高级统计学(1)

Y~Nq (, q )
密度函数:
fY ( y1 , y2 ,, yq ) 1 1 2 1 1 2 2 exp[ ( y y y )] exp( yy) 1 2 q q 2 q 2 (2 ) 2 (2 ) 2

定义2 p 维一般正态分布 设 Y Nq (, q ) ，B为 p q 实数矩阵， 为 p 维实数向量，则 X p1 BpqYq1 是 p 维正态随机向量，记为： X N p (, p ) 其中 BB 为非负定阵。
n
样本方差阵
1 V S n
样本相关系数阵
R 1
( x X )(x X ) (x X ) (x X )
2i 2 1i 1 2 2i 2 1i 1 pi p 1i 1 2 pi p 1i 1
( x X )(x X ) (x X ) (x X )
t 1.455 4.535
Sig . .156 .000
a. Dependent Variable: Heightofhus
Heightofhus 42.760 0.8031Heightofwife
模型诊断部分
基本满足正 态性假设
基本满足独立 同分布假设
一元回归模型的建立

观察由n个样本 ( x1, y1 ),( x2 , y2 ),, ( xn , yn ) 构成 的散点图或计算样本相关系数，若呈 现明显的相关性，建立数学模型
y 0 1 x
~
N (0, 2 )
其中 0 , 1, 2是未知参数,需要利用样本 对它们进行估计.
散点图（1）
y

yi

i
ຫໍສະໝຸດ y 0 1 xxi
x
参数 0 , 1 的最小二乘估计（1）
模型1
yi 0 1 xi i 2 , , , i . i . d . N ( 0 , ) n 1 2
n 2 ( x X ) 1i 1 n i 1 ( x X )(x X ) 2i 2 1i 1 S i 1 n ( x pi X p )(x1i X 1 ) i 1
(x
i 1
n
1i n
X 1 )(x2i X 2 )
f ( x , x ,, x )dx dx dx
1 2
p
随机向量的数字特征

随机向量的数学期望
E() ( E( X1 ), E( X 2 ),, E( X p ))

随机向量的方差阵
D( ) E ( E)( E) cov(X 1 , X 1 ) cov(X 1 , X 2 ) cov(X , X ) cov(X , X ) 2 1 2 2 cov(X p , X 1 ) cov(X p , X 2 ) cov(X 1 , X p ) cov(X 2 , X p ) cov(X p , X p )
分别是 和 的无
1 E( S) n 1
E( X )
回归分析
1 2
一元回归模型的建立
回归模型的诊断以及SPSS实现
回归模型的矩阵表示 多元回归模型的建立
多元回归模型的诊断以及SPSS实现
3
4 5
为什么要建立线性模型
一般函数线性化… 线性模型 特殊函数线性化… 相关性=线性性…
内容提要
1 2 3 4
回归分析 定性数据的建模
聚类分析 判别分析 主成分分析 因子分析 结构方程
5
6
7
教学内容结构
回归分析
One
定性数据建模 聚类分析
Two
判别分析 主成分分析
Three
高 级 统 计 学
因子分析
结构方程
统计学方法的应用以及内容之间的逻辑关系
预 测 回归分析 定性数据建模
应 用 范 围

研究内容

简化数据结构（Data Reduction）
箱式数据 主成分分析 Principle Analysis 变 换 因子分析 Factor Analysis
平面数据

按观测点分类或按变量分组
分类比较是一切科学比较的基础和开端 对观测点分类:银行发放贷款 对各企业财务指标、信用状况进行分析 对变量分组:股票市场是宏观经济的晴雨表 经济指标与股票市场各种指标间的群组关系
u x u x
1 2
判 别
分 类 综合评价 关联性分析
判别分析 聚类分析 主成分分析 因子分析 结构方程
教 学 内 容
参考书
多元统计分析(第二版)
何晓群 编著 中国人民大学出版社 应用统计 陆璇 编著 清华大学出版社
高级统计学评分
读书报告3份 平时分数30分 100分 考试分数70分
15分
实验报告3份
15分
简单易分析…
一元回归的SPSS实现

观察散点图 Graphs
Scatter
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执行回归过程 Regression Linear
Analyze
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随机向量的相关系数阵
X1 , X 2 1 1 X 2 , X1 R X p , X1 X p , X 2
X ,X
i j
X1 , X p X2 ,X p 1
cov( X i , X j ) D( X i ) D( X j )
相关系数阵计算的SPSS实现
H0 : ( X ,Y ) 0
t
r 1 r2 n2
t (n 2)
多元正态分布

定义1 q维标准正态分布 设 Y1, Y2 ,, Yq 独立同分布于 N (0,1) ,则称随机向 ) 量 Y (Y1, Y2 ,, Yq服从 q 维正态分布,记

联合密度函数:
(1)

f ( x1 , x2 ,, x p ) 0

(2)
f ( x , x ,, x )dx dx dx
1 2 p 1 2 x1 x2 xp 1 2 p
p
1
(3) F ( x1 , x2 ,, x p )
定理 1 若 X 服从 N p (, ) ，则 （1）EX ， DX （2）密度函数：

1 1 f ( x; , ) exp ( x ) ( x ) 12 p 2 2 (2 ) 1
1 S n 1

定理2 X 与 偏估计，即
最小二乘解：
ˆ y ˆx 0 1 n ( xi x )( yi y ) ˆ i 1 n 1 2 ( x x ) i i 0
矩阵偏导数与样本矩阵表达
xAx 2 Ax x
y1 y2 Y y n
X 1 的样本
X 2 的样本
X p 的样本
样本均值
x11 x12 x1n x21 x22 x2 n , , , x x x p1 p 2 pn
闭卷考试，卷面分数 70分
预备知识
ONE
随机向量及其分布
TWO
随机向量的数字特征
THREE
随机向量的样本及其数字特征
FOUR
多元正态分布
随机向量及其分布
P维随机向量: ( X1, X 2 ,, X p ) 联合分布函数: F ( x , x , , x )

1 2 p
P( X 1 x1 , X 2 x2 ,, X p x p )
1i 1 2i 2 2 1i 1 2i 2 2
2

1
( x X )(x X ) (x X ) (x X ) ( x X )(x X ) (x X ) (x X )
1i 1 pi p 2 1i 1 pi p 2i 2 pi p 2 2i 2 pi p
越小越好
ANOVAb Model 1 Sum of Squares 1197.421 1746.454 2943.875 df 1 30 31 Mean Square 1197.421 58.215 F 20.569 Sig . .000a
Reg ression Residual Total
a. Predictors: (Constant), Heightofwife b. Dependent Variable: Heightofhus
聚类分析
Cluster Analysis
判别分析
Discriminant Analysis
变量间的依存关系+关系的强弱分析 寻找变量间的依存关系是一切科学研 究的主要内容 寻找一般的规律：预测、控制

回归分析 Regression Analysis 结构方程 Structural Equation Model
1 n x1i X 1 n i 1 n 1 X2 x2 i n i 1 X n 1 p x n pi i 1
样本离差阵与样本方差阵
样本离差阵
<0.05=回归方程显著
Coefficientsa Unstandardized Coefficients B Std. Error 42.760 29.396 .803 .177