2016-2017年陕西省西安一中大学区高二(上)期中数学试卷和答案(理科)
陕西省西安市长安区第一中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题(实验班)含答案
长安一中2017-2018学年度第一学期期中考试高二级 数学试题（理科实验）时间:100分钟 总分：150分 命题人：任晓龙 审题人：李林刚一、选择题(本大题共14小题,每小题5分,共70分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．设),2,3(),3,4,(z b x a ==，且b a //，则xz 等于（ ） A 。
9B 。
4-C ．964 D 。
9-2．抛物线22x y -=的焦点坐标为( )A.（21-,0) B 。
（0，21-) C 。
(81-,0） D.（0，81-) 3。
下列说法正确的是（ )KS5UKS5UKS5U ］ A. “若,1>a 则12>a ”的否命题是“若,1>a 则12≤a ”B ．在ABC ∆中， “A B >”是“22sinsin A B >”的必要不充分条件C. “若tan α≠3πα≠"是真命题D.0(,0)x ∃∈-∞,使得0034x x <成立4。
中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。
"其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地.”请问第三天走了（ ）A 。
60里 B. 48里 C. 36里 D. 24里5。
函数())cos sin f x x xx x=+-的最小正周期是（ )A 。
2π B. πC 。
32πD 。
2π6。
已知222:450,:210p x x q x x λ-->-+->，若p 是q 的充分不必要条件,则正实数λ的取值范围是( )A ．(]0,1 B ．()0,2 C ．30,2⎛⎤⎥⎝⎦D ． (]0,2 7．已知点P 在曲线4e 1xy =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ）A ．π0,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．ππ,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．π3π,24⎛⎤⎥⎝⎦ D ．3π,π4⎡⎫⎪⎢⎣⎭8.P为双曲线22221(0,0)x y a b a b =>>－上一点,21,F F 为焦点，如果1275,PF F ∠=2115,PF F ∠=则双曲线的离心率为( ）A.B 。
2016-2017年陕西省西工大附中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
（ ）10（ ）2 （ ）9（ ）2（ ） （ ）9（ ）2 （ ）10（ ）2
10． （4 分）在一条东西方向的公路同侧有 8 块警示牌，某市政府计划给这些警 示牌涂底色，每块警示牌的底色可选用红色、蓝色两种颜色中的一种，若要 求相邻 2 块警示牌的底色不都为红色，则不同的涂色方案有（ A．31 种 B．48 种 C．54 种 ）
第 2 页（共 13 页）
（2）设有大学生去支教的学校的个数为 ξ，求 ξ 的分布列． 16． （12 分）2014 年 12 月初，南京查获了一批问题牛肉，滁州市食药监局经民 众举报获知某地 6 个储存牛肉的冷库有 1 个冷库牛肉被病毒感染，需要通过 对库存牛肉抽样化验病毒 DNA 来确定感染牛肉，以免民众食用有损身体健 康．下面是两种化验方案： 方案甲：逐个化验样品，直到能确定感染冷库为止． 方案乙：将样品分为两组，每组三个，并将它们混合在一起化验，若存在病毒 DNA，则表明感染牛肉在这三个样品当中，然后逐个化验，直到确定感染冷 库为止；若结果不含病毒 DNA，则在另外一组样品中逐个进行化验． （1）求依据方案乙所需化验恰好为 2 次的概率． （2）首次化验化验费为 10 元，第二次化验化验费为 8 元，第三次及其以后每次 化验费都是 6 元，列出方案甲所需化验费用的分布列，并估计用方案甲平均 需要化验费多少元？ （3）试比较两种方案，估计哪种方案有利于尽快查找到感染冷库．说明理由． 17． （10 分）已知椭圆 椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 A（﹣4，0） ，过点 R（3，0）作与 x 轴不重合的直线 l 交椭圆 C 于 P， Q 两点，连接 AP，AQ 分别为 k1，k2，试问：k1k2 是否为定值？若是，求出该 定值，若不是，请说明理由． 18． （12 分）已知函数 f（x）＝ln（x+1）﹣x． （Ⅰ）求 f（x）的最大值； （Ⅱ）设 g（x）＝f（x）﹣ax2（a≥0） ，l 是曲线 y＝g（x）的一条切线，证明： 曲线 y＝g（x）上的任意一点都不可能在直线 l 的上方； （Ⅲ）求证： （1+ ） （1+ ） （1+ ）…[1+ ]＜e（其 的离心率为 ，以原点为圆心， 相切．
2016-2017年陕西省西北大学附中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2016-2017学年陕西省西北大学附中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1．（3分）“x≠1”是“x2﹣3x+2≠0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（3分）若p∧q是假命题，则（）A．p是真命题，q是假命题B．p、q均为假命题C．p、q至少有一个是假命题D．p、q至少有一个是真命题3．（3分）用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（n+3）＝时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是（）A．1B．1+2C．1+2+3D．1+2+3+4 4．（3分）（e x+2x）dx等于（）A．1B．e﹣1C．e D．e+15．（3分）若曲线y＝x4的一条切线l与直线x+4y﹣8＝0垂直，则l的方程是（）A．4x﹣y﹣3＝0B．x+4y﹣5＝0C．4x﹣y+3＝0D．x+4y+3＝0 6．（3分）把语文、数学、物理、历史、外语这五门课程安排在一天的五节课里，如果数学必须比历史先上，则不同的排法有（）A．48B．24C．60D．1207．（3分）中心在原点的双曲线，一个焦点为，一个焦点到最近顶点的距离是，则双曲线的方程是（）A．B．C．D．8．（3分）已知A（﹣1，﹣2，6），B（1，2，﹣6）O为坐标原点，则向量与的夹角是（）A．0B．C．πD．9．（3分）设（2﹣x）5＝a0+a1x+a2x2…+a5x5，那么的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣110．（3分）函数f（x）＝x3﹣ax+1在区间（1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（）A．a＜3B．a＞3C．a≤3D．a≥3二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上．）11．（4分）若a+bi＝i2，其中a、b∈R，i为虚数单位，则a+b＝．12．（4分）在（2x﹣1）5的展开式中，x2的系数为．13．（4分）由直线x＝，x＝3，曲线y＝及x轴所围图形的面积是．14．（4分）将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”．已知直角三角形具有性质：斜边长等于斜边的中线长的2倍．类比上述性质，直角三棱锥具有性质：．15．（4分）已知椭圆x2+ky2＝3k（k＞0）的一个焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该椭圆的离心率是．三、解答题（本大题共4题，50分，请写出必要的解答过程）．16．（10分）求直线l1：（t为参数）和直线l2：x﹣y﹣2＝0的交点P的坐标，及点P与Q（1，﹣5）的距离．17．（12分）已知函数f（x）＝．（1）求函数f（x）的导数；（2）求曲线y＝f（x）在点M（π，0）处的切线方程．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB、PB的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥CD；（Ⅱ）在平面P AD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论；（Ⅲ）求DB与平面DEF所成角的正弦值．19．（14分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的焦距为2，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y＝kx﹣2与椭圆C交于A，B两点，点P（0，1），且|P A|＝|PB|，求直线l的方程．附加题：（本大题共3题，20分，请写出必要的解答过程）20．（5分）如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记此数列的前n项之和为S n，则S21的值为（）A．66B．153C．295D．36121．（5分）已知f（x）为一次函数，且f（x）＝x+2，则f（x）＝．22．（10分）已知函数f（x）＝ax3+bx2﹣3x在x＝±1处取得极值（1）求函数f（x）的解析式；（2）求证：对于区间[﹣1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤4；（3）若过点A（1，m）（m≠﹣2）可作曲线y＝f（x）的三条切线，求实数m的范围．2016-2017学年陕西省西北大学附中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1．（3分）“x≠1”是“x2﹣3x+2≠0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由x2﹣3x+2≠0，得x≠1且x≠2，能够推出x≠1，而由x≠1，不能推出x≠1且x≠2；因此前者是后者的必要不充分条件．故选：B．2．（3分）若p∧q是假命题，则（）A．p是真命题，q是假命题B．p、q均为假命题C．p、q至少有一个是假命题D．p、q至少有一个是真命题【解答】解：根据复合命题与简单命题真假之间的关系可知，若p∧q是假命题，则可知p，q至少有一个为假命题．故选：C．3．（3分）用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（n+3）＝时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是（）A．1B．1+2C．1+2+3D．1+2+3+4【解答】解：在等式中，当n＝1时，n+3＝4，而等式左边起始为1的连续的正整数的和，故n＝1时，等式左边的项为：1+2+3+4故选：D．4．（3分）（e x+2x）dx等于（）A．1B．e﹣1C．e D．e+1【解答】解：∵（e x+x2）′＝e x+2x，∴═＝（e+1）﹣（1+0）＝e，故选：C．5．（3分）若曲线y＝x4的一条切线l与直线x+4y﹣8＝0垂直，则l的方程是（）A．4x﹣y﹣3＝0B．x+4y﹣5＝0C．4x﹣y+3＝0D．x+4y+3＝0【解答】解：设与直线x+4y﹣8＝0垂直的直线l为：4x﹣y+m＝0，即曲线y＝x4在某一点处的导数为4，而y′＝4x3，∴y＝x4在（1，1）处导数为4，将（1，1）代入4x﹣y+m＝0，得m＝﹣3，故l的方程为4x﹣y﹣3＝0．故选：A．6．（3分）把语文、数学、物理、历史、外语这五门课程安排在一天的五节课里，如果数学必须比历史先上，则不同的排法有（）A．48B．24C．60D．120【解答】解：因为数学必须比历史先上，顺序固定，是安排除数学和历史之外的三门课，共有＝60（种）．故选：C．7．（3分）中心在原点的双曲线，一个焦点为，一个焦点到最近顶点的距离是，则双曲线的方程是（）A．B．C．D．【解答】解：∵中心在原点的双曲线，一个焦点为F（0，），∴其焦点在y轴，且半焦距c＝；又F到最近顶点的距离是﹣1，∴a＝1，∴b2＝c2﹣a2＝3﹣1＝2．∴该双曲线的标准方程是y2﹣＝1．故选：A．8．（3分）已知A（﹣1，﹣2，6），B（1，2，﹣6）O为坐标原点，则向量与的夹角是（）A．0B．C．πD．【解答】解：∵A（﹣1，﹣2，6），B（1，2，﹣6）O为坐标原点，∴向量＝（﹣1，﹣2，6），＝（1，2，﹣6），∴cos＜＞＝＝﹣1，∴向量与的夹角为π．故选：C．9．（3分）设（2﹣x）5＝a0+a1x+a2x2…+a5x5，那么的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣1【解答】解：在（2﹣x）5＝a0+a1x+a2x2…+a5x5中，令x＝1可得a0+a1+a2+…+a5 ＝1 ①，令x＝﹣1可得a0﹣a1+a2﹣…﹣a5 ＝35②．由①②求得a0+a2+a4＝122，a1+a3+a5 ＝﹣121，∴＝﹣，故选：B．10．（3分）函数f（x）＝x3﹣ax+1在区间（1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（）A．a＜3B．a＞3C．a≤3D．a≥3【解答】解：f′（x）＝3x2﹣a，令f′（x）＝3x2﹣a＞0即x2＞，当a＜0时，x∈R，函数f（x）＝x3﹣ax+1在区间R内是增函数，从而函数f（x）＝x3﹣ax+1在区间（1，+∞）内是增函数；当a≥0时，解得x＞，或x＜﹣；因为函数在区间（1，+∞）内是增函数，所以≤1，解得0≤a≤3，综上所述，所以实数a的取值范围是a≤3．故选：C．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上．）11．（4分）若a+bi＝i2，其中a、b∈R，i为虚数单位，则a+b＝﹣1．【解答】解：∵a+bi＝i2＝﹣1，∴a＝﹣1，b＝0，则a+b＝﹣1．故答案为：﹣1．12．（4分）在（2x﹣1）5的展开式中，x2的系数为﹣40．【解答】解：（2x﹣1）5的展开式中含x2的项是C52（2x）2（﹣1）3＝﹣40x2所以x2的系数是40．故答案为：﹣40．13．（4分）由直线x＝，x＝3，曲线y＝及x轴所围图形的面积是2ln3．【解答】解：如图，直线x＝，x＝3，曲线y＝及x轴所围图形的面积S＝dx＝lnx＝ln3﹣ln＝2ln3，故答案为：2ln3．14．（4分）将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”．已知直角三角形具有性质：斜边长等于斜边的中线长的2倍．类比上述性质，直角三棱锥具有性质：斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一．【解答】解：由于直角三角形具有以下性质：斜边的中线长等于斜边边长的一半，故对于“直角三棱锥”，具有以下性质：斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一．故答案为：斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一．15．（4分）已知椭圆x2+ky2＝3k（k＞0）的一个焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该椭圆的离心率是．【解答】解：抛物线y2＝12x的焦点（3，0）方程可化为．∵焦点（3，0）在x轴上，∴a2＝3k，b2＝3，又∵c2＝a2﹣b2＝9，∴a2＝12，解得：k＝4．＝故答案为：．三、解答题（本大题共4题，50分，请写出必要的解答过程）．16．（10分）求直线l1：（t为参数）和直线l2：x﹣y﹣2＝0的交点P的坐标，及点P与Q（1，﹣5）的距离．【解答】解：把直线代入直线，解得t＝2，∴交点P的坐标为（1+2，1）．再由Q（1，﹣5），可得点P与Q（1，﹣5）的距离为＝4．17．（12分）已知函数f（x）＝．（1）求函数f（x）的导数；（2）求曲线y＝f（x）在点M（π，0）处的切线方程．【解答】解：（1）．（2）由（1）得在点M（π，0）处的切线的斜率k＝f′（π）＝﹣，所以在点M（π，0）处的切线方程为y﹣0＝﹣（x﹣π），即y＝﹣+1．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB、PB的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥CD；（Ⅱ）在平面P AD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论；（Ⅲ）求DB与平面DEF所成角的正弦值．【解答】解：以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），设AD＝a，则D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、E（a，，0）、F（，，）、P（0，0，a）．（1）∵＝（﹣，0，），＝（0，a，0），∴•＝（﹣，0，）•（0，a，0）＝0，∴⊥∴EF⊥DC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）设G（x，0，z），则G∈平面P AD．＝（x﹣，﹣，z﹣），•＝（x﹣，﹣，z﹣）•（a，0，0）＝a（x﹣）＝0，∴x＝；•＝（x﹣，﹣，z﹣）•（0，﹣a，a）＝+a（z﹣）＝0，∴z＝0．∴G点坐标为（，0，0），即G点为AD的中点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（3）设平面DEF的法向量为＝（x，y，z）．由得：取x＝1，则y＝﹣2，z＝1，∴＝（1，﹣2，1）．cos＜，＞＝＝＝，∴DB与平面DEF所成角的正弦值的大小为﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）19．（14分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的焦距为2，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y＝kx﹣2与椭圆C交于A，B两点，点P（0，1），且|P A|＝|PB|，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的定义可得2a＝6，2c＝2，解得a＝3，c＝，所以b2＝a2﹣c2＝3，所以椭圆C的方程为+＝1．（Ⅱ）由得（1+3k2）x2﹣12kx+3＝0，由于直线与椭圆有两个不同的交点，所以△＝144k2﹣12（1+3k2）＞0解得．设A（x1，y1），B（x2，y2）则，，，所以，A，B中点坐标E（，），因为|P A|＝|PB|，所以PE⊥AB，即k PE•k AB＝﹣1，所以•k＝﹣1解得k＝±1，经检验，符合题意，所以直线l的方程为x﹣y﹣2＝0或x+y+2＝0．附加题：（本大题共3题，20分，请写出必要的解答过程）20．（5分）如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记此数列的前n项之和为S n，则S21的值为（）A．66B．153C．295D．361【解答】解：从杨辉三角形的生成过程，可以得到你的这个数列的通项公式a（n）．n为偶数时，a（n）＝（n+4）/2，n为奇数时，1＝c20＝C22，3＝C31＝C32，6＝C42，10＝C53＝C52，…a（n）＝C（n+3）/22＝（n+3）（n+1）/8．然后求前21项和，偶数项和为75，奇数项和为[（22+42+62+…+222）+2（2+4+6…+22）]/8＝[（22×4×23）+11×24]/8＝286，最后S（21）＝361故选：D．21．（5分）已知f（x）为一次函数，且f（x）＝x+2，则f（x）＝x ﹣1．【解答】解：∵f（x）为一次函数，且，∴设f（x）＝x+b则b＝2∫01（x+b）dx＝2（x2+bx）|01＝2（+b）解得：b＝﹣1∴f（x）＝x﹣1故答案为：x﹣122．（10分）已知函数f（x）＝ax3+bx2﹣3x在x＝±1处取得极值（1）求函数f（x）的解析式；（2）求证：对于区间[﹣1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤4；（3）若过点A（1，m）（m≠﹣2）可作曲线y＝f（x）的三条切线，求实数m的范围．【解答】解：（1）f′（x）＝3ax2+2bx﹣3，依题意，f′（1）＝f′（﹣1）＝0，解得a＝1，b＝0．∴f（x）＝x3﹣3x（2）∵f（x）＝x3﹣3x，∴f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1），当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，故f（x）在区间[﹣1，1]上为减函数，f max（x）＝f（﹣1）＝2，f min（x）＝f（1）＝﹣2∵对于区间[﹣1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|f max（x）﹣f min（x）||f（x1）﹣f（x2）|≤|f max（x）﹣f min（x）|＝2﹣（﹣2）＝4（3）f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1），∵曲线方程为y＝x3﹣3x，∴点A（1，m）不在曲线上．设切点为M（x0，y0），切线的斜率为（左边用导数求出，右边用斜率的两点式求出），整理得2x03﹣3x02+m+3＝0．∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，故此方程有三个不同解，下研究方程解有三个时参数所满足的条件设g（x0）＝2x03﹣3x02+m+3，则g′（x0）＝6x02﹣6x0，由g′（x0）＝0，得x0＝0或x0＝1．∴g（x0）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减．∴函数g（x0）＝2x03﹣3x02+m+3的极值点为x0＝0，x0＝1∴关于x0方程2x03﹣3x02+m+3＝0有三个实根的充要条件是，解得﹣3＜m＜﹣2．故所求的实数m的取值范围是﹣3＜m＜﹣2．。
2016-2017年陕西省延安实验中学大学区校际联盟高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2016-2017学年陕西省延安实验中学大学区校际联盟高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（每题4分，共48分）1．（4分）在复平面内，复数﹣2+3i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（4分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b＝0没有实根B．方程x2+ax+b＝0至多有一个实根C．方程x2+ax+b＝0至多有两个实根D．方程x2+ax+b＝0恰好有两个实根3．（4分）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．1B．2C．3D．44．（4分）定积分cos xdx＝（）A．﹣1B．0C．1D．π5．（4分）函数y＝xe x的导数是（）A．y＝xe x B．y＝x+xe x C．y＝e x D．y＝（1+x）e x 6．（4分）函数f（x）＝x3﹣3x的单调递减区间为（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，+∞）7．（4分）若＝1，则f′（x0）等于（）A．2B．﹣2C．D．8．（4分）利用数学归纳法证明+++…+＜1（n∈N*，且n≥2）时，第二步由k到k+1时不等式左端的变化是（）A．增加了这一项B．增加了和两项C．增加了和两项，同时减少了这一项D．以上都不对9．（4分）已知f（x）＝x2+2xf′（1）﹣6，则f′（1）等于（）A．4B．﹣2C．0D．210．（4分）设（x2+1）（2x+1）9＝a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）11，则a0+a1+a2+…+a11的值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．211．（4分）某班一天上午安排语、数、外、体四门课，其中体育课不能排在第一、第四节，则不同排法的种数为（）A．24B．22C．20D．1212．（4分）已知函数y＝xf′（x）的图象如图所示，下面四个图象中y＝f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．≥二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）13．（4分）观察下列不等式1+＜，1++＜，1+++＜，…照此规律，第五个不等式为．14．（4分）物体的运动方程是s＝﹣t3+2t2﹣5，则物体在t＝3时的瞬时速度为．15．（4分）定积分（2x+）dx的值为．16．（4分）若函数y＝x2﹣2mx+1在（﹣∞，1）上是单调递减函数，则实数m 的取值范围．17．（4分）如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象，给出下列命题：①﹣3是函数y＝f（x）的极值点；②﹣1是函数y＝f（x）的最小值点；③y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零；④y＝f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增．则正确命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（7分）实数m取什么数值时，复数z＝m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i分别是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．19．（7分）求曲线y＝x2﹣2x+3与直线y＝x+3围成的图形的面积．20．（8分）已知a，b，c均为实数，且a＝x2﹣2y+，b＝y2﹣2z+，c＝z2﹣2x+，求证：a，b，c中至少有一个大于0．21．（10分）某体育场要建造一个长方形游泳池，其容积为4800m3，深为3m，如果建造池壁的单价为a且建造池底的单价是建造池壁的1.5倍，怎样设计水池的长和宽，才能使总造价最底？最低造价是多少？22．（8分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n＝2a n﹣2．（1）求a1，a2，a3并由此猜想a n的通项公式；（2）用数学归纳法证明{a n}的通项公式．23．（10分）设函数f（x）＝﹣x3+ax2+bx+c的导数f'（x）满足f'（﹣1）＝0，f'（2）＝9．（1）求f（x）的单调区间；（2）f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求c的值．（3）若函数f（x）的图象与x轴有三个交点，求c的范围．2016-2017学年陕西省延安实验中学大学区校际联盟高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题4分，共48分）1．（4分）在复平面内，复数﹣2+3i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由复数的几何意义可知：复数﹣2+3i对应的点为（﹣2，3）在第二象限，故选：B．2．（4分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b＝0没有实根B．方程x2+ax+b＝0至多有一个实根C．方程x2+ax+b＝0至多有两个实根D．方程x2+ax+b＝0恰好有两个实根【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2+ax+b＝0没有实根．故选：A．3．（4分）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：已知曲线的一条切线的斜率为，∵＝，∴x＝1，则切点的横坐标为1，故选：A．4．（4分）定积分cos xdx＝（）A．﹣1B．0C．1D．π【解答】解：cos xdx＝sin x＝sinπ﹣sin0＝0﹣0＝0故选：B．5．（4分）函数y＝xe x的导数是（）A．y＝xe x B．y＝x+xe x C．y＝e x D．y＝（1+x）e x 【解答】解：根据题意，函数y＝xe x，其导数y′＝（x）′e x+x（e x）′＝e x+xe x＝（1+x）e x，故选：D．6．（4分）函数f（x）＝x3﹣3x的单调递减区间为（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，+∞）【解答】解：f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1），令f′（x）＜0，即（x+1）（x﹣1）＜0，解得：﹣1＜x＜1，故f（x）在（﹣1，1）递减，故选：C．7．（4分）若＝1，则f′（x0）等于（）A．2B．﹣2C．D．【解答】解：根据导数的定义可得，＝故选：C．8．（4分）利用数学归纳法证明+++…+＜1（n∈N*，且n≥2）时，第二步由k到k+1时不等式左端的变化是（）A．增加了这一项B．增加了和两项C．增加了和两项，同时减少了这一项D．以上都不对【解答】解：当n＝k时，左端＝+++…+，那么当n＝k+1时左端＝++…+++，故第二步由k到k+1时不等式左端的变化是增加了和两项，同时减少了这一项，故选：C．9．（4分）已知f（x）＝x2+2xf′（1）﹣6，则f′（1）等于（）A．4B．﹣2C．0D．2【解答】解：求导得：f′（x）＝2x+2f′（1），令x＝1，得到f′（1）＝2+2f′（1），解得：f′（1）＝﹣2，故选：B．10．（4分）设（x2+1）（2x+1）9＝a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）11，则a0+a1+a2+…+a11的值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【解答】解：令x+2＝1，所以x＝﹣1，将x＝﹣1代入（x2+1）（2x+1）9＝a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）11得[（﹣1）2+1]（﹣2+1）9＝a0+a1+a2+…+a11；∴a0+a1+a2+…+a11＝2×（﹣1）＝﹣2．所以选A11．（4分）某班一天上午安排语、数、外、体四门课，其中体育课不能排在第一、第四节，则不同排法的种数为（）A．24B．22C．20D．12【解答】解：先排体育课，有2种排法，再排语、数、外三门课，有A33种排法，按乘法原理，不同排法的种数为2×A33＝12．故选：D．12．（4分）已知函数y＝xf′（x）的图象如图所示，下面四个图象中y＝f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．≥【解答】解：由函数y＝xf′（x）的图象可知：当x＜﹣1时，xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此时f（x）增当﹣1＜x＜0时，xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此时f（x）减当0＜x＜1时，xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此时f（x）减当x＞1时，xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此时f（x）增．故选：C．二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）13．（4分）观察下列不等式1+＜，1++＜，1+++＜，…照此规律，第五个不等式为1+++++＜．【解答】解：由已知中：不等式：1+＜，1++＜，1+++＜，…归纳可得：第n个不等式为：1+++…+＜，当n＝5时，第五个不等式为1+++++＜，故答案为：1+++++＜14．（4分）物体的运动方程是s＝﹣t3+2t2﹣5，则物体在t＝3时的瞬时速度为3．【解答】解：s′＝﹣t2+4t∴物体在t＝3时的瞬时速度为﹣32+4×3＝3故答案为315．（4分）定积分（2x+）dx的值为3+ln2．【解答】解：（2x+）dx＝（x2+lnx）|＝4+ln2﹣1﹣0＝3+ln2，故答案为：3+ln2．16．（4分）若函数y＝x2﹣2mx+1在（﹣∞，1）上是单调递减函数，则实数m 的取值范围[1，+∞）．【解答】解：y＝x2﹣2mx+1的对称轴为x＝﹣＝m，函数f（x）在（﹣∞，m]上单调递减，∵函数y＝x2﹣2mx+1在（﹣∞，1）上是单调递减函数，∴对称轴m≥1．即m的取值范围是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．17．（4分）如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象，给出下列命题：①﹣3是函数y＝f（x）的极值点；②﹣1是函数y＝f（x）的最小值点；③y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零；④y＝f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增．则正确命题的序号是①④．【解答】解：根据导函数图象可知当x∈（﹣∞，﹣3）时，f'（x）＜0，在x∈（﹣3，1）时，f'（x）≤0∴函数y＝f（x）在（﹣∞，﹣3）上单调递减，在（﹣3，1）上单调递增，故④正确则﹣3是函数y＝f（x）的极小值点，故①正确∵在（﹣3，1）上单调递增∴﹣1不是函数y＝f（x）的最小值点，故②不正确；∵函数y＝f（x）在x＝0处的导数大于0∴切线的斜率大于零，故③不正确故答案为：①④三、解答题：本大题共6小题，.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（7分）实数m取什么数值时，复数z＝m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i分别是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．【解答】解：（1）∵复数z＝m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i是实数，∴m2﹣m﹣2＝0，∴m＝﹣1．m＝2（2）复数z＝m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i是虚数，∴m2﹣m﹣2≠0∴m≠﹣1．m≠2（3）复数z＝m2﹣1+（m2+3m+2）i是纯虚数∴m2﹣m﹣2≠0且m2﹣1＝0∴m＝1．19．（7分）求曲线y＝x2﹣2x+3与直线y＝x+3围成的图形的面积．【解答】解：由，解得或∴曲线y＝x2﹣2x+3及直线y＝x+3的交点为（0，3）和（3，6）因此，曲线y＝x2﹣2x+3及直线y＝x+3所围成的封闭图形的面积是S＝（x+3﹣x2+2x﹣3）dx＝（x2﹣x3）＝．20．（8分）已知a，b，c均为实数，且a＝x2﹣2y+，b＝y2﹣2z+，c＝z2﹣2x+，求证：a，b，c中至少有一个大于0．【解答】解：反证法：假设a，b，c都小于或等于0，则有a+b+c＝（x﹣1）2+（y﹣1）2+（z﹣1）2+π﹣3≤0，而该式显然大于0，矛盾，故假设不正确，故a，b，c中至少有一个大于0．21．（10分）某体育场要建造一个长方形游泳池，其容积为4800m3，深为3m，如果建造池壁的单价为a且建造池底的单价是建造池壁的1.5倍，怎样设计水池的长和宽，才能使总造价最底？最低造价是多少？【解答】解：由容积为4800m3，深为3m，设水池底面的长为x米，宽为即米，总造价为y，则y＝•1.5a+2•3（x+）a＝2400a+6（x+）a≥2400a+6a•2＝2880a．当且仅当x＝，即x＝40，取得最小值2880a．则当池底长为40米，宽为40米时，总造价最低为2880a元．22．（8分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n＝2a n﹣2．（1）求a1，a2，a3并由此猜想a n的通项公式；（2）用数学归纳法证明{a n}的通项公式．【解答】解：（1）∵S n＝2a n﹣2，当n＝1时，a1＝2a1﹣2，解得a1＝2．当n＝2时，a1+a2＝2a2﹣2，解得a2＝4．当n＝3时，a1+a2+a3＝2a3﹣2，解得a3＝8．猜想：a n＝2n．（2）当n＝1时，显然猜想成立．假设n＝k时，猜想成立，即a k＝2k．则当n＝k+1时，S k+1＝2a k+1﹣2．∴S k+a k+1＝2a k+1﹣2，∴2a k﹣2+a k+1＝2a k+1﹣2，∴a k+1＝2a k＝2•2k＝2k+1．∴当n＝k+1时，猜想成立．∴a n＝2n．23．（10分）设函数f（x）＝﹣x3+ax2+bx+c的导数f'（x）满足f'（﹣1）＝0，f'（2）＝9．（1）求f（x）的单调区间；（2）f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求c的值．（3）若函数f（x）的图象与x轴有三个交点，求c的范围．【解答】解：（1）函数的导数f′（x）＝﹣3x2+2ax+b，∵f'（x）满足f'（﹣1）＝0，f'（2）＝9，∴得a＝3，b＝9，则f（x）＝﹣x3+3x2+9x+c，f′（x）＝﹣3x2+6x+9＝﹣3（x2﹣2x﹣3），由f′（x）＞0得﹣3（x2﹣2x﹣3）＞0得x2﹣2x﹣3＜0，得﹣1＜x＜3，此时函数单调递增，即递增区间为（﹣1，3），由f′（x）＜0得﹣3（x2﹣2x﹣3）＜0得x2﹣2x﹣3＞0，得x＜﹣1或x＞3，此时函数单调递减，即递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；（2）由（1）知，当x＝﹣1时，函数取得极小值f（﹣1）＝1+3﹣9+c＝c﹣5，f（﹣2）＝8+12﹣18+c＝2+c，f（2）＝﹣8+12+18+c＝22+c，则f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为f（2）＝22+c＝20，则c＝﹣2．（3）由（1）知当x＝﹣1时，函数取得极小值f（﹣1）＝1+3﹣9+c＝c﹣5，当x＝3时，函数取得极大值f（3）＝﹣27+27+27+c＝27+c，若函数f（x）的图象与x轴有三个交点，则得，得﹣27＜c＜5，即c的范围是（﹣27，5）．。
陕西省西安市交大附中2016-2017学年度第一学期高二理科数学第二次月考试题
交大附中2016-2017学年度第一学期 高二理科数学第二次月考试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题p ：任意x ∈R ，211x +≥，则非p 是 A ．任意x ∈R ，211x +<B ．存在x ∈R ，211x +≤C ．存在x ∈R ，211x +<D ．存在x ∈R ，211x +≥ 2．0a =是方程2210ax x ++=有负数根的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．抛物线2y x =-的焦点坐标为 A ．104⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．104⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．104⎛⎫⎪⎝⎭，D ．104⎛⎫- ⎪⎝⎭，4．设1F 和2F 为双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足1290F PF =︒∠，则12F PF △的面积是A ．1B C ．2 D5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若981S =，258a a a ++= A ．26B ．27C ．28D ．296．设坐标原点为O ，抛物线22y x =与过焦点的直线交于A ，B 两点，则OA OB ⋅= A ．3B ．3-C ．34D ．34-7．直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA =︒∠，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成的角的余弦值为A ．110B ．25C D 8．不等式组124x y x y +⎧⎨-⎩≥≤的解集记为D ，有下面四个命题：1p ：任意()x y D ∈，，22x y +-≥， 2p ：存在()x y D ∈，，22x y +≥，3p ：任意()x y D ∈，，23x y +≤，4p ：存在()x y D ∈，，21x y +-≤，其中的真命题是 A ．2p ，3pB ．1p ，2pC ．1p ，4pD ．1p ，3p9．在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球．若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是 A ．4πB ．9π2C ．6πD ．32π310．设函数()f x 在R 上存在异数()f x '，对任意的x ∈R 有()()0f x f x --=，且在()0x ∈+∞，上，()f x x '>，若()()222f a f a a ---≥，则实数a 的取值范围为 A ．()1-∞，B ．[)1-∞，C ．[)1+∞，D ．()1+∞，二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．函数()()21ln 12f x x x =-+在0x =处的切线方程为 ． 12．求sin y x =，（ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，），π2x =-，π2x =及x 轴围成平面图形的面积 ．13．已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b -=在左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F =∠，则双曲线E 的离心率为 ． 14．设()1cos f x x =，定义()1n f x +为()n f x 的导数，即()()1n n f x f x +'=，n ∈N ，若ABC △的内角A 满足()()()1220170f A f A f A +++=，则sin A = ．15．已知函数()332f x ax x =-+（x ∈R ），若对于任意的[]11x ∈-，都有()1f x ≥成立，则实数a 的值为 ．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，每题10分，共50分）16．已知函数()32133f x x x x =--．（1）求()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间[]24-，上的最大值和最小值．17．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos b c a B +=．（1）证明：2A B =；（2）在ABC △的面积24a S =，求角A 的大小．18．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点． （1）证明MN ∥平面PAB ；（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．PN M DCBA19．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，坐标原点O 到直线l ，求AOB △面积的最大值．20．已知函数()ln f x ax x x =+，且图像在点()()11e f e --，处的切线的倾斜角为45︒（e 为自然对数的底数）．（1）求实数a 的值； （2）设()()1f x xg x x -=-，求()g x 的单调区间；（3）当1m n >>（m ，n ∈Z n m>．。
陕西省西安市长安一中2016-2017学年高二下学期第一次教学检测数学(理)试题
长安一中2016～2017学年度第二学期第一次月考高二数学试题注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上.2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效.3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效.4. 考试结束，请将答题卡上交.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.1.已知p ：3＋3＝5, q:5>2，则下列判断错误的是（ ）A.“p 或q ”为真，“非q ”为假B. “p 且q ”为假，“非p ”为假C. “p 且q ”为假，“非p”为真D.“p 且q ”为假，“p 或q ”为真2．12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则（ ） A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件3. 总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )A.08 4．某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有16件．那么此样本的容量n 等于( ) A ．60B ．70C ．80D ．905．要从160名学生中抽取容量为20的样本，用系统抽样法将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按抽签方法确定的号码是( ) A ．7 B ．5 C ．4 D ．36．设x ，y ，z >0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋x y( ) A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于27.如图茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( )A.2,5 B ．5,5 C ．5,8 D ．8,88. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产品x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的值为( )X 3 4 5 6 y2.5t44.5A. 4.5 B ．3.5 9. 已知f (x ＋1)＝2f (x )f (x )＋2，f (1)＝1(x ∈N ＋)，猜想f (x )的表达式为( )A.42x ＋2B.2x ＋1C.1x ＋1D.22x ＋110.利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<f (n )(n ≥2，n ∈N ＋)的过程，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了( ) A ．1项 B ．k 项 C ．2k －1项 D ．2k项11.已知()f x 是可导的函数，且()()f x f x '<对于x R ∈恒成立，则( ) A ．)0()2017(),0()1(2017f e f ef f >< B ．)0()2017(),0()1(2017f e f ef f >> C ．)0()2017(),0()1(2017f ef ef f <> D ．)0()2017(),0()1(2017f e f ef f <<12. 设函数()(21)xf x e x ax a =--+,其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（）A.3[,1)2e -B.33[,)24e - C. 33[,)24e D. 3[,1)2e 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.13.定义运算c a bc ad d b -=，若复数11ix i -=+，41i y i =+3 xi x i-+，则=y . 14．直线x ＝π2，x ＝3π2，y ＝0及曲线y ＝cos x 所围成图形的面积为________．15.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。
数学---陕西省西安中学2016-2017学年高二下学期期中考试试题(实验班)(理)
参考答案一、选择题：(5分×12=60分)二、填空题(5分×4=20分)13． 49π 14. 201 15．e - 16．16 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.解: 由⎩⎨⎧ y ＝x ，y ＝2－x 得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x 得交点B (3，－1). 故所求面积S ＝ʃ10⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋ʃ31⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x 32123201211()|(2)|363x x x x =++-＝23＋16＋43＝136. 18.解: (1)-1+i(2)由|(x －2)＋y i|＝3，得(x －2)2＋y 2＝3，此方程表示如图所示的圆C ，则y x的最大值为切线OP 的斜率． 由|CP |＝3，|OC |＝2，得∠COP ＝π3，∴切线OP 的斜率为 3 19.解: (1)分三类:第一类有4个红球,则有10644=C C 种取法; 第二类有3个红球,则有241634=C C 种取法; 第三类有2个红球,则有902624=C C 种取法;各根据加法原理共有1+24+90=115种不同的取法.(2)若总分不少于7,则可以取4红1白,或3红2白,或2红3白,共3类,取法总数为+1644C C +2634C C 18620615463624=⨯+⨯+=C C 种不同的取法.20.解: (1)当a ＝1时，f (x )＝1x ＋ln x －1，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2， x ∈(0，＋∞).因此f ′(2)＝14，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为14.又f (2)＝ln 2－12， 所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(ln 2－12)＝14(x －2)， 即x －4y ＋4ln 2－4＝0.(2)因为f (x )＝a x ＋ln x －1，所以f ′(x )＝－a x 2＋1x ＝x －a x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝a . ①若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在区间(0，e]上单调递增，此时函数f (x )无最小值.②若0<a <e ，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )在区间(0，a )上单调递减，当x ∈(a ，e]时，f ′(x )>0，函数f (x )在区间(a ，e]上单调递增，所以当x ＝a 时，函数f (x )取得最小值ln a .③若a ≥e ，当x ∈(0，e]时，f ′(x )≤0，函数f (x )在区间(0，e]上单调递减，所以，当x ＝e 时，函数f (x )取得最小值a e. 综上可知，当a ≤0时，函数f (x )在区间(0，e]上无最小值；当0<a <e 时，函数f (x )在区间(0，e]上的最小值为ln a ；当a ≥e 时，函数f (x )在区间(0，e]上的最小值为a e. 21.解: (1)当n ＝1时，f (1)＝1，g (1)＝1，所以f (1)＝g (1)；当n ＝2时，f (2)＝98，g (2)＝118，所以f (2)<g (2)； 当n ＝3时，f (3)＝251216，g (3)＝312216，所以f (3)<g (3)． (2)由(1)，猜想f (n )≤g (n )，下面用数学归纳法给出证明．①当n ＝1,2,3时，不等式显然成立，②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N ＋)时不等式成立，即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3<32－12k 2.那么，当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )＋1（k ＋1）3<32－12k 2＋1 k ＋1 3. 因为12（k ＋1）2－[12k 2－1（k ＋1）3]＝k ＋32（k ＋1）3－12k 2＝－3k －12（k ＋1）3k 2<0， 所以f (k ＋1)<32－12（k ＋1）2＝g (k ＋1)．由①②可知，对一切n ∈N ＋，都有f (n )≤g (n )成立． 22.解:（Ⅰ）2()ln 1h x ax x x =--+，2121()2x ax h x a x x x -+-'=--=， 由()h x 在()0,1递减，所以()0h x '≤恒成立，而0x >，所以2210x ax -+-≤恒成立，即12a x x ≤+恒成立，而12x x +≥x =时，等号成立，所以a ≤a 的取值范围是(-∞。
陕西省西安八十三中2016-2017学年高二(下)期中数学试卷(理科)
2016-2017学年陕西省西安八十三中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．复数z=﹣2+i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．n个连续自然数按规律排成表：根据规律，从2016到2018，箭头的方向依次为（）A．↓→ B．→↑ C．↑→ D．→↓3．已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜6 C．a＜﹣3或a＞6 D．a＜﹣1或a＞24．由直线x=1，x=2，曲线y=x2及x轴所围图形的面积为（）A．3 B．7 C．D．5．已知函数y=xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．6．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n+y n能被x+y整除”，在第二步时，正确的证法是（）A．假设n=k（k↔N*），证明n=k+1命题成立B．假设n=k（k为正奇数），证明n=k+1命题成立C．假设n=2k+1（k↔N*），证明n=k+1命题成立D．假设n=k（k为正奇数），证明n=k+2命题成立7．观察（x2）′=2x，（x4）′=4x3，（cosx）′=﹣sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（﹣x）=（）A．﹣g（x） B．f（x）C．﹣f（x） D．g（x）8．函数f（x）=3x﹣4x3（x↔[0，1]）的最大值是（）A．1 B．C．0 D．﹣19．曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是（）A．B．2 C．3 D．010．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为（）A．3 B．C．2 D．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将答案写在答题卡相应位置）11．若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V= ．12．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣2处取得极值，并且它的图象与直线y=﹣3x+3在点（1，0）处相切，则函数f（x）的表达式为．13．下列是关于复数的类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由实数绝对值的性质|x|2=x2类比得到复数z的性质|z|2=z2；③已知a，b↔R，若a﹣b＞0，则a＞b．类比得已知z1，z2↔C，若z1﹣z2＞0，则z1＞z2；④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．其中推理结论正确的是．14． = ．15．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么，位于下表中的第n行第n+1列的数是．三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分．请将答案写在答题卡相应位置）16．已知复数z=m（m﹣1）+（m2+2m﹣3）i；当实数m取什么值时，复数z是：（1）实数（2）虚数（3）纯虚数（4）零．17．已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x．（1）若f（x）在[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．（2）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）的单调区间及极值．18．已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y=ax2+2bx+c，y=bx2+2cx+a，y=cx2+2ax+b 确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．19．已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．2016-2017学年陕西省西安八十三中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．复数z=﹣2+i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】本题考查复数代数表示的几何意义，由几何意义找出复数z=﹣2+i对应的点的坐标，即可选出正确答案【解答】解：由复数的几何意义知复数z=﹣2+i对应的复平面中的点的坐标是（﹣2，1），是第二象限中的点故选B2．n个连续自然数按规律排成表：根据规律，从2016到2018，箭头的方向依次为（）A．↓→ B．→↑ C．↑→ D．→↓【考点】F1：归纳推理．【分析】由题意，图中数字所处的位置呈周期性变化，可以观察出位置变化以4为周期，可选定1为开始位置，由周期性即可计算出2016所处的位置，即可选出正确选项【解答】解：选定1作为起始点，由图看出，位置变化规律是以4为周期，由于2016=4×504，可知第2016个数和4的位置相同，所以从2016到2018，箭头方向依次是↓→故选：A3．已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜6 C．a＜﹣3或a＞6 D．a＜﹣1或a＞2【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】题目中条件：“函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值”告诉我们其导数有两个不等的实根，利用二次方程根的判别式可解决．【解答】解：由于f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，有f′（x）=3x2+2ax+（a+6）．若f（x）有极大值和极小值，则△=4a2﹣12（a+6）＞0，从而有a＞6或a＜﹣3，故选C．4．由直线x=1，x=2，曲线y=x2及x轴所围图形的面积为（）A．3 B．7 C．D．【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：先根据题意画出图形，曲线y=x2，直线x=1，x=2及 x轴所围成的曲边梯形的面积为：S=∫12（x2）dx而∫12（x2）dx=（）|12=﹣=∴曲边梯形的面积是故选C．5．已知函数y=xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】通过观察函数y=xf′（x）的图象即可判断f′（x）的符号以及对应的x的所在区间，从而判断出函数f（x）的单调性及单调区间，所以观察选项中的图象，找出符合条件的即可．【解答】解：由图象看出，﹣1＜x＜0，和x＞1时xf′（x）＞0；x≤﹣1，和0≤x≤1时xf′（x）≤0；∴﹣1＜x≤1时，f′（x）≤0；x＞1，或x≤﹣1时，f′（x）≥0；∴f（x）在（﹣1，1]上单调递减，在（﹣∞，﹣1]，（1，+∞）上单调递增；∴f（x）的大致图象应是B．故选B．6．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n+y n能被x+y整除”，在第二步时，正确的证法是（）A．假设n=k（k↔N*），证明n=k+1命题成立B．假设n=k（k为正奇数），证明n=k+1命题成立C．假设n=2k+1（k↔N*），证明n=k+1命题成立D．假设n=k（k为正奇数），证明n=k+2命题成立【考点】RG：数学归纳法．【分析】根据数学归纳法证明数学命题的步骤，在第二步，假设 n=k时，命题成立，在此基础上推证n=k+2时，命题也成立．【解答】解：由于相邻的两个奇数相差2，根据数学归纳法证明数学命题的步骤，在第二步时，假设n=k（k为正奇数）时，x n+y n能被x+y整除，证明n=k+2时，x n+y n也能被x+y整除，故选D．7．观察（x2）′=2x，（x4）′=4x3，（cosx）′=﹣sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（﹣x）=（）A．﹣g（x） B．f（x）C．﹣f（x） D．g（x）【考点】F1：归纳推理．【分析】由已知中（x2）'=2x，（x4）'=4x3，（cosx）'=﹣sinx，…分析其规律，我们可以归纳推断出，偶函数的导函数为奇函数，再结合函数奇偶性的性质，即可得到答案．【解答】解：由（x2）'=2x中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；（x4）'=4x3中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；（cosx）'=﹣sinx中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；…我们可以推断，偶函数的导函数为奇函数．若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），则函数f（x）为偶函数，又∵g（x）为f（x）的导函数，则g（x）奇函数故g（﹣x）+g（x）=0，即g（﹣x）=﹣g（x），故选A．8．函数f（x）=3x﹣4x3（x↔[0，1]）的最大值是（）A．1 B．C．0 D．﹣1【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】先求导数，根据函数的单调性研究出函数的极值点，连续函数f（x）在区间（0，1）内只有一个极值，那么极大值就是最大值，从而求出所求．【解答】解：f'（x）=3﹣12x2=3（1﹣2x）（1+2x）令f'（x）=0，解得：x=或（舍去）当x↔（0，）时，f'（x）＞0，当x↔（，1）时，f'（x）＜0，∴当x=时f（x）（x↔[0，1]）的最大值是f（）=1故选A．9．曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是（）A．B．2 C．3 D．0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设与曲线y=ln（2x﹣1）相切且与直线2x﹣y+3=0平行的直线方程为：2x﹣y+m=0，设切点为（x0，y0），利用导数的几何意义可求出切点坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：y=ln（2x﹣1）的导函数为y′=，设与曲线y=ln（2x﹣1）相切且与直线2x﹣y+3=0平行的直线方程为：2x﹣y+m=0，设切点为（x0，y0）∴=2，解得x0=1，∴y0=ln（2x0﹣1）=ln1=0，∴切点为（1，0）∴切点（1，0）到直线2x﹣y+3=0的距离为=．即曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是．故选：A．10．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为（）A．3 B．C．2 D．【考点】63：导数的运算．【分析】先求导，由f′（0）＞0可得b＞0，因为对于任意实数x都有f（x）≥0，所以结合二次函数的图象可得a＞0且b2﹣4ac≤0，又因为，利用均值不等式即可求解．【解答】解：∵f'（x）=2ax+b，∴f'（0）=b＞0；∵对于任意实数x都有f（x）≥0，∴a＞0且b2﹣4ac≤0，∴b2≤4ac，∴c＞0；∴，当a=c时取等号．故选C．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将答案写在答题卡相应位置）11．若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V= R（S1+S2+S3+S4）．【考点】F3：类比推理；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．故答案为： R（S1+S2+S3+S4）．12．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣2处取得极值，并且它的图象与直线y=﹣3x+3在点（1，0）处相切，则函数f（x）的表达式为f（x）=x3+x2﹣8x+6 ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6C：函数在某点取得极值的条件．【分析】求出f′（x），由函数在x=﹣2处取得极值得到f′（﹣2）=0，又∵函数与直线在点（1，0 ）处相切，∴f′（1）=﹣3，联立两个关于a、b的二元一次方程，求出a和b，又由函数过点（1，0），代入求出c的值，则函数f（x）的表达式可求．【解答】解：∵f′（x）=3x2+2ax+b，∴f′（﹣2）=3×（﹣2）2+2a×（﹣2）+b=0，化简得：12﹣4a+b=0 ①又f′（1）=3+2a+b=﹣3 ②联立①②得：a=1，b=﹣8又f（x）过点（1，0）∴13+a×12+b×1+c=0，∴c=6．∴f（x）=x3+x2﹣8x+6．故答案为：f（x）=x3+x2﹣8x+6．13．下列是关于复数的类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由实数绝对值的性质|x|2=x2类比得到复数z的性质|z|2=z2；③已知a，b↔R，若a﹣b＞0，则a＞b．类比得已知z1，z2↔C，若z1﹣z2＞0，则z1＞z2；④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．其中推理结论正确的是①④．【考点】F3：类比推理．【分析】复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则，由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义，但是向量的模长和复数的模长不是通过列举法得到，还有两个复数不能比较大小．【解答】解：复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则，①正确由实数绝对值的性质|x|2=x2类比得到复数z的性质|z|2=z2，这两个长度的求法不是通过类比得到的．故②不正确，对于③：已知z1，z2↔C，若z1﹣z2＞0，则z1＞z2；因两个复数不能比较大小，故③错；由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．故④正确．故答案为：①④14． = ．【考点】67：定积分．【分析】利用定积分的运算法则，找出被积函数的原函数，同时注意取绝对值符号简化计算．【解答】解：=8﹣+9﹣12﹣+8=故答案为：15．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么，位于下表中的第n行第n+1列的数是n2+n ．【考点】83：等差数列；84：等差数列的通项公式．【分析】由表格可以看出第n行第一列的数为n，观察得第n行的公差为n，这样可以写出各行的通项公式，本题要的是第n行第n+1列的数字，写出通项求出即可．【解答】解：由表格可以看出第n行第一列的数为n，观察得第n行的公差为n，∴第n0行的通项公式为a n=n0+（n﹣1）n0，∵为第n+1列，∴可得答案为n2+n．故答案为：n2+n三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分．请将答案写在答题卡相应位置）16．已知复数z=m（m﹣1）+（m2+2m﹣3）i；当实数m取什么值时，复数z是：（1）实数（2）虚数（3）纯虚数（4）零．【考点】A2：复数的基本概念．【分析】对于复数z=a+bi （a，b↔R），（1）当且仅当虚部为0时是实数；（2）虚部不为0时是虚数；（3）当且仅当a=0，b≠0时，复数z是纯虚数；（4）当且仅当a=b=0时，复数z=0．【解答】解：（1）当且仅当m2+2m﹣3=0，解得：m=3或m=﹣1，即m=3或m=﹣1时复数是实数；（2）当且仅当m2+2m﹣3≠0，解得：m≠3且m≠﹣1，即m≠3且m≠﹣1时复数是虚数；（3）当且仅当，解得m=0，即m=0时，复数z=﹣3i为纯虚数；（4）当且仅当，解得m=1，即m=1时，复数z=0．17．已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x．（1）若f（x）在[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．（2）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）的单调区间及极值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）对函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x进行求导，转化成f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，求出参数a的取值范围．（2）先求导，再根据f′（3）=0，求得a=5，再根据导数求出函数极值即可．【解答】解：（1）f′（x）=3x2﹣2ax﹣3，∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，∴f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，即3x2﹣2ax﹣3≥0在[1，+∞）上恒成立．则必有≤1且f′（1）=﹣2a≥0，∴a≤0；实数a的取值范围是（﹣∞，0]．（2）∵f（x）=x3﹣ax2+3x．∴f′（x）=3x2﹣2ax+3．由题意有f′（3）=0，解得a=5，故f（x）=x3﹣5x2+3x，∴f′（x）=3x2﹣10x+3=（3x﹣1）（x﹣3）令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x＜3，故f（x）在（﹣∞，）递增，在（，3）递减，在（3，+∞）递增，故f（x）极大值=f（）=，f（x）极小值=f（3）=﹣9．18．已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y=ax2+2bx+c，y=bx2+2cx+a，y=cx2+2ax+b 确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．【考点】FD：反证法的应用．【分析】本题是一个至少性问题，可以利用反证法证明，其步骤为：①否定命题的结论，即假设“任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点”成立→②根据函数的性质可以得到三个函数对应方程的△≤0均成立→③利用不等式的性质，同向不等式求和→④得到的式子与实数的性质相矛盾→⑤故假设不成立，原结论成立．【解答】解：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x有两个不同的交点（即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点），由y=ax2+2bx+c，y=bx2+2cx+a，y=cx2+2ax+b得△1=（2b）2﹣4ac≤0，△2=（2c）2﹣4ab≤0，△3=（2a）2﹣4bc≤0．同向不等式求和得，4b2+4c2+4a2﹣4ac﹣4ab﹣4bc≤0，∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac≤0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≤0，∴a=b=c，这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证．19．已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）对函数f（x）求导，再令自变量为1，求出f′（1）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；（2）由题意，借助导数求出新函数的最小值，令其大于0即可得到参数a，b 所满足的关系式，再研究（a+1）b的最大值【解答】解：（1）f（x）=f'（1）e x﹣1﹣f（0）x+⇒f'（x）=f'（1）e x﹣1﹣f（0）+x 令x=1得：f（0）=1∴f（x）=f'（1）e x﹣1﹣x+令x=0，得f（0）=f'（1）e﹣1=1解得f'（1）=e故函数的解析式为f（x）=e x﹣x+令g（x）=f'（x）=e x﹣1+x∴g'（x）=e x+1＞0，由此知y=g（x）在x↔R上单调递增当x＞0时，f'（x）＞f'（0）=0；当x＜0时，有f'（x）＜f'（0）=0得：函数f（x）=e x﹣x+的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）（2）f（x）≥﹣（a+1）x﹣b≥0得h′（x）=e x﹣（a+1）①当a+1≤0时，h′（x）＞0⇒y=h（x）在x↔R上单调递增，x→﹣∞时，h（x）→﹣∞与h（x）≥0矛盾②当a+1＞0时，h′（x）＞0⇔x＞ln（a+1），h'（x）＜0⇔x＜ln（a+1）得：当x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0）令F（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则F'（x）=x（1﹣2lnx）∴F'（x）＞0⇔0＜x＜当x=时，F（x）max=即当a=时，（a+1）b的最大值为。
陕西省西安中学2016--2017学年高二下学期期中考试数学
西安中学2016—2017学年度第二学期期中考试高二数学（文科平行班）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设复数34z i =-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 的虚部是（ ）A . 4-B . 3C . 4D . 4i -2．按流程图的程序计算，若开始输入的值为3n =，则输出的n 的值是（ ）A . 6B . 21C . 156D ．231 3．下列命题中的真命题是（ ）A . 若||a b >，则22a b >B . 若||a b >，则22a b >C . 若a b ≥，则22a b ≥D . 若,a b c d >>，则ac bd >4．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 ( )A . 62n -B . 62n +C . 82n -D . 82n +5．关于复数z 的方程1z i -=在复平面上表示的图形是 ( ) A .圆 B . 椭圆 C . 抛物线 D . 双曲线 6．有下列关系：其中有相关关系的是 ( ) ① 人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系； ② 曲线上的点与该点的坐标之间的关系； ③ 苹果的产量与气候之间的关系；…①②③④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系，A. ①②③B. ①②C. ①③④D. ②③7．对相关系数r，下列说法正确的是（）A．||r越大，线性相关程度越大B．||r越小，线性相关程度越大C．||r越大，线性相关程度越小，||r越接近0，线性相关程度越大D．||1r≤且||r越接近1，线性相关程度越大，||r越接近0，线性相关程度越小Array 8．求135101S=++++的流程图程序如右图所示，其中①应为（）A．101A=B．101A≤C．101A>D．101A≥9．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①9090180A B C C++=︒+︒+>︒，这与三角形内角和为==︒不成立；180︒相矛盾，故90A B②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设90A B==︒，正确顺序的序号为（）A. ①③②B.①②③C.②③①D. ③①②10．下列表述正确的是( )①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A. ①③⑤B. ②③④C. ①②③D. ②④⑤11．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是( )A . 10170y x =+B . 18170y x =+C . 18170y x =-+D . 10170y x =--12．设()0f n >（n N +∈）, (2)4f =，并且对于任意12,n n N +∈，都有1212()()()f n n f n f n += 成立，猜想()f n 的表达式为( )A . 2()f n n =B . ()2n f n =C . +1()2n f n =D .()2f n n =二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题纸上）13. 已知0x >，则函数9()7f x x x=--的最大值为 ．14．观察下列式子：212311+=，313422+=，414533+=，515644+=，，归纳得出第n 个式子为 ．15．已知复数21(2)(4)z a a i =-+-，22(2)z a a i =--（i 为虚数单位），若12z z -为纯虚数，则实数a = ． 16．已知函数221)(x x x f +=，那么111(2)()(3)()(1)231f f fff f++++++=．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．(本小题满分10分) 某市居民20112015年货币收入x 与购买商品支出Y 的统计资料如下表所示：（单位：亿元）（Ⅰ）画出散点图，判断x 与Y 是否具有线性相关关系； （Ⅱ）已知0.842,0.943b a ==-，请写出Y 对x 的回归直线方程，并估计货币收入为52（亿元）时，购买商品支出大致为多少亿元？18．(本小题满分12分) 已知复数1z i =+（i 为虚数单位），a b R ∈、， （Ⅰ）若234z z ω=+-，求||ω；（Ⅱ）若2211z az bi z z ++=--+，求,a b 的值．19．(本小题满分12分)． 阅读以下求123n ++++的值的过程：因为22(1)21n n n +-=+，22(1)2(1)1n n n --=-+，2221211-=⨯+，以上各式相加得2(1)12(123)n n n +-=+++++，所以22(1)12322n n n n n n +-+++++==．类比以上过程，求2222123n ++++的值．20．(本小题满分12分) 已知函数()|21||23|f x x x =++-. （Ⅰ）求不等式()6f x ≤的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式()|2|f x a ≤-的解集非空，求实数a 的取值范围.21．(本小题满分12分)据统计，2016年“双11”天猫总成交金额突破3万亿元.某购物网站为优化营销策略，对11月11日当天在该网站进行网购消费且消费金额不超过1000元的1000名网购者（其中有女性800名，男性200名）进行抽样分析．采用根据性别分层抽样的方法从这1000名网购者中抽取100名进行分析，得到下表：（消费金额单位：元）女性和男性消费情况如下表（Ⅰ）计算,x y的值；在抽出的100名且消费金额在[]800,1000（单位：元）的网购者中随机选出两名发放网购红包，求选出的两名网购者恰好是一男一女的概率；（Ⅱ）若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人”，低于600元的网购者为“非网购达人”，根据以上统计数据填写右边22⨯列联表，并回答能否有099以上的把握认为“是否为‘网购达人’与性别有关?”附：（22()()()()()n ad bca b c d a c b dχ-=++++，其中n a b c d=+++）22．(本小题满分12分) 在各项都是正数的数列{}n a 中，数列的前n 项和n S 满足11()2n n n S a a =+．（Ⅰ）求 123,,a a a ；（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）求n S ．西安中学2016—2017学年度第二学期期中考试高二数学（文科平行班）答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题纸上） 13． 1 14．11(1)(2)n n n n n+++=++ 15． 1- 16．9 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题10分）解：（Ⅰ）由某市居民货币收入预报支出，因此 选取收入为自变量x ，支出为因变量Y ．作散点图， 从图中可看出x 与Y 具有线性相关关系．（Ⅱ）Y 对x的回归直线方程为0.8420.943y x =- 货币收入为52（亿元）时，即x ＝52时，42.841y =，所以购买商品支出大致为43亿元．18．（本小题12分）解：（1） 221)31)44((13i z i i z ω=+-=++--=--，∴||ω==（2）由条件2222(1)(1)()(2)(1111)(1)i i a b ii i iz az b a b a i z z +++++++++++===--+-+， ∴ ()(2)(1)1a b i i i i a +++=-=+，即 =12=1b a a ++⎧⎨⎩， 解得=1=2a b -⎧⎨⎩．19．（本小题12分）证明：因为332(1)331n n n n +-=++ 332(1)3(1)3(1)1n n n n --=-+-+3322131311-=⨯+⨯+以上各式相加得32222(1)13(123)3(123)n n n n +-=++++++++++，把(1)1232n n n +++++=代入， 所以2222(1)(2+11236n n n n +++++=）．20．（本小题12分）解：（Ⅰ） 函数()|21||23|f x x x =++-，∴ 不等式()6f x ≤等价于：①(21)(2123)6x x x -+--≤⎧<-⎪⎨⎪⎩，或②(211)(32)2236x x x +-⎧-≤≤-≤⎪⎨⎪⎩，或(21)(23)326x x x ++>-≤⎧⎪⎨⎪⎩ 解①得112x -≤<-，解②得1322x -≤≤，解③得322x <≤，综合①②③可得不等式()6f x ≤的解集为[]1,2-.（Ⅱ） ()|21||23||(21)(23)|4f x x x x x =++-≥+-=，则()f x 的最小值为4，若关于x 的不等式()|2|f x a ≤-的解集非空，则|2|4a -≥，即24a -≤-，或24a -≥，解得2a ≤-，或6a ≥， ∴ 实数a 的取值范围为(][),26,-∞-+∞.21．（本小题12分）解：（1）依题意，女性应抽取80名，男性应抽取20名，80(5101547)3x ∴=-+++=，20(23102)3y =-+++=.设抽出的100名且消费金额在[]800,1000（单位：元）的网购者中有三位女性记为,,A B C ；两位男性记为,a b ，从5人中任选2人的基本事件有：(,),(,),(,),(,)A B A C A a A b ,(,),(,),(,)B C B a B b ,(,),(,)C a C b ,(,)a b 共10个.设“选出的两名网购者恰好是一男一女”为事件M ，事件M 包含的基本事件有：(,),(,),(,),(,),(,),(,)A a A b B a B b C a C b 共6件63().105P M ∴== （2）22⨯列联表如下表所示则22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++2100(5015305)80205545⨯-⨯=⨯⨯⨯9.091≈， 因为9.091 6.635>，所以有0099以上的把握认为“是否为‘网购达人’”与性别有关.22．（本小题12分）解：（Ⅰ）1231,1,a a a ===（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想数列{}n a 的通项公式为：n a =；（Ⅲ）法（一））111()22n n n S a a =+=1)2n =法（二）123n n S a a a a =++++1)2)(1n +++-=+=。
陕西省西安一中2016-2017学年高二上学期第二次月考数学试卷(文科) Word版含解析
2016-2017学年陕西省西安一中高二（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题：只有一项符合题目要求（共12小题，每小题3分，共36分）1．命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α=2．已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（）A．2 B．3 C．5 D．73．命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0C．存在x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞04．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣=15．抛物线y=4x2的焦点坐标是（）A．（0，1） B．（0，）C．（1，0） D．（，0）6．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．7．曲线在点（1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=﹣2x+3 B．y=﹣2x﹣3 C．y=﹣2x+1 D．y=2x+18．下列结论正确的是个数为（）①y=ln2 则y′=；②y=则y′=③y=e﹣x则y′=﹣e﹣x；④y=cosx 则y′=sinx．A．1 B．2 C．3 D．49．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）=x2+3xf′（1），则f′（1）的值等于（）A．B．C．1 D．﹣111．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，双曲线﹣=1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（）A． +=1 B． +=1 C． +=1 D． +=112．函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=1，对任意x∈R，f′（x）＞3，则f（x）＞3x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13．焦点在y轴的椭圆x2+ky2=1的长轴长是短轴长的2倍，那么k等于．14．函数f（x）=+lnx的导函数是f′（x），则f′（﹣1）=．15．椭圆的左右焦点为F1，F2，b=4，离心率为，过F1的直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为．16．函数f（x）=xlnx的减区间是．17．设F1、F2是椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为．三、解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．设椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．19．已知p：∀x∈R，不等式x2﹣mx+＞0恒成立，q：椭圆+=1的焦点在x轴上，若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．20．设函数f（x）=x3﹣3ax+b（a＞0）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．21．过点（0，4），斜率为﹣1的直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于两点A、B，且弦|AB|的长度为4．（1）求p的值；（2）求证：OA⊥OB（O为原点）．2016-2017学年陕西省西安一中高二（上）第二次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：只有一项符合题目要求（共12小题，每小题3分，共36分）1．命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α=【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】原命题为：若a，则b．逆否命题为：若非b，则非a．【解答】解：命题：“若α=，则tanα=1”的逆否命题为：若tanα≠1，则α≠．故选C．2．已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（）A．2 B．3 C．5 D．7【考点】椭圆的简单性质．【分析】先根据条件求出a=5；再根据椭圆定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论．【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=5．根据椭圆的定义得：2a=3+d⇒d=2a﹣3=7．故选D．3．命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0C．存在x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞0【考点】命题的否定．【分析】根据命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”是全称命题，其否定是对应的特称命题，从而得出答案．【解答】解：∵命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”是全称命题∴否定命题为：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0故选C．4．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】对选项首先判定焦点的位置，再求渐近线方程，即可得到答案．【解答】解：由A可得焦点在x轴上，不符合条件；由B可得焦点在x轴上，不符合条件；由C可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=±2x，符合条件；由D可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=x，不符合条件．故选C．5．抛物线y=4x2的焦点坐标是（）A．（0，1） B．（0，）C．（1，0） D．（，0）【考点】抛物线的简单性质．【分析】把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标．【解答】解：抛物线y=4x2的标准方程为x2=y，p=，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，），故选B．6．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程；抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而确定双曲线的焦点，求得双曲线中的c，根据离心率进而求得长半轴，最后根据b2=c2﹣a2求得b，则双曲线的方程可得．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），双曲线的方程为故选D7．曲线在点（1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=﹣2x+3 B．y=﹣2x﹣3 C．y=﹣2x+1 D．y=2x+1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】对函数求导，由导数的几何意义可求曲线在点（1，﹣1）处的切线斜率k，进而可求切线方程【解答】解：对函数求导可得，由导数的几何意义可知，曲线在点（1，﹣1）处的切线斜率k=﹣2曲线在点（1，﹣1）处的切线方程为y+1=﹣2（x﹣1）即y=﹣2x+1故选C8．下列结论正确的是个数为（）①y=ln2 则y′=；②y=则y′=③y=e﹣x则y′=﹣e﹣x；④y=cosx 则y′=sinx．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】导数的运算．【分析】根据导数的公式进行判断即可．【解答】解：①y=ln2 则y′=0，故①错误；②y=则y′=，正确，故②正确，③y=e﹣x则y′=﹣e﹣x；正确，故③正确，④y=cosx 则y′=﹣sinx．故④错误，故正确的有2个，故选：B9．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的标准方程．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选D．10．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）=x2+3xf′（1），则f′（1）的值等于（）A．B．C．1 D．﹣1【考点】导数的运算．【分析】对f（x）求导，将x=1代入导函数求出．【解答】解：∵f（x）=x2+3xf′（1），∴f′（x）=2x+3f′（1）．∴当x=1时有f′（1）=2+3f′（1）．解得f′（1）=﹣1．故选：D．11．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，双曲线﹣=1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（）A． +=1 B． +=1 C． +=1 D． +=1【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意，双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可得（2，2）在椭圆C： +=1（a＞b＞0），利用e=，即可求得椭圆方程．【解答】解：由题意，双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，∴（2，2）在椭圆C： +=1（a＞b＞0）上∴，∵e=，∴，∴a2=4b2∴a2=20，b2=5∴椭圆方程为+=1．故选D．12．函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=1，对任意x∈R，f′（x）＞3，则f（x）＞3x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）【考点】导数的运算．【分析】构造函数F（x）=f（x）﹣（3x+4），由f（﹣1）=1得F（﹣1）的值，求F（x）的导函数，根据f′（x）＞3，得F（x）在R上为增函数，根据函数的单调性得F（x）大于0的解集，从而得所求不等式的解集．【解答】解：设F（x）=f（x）﹣（3x+4），则F（﹣1）=f（﹣1）﹣（﹣3+4）=1﹣1=0，又对任意x∈R，f′（x）＞3，∴F′（x）=f′（x）﹣3＞0，∴F（x）在R上是增函数，∴F（x）＞0的解集是（﹣1，+∞），即f（x）＞3x+4的解集为（﹣1，+∞）．故选：B．二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13．焦点在y轴的椭圆x2+ky2=1的长轴长是短轴长的2倍，那么k等于．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，将椭圆的方程变形为=1，由其焦点的位置可得a=，b=1，结合题意，其长轴长是短轴长的2倍，则有2=2×2，解可得k的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆的方程为x2+ky2=1，变形可得=1，又由其焦点在y轴上，则＞1，且a=，b=1，若其长轴长是短轴长的2倍，则有2=2×2，解可得k=，故答案为：．14．函数f（x）=+lnx的导函数是f′（x），则f′（﹣1）=．【考点】导数的运算．【分析】求函数的导数，令x=﹣1，即可得到结论．【解答】解：f（x）=+lnx=﹣+lnx，则f（x）的导数f′（x）=﹣+，则f′（﹣1）==，故答案为：．15．椭圆的左右焦点为F1，F2，b=4，离心率为，过F1的直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为20．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆性质列出方程组，求出a，再由椭圆定义得△ABF2的周长为4a，由此能求出结果．【解答】解：∵椭圆的左右焦点为F1，F2，b=4，离心率为，∴，解得a=5，b=4，c=3，∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，∴△ABF2的周长为4a=20．故答案为：20．16．函数f（x）=xlnx的减区间是．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求定义域，再令导数≤0解不等式，取交集可得．【解答】解：由题意函数的定义域为（0，+∞），求导数可得f′（x）=x′lnx+x（lnx）′=1+lnx，令f′（x）=1+lnx≤0，解之可得x≤故函数的减区间为：故答案为：17．设F1、F2是椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：设x=交x轴于点M，∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形∴∠PF2F1=120°，|PF2|=|F2F1|，且|PF2|=2|F2M|∵P为直线x=上一点，∴2（﹣c）=2c，解之得3a=4c∴椭圆E的离心率为e==故答案为：三、解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．设椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）过点（0，4），离心率为．（1）求椭圆C 的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（1）椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）过点（0，4），可求b ，利用离心率为，求出a ，即可得到椭圆C 的方程；（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x ﹣3），代入椭圆C 方程，整理，利用韦达定理，确定线段的中点坐标．【解答】解：（1）将点（0，4）代入椭圆C 的方程得=1，∴b=4，…由e==，得1﹣=，∴a=5，… ∴椭圆C 的方程为+=1．…（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x ﹣3），… 设直线与椭圆C 的交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将直线方程y=（x ﹣3）代入椭圆C 方程，整理得x 2﹣3x ﹣8=0，… 由韦达定理得x 1+x 2=3，y 1+y 2=（x 1﹣3）+（x 2﹣3）=（x 1+x 2）﹣=﹣．…由中点坐标公式AB 中点横坐标为，纵坐标为﹣，∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．…19．已知p ：∀x ∈R ，不等式x 2﹣mx +＞0恒成立，q ：椭圆+=1的焦点在x轴上，若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】分别判断出p，q为真时的m的范围，通过讨论p，q的真假，得到关于m的不等式组，取并集即可．【解答】解：∵p：∀x∈R，不等式x2﹣mx+＞0恒成立，∴△=m2﹣6＜0，解得：﹣＜m＜；q：椭圆+=1的焦点在x轴上，∴m﹣1＞3﹣m＞0，解得：2＜m＜3，若“p或q”为真，“p且q”为假，则：p，q一真一假，p真q假时：，解得：﹣＜m＜2，p假q真时：，解得：≤m＜3，故m的范围是（﹣，2）∪[，3）．20．设函数f（x）=x3﹣3ax+b（a＞0）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（2，f（x））处在直线y=8相切，建立方程组，即可求得a，b的值；（Ⅱ）f′（x）=3（x2﹣4）=3（x+2）（x﹣2），令f′（x）＞0，可得函数的单调增区间；令f′（x）＜0，可得函数的单调减区间．【解答】解：（Ⅰ）求导函数，可得f′（x）=3x2﹣3a∵曲线y=f（x）在点（2，f（x））处在直线y=8相切∴，∴a=4，b=24（Ⅱ）f′（x）=3（x2﹣4）=3（x+2）（x﹣2）令f′（x）＞0，可得x＜﹣2或x＞2；令f′（x）＜0，可得﹣2＜x＜2∴函数的单调增区间为（﹣∞，﹣2），（2，+∞），单调减区间为（﹣2，2）．21．过点（0，4），斜率为﹣1的直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于两点A、B，且弦|AB|的长度为4．（1）求p的值；（2）求证：OA⊥OB（O为原点）．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，计算弦|AB|的长度，即可求p的值；（2）证明x1x2+y1y2=0，即可得到OA⊥OB．【解答】（1）解：直线方程为y=﹣x+4，联立方程消去y得，x2﹣2（p+4）x+16=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），得x1+x2=2（p+4），x1x2=16，△=4（p+2）2﹣64＞0．所以|AB|=|x1﹣x2|==4，所以p=2．（2）证明：由（1）知，x1+x2=2（p+4）=12，x1x2=16，∴y1y2=（﹣x1+4）（﹣x2+4）=﹣8p=﹣16∴x1x2+y1y2=0，∴OA⊥OB．2017年2月12日。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第1页（共13页） 2016-2017学年陕西省西安一中大学区高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．（3分）已知向量=（﹣1，1，﹣1），=（2，0，﹣3），则•等于（ ） A．﹣2 B．﹣4 C．﹣5 D．1 2．（3分）不等式≥0的解集为（ ） A．[﹣2，1] B．（﹣2，1] C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪（1，+∞） 3．（3分）下列命题中是假命题的是（ ） A．若a＞0，则2a＞1 B．若x2+y2=0，则x=y=0 C．若b2=ac，则a，b，c成等比数列 D．若a+c=2b，则a，b，c成等差数列 4．（3分）已知{an}是等比数列，a1=4，a4=，则公比q等于（ ）
A． B．﹣2 C．2 D． 5．（3分）命题“任意x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（ ） A．任意x∈R，|x|+x2＜0 B．存在x∈R，|x|+x2≤0 C．存在x0∈R，|x0|+x02＜0 D．存在x0∈R，|x0|+x02≥0 6．（3分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知，，，
则用向量，，可表示向量=（ ）
A． B． C． D．﹣ 第2页（共13页）
7．（3分）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（ ） A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
C．若a＜b＜0，则 D．若a＜b＜0，则 8．（3分）若命题￢（p∨（￢q））为真命题，则p，q的真假情况为（ ） A．p真，q真 B．p真，q假 C．p假，q真 D．p假，q假
9．（3分）已知变量x，y满足条件，则目标函数z=2x+y（ ） A．有最小值3，最大值9 B．有最小值9，无最大值 C．有最小值8，无最大值 D．有最小值3，最大值8 10．（3分）已知数列{an}的前n项和Sn=，则a3=（ ）
A． B． C． D． 11．（3分）设an=﹣n2+9n+10，则数列{an}前n项和最大值n的值为（ ） A．4 B．5 C．9或10 D．4或5 12．（3分）方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是（ ） A．0＜a≤1 B．a＜1 C．a≤1 D．0＜a≤1或a＜0
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）已知x＞0，y＞0，4x+y=1，则+的最小值为 ． 14．（5分）不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是 ． 15．（5分）已知数列{an}的首项a1=1，an+1=3Sn（n≥1），则数列{an}的通项公式为 ．
16．（5分）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围为 ． 第3页（共13页）
三、解答题（本大题共4小题，共44分） 17．（8分）已知向量=（1，5，﹣1），=（﹣2，3，5）． （1）若（k+）∥（﹣3），求实数k； （2）若（k+）⊥（﹣3），求实数k． 18．（12分）设命题P：实数x满足2x2﹣5ax﹣3a2＜0，其中a＞0，命题q：实
数x满足． （1）若a=2，且p∧q为真，求实数x的取值范围； （2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 19．（12分）（1）如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真． （2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）
20．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1． （Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）令cn=，求数列{cn}的前n项和Tn． 第4页（共13页）
2016-2017学年陕西省西安一中大学区高二（上）期中数学试卷（理科） 参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．（3分）已知向量=（﹣1，1，﹣1），=（2，0，﹣3），则•等于（ ） A．﹣2 B．﹣4 C．﹣5 D．1 【解答】解：∵向量=（﹣1，1，﹣1），=（2，0，﹣3）， ∴=﹣2+0+3=1． 故选：D．
2．（3分）不等式≥0的解集为（ ） A．[﹣2，1] B．（﹣2，1] C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪（1，+∞） 【解答】解：不等式≥0 ⇔（x﹣1）（2+x）≤0且x≠﹣2 ⇔﹣2≤x≤1且x≠﹣2⇔﹣2＜x≤1． 即不等式的解集为：（﹣2，1]． 故选：B．
3．（3分）下列命题中是假命题的是（ ） A．若a＞0，则2a＞1 B．若x2+y2=0，则x=y=0 C．若b2=ac，则a，b，c成等比数列 D．若a+c=2b，则a，b，c成等差数列 【解答】解：对于A，由指数函数y=2x可得，当a＞0，2a＞1，故正确； 第5页（共13页）
对于B，∵x2≥，y2≥0对任意实数恒成立，∴当x2+y2=0时，一定有x=y=0，故正确； 对于C，当b2=ac时，a，b，c可能同时为0，此时a，b，c不是等比数列，故错； 对于D，当a+c=2b，一定有b﹣a=c﹣b，则a，b，c一定成等差数列，故正确． 故选：C．
4．（3分）已知{an}是等比数列，a1=4，a4=，则公比q等于（ ） A． B．﹣2 C．2 D． 【解答】解：在等比数列{an}中，由，
得， ∴q=． ∴等比数列{an}的公比为． 故选：D．
5．（3分）命题“任意x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（ ） A．任意x∈R，|x|+x2＜0 B．存在x∈R，|x|+x2≤0 C．存在x0∈R，|x0|+x02＜0 D．存在x0∈R，|x0|+x02≥0 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题， 所以，命题“任意x∈R，|x|+x2≥0”的否定是存在x0∈R，|x0|+x02＜0． 故选：C．
6．（3分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知，，，则用向量，，可表示向量=（ ） 第6页（共13页）
A． B． C． D．﹣ 【解答】解：
=﹣ 故选：D．
7．（3分）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（ ） A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
C．若a＜b＜0，则 D．若a＜b＜0，则 【解答】解：A，当c=0时，有ac2=bc2 故错． B 若a＜b＜0，则a2﹣ab=a（a﹣b）＞0，a2＞ab； ab﹣b2=b（a﹣b）＞0，ab＞b2，∴a2＞ab＞b2 故对 C 若a＜b＜0，取a=﹣2，b=﹣1，可知，故错．
D 若a＜b＜0，取a=﹣2，b=﹣1，可知，故错 故选：B．
8．（3分）若命题￢（p∨（￢q））为真命题，则p，q的真假情况为（ ） A．p真，q真 B．p真，q假 C．p假，q真 D．p假，q假 【解答】解：若命题￢（p∨（￢q））为真命题， 则命题p∨（￢q）为假命题， 则命题p和￢q为假命题， ∴p假，q真， 故选：C． 第7页（共13页）
9．（3分）已知变量x，y满足条件，则目标函数z=2x+y（ ） A．有最小值3，最大值9 B．有最小值9，无最大值 C．有最小值8，无最大值 D．有最小值3，最大值8 【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分）， 由z=2x+y，得y=﹣2x+z， 平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．无最大值． 由，解得， 即A（2，4）． 此时z的最小值为z=2×2+4=8， 故选：C．
10．（3分）已知数列{an}的前n项和Sn=，则a3=（ ） A． B． C． D． 【解答】解：a3=S3﹣S2=﹣=． 故选：A．
11．（3分）设an=﹣n2+9n+10，则数列{an}前n项和最大值n的值为（ ） 第8页（共13页）
A．4 B．5 C．9或10 D．4或5 【解答】解：解：an=﹣n2+9n+10=﹣（n﹣10）（n+1）， ∵{an}的前n项和Sn有最大值， ∴Sn≥Sn+1，得an+1≤0，即﹣[（n+1）﹣10][（n+1）+1]≤0， 解得n≥9， 易得a8=18，a9=10，a10=0，a11=﹣12，则S9=S10最大，此时n=9或10． 故选：C．
12．（3分）方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是（ ） A．0＜a≤1 B．a＜1 C．a≤1 D．0＜a≤1或a＜0 【解答】解：由题意可得，方程ax2+2x+1=0的别式△=4﹣4a≥0，a≤1． ①a≠0时，显然方程方程ax2+2x+1=0没有等于零的根． 若方程有两异号实根，则由两根之积＜0，求得a＜0；
若方程有两个负的实根，则必有 ，故 0＜a≤1． ②若a=0时，可得x=﹣也适合题意． 综上知，若方程至少有一个负实根，则a≤1． 反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根， 因此，关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一负的实根的充要条件是a≤1． 故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）已知x＞0，y＞0，4x+y=1，则+的最小值为 16 ． 【解答】解：∵x＞0，y＞0，4x+y=1， 则+=（4x+y）=8+≥8+2=16，当且仅当y=4x=时取
等号． 其最小值为16．