高中数学 极限的概念素材
高数_数学极限总结
高数_数学极限总结
数学极限旨在研究一个变量值接近但未达到一个特定数值时整个表达式的行为。
在极
限理论中，经常被称为“触及极限”(tending to limit)。
极限有两种类型：极限和无穷大。
极限是指表达式越来越接近某个特定的数值的状态，而无穷大则表示表达式几乎接近于一个特定的无限大的数值。
求极限的各种方法:
原函数法：根据变量趋向特定值时函数展开时形成的多项式推导其极限值。
变量迭代法：针对变量求值，当自变量变化时，函数值变化相同。
导数法：根据定义对变量取导数，把导数置零，得到方程和变量取值。
分母重置法：当表达式中存在分式且分母可变，则把它变为分母的重置形式，来求极限。
泰勒公式法：利用泰勒公式求函数展开式的极限。
洛必达斯平方和定理法：用变量求和，然后把求和结果代入平方和定理，求解方程，
进而求极限的值。
三角函数法：利用三角函数的展开式，求三角函数的极限值。
极限也可以作为形函数理论的有用工具，比如求最大值和最小值、极限点、局部极小
点和全局极小点。
极限还可以用于分析函数不可导性、曲线不可娶群及曲线是否对称等问题。
极限在数学中运用广泛，它常常可以把复杂的问题变得容易理解；它也可以解决无法
用解析的方法解决的问题。
极限的概念也可以帮助我们更清晰的理解经典数学中的很多概念，比如微分、积分等。
数学极限知识点
数学极限知识点数学极限是一种考虑存在表达式趋于无穷大或趋于无穷小（如0）时，描述它们不断变化的过程的数学概念。
它是数学中最基本也是最重要的概念之一，是数学分析的重要工具。
一、极限的概念1.定义极限的定义为：在某个变量满足某种关系束条件时，其前后值越趋同一方向，其间这部分值无论取多少次都趋向于某个特定值。
2.特性当极限可以表示为分数等式时，它具有满足该等式的可靠性。
极限有两个特性：有界性和递增/递减性。
二、极限的运用1.数量及其关系极限可以应用于确定某种数量和其它数量之间的关系，以及在相同数量的体系中确定某种特定的数量。
2.复变函数的求导极限的概念也可以用于复变函数的求导，允许用户设置相应的变量，以确定函数的极限值。
3.定积分极限的概念也可以用于确定积分的取值上的极限，从而得出它的结果。
三、极限的计算1.极限的计算公式对于某个特定的函数，极限的计算一般采用以下公式：lim（x→∞）f（x）=L，其中L为极限值。
2.极限的计算过程（1）计算函数近似值：极限的计算是在无穷大或无穷小处表示为0时，求函数的极限。
随着变量的增大，函数的值会变化，可以计算出近似值。
（2）推动函数的极限：利用技巧推出变量的不同值，直到取值趋向一致，以求证极限。
（3）比较取值：比较函数随着变量的变化，从而与函数计算的结果比较，以确定极限值。
四、极限的性质1.极限的性质极限的性质有：当极限存在时，其值等于函数的值，即极限的性质；极限的性质的符号是“lim（x→∞）”；当极限值L等于0或者其他值时，说明函数趋于0或者其他值；极限的范围是无穷大或者无穷小，除此之外的范围不受极限的规则控制；极限的概念也可以拓展到多元函数中。
2.极限的内涵极限运用具有很多内涵，它可以表示数量及其关系，指出表达式前后值形成一个环路，表示该表达式各自有不同的极限；求复变函数的导数，求定积分和函数的极限，研究多元函数的极限等。
极限相关的知识点总结
极限相关的知识点总结一、极限的定义在介绍极限的定义之前，我们先来看一个简单的实例：考虑函数$f(x) = 2x + 1$，当$x$接近于3时，$f(x)$的取值也会接近于$2 \times 3 + 1 = 7$。
这种“接近于”的性质就是极限的基本特征。
正式地说，如果当$x$趋近于某个数$a$时，函数$f(x)$的取值无限接近于某个常数$L$，我们就说函数$f(x)$在$x$趋近于$a$时的极限为$L$，记作$\lim\limits_{x \to a}f(x) = L$。
这个定义可以用下面的符号形式表达：对于任意正数$\varepsilon$，存在一个正数$\delta$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，都有$|f(x)-L|<\varepsilon$成立。
二、极限的运算法则在计算极限的过程中，我们经常需要使用一些基本的运算法则。
这些法则包括极限的四则运算法则、复合函数的极限和反函数的极限等。
这里我们分别来介绍这些基本的运算法则。
1. 极限的四则运算法则设$\lim\limits_{x \to a} f(x) = A$，$\lim\limits_{x \to a} g(x) = B$，则有$\lim\limits_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = A \pm B$，$\lim\limits_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$，$\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$，其中$B \neq 0$。
2. 复合函数的极限设$\lim\limits_{x \to a} g(x) = b$，$\lim\limits_{x \to b} f(x) = L$，则有 $\lim\limits_{x\to a} f[g(x)] = L$。
3. 反函数的极限如果函数$f(x)$在点$a$的邻域内有界且单调，且$\lim\limits_{x \to a} f(x) = b$，则$f^{-1}(b) = a$。
极限的概念与性质课件
无穷小的定义
无穷小是指一个函数在某个自变量变化过程中，其函数值无 限趋近于0，无论自变量取何值，函数值都小于某个正数，则 称该函数为无穷小。
无穷小常被表示为lim(x→x0)，称为x趋于x0时的极限。
无穷大与无穷小的关系
在求极限时，无穷大与无穷小具有倒数关系，即 lim(x→x0) f(x)/g(x) = 1/lim(x→x0) g(x)/f(x)。
相同的符号。
迫敛性
迫敛性是指如果一个函数在某一点有极限，且存在一个正数M，使得在这个点的某个邻域内 ，这个函数的项都落在以原点为圆心、以M为半径的圆内，那么这个函数的极限存在。
对于数列来说，如果一个数列收敛于a，且存在一个正数M，使得在这个数列的某个后项都 落在以原点为圆心、以M为半径的圆内，那么这个数列的极限a存在。
极限的概念与性质课件
• 极限的定义 • 极限的性质 • 极限的四则运算 • 重要极限与极限存在准则 • 无穷大与无穷小的关系 • 极限的应用
01
极限的定义
极限的数列定义
定义极限的数列
对于数列`{an}`，若存在常数`A` ，对于任意正数`ε`，都存在正整 数`N`，使得当`n>N`时，恒有 `|an-A|<ε`，则称数列`{an}`收敛 于`A`。
04
重要极限与极限存在准则
重要极限
极限lim
x->2
x^2+3x-10/x-2 的
值为：当x趋近于2时
，该极限的值为4。
重要极限lim x->∞ (1+1/x)^x 的值为： 当x趋近于无穷大时 ，该极限的值为e。
重要极限lim x->0 (1+x)^(1/x) 的值为 ：当x趋近于0时，该 极限的值为e。
极限的概念专题知识
课堂练习
观察下列极限是否存在，如存在请写出极限：
［Ａ］（1）lim x
1 x2
＝０（2）x
lim
10
x
＝０
（3）lim ( 1 ) x＝０ 3 x
［Ｂ］（4）limarccotx x
不存在（5）xlimcosx
不存在
［Ｃ］
（6）设
f(x)
2,x 0 2,x 0
（１）y = c (c为常数)
（２）y = x ２
解： (1)limcc x2
(2)lim x2224 x 2
1.2 极限的概念
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当之处，请联系本人或网站删除。
1.2.２ 函数的极限
２.当 x x0 时，函数 f ( x ) 的极限
1.2.２ 函数的极限
１.当 x时，函数 f ( x ) 的极限
定义1·3 x的极限定义
1.2 极限的概念
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1.2.２ 函数的极限
１.当 x时，函数 f ( x ) 的极限
例3
解：
作Байду номын сангаас
1 图象
2345
n
n1 xn 0
23 4 .
1.5 0.66 1.25
5 10 0.8 1.1
11 ..
0.9090
100 101
. ... 1.01 0.9900
24 7 3
35
62
0
61 5
高等数学极限的概念
高等数学极限的概念
微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。
数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A 不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A）的过程中。
此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。
1、简介
极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指“用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想”。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：
对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。
极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值或极小值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。
如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科，并且计算结果误差小到难于想像，因此可以忽略不计。
2、解决问题的极限思想
“极限思想”方法，是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是‘数学分析’与在‘初等数学’的基础上有承前启后连贯性的、进一步的思维的发展。
数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体的体积等问题），正是由于其采用了‘极限’的‘无限逼近’的思想方法，才能够得到无比精确的计算答案。
极限的几个概念
极限的几个概念极限是微积分的重要概念之一，它是描述函数在某一点处趋向于某个特定值的性质。
在数学中，我们通常用极限来刻画函数的变化趋势，为我们研究函数的性质和解决实际问题提供了有力的工具。
在这篇文章中，我将对极限的几个概念进行详细阐述。
首先，我们来介绍一下函数在某点的极限。
设函数f(x)定义在区间(a, b)上，如果对于任意给定的ε> 0，存在δ> 0，使得对于任意满足0 < x - a < δ的x，都有f(x) - L < ε成立，那么我们就说函数f(x)在点a的极限为L，记作lim(f(x)) = L，即：lim(x→a)〖f(x) = L〗这个定义可以解释为：当自变量x趋近于a时，函数f(x)的值趋近于L。
如果函数在点a左右两侧的极限不相等，或者不存在，我们称之为函数在点a处的间断点。
接下来，我们介绍一下无穷极限的概念。
在函数的定义域中，如果x逼近于无穷大时，函数f(x)的极限存在且有确定的值L，那么称这个极限为无穷大。
如果x 逼近于无穷小时，函数f(x)的极限存在且有确定的值L，那么称这个极限为无穷小。
无穷大和无穷小是解决函数在无穷远处的行为问题非常有用的工具。
极限还有一些重要的性质。
首先是极限的唯一性。
如果函数在某一点的极限存在，那么这个极限是唯一的，即函数不能同时趋近于两个不同的值。
其次是四则运算的极限性质。
假设lim(x→a)〖f(x) = L〗，lim(x→a)g(x) = M，那么有以下结果：lim(x→a)〖(f(x) ±g(x)) = L ±M〗、lim(x→a)〖(f(x) ×g(x)) = L ×M〗和lim(x→a)〖(f(x) ÷g(x)) = L ÷M〗。
最后是复合函数的极限。
设f(x)在点a的一个去心领域内有定义，而g(x)在点L的一个去心领域内有定义，并且lim(x →a)f(x) = L，lim(y→L)g(y) = M，那么有lim(x→a)〖g(f(x)) = M〗。
极限数学知识点总结
极限数学知识点总结数列和函数的极限是极限数学的重要内容之一。
数列的极限指的是随着数列项数的增加，数列的值趋向于某个确定的值，这个确定的值就是数列的极限。
而函数的极限则是指当自变量趋于某个值时，函数的取值趋于某个确定的值。
数列和函数的极限是极限数学的基本概念，也是其他极限相关内容的基础。
无穷大和无穷小是极限数学中的另一个重要概念。
无穷大指的是当自变量趋于某个值时，函数的取值趋于正无穷或负无穷，而无穷小指的是当自变量趋于某个值时，函数的取值趋于0。
无穷大和无穷小是极限数学中的基本概念，也是许多极限相关内容的基础。
极限的性质和运算法则是极限数学中的重要内容之一。
极限的性质包括极限存在的充分条件、唯一性定理、保号性、比较性、有界性等。
而极限的运算法则包括四则运算法则、复合函数的极限、反函数的极限等。
极限的性质和运算法则是极限数学的基础内容，也是其他极限相关内容的基础。
洛必达法则和洛必达定理是极限数学中的重要内容之一。
洛必达法则是指一种求不定式极限的方法，它是通过对不定式的分子和分母同时求导，然后取导数的极限来求得原不定式的极限。
而洛必达定理则是洛必达法则的一个重要应用，它是通过对给定的不定式进行变形，然后利用洛必达法则来求得不定式的极限。
洛必达法则和洛必达定理是极限数学中的重要内容，也是许多极限相关内容的基础。
泰勒展开是极限数学中的重要内容之一。
泰勒展开是一个非常重要的数学工具，它是通过对给定的函数进行展开，然后将展开式的各项求极限来求得函数在某一点的极限。
泰勒展开在物理、工程、计算机科学等领域都有着广泛的应用，是极限数学中的重要内容。
总的来说，极限数学是高等数学中的一个重要内容，也是许多其他数学领域的基础知识。
极限数学涉及的内容非常广泛，包括数列和函数的极限、无穷大和无穷小、极限的性质和运算法则、洛必达法则、洛必达定理、泰勒展开等。
对于学习者来说，掌握极限数学的基本概念和方法是非常重要的，可以帮助他们更好地理解和应用数学知识，提高数学解决问题的能力。
高中常用极限知识点整理
高中常用极限知识点整理好的，以下是为您创作的一篇符合您要求的作文：在高中数学的知识海洋里，极限这个概念就像一座神秘的岛屿，初看让人有些摸不着头脑，但深入探索，却能发现其中无尽的趣味和奇妙。
咱们先来说说极限的定义。
想象一下，有个调皮的数字，它像个不安分的小孩，一直在靠近某个固定的值，但就是差那么一点点到不了。
这个一直靠近的过程，就是我们说的极限。
比如说，当 x 无限趋近于 1 的时候，（x 1)²这个式子的值就无限趋近于 0 。
这就好像你朝着一个目标拼命跑，虽然可能永远到不了那个精确的点，但离它越来越近，近到可以忽略那一点点的距离。
再讲讲极限的运算。
这可有点像搭积木，不同的式子有不同的搭法。
比如两个函数的和的极限，就等于它们各自极限的和。
举个例子，函数 f(x) 的极限是 A ，函数 g(x) 的极限是 B ，那么 f(x) ＋ g(x) 的极限就是 A ＋ B 。
这就好比你有两堆糖果，一堆有 A 颗，一堆有 B 颗，加在一起不就是 A ＋ B 颗嘛。
还有极限存在的准则，这可是解决难题的好帮手。
就像走路时有个可靠的指南针，能帮咱们不迷路。
其中有个夹逼准则，特别有意思。
比如说，有三个数列，一个比要研究的数列大，一个比它小，而且这两个数列的极限都一样，那中间这个数列的极限也就和它们相同啦。
这感觉就像被两个大力士紧紧夹住，想跑也跑不掉，只能跟他们一样。
说到这儿，我想起之前做过的一道题，那可真是让我抓耳挠腮。
题目是这样的：求当 x 趋近于无穷大时，（1 ＋ 1/x)＾x 的极限。
我一开始看到这题，脑子嗡嗡的，完全不知道从哪儿下手。
然后我就开始翻书，找之前学过的那些知识点，一个一个试。
先试着把式子变形，可弄了半天也没什么进展。
心里那个着急呀，感觉这道题就像一座大山，怎么都翻不过去。
后来我冷静下来，重新梳理了一下思路。
想到了极限的定义，就想着能不能从一直靠近那个值的角度去思考。
我试着把式子一点点展开，算呀算，写了满满几张草稿纸。
极限总结（小编整理）
极限总结（小编整理）第一篇：极限总结概念整理一、证明极限二、求极限三、定理概念，证明，用途。
四、等价利用，证明一：无穷小：对于任意数，必存在使≤该任意数成立。
改变依他（反3）形式。
二：利用等价，先想清楚化简的目的，看清趋向。
三：1、收敛数列的唯一、有界性，与子数列的关系（同号性）。
2、唯一，函数极限的局部有界性（|…|≤M），局部保号性。
3、limf（x）=A←→f（x）=A+α，其中limα=04、无穷大：对任意数，必存在使≥该任意数，垂直渐近线。
5、无穷小±*无穷小=无穷小，无穷小*有界函数（或常数）=无穷小。
6、某函数有极限，则一定领域内，_1___有界（本来是由无穷大到某个数，倒过来之后是某个数到无穷小）f（x）7、无穷小/以非零常数为极限的函数=无穷小（由6,5得）。
8、limf（x），则lim【Cf（x）】=Climf（x）、so does “n次方”。
9、limsinx/x=1P22.P23有好多等价（有证明）。
10、lim（1+1/x）^x=eP2411、趋向更快，则为高阶。
相除为常数，同阶。
与K次相除为常数，K阶无穷小。
相除为1，等价无穷小。
12、连续的定义：该点存在极限且等于该点函数值；在|x-xo|≤δ中存在|f（x）-f（xo）|≤ε；Δx→0，Δy→0.13、可去间断点，跳跃间断点，无穷间断点，震荡间断点（f（x）=1/sinx）。
14、连续函数的四则运算，与常数一致。
15、闭区间连续函数：有界，介值（A>C>B，A、B为端点函数值），零点定理。
习题整理第二篇：高等数学极限总结【摘要】《高等数学》教学中对于极限部分的要求很高，这主要是因为其特殊的地位决定的。
然而极限部分绝大部分的运算令很多从中学进入高校的学生感到困窘。
本文立足教材的基本概念阐述，着重介绍极限运算过程中极具技巧的解决思路。
希望以此文能对学习者有所帮助。
【关键词】高等数学极限技巧《高等数学》极限运算技巧《高等数学》的极限与连续是前几章的内容，对于刚入高校的学生而言是入门部分的重要环节。
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极 限 的 概 念（4月27日）
教学目的：理解数列和函数极限的概念；
教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限；
教学难点：数列和函数极限的理解
教学过程：
一、实例引入：
例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其
半，万世不竭。”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地
进行下去。（1）求第n天剩余的木棒长度na(尺)，并分析变化趋势；（2）求前n天截下的
木棒的总长度nb(尺)，并分析变化趋势。
观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数n无限增大时，数列的项na无限趋近于
某个常数A（即Aan无限趋近于0）。na无限趋近于常数A，意指“na可以任意地靠近
A，希望它有多近就有多近，只要n充分大，就能达到我们所希望的那么近。”即“动点
n
a
到A的距离Aan可以任意小。
二、新课讲授
1、数列极限的定义：
一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列}{na的项na无限趋近于．．．．．某个常数A（即
Aan
无限趋近于0），那么就说数列}{na的极限是A，记作
Aannlim
注：①上式读作“当n趋向于无穷大时，na的极限等于A”。“n∞”表示“n趋向于无
穷大”，即n无限增大的意思。Aannlim有时也记作当n∞时，naA
②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________，____________________
③思考：是否所有的无穷数列都有极限？
例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由
（1）1，21，31，…，n1，… ；（2）21，32，43，…，1nn，…；
O
y
x
（3）－2，－2，－2，…，－2，…；（4）－0.1，0.01，－0.001，…，n)1.0(，…；
（5）－1,1，－1，…，n)1(，…；
注：几个重要极限：
（1）01limnn （2）CCnlim（C是常数）
（3）无穷等比数列}{nq（1q）的极限是0，即 ：)1(0limqqnn
2、当x时函数的极限
（1） 画出函数xy1的图像，观察当自变量x取正值且无限增大时，函数值的变化情
况：函数值无限趋近于0，这时就说，当x趋向于正无穷大时，函数xy1
的极限是0，记作：01limxx
一般地，当自变量x取正值且无限增大时，如果函数
)(xfy
的值无限趋近于一个常数A，就说当x趋向于正无穷大时，函
数)(xfy的极限是A，记作：Axfx)(lim
也可以记作，当x时，Axf)(
（2）从图中还可以看出，当自变量x取负值而x无限增大时，函数xy1的值无限趋
近于0，这时就说，当x趋向于负无穷大时，函数xy1的极限是0，记作：01limxx
一般地，当自变量x取负值而x无限增大时，如果函数)(xfy的值无限趋近于一
个常数A，就说当x趋向于负无穷大时，函数)(xfy的极限是A，记作：Axfx)(lim
也可以记作，当x时，Axf)(
（3）从上面的讨论可以知道，当自变量x的绝对值无限增大时，函数xy1的值都无
限趋近于0，这时就说，当x趋向于无穷大时，函数xy1的极限是0，记作01limxx
一般地，当自变量x的绝对值无限增大时，如果函数)(xfy的值无限趋近于一个
常数A，就说当x趋向于无穷大时，函数)(xfy的极限是A，记作：Axfx)(lim
也可以记作，当x时，Axf)(
特例：对于函数Cxf)(（C是常数），当自变量x的绝对值无限增大时，函数
Cxf)(
的值保持不变，所以当x趋向于无穷大时，函数Cxf)(的极限就是C，即
CCxlim
例2：判断下列函数的极限：
（1）xx)21(lim （2）xx10lim
（3）21limxx （4）4limx
三、课堂小结
1、数列的极限
2、当x时函数的极限
四、练习与作业
1、判断下列数列是否有极限，若有，写出极限
（1）1，41，91，…，21n，… ；（2）7，7，7，…，7，…；
（3）,2)1(,,81,41,21nn；
（4）2，4，6，8，…，2n，…；
（5）0.1，0.01，0.001，…，n101，…；
P
M
N
A
B
C
D
（6）0，,32,21…，11n，…；
（7）,41,31,21…，11)1(1nn，…；
（8）,51,59,54…，52n，…；
（9）－2, 0，－2，…，1)1(n,…，
2、判断下列函数的极限：
（1）xx4.0lim （2）xx2.1lim
（3）)1lim(x （4）41limxx
（5）xx)101(lim （6）xx)45(lim
（7）11lim2xx （8）5limx
补充：3、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、
PC的中点。（1）求证：MN⊥AB；
（2）若平面PCD与平面ABCD所成的二面角为θ，
能否确定θ，使得MN是异面直线AB与PC的公垂线？
若可以确定，试求θ的值；若不能，说明理由。