2018年高三最新北京市朝阳区2018年综合练习(一)高三数学综合练习(文科)附答案人教版精品

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2018北京朝阳高三二模文科数学试题(含答案

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（文史类）2018．5（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{}2320A x x x =-+<，{}1B x x =≥，则=ABA ．(],2-∞B ．()1+∞，C ．()12，D ．[)1+∞， 2.计算()21i -=A.2iB. 2i -C. 2i -D. 2+i3.已知,x y 满足不等式组220101,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，，则3z y x =-的最小值是A.1B.3-C.1-D.72-4.在ABC △中，ππ1,,64a A B =∠=∠=，则c =A.5.“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6. 如图，角α，β均以Ox 为始边，终边与单位圆O 分别交于点A ，B ，则OA OB ⋅=A. sin()αβ-B. sin()αβ+C. cos()αβ-D. cos()αβ+7.已知定义在R 上的奇函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，且0a b +>，0b c +>，0a c +>，则()()()f a f b f c ++的值A ．恒为正B ．恒为负C ．恒为0D ．无法确定8.某校中国象棋社团组织比赛.采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分.若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次却比其他人都少.则本次比赛的参赛人数至少为 A. 5 B. 6 C. 7 D.8第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9.执行如图所示的程序框图，则输出的S = ．10.双曲线22143x y -=的焦点坐标是_________，渐近线方程是___________．11. 已知0,0x y >>，且满足4x y +=，则lg lg x y +的最大值为 .12. 已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是_________.13.在平面直角坐标系xOy 中，点P （不过原点）到x 轴，y 轴的距离之和的2倍等于点P 到原点距离的平方.则点P 的轨迹所围成的图形的面积是 .14. 如图，已知四面体ABCD 的棱AB //平面α，且AB =，其余的棱长均为1．四面体ABCD 以AB 所在的直线为轴旋转x 弧度，且四面体ABCD 始终在水平放置的平面α的上方．如果将四面体ABCD 在平面α内正投影面积看成关于x 的函数，记为()S x ，则函数()S x 的最小正周期为；()S x 的最小值为．俯视图三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15． (本小题满分13分)已知函数()2sin (sin cos )f x x x x a =+-的图象经过点(,1)2π，a ∈R ．（Ⅰ）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最小值．16．(本小题满分13分)已知数列{}n a 的前n 项和2(,,*)n S pn qn p q n =+∈∈R N ，且143,24a S ==．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．某市的一个义务植树点，统计了近10年栽种侧柏和银杏的数据（单位：株），制表如下：平均数；（Ⅱ）从统计的数据中，在栽种侧柏与银杏数量之差的绝对值不小于300株的年份中，任意抽取2年，恰有1年栽种侧柏的数量比银杏数量多的概率.18．(本小题满分14分)如图,在四棱锥P ABCD -中，△PBC 是等腰三角形，且3PB PC ==.四边形ABCD 是直角梯形，ABDC ，AD DC ⊥，5,4,3AB AD DC ===.（Ⅰ）求证：AB //平面PDC ；（Ⅱ）当平面PBC ⊥平面ABCD 时，求四棱锥P ABCD -的体积；（Ⅲ）请在图中所给的五个点,,,,P A B C D 中找出两个点，使得这两点所在直线与直线BC垂直，并给出证明．．.已知椭圆2222:1(0)x y W a b a b +=>>，其左顶点A 在圆22:4O x y +=上（O 为坐标原点）．（I ）求椭圆W 的方程；(II) 过点A 作直线AQ 交椭圆W 于另外一点Q ，交y 轴于点R .P 为椭圆W 上一点,且//OP AQ ，求证：2AQ AR OP⋅为定值.20． (本小题满分13分)已知函数()e xf x x =，()1g x ax =+，a ∈R .（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线()y g x =垂直，求a 的值；（Ⅱ）若方程()()0f x g x -=在(2,2)-上恰有两个不同的实数根，求a 的取值范围; （Ⅲ）若对任意1[2,2]x ∈-，总存在唯一的2(,2)x ∈-∞，使得21()()f x g x =，求a 的取值范围.北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试答案（文史类） 2018．5二、填空题（本题满分30分）三、解答题（本题满分80分） 15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据题意得2sin(sin cos )1222a πππ+-=，即2(10)1a +-=，解得1a =． ()2s i n (s i n c o sf x x x x =+- 22sin 2sin cos 1x x x =+-sin 2cos 2x x =-)4x π=-．由222242k x k πππ-+π≤-≤+π（k ∈Z ），得322244k x k ππ-+π≤≤+π，所以388k x k ππ-+π≤≤+π，所以函数()f x 的单调递增区间是3[,88k k k ππ-+π+π](∈)Z ．……………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知())4f x x π=-．当[0,]2x π∈时，2[,]444x ππ3π-∈-，所以sin(2)124x π-≤-≤．所以1()f x -≤≤ 所以当244x ππ-=-，即0x =时，()f x 取得最小值1-．……………13分 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据题意得3,16424.p q p q +=⎧⎨+=⎩即3,4 6.p q p q +=⎧⎨+=⎩. 解得1,2.p q =⎧⎨=⎩ 所以22n S n n =+. 当2n ≥时，221(2)[(1)2(1)]21nn n a S S n n n n n -=-=+--+-=+．因为13211a ==⨯+也适合上式，所以21(*)n a n n =+∈N . ……………7分（Ⅱ）因为23121242n n n n b b +++==，且131228a b ===，所以数列{}n b 是以8为首项，4为公比的等比数列，所以8(14)8(41)143n nn T -==--．……………… 13分17. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）这10年中栽种银杏数量的中位数为3700株.设平均数为x ，则34003300360036003700420044003700+4200+4200=383010x +++++++=株.……… 4分（Ⅱ）根据表中数据，满足条件的年份有2009，2010，2011，2013，2014共5年.从这5年中抽取2年，有2009，2010；2009，2011；2009，2013；2009，2014；2010，2011；2010，2013；2010，2014；2011，2013；2011，2014；2013，2014共10种情况.设事件A 表示“任取2年，恰有1年栽种侧柏的数量比银杏的数量多”.则事件A 包括2009，2010；2009，2013；2009，2014；2010，2011；2011，2013；2011，2014共6种情况.所以63()==105P A . 答：任取2年，恰有1年栽种侧柏的数量比银杏的数量多的概率为35………………13分 18. （本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为ABDC ，又因为AB PDC ⊄平面，DC PDC ⊂平面，所以//AB 平面PDC ． ……3分（Ⅱ）取BC 中点F ，连接PF .又因为PB PC =，所以PF BC ⊥，又因为平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC平面ABCD =BC ，所以PF ⊥平面ABCD .在直角梯形ABCD 中，因为ABDC ，且AD DC ⊥，4,3AD DC ==，5AB =，所以BC =1=(35)4162ABCD S +⨯=梯形.又因为3PB =，BF ,所以2PF =.所以1132162333P ABCD ABCD V S PF -=⋅=⋅⋅=梯形.……………… 9分（Ⅲ）,A P 点为所求的点. 证明如下：连接,AF AC . 在直角梯形ABCD 中，因为AB DC ，且AD DC ⊥，4,3AD DC ==，所以5AC =.因为5AB =，点F 为BC 中点，所以AF BC ⊥. 又因为BC PF ⊥,AFPF F =，所以BC PAF ⊥平面.又因为PA PAF ⊂平面，所以PA BC ⊥.…………14分 19. （本小题满分14分）解：（I ）因为椭圆W 的左顶点A 在圆22:4O x y +=上，令0y =，得2x =±，所以2a =．，所以c e a ==，所以c =所以2221b a c =-=，所以W 的方程为2214x y +=．…………5分 (II)证明：设00(,)P x y ，易知00x ≠，有222200001,444x y x y 即+=+=，设(,)Q Q Q x y ，直线AQ 方程为00(2)y y x x =+，联立22001,4(2).x y y y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即 22222200000(4)161640x y x y x y x +++-=，即2222000440x y x y x ++-=，所以2024Q x y -+=-，即2024Q x y =-，所以，2200224244Q x y y +=-+=-. 故有：2022002(44)22=2Q x AQ AR AQ AR y OPOPx x x OP+⋅-⨯⋅=⋅==. …………14分. 20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知()(1)x f x x e '=+，(0)1f '=，因为曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线()y g x =垂直，所以1a =-.……………… 3分（Ⅱ）令()()()h x f x g x =-，(2,2)x ∈-.则()(1)e ,()(2)e 0x x h x x a h x x '''=+-=+>所以，()h x '在区间(2,2)-上单调递增.依题意，(2)0(2)0h h '-<⎧⎨'>⎩ ，解得221(,3e )e a ∈-.所以0(2,2)x ∃∈-，使得0()0h x '=，即00(1)e 0x x a +-=, 于是()h x 的最小值为0000()e 1x h x x ax =--.依题意，0(2)0(2)0()0h h h x ->⎧⎪>⎨⎪<⎩，，，因为000020000000()e 1e (1)e 1e 10x x x x h x x ax x x x x =--=-+-=--<,所以，解得22111(,e )e 22a ∈+-.……………… 8分（Ⅲ） ()(1)e x f x x '=+⋅，令()0f x '=，得1x =-.当(,1)x ∈-∞-时，()0f x '<，函数()f x 为减函数；当(12)x ∈-，时，()0f x '>，函数()f x 为增函数. 所以函数()f x 的最小值1(1)ef -=-. 又2(2)2e f =.显然当0x <时，()0f x <.令2()e ,1x t x x x =<-.则2()(2)e .x t x x x '=+令()0t x '=，得2x =-或0.所以()t x 在()2-∞-，内为增函数，在()21--，内为减函数. 所以max 24()(2)1et x t =-=<.所以2e 1x x <. 又1x <-，所以1e x x x>. 而当1x <-时，()11,0x ∈-，所以当(],1x ∈-∞-时，1(),0e f x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭；当(1,0)x ∈-时，1(),0e f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.(1) 当0a =时，()1g x =，符合题意； (2) 当0a >时，易得()[21,21]g x a a ∈-++.依题意2210212e a a -+≥⎧⎨+<⎩，，所以21,21e ,2a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪<-⎪⎩所以此时102a <≤.(3) 当0a <，则()[2121]g x a a ∈+-+，，依题意2210212e a a +≥⎧⎨-+<⎩，，所以21,21e ,2a a ⎧≥-⎪⎪⎨⎪>-+⎪⎩所以102a -≤<. 综上11[,]22a ∈-. ……………13分。

北京市朝阳区2018届高三3月综合练习(一模)数学(理)试题(解析版)

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集为实数集，集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】根据题中条件可求得，所以，故选C.2.复数满足,则在复平面内复数所对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】由得,在复平面内对应的点为,在第一象限,故选.3.直线的参数方程为（为参数），则直线的倾斜角大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】将直线的参数方程化成普通方程可得，所以直线的斜率，从而得到其倾斜角为，故选C.4.已知,为非零向量，则“”是“与夹角为锐角”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据向量数量积的定义式可知，若，则与夹角为锐角或零角，若与夹角为锐角，则一定有，所以“”是“与夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.5.某单位安排甲、乙、丙、丁名工作人员从周一到周五值班,每天有且只有人值班每人至少安排一天且甲连续两天值班,则不同的安排方法种数为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】甲连续天上班,共有（周一，周二）,（周二,周三）,（周三,周四）,（周四,周五）四种情况,剩下三个人进行全排列,有种排法因此共有种排法,故选.6.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于( )A. B. C. D.【答案】D【解析】在长方体中抠点,1.由正视图可知:上没有点;2.由侧视图可知:上没有点;3.由俯视图可知:上没有点;4.由正（俯）视图可知:处有点,由虚线可知处有点,点排除.由上述可还原出四棱锥,如右图所示,,,故选.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响7.庙会是我国古老的传统民俗文化活动,又称“庙市”或“节场”.庙会大多在春节、元宵节等节日举行.庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动,如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋,如果有奖品,则“中奖”）.今年春节期间,某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会,每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前,甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测,预测结果如下:甲说:“我或乙能中奖”；乙说:“丁能中奖”；丙说:“我或乙能中奖”；丁说:“甲不能中奖”.游戏结束后,这四位同学中只有一位同学中奖,且只有一位同学的预测结果是正确的,则中奖的同学是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】A【解析】由四人的预测可得下表:1.若甲中奖,仅有甲预测正确,符合题意;2.若乙中奖,甲、丙、丁预测正确,不符合题意;3.若丙中奖,丙、丁预测正确,不符合题意;4.若丁中奖,乙、丁预测正确,不符合题意;故只有当甲中奖时,仅有甲一人预测正确,选.8.在平面直角坐标系中,已知点,,动点满足,其中,则所有点构成的图形面积为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】设,则,,,所有点构成图形如图所示（阴影部分）,,故选.【方法点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及线性规划的应用及数学的转化与划归思想.属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题中，把向量问题转化为线性规划问题解答是解题的关键.第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为________．【答案】【解析】第四次时,,所以输出.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10.若三个点中恰有两个点在双曲线上,则双曲线的渐近线方程为__________．【答案】【解析】由于双曲线关于原点对称,故在双曲线上,代入方程解得,又因为,所以渐近线方程为.11.函数（）的部分图象如图所示，则__________；函数在区间上的零点为_________．【答案】(1). 2(2).【解析】从图中可以发现，相邻的两个最高点和最低点的横坐标分别为，从而求得函数的周期为，根据可求得，在结合题中的条件可以求得函数的解析式为，令，解得，结合所给的区间，整理得出.方法点睛：该题属于利用所给的函数图像，抓住其中的关键点，确定出函数的解析式，利用最高点和最低点的纵坐标求得A，利用相邻的两个最高点和最低点的横坐标的差求得其周期，从而求得的值，再利用最高点求得，最后确定出函数的解析式，最后利用函数的性质，求得其满足条件的零点.12.已知点若点是圆上的动点,则面积的最小值为__________．【答案】【解析】将圆化简成标准方程,圆心,半径,因为,所以,要求面积最小值,即要使圆上的动点到直线的距离最小,而圆心到直线的距离为,所以的最小值为,故答案为 . 13.等比数列满足如下条件:①②数列的前项和.试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式__________．【答案】【解析】例如,则，故答案为.14.已知，函数当时，函数的最大值是_____；若函数的图象上有且只有两对点关于轴对称，则的取值范围是______．【答案】(1). (2).【解析】当时，，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，而当时，，此时，分母取最小值，分子取最大值，从而得到该式子取得最大值，故最大值为；函数的图像上有且仅有两对点关于轴对称，等价于作轴左边的图像关于轴的对称图形，与轴右侧的图像有两个不同的交点，即方程有两个正根，即函数有两个零点，利用导数研究函数图像的走向，从而确定出所求的参数的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.在中，已知，，（Ⅰ）若ac=5，求的面积；（Ⅱ）若为锐角，求的值．【答案】（Ⅰ）2;（Ⅱ）．【解析】试题分析：第一问该题是有关解三角形问题，第一问根据题中的条件，结合同角正余弦平方和等于，从而求得，利用正弦定理，结合题中的条件，求得，利用三角形的面积公式求得结果；第二问由第一问中的结果，结合题中的条件为锐角，利用同角正余弦平方和等于，可得，最后根据三角形内角和为，利用诱导公式转化，利用和角公式求得结果.（Ⅰ）由，得，因为，所以.因为，所以．故的面积．（Ⅱ）因为，且为锐角，所以.所以．方法点睛：该题考查的是有关解三角形问题，在解题的过程中，一定要抓住题的条件，死咬同角的正余弦平方和等于1，以及灵活应用正弦定理，熟练应用诱导公式以及正弦和角公式，从而能够正确得出结果. 16.如图,在矩形中,,为的中点,为的中点.将沿折起到,使得平面平面（如图）.图1 图2（Ⅰ）求证:；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在点,使得平面?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据等腰三角形的性质可得,由平面平面可得平面,从而可得；（Ⅱ）取中点为,连结，由矩形性质,,可知，由（Ⅰ）可知,，以为原点,为轴,为轴,为轴建立坐标系，求出平面的一个法向量及直线的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果；（Ⅲ）假设在线段上存在点,满足平面，设，利用直线与平面的法向量垂直，数量积为零，列方程求解即可..试题解析：（Ⅰ）如图,在矩形中, ,为中点,,为的中点,由题意可知,, 平面平面图1 图2平面平面,平面，平面，平面,，（Ⅱ）取中点为,连结，由矩形性质,,可知，由（Ⅰ）可知,，以为原点,为轴,为轴,为轴建立坐标系，在中,由,则,所以,,设平面的一个法向量为，则,令,则，所以，设直线与平面所成角为，，所以直线与平面所成角的正弦值为. （Ⅲ）假设在线段上存在点,满足平面设，由,,所以，,，若平面,则，所以,解得，所以.【方法点晴】本题主要考查面面垂直的性质以及利用空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 17.某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？（Ⅱ）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的．从选考方案确定的8位男生中随机选出1人，从选考方案确定的10位女生中随机选出1人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率；（Ⅲ）从选考方案确定的8名男生中随机选出2名，设随机变量求的分布列及数学期望．【答案】（Ⅰ）140人．（Ⅱ）．（Ⅲ）见解析.【解析】试题分析：第一问根据题中所给的统计表，可以得出选考方案确定的有18人，这18人中，选考生物的有10人，所占比例是，在这30人中，选考方案确定的人所占比例是，该校高一年级共420人，所以可以得出学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有人；第二问从表中可以得出所选男生选考方案含有历史学科的概率为，所选女生选考方案含有历史学科的概率为，根据相互独立事件同时发生的概率公式求得结果；第三问根据统计表写出所选的两名男生所选的科目，找出对应的的取值为，分析取每个值时对应的概率，从而得出分布列，利用离散型随机变量的分布列的期望公式求得结果. （Ⅰ）由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有4人，选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有6人，该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有人．（Ⅱ）由数据可知，选考方案确定的8位男生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为；选考方案确定的10位女生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为．所以该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率为．（Ⅲ）由数据可知，选考方案确定的男生中有4人选择物理、化学和生物；有2人选择物理、化学和历史；有1人选择物理、化学和地理；有1人选择物理、化学和政治．由已知得的取值为．，，或.所以的分布列为所以．18.已知函数.（Ⅰ）当时,（i）求曲线在点处的切线方程;（ii）求函数的单调区间；（Ⅱ）若,求证:.【答案】（Ⅰ）（i），（ii）递增区间是,递减区间是；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）（i）求出,求出的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（ii）分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）先利用导数证明,则，再利用二次函数的性质证明，则，从而可得结论.试题解析：（Ⅰ）当时,,定义域为（i）所以切点坐标为,切线斜率为所以切线方程为（ii）令,所以在上单调递减,且所以当时,即所以当时,即综上所述,的单调递增区间是,单调递减区间是. (Ⅱ)方法一:,即设设所以在小于零恒成立即在上单调递减因为所以,所以在上必存在一个使得即所以当时,,单调递增当时,,单调递减所以因为所以令得因为,所以,因为,所以恒成立即恒成立综上所述,当时,方法二:定义域为了证明,即只需证明,即令则令,得令,得所以在上单调递增,在上单调递减所以即,则令因为,所以所以恒成立即所以综上所述,即当时,.【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与极值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.19.已知椭圆的离心率为,且过点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于两点,直线过坐标原点且与直线的斜率互为相反数.若直线与椭圆交于两点且均不与点重合,设直线与轴所成的锐角为,直线与轴所成的锐角为,判断与的大小关系并加以证明.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率为,且过点，结合性质，列出关于、、的方程组，求出、、，即可得椭圆的方程；（Ⅱ）与的大小关系只需看两直线斜率之间的关系，设设，联立,消去得,利用斜率公式以及韦达定理，化简可得，直线的倾斜角互补,可得.试题解析：（Ⅰ）由题可得,解得.所以椭圆的方程为.（Ⅱ）结论:,理由如下:由题知直线斜率存在,设.联立,消去得,由题易知恒成立,由韦达定理得,因为与斜率相反且过原点,设,,联立消去得,由题易知恒成立,由韦达定理得,因为两点不与重合,所以直线存在斜率,则所以直线的倾斜角互补,所以.20.已知集合是集合的一个含有个元素的子集. （Ⅰ）当时,设（i）写出方程的解；（ii）若方程至少有三组不同的解,写出的所有可能取值.（Ⅱ）证明:对任意一个,存在正整数使得方程至少有三组不同的解.【答案】（Ⅰ）（）,（）；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）（）利用列举法可得方程的解有:；（）列出集合的从小到大个数中相邻两数的差，中间隔一数的两数差，中间相隔二数的两数差，…中间隔一数的两数差,可发现只有出现次,出现次,其余都不超过次,从而可得结果；（Ⅱ）不妨设记,,共个差数，假设不存在满足条件的，根据的取值范围可推出矛盾，假设不成立，从而可得结论.假设不存在满足条件的,则这个数中至多两个、两个、两个、两个、两个、两个,.试题解析：（Ⅰ）（）方程的解有:（）以下规定两数的差均为正,则:列出集合的从小到大个数中相邻两数的差:;中间隔一数的两数差（即上一列差数中相邻两数和）:4,5,6,6,5,4;中间相隔二数的两数差:;中间相隔三数的两数差:;中间相隔四数的两数差:;中间相隔五数的两数差:;中间隔一数的两数差:.这个差数中,只有出现次,出现次,其余都不超过次,所以的可能取值有.（Ⅱ）证明:不妨设记,,共个差数.假设不存在满足条件的,则这个数中至多两个、两个、两个、两个、两个、两个,从而又这与矛盾,所以结论成立.。

2018朝阳高三一模理科答案

10 18 420=140 人． 18 30
……….3 分
（Ⅱ）由数据可知，选考方案确定的 8 位男生中选出 1 人选考方案中含有历史学科的概率为
2 1 = ； 8 4
选考方案确定的 10 位女生中选出 1 人选考方案中含有历史学科的概率为所以该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率为
3 ． 10
1 3 3 ．…….8 分 4 10 40
（Ⅲ）由数据可知，选考方案确定的男生中有 4 人选择物理、化学和生物；有 2 人选择物理、化学和历史；有 1 人选择物理、化学和地理；有 1 人选择物理、化学和政治．由已知得的取值为 1, 2 ．
P( 1)
2 2 C4 C2 1 ， 2 C8 4
z z A X E O F C G D y z X

m AD 0, 所以 m DE 0,

即
x1 3 y1 2 z1 0, 2 y1 0.
取 z1 1 ，得 m ( 2, 0, 1) ．而 AC 1,3, 2 . 所以直线 AC 与平面 ADE 所成角的正弦值 sin

z z A X E O F x z X P G C D y z X
AP 1 时， OP // 平面 ADE ． AC 2
1 [0,1] ， 2
B
……….14 分
2
17．(本小题满分 13 分) 解：（Ⅰ）由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有 4 人，选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有 6 人，该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有
因为 A(0，，，， 0 2), C (1 3 0) ，所以 ( x0 , y0 , z0 2) ( ,3 , 2 ) ，所以 x0 , y0 3 , z0

2018年高三最新北京市东城区2018学年度综合练习(一)

北京市东城区2018-2018学年度综合练习（一）高三数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。

考试时间120分钟。

考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试卷上。

一、选择题：本大题共8小题。

每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合P={1，2，3，4，5}，集合Q={5x 2R x ≤≤∈}，那么下列结论正确的是（C ）A ．P Q P =B ．Q Q P ⊃C ．P Q P ⊂D ．Q Q P =2．已知R n m ∈,，则“0≠m ”是“0≠mn ”的（B ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若直线0c y 3x =+-按向量a (1,1)=-平移后与圆10y x 22=+相切，则c 的值为（ A ） A ．14或-6 B ．12或-8 C ．8或-12 D ．6或-14 4．在等差数列{}n a 中，有48)a a a (2)a a (31310753=++++，则此数列的前13项之和为（Ｃ） A ．24 B ．39 C ．52 D ．1185．一平面截球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是（ C ） A ．3cm 3100π B ．3cm 3208π C.．3cm 3500π D ．3cm 3416π6．若指数函数()(01)x f x a a a =>≠且的部分对应值如下表：则不等式1-f(|x|)<0的解集为 ( D )A ．{}1x 1x <<-B ．{}1x 1x >-<或x C ．{}1x 0x << D ．{}1x 00x 1x <<<<-或7．三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽又踢回给甲，则不同的传递方式共有（C ） A.6种 B. 8种 C. 10种 D.16种 8.设函数)(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若143)2(,1)1(+-=>a a f f ，则a 的取值范围是（ D ） A.43<a B.143≠<a a 且 C.143-<>a a 或 D.431<<-a北京市东城区2018-2018学年度综合练习（一）高三数学（文科）第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。

北京市朝阳区2017-2018学年高三上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析

2017-2018学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合A={x|x（x﹣1）＜0，x∈R}，B={x|＜x＜2，x∈R}，那么集合A∩B=（）A．∅B．C．{x|﹣2＜x＜2，x∈R}D．{x|﹣2＜x＜1，x∈R}2．下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（）A．y=x﹣1 B．y=tanx C．y=x3D．3．已知sinx=，则sin2x的值为（）A．B．C．或D．或﹣4．设x∈R且x≠0，则“x＞1”是“x+＞2”成立的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题正确的是（）A．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βB．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥nC．若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m∥n D．若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥β6．已知三角形ABC外接圆O的半径为1（O为圆心），且+=，||=2||，则•等于（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）=则函数g（x）=f（f（x））﹣的零点个数是（）A．4 B．3 C．2 D．18．5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9．设平面向量=（1，2），=（﹣2，y），若∥，则y=．10．已知角A为三角形的一个内角，且cosA=，sinA=．cos2A=．11．已知a=log2.10.6，b=2.10.6，c=log0.50.6，则a，b，c的大小关系是．12．各项均为正数的等比数列{{a n}的前n项和为S n，若a3=2，S4=5S2，则a1的值为，S4的值为．13．已知函数f（x）=在（﹣∞，+∞）上是具有单调性，则实数m的取值范围．14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第天，两马相逢．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．已知数列{a n}（n∈N*）是公差不为0的等差数列，若a1=1，且a2，a4，a8成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=，求数列{b n}的前n项和S n．16．已知函数f（x）=asinx﹣cosx（a∈R）的图象经过点（，0）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若x∈[，]，求f（x）的取值范围．17．如图，已知A，B，C，D四点共面，且CD=1，BC=2，AB=4，∠ABC=120°，cos∠BDC=．（Ⅰ）求sin∠DBC；（Ⅱ）求AD．18．如图，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，DE∥PA．（Ⅰ）求证：BC⊥CE；（Ⅱ）若直线m⊂平面PAB，试判断直线m与平面CDE的位置关系，并说明理由；（Ⅲ）若AB=PA=2DE=2，AD=3，求三棱锥E﹣PCD的体积．19．已知函数f（x）=，a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线斜率为﹣2，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1）上无极值，求a的取值范围．20．已知函数f（x）=ax﹣﹣（a+1）lnx，a∈R．（I）若a=﹣2，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a≥1，且f（x）＞1在区间[，e]上恒成立，求a的取值范围；（III）若a＞，判断函数g（x）=x[f（x）+a+1]的零点的个数．2016-2017学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合A={x|x（x﹣1）＜0，x∈R}，B={x|＜x＜2，x∈R}，那么集合A∩B=（）A．∅B．C．{x|﹣2＜x＜2，x∈R}D．{x|﹣2＜x＜1，x∈R}【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，根据交集的定义求出A∩B即可．【解答】解：集合A={x|x（x﹣1）＜0，x∈R}={x|0＜x＜1，x∈R}，B={x|＜x＜2，x∈R}，集合A∩B={x|＜x＜1，x∈R}．故选：B．2．下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（）A．y=x﹣1 B．y=tanx C．y=x3D．【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．【解答】解：A．f（x）=x﹣1是非奇非偶函数，不满足条件．B．y=tanx是奇函数，在定义域上函数不是单调函数，不满足条件．C．y=x3是奇函数，在定义域上为增函数，满足条件．D.是奇函数，在定义域上不是单调函数，不满足条件．故选：C3．已知sinx=，则sin2x的值为（）A．B．C．或D．或﹣【考点】二倍角的正弦．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosx，进而利用二倍角的正弦函数公式即可计算求值．【解答】解：∵sinx=，∴cosx=±=±，∴sin2x=2sinxcosx=2×（±）=±．故选：D．4．设x∈R且x≠0，则“x＞1”是“x+＞2”成立的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据基本不等式的性质，结合充分不必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当x＜0时，不等式x+＞2不成立，当x＞0时，x+≥2=2，当且仅当x=，即x=1时，取等号，当x＞1时，不等式x+＞2成立，反之不一定成立，是充分不必要条件，故选：A5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题正确的是（）A．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βB．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥nC．若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m∥n D．若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，推导出m⊥β，所以m⊥n；在C中，m与n相交、平行或异面；在D中，n与β相交、平行或n⊂β．【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥β，所以m⊥n，故B正确；在C中，若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m与n相交、平行或异面，故C错误；在D中，若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n与β相交、平行或n⊂β，故D错误．故选：B．6．已知三角形ABC外接圆O的半径为1（O为圆心），且+=，||=2||，则•等于（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得三角形是以角A为直角的直角三角形，解直角三角形求出相应的边和角，代入数量积公式得答案．【解答】解：三角形ABC外接圆O的半径为1（O为圆心），且+=，∴O为BC的中点，故△ABC是直角三角形，∠A为直角．又||=2||，∴||=，||=2，∴||=，∴cosC===，∴•=﹣•=﹣×2×=﹣故选：A．7．已知函数f（x）=则函数g（x）=f（f（x））﹣的零点个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】函数零点的判定定理．【分析】作出函数的图象，先求出f（x）=的根，然后利用数形结合转化为两个函数的交点个数即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：当x≤0时，由f（x）=得x+1=，即x=﹣1=﹣，当x＞0时，由f（x）=得log2x=，即x==，由g（x）=f（f（x））﹣=0得f（f（x））=，则f（x）=﹣或f（x）=，若f（x）=﹣，此时方程f（x）=﹣有两个交点，若f（x）=，此时方程f（x）=只有一个交点，则数g（x）=f（f（x））﹣的零点个数是3个，故选：B8．5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个【考点】进行简单的合情推理．【分析】5个黑球和4个白球，5为奇数，4为偶数，分析即可得到答案．【解答】解：5为奇数，4为偶数，故总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多，故选：A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9．设平面向量=（1，2），=（﹣2，y），若∥，则y=﹣4．【考点】平行向量与共线向量．【分析】直接利用向量共线的坐标表示列式计算【解答】解：∵=（1，2），=（﹣2，y），∥，∴1×y=2×（﹣2）∴y=﹣4故答案为：﹣410．已知角A为三角形的一个内角，且cosA=，sinA=．cos2A=﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦．【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式，求得sinA和cos2A的值．【解答】解：∵角A为三角形的一个内角，且cosA=，∴sinA==，cos2A=2cos2A﹣1=2•﹣1=﹣，故答案为：．11．已知a=log2.10.6，b=2.10.6，c=log0.50.6，则a，b，c的大小关系是b＞c＞a．【考点】对数值大小的比较．【分析】直接利用中间量“0”，“1”判断三个数的大小即可．【解答】解：a=log2.10.6＜0，b=2.10.6＞1，0＜c=log0.50.6＜1∴b＞c＞a，故答案为：b＞c＞a．12．各项均为正数的等比数列{{a n}的前n项和为S n，若a3=2，S4=5S2，则a1的值为，S4的值为．【考点】等比数列的前n项和．【分析】经分析等比数列为非常数列，设出等比数列的公比，有给出的条件列方程组求出a1和q的值，则S4的值可求．【解答】解：若等比数列的公比等于1，由a3=2，则S4=4a3=4×2=8，5S2=5×2S3=5×2×2=20，与题意不符．设等比数列的公比为q（q≠1），由a3=2，S4=5S2，得：，整理得，解得，q=±2．因为数列{a n}的各项均为正数，所以q=2．则．故答案为；．13．已知函数f（x）=在（﹣∞，+∞）上是具有单调性，则实数m的取值范围（1，] ．【考点】函数单调性的性质．【分析】函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是具有单调性，需要对m分类讨论，当m＞1，m＜﹣1，m=±1、0，﹣1＜m＜0，0＜m＜1分别判断分段函数的单调性．【解答】解：令h（x）=mx2+1，x≥0；g（x）=（m2﹣1）2x，x＜0；①当m＞1时，要使得f（x）在（﹣∞，+∞）上是具有单调性，即要满足m2﹣1≤1⇒﹣≤m≤故：1＜m≤；②当m＜﹣1时，h（x）在x≥0上递减，g（x）在x＜0上递增，所以，f（x）在R上不具有单调性，不符合题意；③当m=±1时，g（x）=0；当m=0时，h（x）=1；所以，f（x）在R上不具有单调性，不符合题意；④当﹣1＜m＜0 时，h（x）在x≥0上递减，g（x）在x＜0上递减，对于任意的x≥0，g（x）＜0；当x→0时，h（x）＞0；所以，f（x）在R上不具有单调性，不符合题意；⑤当0＜m＜1时，h（x）在x≥0上递增，g（x）在x＜0上递减；所以，f（x）在R上不具有单调性，不符合题意；故答案为：（1，]14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第20天，两马相逢．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的求和公式与不等式的解法即可得出．【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n}，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n}，其中b1=97，d=﹣0.5；设第m天相逢，则a1+a2+…+a m+b1+b2+…+b m=103m++97m+=200m+×12.5≥2×3000，化为m2+31m﹣960≥0，解得m，取m=20．故答案为：20．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．已知数列{a n}（n∈N*）是公差不为0的等差数列，若a1=1，且a2，a4，a8成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）a2，a4，a8成等比数列，可得．再利用等差数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）b n==，利用“裂项求和方法”即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，因为a2，a4，a8成等比数列，所以．即，即d2=a1d．又a1=1，且d≠0，解得d=1．所以有a n=a1+（n﹣1）d=1=（n﹣1）=n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：．则．即．16．已知函数f（x）=asinx﹣cosx（a∈R）的图象经过点（，0）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若x∈[，]，求f（x）的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）的图象过点，代入函数解析式求出a的值，从而写出函数解析式并求出最小正周期；（Ⅱ）根据x的取值范围，计算f（x）的最值，从而求出它的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为函数的图象经过点，所以，解得a=1；…所以，所以f（x）最小正周期为T=2π；…（Ⅱ）因为，所以；所以当，即时，f（x）取得最大值，最大值是2；当，即时，f（x）取得最小值，最小值是﹣1；所以f（x）的取值范围是[﹣1，2]．…17．如图，已知A，B，C，D四点共面，且CD=1，BC=2，AB=4，∠ABC=120°，cos∠BDC=．（Ⅰ）求sin∠DBC；（Ⅱ）求AD．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用已知及同角三角函数基本关系式可求，进而利用正弦定理即可求得sin∠DBC的值．（Ⅱ）在△BDC中，由余弦定理可求DB的值，利用同角三角函数基本关系式可求，进而利用两角差的余弦函数公式可求cos∠ABD的值，在△ABD中，由余弦定理可求AD的值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△BDC中，因为，所以．由正弦定理得，．…（Ⅱ）在△BDC中，由BC2=DC2+DB2﹣2DC•DBcos∠BDC，得，．所以．解得或（舍）．由已知得∠DBC是锐角，又，所以．所以cos∠ABD=cos=cos120°•cos∠DBC+sin120°•sin∠DBC==．在△ABD中，因为AD2=AB2+BD2﹣2AB•BDcos∠ABD=，所以．…18．如图，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，DE∥PA．（Ⅰ）求证：BC⊥CE；（Ⅱ）若直线m⊂平面PAB，试判断直线m与平面CDE的位置关系，并说明理由；（Ⅲ）若AB=PA=2DE=2，AD=3，求三棱锥E﹣PCD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）推导出DE⊥BC．，BC⊥CD，由此能证明BC⊥CE．（Ⅱ）推导出DE∥平面PAB，CD∥平面PAB，从而平面PAB∥平面CDE，从而得到m∥平面CDE．（Ⅲ）三棱锥E﹣PCD的体积等于三棱锥P﹣CDE的体积，由此能求出三棱锥E﹣PCD的体积．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为PA⊥底面ABCD，PA∥DE所以DE⊥底面ABCD．所以DE⊥BC．又因为底面ABCD为矩形，所以BC⊥CD．又因为CD∩DE=D，所以BC⊥平面CDE．所以BC⊥CE．…解：（Ⅱ）若直线m⊂平面PAB，则直线m∥平面CDE．证明如下，因为PA∥DE，且PA⊂平面PAB，DE⊄平面PAB，所以DE∥平面PAB．在矩形ABCD中，CD∥BA，且BA⊂平面PAB，CD⊄平面PAB，所以CD∥平面PAB．又因为CD∩DE=D，所以平面PAB∥平面CDE．又因为直线m⊂平面PAB，所以直线m∥平面CDE．…（Ⅲ）由题意知，三棱锥E﹣PCD的体积等于三棱锥P﹣CDE的体积．由（Ⅰ）可知，BC⊥平面CDE．又因为AD∥BC，所以AD⊥平面CDE．易证PA∥平面CDE，所以点P到平面CDE的距离等于AD的长．因为AB=PA=2DE=2，AD=3，所以．所以三棱锥E﹣PCD的体积．…19．已知函数f（x）=，a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线斜率为﹣2，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1）上无极值，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）先求出函数的导函数令x的值为0代入其中得到f'（0）=﹣2即切线方程的斜率为﹣2，即可求出a的值，再利用导数和函数的最值的关系即可求出最小值，（Ⅱ）求出函数的导函数，f（x）在区间（0，1）上无极值，则函数f（x）在（0，1）单调，分类讨论，求出函数的单调性即可求出a的取值范围【解答】解：（Ⅰ）因为，所以．依题意，f′（0）=﹣2，解得a=﹣1．所以，．当x＞2时，f'（x）＞0，函数f（x）为增函数；当x＜2时，f'（x）＜0，函数f（x）为减函数；所以函数f（x）的最小值是．（Ⅱ）因为，所以．（1）若a=0，则．此时f（x）在（0，1）上单调递减，满足条件．（2）若a≠0，令f'（x）=0得．（ⅰ）若，即0＜a≤1，则f'（x）＜0在（0，1）上恒成立．此时f（x）在（0，1）上单调递减，满足条件．（ⅱ）若，即a＞1时，由f'（x）＞0得；由f'（x）＜0得．此时f（x）在上为增函数，在上为减，不满足条件．（ⅲ）若即a＜0．则f'（x）＜0在（0，1）上恒成立．此时f（x）在（0，1）上单调递减，满足条件．综上，a≤1．20．已知函数f（x）=ax﹣﹣（a+1）lnx，a∈R．（I）若a=﹣2，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a≥1，且f（x）＞1在区间[，e]上恒成立，求a的取值范围；（III）若a＞，判断函数g（x）=x[f（x）+a+1]的零点的个数．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）当a=﹣2时，对f（x）求导，求出导函数的零点，即可判断单调区间；（2）若a≥1，且f（x）＞1在区间[，e]上恒成立，即：f（x）在[，e]上的最小值大于1；利用导数求判断函数f（x）的最小值．（3）分类讨论判断g'（x）的单调性与函数的最小值，从而验证g（x）在区间（0，+∞）上单调递增．再构造新函数h（a）=e3a﹣（2lna+6），证明h（a）＞0，进而判断函数g（x）是否穿过x轴即可．【解答】解：（Ⅰ）若a=﹣2，则，x∈（0，+∞）由f'（x）＞0得，0＜x＜1；由f'（x）＜0得，x＞1．所以函数f（x）的单调增区间为（0，1）；单调减区间为（1，+∞）．（Ⅱ）依题意，在区间上f（x）min＞1.，a≥1．令f'（x）=0得，x=1或．若a≥e，则由f'（x）＞0得，1＜x≤e；由f'（x）＜0得，．所以f（x）min=f（1）=a﹣1＞1，满足条件；若1＜a＜e，则由f'（x）＞0得，或1＜x≤e；由f'（x）＜0得，.，依题意，即，所以2＜a＜e．若a=1，则f'（x）≥0．所以f（x）在区间上单调递增，，不满足条件；综上，a＞2．（III）x∈（0，+∞），g（x）=ax2﹣（a+1）xlnx+（a+1）x﹣1．所以g'（x）=2ax﹣（a+1）lnx．设m（x）=2ax﹣（a+1）lnx，．令m'（x）=0得．当时，m'（x）＜0；当时，m'（x）＞0．所以g'（x）在上单调递减，在上单调递增．所以g'（x）的最小值为．因为，所以．所以g'（x）的最小值．从而，g（x）在区间（0，+∞）上单调递增．又，设h（a）=e3a﹣（2lna+6）．则．令h'（a）=0得．由h'（a）＜0，得；由h'（a）＞0，得．所以h（a）在上单调递减，在上单调递增．所以．所以h（a）＞0恒成立．所以e3a＞2lna+6，．所以．又g（1）=2a＞0，所以当时，函数g（x）恰有1个零点．2016年11月25日。

2018年北京高考数学试题及答案

绝密★启封并使用完毕前2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合A={(??||??|<2)},B={?2,0,1,2},则A B=I（A）{0,1} （B）{?1,0,1}（C）{?2,0,1,2}（D）{?1,0,1,2}（2）在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）12（B）56（C）76（D）712（4）设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为学科#网（A32（B322（C ）1252f（D ）1272f（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）4（7）在平面直角坐标系中，»»»¼,,,AB CDEF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O ??为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（A ）»AB（B ）»CD （C ）»EF（D ）¼GH（8）设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则（A ）对任意实数a ，(2,1)A ∈（B ）对任意实数a ，（2,1）A ∉（C ）当且仅当a <0时,（2,1）A ∉ （D ）当且仅当32a ≤时,（2,1）A ∉ 第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2018年北京市高考数学试卷(文科).doc

2018年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1、已知集合A ＝｛2<x x ｝，B ＝｛－2，0，1，2｝，则A I B ＝（）A 、｛0，1｝B 、｛－1，0，1｝C 、｛－2，0，1，2｝D 、｛－1，0，1，2｝ 2、在复平面内，复数i-11的共轭复数对应的点位于（） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 3、执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（） A 、21 B 、65 C 、67 D 、127第3题图第6题图第7题图 4、设a 、b 、c 、d 是非零实数，则“bc ad =”是“a 、b 、c 、d 成等比数列”的（） A 、充分而不必要条件 B 、必要而不充分条件 C 、充分必要条件 D 、既不充分也不必要条件5、“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122。

若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（）A 、f 32B 、f 322 C 、f 1252 D 、f 12726、某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（） A 、1 B 、2 C 、3 D 、47、在平面直角坐标系中，AB 、CD 、EF 、GH 是圆122=+y x 上的四段弧（如图），点P 其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边。

若αααsin cos tan <<，则P 所在的圆弧是（） A 、AB B 、CD C 、EF D 、GH8、设集合A ＝｛（x ，y ）y x -≥1，4>+y ax ，ay x -≤2｝，则（） A 、对任意实数a ，（2，1）∈A B 、对任意实数a ，（2，1）∉A C 、当且仅当a ＜0时，（2，1）∉A D 、当且仅当a ≤23时，（2，1）∉A二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9、设向量a ＝（1，0），b ＝（－1，m ），若)(m -⊥，则=m10、已知直线l 过点（1，0）且垂直于x 轴．若l 被抛物线ax y 42=截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为11、能说明“若b a >，则ba 11<” 为假命题的一组a 、b 的值依次为 12、若双曲线14222=-y ax （0>a ）的离心率为25，则=a13、若x 、y 满足1+x ≤y ≤x 2，则x y -2的最小值是14、若△ABC 的面积为)(43222b c a -+，且∠C 为钝角，则∠B ＝，ac的取值范围是三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15、设{}n a 是等差数列，且2ln 1=a ，2ln 532=+a a （1）求{}n a 的通项公式；（2）求：n a a a e e e +++Λ2116、已知函数x x x x f cos sin 3sin )(2+=（1）求)(x f 的最小正周期；（2）若)(x f 在区间[3π-，m ]上的最大值为23，求m 的最小值。

(完整word版)2018高考全国1卷文科数学带答案(2)

3 322018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1 •答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2•回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3 •考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1 .已知集合A 0 , 2 , B2,1 , 0, 1 , 2，则 Al BA • 0 , 2B•1 ,2 C • 0D • 2 ,1,0, 1 ,22•设 1 i z 1 i2i ，则 |zA • 0B•1 C • 1D • . 223•某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍•实现翻番•为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例•得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A •新农村建设后，种植收入减少B •新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C .新农村建设后，养殖收入增加了一倍D •新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半2、2 D •绝密★启用前4. 已知椭圆2 x2a2y_41的一个焦点为（2 ,0），则C 的离心率为A • 12、2nB • 12 n8.2 n D • 10n的正方形，则该圆柱的表面积为5.已知圆柱的上、F底面的中心分别为。

1 ,。

2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为83326.设函数f x3xa 1 x 2 ax .若 f x 为奇函数，则曲线 y f x 在点 0, 0处的切线方程为A . y 2xB . yxC . y 2x D.y x7 .在△ ABC 中， AD 为BC 边上的中线，uurE 为AD 的中点，贝U EB3uu 1 uuur 1 uuu 3 uujr 3 uur 1 uuur1 uuu3uur A . - AB - ACB . -AB -AC C . -AB -ACD . - AB -AC 44 44 4 4 42 28已知函数f x 2cos x sin x 2，则A . 2 17B . 2.5x 2y 2 W 0x y 1 > 0 ，则z 3x 2y 的最大值为 y < 0y 2 2y 3 0交于A , B 两点，贝U |AB16 . △ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知 bsin C csin B 4a sin B sin C ,A . 8B .6.2C . 82D . 8311 .已知角的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合, 终边上有两点且 cos22 则|a b3152、5A .-B—C .D . 155 512 .设函数f xx2,x W 0，则满足 f x 1 f 2x 的 x的取值范围是1 , x 0A .1 B . 0 , C . 1 , 0 D ._ 二>，填空题(本题共 4小题，每小题5 分卜，共20分)13.已知函数 f x log 2 x 2 a ，若f 3 1，则 a体的体积为 0A . f(x)的最小正周期为B •n,最大值为3 n,最大值为42 n 最大值为3 2 n 最大值为49.某圆柱的高为 2,底面周长为16，其三视图如右图.圆柱表面上的点正视图上的对应点为 A ，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为在此圆柱侧面上，从 M 到N 的路径中，最短路径的长度为 10.在长方体ABCD A 1B1GD 1 中，ABBC 2 , AG 与平面BBQC 所成的角为30，则该长方14 .若x, y 满足约束条件 15.直线y x 1与圆x 2M 在B ，则b2 c2 a2 8，则△ ABC的面积为__________三、解答题：共70分。

2018北京市高考压轴卷文科数学含答案

2018北京卷高考压轴卷数学（文）本试卷共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题纸交回。

第一部分（选择题，共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）设集合2{|20}A x x x =--<，2{|1}B x x =≤，则A B =A. {}21x x -<<B. {}21x x -<≤C. {}11x x -<≤D. {}11x x -<<（2）“3x >且3y >”是“6x y +>”成立的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件（3）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<++>--=)0(1)0(2ln )(2x a x x x x x a x f ，且有≤)(x f 2-a 恒成立，则实数a 的取值范围为 A .[0，2e 2] B. [0，2e 3] C ．(0，2e 2] D ．(0，2e 3]（4）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1632a a a =，4a 与62a 的等差中项为32，则5S =（） A ．553132 B ．30 C.31 D ．543132（5）将函数()2cos()6f x x π=+图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图像，则函数()y g x =的图像的一个对称中心是（） A ．11(,0)12π B ．(,0)6π C.(,0)12π D ．5(,0)12π（6）在ABC △中，60A ∠=，3AB AC ==，D 是ABC △所在平面上的一点. 若3BC DC =，则DB AD ⋅=A. 1-B. 2-C. 5D.92（7）在ABC ∆中，D 为AB 的中点，点F 在线段CD （不含端点）上，且满足AF x AB y AC =+，若不等式212a at x y+≥+对[2,2]t ∈-恒成立，则a 的最小值为（） A ．4- B ．2- C.2 D ．4（8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．16243π+ B ．16163π+ C. 883π+ D ．1683π+ 第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）已知复数z 满足()3443z i i +=+，则z = ．（10）在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即9，10，11，，那么这组数据的方差s 2可能的最大值是．（11）已知函数f （x ）=x2e x2e +，f′（x ）为f （x ）的导函数，则f′（0）的值为．（12）已知O 为坐标原点，双曲线22221x y a b-= (0,0a b >>)的右焦点为F ，以OF 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于异于原点的A ，若点A 与OF 中点的连线与OF 垂直，则双曲线的离心率e 为．（13）已知圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=1和两点 A （﹣m ，0），B （m ，0）（m ＞0），若圆上存在点P ，使得∠APB=90°，则m 的取值范围是．（14）已知函数()g x 对任意的x R ∈，有2()()g x g x x -+=．设函数2()()2x f x g x =-，且()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，若()(2)0f a f a +-≤，则实数a 的取值范围为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题13分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且sin sin sin A B Ca b c+=. (1)求tan C 的值；(2)若2228a b c +-=，求ABC △的面积.（16）（本小题13分）已知在递增等差数列{}n a 中，12a =，3a 是1a 和9a 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1(1)n nb n a =+，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求100S 的值.（17）（本小题14分）某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为6个月、12个月、18个月、24个月、36个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴200元、300元、300元、400元、400元，从2016年享受此项政策的自主创业人员中抽取了100人进行调查统计，选取贷款期限的频数如表：（Ⅰ）若小王准备申请此项贷款，求其获得政府补贴不超过300元的概率（以上表中各项贷款期限的频率作为2017年自主创业人员选择各种贷款期限的概率）；（Ⅱ）若小王和小李同时申请此项贷款，求两人所获得政府补贴之和不超过600元的概率．（18）（本小题13分）如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 是正方形，BF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，BF DE =，点M 为棱AE 的中点.（1）求证：平面//BMD 平面EFC ；（2）若12AB BF ==，,求三棱锥A CEF -的体积.（19）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>3，上顶点M 340x y ++=的距离为3.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 过点()4,2-且与椭圆C 相交于,A B 两点， l 不经过点M ，证明：直线MA 的斜率与直线MB 的斜率之和为定值.（20）（本小题13分）已知曲线2()1ln ()y f x x a x a R ==--∈与x 轴有唯一公共点A . （Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为27a a --.若两个不相等的正实数1x ，2x 满足12()()f x f x =，求证：121x x <.数学（文）试卷答案及评分参考一、选择题： 1.【答案】C 2.【答案】A 3.【答案】B 4.【答案】.C 5.【答案】B 6.【答案】A 7.【答案】B 8.【答案】D 二、填空题： 9.【答案】1 10.【答案】36【解析】设这组数据的最后2个分别是：10+x ，y ，则9+10+11+（10+x ）+y=50，得：x+y=10，故y=10﹣x ，故S 2= [1+0+1+x 2+（﹣x ）2]= + x 2，显然x 最大取9时，S 2最大是36，故答案为：36．11.【答案】2【解析】=；∴．故答案为：2．12.2 13.【答案】[4，6]【解析】圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=1的圆心C （3，4），半径为1，∵圆心C 到O （0，0）的距离为5，∴圆C 上的点到点O 的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB=90°，以AB 为直径的圆和圆C 有交点，可得PO=AB=m ，故有4≤m ≤6，故答案为：[4，6]． 14.【答案】1a ≤三、解答题：15．（本小题满分13分）【答案】(1)∵sin sin cos A B C a b c +=，由正弦定理得sin sin cos sin sin sin A B C A B C +=，∴1tan 2C =. (2)由2228a b c +-=，得2228cos 22a b c C ab ab +-==，∴4cos ab C=，∴114sin sin 2tan 122cos ABC S ab C C C C==创==△. 16．（本小题满分13分）【答案】（Ⅰ）由{}n a 为等差数列，设公差为d ，则1(1)n a a n d =+-.∵3a 是1a 和9a 的等比中项，∴2319a a a =，即2(22)2(28)d d +=+，解之，得0d =（舍），或2d =.∴1(1)2n a a n d n =+-=. （Ⅱ）11111()(1)2(1)21n n b n a n n n n ===-+++.12100n S b b b =+++=111111(1)2223100101-+-++-1150(1)2101101=-=.17．（本小题满分13分）【答案】（1）由题意，所求概率为（2）记a ，b ，c ，d ，e 分别为选择6个月、12个月、18个月、24个月、36个月贷款，由题意知小王和小李的所有选择有：aa ，ab ，ac ，ad ，ae ，ba ，bb ，bc ，bd ，be ，ca ，cb ，cc ，cd ，ce ，da ，db ，dc ，dd ，de ，ea ，eb ，ec ，ed ，ee ，共25种，其中使得小王和小李获补贴之和不超过600的有aa ，ab ，ac ，ad ，ae ，ba ，bb ，bc ，ca ，cb ，cc ，da ，ea ，共13种，所以所求概率为．【解析】（1）由题意，所求概率为P=．（2）记a ，b ，c ，d ，e 分别为选择6个月、12个月、18个月、24个月、36个月贷款，由题意知小王和小李的所有选择有：aa ，ab ，ac ，ad ，ae ，ba ，bb ，bc ，bd ，be ，ca ，cb ，cc ，cd ，ce ，da ，db ，dc ，dd ，de ，ea ，eb ，ec ，ed ，ee ，共25种，得出其中使得小王和小李获补贴之和不超过600的有13种，即可得出所求概率． 18．（本小题满分13分）【答案】（1）证明：设AC 与BD 交于点N ，则N 为AC 的中点，∴//MN EC .∵MN ⊄平面EFC ，EC ⊂平面EFC ，∴//MN 平面EFC .∵BF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，且BF DE =，∴//BF DE =， ∴BDEF 为平行四边形，∴//BD EF .∵BD ⊄平面EFC ，EF ⊂平面EFC ，∴//BD 平面EFC . 又∵MN BD N ⋂=，∴平面//BDM 平面EFC .（2）连接,EN FN .在正方形ABCD 中，AC BD ⊥，又∵BF ⊥平面ABCD ，∴BF AC ⊥.∵BF BD B ⋂=,∴平面BDEF ，且垂足为N ，∴11122223323A CEF NEF V AC S -∆=⋅⋅==,∴三棱锥A CEF -的体积为23.19．（本小题满分14分）【答案】（Ⅰ）解:由题可得，2224{3, 2,c e a b a b c ==+==+ ，解得4,2a b ==，所以椭圆C 的方程为221164x y +=. （Ⅱ）易知直线l 斜率恒小于0，设直线l 方程： ()24,0y k x k +=-<，且1k ≠-， ()()1122,,,A x y B x y ，联立()2224,{1,164y k x x y +=-+=得()()()221416216410k x k k x k k +-+++=，则()()1212221621641,1414k k k k x x x x k k +++==++，因为()()1221121212444422MA MB kx k x kx k x y y k k x x x x --+----+=+=，所以()1212244MA MB x x k k k k x x ++=-+ ()()()()16212412211641k k k k k k k k +=-+=-+=-+（为定值）. 20．（本小题满分14分）【答案】（Ⅰ）解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞.(1)0f =. 由题意，函数()f x 有唯一零点1.'()2af x x x=-. （1）若0a ≤，则0a -≥.显然'()0f x >恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数. 又(1)0f =，所以0a ≤符合题意.（2）若0a >，22'()x af x x-=.'()02a f x x >⇔>'()002a f x x <⇔<<. 所以()f x 在2a 上是减函数，在(,)2a +∞上是增函数.所以min ()()2a f x f =1ln 222a a a=--.由题意，必有0f ≤（若0f >，则()0f x >恒成立，()f x 无零点，不符合题意）①若0f <，则1ln 0222a a a--<.令()1ln (0)222a a a g a a =-->，则11'()ln 222a g a =-111ln 22222a a a -⨯⨯=-. '()002g a a >⇔<<；'()02g a a <⇔>.所以函数()g a 在(0,2)上是增函数，在(2,)+∞上是减函数. 所以max ()(2)0g a g ==.所以()0g a ≤，当且仅当2a =时取等号.所以，00f a <⇔>，且2a ≠. 取正数1min{,}2a a b e -<，则2()1ln 1ln f b b a b a b =-->--11()0a a>--⨯-=；取正数1c a >+，显然22a c a >>而2()1ln f c c a x =--，令()ln h x x x =-，则1'()1h x x =-.当1x >时，显然1'()10h x x=-<.所以()h x 在[1,)+∞上是减函数.所以，当1x >时，()ln h x x x =-(1)10h <=-<，所以ln x x <.因为1c >，所以2()1ln f c c a c =--21()1c ac c c a >--=--110c >⨯->. 又()f x 在)2a 上是减函数，在,)2a+∞上是增函数，则由零点存在性定理，()f x 在2a 、,)2a+∞上各有一个零点. 可见，02a <<，或2a >不符合题意. 注：0a >时，若利用00lim ()x f x →+=+∞，)02a f <，lim ()x f x →+∞=+∞，说明()f x 在)2a、)+∞上各有一个零点.②若0f =12a=，即2a =.符合题意. 综上，实数a 的取值范围为{|0,2}a a a ≤=或.（Ⅱ）由题意，2'(1)27f a a a =-=--.所以29a =，即3a =±.由（Ⅰ）的结论，得3a =-.2()13ln f x x x =-+，()f x 在(0,)+∞上是增函数.()001f x x <⇔<<；()01f x x >⇔>.由12()()f x f x =，不妨设12x x <，则1201x x <<<.从而有12()()f x f x -=，即221122(13ln )13ln x x x x --+=-+. 所以2212123ln 20x x x x ++-=121223ln 2x x x x >+-.令()23ln 2p t t t =+-，显然()p t 在(0,)+∞上是增函数，且(1)0p =. 所以()001p t t <⇔<<.从而由121223ln 20x x x x +-<，得121x x <.。

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2018年北京市朝阳区综合练习（一）高三数学综合练习（文科）第I 卷（选择题共40分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率kn k k n n )P 1(P C )k (P --= 球的表面积公式2R 4S π=其中R 是表示球的半径球的体积公式3R 34V π=其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设全集为R ，}3x 3|x {B }5x 3x |x {A <<-=><=，或，则（）A.R B A R C = B. R B A R C = C. R B A R R C C =D. R B A =（2）已知m 是平面α外的一条直线，直线α⊂n ，那么m//n 是α//m 的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（3）函数（）的反函数是A. B.C. D.（4）已知向量a ＝（2，3），b ＝（1，2），且，则等于（）A.B.C. －3D. 3（5）已知函数在上单调递增且在这个区间上的最大值为，则实数的一个值可以是（） A.B.C.D.（6）从10种不同的作物种子中选出6种，放入分别标有1号至6号的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入1号瓶内，那么不同的放法共有（）A.种B.种C.种D.种（7）过双曲线的一个焦点F 引它的一条渐近线的垂线FM ，垂足为M ，并且交y 轴于E ，若M 为EF 的中点，则该双曲线的离心率为（）A. 2B.C. 3D.（8）如下图，正方形ABCD的顶点A（0，），B（，0），顶点C、D位于第一象限，直线将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f(t)，则函数的图象大致是（）第II卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

将答案填在题中横线上。

（9）不等式的解集是_____________。

（10）某公司一个月生产产品1890件，其中特级品540件，一级品1350件，为了检验产品的包装质量，用分层抽样的方法，从产品中抽取一个容量为70的样本进行测试，其中抽取的特级品的件数是____________。

（11）的展开式共有_____________项，其中常数项为_____________。

（12）一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的表面积是_______________cm2，球的体积是_____________cm3。

（13）过原点的直线与圆（其中为参数）相切，若切点在第二象限，则该直线的方程是____________________+。

（14）下表给出一个“直角三角形数阵”满足每一列成等差数列，从第三行起每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第行，第j列的数为，则第1列的公差等于_____________，等于_____________。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（15）（本小题满分13分）已知（I）求tanθ；（II）求（16）（本小题满分13分）已知口袋中有大小相同的m个红球和n个白球，，从袋中任意取出两个球。

（I）若，求取出的两个球中至少有一个红球的概率；（II）设取出的两球都是红球的概率为，取出的两球恰是1红1白的概率为，且，求证：。

（17）（本小题满分13分）已知矩形ABCD中，，将ΔABD沿BD折起，使点A在平面BCD 内的射影落在DC上。

（I）求证：平面ADC⊥平面BCD；（II）求点C到平面ABD的距离；（III）若E为BD中点，求二面角B—AC—E的大小。

（18）（本小题满分13分）设函数，当时，取极小值。

（I）求的解析式；（II）若时，求证：。

（19）（本小题满分14分）在各项均为正数的数列中，前n项和S n满足。

（I）证明是等差数列，并求这个数列的通项公式及前n项和的公式；（II）在XOY平面上，设点列M n（x n，y n）满足，且点列M n 在直线C上，M n中最高点为M k，若称直线C与x轴、直线所围成的图形的面积为直线C在区间[a，b]上的面积，试求直线C在区间[x3，x k]上的面积。

（20）（本小题满分14分）已知椭圆，中心在坐标原点O，一条准线的方程是，过椭圆的左焦点F，且方向向量为的直线l交椭圆于A、B两点，AB的中点为M。

（I）求直线OM的斜率（用a、b表示）；（II）直线AB与OM的夹角为α，当时，求椭圆的方程；（III）当A、B两点分别位于第一、三象限时，求椭圆短轴长的取值范围。

【试题答案】2018年北京市朝阳区综合练习（一）高三数学综合练习（文科）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）A （3）B （4）B（5）C （6）D （7）D （8）C二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）（10）20 （11）11，（12），（13）（14），三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）解：（I）由，得……2分……6分（II）……10分……13分（16）解：（I）设取出的两个中有一个红球为事件A，取出的两个球中都为红球为事件B，则取出的两个中至少有一个红球的概率为……6分（II）由已知得，又，……10分，即。

……13分（17）方法1：（I）证明：依条件可知DA⊥AB ①∵点A在平面BCD上的射影落在DC上，即平面ACD经过平面BCD的垂线∴平面ACD⊥平面BCD ……4分（II）解：由（I）结论知平面ADC⊥平面BCD。

依条件可知BC⊥DC，∴BC⊥平面ACD∵DC平面ACD，∴BC⊥DA ②∵AB BC＝B，∴由①、②得DA⊥平面ABC设求点C到平面ABD的距离为d，于是。

∵DA⊥平面ABC，∴DA是三棱锥D—ABC的高。

∴由，得。

解得。

即点C到平面ABD的距离为。

……8分（III）解：由（II）中结论可知DA⊥平面ABC，又∵DA平面ABD，∴平面ABD⊥平面ABC过E作EF⊥AB，垂足为F，∴EF⊥平面ABC。

过F作FG⊥AC，垂足为G，连结EG，∴EG⊥AC∴∠EGF是所求二面角的平面角。

……10分∵DA⊥AB，EF⊥AB，又点E、F分别是所在边的中点，∴同理∵在△AEC中，∴在△EFG中容易求出∠EGF＝45°。

即二面角B－AC－E的大小是45°……13分方法2：（I）证明：如图，以CB所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，过点C，平面BDC方向向上的法向量为Z轴建立空间直角坐标系。

所以C（0，0，0），B（1，0，0），D（0，，0）∵点A在平面BCD上的射影落在DC上，∴点A的坐标为。

∵是平面BCD的一个法向量。

而是平面ADC的一个法向量。

∵∴平面ACD⊥平面BCD。

……4分（II）解：设点C到平面ABD的距离为d容易求出平面ABD的一个法向量为∴即点C到平面ABD的距离为……8分（III）解：∵，∴容易求出平面ABC的一个法向量为又∴容易求出平面AEC的一个法向量为。

∵，。

……12分∴二面角B－AC－E的大小是45°。

……13分（18）解：（I）∵，∴……2分∵在时，取极小值∴……6分∴……7分（II）证明：∵，令得∵时，；时，9分∴[－1，1]上是减函数，且∴在[－1，1]上，故……13分（19）解：（1）由已知得①故②②－①得结合，得是等差数列……4分又时，，解得或。

又，故，……7分（II）即得点设，消去n，得即直线C的方程为……11分又是n的减函数∴M1为M n中的最高点，且M1（1，1）。

又M3的坐标为（，）∴C与x轴、直线围成的图形为直角梯形，从而直线C在[，1]上的面积为……14分（20）解：（I）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为A、B在椭圆上所以两式相减，得：……4分（II）因为直线AB与OM的夹角为α，tanα＝2由（I）知①又椭圆中心在坐标原点O，一条准线的方程是②在椭圆中，③联立①②③，解得：所以，椭圆的方程为……9分（III）设AB直线的方程为由消元得∵A、B两点分别位于第一、三象限，∴当时，解得：……13分所以椭圆短轴长的取值范围为（0，1）……14分注：2个空的填空题，做对其中任一个给3分。

如有其它解法请阅卷老师酌情给分。