够利用三项的平均值不等式求 一些特定函数的最值(重点)． 3.会建立函数不等式模 型，会解决简单的应用问题(重点)．
解：设切去的正方形的边长为x，无盖盒子的容积为V， 则V＝(a－2x)2x＝14(a－2x)(a－2x)·4x≤14 （a－2x）＋（3 a－2x）＋4x3＝22a73， 当因且此仅V取当最a－大2值x＝22a473x，，即x＝a6时，等号成立． 故当切去的小正方形边长是原来的正方形的边长的16 时，盒子的容积最大．
算术-几何平均值不等式的证明
１ 利用二 项式 定理
证 明 ： 先 ， 于 口 ｂ ０由二项式 定 理 ， 首 对 ，＞ 得
（ 口＋ｂ ＋ｎ ｂ ）＞ ｃ
、，
因此有 ｆｘ ≥ｆ（。＋ ）２２） （） ） 厂 （。（－； ， ；。
取粕＝ ∑ （， ，：，， ，， （∈口 ） ２…， ６ （１ １ ）
ｎ ｌ
则 ＼ ｌ＋（ｉ） ∑ １２…，） 有 ，ｎ （ ｌ＝，， ， 刮ｎ ）＼ｆ『 （ １ 喜ｆ ｌ１ 一 ∑ 故∑ ） ≥ － 川 （ ∑ ） 喜） ＋ 即 喜
ｎ
故有 ｌ ２ …＋ ＋ ＋ ｎ≥
， ｌ
（ ＞Ｏ ｉ ｌ ２ … ， ） ， ， ， ｎ ＝
４ 利 用 函数 凹凸性
证明： 设 ）ｌ ＝。 口＞ ， ｏ ， 厂” ） 岛 （ １ ＞ ）则 ＝一
＜ｏ 故 ） 上凸 函数 ， ， 是 因此 有
∑ ） （ ） ≤ ∑ ， 取
由数 学归 纳法 ， ｎ １时 为真 ， 于 ／ 假设 ≥ 。 若 一 对 ７ ， ， ≥… ≥ｎ ２≥口Ｉ０ 。 ． ＞
又 ： ｌ ∑ ６ ￣Ｃ故 ， ｏ 设口— ： ｎ） 有口 ≥ 及 ， ‘ 一 （ ｔ －， ６
一 １ ／ ＝１ ／， ／
， ， Ｉ ＿１ ＼
３ 利 用泰 勒公 式
证明： 设 ）ｌ岛 （ １ ｏ ， 厂” ） ＝。 ｏ ，＞ ）则 ＝ ） ｆ（ｏ＋ ） 。＋ ＝ Ｘ） 厂 （。（ ）
＝ｘ ＋Ｏｘ ｘ）Ｏ＜ ＜１ ， ｏ （－ ｏ（ ）
＞ ， 厂（） ｏ 将 在点 。 处展 开 ， 有
算术几何平均不等式与其应用
算术几何平均不等式与其应用算术几何平均不等式是数学中的一种重要的不等式关系，它在数学推导和实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍算术几何平均不等式的概念、证明以及一些常见的应用。
一、算术平均与几何平均的定义与性质在介绍算术几何平均不等式之前，我们先来了解一下算术平均和几何平均的定义与性质。
1. 算术平均：对于一组数a₁，a₂，...，aₙ，它们的算术平均记为A，即A=(a₁+a₂+...+aₙ)/n。
算术平均是指将一组数的和除以这组数的个数所得到的值。
2. 几何平均：对于一组正数a₁，a₂，...，aₙ，它们的几何平均记为G，即G=(a₁a₂...aₙ)^(1/n)。
几何平均是指将一组数的乘积开n次方所得到的值。
算术平均和几何平均都是常见的求平均值的方法，它们有以下性质：性质1：对于任意一组正数a₁，a₂，...，aₙ，有G≤A。
性质2：当且仅当a₁=a₂=...=aₙ时，有G=A。
二、算术几何平均不等式的概念与证明算术几何平均不等式是指对于一组正数a₁，a₂，...，aₙ，有G≤A，即几何平均不大于算术平均。
下面我们将给出算术几何平均不等式的证明。
假设a₁，a₂，...，aₙ是一组正数，我们来证明G≤A。
首先，我们考虑当n=2的情况。
此时，算术平均和几何平均分别为A=(a₁+a₂)/2，G=(a₁a₂)^(1/2)。
我们可以通过平方的方式来证明G≤A。
由(a₁-a₂)²≥0可得a₁²-2a₁a₂+a₂²≥0，进一步变形得到a₁²+a₂²≥2a₁a₂。
再对不等式两边同时开2次方，即得到(a₁²+a₂²)^(1/2)≥(2a₁a₂)^(1/2)。
即G≥(2a₁a₂)^(1/2)，进一步化简得到G≥(a₁+a₂)/2=A。
所以，当n=2时，算术几何平均不等式成立。
接下来，我们假设当n=k时，算术几何平均不等式成立。
即对于一组正数a₁，a₂，...，aₙ，有G≤A。
均值不等式公式完全总结归纳
均值不等式公式完全总结归纳均值不等式是数学中常用的一种不等式，它可以用来比较数列或者函数中数值的大小关系。
均值不等式有很多种形式，常用的有算术均值不等式、几何均值不等式、调和均值不等式以及均方根不等式。
下面将逐个进行详细介绍：1.算术均值不等式：算术均值不等式又称为平均不等式，它是最基本的均值不等式。
对于非负实数a和b，算术均值不等式的表达式为：(a+b)/2≥√(a*b)其中，等号成立当且仅当a=b。
2.几何均值不等式：几何均值不等式也是比较常见的一种不等式。
对于非负实数a和b，几何均值不等式的表达式为：√(a*b)≤(a+b)/2其中，等号成立当且仅当a=b。
3.调和均值不等式：调和均值不等式用来比较两个正实数的大小关系。
对于正实数a和b，调和均值不等式的表达式为：2/(1/a+1/b)≤(a+b)/2其中，等号成立当且仅当a=b。
4.均方根不等式：均方根不等式是一种用于比较多个非负实数大小关系的不等式。
对于非负实数a1, a2, ..., an，均方根不等式的表达式为：√((a1^2 + a2^2 +... + an^2)/n) ≥ (a1 + a2 + ... + an)/n 其中，等号成立当且仅当a1=a2=...=an。
以上四种形式的均值不等式都是基于平均值的概念推导出来的。
它们在数学中有广泛的应用，例如在证明其他不等式时常常被用到。
需要注意的是，以上只是四种常见的均值不等式形式，实际上还存在很多种不同形式的均值不等式。
比如幂均值不等式、可重均值不等式等，它们在一些特定的条件下有着重要的应用。
总结起来，均值不等式是数学中非常重要的一类不等式，它包含了算术均值不等式、几何均值不等式、调和均值不等式以及均方根不等式等形式。
这些不等式在数学推导和证明过程中发挥着非常重要的作用。
算数-几何平均值不等式及应用.
算数-几何平均值不等式几应用1.设a ＞1，b ＞1.求证：81122≥-+-a b b a .2.设a,b,c 都是正数，求证：)(211222c b a b a c a b c b a ++≥++-++.3.设a,b,c ∈R +，且abc=1.求证：23)(1)(1)(1333≥+++++b a c a c b c b a .4.已知a,b,c ∈R +，求证：481)1()1()1(333≥+++++a c c b b a .5.已知实数a ＞1，b ＞1，c ＞1.求证：239111232323≥-+-+-a c c b b a .6.对任意正数a 1,a 2,...,a n ,记a n+1=a 1,问不等式∑∑=+=+≥n i i i n ni i i a a a a 1111)(，是否成立？7.设.,...,2,1,,n i R y x i i =∈+试证：)...()...(...213213232131n n n n y y y x x x y x y x y x ++++++≥+++。
8.设a,b,c ∈R +，求333)1()1()1(),,(cc b b a a c b a f +++++=，在下列条件下的最小值：（1）a+b+c=3（2）a+b+c=1（3）a+b+c=6（4）a+b+c=A （＞0）.9.设x ＞-1，则（1）当0＜a ＜1时，（1+x ）a ≤1+ax（2）当a ＜0,或a ＞1时，（1+x ）a ≥1+ax.其中等号成立的充要条件是x=0.10.已知非负实数a,b,c 满足a+b+c ≤3，求证：c b a c c b b a a +++++≤≤+++++11111123111222.11.设a,b,c 都大于1，求证：c b a a c c og c b b og b a a og a c b ++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++91112.12.设a,b,c 为非负实数，求证：ab c ac b bc a c b a ++≥++2)(31.13.设a,b,c,d 都是正数，求证：d c b a +++++++≥214.设a 1,a 2,...,a n 同号，记∑==n i i a s 1，求证：1221-≥-∑=n n a s a n i i i .15.设a 1,a 2,...,a n ,都是正数，且对任意，且对任意1≤k ≤n ，有a 1,a 2,...,a k ≥1，求证：2)1)...(1...)1)(1(2111211＜n a a n a a a ++++++++.16.设a 1,a 2,...,a n ,为n 个非负实数，且设a 1,a 2,...,a n ,=n ，证明：nn n a a a a a a a a a ++++++≤++++++11...11111...11214242224121.17.已知实数x ，y 满足x 2-xy+2y 2=1,求x 2+2y 2的最大值与最小值的和等于多少？18.已知a,b,c ∈R +，abc=1，证明：(a+b)(b+c)(c+a)≥4(a+b+c-1).19.已知a,b,c 为正数，求证：23≥+++++cb a b ac a c b .20.给定a 1,a 2,...,a n ＞0，（n ∈N ，n ≥2），试证：⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=n n n a a a n a a a n x f ......)(2121是单调增函数。
高中数学人教A版选修4-5创新应用第一讲 第1节 第3课时 三个正数的算术-几何平均不等式 课件
即当 2πr2＝Vr ，
3 r＝
2Vπ时表面积最小．此时 h＝2r.
3 即饮料盒的底面半径为 r＝
2Vπ，
高为 2 3 2Vπ时，用料最省．
本课时经常考查算术-几何平均不等式在求最值中的应
n 当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时，等号成立．
[问题思考]
1．满足不等式a＋3b＋c≥3 abc成立的 a，b，c 的范 围是什么？
提示：a，b，c 的范围为 a≥0，b≥0，c≥0．
2．应用三个正数的算术－几何平均不等式，求最 值应注意什么？
提示：三个正数的和为定值，积有最大值；积为 定值，和有最小值．当且仅当三个正数相等时取得．
三个正数的算术-几何平均不等式定理，是根据不等式 的意义、性质和比较法证出的，因此，凡是可以利用该定 理证明的不等式，一般都可以直接应用比较法证明，只是 在具备条件时，直接应用该定理会更简便．若不直接具备 “一正二定三相等”的条件，要注意经过适当的恒等变形 后再使用定理证明．
连续多次使用平均不等式定理时要注意前后等号成立 的条件是否保持一致．
已知 x∈R＋，求函数 y＝x(1－x2)的最大值．
[精讲详析] 本题考查三个正数的算术-几何平 均不等式在求最值中的应用．解答本题要根据需要拼 凑出利用其算术-几何平均不等式的条件，然后再求 解．
∵y＝x(1－x2)， ∴y2＝x2(1－x2)2 ＝2x2(1－x2)(1－x2)·12.
∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2， ∴y2≤122x2＋1－3x2＋1－x23＝247. 当且仅当 2x2＝1－x2＝1－x2，
著名不等式公式
三角形内角的嵌入不等式三角形内角的嵌入不等式，在不至于引起歧义的情况下简称嵌入不等式。
该不等式指出，若A、B、C是一个三角形的三个内角，则对任意实数x、y、z，有：算术-几何平均值不等式在数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。
设为n个正实数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是。
算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：等号成立当且仅当。
算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。
算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。
例子在n = 4 的情况，设: ，那么.可见。
历史上的证明历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。
n = 2的情况很早就为人所知，但对于一般的n，不等式并不容易证明。
1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。
柯西的证明1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]：命题P n：对任意的n个正实数，1. 当n=2 时，P2显然成立。
2. 假设P n成立，那么P2n成立。
证明：对于2n个正实数，3. 假设Pn成立，那么P n− 1成立。
证明：对于n- 1 个正实数，设，，那么由于P n成立，。
但是，，因此上式正好变成综合以上三点，就可以得到结论：对任意的自然数，命题P n都成立。
这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数k，命题都成立。
因此对任意的，可以先找k使得，再结合第三条就可以得到命题P n成立了。
归纳法的证明使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的[2]：由对称性不妨设xn + 1是中最大的，由于，设，则，并且有。
算术_几何平均值不等式的证明
平均值不等式是数学分析中解决许多极限问题以及其他应用问题的一个重要依据，特别是算术平均值－几何平均值不等式（以下简称算几不等式）的应用更是尤为广泛，许多极限问题的证明都要应用到这一不等式，而关于这一不等式的证明方法，常见的有利用数学归纳法及詹生不等式的证明，下面介绍几种另外的证明方法。
１利用二项式定理证明：首先，对于ａ，ｂ＞０由二项式定理，得（ａ＋ｂ）ｎ＞ａｎ＋ｎａｎ－１ｂ由数学归纳法，若ｎ－１时为真，对于ｎ，假设ａｎ≥ａｎ－１≥…≥ａ２≥ａ１≥０．又设ａ＝１ｎ－１ｎ－１ｉ＝１"ｘｉ，ｂ＝１ｎ（ｘｎ－ａ），故有ａ，ｂ≥０及１ｎｎ－１ｉ＝１"ｘｉ#$ｎ＝（ａ＋ｂ）ｎ＞ａｎ＋ｎａｎ－１ｂ＝ｘｎ１ｎ－１ｎ－１ｉ＝１"ｘｉ%&ｎ－１≥ｘｎ（ｘ１ｘ２…ｘｎ－１）即ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎｎ≥ｘ１ｘ２…ｘｎｎ’（ｘｉ≥０，ｉ＝１，２，…，ｎ）．２利用不等式ｅｘ≥１＋ｘ（ｘ≥－１）证明：设Ａｎ＝ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎｎ，Ｇｎ＝ｘ１ｘ２…ｘｎｎ’（ｘｉ＞０，ｉ＝１，２，…，ｎ）由不等式ｅｘ≥１＋ｘ（ｘ≥－１）可知，对于每一ｉ，有ｅｘｐｘｉＡｎ－%&１≥ｘｉＡｎ求乘积，得１＝ｎｉ＝１(ｅｘｐｘｉＡｎ－%$１＝ｅｘｐｎｉ＝１"ｘｉＡｎ－%$１%$≥ｎｉ＝１(ｘｉＡｎ＝ＧｎＡｎ%$ｎ算术－几何平均值不等式的证明故Ａｎ≥Ｇｎ，即ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎｎ≥ｘ１ｘ２…ｘｎｎ"（ｘｉ＞０，ｉ＝１，２，…，ｎ）．３利用泰勒公式证明：设ｆ（ｘ）＝ｌｏｇａｘ（０＜ａ＜１，ｘ＞０），则ｆ″（ｘ）＝１ｘ２１ｎａ＞０，将ｆ（ｘ）在点ｘ０处展开，有ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ０）＋ｆ′（ｘ０）（ｘ－ｘ０）＋ｆ″（ｘ）２（ｘ－ｘ０）２，!＝ｘ０＋"（ｘ－ｘ０）（０＜"＜１）因此有ｆ（ｘ）≥ｆ（ｘ０）＋ｆ′（ｘ０）（ｘ－ｘ０），取ｘ０＝１ｎｎｉ＝１#ｘｉ（ｘｉ∈（ａ，ｂ），（ｉ＝１，２，…，ｎ），则有ｆ（ｘｉ）≥ｆ１ｎｎｉ＝１%ｘｉ&’＋ｆ′１ｎｎｉ＝１%ｘｉ&(ｘｉ－ｎｉ＝１%ｘｉ&(（ｉ＝１，２，…，ｎ）故ｎｉ＝１%ｆ（ｘｉ）≥ｎｆ１ｎｎｉ＝１%ｘｉ&(＋ｆ′１ｎｎｉ＝１%ｘｉ&(＋ｎｉ＝１%ｘｉ－ｎｉ＝１%ｘｉ&(＝ｎｆ１ｎｎｉ＝１%ｘｉ&(即ｆ１ｎｎｉ＝１%ｘｉ&(≤１ｎｎｉ＝１%ｆ（ｘｉ）．因此有ｌｏｇａ１ｎ（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）≤１ｎ（ｌｏｇａｘ１＋ｌｏｇａｘ２＋…ｌｏｇａｘｎ）即１ｎｌｏｇａ（ｘ１ｘ２…ｘｎ）≥ｌｏｇａ１ｎ（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）亦即ｌｏｇａ（ｘ１ｘ２…ｘｎ）１ｎ≥１ｎｌｏｇａ（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）（０＜ａ＜１）故有ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎｎ≥ｘ１ｘ２…ｘｎｎ"（ｘｉ＞０，ｉ＝１，２，…，ｎ）．４利用函数凹凸性证明：设ｆ（ｘ）＝ｌｏｇａｘ（ａ＞１，ｘ＞０），则ｆ″（ｘ）＝－１ｘ２１ｎａ＜０，故ｆ（ｘ）是上凸函数，因此有ｎｉ＝１%ａｉｆ（ｘｉ）≤ｆｎｉ＝１%ａｉｘｉ&(，取ａｋ＝１ｎ（ｋ＝１，２，…，ｎ），有１ｎ（ｌｏｇａｘ１＋ｌｏｇａｘ２＋…ｌｏｇａｘｎ）≤ｌｏｇａ１ｎ（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）即１ｎｌｏｇａ（ｘ１ｘ２…ｘｎ）≤ｌｏｇａ１ｎ（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）亦即ｌｏｇａ（ｘ１ｘ２…ｘｎ）１ｎ≤ｌｏｇａ１ｎ（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）故有ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎｎ≥ｘ１ｘ２…ｘｎｎ"（ｘｉ＞０，ｉ＝１，２，…，ｎ）．。