《微积分》《高等数学》第二章测试题
高等数学第二章答案2 4
高等数学第二章答案2 4高等数学第二章答案2-4练习2？四1?求由下列方程所确定的隐函数y的导数(1)y2?2xy?9?0??(2)x3?y3?3axy?0?(3)xy?ex?y??(4)y?1?xey?解决（1）获得2yy？？2岁？2xy？？0所以（y？X）y？？YYYYxdy？得到了DX（2）方程的导数3x2?3y2y??2ay?3axy??0??于是(y2?ax)y??ay?x2??是吗？x2y？？2.y?ax(3)方程两边求导数得y?xy??ex?y(1?y?)??于是(x?ex?y)y??ex?y?y??前任？Yyyx?ex?y(4)方程两边求导数得yey?xeyy??于是(1?xey)yey?呃？Y1?xey在点(2a,2a)处的切线方程和法线方程?44求方程两边的导数，得到2？2x3?2y3y0?33112找到曲线X32了吗？y32？A3。
Y1x31y3在点(2a,2a)处y1?44切线方程是y?2a??(x?2a)?即x?y?2a?442正态方程是y?2a?(x?2a)?即x?y?0?44d2y3？求隐式函数y的二阶导数，由以下等式2确定？dx22（1） x？Y1.(2)b2x2?a2y2?a2b2?(3)y?tan(x?y)?(4)y?1?xey?解（1）方程两边的导数得到2x？2yy？？0年？？十、yy?xxy?xy?yy2?x2x1y???()???yy2y2y3y3(2)方程两边求导数得2b2x？2a2yy？？02by2?x?ay2bx)y?x(??2y2y?xy?2abby?2?2??2?Ayay2a2y2？b2x24bb？？2.23? 得到了aa2y3ay（3）方程的导数y??sec2(x?y)?(1?y?)?se2c（x？y）1y221? 秒（x？y）cos（x？y）？12sin（x？y）？二氧化碳（x？y）1 1.2.sin（x？y）y22（1？y2）221y3y？？3(?1?2) 从yyy5（4）方程的两侧获得导数y??ey?xeyyYYYYEE？？Y1.xey1？（y？1）2？是吗？（2？y）？是吗y（3？y）y？e2y（3年）y223（2年）（2年）（2年）4？用对数导数法求下列函数的导数？(1)y?(x)x?1.十、(2)y?55x?5?x2？2倍？2（3？x）4（3）y？？(x?1)5(4)y?xsinx1?ex??解(1)两边取对数得莱尼？xln | x |？xln | 1？X |，两边的导数为11(?x)?x?1?y??lnx?x??ln1yx1?x于是y??(x)x[lnx?1]?1.x1？x1？取X（2）两边的对数lny?1ln|x?5|?1lnx(2?2)?525两边的推导111?1?2xyy5x？525x2？2.3.3?? 1555x？5.[1？1？2x]？2x2?2x?55x?2(3)两边取对数得lny?1lnx(?2)?4ln3(?x)?5lnx(?1)?2两边的推导1y??1?4?5?y2（x？2）3？xx？1x？2（3？x）41？4.5] 那么你呢？？[2（x？2）x？3x？1（x？1）5（4）取两边的对数得到lny?1lnx?1lnsinx?1ln1(?ex)?224两边的推导x111et?ycox?y2x24(1?ex)xx1?ex[1?1coxt?ex]于是y??xsin2x24(1?e)x1ex2xsinx1?e[?2cotx?x]??4xe?15?求下列参数方程所确定的函数的导数阿迪？dx？十、at2（1）？？2岁？英国电信？？十、（1？罪？）(2)??y??cos??2dyy?解(1)?t?3bt?3bt?dxxt？2at2adyy？(2) 余弦罪1sincosdxxxetsint,时dy的值?6?已知?求当t?t3dx?y?ecost.dyyt?etcost?etsintcost?sint解?dxxt?etsint?etcostsint?cost1?3dy221?33?2?当t??时?dx1331？3.227? 在给定参数值的对应点写出下列曲线的切线方程和法线方程？xsint(1)在t??处?4.Ycos2t？十、3at？1.t2（2）？2.t=2？3at？Y1.泰迪？解决方案（1）？T2sin2t？？dxxt?cost?)?2sin(2?dy4??2??22?x?2?y?0当t??时?00?2dx42cos42所求切线方程为?Y22（x？2）？22x？Y2.02所求法线方程为Y1（x？2）？2倍？4y？1.02?226at(1?t2)?3at2?2t6at?(2)yt(1?t2)2(1?t2)23a(1?t2)?3at?2t3a?3at2xt?(1? t2)2(1?t2)2dyyt6at2?2t2?dxxt？3a？3at1？tdy2？24 什么时候？两点钟？？x0？6a？y0？12a？2dx1？2355切线方程是？y?12a??4(x?6a)?即4x?3y?12a?0?正常方程是y?12a?3(x?6a)?即3x?4y?6a?0?545d2y8？求由下列参数方程2确定的函数的二阶导数？dx2??x?t(1)?2?Y1.T十、成本（2）？？y?bsint?。
微积分第二章练习题
第二章练习题一、填空题（每空3分，共18分）1．设函数21,2(),2x x f x x x α⎧+>⎪=⎨+⎪⎩≤，若当2x →时，()f x 的极限存在，则α= ．2．当0x x →时，()f x 以0为极限，则称当0x x →时，()f x 为 ． 3．函数1()cosf x x x=的间断点是 ．4．设当0x →时，2tan 4x 与2ax 为等价无穷小量，则a = ．5．设22,0()01,,1x x f x x x a bx x +⎧⎪=<<+⎨⎪⎩≤≥，在(, )-∞+∞内连续，则a = ，b = ．二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．数列1, 0, 1, 1, 0, 1, --⋅⋅⋅（ ）．A ．收敛于1-B ．收敛于1C ．收敛于0D ．发散2．变量（ ）是无穷小量．A ．ln x （1x →）B ．1e x （0x →） C ．1sinx（0x →） D ．239x x --（3x →）3．函数1()ln(2)f x x =-的连续区间是（ ）． A ．(2, )+∞ B ．(2, 3)(3, )+∞C ．(, 2)-∞D ．[2, 3)(3, )+∞4．当0x →时，极限存在的函数为()f x =（ ）．A ．||,0,00x x x x ⎧⎪⎨⎪=⎩≠ B ．0sin ,||0,0xx x x ⎧⎪⎨⎪=⎩≠C ．202,2,xx x x ⎧+<⎪⎨>⎪⎩ D ．1,21,020x xx x ⎧<⎪⎪+⎨⎪+>⎪⎩5．当0x →时，无穷小量2x α=与1β=-的关系是（ ）．A ．β是比α较高阶无穷小量；B ．β是比α较低阶无穷小量；C ．β与α是等价无穷小量；D ．β与α是同阶非等价无穷小量．三、计算题1．求极限（每小题6分，共42分） （1）42268lim54x x x x x →-+-+； （2）1lim (231x x →-+；（3）3tan sin limx x xx →-； （4）2lim 2x xx x →∞+⎛⎫⎪-⎝⎭；（5）21lim(3sin )3x x x x →∞+++；（6）lim )x x →+∞；（7）1lim1x x →-2．设函数e ,0(),xx f x a x x ⎧<⎪=⎨+⎪⎩≥，应当怎样选择a ，使得()f x 在(, )-∞+∞内连续？（8分）四、综合题（共17分）1．已知2lim1x →=，试确定a 和b 的值．（9分）2．证明方程531x x -=在1与2之间至少存在一个实根．（8分）。
微积分试题及答案【精选】
一、选择题(每题2分)1、设x ƒ()定义域为（1,2），则lg x ƒ()的定义域为（） A 、（0,lg2）B 、（0，lg2]C 、（10,100）D 、（1,2）2、x=-1是函数x ƒ()=()221x x x x --的（） A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、无穷间断点 D 、不是间断点3、试求0x →A 、-14B 、0C 、1D 、∞ 4、若1y xx y+=，求y '等于（） A 、22x y y x -- B 、22y x y x -- C 、22y x x y-- D 、22x yx y +-5、曲线221xy x =-的渐近线条数为（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 6、下列函数中，那个不是映射（）A 、2y x = (,)x R y R +-∈∈ B 、221y x =-+C 、2y x = D 、ln y x = (0)x >二、填空题（每题2分） 1、__________2、、2(1))l i m ()1x n xf x f x nx →∞-=+设 （，则 的间断点为__________3、21lim51x x bx ax→++=-已知常数 a 、b,，则此函数的最大值为__________ 4、263y x k y x k =-==已知直线 是 的切线，则 __________5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ，在点（，）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分）1、221x y x =+函数是有界函数 ( )2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( )3、limββαα=∞若，就说是比低阶的无穷小 ( ) 4、可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题（每题6分） 1、1sin xy x=求函数 的导数2、21()arctan ln(12f x x x x dy =-+已知），求 3、2326x xy y y x y -+="已知，确定是的函数，求 4、20tan sin lim sin x x xx x→-求 5、计算6、21lim (cos )x x x +→计算 五、应用题1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2)100R x x x =-（，总成本函数为2()20050C x x x=++，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？（8分） 2、描绘函数21y x x=+的图形（12分） 六、证明题（每题6分）1、用极限的定义证明：设01lim (),lim ()x x f x A f A x+→+∞→==则 2、证明方程10,1xxe =在区间（）内有且仅有一个实数一、选择题1、C2、C3、A4、B5、D6、B 二、填空题1、0x =2、6,7a b ==-3、184、35、20x y +-= 三、判断题1、√2、×3、√4、×5、× 四、计算题 1、1sin1sin1sin ln 1sin ln 22))1111cos ()ln sin 1111(cos ln sin )xxx xx xy x ee x x x x x x x x x x x'='='⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦=-+（（2、22()112(arctan )121arctan dy f x dxxx x dx x xxdx='=+-++= 3、 解：2222)2)222302323(23)(23(22)(26)(23x y xy y y x yy x y y x y x y yy y x y--'+'=-∴'=--'----'∴''=-4、解：2223000tan sin ,1cos 21tan (1cos )12lim lim sin 2x x x x x x x x x x x x x x x →→→--∴==当时，原式=5、解：65232222261)61116116(1)166arctan 6arctanx t dx t tt t t t t tt t C C===+=++-=+=-+=-+=-+⎰⎰⎰⎰令原式（6、 解：201ln cos 01limln cos 20200012lim 1lim ln cos ln cos lim 1(sin )cos lim 2tan 1lim 22x xx x xx x x x x e ex xxx x x xx x e++→++++→→→→→-===-=-==-∴= 原式其中：原式 五、应用题1、解：设每件商品征收的货物税为a ，利润为()L x222()()()100(20050)2(50)200()45050()0,,()4(50)41(502)410250225L x R x C x axx x x x ax x a x L x x aaL x x L x a a ax T a T a T a =--=--++-=-+--'=-+--'==-='=-'==''=-<∴=令得此时取得最大值税收T=令得当时，T 取得最大值2、 解：()()2300,01202201D x y x x y x y x y x =-∞⋃+∞='=-'==''=+''==-，间断点为令则令则渐进线：32lim lim 001lim x x x y y y x y y x y x x→∞→→∞=∞∴=∴=+==∞∴无水平渐近线是的铅直渐近线无斜渐近线图象六、证明题 1、 证明：lim ()0,0()11101()1lim ()x x f x AM x M f x A x M M M x f A x f A x εεξε→∞→∞=∴∀>∃>>-<><<>∴-<= 当时，有取=，则当0时，有即。
高等数学第二章导数与微分综合测试卷
精品文档第二章 综合测试题 A 卷一、填空题 （每小题 4 分 ,共 20 分）1、设函数f (x) x x , 则 f (0) =. 、设函数 f (x) xe x 则f (0) =.2,3、设函数 f (x) 在 x 0 处可导 ,且 f ( x 0 ) =0, f ( x 0 ) =1, 则 lim nf ( x 01) =.nn4 y x22x 8上点处的切线平行于 ,处的切线与 x 轴正向、曲线 x 轴 点的交角为.45、 d=e x dx二、 选择题 （每小题 4 分,共 20 分）1 x 1x1、设函数 f (x)x在 x0 处[]1x2（ A ） 不连续 （ B ） 连续但不可导（ C ） 二阶可导 （ D ）仅一阶可导2y ax 2与曲线 y ln x 相切 , 则 a 等于[ ]、若抛物线 （A ） 1（ B ）1 （ C ）1（D ）2e22e3、设函数 f (x)x ln 2x 在 x 0 处可导 , 且 f (x 0 ) 2 , 则 f ( x 0 ) 等于[]（A ） 1（ B ）e （ C ）2（D ） e2e4、设函数 f (x) 在点 xa 处可导 , 则 lim f ( a x)f (a x) 等于[]x 0x（A ） 0 （ B ）f (a)（ C ）2 f (a) （D ） f (2 a)5、设函数 f ( x) 可微 , 则当 x 0 时, y dy 与 x 相比是[]（ A ）等价无穷小（ B ）同阶非等价无穷小（ C ）低阶无穷小（D ）高阶无穷小三、解答题1、（ 7 分）设函数2、（ 7 分）设函数f (x) (x a) (x) ,( x) 在 x a 处连续,求 f (a) .f (x) x a a a x a a a x,求f ( x).3、（8 分）求曲线x sin t在 t 处的切线方程和法线方程 . y cos2t 64、（7 x 1sin y 0 所确定的隐函数d 2 y分）求由方程y y 的二阶导数 2 .2 dx5、（7 分）设函数 y ( x a1) a1 ( x a2 )a2 L (x a n ) a n, 求 y .x2 x 11 处6、（ 10 分）设函数f ( x)2 , 适当选择 a, b 的值,使得 f ( x) 在 xax b x 1 22可导 .7 7分）若y f (x) xf ( y) x ,其中 f (x) 为可微函数,求dy .、（ 2 28、（7 分）设函数 f (x) 在 [ a,b] 上连续,且满足 f (a) f (b) 0, f (a) f (b) 0 , 证明: f ( x) 在 (a,b) 内至少存在一点 c ,使得 f (c) 0 .综合测试 A 卷答案一、填空题1、 02、 23、 14、（1,7）, ( 3 ,29) 5 、 e x24二、选择题1、（ C ）2、（ C ）3、（ B ）4、（ C ）5、（ D ）三、解答题1、 f ( a)lim f ( x)f (a)lim( xa) ( x)(a) .x ax axax a2、 f ( x) a a x a a 1 ax a 1a xaln a a x a a x ln 2 a .、切线方程 y 12( x 1 ) , 即 4x2 y3 0 .322法线方程y 1 1( x1) , 即 2x 4y 1 0 .2224、d 2 y4sin y3.2(cos y 2)dxa 1a 2L a nn( x a i ) a i )( na i5、 由对数求导法， 得 yy() ( )x a 1x a 2x a n i 1i 1 x a i6、 a1,b147两边微分得2 yf ( x)dy y 2 f ( x) dx f ( y)dx xf ( y)dy 2xdx 即dy 2 x y 2 f ( x) f ( y)2 yf ( x) xfdx .( y)8、证明因为 f ( a) f (b) 0 , 不妨设 f (a) 0, f (b) 0f (a)lim f ( x)f (a)lim f ( x) 0 , 则 存 在10 , 当 x 1 (a, a1)时 ,xax a x a x af ( x 1 )0 , 又因为 x 1a , 所以 f (x 1)0 .同理可知存在 20 , 当 x 2 (b2 ,b)x 1 a精品文档时 , f ( x2 ) 0 ;又因为 x2 b ,所以 f ( x2 ) 0 ,取适当小的1 , 2,使得 a 1 b 2 ,则x2 bx1 x2,因为 f ( x) 在 [ a, b] 上连续,则 f ( x) 在 [ x1, x2 ] 上连续,且 f (x1) 0 , f ( x2 ) 0 . 由零点存在定理知至少存在一点 c ,使得 f (c) 0 ,证毕.精品文档第二章 综合测试题 B 卷一、填空题 （每小题 5 分,共 30 分） 1、 y x na 1x n 1 a 2 x n 2 L a n 1 x a , 则 y n.x at 2d 2 x2、 y bt3 ,则dy 2.3、 y x 6 x 2 321 x2 , 则 y '.4、 x 22xyy 2 2x , 则dy.dx5、 y x 1x 11 , 则 y.x 1xx16、 ye x cos x , 则 y n.二、选择题 （每小题 5 分,共 30 分）1、若3 , 则 lim f x 0 h f x 0 3h[].f ' xh 0h（A ） 3（B ） 6（C ） 9（D ） 122、设 f x x x ,则 f ' 0[]..（A ）0（B ） 1（C ） 1（D ）不存在3、若 fx 为可微分函数 , 当 x0 时 ,则在点 x 处 , y dy 是关于 x 的[].（ A ）高阶无穷小（ B ）等价无穷小 （C ）低阶无穷小 （ D ）同阶不等价无穷小4、设 yfe x ef x,且 f 'x 存在 , 则 y '[ ].（ A ） f ' e x e f xf e xe f x（ B ） f ' e xe f x f ' x（ C ） f ' e x e xe f xf e x e fxf ' x（ D ） f ' e xe f x5、设 e x e y sin xy , 则 y ' x 0[].（A ） 0（B ） 1（C ） 1（D ） 2精品文档6、若函数y f x ,有f ' x0 1x 0 时 ,该函数在x x0处的微分 dy 是[ ]. ,则当2（A ）与x 等价的无穷小（ B）与x 同阶的无穷小（ C）比x 低阶的无穷小（ D）比x 高阶的无穷小三、计算题（每小题 8 分 ,共 40 分）1、设f ( x) e2x b, x 0,问a, b为何值时f ( x)在x 0处可导. sin ax, x 02、y arccos x ln 2 arccos x ln arccos x 1 x 1 , 求dy.22 dx3、求曲线x 2t 3 arctan t在 x 3 处的切线方程. y 2 3t ln 1 t 21x, 求y '14、y 1 .x 2、求y n 已知y 1.5 ,x2 3x 2精品文档综合测试题 B 卷答案一、填空题1、2、2a 3、x 2 1 x 2 x6 6x 2 6n!3 29b2t 4 x2 1 x 2 x4、xy 1 5、1 x 2nx n6、e x cosy x x2 1 4二、选择题1、 (D)2、 (A)3、 (A)4、(C)5、 (B)6、 (B)三、计算题1、当a 2f ( x) 在x 0处可导. b时 ,12、y 2u ln 2 ug 1 2 arccos xgln 2 arccos x x 1 .1 x2 1 x23、切线方程为y 2 x 3 ,即x y 5 .4、y' 1 3 ln 3 2 .2 35、提示y1 1 1x 1 x 1 1 3x 2 x 2 x 12 , x2则 y n 1 n! 1 n 1 1 n 1 .nx 2 x 1。
高等数学(超星尔雅)第2章导数与微分试卷
学号：______________ 班级：______________ 姓名：______________第2章 导数与微分一、填空题1. 设()y y x =由参数方程32ln(1)x t t y t t =-+⎧⎨=+⎩所确定，则22d ydx =_____________； 2. 已知：232(),()arctan ,32x y f f x x x -'==+则x dy dx ==_____________；3. 设(3)2f '=，则0(3)(3)lim 2h f h f h→--=_____________；4. 若()(1)(2)(1000),f x x x x x =+++，则(0)f '=_____________；5. 曲线2y ax bx c =++与x 轴相切，则,,a b c 满足：_____________；6. 设1yy xe =+，则2201x y d ydx===_____________；7. 利用微分可求得cos149的近似值为_____________。
二、选择题1. 设()()()f x a bx a bx ϕϕ=+--，其中()x ϕ在(,)-∞∞内有定义，且在x a =处可导，则(0)f '=（ ）； .A 2a ； .B 2b ； .C 2()b a ϕ'； .D 2()a ϕ'2. 曲线2,ttx e y e -==，在点0t =处的切线方程为：（ ）；.A 240x y +-=； .B 240x y +-=；.C 240x y ++=； .D 240x y ++=3. 若函数()f x 和()g x 在0x 处都没有导数，则()()(),()()()F x f x g x G x f x g x =+=-在0x处（ ）；.A 一定都没有导数； .B 一定都有导数； .C 至少有一个有导数； .D 至多有一个有导数。
微积分 II 考试试卷
(A) tan x2 (B) 2x sec x2 (C) tan b2 tan a2 (D) 03. 下列叙述正确的是( )．(A) 若f (x, y) 在(x , y ) 连续，则函数在(x , y ) 必偏导数存在；0 0 0 0(B) 若f (x, y) 在(x , y ) 偏导数存在，则函数在(x , y ) 必连续；0 0 0 0(C) 若f (x, y) 在(x , y ) 偏导数存在，则函数在(x , y ) 必可微；0 0 0 0(D) 若f (x, y) 在(x , y ) 可微，则函数在(x , y ) 必连续.0 0 0 04. 设二重积分ϕϕ f (x, y)dxdy ，其中D 由y 轴, y = 1及y = x 围成的区域，D则下列对积分区域的表示正确的是( ) .(A) ：D = {(x, y) | 0 < x < 1,0 < y < 1} (B)：D = {(x, y) | 0 < x < 1, x < y < 1}(C) D = {(x, y) | 0 < y < 1,0 < x < 1} (D) D = {(x, y) | 0 < y < 1, y < x < 1}5. unn=1(A) u +10 (B) u 2 (C) 1(D) un=1 n=1 n=1 n n=1.A(1)n nn +1n=1 B(1)n 1nn=11. 下列广义积分发散的是( ) .2.d ϕ b tan x 2 dx = ( ) .dx a ϕ 1 1 dx 0 x 2(A)ϕ + 1 dx (B) ϕ + x dx ϕ 1 1 dx1 x3 0 0 3 xn n u +10 n 一．选择题C xw(- 1)n1n nn =17.x (x - 1)n2n nDxwn =1(-1n 3n[- 1,3) (- 1,3](- 1,3)[- 1,3]( ).(y ,+ xy = 0 y ,+ xy 2 = 0( y , + xy = 0 ((y ,)2 + xy = 09.y , - 4y ,+ 3y = 0 .y = c e x + c e 3xy = e x + e 3x 1 2y = c e xy = e x + c e 3x1 2二、填空题 ．2. j1x sin 2 xdx = j xsin t dt 3.lim 02t = x )0xj 2dy jy 2f (x, y)dx 交换积分次序后的二重积分为5. 0 y 27. j11dx =1+ x1.djx 2sin tdt =dx x．4. j 4e x dx =．．．.-1 1+ x 4dz8. u = x y , x = e t , y = 2t ，则= ．dt9. xdx + y2dy = 010. ()n .n=12n .11n!n=112. y = 2xy三、计算题ϕ 1 ln xdx .1. 求积分ϕ e 3 1 dx .2. 计算反常积分x(1 + ln x) 013. e xy 2z+ e z = 0,4. f (x, y) = x2 + 5y2 6x +10 y +1.ϕϕe x2 + y2 dxdy ，其中D 是由x2 + y2 4 所围成区域.5. 求二重积分D6. ϕϕ (x + 6y)dxdy D y = 5x, y = x, x = 1 .D5. xy2dy = (x3 + y3 )dx8.. 微分方程y 4y+ 3y = e2x 的通解四、应用题.10 y = x2 , x = yy2 = x x y 2 = 0.n +3 .2nn =1(1)n 1n 2 +1五、 1n cos n =1。
高等数学第二章导数与微分习题
h0
h
lim f ( x) f ( x x) f ( x) .
x0
x
lim f ( x x) f ( x x)
x0
x
lim f ( x x) f ( x) f ( x) f ( x x)
x0
x
lim f ( x x) f ( x) lim f ( x) f ( x x)
习题课
f (a) lim f ( x) f (a) lim ( x a)F ( x) 0
xa x a
xa
xa
1
lim ( x a)F ( x) 0
x a 0
xa
g
(a
)
x
lim
a 0
g(
x) x
g(a a
)
2
例2.
研究函数
f
(
x
)
1 x 1 x
解 . lim f ( x) lim
x0
x
x0
x
14
例16 .
f
(
x)
ln x
(1
x)
x0 x0
求 f ( x) .
)[
f (0 0) f (0) ln(1 x) x0 0 ,
0
f (0 0) lim x 0 , f ( x) 在 x 0 处连续 .
x 0
f (0)
ln(1
x)
x
0
1
1
x
1
x0
f (0)
lim
(n)
(1)n n! ( x 1)n1
,
23
例24 . 试从 d x 1 导出: d y y
1.
d d
2x y2
厦门理工学院高数练习题答案第二章答案高数
19高等数学练习题 第二章 导数与微分 系 专业 班 姓名 学号第一节 导数概念 一．填空题一．填空题1.若)(0x f ¢存在，则xx f x x f x D -D -®D )()(lim000= )(0x f ¢-2.hh x f h x f h )()(lim 000--+®= )(20x f ¢ ， 又当0)0(=f 时x x f x )(lim 0®= )0(f ¢ 3.设20-=¢)(x f , 则=--®)()2(lim )000x f x x f x x 414.已知物体的运动规律为2t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒）5.曲线x y co s =上点（3p，21）处的切线方程为03123=--+p y x ，法线方程为 0322332=-+-py x 6.用箭头⇒或⇏表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系，表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， 可微可微 Û 可导可导 Ü/Þ 连续连续 Ü/Þ 极限存在。
极限存在。
二、选择题二、选择题1．设0)0(=f ,且)0(f ¢存在，则xx f x )(lim 0®= [ B ] （A ）)(x f ¢ ( B) )0(f ¢ (C) )0(f (D) 21)0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则xx b x f x a x f x D D --D +®D )()(lim= [ B] （A ）)(x f ¢ ( B) )()(x f b a ¢+ (C) )()(x f b a ¢- (D) 2ba +)(x f ¢3. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分）必要但不是充分 （C ）充分必要）充分必要 （D ）即非充分也非必要）即非充分也非必要 4．设曲线22-+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为的坐标为 [ B ] （A ）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0)(D) (1,1)5.5.设函数设函数|sin |)(x x f =，则，则 )(x f 在0=x 处 B ] ] （A ）不连续。
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《微积分》第二章测试题
1. 【导数的概念】已知()23f '=，求()()
22lim
h f h f h h
→+--
解()()
()()
()()()0
0222222lim lim 226h h f h f h f h f f h f f h
h h →→+--+---⎛⎫'=+== ⎪-⎝⎭
2. 设函数cos ln x
y x e
a -=++，求
d y d x
解
sin x
dy x e
dx
-=--
3. 设函数arctan
x
y e
=，求
d y d x
解
d y d x
()
arctan arctan
1
1
1221x
x
e
e x x
x x =⋅
⋅
=
++
4. 设函数2
sin cos 2y x x =，求
d y d x
，
x dy dx
=
解()2
2
2
2
4
sin cos 2sin 12sin sin 2sin y x x x x x x ==-=-
()()3
2
2
2sin cos 8sin cos 2sin cos 14sin sin 214sin dy x x x x x x x x x dx
=-=-=-，
0x dy dx
==
5. 【函数的微分，记得加dx 】设函数2
sin 2x y x
=
，求dy
解2
4
3
3
2cos 22sin 22cos 22sin 22cos 22sin 2,dy x x x x
x x x
x x x
dy dx dx
x
x
x
---==
∴=
6. 【高阶导数】设函数11
y x =
-，求
n
n
d y dx
解
()
()
()
()
()
()
()
2
3
1
2
3
4
1
23
!
11,
21,
3!1,,
1n
n
n n
dy d y d y d y n x x x x dx
dx
dx
dx
x ----+'
=
-=--=-=--=--
7.【隐函数求导】 设函数()y y x =由方程2
sin 20xy y -=确定，求
d y d x
解 等式两边同时对x 求导2
22sin 20,y xyy y y ''+-=则
()
2
2
2
2sin 222221dy y
y
y y dx
y xy
xy xy
x y '==
=
=
---
8. 求曲线y x =
在点()4,2处的切线方程 解41114
224
x y y x
=''=
∴=
=
切线方程为114
y x =
+
9. 设函数()2,1
,,1
x x f x a bx x ⎧≤=⎨
+>⎩在1x =处可导，求常数,a b 的值 解 由()f x 在1x =处可导，则()f x 在1x =处连续
()()()()()2
1
1
1
1
1
1
lim lim 1,lim lim ,lim lim 1x x x x x x f
x x f
x a bx a b f
x f
x a b --+--+→→→→→→=
==
+=+=
+= 则有
()()()()()2
1
1
1
1
1
11111
lim lim lim 12,lim lim 1
1
1
1
x x x x x f x f x a bx b bx f x x f x b x x x x -
-
-+
+
-+→→→→→--+--+-''===+====----
()(),2f x f x b -+''==则有，所以11a b =-=-，综上所述1,2a b =-=
10. 【幂指类函数求导数等式两边先取对数】设函数()
sin tan x
y x =，求
d y d x
解对()s i n
t a n x y x =两边同时取对数得，ln sin ln tan y x x =等式两边同时对x 求导得
()
()s i n
22
111s i n c o s l n t a n
s i n t a n c o s l n t a n t a n 11t a n x d y
x y x x x x x
x y
x x d x
x x ⎛
⎫
' ⎪=+⋅⋅∴=+ ⎪++⎝
⎭
11. 已知某商品的成本函数为求()2
3
156C x x x x =-+()x 为产量，单位：件，试问：生产数量为多少
件时，可使平均成本最小？ 解 平均成本为()()()2
3
2
1561560C x x x x
C x x x
x x
x
-+=
=
=-+≥
()()62,3C
x x C x x '
'∴=-+=令=0,则
()()()()30,30,x C
x C x x C x C x '
'<<>> 当时，有则单调递减；当时，有则单调递增
所以当()36x C x ==时平均成本最小，且平均成本为 即生产数量为3件时，可使平均成本最小，且为6。