新课标八年级数学竞赛讲座：第三十二讲 几何不等式
初二数学不等式知识点总结
初二数学不等式知识点总结一、不等式的概念。
1. 不等式的定义。
- 用符号“<”（或“≤”），“>”（或“≥”），“≠”连接而成的数学式子叫做不等式。
例如：2x + 1>5，3y - 2≤slant4等。
2. 不等式的解。
- 能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
例如对于不等式x + 3>5，x = 3是它的一个解，因为当x = 3时，3+3 = 6>5。
3. 不等式的解集。
- 一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集。
例如不等式x - 1>0的解集是x>1，表示所有大于1的数都是这个不等式的解。
- 可以用数轴来表示不等式的解集。
例如x≥slant2在数轴上表示为：在数轴上找到2这个点，然后用实心圆点（因为包含2这个值），然后向数轴正方向画一条线，表示所有大于等于2的数。
二、不等式的基本性质。
1. 性质1（不等式的传递性）- 如果a>b，b>c，那么a>c。
例如：若5>3，3>1，则5>1。
2. 性质2（不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变）- 如果a>b，那么a±c>b±c。
例如：若x + 3>5，两边同时减3，得到x>2。
3. 性质3（不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变）- 如果a>b，c>0，那么ac>bc（或(a)/(c)>(b)/(c)）。
例如：若2x>4，两边同时除以2（2是正数），得到x > 2。
4. 性质4（不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）- 如果a>b，c<0，那么ac（或(a)/(c)<(b)/(c)）。
例如：若- 3x>6，两边同时除以 - 3（-3是负数），得到x<-2。
三、一元一次不等式。
1. 一元一次不等式的定义。
- 含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式。
八年级下册解不等式
八年级下册解不等式随着数学学科的深入发展，不等式作为一种重要的数学概念和工具得到了广泛的应用。
在八年级下册的数学学习中，解不等式是一个重要的知识点。
下面，笔者将用1000字左右的篇幅，为大家详细介绍八年级下册解不等式的相关知识。
一、不等式的定义和性质不等式是数学中的一个常见概念。
与等式不同，不等式中的两个数不相等，它们之间的关系是大于、小于、大于等于、小于等于等。
对于不等式，我们常用比较运算符号“>”、“<”、“≥”和“≤”来表示。
不等式的基本性质包括：1. 若a>b，那么a+c>b+c2. 若a>b，且c>0，那么ac>bc3. 若a>b，c<0，那么ac<bc4. 若a>b且b>c，那么a>c以上的四个性质是解不等式的基础，需要我们在后续的学习中加以掌握和运用。
二、一元一次不等式一元一次不等式是指一个只含有一个变量的一次方程。
在解一元一次不等式时，我们可以通过移项和分离变量的方法来得到方程的解。
例如，我们要解以下的不等式：3x+4<10我们可以将其转化为：3x < 6x < 2从而得到该不等式的解集为：x < 2。
三、一元二次不等式一元二次不等式是指一个只含有一个变量的二次不等式，也是我们在八年级下册解不等式中要学习的知识点之一。
与一元一次不等式类似，解一元二次不等式也需要运用移项和配方法等技巧。
例如，我们要解以下的不等式：x^2 - 5x + 6 > 0我们可以将其转化为：(x-2)(x-3) > 0因此，该不等式的解集可以表示为：x ∈ (-∞,2) ∪ (3,+∞)。
四、绝对值不等式绝对值不等式是指涉及绝对值的不等式。
对于绝对值不等式，我们需要先将其转化为含有一元一次不等式的形式，然后再进行解答。
例如，我们要解以下的不等式：|2x-5| > 3我们可以将不等式拆分为两个部分：2x - 5 > 3 或 2x - 5 < -3化简得到：x > 4 或 x < 1因此，该不等式的解集为：x ∈ (-∞,1) ∪ (4,+∞)。
初二数学不等式基本解法思路
初二数学不等式基本解法思路不等式是数学中常见的一种方程形式，其解法与等式有所不同。
在初二数学中，我们需要掌握不等式的基本解法思路，以便解决相关问题。
一、一元不等式的解法1. 分情况讨论法：当不等式中存在绝对值、分式等复杂形式时，可以通过分情况讨论来解决问题。
步骤如下：- 首先，将不等式根据条件进行合理分组，得到多个可能的情况。
- 其次，针对每个情况，确定对应的条件，并解出相应的不等式。
- 最后，整合各个情况下的解集，得到最终的解集。
2. 提取公因式法：当不等式中存在公因式时，可以通过提取公因式的方式简化问题。
步骤如下：- 首先，观察不等式中的各项是否存在公因式。
- 其次，将公因式提取出来，使不等式变得更简单。
- 最后，解出简化后的不等式，并确定解集。
3. 线性不等式的解法：当不等式为一次方程时，我们可以使用线性不等式的解法来求解。
步骤如下：- 首先，将不等式转化为等式，得到一个一次方程。
- 其次，根据一次方程的解的性质，确定不等式的解集。
- 最后，根据不等式的要求，确定最终的解集。
二、二元不等式的解法1. 图像法：当不等式中存在二元变量和图像的相关关系时，可以使用图像法解决问题。
步骤如下：- 首先，将不等式转化为图像，并观察图像的特点。
- 其次，根据图像的特点，确定不等式的解集。
- 最后，根据不等式的要求，确定最终的解集。
2. 代入法：当不等式中存在二元变量时，可以使用代入法解决问题。
步骤如下：- 首先，先固定其中一个变量，将不等式化简为一元不等式。
- 其次，解出化简后的一元不等式，并得到相应的解集。
- 最后，根据不等式的要求，确定最终的解集。
三、综合运用不等式解题在解决具体问题时，我们需要综合运用不等式的解法思路。
具体步骤如下：1. 首先，将问题中的条件和要求抽象成一个或多个不等式。
2. 其次，根据具体情况选择合适的不等式解法。
3. 然后，根据解法思路解出不等式，并得到相应的解集。
4. 最后，验证解集是否满足问题的条件和要求。
高中数学奥林匹克竞赛知识讲座-不等式
n n
B
1 + i
aibi1
i 1
n
nk 2 (n 2) sec 2 ，其中约定 bn 1 b1 。 4 2n
A
A
1 + i
n
B
1
B
证明 如图 1，作边长为 k 的正 n 边形 A1 A2 ... An ，易证
i
A
A
. . .
i
2
sn边形A1 A2 ... An
2
此外,阿贝尔恒等式也是许多有关和式的不等式的导出恒等式：
aibi bn ai ( ai ) bk bk 1 .
i 1 i 1 k 1 i 1
n
n 1
k
2.3
一些著名不等式的应用 例5. 设 a, b, c 为正数且各不相等,求证:
2 2 2 9 . ab bc ca abc
x(
=
x 1 1 4 y 1 1 4 z 1 1 4 ( ) ( ) ( )6 6 , 2 y z yz 2 z x zx 2 x y x y
当且仅当 x y z ,即 a b c 时,等号成立. 评注 换元法常用来去分母、去根号,从而化简数式,对于条件 abc 1 ，常用代换
n
a1a2 ...an 作 代 换
xi
ai ,1 i n ，则 x1 x2 ...xn 1 . G
以下证明：一定存在正整数 p ，对任意的 s ，均有 x p 1 x p 2 ...x p 3 1 。鉴于 x1 x2 ...xn 1 。 那么可取 p n .若它 只需对 s n 进行证明。 如果 x1 , x1 x2 ..., x1 x2 ...xn 这 n 个乘积值均不大于 1， 们 之 中 至 少 有 一 个 大 于 1 ， 则 不 妨 设 x1 x2 ...x p 是 其 中 的 最 大 值 ， 有
高中数学竞赛培训专题讲座(不等式)(2021年整理)
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高中数学竞赛培训专题讲座:重要不等式（一）一．基础知识 (1) 均值不等式设12,,...,n a a a 是n 个正实数，记12,111...n n nn H G a a a ==+++12...,n n n a a a A Q n +++==分别称,,,n n n n Q G H A 为这n 个正数的调和平均，几何平均,算术平均和平方平均，则 n n n n Q G H A ≤≤≤,等号成立当且仅当12...n a a a ===。
特别地，①2,)112a b a b R a b++≤≤≤∈+（当且仅当a b =时取等号)； ② 222()(,)22a b a b ab a b R ++≤≤∈，3()(,,)3a b c abc a b c R +++≤∈，,,)a b c a b c R +++≥∈；③2()3()a b c ab bc ca ++≥++. （2) Cauchy 不等式设,i i a b R ∈ (1,2,...,)i n =，则222111(()())nnni i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑，当且仅当0(1,2,..,)i i n b ==或存在一个常数λ，使得i i a b λ=(1,2,..,)i n =时，等号成立.推论1：设R ,i i a b +∈R ∈ (1,2,...,)i n =，则22111()nnni i i i i i i b a b a ===≥∑∑∑； 推论2:设,R i i a b +∈(1,2,...,)i n =,则2111()nn ni i iii i i ib a b b a ===≥∑∑∑.二．例题精讲1．已知1212,,,,,,,n n a a a b b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅都是正数.求证≥。
八年级数学暑假竞赛培训讲义
第一讲：如何做几何证明题【知识梳理】1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。
几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。
这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。
2、掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。
3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。
在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。
【例题精讲】【专题一】证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。
很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。
证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。
【例1】已知：如图所示，∆ABC 中，∠=︒===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。
求证：DE ＝DFFEDCBA【巩固】如图所示，已知∆ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，并且使AE ＝BD ，连结CE 、DE 。
求证：EC ＝ED【例2】已知：如图所示，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AE ＝CF 。
求证：∠E ＝∠F【专题二】证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。
全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第32讲 自测题
全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第三十二讲自测题自测题一1．分解因式：x4-x3＋6x2-x+15．2．已知a，b，c为三角形的三边长，且满足a2＋b2＋c2＋338=10a+24b+26c，试确定这个三角形的形状．3．已知a，b，c，d均为自然数，且a5＝b4，c3＝d2，c-a＝19，求d-b的值．4． a，b，c是整数，a≠0，且方程ax2＋bx＋c=0的两个根为a和b，求a＋b＋c的值．5．设E，F分别为AC，AB的中点，D为BC上的任一点， P在BF上，DP∥CF，Q在CE上，DQ∥BE，PQ交BE于R，交6．四边形ABCD中，如果一组对角(∠A，∠C)相等时，另一组对角(∠B，∠D)的平分线存在什么关系？7．如图2-194所示．△ABC中，D，E分别是边BC，AB上的点，且∠1=∠2=∠3．如果△ABC，△8．如图2-195所示．△ABC中，∠B=90°，M为AB上一点，使得AM=BC，N为BC上一点，使得CN=BM，连AN，CM交于P点．求∠APM的度数．9．某服装市场，每件衬衫零售价为70元，为了促销，采用以下几种优惠方式：购买2件130元；购满5件者，每件以零售价的九折出售；购买7件者送1件．某人要买6件，问有几种购物方案(必要时，可与另一购买2件者搭帮，但要兼顾双方的利益)？哪种方案花钱最少？自测题二1．分解因式：(x2+3x+5)2+2x3+3x2+1Ox．2．对于集合p={x丨x是1到100的整数}中的元素a，b，如果a除以b的余数用符号<a，b>表示．例如17除以4，商是4，余数是1，就表示成<17，4>=1，3除以7，商是0，余数是3，即表示成<3，7>=3．试回答下列问题：(1)本集合{x丨<78，x>=6，x∈p}中元素的个数；(2)用列举法表示集合{x丨<x，6>=<x，8>=5，x∈P}．3．已知：x+y+z＝1，x2＋y2+z2=2，x3＋y3+z3=3，试求：(1)xyz的值；(2)x4＋y4＋z4的值．4．已知方程x2-3x＋a＋4=0有两个整数根．(1)求证：这两个整数根一个是奇数，一个是偶数；(2)求证：a是负偶数；(3)当方程的两整数根同号时，求a的值及这两个根．5．证明：形如8n+7的数不可能是三个整数的平方和．7．如图2-196所示．AD是等腰三角形ABC底边上的中线，BE是角平分线，EF⊥BC，EG⊥BE且交BC于G．求证：8．如图2-197所示．AD是锐角△ABC的高，O是AD上任意一点，连BO，OC并分别延长交AC，AB于E，F，连结DE，DF．求证：∠EDO=∠FDO．9．甲校需要课外图书200本，乙校需要课外图书240本，某书店门市部A可供应150本，门市部B可供应290本．如果平均每本书的运费如下表，考虑到学校的利益，如何安排调运，才能使学校支出的运费最少？自测题三2．对于任意实数k，方程(k2＋1)x2-2(a＋k)2x＋k2＋4k＋b＝0总有一个根是1，试求实数a，b的值及另一个根的范围．4．如图2-198．ABCD为圆内接四边形，从它的一个顶点A引平行于CD的弦AP交圆于P，并且分别交BC，BD于Q， R．求证：5．如图2-199所示．在△ABC中∠C=90°，∠A的平分线AE交BA上的高CH于D点，过D引AB的平行线交BC于F．求证：BF=EC．6．如图2-200所示．△ABC中，AB＞AC，作∠FBC=∠ECB=7．已知三角形的一边是另一边的两倍，求证：它的最小边在它的周8．求最大的自然数x，使得对每一个自然数y，x能整除7y+12y-1．9．某公园的门票规定为每人5元，团体票40元一张，每张团体票最多可入园10人．(1)现有三个单位，游园人数分别为6，8，9．这三个单位分别怎样买门票使总门票费最省？(2)若三个单位的游园人数分别是16，18和19，又分别怎样买门票使总门票费最省？(3)若游园人数为x人，你能找出一般买门票最省钱的规律吗？自测题四1．求多项式2x2-4xy＋5y2-12y+13的最小值．2．设试求：f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(1999)．3．如图2-201所示．在平行四边形ABCD的对角线BD上任取一点O，过O作边BC，AB的平行线交AB，BC于F，E，又在 EO上取一点P．CP与OF交于Q．求证：BP∥DQ．4．若a，b，c为有理数，且等式成立，则a=b=c=0 ．5．如图2-202所示．△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB，AC于M，N，连接MN，求△AMN的周长．6．证明：由数字0，1，2，3，4，5所组成的不重复六位数不可能被11整除．7．设x1，x2，…，x9均为正整数，且x1＜x2＜…＜x9，x1＋x2+…＋x9＝220．当x1+x2+…+x5的值最大时，求x9-x1的值．8．某公司有甲乙两个工作部门，假日去不同景点旅游，总共有m人参加，甲部门平均每人花费120元，乙部门每人花费110元，该公司去旅游的总共花去2250元，问甲乙两部门各去了多少人？9．(1)已知如图2-203，四边形ABCD内接于圆，过AD上一点E引直线EF∥AC交BA延长线于F．求证：FA·BC=AE·CD．(2)当E点移动到D点时，命题(1)将会怎样？(3)当E点在AD的延长线上时又会怎样？自测题五2．关于x的二次方程6x2-(2m-1)x-(m＋1)=0有一根3．设x＋y=1，x2＋y2=2，求x7＋y7的值．4．在三角形ABC内，∠B=2∠C．求证：b2=c2＋ac．5．若4x-y能被3整除，则4x2+7xy-2y2能被9整除．6．a，b，c是三个自然数，且满足abc＝a＋b＋c，求证：a，b，c只能是1，2，3中的一个．7．如图2-204所示．AD是△ABC的BC边上的中线，E是BD的中点，BA=BD．求证：AC=2AE．8．设AD是△ABC的中线，(1)求证：AB2＋AC2=2(AD2＋BD2)；(2)当A点在BC上时，将怎样？按沿河距离计算，B离A的距离AC=40千米，如果水路运费是公路运费的一半，应该怎样确定在河岸上的D点，从B点筑一条公路到D，才能使A 到B的运费最省？。
全国初中数学竞赛辅导(初2)第23讲 几何不等式
第 十 讲 几何 等式平面图形中所含的线段长度、角的大小及图形的面 在许多情形 会呈现 等的关系．由于 些 等关系出现在几何问题中 故 之 几何 等式．在解决 类问题时 们 常要用到一些教科书中已学过的基本定理 本讲的 要目的是希望大家 确运用 些基本定理 通过几何、 角、代数等解题方法去解决几何 等式问题． 些问题难度较大 在解题中除了运用 等式的性质和已 证明过的 等式外 需考虑几何图形的特点和性质．几何 等式就 形式来说 外乎分 线段 等式、角 等式以及面 等式 类 在解题中 仅要用到一些有关的几何 等式的基本定理 需用到一些图形的面 公式． 面先给出几个基本定理．定理1 在 角形中 任两边之和大于第 边 任两边之差小于第 边．定理2 一个 角形中 大边对大角 小边对小角 反之亦然．定理3 在两边对应相等的两个 角形中 第 边大的 所对的角 大 反之亦然．定理4 角形内任一点到两顶点距离之和 小于另一顶点到 两顶点距离之和．定理5自直线l外一点P引直线l的斜线 射影较长的斜线 较长 反之 斜线长的射影 较长．说明 如图2-135所示．PA PB是斜线 HA和HB分别是PA和PB在l 的射影 若HA HB 则PA PB 若PA PB 则HA HB． 实由勾股定理知PA2-HA2称PH2称PB2-HB2所以PA2-PB2称HA2-HB2．从而定理容易得证．定理6 在△ABC中 点P是边BC 任意一点 则有PA max｛AB AC｝当点P A或B时等号 立．说明 max｛AB AC｝表示AB AC中的较大者 如图2-136所示 若P 在线段BH 则由于PH BH 由 面的定理5知PA BA 从而PA max｛AB AC｝．理 若P在线段HC 样有PA max｛AB AC｝．例1 在锐角 角形ABC中 AB AC A≤ 中线 P △A≤C内一点 证明 PB PC(图2-137)．证 在△A≤B △A≤C中 A≤是公共边 B≤称≤C 且AB AC 由定理3知 ∠A≤B ∠A≤C 所以∠A≤C 90°．过点P作PH⊥BC 垂足 H 则H必定在线段B≤的延长线 ．如果H在线段≤C内部 则BH B≤称≤C HC．如果H在线段≤C的延长线 显然BH HC 所以PB PC．例2 已知P是△ABC内任意一点(图2-138)．(1)求证a b c(2)若△ABC 角形 且边长 1 求证PA+PB PC 2．证 (1)由 角形两边之和大于第 边得PA PB c PB PC a PC PA b．把 个 等式相加 再两边除以2 便得又由定理4可知PA PB a b PB PC b cPC+PA c a．把它们相加 再除以2 便得PA PB PC a b c．所以(2)过P作DE∥BC交 角形ABC的边AB AC于D E 如图2-138所示．于是PA max｛AD AE｝ ADPB BD DP PC PE EC所以PA PB PC AD BD DP PE EC称AB AE EC称2．例3如图2-139．在线段BC 侧作两个 角形ABC和DBC 使得AB称AC DB DC 且AB AC称DB DC．若AC BD相交于E 求证 AE DE．证 在DB 取点F 使DF称AC 并连接AF和AD．由已知2DB DB+DC称AB+AC称2AC所以 DB AC．由于DB DC称AB AC称2AC 所以DC BF称AC称AB．在△ABF中AF AB-BF称DC．在△ADC和△ADF中AD称AD AC称DF AF CD．由定理3 ∠1 ∠2 所以AE DE．例4 设G是 方形ABCD的边DC 一点 连结AG并延长交BC延长线于K 求证分析 在 等式两边的线段数 的情况 一般是设法构造 所边的 角形．证 如图2-140 在GK 取一点≤ 使G≤称≤K 则在Rt△GCK中 C≤是GK边 的中线 所以∠GC≤称∠≤GC．而∠ACG称45° ∠≤GC ∠ACG 于是∠≤GC 45°所以∠AC≤称∠ACG ∠GC≤ 90°．由于在△AC≤中∠AC≤ ∠A≤C 所以A≤ AC．故例5如图2-141．设BC是△ABC的最长边 在 角形内部任选一点O AO BO CO分别交对边于A′ B′ C′．证明(1)OA′ OB′ OC′ BC(2)OA′ OB′+OC′ max｛AA′ BB′ CC′｝．证 (1)过点O作O下 O同分别平行于边AB AC 交边BC于下 同点 再过下 同分别作下S 同T平行于CC′和BB′交AB AC于S T．由于△O下同∽△ABC 所以下同是△O下同的最大边 所以OA′ max｛O下 O同｝ 下同．又△B下S∽△BCC′ 而BC是△BCC′中的最大边 从而B下 是△B下S 中的最大边 而且S下OC′是平行四边形 所以B下 下S称OC′．理C同 OB′．所以OA′ OB′ OC′ 下同 B下 C同称BC．所以OA′ OB′+OC′称x·AA′+y·BB′ z·CC′(x+y+z)max｛AA′ BB′ CC′｝称max｛AA′ BB′ CC′｝面 们举几个 角有关的 等式问题．例6 在△ABC中 D是中线A≤ 一点 若∠DCB ∠DBC 求证 ∠ACB ∠ABC(图2-142)．证 在△BCD中 因 ∠DCB ∠DBC 所以BD CD．在△D≤B △D≤C中 D≤ 公共边 B≤称≤C 并且BD CD 由定理3知 ∠D≤B ∠D≤C．在△A≤B △A≤C中 A≤是公共边 B≤称≤C 且∠A≤B ∠A≤C 由定理3知 AB AC 所以∠ACB ∠ABC．说明 在证明角的 等式时 常常把角的 等式转换 边的 等式．证 由于AC AB 所以∠B ∠C．作∠ABD称∠C 如图2即证BD∠CD．因 △BAD∽△CAB即 BC 2BD．又 CD BC-BD所以BC CD 2BD BC-BD所以 CD BD．从而命题得证．例8在锐角△ABC中 最大的高线AH等于中线B≤ 求证 ∠B 60°(图2-144)．证 作≤H1⊥BC于H1 由于≤是中点 所以于是在Rt△≤H1B中∠≤BH1称30°．延长B≤至≥ 使得≤≥称B≤ 则ABC≥ 平行四边形．因 AH 最ABC中的最短边 所以A≥称BC AB从而∠AB≥ ∠A≥B称∠≤BC称30°∠B称∠AB≤+∠≤BC 60°．面是一个非常著 的问题——费马点问题．例9 如图2-145．设O △ABC内一点 且∠AOB称∠BOC称∠COA称120°P 任意一点( 是O)．求证PA PB+PC OA+OB+OC．证 过△ABC的顶点A B C分别引OA OB OC的垂线 设 条垂线的交点 A1 B1 C1(如图2-145) 考虑四边形AOBC1．因∠OAC1称∠OBC1称90° ∠AOB称120°所以∠C1称60°． 理 ∠A1称∠B1称60°．所以△A1B1C1 角形．设P到△A1B1C1 边B1C1 C1A1 A1B1的距离分别 ha hb hc 且△A1B1C1的边长 a 高 h．由等式S△A1B1C1称S△PB1C1+S△PC1A1 S△PA1B1知所以 h称h a h b h c．说明 △A1B1C1内任一点P到 边的距离和等于△A1B1C1的高h 是一个定值 所以OA OB OC称h称定值．显然 PA PB PC P到△A1B1C1 边距离和 所以PA PB PC h称OA OB OC．就是 们所要证的结论．由 个结论可知O点 有如 性质 它到 角形 个顶点的距离和小于 他点到 角形顶点的距离和 个点叫费马点．练 十1．设D是△ABC中边BC 一点 求证 AD 大于△ABC中的最大边．2．A≤是△ABC的中线 求证3．已知△ABC的边BC 有两点D E 且BD称CE 求证 AB AC AD AE．4．设△ABC中 ∠C ∠B BD CE分别 ∠B ∠C的平分线 求证 BD CE．5．在△ABC中 BE和CF是高 AB AC 求证AB+CF AC BE．6．在△ABC中 AB AC AD 高 P AD 的任意一点 求证PB-PC AB-AC．7．在等腰△ABC中 AB称AC．(1)若≤是BC的中点 过≤任作一直线交AB AC(或 延长线)于DE 求证 2AB AD+AE．(2)若P是△ABC内一点 且PB PC 求证 ∠APB ∠APC．。
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第三十二讲 几何不等式1．三角形的不等关系是研究许多几何不等问题的基础，这种不等关系分为两类：一类是在同一三角形中进行比较；一类是在两个三角形中比较．这里主要方法是把要比较的边或角如何转化到同一个三角形或适当安排在两个三角形之中．2．在同一个三角形中有关边或角不等关系的证明，常有以下定理： (1)三角形任何两边之和大于第三边． (2)三角形任何两边之差小于第三边．(3)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角． (4)同一三角形中大边对大角． (5)同一三角形中大角对大边． 例题求解【例1】 如图19-2，在等腰梯形ABCD 中，A ∥BC ，AB=CD ，E 、F 分别在AB 、CD 上且AE=CF ．求证：)(21BC AD EF +≥．思路点拨 如图所示，延长AD 至D 1使DD 1=BC ，延长BC 至C l ，使CC l =AD ，连结C l D l ，则ABC 1D l 是平行四边形，ABCD 和CDD l C l 是两个全等的梯形，在D 1C 1上取一点G 使D 1G=AE ，连结FG 和EG ．由AE=CF ，则EF=FG ，又EG=AD 1=AD+BC ， ∴ 2EF=EF+FG ≥EG=AD+BC ． 即)(21BC AD EF +≥． 注 当且仅当点F 落在EG 上时，即E 为AB 的中点时，结论中的等号成立．证明这类不等式的一个常用方法是能过添加辅助线，把要比较大小的线段或角集中到一个三角形中，或者适当地安排在两个三角形中，以便应用上述基本不等式关系．【例2】 如图19-3，△ABC 中，AB>AC ，BE 、CF 是中线，求证：BE>CF ．思路点拨 将BE 、CE 分别平移到FG 、FD ，则四边形EFDC 为平行四边形，作FH ⊥BC 于H ．∴AB>AC ，且F ，E 分别为AB 、AC 的中点，∴ FB>CE ． ∴ FB>FD ，由勾股定理得：HB>HD ，即FB>FD ． 又∵GH=GB+BH=EF+BH=DC+BH>CD+DH=CH ， 即GH>CH ， ∴ GF>CF ． 即 BE>CF ．【例3】 如图19-4，在等腰△ABC 中，AB=AC ，D 为形内一点，∠ADC>∠ADB ，求证：DB>DC ．思路点拨 把△ABD 绕点A 按逆时针方向旋转△BAC 至△ACD ′，连接DD ′，则AD=AD'． ∴∠ADD ′=∠AD ′D ，而∠ADC>∠ADB ， ∴ ∠ADC>∠AD ′C ，∴ ∠ADD ′+∠D ′DC>∠AD ′D+∠CD ′D ∴ ∠D'DC>∠DD'C ．∴ CD ′>DC ，即DB>DC ．注 几何图形在平移、对称、旋转变换中，只是图形位置发生变化，而线段的长度、角的大小不变．【例4】 如图19-5，在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，且2 b < a +c ，求证：2∠B<∠A+∠C ．思路点拨 延长BA 到D ，使AD=BC= a ，延长BC 到E ，使CE=AB=，连结DE ， 这就把图形补成一个等腰三角形，即有BD=BE= a + c ． ∴∠BDE=∠BED ．作DF ∥AC ，CF ∥AD ，相交于F ，连结EF ，则ADFC 是平行四边形． ∴CF=AD=BC ．又∠FCE=∠CBA ，∴△FCE ≌△CBA ∴ EF=AC= b ．于是 DE ≤DF+EF=2 b < a+c=BD=BE ．这样，在△BDE 中，便有∠B<∠BDE=∠BED∴ ∠2B<∠BDE+∠BED=180°一∠B=∠A+∠C ， 即2∠B<∠A+∠C ．【例5】 过三角形的重心任作一直线，把这个三角形分成两部分，求证：这两部分面积之差不大于整个三角形面积的91． 思路点拨 如图19-6，设△ABC 重心为，过点G 分别作各边的平行线与各边交点依次为A 1、B 1、B 2、C 1、C 2、A 2 连结A 1A 2；B 1B 2、C 1C 2，∵ 三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的二倍， ∴ A 1A=A 1B l =B 1B ， BB 2=B 2C l =C 1C ，CC 2=C 2A 2=A 2A ． ∵ A 1A 2∥BC ，B 1B 2∥AC ，C 1C 2∥AB ， ∴ 图中的9个三角形全等．即△AA 1A 2≌△A 1B 1G ≌△B 2GB 1≌…≌△C 2C l C ． 所以上述9个小三角形的面积均等于△ABC 面积的91． 若过点C 作的直线恰好与直线A 1C 1、B 1C 2、B 2A 2重合，则△ABC 被分成的两部分的面积之差等于一个小三角形的面积，即等于△ABC 面积的91． 若过点C 作的直线不与直线A 1C 1、B 1C 2、B 2A 2重合，不失一般性，设此直线交AC 于F ，交AB 于E ，交C 1C 2于D ，∵ GB l =GC 2，∠EB 1G=∠DC 2C ，∠B 1GE=∠C 2GD ， ∴ △B 1GE ≌△C 2GD ．∴ EF 分△ABC 成两部分的面积之差等于12DFCC DF C S S 四边形-∆， 而这个差的绝对值不会超过S △C 1C 2C 的面积．从而EF 分△ABC 成两部分的面积之差不大于△ABC 面积的91． 综上所述：过三角形重心的任一直线分三角形成两部分的面积之差不大于整个三角形面积的91． 【例6】 如图19-12，在△ABC 中，P 、Q 、R 将其周长三等分，且P 、Q 在AB 上，求证：92>∆∆ABCPQR S S ． 思路点拨 易想到作△ABC 和△PQR 的高，将三角形的面积比化成线段的乘积比，并利用平行线截线段成比例定理，把其中两条高的比转换成三角形边上线段的比． 如图19-12，作CL ⊥AB 于L ，RH ⊥PQ 于H ，则ACAB ARPQ CL AB RH PQ S S ABCPQR ⋅⋅=⋅⋅=∆∆．不妨设△ABC 的周长为1，则PQ=31，AB<21， ∴32>AB PQ ． ∵AP ≤AP+BQ=AB —PQ<613121=-， ∴AR=31—AP>31－6161=． 又AC<21，从而31>AC AR ，∴923132=⨯>∆∆ABC PQR S S ． 【例7】 (2000年江苏省初三竞赛题)如图19-13，四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=60°，P 为四边形ABCD 内一点，且∠APD=120°．证明：PA+PD+PC ≥BD ．思路点拨 在四边形ABCD 外侧作等边三角形AB ′D ，由∠APD=120°可证明B'P=AP+PD ．易知B' C ≥PB'+PC ．得B' C ≤AP+PD+PC ．下证BD= B'C ．∵△AB'D 是等边三角形，∴ AB'=AD ，∠B'AD=60°，又易知△ABC 是等边三角形，故AC=AB ，∠BAC=60°，于是△AB'C ≌△ADB ，∴ B'C= DB ． 【例8】 设a h 、b h 、c h 是锐角△ABC 三边上的高，求证：121<++++<cb a h h hc b a ．思路点拨 如图19-14，在Rt △ADC 中，由于AC>AD ，故a h b >，同理可证b h c >，c h a >∴c b a h h h c b a ++<++，即1<++++cb a h h h cb a ①设△ABC 的垂心为H 点，由于HA+HB>AB ，HB+HC>BC ，HC+HA>AC ，即HA+HB+HC>)(21c b a ++． 从而)(21c b a HC HB HA h h h c b a ++>++>++， 即21>++++c b a h h h c b a ② 由①、②得121<++++<cb a h h hc b a ． 学历训练（A 级）1．在△ABC 中，AD 为中线，AB=7，AC=5，则AD 的取值范围为 ．2．(安徽省数学竞赛)已知在△ABC 中，∠A ≤∠B ≤∠C ，且2∠B=5∠A ，则AB 的敢值范围是 ．3．(太原市初中数学竞赛试题)用长度相等的100根火柴棍，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍，求满足此条件的每个三角形的各边所用火柴棍的根数 ．4．(全国高中理科试验班招生数学试题)面积为1的三角形中，三边长分别为a 、b 、c ，且满足a ≤b ≤c ，则a+b 的最小值是 ．5．(江苏数学竞赛培训题)在任意△ABC 中，总存在一个最小角α，则这个角α的取值范围为 ．（B 级）1．如图19-16，△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 上任一点，BE 、CF 交于P ，求证：PE+PF<AE+AF ．2．如图19-17，等线段AB 、CD 交于O ，且∠AOC=60°，求证：AC+BD ≥AB ． 3．如图19-18，矩形ABCD 中，E 、F 别是AB 、CD 上的点，求证：EF<AC ．4．已知 a 、b 、x 、y 均小于0，122=+y x ，求证：b a x b y a y b x a +≥+++22222222． 5．如图19-19，在△ABC 中，∠B=2∠C ，求证：AC<2AB ．6．平面上有n 个点，其中任意三点构成一个直角三角形，求n 的最大值．7．如图19-20，已知△ABC 中AB>AC ，P 是角平分线AD 上任一点，求证：AB －AC>PB —PC ．。