新人教版八年级下册相似三角形知识点
相似三角形知识点归纳(全)
《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题知识点１ 有关相似形得概念(1)形状相同得图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单得就是相似三角形、(２)如果两个边数相同得多边形得对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多 边形、相似多边形对应边长度得比叫做相似比(相似系数)、知识点2 比例线段得相关概念、比例得性质(1)定义: 在四条线段中,如果得比等于得比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段、 注:①比例线段就是有顺序得,如果说就是得第四比例项,那么应得比例式为:、 ② 核心内容:(2)黄金分割:把线段分成两条线段,且使就是得比例中项,即,叫做把线段黄金分割,点叫做线段得黄金分割点,其中≈0、618、即 简记为:注:①黄金三角形:顶角就是３６０得等腰三角形 ②黄金矩形:宽与长得比等于黄金数得矩形 (３)合、分比性质:。
注:实际上,比例得合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比得前项,后项之间 发生同样与差变化比例仍成立、如:等等、（4）等比性质:如果,那么、知识点3 比例线段得有关定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,已知A Ｄ∥BE ∥C Ｆ,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF =====或或或或等。
特别在三角形中:由ＤE ∥B Ｃ可得:知识点４ 相似三角形得概念(1)定义:对应角相等,对应边成比例得三角形,叫做相似三角形、相似用符号“∽”表示,读作“相似于” 。
相似三角形对应边得比叫做相似比(或相似系数)、相似三角形对应角相等,对应边成比例、注:①对应性:即把表示对应顶点得字母写在对应位置上 ②顺序性:相似三角形得相似比就是有顺序得。
③两个三角形形状一样,但大小不一定一样、 ④全等三角形就是相似比为１得相似三角形、(2)三角形相似得判定方法B1、平行法:(图上)平行于三角形一边得直线与其它两边(或两边得延长线)相交,所构成得三角形与原三角形相似。
八年级数学三角形相似的条件
(相似三角形对应边成比例).
E
N
F
开启
智慧
联想的功能
猜一猜: 相似三角形对应角平分线的比与相似比的关系. 相似三角形对应角平分线的比等于相似比.. A 理由是: 如图∵△ ABC∽ △DEF.∴∠B = ∠E, ∠BAC= ∠EDF.又∵AM,DN分别是 B C M D ∠BAC和∠EDF的角平分线. ∴∠BAM=∠EDN. ∴△ AMB∽ △DNE. (两角对应相等的两个三角形相似).
拓展延伸
如图△ABC中，D、E、F分别是所在边的 中点，问：图中有哪些三角形相似？
拓展延伸
将两块完全相同的等腰直角三角形放成如 图所示的样子，图中有相似三角形吗？如 果有，请一一写出来，并说明理由。
小结与思考
你掌握了哪些判定三角形相似的方法？
开启
智慧
联想的功能
猜一猜: 相似三角形对应高的比与相似比的关系. 相似三角形对应高的比等于相似比..理由是:A 如图∵△ ABC∽ △DEF.∴∠B = ∠E. 又∵∠AMB = ∠DNE =900. B C ∴△ AMB∽ △DNE. M D (两角对应相等的两个三角形相似).
☞ 回顾与反思
相似三角形知多少
三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形, 叫 做相似三角形(similar trianglec) 相似三角形的各对应角相等，各对应边对应成比例. 如果△ ABC∽ △DEF,那么 ∠A = ∠D,∠B = ∠E,∠C = ∠F. D
AB AC BC DE DF EF
随堂练习
2、如图，直线DE交△ABC的边AB、AC 于D、E，要使△ADE∽△ACB，需添加 一个条件，下列所添条件错误的是（ ） A．∠1=∠B B．∠ADE=∠C C．DE∥BC D．∠B+∠DEC=180°
初中相似三角形知识点归纳
初中相似三角形知识点归纳分享借鉴.初中相似三角形知识点11.相似三角形定义:对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形.2.相似三角形的表示方法:用符号∽ 表示,读作相似于 .3.相似三角形的相似比:相似三角形的对应边的比叫做相似比.4.相似三角形的预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所截成的三角形与原三角形相似.从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的对应边相等的条件改为对应边成比例就可得到相似三角形的判定定理,这就是我们数学中的用类比的方法,在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法.6.直角三角形相似:(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似.(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的`斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.7.相似三角形的性质定理:(1)相似三角形的对应角相等.(2)相似三角形的对应边成比例.(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.(4)相似三角形的周长比等于相似比.(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.8. 相似三角形的传递性如果△ABC∽△A1B1C1,△A1B1C1∽△A2B2C2,那么△ABC∽A2B2C2初中相似三角形知识点21.相似三角形的定义对应角相等.对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.如果三边分别对应A,B,C和a,b,c:那么:A/a=B/b=C/c即三边边长对应比例相同.2.相似三角形判定对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似(AA)判定定理2:如果两个三角形的两组对应边成比例,并且对应的夹角相等,那么这两个三角形相似(SAS)判定定理3:如果两个三角形的三组对应边成比例,那么这两个三角形相似(SSS)判定定理4:两三角形三边对应平行,则两三角形相似.判定定理5:两个直角三角形中,斜边与直角边对应成比例,那么两三角形相似.其他判定:由角度比转化为线段比:h1/h2=Sabc3.相似三角形性质(1)相似三角形的对应角相等.(2)相似三角形的对应边成比例.(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.(4)相似三角形的周长比等于相似比.(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.初中相似三角形知识点3一.平行线分线段成比例定理及其推论:1.定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.2.推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.3.推论的逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条线段平行于三角形的第三边.二.相似预备定理:平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.三.相似三角形:1.定义:对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形.2.性质:(1)相似三角形的对应角相等;(2)相似三角形的对应线段(边.高.中线.角平分线)成比例;(3)相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.说明:①等高三角形的面积比等于底之比,等底三角形的面积比等于高之比;②要注意两个图形元素的对应.3. 判定定理:(1)两角对应相等,两三角形相似;(2)两边对应成比例,且夹角相等,两三角形相似;(3)三边对应成比例,两三角形相似;(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角对应成比例,那么这两个直角三角形相似.四.三角形相似的证题思路:五.利用相似三角形证明线段成比例的一般步骤:一定:先确定四条线段在哪两个可能相似的三角形中;二找:再找出两个三角形相似所需的条件;三证:根据分析,写出证明过程.如果这两个三角形不相似,只能采用其他方法,如找中间比或引平行线等. 六.相似与全等:全等三角形是相似比为1的相似三角形,即全等三角形是相似三角形的特例,它们之间的区别与联系:1.共同点它们的对应角相等,不同点是边长的大小,全等三角形的对应边相等,而相似三角形的对应的边成比例.2.判定方法不同,相似三角形只求形状相同的,大小不一定相等,所以改对应边相等成对应边成比例.初中相似三角形知识点。
人教版初中数学第二十七章相似知识点
第二十七章相似一、目标与要求1．掌握相似多边形的定义、表示法,并能根据定义判断两个多边形是否相似.2．能根据相似比进行计算.3．通过与相似多边形有关概念的类比,得出相似三角形的定义,领会特殊与一般的关系.4．能根据定义判断两个多边形是否相似,训练学生的判断能力.5．能根据相似比求长度和角度,培养学生的运用能力.6．通过与相似多边形有关概念的类比,渗透类比的教学思想,并领会特殊与一般的关系.二、知识框架三、重点、难点1．理解并相似三角形的判定与性质2．位似图形的有关概念、性质与作图．3．利用位似将一个图形放大或缩小．4．用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．5．把一个图形按一定大小比例放大或缩小后,点的坐标变化的规律．四、中考所占分数与题型分布本章会出1-2道选择、填空题,简答题必有一道三角形和相似形的综合题,本章约占15-20分.第二十七章相似27.1 图形的相似1.每组图形中的两个图形形状相同,大小不同,具有相同形状的图形叫相似图形.2.相似图形强调图形形状相同,与它们的位置、颜色、大小无关.3.相似图形不仅仅指平面图形,也包括立体图形相似的情况.4.我们可以这样理解相似形：两个图形相似,其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．5.若两个图形形状与大小都相同,这时是相似图形的一种特例——全等形.例1：1.从哈哈镜和平面镜中看见不同的镜像,是否相似？2.从放大镜或者望远镜中看见不同的镜像,是否相似？6.相似多边形对应角相等,对应边的比相等.对应边的比称为相似比.例2：在比例尺为1：10000000的地图上,量的A、B两地的距离为10cm,求两地的实际距离.解：地图与实际的环境是相似的,因此地图中的1cm相当于实际10000000cm,即100km.A、B两地相距10cm,相当于1000km.例3：如图27.1-1,四边形ABCD和EFGH相似,求角α、β的大小和EH的长度x.图27.1-1解：四边形ABCD 和EFGH 相似,他们的对应角相等,因此可得83o C α∠=∠=,118o A E ∠=∠=在四边形ABCD 中,四边形ABCD 和EFGH 相似,他们的对应边相等,由此可得EH EF AD AB =,即242118x = 解得28x cm =27.2 相似三角形27.2.1 相似三角形的判定在△ABC 和△A ‘B ‘C ’中,如果''',,A A B B C C ∠=∠∠=∠∠=∠,''''''=AB BC AC k A B B C AC==,我们就说△ABC 和△A ‘B ‘C ’相似,记作△ABC ∽△A ‘B ‘C ’,k 就是他们的相似比.对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 成比例线段〔简称比例线段〕：对于四条线段a 、b 、c 、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即a =c b d〔或a ：b=c ：d 〕,那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段. 例1.如图27.2-1,在△ABC 中,点D 是边AB 的中点,DE//BC,DE 交AC 于点E,△ADE 与△ABC 有什么关系？ 解：在△ADE 与△ABC 中,A A ∠=∠DE//BC过点E 作EF//AB,EF 交BC 于点F.在□BFED 中,DE=BF,DB=EF又1,2A C ∠=∠∠=∠∴△ADE ∽△EFCAE=EC=在此处键入公式。
八年级三角形知识点归纳
八年级三角形知识点归纳三角形是中学数学中比较基础的一个概念，也是数学中常见的一种图形。
在初中数学中，三角形是一个非常重要的知识点，今天我们来回顾一下八年级阶段所学的三角形知识点。
一、三角形的定义和分类三角形是由三条线段组成的图形，其中每两条线段的交点被称为一个顶点。
三角形是由三个顶点和三个边组成的，且三角形的边和顶点是一一对应的。
根据三角形的边长关系和角度关系，可以将三角形分为以下几类：1. 根据边长关系：等边三角形：三边相等的三角形。
等腰三角形：至少有两边相等的三角形。
普通三角形：三边均不相等的三角形。
2. 根据角度关系：锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。
直角三角形：其中一个角是直角的三角形。
钝角三角形：至少有一个角是钝角的三角形。
二、三角形的基本性质1. 三角形的内角和等于180度。
即三角形的三个角的度数之和为180度。
可以用以下公式表示：a + b + c = 180其中，a、b、c分别表示三角形的三个角的度数。
2. 等边三角形的三个角都是60度。
因为等边三角形的三边相等，所以三个角都必须相等。
而三个相等的角的度数之和必须为180度，因此每个角的度数都是60度。
3. 等腰三角形的两个底角相等。
等腰三角形的两边相等，所以两个底角也必须相等。
4. 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
即a² + b² = c²，其中a、b为直角三角形的两条直角边的长度，c为直角三角形的斜边长度。
5. 三角形的面积可以用海伦公式和正弦定理来计算。
海伦公式：若a、b、c分别为三角形的三个边长，p为三角形半周长，则三角形面积S可以用以下公式计算：S = √(p × (p - a) × (p - b) ×(p - c))正弦定理：若a、b、c分别为三角形的三个边长，A、B、C分别为三角形的三个角，则有以下公式成立：a/sinA = b/sinB = c/sinC三、相似三角形相似三角形是指两个三角形的对应角相等，对应边成比例的三角形。
八年级数学相似三角形
C E
A
D
B
F
合作交流
若AB=6 cm,AC=5cm,BC=8cm,AP=2cm,点Q从A出发， 沿折线ACB以1cm/s的速度移动，问经过几秒钟，PQ 截△ABC所得的新三角形与原三角形相似（点P在AB上 A A 固定不动）．
P Q
B P Q C
B
A P
C
A P
B
Q
C
B
Q
C挑战Leabharlann 我把30角的顶点放在BC边上运动（不与B、C重合），使一边 经过点A，另一边与AC相交于点F。 （1）BAD与CDF 相似吗？若相似，请证明；若不相似， 请说明理由。 （3）当ADF是等腰三角形时，求AF的长。
形相似。
相似三角形判定定理３:三边对应成比例,两三角形相似。 直角三角形相似的特殊判定定理：斜边与一直角边对应成比
例,两直角三角形相似.
相似三角形的传递性:如果两个三角形都与第三个三角形相
似，那么这两个三角形也相似．
相似三角形的性质：
定义:相似三角形对应角相等，对应边成比例. 相似三角形性质定理１: 相似三角形对应角平分线
E
F
３.算一算: 如图:△ABC中，DE//BC
（1)若AD:BD=2:3,则C△ADE: C△ABC＝__；S △ADE: S △ABC=__ (2) 若直线DE将△ABC 的面积分成相等的两部分，则DE:BC=__ (3)若点D、F是AB的三 等分点，DE∥FG ∥ BC， A 则C △ADE: C△AFG : C △ABC =—— D E S :S :S =——
A
在ABC中，AB=AC=8，BAC=120，取一把含30角的三角板，
（2）设BD=x，AF=y，求y与x的函数关系式，并指出定义域。
第27章相似三角形知识点总结及典型题目
相似三角形知识点总结1. 比例线段的有关概念： 在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b cda b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。
把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。
2. 比例性质：①基本性质：a b cdad bc =⇔= 3. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。
则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF=== ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
4. 相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似。
②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似 ⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 5. 相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例 ③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形常见的图形 位似图形有关的概念与性质及作法1. 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形.2. 这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比. 注：（1） 位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点. （2） 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形. （3） 位似图形的对应边互相平行或共线.3.位似图形的性质： 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 注：位似图形具有相似图形的所有性质.4. 画位似图形的一般步骤：（1） 确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点）（2） 分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）. （3） 根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.（4） 顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形.（5） 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O 为位似中心，相似比为k （k>0）,原图形上点的坐标为（x,y ）,那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky), 反向位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky)一．选择题：1、下列各组数中，成比例的是（ ）A ．－7，－5，14，5B ．－6，－8，3，4C ．3，5，9，12D ．2，3，6，12 2、如果x:(x+y)＝3:5，那么x:y ＝( )A. B. C. D. 3、如图，F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的点，BF ∶FD=1∶3，则BE ∶EC=（ ） A 、21 B 、31 C 、32 D 、41238332584、下列说法中，错误的是（ ）（A ）两个全等三角形一定是相似形 （B ）两个等腰三角形一定相似 （C ）两个等边三角形一定相似 （D ）两个等腰直角三角形一定相似5、如图，Rt ΔABC 中，∠C＝90°，D 是AC 边上一点，AB ＝5，AC ＝4，若ΔABC∽ΔBDC ，则CD ＝ ． A ．2 B ．32 C ．43 D ．94二、填空题6、已知a ＝4，b ＝9，c 是a b 、的比例中项，则c ＝ ．7、如图，要使ΔABC∽ΔACD ，需补充的条件是 ．（只要写出一种）8、如图，小东设计两个直角，来测量河宽DE ，他量得AD ＝2m ，BD ＝3m ，CE ＝9m ，则河宽DE 为9、一公园占地面积约为8000002m ，若按比例尺1∶2000缩小后，其面积约为 2m ．10、如图，点P 是R t ΔABC 斜边AB 上的任意一点（A 、B 两点除外）过点P 作一条直线，使截得的三角形与Rt ΔABC 相似，这样的直线可以作 条． 三、解答题11、如图18—95，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B 距墙80cm ，梯上点D 距墙70cm ，BD 长55cm ．求梯子的长．12、如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，AO ＝78cm ，BO ＝42cm ，CD ＝159cm ，求CO 和DO ．C（第10题）（第7题）13、如图，在正方形网格上有111C B A ∆∽222A C B ∆，这两个三角形相似吗?如果相似，求出222111A C B A C B ∆∆和的面积比．14、已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 边上，且四边形CDEF 是正方形，AC ＝3，BC ＝2，求△ADE、△EFB、△ACB 的周长之比和面积之比．15、如图所示,梯形ABCD 中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB 上确定点P 的位置,使得以P,A,D 为顶点的三角形与以P,B,C 为顶点的三角形相似.PAD16、如图,□ABCD 中,:2:3AE EB =,DE 交AC 于F . (1)求AEF ∆与CDF ∆周长之比；(2)如果CDF ∆的面积为220cm ,求AEF ∆的面积.ABECD F。
八年级下册数学三角形知识点
八年级下册数学三角形知识点
八年级下册数学三角形的知识点主要包括以下内容：
1. 三角形的定义：三角形是由三条线段组成的图形，其中每两条线段都相交于一个端点，被称为顶点。
2. 三角形的分类：根据角度和边长的不同，三角形可以分为等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形和钝角三角形等。
3. 三角形的性质：
- 三角形内角和定理：任意三角形的三个内角之和等于180度（即角A + 角B + 角
C = 180度）。
- 外角和定理：一个三角形的外角等于其不相邻的两个内角的和（即角D = 角A +
角B）。
- 三角形的任意两边之和大于第三边。
- 等腰三角形的两边相等，等边三角形的三边相等。
- 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（即a^2 + b^2 = c^2）。
4. 三角形的相似性质：两个三角形如果对应角相等，则它们为相似三角形；两个相似
三角形的对应边成比例。
5. 三角形的面积计算：三角形的面积可以通过底边和高的乘积的一半来计算。
6. 正弦定理：在一个三角形ABC中，a，b，c分别为三边的长度，A，B，C分别为三
个对应的角度，则有a/sinA = b/sinB = c/sinC。
7. 余弦定理：在一个三角形ABC中，a，b，c分别为三边的长度，A，B，C分别为三个对应的角度，则有a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosA。
以上就是八年级下册数学三角形的主要知识点。
希望能对你的学习有所帮助！。
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新人教版八年级下册相似三角形知识点
相似三角形是几何学中的重要概念，在八年级下册的数学课程中有相关的研究内容。
下面是一些关于相似三角形的知识点：
相似三角形的定义
相似三角形指的是具有相同形状但大小不同的三角形。
两个三角形相似的条件是它们的对应角度相等，并且对应边的比值相等。
判断相似三角形的方法
判断两个三角形是否相似，可以通过以下方法进行：
- AA判据：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们是相似三角形。
- SSS判据：如果两个三角形的三边长度比值相等，则它们是相似三角形。
- SAS判据：如果两个三角形的两个角和边的比值分别相等，则它们是相似三角形。
相似三角形的性质
相似三角形具有以下性质：
- 对应角相等：两个相似三角形的对应角相等。
- 对应边比值相等：两个相似三角形的对应边的比值相等。
- 对应高比值相等：两个相似三角形的对应高的比值等于对应
边的比值。
相似三角形的应用
相似三角形的概念在实际问题中有广泛的应用，例如：
- 海上测距：通过相似三角形可以使用测距仪测量远距离物体
的高度或距离。
- 影像处理：在电脑图像处理中，相似三角形可以用于图像的
放大或缩小。
- 工程模型：在建筑和工程设计中，相似三角形可以用于制作
模型以便于观察和分析。
以上是关于新人教版八年级下册相似三角形知识点的简要介绍。
相似三角形作为重要的几何概念，在学习数学过程中会经常应用到。
希望这份文档对你有所帮助！。