2014年广西民族大学数学分析考研真题考研试题硕士研究生入学考试试题

广西民族大学

2014年硕士研究生入学考试初试自命题科目试题

（试卷代号：A卷）

科目代码：601

科目名称：数学分析

适用学科专业：数学一级学科

研究方向：

命题教师签名：

考生须知

1．答案必须写在答题纸上，写在试题上无效。

2．答题时一律使用蓝、黑色墨水笔作答，用其它笔答题不给分。

3．交卷时，请配合监考人员验收，并请监考人员在准考证相应位置签字（作为考生交卷的凭证）。否则，产生的一切后果由考生自负。

一、求下列极限（每小题10分，共2小题，共20分）

（1）1

111lim

3

-+-+→x x x

（2）??

??????? ??+??? ??+??? ??+∞→n n n n n n 12111ln 1lim

． 二、（10分）求b a ,使下列函数在0=x 处可导:2,0,

()1,0.ax b x f x x x +≥?=?+

三、（15分）设平面3=++z y x 截三坐标轴于A,B,C 三点,O 为坐标原点,),,(z y x P 为三角形ABC

上一点,以OP 为对角线, 三坐标平面为三面作一长方体, 求最大体积．

四、（15分）证明函数?????=+≠+++=,0,

0,0,1sin )(),(22222

22

2y x y x y

x y x y x f 在原点)0,0(连续且偏导数存在, 但偏导数在)0,0(不连续,而f 在原点)0,0(可微.

五、（15分）证明：由方程)(2

22z y x cz by ax ++=++φ所定的函数),(y x z z =满足方程

ay bx -=??+??y

z

)cx -az (x z )

bz -cy ( 其中)(u φ是u 的可微函数, a, b, c 为常数.

六、计算下列积分（每小题10分，共3小题，共30分）

（1）32

sin cos 1sin x x

dx x

+?； （2）

dx x

x x a

b ln 1

-?

()0>>a b ．； （3）???Ω

++dxdydz z y x )(2

2

2

，其中Ω：122

2222≤++c z b y a x ．

七、（15分）计算积分?+1

03

1x dx 的值, 并证明它也等于数项级数∑∞

=+-01

3)1(n n

n 的和.

八、（15分）计算222

x dydz y dzdx z dxdy ∑

++??,其中∑为圆锥曲面222z x y =+被平面0,2

z z ==所截部分的外侧.

九、（15分）叙述函数列{})(x f n 不一致收敛到函数)(x f 的分析定义,并用定义证明n n x x f =)(在

[0,1]上不一致收敛.