割集分析法
安全系统工程课件：事故树分析(三)——事故树简化及最小割集的求法
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单二击、此最处小编割辑集母和版最标小题径样集式
（2）径集和最小径集 径集：指的是事故树中某些基本事件的集合
，当这些基本事件都不同时发生时，顶上事 件必然不发生。所以系统的径集也代表了系 统的正常模式，即系统成功的一种可能性。
2024年11月9日星期六12时27分59秒
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2024年11月9日星期六12时27分55秒
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单击此一处、编事辑故母树版的标简题化样式
解：根据事故树的逻辑关系，可写出其 布尔代数表达式如下：
T=A1A2=(x1+x2)x1x3 按独立事件概率和与积的计算公式，顶 上事件的发生概率为： QT=[1-(1-q1)(1-q2)]q1q3 =[1-(1-0.1)(1-0.1)]×0.1×0.1 =0.0019
化简的方法就是反复运用布尔代数运算 法则，其化简的程序是：
（1）根据事故树列出布尔代数式； （2）代数式若有括号应先去括号将函数 式展开； （3）用布尔代数的基本性质进行简化； （4）作简化后的等效事故树。
2024年11月9日星期六12时27分54秒
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【例2-17】 如图2-26所示的事故树示意 图，设顶上事件为T，中间事件为Ai，基本事 件为x1、x2、x3，若其基本事件的发生概率均 为0.1，即q1＝q2＝q3＝0.1，求顶上事件的发 生概率。
合取标准形式为：
n
f B1 • B2 • Bn Bi i 1
2024年11月9日星期六12时28分0秒
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三单、击用此布处尔编代辑数母法版求标最题小样割式集
因此，根据前述例子，归纳起来，用布 尔代数法求最小割集，通常分三个步骤：
最小割集计算
最小割集计算：T=A1+A2+A3=B1B2+X6X7+X8X9=（X1+X2+X3）（X4+X5）+X6X7+X8X9= X1X4+X1X5+X2X4+X2X5+X3X4+X3X5+X6X7+X8X9则最小割集有8个，即K1=｛X1，X4｝；K2=｛X1，X5｝；K3=｛X2，X4｝；K4=｛X2，X5｝；K5=｛X3，X4｝；K6=｛X3，X5｝；K7=｛X6，X7｝；K8=｛X8，X9｝。
最小径集计算：T′=A1′·A2′·A3′=（B1′+B2′）（X6′+X7′）（X8′+X9′）=（X1′X2′X3′+X4′X5′）（X6′+X7′）（X8′+X9′）=（X1′X2′X3′X6′+X1′X2′X3′X7′+X4′X5′X6′+X4′X5′X7′）（X8′+X9′）= X1′X2′X3′X6′X8′+ X1′X2′X3′X6′X9′+ X1′X2′X3′X7′X8′+ X1′X2′X3′X7′X9′+ X4′X5′X6′X8′+ X4′X5′X6′X9′+ X4′X5′X7′X8′+ X4′X5′X7′X9′则故障树的最小径集为8个，即P1=｛X1，X2，X3，X6，X8｝；P2=｛X1，X2，X3，X6，X9｝；P3=｛X1，X2，X3，X7，X8｝；P4=｛X1，X2，X3，X7，X9｝；P5=｛X4，X5，X6，X8｝；P6=｛X4，X5，X6，X9｝；P7=｛X4，X5，X7，X8｝；P8=｛X4，X5，X7，X9｝；起重钢丝绳断裂事故发生概率计算：根据最小割集计算顶上事件的概率即g=1－（1－qk1）（1－qk2）（1－qk3）（1－qk4）（1－qk5）（1－qk6）（1－qk7）（1－qk8）=1－（1－q1q4）（1－q1q5）（1－q2q4）（1－q2q5）（1－q3q4）（1－q3q5）（1－q6q7）（1－q8q9）由于q1=q2=q3=q4=q5=q6=q7=q8=q9=0.1则g=1－（1－0.1×0.1）（1－0.1×0.1）（1－0.1×0.1）（1－0.1×0.1）（1－0.1×0.1）（1－0.1×0.1）（1－0.1×0.1）（1－0.1×0.1）=1－（1－0.1×0.1）8=1－0.998=0.07726山东科技大学2005年招收硕士学位研究生入学考试安全系统工程试卷（共2页）一、问答题（共25分）1、说明事故法则的概念，它对安全工作的启示是什么？分析其在安全工作中的应用。
割集分析法工科
§3-6 割 集 分 析 法一、割集与基本割集1）、割集 割集是支路的集合，它必须满足以下两个条件： （1） 移去该集合中的所有支路，则图被分为两部分。
（2） 当少移去该集合中的任何一条支路，则图仍是连通的。
需要说明的是，在移去支路时，与其相连的结点并不移去。
图G 是一个连通图，如图3－26(a)所示，支路集合{1，5，2}、{1，5，3，6}、{2，5，4，6}均为图G 割集。
将以上割集的支路用虚线表示，分别如图3－26(b)、(c)、(d)所示，不难看出，去掉虚线支路后，各图均被分成了两部分，但是图3－26 图G 及其割集(a)(b)(c)(d)只要少去掉其中的一条虚线支路，图仍然是连通的，故满足割集所要求的条件。
而支路集合{1，5，4，6}、{1，2，3，4，5}不是图G 的割集。
将集合中的支路用虚线表示后如图3－27(a)和(b)所示。
对于图3－27(a)来说，移去支路1、5、4、6后，图虽说被分为两部分（结点①为其中的一部分），但如不移去支路5，图仍被分为两部分；而对于图3－27(b)来说，将支路1、2、3、4、5移去后，图则被分成了三部分，故以上两种支路集合不是割集。
2）、作高斯面确定割集在图G 上作一个高斯面（闭合面），使其包围G 的某些节点，而每条支路只能被闭合面切割一次，去掉与闭合面相切割的支路，图G 将被分为两部分，那么这组支路集合即为图G 的一个割集。
在图G 上画高斯面（闭合面）C 1、C 2、(a)(b)图3－27 非割集说明①②①②C 3如图3－28所示，对应割集C 1、C 2、C 3的支路集合为{1，5，2}、{1，5，3，6}、{2，5，4，6}。
3）、基本割集基本割集又称单树支割集，即割集中只含一条树支，其余均为连支。
如选支路1、5、3为树支，如图3－29所示，则割集C 1，C 2，C 3为基本割集，基本割集的方向与树支的参考方向一致。
当树选定后，对应的基本割集是唯一确定的。
故障树割集下行法
故障树割集下行法摘要：1.故障树割集下行法的定义与概述2.故障树割集下行法的基本原理3.故障树割集下行法的应用实例4.故障树割集下行法的优缺点分析5.故障树割集下行法在我国的发展现状与前景正文：故障树割集下行法是一种基于故障树理论的安全评估方法，主要用于分析和计算系统故障概率，以及确定系统的安全关键部件。
该方法通过构建故障树，分析树中各节点的割集，从而找出可能导致系统故障的最小割集，进而为系统安全管理提供依据。
下面将从五个方面对故障树割集下行法进行详细介绍。
首先，故障树割集下行法的定义与概述。
故障树是一种特殊的决策树，用以表示系统中各部件的故障模式及其对系统整体功能的影响。
故障树割集下行法通过分析故障树中各节点的割集，找出导致系统故障的最小割集，从而计算出系统的故障概率。
其次，故障树割集下行法的基本原理。
该方法的基本原理是利用故障树的结构特征，分析树中各节点的割集，从而找出可能导致系统故障的最小割集。
在此基础上，可以计算出系统的故障概率，并据此评估系统的安全性能。
再次，故障树割集下行法的应用实例。
故障树割集下行法广泛应用于航空航天、核能、化工、电力等高安全风险领域。
例如，在航空航天领域，可以通过该方法分析飞机各部件的故障概率，从而确定哪些部件是安全关键部件，为飞机的设计和维修提供依据。
接着，故障树割集下行法的优缺点分析。
该方法的优点在于可以直观地表示系统的故障模式，便于分析和理解；计算简便，速度快；能够准确找出安全关键部件，为系统安全管理提供依据。
缺点在于，对于复杂的系统，构建故障树需要花费较多时间和精力；此外，该方法对于不确定性因素的处理能力较弱。
最后，故障树割集下行法在我国的发展现状与前景。
故障树割集下行法在我国已经得到广泛应用，并在相关领域的研究中取得了显著成果。
割集分析法
i4
2V I
i4 = i1 + i2 = – 0.25 + 0.85 = 0.6A
II
i5 = 3A（已知）， i7 = i1 = – 0.25A
以上各式中，u1、u2、u3分别为支路 1、支路 2 和支路 3 的 电压。
电路分析基础——第一部分：2-5
例2-16 电路如图2-37(a)，试求ux。
致，则互电导为正，否则为负；
电流输送：is11、is22、is33 。该基本割集上电流源输 送电流的代数和，电流源电流方向与割
集方向相反者为正，否则为负。
ut1、…、uti、…、ut(n-1)：在确定基本割集顺序后， 每个基本割集上的树支电压；
电路分析基础——第一部分：2-5
17/23
注意：在用割集分析时，往往把感兴趣的支路选为树支，使其 电压成为直接求解对象。电路中的电压源支路都应尽量选为树 支，因为电压源是已知的，可以减少未知独立变量的个数。
例如：在图（b）中，切割用虚线表
1
2
示，例如切割II使节点1、3与节点2、 I
3
4分为两个分离部分，所切割的支路 G3、G4、G1和电流源支路的集合就 是割集II。
割集的多样性：一个连通图可以有许
II
4
III
1
2
3
多不同的割集，图（b）中就表明了
三种不同的割集。
4
电路分析基础——第一部分：2-5
7/23
电路分析基础——第一部分：2-5
21/23
i2 =
u2 0.5
=
– ut6 – ut5 – ut4 0.5
= – 2(2–2.75+ 0.326) = 0.85A
2-3-割集电压分析法
b
C2 c
1
2
3
45
d C3
6
IqQ fIsQ fY bU s
I s
6
I s
6
U
R
U s 5
s5 5
R 5
割集电压方程的矩阵形式为：
1 R3
1 R6
1
jL1
1 R6
1
R3
1 R6
11 1
R5 R6 jL2
1 R5
1 R3
R 15R R1153 jC4U U Uqqq132
3
例2－2 写出如图所示电路割集电压方程的矩阵形式。
（1）电感L1、L2 之间无耦合。 （2）电感L1、L2 之间有耦合。
I6
R6
Is 6
I1
I3
L1
R3
M
I4
I2 L 2
C4
I5 R5
+ - U s 5
4
解 （1）电感L1、L2 之间无耦合
画出网络的有向图，对节点和支路进行编号，选支路1、
2、4为树支，如图所示。
§2-3 割集电压分析法
北京邮电大学
电子工程学院 俎云霄
1
割集分析法是以割集电压亦即树支电压为变量列写方程进行 求解的一种方法。
U QTf Ut I Y bU I sY bU s IY bQ T fU tIsY bU s Qf I 0 Q fY b Q T fU t Q fI s Q fY b U s ——割集电压方程的矩阵形式
I s 6
I
s
6
U
R
U s 5
s5 5
R 5
7
（2）电感L1、L2 之间有耦合
大学物理电路分析精品课程 第三章 电路的一般分析方法
I S I4 I1 0
I
1
I3
I2
0
I
4
I3
I5
0
U 4 U S1 U 3 U1 0 U1 U 2 U 0 U 3 U S1 U 5 U S 2 U 2 0
I1R1 U1
I I
2 3
R2 R3
U2 U3
I
4
R4
U4
I 5 R5 U 5
支路电流法（1B法）
1) U 2
2
添加以下方程：
2U 23 2(U 2 U 3 ) 4U 43 4(U 4 U 3 ) U1 U 4
例题3——割集分析法
5 + 19V - 2
I1 +
30V _
4A 1.5I1
4
+ 25V
_
选树如图所示，则只需要对2、4支路 （树支）所决定的基本割集列写方程即可
(5 2 4) I1 (2 4) 4 4 1.5I1 30 25 19
I S
U4 R4
U1 R1
0
UR11
U3 R3
U2 R2
0
U
4
U3
U5
0
R4 R3 R5
3-3 节点法与割集法
一、节点法
1 .方法
任选电路中某一节点为参考节点， 其他节点与此参考节点间的电压称为 “节点电压”。节点法是以节点电压作 为独立变量，对各个独立节点列写KCL 电流方程，得到含(n-1)个变量的(n-1)个 独立电流方程，从而求解电路中待求量。
第三章 电路的一般分析方法
❖重点 1、支路法 2、节点法 3、网孔法
❖难点 1、改 拓扑术语
支路 节点 回路 网孔 基本回路 割集 基本割集
2-3 割集电压分析法
-
解 （1）电感L1、L2 之间无耦合 画出网络的有向图，对节点和支路进行编号，选支路1 画出网络的有向图，对节点和支路进行编号，选支路1、2、 为树支，如图所示。 4为树支，如图所示。
& I6
& I s6
a
R6
C1 6 b C2 c 2 4 3 5
& I1
& I3
M L1 & I4 C4 & I 2 L2 & I5 R5
∆ = jω ( L1 L2 − M 2 )
割集电压方程的矩阵形式为： 割集电压方程的矩阵形式为：
1 1 L2 + + R 3 R6 ∆ 1 −M R6 ∆ 1 R3 1 M − R6 ∆ 1 1 L1 + + R5 R6 ∆ 1 − R5
1 & I s6 R3 & U q1 & 1 & = I − U s5 & U s6 − R5 q2 R5 & U q 3 U & 1 1 s5 + + j ωC 4 R R3 R5 5
割集电压方程的矩阵形式为： 割集电压方程的矩阵形式为：
1 1 1 + + R3 R6 jωL1 1 − R6 1 − R3 1 − R6 1 1 1 + + R5 R6 jωL2 1 − R5
1 − & R3 & I s6 U q1 & 1 U = I − U s 5 & & − q 2 s6 R R5 & U q 3 & 5 1 1 U s5 + + j ωC 4 R3 R5 R 5
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§3-6 割 集 分 析 法
一、割集与基本割集
1）、割集 割集是支路的集合，它必须满足以下两个条件： （1） 移去该集合中的所有支路，则图被分为两部分。
（2） 当少移去该集合中的任何一条支路，则图仍是连通的。
需要说明的是，在移去支路时，与其相连的结点并不移去。
图G 是一个连通图，如图3－26(a)所示，支路集合{1，5，2}、{1，5，3，6}、{2，5，4，6}均为图G 割集。
将以上割集的支路用虚线表示，分别如图3－26(b)、(c)、(d)所示，不难看出，去掉虚线支路后，各图均被分成了两部分，但是
图3－26 图G 及其割集
(a)
(b)
(c)
(d)
只要少去掉其中的一条虚线支路，图仍然是连通的，故满足割集所要求的条件。
而支路集合{1，5，4，6}、{1，2，3，4，5}不是图G 的割集。
将集合中的支路用虚线表示后如图3－27(a)和(b)所示。
对于图3－27(a)来说，移去支路1、5、4、6后，图虽说被分为两部分（结点①为其中的一部分），但如不移去支路5，图仍被分为两部分；而对于图3－27(b)来说，将支路1、2、3、4、5移去后，图则被分成了三部分，故以上两种支路集合不是割集。
2）、作高斯面确定割集
在图G 上作一个高斯面（闭合面），使其包围G 的某些节点，而每条支路只能被闭合面切割一次，去掉与闭合面相切割的支路，图G 将被分为两部分，那么这组支路集合即为图G 的一个割集。
在图G 上画高斯面（闭合面）C 1、C 2、
(a)
(b)
图3－27 非割集说明
①
②
③
①
②
C 3如图3－28所示，对应割集C 1、C 2、C 3的支路集合为{1，5，2}、{1，5，3，6}、{2，5，4，6}。
3）、基本割集
基本割集又称单树支割集，即割集中只含一条树支，其余均为连支。
如选支路1、5、3为树支，如图3－29所示，则割集C 1，C 2，C 3为基本割集，基本割集的方向与树支的参考方向一致。
当树选定后，对应的基本割集是唯一确定的。
当然选的树不同，相应的基本割集也就不同。
如选支路1、5、6为树支以及选支路1、5、2为树支的基本割集分别如图3－30 (a)和(b)所示。
当图G 有n 个结点、b 条支路时，基本割集的数目等于树支数，为（n －1）。
图3－28 作高斯面确定割集
C 1
2
C 3
图3－29 基本割集
二、割集分析法
割集分析法与回路分析法一样，是建立在“树”的基础上的一种分析方法。
割集分析法是将树支电压作为一组独立的求解变量，根据基本割集建立KCL 方程，因此割集分析法也可以称为割集电压分析法。
割集分析法的选树原则与回路分析法相同，即尽可能将电压源及电压控制量选为树支，电流源及电流控制量选为连支。
设网络的图有n 个结点，b 条支路，则割集分析法中基本割集的数目与树支数相等，为（n －1）个，树支电压变量也为（n －1）个。
因此当电路中电压源支路较多时，采用割集分析法最为有效。
下面通过例题说明割集分析法的求解过程。
图3－30 基本割集示例 C 1
(b)
(a)
C 3
C 2
例3－16 用割集分析法求图3－34（a ）所示电路。
解：割集分析法的求解步骤如下：
（1） 画出电路的拓扑图，选一个“合适”的树，并给各
支路定向。
本电路的拓扑图如图3－34（b ）所示。
其中粗线为树，树支电压为u 1、u 2、u 3，参考方向如箭头方向所示。
（2） 画出基本割集及其参考方向。
基本割集C 1、C 2、C 3如图3－34（b ）所示，其参考方向与树支电压方向相同。
（3） 写基本割集的KCL 方程。
图3－34 例3－16图
5s （a ）
（b ）
C 12
C 3
为写方程方便起见，将基本割集C 1、C 2、C 3画在原电路上，如图3－34（c ）所示。
每一条支路的电流都可以用树支电压以及激励源表示。
对应基本割集的KCL 方程分别为
03
2
15
11
1
23=++
-+
---R u u R u u R u u u s
（1）
01
1
233
2
142
=---
++
+-R u u u R u u R u i s
（2）
023
1
1
23=++
--s i R u R u u u （3）
（4） 联立求解，得树支电压u 1、u 2、u 3。
（5） 利用树支电压求得电路的其它物理量。
（c ）
s C 3
C
C C 2
C 3
（d ）
图3－34 例3－16图
如所选树如图3－34（d ）所示，则所得基本割集方程正好是结点电压方程，所以结点电压法是割集分析法的特例。
例3－17 重做例3－7所示电路。
求结点①与结点②之间的
电压12
u 。
解：选树支电压如图，分别为u 1、u 2和u 3 。
u 3等于22V ，可以不建立关于u 3的基本割集方程。
另外两个基本割集的KCL 方程分别为 C 1
8)1(3)22(411=+++-u u
C 2 025)22(51822=-++⨯+u u 两式联立求解得
V u 111=，V u 5.152-= 所以 V u u 11112==
4S
2
图3－35 例3－17图
例3－18 电路如图3－36（a ）所示。
已知：
S
G 11=,S G 2 2=,S G 3 3=,S G 5 5=，V u s 1 1=， V u s 3 3=，
A i s 3 3=， 4 4V u s =，V
u s 6 6
=。
试用割集分析法求电流i 1以
及电压源u s1发出的功率p 。
解：选树如图粗线所示，树支电压如图3－36（b ）所示，为u 1、u 4和u 6。
因为V u u s 4 44==，V u u s 6 66== ，所以可以不建立关于u 4和u 6的基本割集方程，故只需要列关于u 1的基本割集方程。
基本割集C 1如图3－36（a ）所画，其方程为
)()()(36145612111=+++-+++-s s s s s i u u u G u u G u u G
图3－36 例3－18图
u s4（a ）
（b ）
即 024 81=+u 得 V u 3 1-=
所以 A u u G i s 4)13()(1111-=--=-= W i u p s 411=-=。