人教版八年级数学专题复习 两个等腰直角三角形共点专题

两个等腰直角三角形共点专题
共锐角顶点直角开口方向相反 基本方法：
△EDB 中与△ABC 不共顶点B 的那条线段DE 平行移到另外等腰三角△ABC 的底边BC 的另一个点C 处的CF 。

(3)
(1)
典型例题 同侧型 ：
连接DC(不共顶点的两个底角点的连线)，M 是中点，求EM,AM 的大小关系
.
C
A
C
A
C
A
方法：平移DE 到CF ，或倍长EM 到MF 思路:证明△AEB ≌△AFC 关键:证明∠ABE =∠ACF 方法：∵DE ⊥BE
∴CG ⊥BG
∴∠ABE =∠ACF
回头看：1.△ABC 和△
AEF 是共直角顶点旋转
2.四边形GBCA 是共斜边的两个直角三角形共圆（外垂直） 对侧型：
G
F
A
四边形ABGC 对角互补，共圆
推广：两个等腰三角形，顶角互补也可以平移，或中线倍长
提高 ．如图，在等腰Rt △ABC 与等腰Rt △DBE 中, ∠BDE=∠ACB=90°,且BE 在AB 边上,取AE 的中点F,CD 的中点G,连结GF.
（1）FG 与DC
的位置关系是
,FG 与DC 的数量关系是 ； （2）若将△BDE 绕B 点逆时针旋转180°，其它条件不变,请完成下图，并判断（1）中的结论是否仍然成立? 请证明你的结论.
两个方法：已知：在△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM ，和CAN ，P 是边BC 的中点．求证：PM ＝PN
正方形 逆向
15、请阅读下列材料问题：如图，在正方形ABCD 和平行四边形BEFG 中，点A 、B 、E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接PG 、PC 。

探究：当PG 与PC 的夹角为多少度时，平行四边形BEFG 是正方形？
小聪同学的思路是：首先可以说明四边形BEFG 是矩形；然后延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理可以探索出问题的答案。

请你参考小聪同学的思路，探究并解决这个问题。

（1）求证：四边形BEFG 是矩形；
（2）PG 与PC 的夹角为多少度时？四边形BEFG 是正方形，请说明理由。

B
A
C
B
D
A
F
E G
C
14、正方形ABCD和正方形CEFG，M为AF的中点，连接MD、ME．
⑴如图①，B、C、G依次在同一条直线上，求证：△MDE等腰直角三角形；
⑵如图②，将正方形CEFG绕顶点C旋转45°．使B、C、F依次在同一条直线上，则△MDE的形状是
⑶如图③、将正方形CEFG任意旋转，设∠DCE=α°，猜想△MDE的形状？写出你的结论并给予证明．
反开口，两个中点变一个中点再找关系
19.如图，△ABO与△CDO均为等腰三角形，且∠BAO=∠DCO=90°，M为BD的中点，MN⊥AC，试探究MN与AC的数量关系，并说明理由。

**反开口，角平分线对角互补模七
直角坐标系中，点B（a，0），点C（0，b），点A在第一象限．若a，b满足（a-t）2+|b-t|=0（t＞0）．
（1）证明：OB=OC；
（2）如图1，连接AB，过A作AD⊥AB交y轴于D，在射线AD上截取AE=AB，连接CE，F是CE的中点，连接AF，OA，当点A在第一象限内运动（AD不过点C）时，证明：∠OAF的大小不变；
（3）如图2，B′与B关于y轴对称，M在线段BC上，N在CB′的延长线上，且BM=NB′，连接MN交x轴于点T，过T作TQ⊥MN交y轴于点Q，求点Q的坐标
反开口模六
在直角坐标系中, 直线y＝x＋4交x轴于A ,交y轴于B, △AEF为等腰Rt△, ∠AEF＝90°, 连BF, M为BF中点.
(1) 连EM、OM, 问OM与EM的关系是, 并证明;
(2) 当△AEF绕A点旋转如图位置时, EM与OM的关系是否变化, 画图并说明理由;
(3) 若P为AB中点, G为第三象限内一点, 且∠AGO＝90°, 求GA+GO/GP的值.
反开口模型把中线位长作出来了（平行四边形，也就隐含了中点）
已知△ABC和△ADE分别是以AB.AE为底的等腰直角三角形，以CE,CB为边作平行四边形CEHB，连DC，CH.
(1)如图(1)，当D点在AB上时，则∠DEH的度数为_____；CH与CD的数量关系是_________，并说明理由，’
(2)将图(1)中的△ADE绕A点逆时针旋转45°得图(2)：则∠DEH的度数为______，CH与CD之间的数量关系为________．
(3)将图(1)中的△ADE绕A点顺时针旋转α（O°<α<45°）得图(3)，请探究CH与CD之间的数量关系，并给予证明．
找隐性反开口模型
4、如图，ABCD 、DFGE 均为正方形，连AG ，作AG 的中点H ，连BH 。

（1）求BH ：HE 的值。

（2）当正方形ABCD 绕点D 旋转时，上述结论是否改变？画图，直接写出结论。

反开口
例1、如图，以△ABC ，AB 、AC 边构造等腰Rt △ABD 、等腰Rt △ACE ，M 、N 、P 分别是AD 、AE 、BC 中点，求线段PM 、
PN 的关系。

P
A
B
C
D
E
N
M
变式1：若P 为DE 中点，求线段BP 、CP 的关系；
E
D
C
B
A
P
变式2：若以△ABC ，AB 、AC 边为直角边构造Rt △ABD 、Rt △ACE ，且∠DAB=∠CAE=α，P 为DE 中点，求BP 、CP 的数量关系；
A
D
B
P
E
C
变式3：若以△ABC ，AB 、AC 边为斜边构造Rt △ABD 、Rt △ACE ，且∠DAB=∠CAE=α，P 为BC 中点，求DP 、EP 的数量关系；
C
E
P
B D
A
反开口 24．（本题10分）已知正方形AEFG 的边AE 、AG 分别在正方形ABCD 的边AB 、AD 上。

点O 为正方形AEFG 的对称中
心，点M 为CE 的中点，连OB 、MB 。

（1）如图1，求FO CO
BC 的值，并证明；
（2）求
BM
OB
的值，并证明； （3）将图1中的正方形AEFG 绕点A 旋转180°至图2的位置，请直接写出
BM
OB
的值。

反开口,一中点
1．已知，DE =DA ，CA =CB ，∠DAE =∠CAB ，D 、A 、B 在一条直线上. （1）如图1，P 、M 、N 分别为EB 、AD 、AC 的中点，∠BAE =120°，
①求证：BE =2MN ； ②求∠PNM 的度数.
（2）如图2，点P 、M 、N 分别为CD 、AE 、AB 的中点，∠BAE =135°，
①求∠MNP 的度数； ②求
CD
BE
的值
.
G
E
A
图1
F
图2
反开口两中点
2．如图，△ACB、△AED都为等腰直角三角形, ∠AED＝∠ACB＝90°, 点D在AB上, 连CE，M、N分别为BD、CE的中点.
（1）①求证：MN＝
2
1CE; （提示：将MN构造为某三角形的中位线.）
②求证：MN⊥CE.
（2）如图，将△ADE绕A点逆时针旋转一个锐角,（1）中结论①和②是否仍成立,
反开口,作了平行四边形后
19．如图，△ABC和△ADE分别是以AB、AE为底的等腰直角三角形，点D在AB上，点E在AC上，以CE、CB 为边作□CEHB，连DC、BE.
（1）求证：HE=AC；
（2）探究：BE与CD之间的数量关系，并证明.
反开口和斜边中线，内垂直
2. 如图1，正方形ABCD中，点M在AB上，点N在CD上，点P在BC上，MN⊥AP于E.
（1）求证：AP=MN；
（2）如图2，点F在MN上，若EF=EA，连CF，点G为CF的中点，连DG，求证：DE；
（3）在（2）的条件下，若DA=DE，且
3
2
DN=，BM=2，求DG的长.
E
D
A C
M
B
E
N
(3)由DA=DE,可得四点AEND 共圆(未用)和Rt △AEP,得TN=ND=1.5,边长为5
P
D
B
反开口，求长度
24、 (1) 将两块不全等的等腰Rt △ABC 和Rt △AED 如图1摆放, G 为线段DC 的中点, 连接BG 、EG, 求证: BG=EG, BG ⊥EG;
(2) 将图1中△AED 绕点A 顺时针旋转45°, 连接EB, 再将△AEB 绕点E 顺时针旋转90°, 至△EDH 处, 连接BD 、CH, G 为CD 中点, 连接BG 、EG. 如图2, 四边形BDHC 是何种特殊四边形? 写出你的结论, 并说明理由; (3) 图2中，若AE ＝
1，EG ＝32，求BD 的长度。