高等数学第二章练习及答案
高数课件PPT-第二章 选择填空答案详解
在 (−∞,0) 内有 f ′(x) > 0, 在 (0,+∞) 内 f ′(x) < 0, f ′′(x) < 0 。
4. 选 B 已知 f ′(cos x) = cos 2x = 2 cos2 x −1 ， f ′(x) = 2x2 −1，所以 f ′′(x) = 4x 。
5. 选 C
x = cos t + cos2 t
x
x
−x
= −2 f (x0 − 2x) − f (x0 ) + f (x0 − x) − f (x0 )
− 2x
−x
lim f (x0 − 2x) − f (x0 − x) = lim − 2 f (x0 − 2x) − f (x0 ) + f (x0 − x) − f (x0 )
x→0
x
x→0
∴ dy = (2e2x−1 tan(3x) + 3e2x−1 sec2 3x)dx 。
2. 已知 f ′(x) = −1 ， 则 lim
x
=1。
x→0 f (x0 − 2x) − f (x0 − x)
解： lim
x
= lim
1
，
x→0 f (x0 − 2x) − f (x0 − x) x→0 f (x0 − 2x) − f (x0 − x)
33 5. 设函数 y = f (x) 由方程 e2x+y − cos(xy) = e −1 所确定，则曲线 y = f (x) 在点（0，
1）处的法线方程为 x − 2 y + 2 =0 。
解：因为 e2x+y − cos(xy) = e −1 ，由隐函数的求导法则，将两端同时进行求导运算
高等数学教材答案第二章第五节
高等数学教材答案第二章第五节第二章第五节答案解析本文旨在对高等数学教材第二章第五节的答案进行解析和讲解，帮助读者更好地理解和掌握相关知识点。
以下将按照教材的顺序，对每个问题进行解答。
1. 问题一：题目：求函数 f(x) = 3x^2 + 2x - 1 的极值点和极值。
解答：首先，我们知道在数学中，函数的极值点可以通过求导数来得到。
因此，我们对函数 f(x) 进行求导，得到 f'(x) = 6x + 2。
要求函数的极值点，就是要求函数的导数为零，即 6x + 2 = 0。
解得 x = -1/3。
接下来，我们将这个极值点带入原函数 f(x) 中，得到 f(-1/3) = 3*(-1/3)^2 + 2*(-1/3) - 1 = -2/3。
所以，函数 f(x) 在 x = -1/3 处取得极小值 -2/3。
2. 问题二：题目：设 y = sin(x^2)，求 y'。
解答：根据链式法则，我们可以求出 y 对 x 的导数。
首先，对 y = sin(u) 求导，得到 dy/du = cos(u)。
然后，对 u = x^2 求导，得到 du/dx = 2x。
最后，根据链式法则，我们有 dy/dx = (dy/du) * (du/dx) = cos(x^2)* 2x。
所以，y = sin(x^2) 的导数为 y' = 2x * cos(x^2)。
3. 问题三：题目：计算定积分∫[0,1] (e^x + 2x) dx。
解答：要计算定积分，我们可以使用积分的基本性质。
首先，对∫[0,1] e^x dx 进行计算，得到 [e^x] 在区间 [0,1] 上的定积分为 e^1 - e^0= e - 1。
然后，对∫[0,1] 2x dx 进行计算，得到 [x^2] 在区间 [0,1] 上的定积分为 1^2 - 0^2 = 1。
最后，将两个定积分的结果相加，得到∫[0,1] (e^x + 2x) dx = e - 1+ 1 = e。
高等数学李伟版课后习题答案第二章
习题2—1（A ）1．下列论述是否正确，并对你的回答说明理由：（1）函数的导数是函数的平均变化率在自变量的增量趋于零时的极限； （2）求分段函数(),,()(),x x a f x x x aϕφ<⎧=⎨≥⎩在分界点x a =处的导数时，一般利用左、右导数的定义分别求该点处的左、右导数．如果二者存在且相等，则在这一点处的导数就存在，且等于左、右导数，否则函数在这点不可导；（3） )(x f y =在0x 点可导的充分必要条件是)(x f y =在0x 点的左、右导数都存在； （4）函数)(x f y =在0x 点连续是它在0x 点可导的充分必要条件. 答：（1）正确．根据导数的定义．（2）正确．一般情况下是这样，但是若已知)(x f '连续时，也可以用)()(00--'='x f x f （即导函数的左极限），)()(00++'='x f x f （即导函数的右极限）求左右导数．（3）不正确．应是左、右导数都存在且相等．（4）不正确．)(x f 在0x 点连续仅是)(x f 在0x 可导的必要条件，而不是充分条件，如x y x y ==、3都在0=x 点连续，但是它们在0=x 点都不可导．2．设函数2x x y +=，用导数定义求它在1-=x 点处的导数.解：1lim 10lim)1(121-==+-+=-'-→-→x x x x y x x ．3．设函数y =10=x 点处的导数．解：2111lim11lim)1(11=+=--='→→x x x y x x ．4．用定义求函数x y ln =在任意一点x (0>x )处的导数．解：xxx xxx x y x x x x x x 1e ln ])1ln[(lim ln )ln(lim110==∆+=∆-∆+='∆→∆→∆．5． 对函数x x x f 2)(2-=，分别求出满足下列条件的点0x ： （1）0)(0='x f ； （2）2)(0-='x f ．解：22)22(lim )2()](2)[(lim)(0220-=+-=--+-+='→→x h x hx x h x h x x f h h ，（1）由0)(0='x f ，有0220=-x ，得10=x ； （2）由2)(0-='x f ，有2220-=-x ，得00=x ． 6．已知某物体的运动规律为221gt s =，求时刻t 时物体的运动速度)(t v ，及加速度)(t a ．解：速度为gt h gt hgth t g t s t v h h =+=-+='=→→)2(lim 2/2/)(lim)()(022，加速度为g g hgth t g t v t a h h ==-+='=→→0lim )(lim)()(．7．求曲线x y ln =在点)01(，处的切线方程与法线方程． 解：切线斜率11)1(1=='==x xy k ，切线方程为：)1(10-⋅=-x y ，即01=--y x ； 法线方程为：)1(110--=-x y ，即01=-+y x ．8．若函数)(x f 可导，求下列极限：（1）xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim 000； （2）xx f x )(lim→（其中0)0(=f ）；（3）hh x f h x f h )()(lim000--+→； （4）xx f f x )sin 1()1(lim--→．解：（1）=∆--∆--=∆-∆-→∆→∆xx f x x f xx f x x f x x )()(lim)()(lim000000)(0x f '-．（2）=--=→→0)0()(lim )(lim0x f x f xx f x x )0(f '．（3）hh x f h x f h )()(lim000--+→='+'=---+-+=→→)()()()(lim)()(lim00000000x f x f hx f h x f hx f h x f h h )(20x f '．（4）=⨯'=⋅---=--→→1)1(sin sin )1()sin 1(lim)sin 1()1(limf xx x f x f xx f f x x )1(f '．9．讨论下列函数在指定点的连续性和可导性：（1）3x y =，在0=x 点；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=，，，，0001arctan )(2x x xx x f 在0=x 点； （3）2,1,(),1,x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩ 在1=x 点．解：（1）3x y =是初等函数，且在0=x 的邻域内有定义，因此3x y =在0=x 点连续，因为+∞==--→→32031lim0limxx x x x （极限不存在），所以3x y =在0=x 点不可导．（2）因为21arctanlim 0)/1arctan(lim22π==--→→xx x x x x ，所以⎪⎩⎪⎨⎧=≠=，，，，0001arctan )(2x x xx x f 在0=x 点可导，且2)0(π='f ，从而也连续． （3）因为1)1(1lim )1(1lim )1(211=====+-→+→-f x f x f x x ，，，有)1()(lim 1f x f x =→，所以，2,1,(),1,x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩ 在1=x 点连续，又2)1(lim 11lim )1(111lim)1(1211=+=--='=--='---→→+→-x x x f x x f x x x ，，由)1()1(+-'≠'f f ，所以，2,1,(),1,x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩ 在1=x 点不可导．10．设函数⎩⎨⎧≥<=，，，，1e 1e )(x x x x f x 求(1)f '．解：因为e 1e e lim )1(e 11elim e 1ee lim)1(1111=--='=--=--='---→+-→→-x x f x x f x x x xx ，，所以=')1(f e ．11．设函数⎩⎨⎧≥+<=，，，，0120cos )(x x x x x f 求()f x '．解：当0<x 时，x x x f sin )(cos )(-='='，当0>x 时，22lim )12(1)(2lim)12()(0==+-++='+='→→h h hx h x x x f ，当0=x 时，由20112lim )0(001cos lim)0(0_=--+='=--='+→+→-x x f x x f x x ，，于是函数在0=x 点不可导，所以⎩⎨⎧><-='.020sin )(x x x x f ，，，习题2—1（B ）1．有一非均匀细杆A B 长为20 cm ，M 为A B 上一点，又知A M 的质量与从A 点到点M 的距离平方成正比，当A M 为2 cm 时质量为8 g ，求： (1) A M 为2 cm 时，这段杆的平均线密度； （2）全杆的平均线密度； （3）求点M 处的密度．解：设x AM = cm ，则AM 杆的质量为2)(kx x m = g ，由2=AM 时,8=m ，得2=k ，所以，22)(x x m =，x h x hxh x x m h h 4)24(lim 2)(2lim)(022=+=-+='→→ g/cm ．（1）A M 为2 cm 时，这段杆的平均线密度为==282)2(m 4 g/cm ．（2）全杆的平均线密度为==2080020)20(m 40 g/cm ．（3）点M 处的密度为=')(x m x 4 g/cm ．2．求b a ，的值，使函数⎩⎨⎧≥+<=00e )(x b ax x x f x ，，， 在0=x 点可导． 解：首先函数)(x f 要在0=x 点连续．而1e lim )0(0==-→-x x f ，b b ax f x =+=+→+)(lim )0(0，b f =)0(，由)0()0()0(f f f ==+-，得1=b ，此时1)0(=f ．又11e lim)0(0=-='-→-xf xx ，a xax f x =-+='+→+11lim )0(0，由)0()0(+-'='f f 得1=a ．所以，当11==b a ，时，函数⎩⎨⎧≥+<=00e )(x b ax x x f x ，，， 在0=x 点可导．3．讨论函数x y tan =在0=x 点的可导性．解：1tan lim 0tan lim)0(0-=-=-='--→→-xx xx f x x ，1tan lim 0tan lim )0(0==-='++→→+xx xx f x x因为)0()0(+-'≠'f f ，所以函数x y tan =在0=x 点不可导．4．若函数)(x f 可导，且)(x f 为偶（奇）函数，证明()f x '为奇（偶）函数． 证明：（1）若)(x f 是偶函数，有)()(x f x f =-， 因为)()()(lim)()(lim)(00x f hx f h x f hx f h x f x f h h '-=----=--+-=-'→→，所以)(x f '是奇函数．（2）若)(x f 是奇函数，有)()(x f x f -=-， 因为)()()(lim)()(lim)(00x f hx f h x f hx f h x f x f h h '=---=--+-=-'→→，所以)(x f '是偶函数．5．设非零函数)(x f 在区间)(∞+-∞，内有定义，在0=x 点可导，)0()0(≠='a a f ，且对任何实数y x ，，恒有)()()(y f x f y x f =+.证明)()(x af x f ='．证明：由)()()(y f x f y x f =+，令0==y x ，有)0()0(2f f =，而0)(≠x f ，得1)0(=f ． 因为hx f h f x f hx f h x f h h )()()(lim)()(lim0-=-+→→)()0()()0()(lim)(1)(lim)(0x af f x f hf h f x f hh f x f h h ='=-=-=→→，所以函数)(x f 可导，且)()(x af x f ='． 6．求曲线xx y 1+=上的水平切线方程．解：hx x h x h x hx y h x y x y h h )/1()]/(1[lim)()(lim)(00+-+++=-+='→→211])(11[lim xh x x h -=+-+=→，由0)(='x y ，得±=x ，当1=x 时，2=y ，此时水平切线是)1(02-=-x y ，即2=y ； 当1-=x 时，2-=y ，此时水平切线是)1(02-=+x y ，即2-=y ．7．在抛物线21x y -=上求与直线0=-y x 平行的切线方程． 解：对21x y -=，导函数为：x h x hx h x hx y h x y x y h h h 2)2(lim )1(])(1[lim)()(lim)(0220-=+-=--+-=-+='→→→，设切点为)1(2t t -，，则切线斜率为t t y k 2)(-='=，而直线斜率为11=k ， 根据已知，有1k k =，即12=-t ，得2/1-=t ，切点为)4/32/1(，-， 切线方程为：)21(143+⋅=-x y ，即0544=+-y x ．8．已知曲线2ax y =与曲线x y ln =相切，求公切线方程．解：设切点为),(00y x ，则两曲线在切点处的斜率分别为012ax k =，02/1x k =.由两曲线在0x x =时相切，有⎩⎨⎧==./12ln 00,020x ax x ax 得21ln 0=x ，即e 0=x ，此时，e21=a ，210=y ，公切线斜率为e1=k ，公切线方程为)e (e121-=-x y ，化简得021e1=+-x y .习题2—2（A ）1．下列论述是否正确，并对你的回答说明理由：（1）在自变量的增量比较小时，函数的微分可以近似刻画函数的增量，但是二者是不会相等的；（2）函数)(x f y =在一点x 处的微分x x f x f ∆'=)()(d 仅与函数在这点处的导数有关； （3）函数在一点可微与在这点可导是等价的，在一点可微的函数在这点必然连续，但反过来不成立，即在一点连续的函数在这点未必可微．答：（1）前者正确，根据微分的定义y x o y y d )(d ≈∆+=∆；后者不正确，如对线性函数b ax y +=，恒有)(d x a y y ∆==∆．（2）不正确．因为x x f x f x x ∆'==)()(d 00，可见0)(d x x x f =不仅与)(0x f '有关，还与自变量x 在该点的增量x ∆有关．（3）正确．这就是本章定理2.1与定理1.2所述． 2．求下列函数在x 点处的微分y d ：（1）x y ln =； （2）3x y =（0≠x ）； （3）xy 1=（0≠x ）； （4）22x x y +=．解：（1）因为xy 1='，所以xx y d d =．（2）因为322233203331)()(1limlim)(xxh x x h x hxh x x y h h ⋅=++++=-+='→→，所以，323d d xxy ⋅=．（3）因为xx hx x xxhx h hx x hxh x x y h h h 211lim1lim/1/1lim)(02-=++-=++-=-+='→→→，所以，xx x y 2d d -=．（4）因为)1(2)22(lim )2(])()(2[lim)(0220x h x hx x h x h x x y h h +=++=+-+++='→→，所以x x y d )1(2d +=．3．求下列函数在0x x =点处的微分0d x x y =：（1） x y cos =，20π=x ； （2）xx y 1+=，10=x ．解：（1）因为x y sin -='，所以x x xyx x d d sin d 2/2/-=⋅-===ππ．（2）因为211xy -='，所以0d 0d ]11[d 121=⋅=⋅-===x x xyx x ．4．设函数y =10=x ，1.0=∆x 时函数的微分y d ．解：因为xxh x h xh x y h h 211limlim=++=-+='→→，所以05.02d 1.011.01=∆==∆==∆=x x x x xx y．5．用函数的局部线性化计算下列数值的近似值：（1）0330sin ' ； （2）05.1； （3）002.1ln ．解：（1）取6/30360/610330sin )(0ππ==='== x x x x f ，，，x x f cos )(='， 由)())(()(000x f x x x f x f +-'≈，得5076.05000.00076.0217203213606cos0330sin =+≈+=+⋅≈'πππ．（2）取105.1)(0===x x x x f ，，，x x f 2/1)(='，由)())(()(000x f x x x f x f +-'≈，得025.1105.02105.1=+⨯≈．（3）取)1ln()(x x f +=，当1<<x 时，先证明x x ≈+)1ln(， 事实上，取00=x ，则0)0()(0==f x f 10)1ln(lim)0()(00=--+='='→x x f x f x ，由)())(()(000x f x x x f x f +-'≈，得x x x =+-⋅≈+0)0(1)1ln(， 利用x x ≈+)1ln(，得002.0)002.01ln(002.1ln ≈+=． 6．讨论下列函数在0=x 点的可微性： （1）32)(x x f =； （2）x x x f =)(； （3）⎩⎨⎧≥<=.0sin 0)(3x x x x x f ，，， 解：（1）因为∞==--→→30321limlimxx xx x ，则32)(x x f =在0=x 点不可导，所以32)(x x f =在0=x 不可微．（2）因为0lim 00lim==--→→x x x x x x ，则x x x f =)(在0=x 点可导，所以x x x f =)(在0=x 点可微．（3）因为100sin lim )0(00lim)0(03=--='=--='+-→+→-x x f x x f x x ，，)0()0(+-'≠'f f ，得⎩⎨⎧≥<=0sin 0)(3x x x x x f ，，，在0=x 点不可导，所以在0=x 点也不可微． 习题2—2（B ）1．已知单摆的振动周期gl T π2=，其中980=g cm/s 2是重力加速度，l 是摆长（单位：cm ）．设原摆长为20 cm ，为使周期T 增加0.05 s ，问摆长大约需要增加多少？ 解：02244.020201lim220/202/2limd d 202020≈=+=--=→→=gl gl gg l lT l l l ππππ由l T T ∆'≈∆)20(，得23.202244.005.0)20(≈≈'∆≈∆T T l ，即为使周期T 增加0.05 s ，摆长大约需要加长2.23 cm ．2．用卡尺测量圆钢的直径D ，如果测得03.60=D mm ，且产生的误差可能为0.05 mm ，求根据这样的结果所计算出来的圆钢截面积可能产生的误差的大小． 解：设圆钢的截面积为4/)(2D D A A π==，2)2(lim 44/]4/)([lim)(022D h D hD h D D A h h ππππ=+=-+='→→；2/)(D D D D A A ∆⋅=∆'≈∆π，当05.003.60≤∆=D D ，时，715.42/04.003.601416.3≈⨯⨯≤∆A mm 2， 所以绝对误差大约为4.715 mm 2；0017.003.6005.0224/2/2≈⨯≤∆⋅=∆⋅≈∆DD D D D AA ππ，所以相对误差大约为0.17%．3．若函数)(x f 在0=x 点连续，且1)(lim 0=→xx f x ，求0d =x y．解：由1)(lim=→xx f x ，及分母极限0lim 0=→x x ，得分子极限0)(lim 0=→x f x ；又因为函数)(x f 在0=x 点连续，所以=)0(f 0)(lim 0=→x f x ，1)(lim)0()(lim)0(0==--='→→xx f x f x f f x x ，x x f yx d d )0(d 0='==．4．设函数()f x 在点0x 可微，且2)(0='x f ，求极限yy x d lim 0∆→∆．解：由已知，有x y ∆=2d ，所以101]2)(1[lim d )(d limd lim 0=+=∆∆+=∆+=∆→∆→∆→∆xx o yx o y yy x x x ．习题2—3（A ）1．下列叙述是否正确？并根据你的回答说出理由：（1）求复合函数的导数时要根据复合函数的关系，由“外”到“里”分别对各层函数求导，再把它们相乘；（2）求任意函数的微分首先要求出该函数的导数，然后将该导数乘以自变量的微分． 答：（1）正确．这就是复合函数求导定理推广到多重复合的情形，通常称为复合函数的“链式求导法则”，又形象地俗称为“扒皮法”，要注意不能漏项．（2）不一定．还可以用微分法则及一阶微分形式不变性求函数的微分． 2．求下列函数的导数：（1）3232++=xx y ； （2）)1(2xx x y +=；（3）32(1)x y x-=； （4）ln y x x =；（5）xx x y xsin tan 2-+=； （6）cos 1cos x y x=+．解：（1）)3()1(2)(32'+'+'='xx y xx x xx x 12012-=+-=．（2）252123232323)()(---='+'='x x x x y )11(233xx -=．（3）132)33(2312-+-='-+-='--xxx xxy ．（4）1ln /ln )(ln ln +=+='+'='x x x x x x x x y ． （5）2sin )(sin )(tan )2(xxx x x x y x'-'-'+'=22sin cos sec2ln 2xxx x x x --+=．（6）22)cos 1(sin )cos 1()cos 1(cos )cos 1()(cos x x x x x x x y +-=+'+-+'='．3．求下列函数在指定点的导数或微分：（1）x x x f cos sin )(-=，求()3f π'与()2f π'；（2）3523xxy +-=，求0d =x y与2d =x y．解：（1）x x x f sin cos )(+='，()3f π'2313sin3cos+=+=ππ， ()2f π'12sin2cos=+=ππ．（2）22223)5(2)5()1(2)3()52(x x x x xxy +-=+--⨯-='+'-=，因为938492)2(252)0(=+='='y y ，，所以==0d x yx d 252，==2d x yx d 938．4．求下列函数的导数：（1）7(2)y x =-； （2）cos(32)y x =+； （3）x y arctan e =； （4）x y -=1tan；（5）x y 2e arcsin =； （6）1arccos y x=；（7）y = （8）21sinx y +=；（9）)2ln 1(cos 2x y +=； （10）ln(y x =+． 解：（1）66)2(7)2()2(7x x x y --='--='． （2）)23sin(3)23)(23sin(+-='++-='x x x y ．（3）2arctan arctan 1e)(arctan exx y xx+='='．（4）xxx xxx x y ---='---='--='121sec)1(121sec)1(1sec222．（5）xx xxxxx y 4242222e 1e2e 1)2(e )e (1)e (-=-'=-'='．（6）111)/1(1)/1(2222-=-⋅=-'-='x xx x x x x y ．（7）xx x x x x xx y 2222sin1cos sin sin12)(sin sin 2sin 12)(sin+=+'=+'='．（8）22222221cos 11cos 12)()1(1cos xxx x xx x x y ++=++'='++='．（9）)2ln 1)(2ln 1sin()2ln 1cos(2])2ln 1)[cos(2ln 1cos(2'+++-='++='x x x x x yxx xx x )2ln 22sin(]2)2(0)[2ln 22sin(+-='++-=．（10）xxx x xxx xx x x y ++=++=+'+='21)11(212)2(．5．求下列函数的微分y d ：（1）3ln 33++=x x y ； （2）x x y 2sin 2=； （3）2ln (1)y x =+； （4）)1(sec 2x y -=； （5）21xx y -=； （6）2tan(12)y x =+；（7）21arctanx y +=； （8）xy 2sin 2-=．解：（1）x x x x x x x y x x x ln3)d 33(d 0d 3ln 3d 3)3(ln d )3(d )(d d 223+=⋅++=++=． （2）x x x x x x x x x x x x x x x y d )2cos 2(sin 2d 2cos 2d 2sin 2)2(sin d )(d 2sin d 222+=+=+=． （3）x xx x xx x x y d 1)1ln(2)d(11)1ln(2)]1[ln(d )1ln(2d ++=+++=++=．（4）)d(1)1tan()1(sec 2)1sec(d )1sec(2d 2x x x x x y ---=--=x x x d )1tan()1(sec 22---=．（5）因为2/32222)1(11)1/(11x xx x x xy -=-----⋅='，所以，2/32)1(d d x x y -=．（6）因为)21(sec 44)21(sec 2222x x x x y +=⋅+='，所以x x x y d )2(1sec 4d 22+=． （7）因为222221)2(122)1(11xx xxx x y ++=+⋅++='，所以221)2(d d xx x x y ++=．（8）因为xxx x y 22sin2sin22sin 2ln )sin(2ln 2--⋅⋅-='-⋅='，所以x x y xd 22sin 2ln d 2sin-⋅⋅-=．6．在括号内填入适当的函数，使下列等式成立：（1）d( )2=d x ； （2）d( )21x=+d x ；（3）d( )2sin 2x =d x ； （4）d( )=x ；（5）d( )nx =d x （1-≠n ）； （6）d( )211x+=d x ．解：（1）因为2)2(='+C x ，所以x C x d 2)2(d =+． （2）因为xC x +='++12)1ln 2(，所以d(C x ++1ln 2)21x=+d x ．（3）x C x 2sin 2)sin2(2='+，所以d(C x +2sin 2)2sin 2x =d x ，或因为x C x 2sin 2)2cos (='+-，所以d(C x +-2cos )2sin 2x =d x ．（4）因为xC x 21)(='+，所以d(C x +)=x ．（5）因为nn x C n x='+++)1(1，所以d(C n xn +++11)nx =d x （1-≠n ）． （6）因为211)(arctan xC x +='+，所以d(C x +arctan )211x+=d x ．习题2—3（B ）1．如图所示的,,A B C 三个圆柱型零件．当圆柱A 转过x 圈时，B 转过u 圈，从而带动C 转过y 圈．通过计算周长知道,32u y u x ==，因此3d d 21d d ==x uuy ，，求xy d d ．解：23321d d d d d d =⨯==xu u y xy ．2．求下列函数的导数：（1）x x y xsin e =； （2）x y ln ln ln =； （3）)ln(22x a x y ++=； （4）)cot ln(csc x x y -=；（5）xx y -+=11ln； （6）ax ax a x y arcsin22222+-=；（7）xx y +-=11arcsin； （8）x x x x y 12)2(+=．解：（1）)cos sin (sin e )(sin e sin )e (sin e x x x x x x x x x x x y xx x x ++='+'+'='．（2）xx x xx x xx x xx y ln ln ln 1ln ln ln 1ln ln ln )(ln ln ln )ln (ln ⋅⋅=⋅⋅=⋅'='='．（3）2222222222/1)(xa xa x x a x xa x x a x y +=++++=++'++='．（4）x x x xx x xx x x y csc cot csc csc cot csc cot csc )cot (csc 2=-+-=-'-='．（5）xx x x x x x x y )1(1)1(21)1(21])1[ln(])1[ln(-=-++='--'+='．（6）2222222)/(1/1222a x aaxa xx a y -+---='2222222222222222222xa x a x a xa ax a xx a -=-+-=-+---=．（7）)1(2)1(1)1()1()1(112111112x x x x x x xx xx y -+-=+--+-+-+--='．（8）因为xx x x x x x x y 2ln ln 212ee )2(+=+=，所以x xxxxx x xxxx xxx y 12222ln ln 2)2(2ln 1)2ln 2(2ln 1e)2ln 2(e-++=-++='．3．若函数)(x f 可微，求下列函数的导数：（1）)(2x f y =； （2）)(2x f y =； （3）)]([x f f y =； （4）]e1ln[)(x f y +=．解：（1）)(2))((222x f x x x f y '=''='．（2）)()(2])()[(2x f x f x f x f y '='='．（3）)()]([])()][([x f x f f x f x f f y ''=''='．（4）)()()()()()(e1)(ee1])([ee1]e 1[x f x f x f x f x f x f x f x f y +'=+'=+'+='．4．设可导函数)(x f 满足方程xxf x f 3)1(2)(=+，求)(x f '．解：（方法1）等式两边对x 求导，有223)1)(1(2)(xxxf x f -=-'+'，用x1替换上式中的x ，有223)(2)1(x x f x xf -='-'，从而得212)(xx f +='．（方法2）用x1替换题中等式里的x ，有x x f xf 3)(2)1(=+，由此得xx x f 12)(-=， 所以，212)(xx f +='．5．设]1)([2x x g f y -=，其中)()(u g u f ，可微，求y d ． 解：x xx g f xx g x g xx g xx g f y d ]1)([]1)()(2[]1)([d ]1)([d 2222-'+'=--'=.6．试写出垂直与直线0162=+-y x 且与曲线5323-+=x x y 相切的直线方程． 解：x x x y 63)(2+='，设切点的横坐标为t x =，则切线斜率t t t y k 63)(2+='=， 而直线0162=+-y x 的斜率3/11=k ，由已知11-=kk ，有122-=+t t ，得1-=t ，切点为)31(--，，切线斜率为3-=k ， 于是，所求切线方程为)1(33+-=+x y ，即063=++y x ．习题2—4（A ）1．下列论述是否正确？并根据你的回答说出理由：（1）如果()y f x =的导数()f x '大于零，那么()y f x =的二阶导数也一定大于零； （2）变速直线运动的加速度大于零，该变速运动一定是加速运动． 答：（1）不正确．如x x f ln )(=（0>x ），01)(>='xx f ，但是01)(2<-=''xx f ．（2）正确．由0)()(>='t a t v ，有速度的变化率是正的，即运动是加速运动． 2．求下列函数的二阶导数：（1）22ln y x x =+； （2）34x y x+=；（3）x y arctan =； （4）)21sin(x y -=； （5）x x y arcsin 12-=； （6）x y xcos e =；（7）y =； （8）2ln(1)y x =+；（9）)1ln(2-+=x x y ； （10）x x y sh =．解：（1）xx y 22+='，222xy -=''．（2）121242--++=x xx y ，22342----='xxx y ，328232xxx y +⋅+=''．（3）211xy +='，22)1(2x x y +-=''．（4）)21cos(2x y --='，)21sin(4x y --=''．（5）1arcsin 12+--='x xx y ，22/3222222221)1(arcsin 111arcsin )1(1/1xx x x xxx x x xx xy ----=-⋅----+--=''．（6）)sin (cos e x x y x -='，x x x x x y x x sin e 2)cos sin sin (cos e -=---=''． （7）32-='x x y ，2/322222)3(333/3--=----=''x x x x x y ．（8）212xx y +='，222222)1()1(2)1(22)1(2x x x xx x y +-=+⋅-+=''．（9）1111/1222-=-+-+='x x x x x y ，2/32212)1(])1[(--='-=''-x x x y ．（10）x x x y ch sh +='，x x x x x x x y sh ch 2sh ch ch +=++=''．3．设函数24()32f x x x x =+++，求)0(f '''及)0()4(f．解：3441)(x x x f ++='，2124)(x x f +=''，x x f 24)(='''，24)()4(=x f，024)0(0=='''=x xf ；2424)0(0)4(===x f．4．计算下列各题：（1）12e)(+=x x f ，求)()5(x f；（2）(1)ln y x x =+，求33d d xy ；（3）x y sin ln =，求y '''．解：（1）12e 2)(+='x x f ，12e 4)(+=''x x f ，12e 8)(+='''x x f ，12)4(e16)(+=x x f，12)5(e32)(+=x x f． （2）xx xy 11ln d d ++=，22211d d xxxy -=，33233221d d xx xxxy -=+-=．（3）x xx y cot sin cos =='，x y 2csc-=''，x x x x x y cot csc 2)cot csc (csc 22⋅=-⋅-='''．5．验证函数x x C C y λλ-+=e e 21（其中21,C C 为任何常数）满足关系式（微分方程） 20y y λ''-=．证明：因为x x C C y λλλλ--+='e )(e 21，y C C y x x 22221e )(e λλλλλ=-+=''-，所以20y y λ''-=． 6．验证函数x y x sin e =满足关系式220y y y '''-+=． 证明：因为x x y x x cos e sin e +='，x x x x x y xxxxxcos e 2sin e cos e cos e sin e =-+++=''，所以0sin e 2)cos e sin e (2cos e 222=++-=+'-''x x x x y y y x x x x习题2—4（B ）1．挂在弹簧上的一个重物，从静止位置往下拉长5 cm ，并松开使其上下振动．记松开时的时刻为0=t ，在时刻t 时物体的位置为t s cos 5=．求时刻t 时物体的速度和加速度． 解：物体的速度t ts t v sin 5d d )(-==；物体的加速度t tv ts t a cos 5d d d d )(22-===．2．设函数2arcsin442x xx y --=，求y ''．解：2244/14/144224xx x x x xx x y --=----=',2/32222)4(244/)2(4x x x xx xx x x xx y --=------=''．3．设函数x y arcsin =，求)0()10(y．解：由x y arcsin =是奇函数，则)(x y '是偶函数，)(x y ''是奇函数，)(x y '''是偶函数， 以此类推)()10(x y是奇函数，根据初等函数导数的性质，)()10(x y在0=x 点有定义，所以0)0()10(=y ．4．求下列函数的n （3≥n ）阶导数：（1）x x y e =； （2）x x y cos 2=； （3）x x y ln 2=；（4）0111a x a x a x a y n n n n ++++=-- （其中),,2,1(n i a i =为常数，0≠n a ）． 解：（1）（方法1）)1(e e e +=+='x x y x x x ，)2(e e )1(e +=++=''x x y x x x ，)3(e e)2(e +=++='''x x y xxx，以此类推)(e )(n x y x n +=．（方法2）)(e )e ()e ()e ()()1()()()(0)(n x x n x x Cyxn x n x k n x k nk k nn +='+==--=∑．（2）)()(20)()(cos )(k n k nk k nn x x Cy-=∑=)2(2)1(2)(2)(c o s )(2)1()(c o s )()(c o s--''-+'+=n n n x x n n x x n x x)()(2)c o s )(1()(sin 2)2cos(n n x n n x nx n x x --+++=π)2sin(2)2cos()(22ππn x nx n x n n x ++++-=．（3）（方法1）)()(2)()(ln )(k n k nk knn x x Cy-=∑=)2(2)1(2)(2)(ln )(2)1()(ln )()(ln --''-+'+=n n n x x n n x x n x x231212)!3()1)(1()!2()1(2)!1()1(--------+--+--⋅=n n n n nn xn n n xn nx xn x21)!3()1(2----=n n xn ．（方法2）x x x y +='ln 2，3ln 2+=''x y ，2123)2()2()()3()1(2)3()1(2)3ln 2()(--------=--=+=''=n n n n n n n xn xn x y y．（4）)(0)(1)(11)()()()()()(n n n n n n n n n a x a xa x a y++++=--!000!n a n a n n =++++= ．5．若函数)(x f 满足(sin )cos 2csc f x x x '=+，求)(x f ''． 解：由xx x x x f sin 1sin21csc 2cos )(sin 2+-=+='，有xx x f 121)(2+-='，所以2214)121()(xx xx x f --='+-=''．6．若函数()y f x =存在二阶导数，分别求)(2x f y =及2()y f x =的二阶导数． 解：对)(2x f y =，)()(2x f x f y '='，=''y )()(2)]([2])()(2[2x f x f x f x f x f ''+'=''；对2()y f x =，)(22x f x y '='，=''y ])(2[2''x f x )(4)(2222x f x x f ''+'=． 7．若函数)(x f 有任意阶导数，且)()(2x f x f ='，证明)(!)(1)(x fn x f n n +=．证明：用数学归纳法进行证明， 当1=n 时显然成立， 设k n =时成立，即)(!)(1)(x fk x fk k +=，当1+=k n 时，等式)(!)(1)(x fk x fk k +=两边同时对x 求导，得)()!1()()()!1()()()1(!)(22)1(x fk x f x f k x f x f k k x fk k k k +++=+='+=，即对1+=k n ，式子)(!)(1)(x fn x f n n +=，所以根据数学归纳法原理，对任何正整数n 都有)(!)(1)(x fn x fn n +=．习题2—5（A ）1．判断下列论述是否正确，并说明理由：（1）求由方程(,)0F x y =所确定的隐函数)(x y y =的导数时，所得到的()y x '是x 的一元函数，若再求)(x y y =的二阶导数，直接对x 的函数()y x '求导即得；（2）求由参数方程(),()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩所确定的函数的导数时，在()0t ϕ'≠的条件下，若再求22d d x y，只需将所求得的xy d d 对t 再继续求导数即可；（3）在知道两个变量,x y 中的一个对第三个变量t 的变化率，求另一个变量对t 的变化率时，应首先求出两个变量,x y 之间满足的解析式（假设这样的解析式存在），从而得到,x y 对变量t 的变化率之间的关系．答：（1）不正确．在)(x y '的表达式中不仅含有变量x ，还含有函数)(x y ，在用求导法则求)(''=''y y 时，凡是遇到含有y 的项，都要将其视为x 的函数，按复合函数进行求导．（2）不正确．xy d d 要先对t 求导，再乘以t 对x 的导数（或除以x 对t 的导数）．这是因为)(/))()((d d d d ))()((d d ))()((d d )d d (d dd d 22t t t t x t t t t t t x xyx xy ϕϕψϕψϕψ''=⋅''='==．（3）正确．如果变量y x ，有函数关系)(x f y =，两边同时对t 求导，有tx x f ty d d )(d d '=，这就是y 对t 的变化率ty d d 与x 对t 的变化率tx d d 之间的关系．2．设函数)(x y y =由下列方程确定，求xy d d ：（1）012=++xy y ； （2）3330x y xy +-=； （3）y x xy +=e ； （4）x y y e 2ln -=． 解：（1）方程012=++xy y 两边同时对x 求导，有0d d d d 2=++⋅xy xy xy y ，解得xy y xy +-=2d d ．（2）方程3330x y xy +-=两边同时对x 求导，有0d d 33d d 3322=--+xy x y xy yx ，解得22d d yx x y xy ---=．（3）方程yx xy +=e 两边同时对x 求导，有)d d 1()d d 1(ed d xy xy xy xy x y yx +=+=++，解得)1()1(d d ---=y x x y xy ．（4）方程xy y e 2ln -=两边同时对x 求导，有xxy xy xy y e d d ed d 1--=，解得xx y y xy e1ed d 2+-=．3．求曲线yx y e 1-=上对应于0=x 点处的切线方程．解：将0=x 代入方程y x y e 1-=，得1=y ，切点坐标为)10(，，方程y x y e 1-=两边同时对x 求导，有y x y y y '--='e e ，用0=x ，1=y 代入，得1)0(-='y ，即切线斜率为1-=k ，切线方程为)0(11--=-x y ，即01=-+y x ．4．求星形线3/23/23/2a y x =+在点)42,42(a a 处的切线方程与法线方程． 解：方程3/23/23/2a y x =+两边同时对x 求导，有032323/13/1='+--y yx，用a y a x 42,42==，得1)42(-='a y ，即切线斜率1-=k ，切线方程为)42(142a x a y -⋅-=-，即022=-+a y x ；法线方程为)42(142a x a y -⋅=-，即0=-y x ．5．设函数)(x y y =由下列方程确定，求22d d xy ：（1）y y x 222=+； （2）y x y e 1+=． 解：（1）方程y y x 222=+两边同时对x 求导，有xy xy yx d d 2d d 22=+，得yx xy -=1d d ，所以3322222)1(1)1()1()1()(1)1(d d y y x y y y x y yx xy x -=-+-=-'---='-=．（2）方程yx y e 1+=两边同时对x 求导，有xy y xy x xy yyyd d )1(ed d eed d -+=+=，得yxy y-=2ed d ，所以32222)2()3(e)2()(e )2(e d d y y y y y y xy yyy--=-'---'=．6．用对数求导法求下列函数的导数xy d d ：（1）x x y 1)1(+=； （2）xxy x-=1；（3）xxy xsin e12+=； （4）0=-xyy x ．解：（1）将x x y 1)1(+=两边取对数，有xx y )1ln(ln +=，两边再同时对x 求导，有)1()1l n ()1()1l n ()1/(22x x x x x xx x x yy +++-=+-+='，所以)1()1ln()1()1()1()1ln()1(d d 212x x x x x x x x x x x y xy x +++-⋅+=+++-⋅=．（2）将xxy x-=1两边取对数，有)1ln(ln ln x x x y --=，两边再同时对x 求导，有)]ln 1)(1(1[11111ln x x xxx yy +-+-=---+='，所以)]ln 1)(1(1[)1()]ln 1)(1(1[)1(d d 2x x x xx x x y xy x+-+-=+-+-=．（3）将xxy xsin e12+=两边取对数，有x x x y sin ln )1ln(21ln 2--+=，两边再同时对x求导，有x x x yy cot 2)1(21--+='，所以=xy d d )cot 2411(sin 2e1]cot 2)1(21[2x x xx xx x x y x--++=--+．（4）将xyy x=两边取对数，有y x x y ln ln =，两边再同时对x 求微分，有yy x x y xx y y x d d ln d d ln +=+⋅，即y x x y xy x y y x xy d d ln d d ln 22+=+⋅，解得22ln ln d d xx xy y y xy xy --=，或写作)1(ln )1(ln d d 22--=y x x y xy ．7．求由下列参数方程所确定的函数)(x y y =的导数xy d d ：（1）⎩⎨⎧-==；，3212/t y t x （2）⎩⎨⎧--=++=；，t y t x 1111 （3）⎩⎨⎧==；t y t x tt cos e ,sin e （4）⎩⎨⎧-=+=.arctan )1ln(2t t y t x ，。
高等数学第二章答案2-4
高等数学第二章答案2-4习题241求由下列方程所确定的隐函数y的导数(1)y22某y90(2)某3y33a某y0(3)某ye某y(4)y1某ey解(1)方程两边求导数得2yy2y2某y0于是(y某)yyyyy某dyd某(2)方程两边求导数得3某23y2y2ay3a某y0于是(y2a某)yay某2ay某2y2ya某(3)方程两边求导数得y某ye某y(1y)于是(某e某y)ye某yye某yyy某e某y(4)方程两边求导数得yey某eyy于是(1某ey)yeyeyy1某ey在点(a,2a)处的切线方程和法线方程44解方程两边求导数得22某32y3y033112求曲线某32y32a3于是y1某3y3在点(a,a)处y144所求切线方程为ya(某a)即某ya442所求法线方程为ya(某a)即某y044d2y3求由下列方程所确定的隐函数y的二阶导数d某22(1)某y1(2)b2某2a2y2a2b2(3)ytan(某y)(4)y1某ey解(1)方程两边求导数得2某2yy0y某yy某某y某yyy2某2某1y(yy2y2y3y3(2)方程两边求导数得2b2某2a2yy02by2某ay2b某y某(2y2y某y2abby222ayay22a2y2b2某24bb223aa2y3ay(3)方程两边求导数得yec2(某y)(1y)e2c(某y)1y221ec(某y)co(某y)12in(某y)co2(某y)112in(某y)y22(1y2)221y3y3(12)yyyy5(4)方程两边求导数得yey某eyyyyyeeey1某ey1(y1)2yeyy(2y)ey(y)ey(3y)ye2y(3y)y223(2y)(2y)(2y) 4用对数求导法求下列函数的导数(1)y(某)某1某(2)y某5某222(3某)4(3)y(某1)(4)y某in某e某解(1)两边取对数得lny某ln|某|某ln|1某|，两边求导得11(某)某1yln某某ln1y某1某于是y(某某[l某1]1某1某1某(2)两边取对数得lny1ln|某5|1ln某(22)525两边求导得11112某yy5某525某2于是y15某5[112某]某22某55某2(3)两边取对数得lny1ln某(2)4ln3(某)5ln某(1)2两边求导得1y145y2(某2)3某某1某2(3某)4145]于是y[2(某2)某3某1(某1)(4)两边取对数得lny1ln某1lnin某1ln1(e某)224两边求导得某111etyco某y2某24(1e)某某e某[11co某te某]于是y某in2某24(1e)某1e某2某in某e[2cot某某]4某e15求下列参数方程所确定的函数的导数dyd某某at2(1)2ybt某(1in)(2)yco2dyy解(1)t3bt3btd某某t2at2adyy(2)coin1incod某某某etint,时dy的值6已知求当tt3d某yecot.dyytetcotetintcotint解d某某teintecotintcot1dy12当t时d某131227写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程某int(1)在t处4yco2t某3at1t(2)2在t=2处3aty1t2dyy解(1)t2in2td某某tcot)2in(2dy22某y0当t时002d某4co42所求切线方程为y2(某2)即某y202所求法线方程为y1(某即某4y10226at(1t2)3at22t6at(2)yt(1t)(1t)3a(1t2)3at2t3a3at2某t(1t)(1t)dyy6at22t2d某某t3a3at1tdy224当t2时某06ay012a2d某12355所求切线方程为y12a4(某6a)即4某3y12a0535所求法线方程为y12a3(某6a)即3某4y6a0545d2y8求下列参数方程所确定的函数的二阶导数d某2某t(1)2y1t.某acot(2)ybint某3et(3)ty2e某ft(t)(4)设f(t)存在且不为零tytf(t)f(t)12dyyt1dy(y21)解(1)d某某tt某ttt3d某2dyytbcotbcott(2)d某某taintabcc2t2dy(yb)某taintd某2a2in3tdyyt2et2e2t(3)d某某t3e322e2t2dy(y)t4e3t2某t9d某3edyyf(t)tf(t)f(t)t(4)d某某tf(t)d2y(y1某)t某tf(t)d某2d3y9求下列参数方程所确定的函数的三阶导数d某某1t2(1)3ytt某ln(1t2)(2)ytarctantdy(tt3)13t2解(1)d某(1t2)2t13t2)(d2y1(13)2t4ttd某1(13)3dy35(1t2)32td某8t311dy(tarctant)1t(2)2td某[ln(21t2)]21t1t)(2dy1t24td某1t2221td3y()t41d某8t21t10落在平静水面上的石头产生同心波纹若最外一圈波半径的增大率总是6m/问在2秒末扰动水面面积的增大率为多少？解设波的半径为r对应圆面积为S则Sr2两边同时对t求导得St2rr 当t2时r6212rt6故St|t22126144(米2秒)11注水入深8m上顶直径8m的正圆锥形容器中其速率为4m2/min当水深为5m时其表面上升的速度为多少？解水深为h时水面半径为r1h水面面积为S1h224水的体积为V1hS1h1h2h333412dV3h2dhdh4dVdt12dtdthdt已知h5(m)，dV4(m3/min)因此dh42dV4416(m/min)dthdt2525dt12溶液自深18cm直径12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形筒中开始时漏斗中盛满了溶液已知当溶液在漏斗中深为12cm时其表面下降的速率为1cm/min问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？解设在t时刻漏斗在的水深为y圆柱形筒中水深为h于是有162181r2y52h33yry由得r代入上式得618311y6218(2y52h333即162181y352h333两边对t求导得221yy5ht3当y12时yt1代入上式得1122(1)ht160.64(cm/min).255。
高等数学 线性代数 习题答案第二章
第二章习题2-11. 证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有n x a ε-<取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有n k x a ε+-<由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 证明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：lim 0,,.使当时，有n x n x aN n N x a εε→∞=∴∀>∃>-<而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。
3. 证明：lim n →∞x n =0的充要条件是lim n →∞∣x n ∣=0.证：必要性由2题已证，下面证明充分性。
即证若lim 0n n x →∞=，则lim 0n n x →∞=，由lim 0n n x →∞=知，0ε∀>，N ∃，设当n N >时，有0 0n n n x x x εεε-<<-<即即由数列极限的定义可得 lim 0n n x →∞=4. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭ =0； (2) lim n →∞2!n =0. 证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=， 所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭ . （2）因为22222240!1231n n n n n<=<- ，而且4lim 0n n →∞=， 所以，由夹逼定理得2lim 0!nn n →∞= 5. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x 1＞0,x n +1=13()2n nx x +，n =1,2,…； (2) x 1x n +1,n =1,2,…；(3) 设x n 单调递增，y n 单调递减，且lim n →∞(x n -y n )=0,证明x n 和y n 的极限均存在.证：（1）由10x >及13()2n n nx x x =+知，有0n x >（1,2,n = ）即数列{}n x 有下界。
高等数学第二章答案2-4
习题2-41. 求由下列方程所确定的隐函数y 的导数dxdy : (1) y 2-2x y +9=0;(2) x 3+y 3-3axy =0;(3) xy =e x +y ;(4) y =1-xe y .解 (1)方程两边求导数得2y y '-2y -2x y ' =0 ,于是 (y -x )y '=y ,x y y y -='. (2)方程两边求导数得3x 2+3y 2y '-2ay -3axy '=0,于是 (y 2-ax )y '=ay -x 2 ,axy x ay y --='22. (3)方程两边求导数得y +xy '=e x +y (1+y '),于是 (x -e x +y )y '=e x +y -y ,yx y x e x y e y ++--='. (4)方程两边求导数得y '=-e y -xe y y ',于是 (1+xe y )y '=-e y ,yy xe e y +-='1. 2. 求曲线323232a y x =+在点)42 ,42(a a 处的切线方程和法线方程. 解 方程两边求导数得 032323131='+--y y x , 于是 3131---='y x y , 在点)42 ,42(a a 处y '=-1.所求切线方程为)42(42a x a y --=-, 即a y x 22=+. 所求法线方程为)42(42a x a y -=-, 即x -y =0. 3. 求由下列方程所确定的隐函数y 的二阶导数22dx y d : (1) x 2-y 2=1;(2) b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2;(3) y =tan(x +y );(4) y =1+xe y .解 (1)方程两边求导数得2x -2yy '=0,y '=yx , 3322221)(y y x y y y xx y y y x y y x y -=-=-='-='=''. (2)方程两边求导数得2b 2x +2a 2yy '=0,yx a b y ⋅-='22, 22222222)(y y x a b x y a b y y x y a b y ⋅--⋅-='-⋅-='' 32432222222ya b y a x b y a a b -=+⋅-=. (3)方程两边求导数得y '=sec 2(x +y )⋅(1+y '),1)(c o s 1)(s e c 1)(s e c 222-+=+-+='y x y x y x y222211)(s i n )(c o s )(s i n y y x y x y x --=+-+++=, 52233)1(2)11(22y y y y y y y +-=--='=''. (4)方程两边求导数得y '=e y +xe y y ',ye y e xe e y y y y y -=--=-='2)1(11, 3222)2()3()2()3()2()()2(y y e y y y e y y e y y e y y y y y --=-'-=-'---'=''. 4. 用对数求导法求下列函数的导数:(1) x xx y )1(+=;(2)55225+-=x x y ; (3)54)1()3(2+-+=x x x y ; (4)x e x x y -=1sin .解 (1)两边取对数得ln y =x ln|x |-x ln|1+x |，两边求导得xx x x x x y y +⋅-+-⋅+='11)1l n (1ln 1, 于是 ]111[l n )1(xx x x x y x ++++='. (2)两边取对数得)2l n (251|5|ln 51ln 2+--=x x y , 两边求导得2225151511+⋅--⋅='x x x y y , 于是 ]225151[25512552+⋅--=+-='x x x x x y .(3)两边取对数得)1l n (5)3l n (4)2l n (21ln +--++=x x x y , 两边求导得1534)2(211+---+='x x x y y , 于是 ]1534)2(21[)1()3(254+--+++-+='x x x x x x y (4)两边取对数得)1l n (41s i n ln 21ln 21ln x e x x y -++=, 两边求导得)1(4c o t 21211x x e e x x y y --+=', 于是 ])1(4c o t 2121[1s i n x x x e ex x e x x y --+-=' ]1c o t 22[1s i n 41-++-=x x x e e x x e x x . 5. 求下列参数方程所确定的函数的导数dxdy : (1) ⎩⎨⎧==22bt y at x ; (2) ⎩⎨⎧=-=θθθθcos )sin 1(y x . 解 (1)t ab at bt x y dx dy t t 23232==''=. (2)θθθθθθθθcos sin 1sin cos ---=''=x y dx dy . 6. 已知⎩⎨⎧==.cos ,sin t e y t e x t t 求当3π=t 时dx dy 的值. 解 tt t t t e t e t e t e x y dx dy t t t t t t cos sin sin cos cos sin sin cos +-=+-=''=, 当3π=t 时, 23313123212321-=+-=+-=dx dy . 7. 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程:(1) ⎩⎨⎧==ty t x 2cos sin , 在4π=t 处; (2) ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2221313t at y t at x , 在t =2处. 解 (1)tt x y dx dy t t cos 2sin 2-=''=. 当4π=t 时, 222224cos )42sin(2-=-=⋅-=ππdx dy , 220=x , 00=y , 所求切线方程为)22(22--=x y , 即0222=-+y x ; 所求法线方程为)22(221---=x y , 即0142=--y x . (2)222222)1(6)1(23)1(6t at t t at t at y t +=+⋅-+=', 222222)1(33)1(23)1(3t at a t t at t a x t +-=+⋅-+=', 2212336ttat a atx y dx dy t t -=-=''=. 当t =2时, 3421222-=-⋅=dx dy , a x 560=, a y 5120=, 所求切线方程为)56(34512a x a y --=-, 即4x +3y -12a =0; 所求法线方程为)56(43512a x a y -=-, 即3x -4y +6a =0. 8. 求下列参数方程所确定的函数的二阶导数22dxy d : (1) ⎪⎩⎪⎨⎧-==.122t y t x ;(2) ⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos ;(3) ⎩⎨⎧==-t t e y e x 23; (4) ⎩⎨⎧-==)()()(t f t tf y t f x t t , 设f ''(t )存在且不为零. 解 (1) t x y dx dy t t 1-=''=, 322211)(t t t x y dx y d t t x =='''=. (2) t ab t a t b x y dx dy t t cot sin cos -=-=''=, ta b t a t a b x y dx y d t t x 32222sin sin csc )(-=-='''=. (3) t t t t e e e x y dx dy 23232-=-='=, t t t t t x e ee x y dx y d 3222943232)(=-⋅-='''=-. (4) t tf t f t f t t f x y dx dy t t ='''-''+'=''=)()()()(, )(1)(22t f x y dx y d t t x ''='''=. 9. 求下列参数方程所确定的函数的三阶导数3dxy d : (1)⎩⎨⎧-=-=321t t y t x ; (2)⎩⎨⎧-=+=t t y t x arctan )1ln(2. 解(1)tt t t t dx dy 231)1()(223--='-'-=, )31(412)231(3222t t t t t dx y d +-=-'--=, )1(832)31(4125333t t t t t dx y d +-=-'+-=.(2)t tt t t t t dx dy 2112111])1[ln()arctan (222=++-='+'-=, t t t t t dxy d 4112)21(2222+=+'=, 3422338112)41(t t tt t t dx y d -=+'+=. 10. 落在平静水面上的石头, 产生同心波纹, 若最外一圈波半径的增大率总是6m/s , 问在2秒末扰动水面面积的增大率为多少？解 设波的半径为r , 对应圆面积为S , 则S =πr 2, 两边同时对t 求导得 S t '=2πrr '.当t =2时, r =6⋅2=12, r 't =6,故S t '|t =2=2⋅12⋅6π=144π (米2/秒).11. 注水入深8m 上顶直径8m 的正圆锥形容器中, 其速率为4m 2/min . 当水深为5m 时, 其表面上升的速度为多少？解 水深为h 时, 水面半径为h r 21=, 水面面积为π241h S =, 水的体积为3212413131h h h hS V ππ=⋅==, dt dh h dt dV ⋅⋅=2312π, dtdV h dt dh ⋅=4π. 已知h =5(m)，4=dtdV (m 3/min), 因此 πππ2516425442=⋅=⋅=dt dV h dt dh (m/min).12. 溶液自深18cm 直径12cm 的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm 的圆柱形筒中, 开始时漏斗中盛满了溶液, 已知当溶液在漏斗中深为12cm 时, 其表面下降的速率为1cm/min . 问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？ 解 设在t 时刻漏斗在的水深为y , 圆柱形筒中水深为h . 于是有h y r 22253118631=-⋅⋅ππ. 由186y r =, 得3y r =, 代入上式得 h y y 2225)3(3118631=-⋅⋅ππ,即 h y 233253118631=-⋅⋅π. 两边对t 求导得h y y t '='-222531. 当y =12时, y 't =-1代入上式得64.025165)1(1231222≈=-⋅⋅-='t h (cm/min)..。
专升本高等数学测试及答案(第二章)
高等数学测试（第二章）一．选择题（每小题２分，共20分）1．设函数0()102x f x x ≠=⎨⎪=⎪⎩ 在0x =处（ ） A ．不连续B ．连续但不可导C ．可导D ．可微2．设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（ ）A ．1 B ．2eC ．2eD ．e3．设函数()f x 在点x a =处可导，则0()()lim x f a x f a x x→+--等于（ ）A ．0B ．()f a 'C ．2()f a 'D ．(2)f a '4．设xx x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛11，x x g ln )(=，则[()]f g x '= （ ）A ．2)1(1x + B ．2)1(1x +- C ．1x x + D ．22)1(x x +- 5．设函数)(x f 在),(+∞-∞内可导，则下列结论中正确的是 （ ）A ．若)(x f 为周期函数，则)(x f '也是周期函数B ．若)(x f 为单调增加函数，则)(x f '也是单调增加函数C ．若)(x f 为偶函数，则)(x f '也是偶函数D ．若)(x f 为奇函数，则)(x f '也是奇函数6．设)(x f 可导，则下列不成立的是 （ ）A ．)0()0()(lim 0f xf x f x '=-→ B ．)()()2(lim 0a f ha f h a f h '=-+→C ．)()()(lim 0000x f xx x f x f x '=∆∆--→∆ D ．)(2)()(lim 0000x f xx x f x x f x '=∆∆--∆+→∆7．若)(x f 可导，)(cos ln )(x f x F =，则()F x '= （ ）A ．)(cos sin )(cos x f x x f ' B ．)(cos sin )(cos x f x x f '- C ．)(sin cos )(sin x f x x f ' D ．)(sin cos )(sin x f x x f '- 8．设函数)()()(x g a x x f -=，3)(lim =→x g ax ，则 （ ） A ．0)(='a f B ．2)(='a f C ．3)(='a f D ．)(a f '不存在9．设0()f x x x =在连续，且0()lim x x f x A x x →=-(A 为常数)，则0()f x '=（ ）A ．A ；B ．2A ； C ．3A ； D ．4A10． 31log d x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．3ln 12x B ．xdx x 32log 1- C ．3ln 1x D ．dx x x 3ln ln 12- 二．填空题（每小题3分，共15分） 11．（3分）设方程332e y xy x=++确定y 为x 的函数，则==0x dy ________________．12．（3分）设函数()x f x xe =，则(0)f ''=________________.13．（3分）设函数()f x 在0x 处可导，且0()f x =0，0()f x '=1，则01lim ()n nf x n→∞+=________________.14．（3分）曲线4ln x ty t=⎧⎨=⎩在点（0,1）处法线方程为________________. 15．（3分）33,x y x =+，则(4)___________x y ==．三．计算题（共55分）16.（5分）若sin 1,0,()4,0,a x x f x x b x +≥⎧=⎨+<⎩且(0)f '存在，求,.a b17. （5分）设y =y '.18. （5分）设1(1)xy x=+，求dy.19.（5分）设()()x f x eefy=，其中()xf'存在，求y'.20. （5分）设ln(y x=+y''. 21. （5分）设arctan.yx=求dy22.（5分）求曲线sincos2x ty t=⎧⎨=⎩在6tπ=处的切线方程和法线方程. 23.（5分）求由方程1sin02x y y-+=所确定的隐函数y的二阶导数22d ydx.24.（7分）设函数212()12x x f x ax b x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，适当选择,a b 的值，使得()f x 在12x =处可导.25.（8分）若22)()(x x xf x f y =+，其中 ()f x 为可微函数，求dy .四.证明题（共10分）26.（10分）设()x f 在点0=x 处连续，且()A xx f x =→0lim(A 为常数)，证明()x f 在点0=x 处可导.答案：一.选择题1—5 BBCCA 6—10BBCAD二.填空题11. dx e 31-； 12.2； 13.1； 14. 141+-=x y ；15. ()43ln .三.计算题16.若sin 1,0,()4,0,a x x f x x b x +≥⎧=⎨+<⎩且(0)f '存在，求,.a b【解析】因为(0)f '存在，所以()x f 在点0=x 处可导且连续，则可得⎩⎨⎧==41a b .17.设y =y '.【解析】两边取自然对数得11ln 2ln ||ln |1|ln |2|ln |2|33y x x x x =--++--，两边对x 求导得1211113(2)3(2)y y x x x x '=-++-+-；所以211113(2)3(2)y x x x x ⎤'=-++⎢⎥-+-⎦. 18. 设1(1)xy x =+，求dy .【解析】两边取自然对数得()x x y +=1ln 1ln ，两边对x 求导得()()x x x xy y +++-='111ln 112.所以()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+='x x x x x y x 111ln 1121，故()()()dx x x x x x dy x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+=111ln 1121.19.设()()x f x e e f y =，其中()x f '存在，求y '.【解析】()[]()()()[]()()()()()()()()()[]x f e f e e f e x f e e f e e e f e e f e e f y x x x x f x f x x f x x x f x x f x '+'='+'='+'=''''''.20. 设ln(y x =+y ''.【解析】因为y x''=+==所以y'⎛⎫''===.21.设arctan.yx=求dy【解析】对等式两边同时求微分，可得，()ydyxdxyxyxdxxydyxxy22211111222222+⋅+⋅+=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+，即2222yxydyxdxyxydxxdy++=+-，故dxyxyxdy-+=.22.（8分）求曲线sincos2x ty t=⎧⎨=⎩在6tπ=处的切线方程和法线方程【解析】因为sincos2x ty t=⎧⎨=⎩，所以ty sin4-='.当6π=t时，x=21，21=y，2-='y.142;0324=+-=-+yxyx法线方程所以切线方程.23.求由方程1sin02x y y-+=所确定的隐函数y的二阶导数22d ydx【解析】对x求导，可得，0cos211=⋅+-dxdyydxdy，即ydxdycos2111-=.再对x求导，得3222)cos211(sin21)cos211(sin21yyydxdyydxyd--=--=.24.设函数212()12x xf xax b x⎧≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，适当选择,a b的值，使得()f x在12x=处可导【解析】因为()f x 在12x =处可导，则41lim 221=→x x ，()b a b ax x +=+→21lim 21.即4121=+b a .又知121=⎪⎭⎫⎝⎛'-f ， a f =⎪⎭⎫ ⎝⎛'+21，即41,1==b a . 25.若22)()(x x xf x f y =+，其中 ()f x 为可微函数，求dy【解析】因为22)()(x x xf x f y =+，对x 求导可得，x y dx dy x y 232=++，即xdxy y x dy )32(2--=.四.证明题26.设()x f 在点0=x 处连续，且()A xx f x =→0lim(A 为常数)，证明()x f 在点0=x 处可导.【证明】因为()A x x f x =→0lim ，则()()00lim lim 00=⋅=⋅=→→A x xx f x f x x .又因为()x f 在点0=x 处连续，所以()()00lim 0==→f x f x .于是()()()()A xx f x f x f f x x ==-='→→00lim 0lim 0,故()x f 在点0=x 处可导，且()A f ='0.。
高数课后习题及答案--第二章-2.7
高数课后习题及答案--第二章-2.71．()()()()211110,11)()21,121,2()(),1,122,()12(),:lim ()0,lim ()lim 213lim ()x x x x x f x x x x x f x f x f x x x f x f x f x x f x -++-→→→→<⎧⎪=+≤<⎨⎪+≥⎩-∞+∞==-∞+∞==+=若若若解：由题设可知是一个分段函数，由分段函数的特点可知在区间，是连续的，因此只要证明出在点，处的连续性，便可得出函数在定义域上的连续性，具体如下因为，12222222lim ()()1lim ()lim 215,lim ()lim 15lim ()lim ()(2)5()2x x x x x x x f x f x x f x x f x x f x f x f f x x +--++-+→→→→→→→≠==+==+=====所以在处不连续又因为，所以在处连续()()()0000sin ,02)()1,0,0()(),0,0,()0(),:sin lim ()lim 1,lim ()lim 1x x x x x x xx x f x x e x f x f x f x x f x xf x f x e x --++--→→→→⎧<⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩-∞+∞=-∞+∞====若若解：由题设可知是一个分段函数，由分段函数的特点可知在区间是连续的，因此只要证明出在点处的连续性，便可得出函数在定义域上的连续性，具体如下因为，f(0)=1即0lim ()lim ()()0x x f x f x f x x -+→→===f(0)=1所以在处连续()()()()22001sin ,0;3)()0,0;()(),0,0,()0(),:1lim ()lim sin 0(0),()0(),x x x x f x xx f x f x f x x f x f x x f f x x xf x →→⎧≠⎪=⎨⎪=⎩-∞+∞=-∞+∞====-∞+∞若若解：由题设可知是一个分段函数，由分段函数的特点可知在区间是连续的，因此只要证明出在点处的连续性，便可判定函数在定义域上是否连续，具体如下所以可知函数在处的连续，函数在定义域20001sin()01'(0)limlim lim sin 0x x x x f x x f x x x x→→→-====-上连续。
高数第二章复习题参考答案2
第二章《导数与微分》参考答案一、1． A 3- 2． 0 3．不存在 4．不存在 5． ∑=nk kn 11!↑ 6．12+x 7． 22x8． dx 9- 9． 3 10． 2)cos 1(1t a -- 11． dx x x x )121arcsin 21(-+ 12． )5(38-=-x y 13． 21 14． 4arctan 17241+二、④③④②② ①②②②② ②①②三、1．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅++x x x x x x 2112121 2．x x x x 1cos 211sin 21- 3．=2 4．xdx ln cos 2 5．21x x xdx - 6．⎪⎭⎫ ⎝⎛+++='x x x x x x y x x 3sin ln 3cos 333ln 33sin 2 7． x 1arctan8． dx x x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+--+121121)11( 9． =100！ 10． dx x x x x x x 22)1(cos cos sin +++ 11． ()()22x xx ex e x e -- 12． 11)2(132232-+++x x x 13． ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++22166)2()1(2326x x x x x x x 14． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+++-+)2(32)2(4112)2(2)1(3242x x x x x x 15． 21ln 1x x x x-⋅ 16． dx x x x x x x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++22sin 21sin 2)1ln(cos )1( 17．xy xy e y x x y e y x y x y )(2)(22222++++-=' 18． xy y x e xe e ye -- 19． ()()x y x x y x y y ln ln -- 20． )(sec 2y x - 21． 11+-x y 22． )cos(2)cos(2'2222xy x ye xy y xe y y x y x++=++ 23． =1 24． 221y y y +=' 25． dy dx ax y x ay --22 26． yyxey e +-cos ，1- 27． g f f '⋅'-'1 28． [解] 对方程两边关于x 求导，得0='--'-y x y y e e y x ，两边关于x 再求导，得02=''-'-'-''-'-y x y y y e y e e y y x又当0=x 时，0=y ，于是1)0(='y ，故2022-==x dx yd29． t t t t t t cos sin cos cos sin sin 22⋅-⋅+ 30． 2211ss -+- 31． =－1 32． 22sin 2cos )cos sin 2(t t t t t e t -+ 33． 23 34． tt t e t 3cos 36)3sin 33(cos 3+ 35． te t 3)23+（ 36． t t e e 544321---- 37．[解] 当2=x 时，0=t ，1=y ，t t dx dy cos 1sin 1+-=，210==t dx dy ，切线方程：)2(211-=-x y ；322)cos 1(1cos sin 1t t t dtdx dx dy dt d dx y d +--=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛= 四、1． x x f x f y 2sin )](cos )(sin [22'-'='2． )1(312+-=+x y ，)1(32+=+x y3． )(x f 在0=x 处不连续，不可导4． 当1=k 时，)(x f 在点0=x 处可导；此时⎪⎩⎪⎨⎧<≥+='0cos 011)(sin x x e x x x f x5． [解] 由)(x f 是奇函数，且在点0=x 处可导，知)(x f 在点0=x 处连续，)0()0(f f -=，则0)0(=f ，于是)0(0)0()(lim)(lim 00f x f x f x F x x '=--=→→存在， 故点0=x 是函数)(x F 第一类间断点（可去）。
高等数学(北大版)习题答案 第二章
习题2.120 1.,.,.()2(0)(1),;(2),?(3)lim ,?x l O x x m x x x l x x m mx mx ∆→=≤≤∆∆∆∆∆∆设一物质细杆的长为其质量在横截面的分布上可以看作均匀的现取杆的左端点为坐标原点杆所在直线为轴设从左端点到细杆上任一点之间那一段的质量为给自变量一个增量求的相应增量求比值问它的物理意义是什么求极限问它的物理意义是什么2222222000(1)2()22(2)22(2).2(2)(2)2(2).(3)lim lim 2(2)4.lim x x x m x x x x x x x x x x x m x x x m x x x x x x x x m mx x x x x x ∆→∆→∆→∆=+∆-=+∆+∆-=∆+∆∆∆+∆∆==+∆+∆∆∆∆∆∆=+∆=∆∆是到那段细杆的平均线密度.是细杆在点的线密度.解 33303223322200002.,:(1);(2)2,0;(3)sin 5.()(1)lim(33)lim lim (33)3.2()2(2)lim 2lim(2lim x x x x x x y ax y px p y x a x x ax y xx x x x x x x a a x x x x ax xp x x px x x xy p xx p ∆→∆→∆→∆→→→==>=+∆-'=∆+∆+∆+∆-==+∆+∆=∆+∆-+∆'==∆+∆=根据定义求下列函数的导函数解00000)()2lim()()22lim25(2)52cossin sin 5()sin 522(3)limlim55(2)552cos sin sin5(2)2222lim 5lim cos lim 5522x x x x x x x x x x x x p x x x x x x x x p p x x x xx x xx x xy xxx x x x x x x →→∆→∆→∆→∆→∆→-+∆+=∆+∆+∆+∆+==+∆++∆∆+∆-'==∆∆+∆∆∆+∆==∆∆5cos5.2x x =00223.()(,()):(1)2,(0,1); (2)2,(3,11).(1)2ln 2,(0)ln 2,1ln 2(-0),(ln 2) 1.(2)2,(3)6,:116(3).4.2(0)(,)(0,0)x x y f x M x f x y M y x B y y y x y x y x y y x y px p M x y x y ===+''==-==+''==-=-=>>>求下列曲线在指定点处的切线方程切线方程切线方程试求抛物线上任一点处的切线斜率解,0,.2p F x ⎛⎫⎪⎝⎭,并证明:从抛物线的焦点发射光线时其反射线一定平行于轴20002222222,,().22(),.,2222,.222,.p py px y M PMN Y y X x yy px p y x N X y X x X x x y p p p p FN x FM x y x pxp p p x px x x FN FNM FMN M PQ x PMQ FNM FMN '===-=--=-=-=-⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=++=+=+=∠=∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠=∠=∠过点的切线方程：切线与轴交点(,0),故过作平行于轴则证2005.2341,.224,1,6,4112564(1),4 2.:6(1),.444y x x y x y x x y k y x y x y x y x =++=-'=+====⎛⎫-=-=+-=--=-+ ⎪⎝⎭曲线上哪一点的切线与直线平行并求曲线在该点的切线和法线方程切线方程:法线方程解32322 6.,,;(),,, (1)():(2)();(3)().()lim ()lim,lim ()limr R r R r R r R r g r GMrr R R g r R M G GM r R r g r r g r g r r GMr GMr R g r g r R RGM g r r →-→-→+→+⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩≠====离地球中心处的重力加速度是的函数其表达式为其中是地球的半径是地球的质量是引力常数.问是否为的连续函数作的草图是否是的可导函数明显地时连续.解,2lim (),()r R GMg r g r r R R→-==在连续.(2)33(3)()2(),()(),().r R g r GM GMg R g R g R g r r R R R-+-≠'''==-≠=时可导.在不可导 227.(),:(1,3)(),(0)3,(2) 1.3(),()2.34111113,,3(),()3.2222P x y P x P P a b c P x ax bx c P x ax b b a b b a c a b P x x x ''===++=⎧⎪'=++=+=⎨⎪+=⎩==-=-+==-++求二次函数已知点在曲线上且解3222222222228.:(1)87,24 1.(2)(53)(62),5(62)12(53)903610.(3)(1)(1)tan (1)tan ,(2)tan (1)sec .9(92)(56)5(9)51254(4),56(56)y x x y x y x x y x x x x x y x x x x x y x x x x x x x x x x x x y y x x '=++=+'=+-=-++=+-'=+-=-=+-+++-+++'===++求下列函数的导函数22.(56)122(5)1(1),.11(1)x x y x y x x x ++'==-+≠=---23322222226(6)(1),.1(1)1(21)(1)1(7),.(8)10,1010ln1010(1ln10).sin cos sin (9)cos ,cos sin .(10)sin ,sin cos (s x x x x xx x x x x x x x x y x y x x x x x e e x x x x y y e e e y x y x x x x x xy x x y x x x x xy e x y e x e x e -'=≠=--+++-++-+-'==='==+=+-'=+=-+'==+=in cos ).x x +00000001001100009.:()()()(),()0().()()(1)(2).()()(),()0()()()()()()(()()())()(),(m k k k k k P x P x x x g x g x x P x m x P x k x P x k k P x x x g x g x P x k x x g x x x g x x x kg x x x g x x x h x h x ---=-≠'->=-≠''=-+-'=-+-=-定义若多项式可表为则称是的重根今若已知是的重根,证明是的重根证00)()0,()(1)kg x x P x k '=≠-由定义是的重根.000000010.()(,),()(),().()(0),(0)0.()(0)()(0)()(0)(0)lim lim lim (0),(0)0.()()11.(),lim 22x x x x f x a a f x f x f x f x f f f x f f x f f x f f f f x x xf x x f x x f x x f x→→→∆→--=''=-----'''==-=-=-+∆--∆'=∆若在中有定义且满足则称为偶函数设是偶函数,且存在试证明设在处可导证明证=000000000000000000000().()()()()()()1lim lim 22()()()()1lim 2()()()()11lim lim [()22x x x x x x f x x f x x f x x f x f x x f x x x x f x x f x f x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→∆→∆→∆→+∆--∆+∆--∆-⎡⎤=-⎢⎥∆∆∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤=+⎢⎥∆-∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤'=+=+⎢⎥∆-∆⎣⎦证002()]().12.,(0/2)()((),()):.f x f x y x t t P t x t y t OP x t t π''==<<=一质点沿曲线运动且已知时刻时质点所在位置满足直线与轴的夹角恰为求时刻时质点的位置速度及加速度.222222422222()()()tan ,()tan ,()()(tan ,tan ),()(sec ,2tan sec ),()(2sec tan ,2sec 4tan sec )2sec (sec ,2tan ).y t x t x t t y t t x t x t t t v t t t t v t t t t t t t t t ===='=''=+=位置解1/1/1/1/1/000013.,0()10, 00.1111(0)lim lim 1,(0)lim lim 0.1114.()||(),()()0.().()limxx x x x x x x x x xx f x e x x x x e e f f x e x ef x x a x x x a a f x x a f a ϕϕϕ→-→-→+→+-→⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩=++''======++=-=≠='=求函数在的左右导数设其中在处连续且证明在不可导-+解证()()()()(),()lim ()().a x a a x x x a x a a a f a x a x aϕϕϕϕ-→---''=-==≠--+-fy =x 2习题2.2()()()22221.,:111(2)[ln(1)],.[ln(1)](1).111(3)2.22x x xx x xx xx x x x''=-=-='''-=-=-=---'''⎡==⎣'''⎡=+=⎣=下列各题的计算是否正确指出错误并加以改正错错错3322222()221(4)ln|2sin|(14sin)cos,.2sin1ln|2sin|(14sin cos).2sin2.(())()|.() 1.(1)(),(0),(),(sin);(2)(),(sin);(3)u g xx x x xx xx x x xx xf g x f u f x xf x f f x f xd df x f xdx dx=='⎡⎤+=+⎣⎦+'⎡⎤+=+⎣⎦+''==+''''错记现设求求[]()[][]2222223(())(())?.(1)()2,(0)0,()2,(sin)2sin.(2)()()224.(sin)(sin)(sin)2sin cos sin2.(3)(())(()),(())(())().f g x f g xf x x f f x x f x xdf x f x x x x xdxdf x f x x x x xdxf g x f g x f g x f g x g x''''''====''===''==='''''=与是否相同指出两者的关系与不同解()()()222233312232323.2236(1),.111(2)sec,(cos)(cos)(cos)(cos)(sin)tan sec.(3)sin3cos5,3cos35sin5.(4)sin cos3,3sin cos cos33sin sin33sinx xy yx x xy x y x x x x x x x y x x y x xy x x y x x x x x---'==-=----'''===-=--='=+=-'==-=求下列函数的导函数:2(cos cos3sin sin3)3sin cos4.x x x x x x x-=22222222222232222222241sin 2sin cos cos (1sin )(sin )2(5),cos cos sin 2cos 2(1sin )(sin ).cos 1(6)tan tan ,tan sec sec 13tan sec tan tan (sec 1)tan .(7)sin ,s ax ax x x x x x x x y y x x x x x x x xy x x x y x x x x x x x x x y e bx y ae +-+-'==++='=-+=-+=-=-='==5422in cos (sin cos ).(8)cos 5cos sin 11(9)ln tan ,sec 24224tan 2411112tan cos 2sin 24242ax ax bx be bx e a bx b bx y y x x y y x x x x ππππππ+=+'==-=⎛⎫⎛⎫'=+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos 42411sec .cos sin()211()()1(10)ln (0,),.22()x x x x x a x a x a x a y a x a y a x a a x a x a x a ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===+-++--'=>≠±==+-+-22222222224.:11(1)arcsin (0),11111(2)arctan (0),.1(3)arccos (||1),2arccos 1111(4)arctan ,.111(5)ar 2xy a y aa a x y a y a a a a a x x a y x x x y x x y y x x x xa y '=>==-'=>==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=<=-'===-++=求下列函数的导函数csin (0),x a a>22222222(6)ln(0)212(7)arcsin,1ya xy aayxy xx'=+==+=>⎛⎫'=++===≠±+22222222221.2112sgn(1)2.111(8)(0).212211sec2()tan()cos()s22xx x xyx xxxy a bxyxx xab a b a b ab--'===++-⎫=>≥⎪⎪⎭⎛⎫'= ⎪⎝⎭==++-++-2in21.cos(9)(1ln(1ln(1ln(1 /.(10)(11)(12)xa b xy yy yy yy yy y=+=+++=++++ '=+⎡⎤'='=='==y y'==222222222311(13)ln(),1.21(14)(1)(31)(2).ln ln(1)ln(31)ln(2),331211131321211.13132(15),(1).(16)xxxx e x e x x e x y x x a y x x a x a x ay x x x y x x x y y x x x y y x x x y e e y e e e e e ⎛⎫'=++=+= ⎪++++⎝⎭=-+-=-+++-'-=++-+--⎡⎤'=++⎢⎥-+-⎣⎦'=+=+=+11112(0).ln ()ln ln ln ln .aaxa a xaaxa x a a a x a a x a ax a a x y x a a a y a x a a ax a aa aa x a aa x a a a ----=++>'=++=++222225.()1()()84,tan (),24001001()arctan ,()100110t x t t x t t t t t t t t θθθθ===='==+2一雷达的探测器瞄准着一枚安装在发射台上的火箭,它与发射台之间的距离是400m.设t=0时向上垂直地发射火箭,初速度为0,火箭以的匀加速度8m/s 垂直地向上运动;若雷达探测器始终瞄准着火箭.问:自火箭发射后10秒钟时,探测器的仰角的变化速率是多少?解222110,(10)0.1(/).505010101006.,2m t s θπθ'==⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭弧度在图示的装置中飞轮的半径为且以每秒旋转4圈的匀角速度按顺时针方向旋转.问:当飞轮的旋转角为=时,活塞向右移动的速率是多少?20()2cos8(8)()16sin8,811()8,,,()16.2161616m/s.x t t t x t t t t t t x ππππππαπππ='=-'====-活塞向右移动的速率是解习题2.323222(1)(1).1.0,?(1)10100.1(2)2(3)(1cos )2sin ,222.:0,()().()().()()3.()()(0),()()(0).o o o x o o o x x y x x x y x xy x x x x x x x x x x x x xx x x x x x αααααβ=→=++===-=→=====→=→当时下列各函数是的几阶无穷小量阶.阶.阶.已知当时试证明设试证明证00(1)(1)(1)()()()(0).()()()().()()().4.(1)sin ,/4.sin cos ,1,1.444(2)(1)(0).o o o o o o o x x x x x x x x x x xx x x x y x x x y x x x y dy dx y x y ααβαβαβππππα+=→+=+=+=+=⎛⎫⎫⎫''===+=+=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭=+>':上述结果有时可以写成计算下列函数在指定点处的微分:是常数证122(1),(0),.5.1222(1)1,,.11(1)(1)(2),(1).(1).26.(1),3 3.001,11,(3).222.001x x x x x x y dy dx x dx y y dy x x x x y xe y e xe e x dy e x dx y x x x y y αααα-'=+==-'==-+=-=-++++'==+=+=+=≠-''=-∆=求下列各函数的微分:设计算当由变到时函数的增量和向相应的微分.22解 y =-(x -1)1222113333332220.0010.0011,.2.00127..1.162(1) 2.002.5328.:11(1)(0).0,.33(2)()()(,,).2()2()dy y x y a a xy y y x x a y b c a b c x a y b y ---=-=-==+=⎛⎫''+=>+==- ⎪⎝⎭-+-='-+-=求下列方程所确定的隐函数的导函数为常数0,.x ay y b-'=--222222222(3)arctan ,,,.1(4)sin cos()0sin cos sin()(1)0,cos sin().sin()sin 9.(1)2yxy y x yy xy y x yy x y x x xy y x yy y x y x y x y x y y x y x x y y x y x x y y y x x y y x y xM y ='-+'''+-++'''==-=+=+++-⎛⎫+ ⎪⎝⎭--=''++--=+-'=---求下列隐函数在指定的点的导数:222222222422240,(3,7)17319222220,,(3).73420(2)50,,.10202010()1050,,0.51051010010.()xyxyxy xy xy x x My x yy y xy xy y y x e e x y M e e xy ye e e e y xy xy x y y y e e xe x e y f x -+-=+-+-''''---+====--⎛⎫-= ⎪⎝⎭-⎛⎫-''''+--==== ⎪-⎝⎭-=设由下列参数方2322:2(1)3333(1).(1).222ln (2),1/.ln 1(3)1t tdyy dxx t t y t t dy t t t dx t x t t dy e t e dx t y e x y dy t dxtt '=⎧=-⎪⎨=-⎪⎩-==+≠-=⎧=≠⎨+=⎩⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩=+程给出,求sgn(),0.t t =≠220002211.1(,),.x y M x y a bM +=试求椭圆周上一点处的切线方程与法线方程.并证明:从椭圆的一个焦点向椭圆周上任一点发射的光线其反射线必通过椭圆的另一个焦点 222220000022202222200000002022,.(), 1.(),()x yy b x y a b a yb x x x y y y y x x a y a b a y y y x x a y x b x y a b x y b x ''+=-⎛⎫-=--+= ⎪⎝⎭⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭切线方程：法线方程：22221102000112200200222200000222220020000200222022200(,0),(,0),().0..,.()tan 1()1()b x F c F c c a b a b y k a y y yMF k MF k x c x cb x ya y x cb x xc a y k k F MQ b x y kk a y x c b x y a y x c a b b cx a b x y a -=->≠=-==+-----+-∠===-+-----=---焦点设切线斜率的斜率的斜率2222200222000000020022220000011222001000020022222220022222000000()();()()tan 1()1()(()b a cx b a cx b cy c x y a cy cy a cx cy b x y a y x c b x x c a y k kPMF b x y kk a y x c b x y a y x ca b b cx b a cx b a a b x y a cy c x y a cy --=-==--++++-∠===-++--++++===-++2022*******)tan .(),,.22cx b F MQ cy a cx cy PMF F MQ PMF F MQ ππ==∠+⎛⎫∠∠-∠=∠ ⎪⎝⎭和都在区间故习题2.4()()1()11()11(1),!.(2),.1(1)!(3)(1)(1).(1)(11)(11)(1).1(1)11111(4),(1)!.(1)1(1)n n x n n n n nn n n n n ny x y n y e y e n y x x y n x x x y y n x x x x xx ---+++====-==+≠-=-----++=++⎛⎫==-=-- ⎪+++⎝⎭2.()cos ,220.cos sin (cos sin ),(cos sin )(sin cos )(2sin ),22(2sin )2(cos sin )2cos 0,x x x x x x x x x x y x e x y y y e x e x e x x y e x x e x x e x y y y e x e x x e x '''=-+='-=-''=-+--=-'''-+=---+=设证明证y =2232243433.(4),2(1).4377141,,.44(4)(4)98714982,(1)2.(4)4(4)(4)x y x y y y x x y y y x x x x y y y y x x x x -'''=≠-=-+-'''==-==-++++⎛⎫⎛⎫''''=-=--== ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭设证明证23(6)(7)(6)(7)22234.(1)(21)(31),,.6!(108),0.5.0(,),?,,()0,0,0.6.x x x x x y x x x y y y y y e y py qy p q y e y e y py qy p q e e p q t λλλλλλλλλλλλλθθ=-+-=-='''=++=''''''==++=++=≠++==-设求要使满足方程其中为常数该取哪些值该取方程的根飞轮绕一定轴转动,转过的角度与时间t的关系为解解22()()()231343,6 4.17.(),,(),(1)1()(1),()()(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1),(0)(1)((1)k nn k n k knk n kt t t t t f x n f x k x f x x f x n n n k x x n n n k f n n n x θθ---++-'''=-+=-=-==-=-----+---++-==+-,求飞轮转动的角速度与角加速度.角速度角加速度设其中为一个正整数求为一个正整数.解解1).k +-2(50)8.ln(1),.Leibniz y x x y =+设求由公式,解()()()()()()(50)(49)(48)(50)2(49)(48)(47)2111250495049ln(1)50(2)ln(1)2ln(1)25049(1)50(2)(1)2(1)2(1)(2)(1491)(1)100(1)(2)(1481)(1)2450(1)(2)(1471)(1y x x x x x x x x x x x x x x -----=+++++=+++++=----+++----+++----+482504948250)247!49!(1)10048!(1)245047!(1)(501225).(1)x x x x x x x x ----+-=-+++-+=+++12122212121212221212129.()()0.,(),()()()()0.1ax bx ax bx ax bx ax bx ax bx ax bx ax bx ax bx y C e C e C C y a b y aby y C e C e C ae C be y C ae C be C a e C b e y a b y aby C a e C b e a b C ae C be ab C e C e '''=+-++='''''++=+=+'''-++=+-++++=验证函数其中与为任意常数是微分方程的解证=()=()212121211211222112112122211210.()()20.()()(),()()(2),2(2)2ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax y C x C e C C y ay a y y C x C e C e a C x C e e aC x C aC y e a aC x C aC e aC e a C x a C aC y ay a ye a C x a C aC ae '''=+-+=''+=++=++''=+++=++'''-+=++-验证函数其中与为任意常数是微分方程的解证=211212212121222221212()()0.cos sin ()0.sin cos ,cos sin (cos sin ).ax aC x C aC a C x C e y C t C t C C y y y C t C t y C t C t C t C t y ωωωωωωωωωωωωωωω++++=''=++='''+=--=-+=-验证函数其中与为任意常数是微分方程的解证=-习题2.55/3223/22222222222:91.32.5412.(1(1).323.sec tan.4.tan(sec1)tan.5.cot(csc1)cot1.326.111b b Cdx x Cx xdx x dx x x x Ca xdx a x Cxdx x dx x x Cd d Cxdxx xϕϕϕϕϕ-+=+++=+=+++=+=-=-+=-=--++⎛=+++⎝⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰求下列不定积分2225/43/27/423222arctan.7.4arcsin.8.(1cos)sec(sec1)tan.4249.(1)5371232610.ln||.(1)11.dx x x Cdx x Cx xdx x dx x x Cdx x x x x Cdx x Cx x x x xxx⎫=++⎪⎭⎛⎫=++=+=++=+=++++⎛⎫++=--+⎪⎝⎭-⎰⎰⎰⎰⎰⎰()24/31/32/34/331/32/35/3223/21/21/2225/23/222122333.512.(2cosh sinh)2sinh cosh.31113.321243.53114.sin cosx xdx dx x x x dxxxx x x Cx x dx x x Cxdx x x x dxx xx x x Cxx-----+==-+=--++-=-+⎛-⎛⎫+=-+++⎪⎝⎭⎝=++++⎰⎰⎰⎰⎰2212222211cot tan.sin cos2311115.263921112/ln3/ln2.392111116.arctan.(1)1x xx xxx xdx dx x x Cx xdx dxCdx dx x Cx x x x x+-⎛⎫=+=-++⎪⎝⎭⎛⎫+⎛⎫⎛⎫=+⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-=--+⎪++⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰121122234317.()(,).(),1().218.()()()1,().1(())1,()1,41()1.4x x x x x y x a be a b a be dx ax be C yax be C dx ax be C x C f x xf x f x x f x xf x x xf x x dx x x C C f x x x -----''=+'+=-+=-+=+++'+=+'=+=+=++=++⎰⎰⎰求解微分方程为常数设满足方程求解y =解习题2.6122112222121.(1)lim lim ()().()()(2)lim ()lim(())11(1)()()lim()()()lim 2()()li nbi a i nnn n i i n n n i kdx k x k b a k b a i b a b a b a a a b a i n n n n n a b a b a i a b a b a n n a b a b a λλ→→=→∞→∞==→∞→∞==∆=-=----+=-++=-+-=-+-=-+-∑⎰∑∑∑根据定积分的定义直接求下列积分:222(11/)()m ().2222.()[,]()0.(),,;0,()[,],()(),()(),(),().n dbcan b a b a a b a x y c d y x y y c y d y c x y c d y dy x dx y x x y a c b b ϕϕϕϕϕψψϕϕϕ→∞+--=-+==>===≥=+====⎰⎰设函数在上连续且试用定积分表示曲线及轴所围的图形的面积又设函数在上严格递增试求积分和其中是的反函数()()dbcay dy x ϕψ+⎰⎰解221230203.[0,1]Riemann .Riemann 111111(1)(21)12().6634..,0,0,1, 1.2,31i n n i y x n n i s n n n n nn n n n x y x y x y ξ-==→∞⎛⎫⎛⎫==--=--→→∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭======∑⎰⎰写出函数在区间上的和,其中分割为等分,中间点为分割小区间的左端点求出当时和的极限.]求定积分当时当时由题解解y =12/2/2/2/2/20212121.335.(1)(1sin ).2(1sin )(1).(1sin )(2).23.22(1)(2)0,1, 2.(,1/2),y dy x dx x dx dx x dx dx x x x x x x x πππππππππ-=-=<+<+>=+<=<<+-=+-==-=∈-∞⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰证明下列不等式当时证证21100/2/22200100.(1/2,)3.26.:(1).(2)(sin).(3).7.()[,],().x xxe dx e dxx dx x dxxdxy f x a b y f xππ∈+∞=<<=>><==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰当时判断下列各题中两个积分值之大小设函数在上有定义并且假定在任何闭子区间上有最大值和最小值对于012111()()11()0()01::()[,],()[,]()[,]lim lim.()[,]lim lim(n ni i i i i in ni i i iT Ti ini i iT Ti iT x a x x x x b m f x x x M f x x xy f x a b m x M x y f x a b m x fλλλλξ---→→==→→==<<<<<==∆∆=∆=∑∑∑任意一个分割记为在中的最小值为在中的最大值.证明在上可积的充要条件是极限与存在并且相等设在上可积,则证1()0()011()0()011111()01)(),lim lim()().lim lim,(),lim().n bi an n bi i i i aT Ti in ni i iT Ti in n ni i i i ii i ini iTix f x dx M x f x f x dxm x M x Im x f x M xf x Iλλλλληξξ=→→==→→=====→=∆=∆=∆=∆=∆=∆≤∆≤∆∆=∑⎰∑∑⎰∑∑∑∑∑∑设则由夹挤定理,习题2.72222222211222012201.1(1)(),().11(2)()sin ,()2sin(1).(3)()cos ,()cos .(4)(),()2.2.()[,].()()x x xx t x x xxadt F x F x t x G x t dt G x x x H x t tdt H x x x L x e dt L x xe e y f x a b F x f t +---'==++'==+'==-'==-==⎰⎰⎰⎰求下列变上(下)限积分所定义的函数的导函数:设在上连续证明00,()().()()11()()()()()(0)()().a x a dt a F a f a F a x F a f t dt f x a a x x x xf f a x F a f a ξξξ++∆+'=+∆-==∆≤≤+∆∆∆∆'=→∆→+=⎰⎰在处有右导数且故证3.()[,].()()(()0.()().().()0,,()().()(),()0.(()())()()()()0,()(),[,].()()0,xaxax a b f x F x F a a x b F x f t dt f t dt G a G x f x F x f x F a G x F x G x F x f x f x G x F x C x a b C F a G a =≤≤=''===='''-=-=-=-=∈=-=⎰⎰设f 在上连续假定有一个原函数且证明当时由变上限积分求导定理证G(x)=()()(),[,].xa F x G x f t dt x ab ==∈⎰()11111124.:(0,),ln .11ln ,,(0,),ln10,ln .5.()[,]|()|,([,]),.()()[,]Lipschiz :|()(xx x xadt x x dt tdt dt dt x dt x dt x dt x t xt t y f x a b f x L x a b uqz L F x f t dt a b F x F x ∈+∞='⎛⎫'==∈+∞=== ⎪⎝⎭=≤∀∈=-⎰⎰⎰⎰⎰证明当时由于故设在上可积,且其中为常数证明变上限积分在上满足条件证2122211112121212210)|||,(,[,]).,|()()|()()()().6.()sin .()sin ,()sin sin (1cos )x x x x x a ax x x x t tx x x x L x x x x a b x x F x F x f t dt f t dt f t dt f t dt Ldt x x G x ezdzdt G x e zdz G x zdz e x x e ≤-∈<-=-=≤≤==='''==+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰不妨设求函数的二阶导数x x 证解e e sin .x x习题2.814130033002211443064215301.Newton-Leibniz :1(1).44(2).(3)sin cos | 2.(4)ln |ln 2.(5)(2sin )2cos 4.4411(6)(1)326124bb xx b a aa x x dx e dx ee e xdx x dx x xx x x dx x x x x x x x dx x πππππ====-=-===⎡⎤+=-+=+⎢⎥⎣⎦⎡+++=+++⎣⎰⎰⎰⎰⎰⎰用公式计算下列定积分()10422221122112212222422223.211112..2111:?21111111,2221112x x x dx x x x x dx x x x x x x x x x x x x x x x x dx x x x ----⎤=⎢⎥⎦⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''⎛⎫⎛⎫'-=-=+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰验证是的一个原函数并计算定积分试问下式是否成立为什么故是的一个原函数.解4112221125.41111.[1,1]2x dx x x x x x --=⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰不成立因为在不可积.1100113341340110113.Riemann Newton-Leibniz 1(1)lim sin sin cos |1cos1.11(2)lim lim .44111(3)lim lim 1/nn k nn n n k k nn n n k k kxdx x n n k k x x dx n n n dx n k n k n →∞=→∞→∞==→∞→∞====-=-⎛⎫==== ⎪⎝⎭==++∑⎰∑∑⎰∑∑将下列极限中的和式视作适当函数的和,然后使用公式求出其值:1100ln(`1)|ln 2.1x x =+=+⎰1221110111110111/21001/21/22304.Newton-Leibniz (1)|| 1.22(2)sgn 1(1)110.111(3)22243x x x dx xdx xdx xdx dx dx x x dx x x dx x x dxx x x -----=-=-==+-=-=⎛⎫⎛⎫-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰将下列积分改成若干个区间上定积分之和,然后分别使用公式求处其值:1321/22220021222121011111111.3416243424168(4)|sin |sin sin cos |cos |22 4.(5)([])(1)2211() 1.22x x dx xdx xdx x x x x x x dx xdx x dx x πππππππ⎛⎫-=-+--+= ⎪⎝⎭=-=-+=+=⎛⎫-=+-=+- ⎪⎝⎭=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰5.()[,]().[,],()()()().()()()(Newton-Leibniz )()()().ba F x ab F xc a b F b F a F c b a F b F a F x dx F c b a '∈'-=-'-='=-⎰设在上有连续的导函数试证明:存在一点使得公式定积分中指中值公式证第二章总练习题2211211|3| 11.().313,14243131()(10)lim 2;424(10)lim |3|2(10)(1),1.313(1)(3)|1,(1)4242x x x x x x f x x x x x x f x f x f x f f f x x x f x f x →→+=-=-≥⎧⎪=⎨-+<⎪⎩⎛⎫≠-=-+= ⎪⎝⎭+-==-=='⎛⎫'''=-=-=-+= ⎪⎝⎭时讨论函数的连续性和可导性时时可导.=在连续解132131(1),(1) 1.212 2 12.(), 1157 1,,,,()(,).(10)lim(2x x f f f x x x f x Ax Bx Cx D x x x A B C D f x f x +=→-⎛⎫''-=-==- ⎪⎝⎭=-<-⎧⎪=+++-≤≤⎨⎪+>⎩-∞+∞--在可导.时设函数时时试确定常数的值使在可导解=3211212)4(1).(1)(22)|2(1)()|(32)|32.(10)(10)12,(1)32(1) 5.43221232 5.{ x x x f A B C D f x f Ax Bx Cx D Ax Bx C A B C f A B C D f f A B C f A B C D A B C A B C D A B C A -=-+=-=--+-=-=-=-+-+''''-=-==-=+++=++=-+-=+++=+=''=++==-+-+=-⎧⎪-+=⎪⎨+++=⎪⎪++=⎩= -9/4, 3/4, 41/4, 13/4}.B C D ===223.()(sin 2)(),()0.()0,,(0).()(0)()sin 222(0)(0),(0)2(0).2sin cos 4.?()() 1.5,.()[1,1],g x x f x f x x g x x g g x g f x xf xg f x x xf xg x f x ==='∆-∆∆'=→∆→=∆∆+--=-222设函数其中在连续问在是否可导若可导求出x 问函数f(x)=与g(x)=为什么有相同得导数1+x 1+x因为设函数在上有定义解x解22(),[1,1]. 1.(0)0,(0)0.0,()(0)()11(00),(0)1,(0)1,(0) 1.x f x x x x f f x f x f f x x xx x f f x x x f +-≤≤+∈-≤≤=∆>∆-∆∆+∆''=≤=∆+→∆→+==∆∆∆'=且满足证明存在且等于类似故证02222222222236.()|4|,().||2,()4,()2.(2)(4)|4,(2)(4)|4,(2),(2)1,.12241,,.1(1)(1)8.()(,),x x f x x f x x f x x f x x f x f x f f x d yy x dxdy d y y x dx x dx x f x +=-='=-'''>=-==-=''''=-=--+=-+==-----∞+∞设求时不存在同理不存在.7.设求设函数在上有定义且满足下解 解=-2:(1)()()()(,);(2)(0)1;(3)0.:(,)()(0)().()()()()()(0)()(0)()(0)()(0),()(0)().1/2, 1/2,9.()0n n f a b f a f b a b f x x f x f f x f x x f x f x f x f x f x x f x f f x f f x x f x f f x x x f x +===''∈-∞+∞=+∆-∆-=∆∆∆-'''=→∆→=∆==列性质为任意实数在处可导证明对于任意都有设证1201/2, 1/2,(1,2,);()(1,2,);, 1/20, 1/2()0?()0?(1/2)(0)1/210(),1/21/22()(0)()(0)00(1/2,0).lim 0,(0)n nn nn n n nn n x x n g x n x x f x x g x x f f n f x f f x f x x f x x+→⎧⎧=⎪⎪===⎨⎨≠≠⎪⎪⎩⎩==-==→→∞--'=→≠→=问在处是否可导在处是否可导解()()102222220.(1/2)(0)1/211(),1/21/222()(0)()(0)00(1/2,0),lim .(0).10.()()[,],()()()().[()()]()2()n n n nn x bb baaabbaa g g n g x g g x g x x g x xy f x y g x a b f x g x dxf x dxg xdx f x tg x dx g x dx t f x g +→=-==→→∞--'=→≠→==≤+=+⎰⎰⎰⎰⎰不存在设及在上连续证明:证()()()()222222222()()0(*),()0,()0,[,],0.()0,2()()4()()0,()()()().bbaab aba bbbaaabbbaaax dx t f x dx g x dx g g x x a b g x dx f x g x dx g x dx f x dx f x g x dx f x dx g xdx +≥==∈>-≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰如果则由的连续性不等式两端都是如果(*)左端的二次函数恒非负,故其判别式非正,2212122111.111()222/2(/2)1,()(),(1),1/2222.222122(),(1).22222/2(/2)(),1/2(1/2(1)(/2)()nn n n n n n n n f x x x x x x x f x f x f x n n n nf x x x f x x f x x n x f x +-+=+++-'==-++++=-''=+++=+++-=--+'=求出函数在点的导数再将函数写成的形式再求由此证明下列等式:1212证121121122(1/2))(1/2)(1/2)(/2(/2)),(1/2)(1/2(1)(1/2))(1/2)(1/2)(1/21/2)(1)1/22(1(1)/2)11/22.21(1)12.(1).(1)n n n n n n n n n n nx x x x n f n n n x nx nx x x x x x ++++--+---++-'=+=-++-=--++++=≠-+++2由类似上题的办法证明1+2x+3x 由等比级数求和公式证111122110011000,1(1(1))(1)()1(1)(1).(1)(1)1113.()[0,1]().()()1().()n n n n n n x x xnx n x x x x n x nx x x x y f x f x dx f x f x dxdx f x dx dx f x +-++-=-++-+-+--++==≠--=≥=≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰2两端求导得1+2x+3x 设在连续且>0证明10证1=1111111/11/11/11114.ln 111()ln 1(0)11111111()ln 1;()1.23231111(1)ln 1.111/1nnn n n n dtx t a n n n nb nc e e n n n dt dtdt n n n t n-++++=⎛⎫<+<> ⎪+⎝⎭⎛⎫+++<<++++<+< ⎪-⎝⎭⎛⎫=+=<= ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰⎰证231111(2)ln lnln 111,12112n n n n n⎛⎫⎛⎫==++++<+++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭111ln 11111111ln ln 11.121(3)1.nn nn n n n n n e een ⎛⎫+- ⎪⎝⎭++⎛⎫⎛⎫=++++>++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+=>= ⎪⎝⎭。
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第二章
一、选择题.
1. 函数1yx在0x处 （ ）
A、无定义 B、不连续 C、可导 D、连续但不可导
2. 设函数221,0(),0xxfxxx，则()fx在点0x处 （ ）
A、没有极限 B、有极限但不连续
C、连续但不可导 D、可导
3．设函数)(xfy可微，则当0x时,dyy与x相比,是（ ）
A．x的等价无穷小 B．x的同阶无穷小
C．x的高阶无穷小 D．x的低阶无穷小
4．函数3yxx的单调增区间是 （ ）
A、3(,)3 B、33(,)33 C、3(,+)3 D、(0,+)
5．函数1()()2xxfxee的极小值点是 （ ）
A、1 B、1 C、0 D、不存在
二、填空题.
1. 已知(sin)cosxx，利用导数定义求极限0πsin()12lim=xxx__________.
2、如果0()4fx，则xxfxxfx)()3(lim000=______________.
3. 函数xxfln)(在1x处的切线方程是 ．
4.设1()fxx,则()fx____ ．
5. 函数3()sin(cos)fxx，则()fx ．
6. 设函数()lncosfxx，则二阶导数()fx______________.
7. (arctan2)dx________，ln(sin2)dx__________.
8. 函数32()39fxxaxx，已知()fx在3x时取得极值，则a=______.
9．设需求量q对价格p的函数为2e100)(ppq，则需求弹性Ep__________.
三、判断题.
1. 若()fx在点0x处可导，则()fx在点0x处连续. （ ）
2. dy是曲线()yfx在点00(,())xfx处的切线纵坐标对应于x的改变量.
（ ）
3. 函数()yfx在0x点处可微的充要条件是函数在0x点可导. （ ）
4. 极值点一定是驻点. （ ）
5. 函数yx在点0x处连续且可导. （ ）
四、计算题.
1.求函数2arctan1yx的导数.
2. 求由方程0ee2yxyx所确定的隐函数()yfx的导数y.
3. 设exyx，求y.
4. 求由方程cos()yxy所确定的隐函数()yfx的二阶导数.y
五、求下列极限.
（1）sinlimsinxxxxx， （2）xxxxxxx4240sin23lim，
（3）11lim1lnxxxx， (4）1lim(1)(0)xxaxa,
（5）10lim1xxx, （6）1lim()xxxxe.
六、应用题.
1. 求函数32()391fxxxx的单调性、极值与极值点、凹凸区间及拐点．
2.某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种
产品的市场需求量为100010qp（q为需求量,p为价格）．试求：(1）成本函数，收
入函数；（2）产量为多少吨时利润最大？
3. 设某产品的总成本函数和总收入函数分别为
()32Cxx
， 5()1xRxx.
其中x为该产品的销售量，求该产品的边际成本、边际收入和边际利润.
4. 某产品的需求量Q对价格p的函数关系为
1
1600(),4pQ
求当3p时的需求价格弹性.
5. 求立方抛物线30yaxa上各点处的曲率,并求xa处的曲率半径.
总习题2答案
一、1. D 2. A 3. C 4. B 5. C
二、1. 0 2. 12 3．1yx 4.21x 5．2333sincos(cos)xxx
6.2secx 7.2214dxx, 2cot2xdx 8. 5 , 9.2p
三、1. √ 2. √ 3．√ 4．× 5．×
四、1.22.(2)1xyxx
2. 22e1.1exyy
3．ee(eln).xxxyxxx
4．sin(),1sin()xyyxy 3cos().1sin()xyyxy
五、(1) 1. (2)1. (3) 1.2 (4)ln.a （5）.e （6）.e
六、1. 函数32()395fxxxx的单增区间是13，，,单减区间是
13，
;极大值是(1)6f,极小值是(3)26f; 极值点为121,3xx.凸区间是
1，，凹区间是1，;拐点是
110，
.
2.(1) 成本函数为 ()200060Cqq．
收入函数为211()(100)100.1010Rqpqqqqq
(2) 利润函数为21()()()402000.10LqRqCqqq
令()0,Lq 得 200.q
因为200q是定义域内唯一的驻点, 所以当产量为200吨时利润最大．
3.边际成本为1'().Cxx 边际收入为25()(1)Rxx.
利润函数为5()()()23.1xLxRxCxxx
边际利润为251()(1)Lxxx.
4. '()2ln2.dpEQppQ (3)23ln26ln2.dE
5. 36221(19).6aKa