2021-2022学年泸州市高二下学期第一学月(3月)考试数学(理)试题(解析版)

2021-2022学年泸州市高二下学期第一学月（3月）考试数学（理）试题一、单选题1．某公司将180个产品，按编号为001，002，003，…，180从小到大的顺序均匀的分成若干组，采用系统抽样方法抽取一个样本进行检测，若第一组抽取的编号是003，第二组抽取的编号是018，则样本中最大的编号应该是（ ） A ．168 B ．167C ．153D ．135【答案】A【分析】先求样本间隔，然后根据抽查样本容量，结合系统抽样的定义进行求解即可． 【详解】样本间隔为18﹣3＝15， 即抽取样本数为180÷15＝12， 则最大的样本编号为3+15×11＝168， 故选：A ． 2．命题“若4a π=”，则tan 1a ="的否命题是（ ）A ．“若4a π≠"，则tan 1a ≠” B ．“若4a π≠"，则tan 1a =”C ．“若4a π=，则tan 1a ≠”D ．“若tan 1a ≠，则4a π≠”【答案】A【解析】根据否命题的转化规则，进行转化并选择即可. 【详解】根据否命题的要求，需要将条件和结论都要否定， 故命题：若4a π=，则tan 1a =的否命题是：若4a π≠，则tan 1a ≠.故选：A.【点睛】本题考查命题的否命题的求解，注意条件和结论都要进行否定.3．甲､乙两组数的数据如茎叶图所示，则甲､乙的平均数､方差､极差及中位数中相同的是（ ）A ．极差B ．方差C ．平均数D ．中位数【答案】C【解析】根据茎叶图中数据的波动情况，可直接判断方差不同；根据茎叶图中的数据，分别计算极差、中位数、平均数，即可得出结果.【详解】由茎叶图可得：甲的数据更集中，乙的数据较分散，所以甲与乙的方差不同； 甲的极差为37532-=；乙的极差为39138-=，所以甲与乙的极差不同； 甲的中位数为162118.52+=，乙的中位数为1418162+=，所以中位数不同； 甲的平均数为1516122521375863x +++++==，乙的平均数为216141838395863x +++++==，所以甲､乙的平均数相同；故选：C.4．已知样本1x ，2x ，…，n x 的平均数为2，方差为5，则121x +，221x +，…，21n x +的平均数和方差分别为（ ） A ．4和10 B ．5和11 C ．5和21 D ．5和20【答案】D【解析】利用平均数和方程的性质可算出答案.【详解】因为样本1x ，2x ，…，n x 的平均数为2，方差为5，所以121x +，221x +，…，21n x +的平均数为2215⨯+=，方差为22520⨯= 故选：D【点睛】本题考查的是平均数和方程的性质，较简单. 5．函数2()cos f x x x =的导数是（ ） A ．2sin x x B ．2sin x x - C ．22cos sin x x x x+D ．22cos sin x x x x -【答案】D【分析】直接根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得；【详解】解：因为2()cos f x x x =所以()()222()cos cos 2cos sin f x x x x x x x x x '''=+=- 故选：D【点睛】本题考查导数的计算，基本初等函数的导数公式的应用，属于基础题. 6．函数3()3f x x x =-的极小值是（ ）A ．4B ．2C ．-4D ．-2【答案】D【分析】首先求出函数的导函数，说明其单调性，即可得到函数的极值点，从而求出函数的极小值；【详解】解：因为3()3f x x x =-，所以()()2()33311f x x x x '=-=+-令()0f x '=，解得1x =或1x =-，可得1x >或1x <-时()0f x '>，当11x -<<时()0f x '<， 所以()f x 在(),1-∞-和()1,+∞上单调递增，()1,1-上单调递减； 故函数在1x =处取得极小值，()()12f x f ==-极小值 故选：D【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，属于基础题. 7．“1k >”是“函数()ln f x kx x =-在区间[1,)+∞单调递增”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】分析：求出导函数f x '（），若函数()ln f x kx x =-在()1,+∞单调递增，可得0f x '≥（） 在区间()1,+∞上恒成立．解出1k，故选A 即可．详解：1f x k x'=-（） ， ∵若函数函数()ln f x kx x =-在()1,+∞单调递增， ∴0f x '≥（） 在区间()1,+∞上恒成立． ∴1k x≥ ，而1y x =在区间()1,+∞上单调递减，∴1k．即“1k >”是“函数()ln f x kx x =-在()1,+∞单调递增”的充分不必要条件.故选A.．点睛：本题考查充分不必要条件的判定，考查利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属中档题．8．直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，2AC BC ==90ACB ∠=︒，D 是11A B 的中点，F 是1BB 上的动点，1AB ，DF 交于点E ．要使11AB C DF ⊥平面，则线段1B F 的长为（ ） A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】B【分析】先证明1AB DF ⊥，再求出22DE =，1Rt DB E ∆中, 勾股定理求出1B E ，再利用面积相等求出1B F 的长.【详解】设1B F x = ，1AB ⊥平面1,C DF DF ⊂1C DF ， 1AB DF ∴⊥ ， 由已知可得112A B = ，设11Rt AA B △ 斜边1 AB 上的高为h , 则12DE h =，对三角形11AA B 使用等面积法得2211222222h ⨯⨯=⨯+，2h ∴=所以由中位线定理知2DE =， 在1Rt DB E 中, 22122122B E ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 对1Rt DB F 22212x x += ，解得1x= ， 故选：B.9．设三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，12,90,22AB AC BAC AA ==∠=︒=三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ） A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π【答案】D【详解】试题分析：依题三棱柱的外接球即为底面为正方形（边长为）、高为的长方体外接球，其直径为长方体的体对角线，且为，故所求球体表面积为．【解析】长方体外接球．10．若不等式43x xy m x y +≤+（）对所有正数x ，y 均成立，则实数m 的最小值是（ ） A ．32B ．43C ．3D ．4【答案】B【分析】由题意可知43x xym x y +≥+对所有正数x ，y 均成立，即max43x xy m x y ⎛⎫+≥ ⎪ ⎪+⎝⎭，然后结合均值不等式求出43x xyx y++的最大值即可.【详解】解：∵43x xy m x y +≤+（）对所有正数x ，y 均成立，∴43x xym x y+≥+对所有正数x ，y 均成立，∴43maxx xy m x y⎛⎫+≥ ⎪ ⎪+⎝⎭ 又4444433933393244444x xy x xy x xy x xy x y x xy x x y x xy ++++=≤==+⎛⎫++++ ⎪⎝⎭，当且仅当94x y =时等号成立，∴43m ≥故m 的最小值为43故答案为：B 11．抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB 的最大值是（ ）A 3B 3C 3D 3【答案】B【详解】试题分析：设,A B 在直线l 上的投影分别是11,A B ，则1AF AA =，1BF BB =，又M 是AB 中点，所以111()2MN AA BB =+，则1112MN AA BB AB AB +=⋅2AF BF AB +=，在ABF ∆中222AB AF BF =+22cos3AF BF π-22AF BF AF BF =++2()AF BF AF BF =+-2()AF BF ≥+2()2AF BF+-23()4AF BF =+，所以22()43AF BF AB+≤，即23AF BF AB +≤3MN AB ≤B ．【解析】抛物线的性质． 【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦AB 的中点M 到准线的距离首先等于,A B 两点到准线距离之和的一半，然后转化为,A B 两点到焦点F 的距离，从而与弦长AB 之间可通过余弦定理建立关系．12．若关于x 的不等式ln2x 1ax b x +≤+成立，则ba的最小值是( ) A ．12e-B ．1e-C ．1eD ．12e【答案】A【分析】构造函数()21ln x f x x+=，利用函数图象的性质，借助数形结合，确定b a 最小值，即可得到答案．【详解】令()()22122112x ,x ln xln x ln x x f f x x x x ⋅--=='+=， ()0,,02e x f x ⎛⎫⎪⎭'∈> ⎝，函数单调递增， (),,02e x f x ∞⎛⎫∈+< '⎪⎝⎭，函数单调递减，且x > 2e 时，()0f x >，绘制函数()f x 的图象如图所示，满足题意时，直线y ax b =+恒不在函数()f x 图象的下方， 很明显0a <时不合题意，当0a >时，令0ax b +=可得：bx a=-， 故ba取到最小值时，直线在x 轴的截距最大，令()0f x =可得：11,22x x e e =-=-，据此可得：b a 的最小值是12e-．故选A ．【点睛】本题主要考查了导函数研究函数图象的性质及其应用，其中解答合理利用导数得出函数的单调性，刻画处函数的性质上解答的关键，着重考查了数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，属于中等题． 二、填空题13．双曲线2221x y -=的实轴长与虚轴长之比为_____. 2【分析】根据双曲线方程，求得,a b ，即可求得实轴长和虚轴长，进而求比值即可.【详解】因为双曲线方程为22112x y -=，故221,12a b ==，故21a b =，则实轴长22a =22b =2214．在平面直角坐标系中，曲线21x y e x =++在0x =处的切线方程是___________． 【答案】32y x =+【分析】根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式得结果.【详解】因为21x y e x =++，所以2x y e '=+，因此在x ＝0处的切线斜率为023k e =+=， 因为x ＝0时2y =，所以切线方程是233 2.y x y x -=∴=+ 【点睛】本题考查导数几何意义，考查基本求解能力.属基础题.15．若点()1,1P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为________. 【答案】210x y --=【详解】试题分析：因为 (1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，所以圆心坐标为3,0，31201MN k -=-=-，MN 所在直线方程为()121y x -=-，化简为210x y --=，故答案为210x y --=.【解析】1、两直线垂直斜率的关系；2、点斜式求直线方程.16．函数3()sin ,11)f x x x x =+<<（-，若2()()0f x f x +->，则实数x 的取值范围是___ 【答案】()1,0-【分析】先研究函数()3sin f x x x =+在(1,1)x ∈-上的奇偶性与单调性，然后运用函数的性质求解不等式()()20f x f x +->.【详解】解：因为()y f x =的定义域为(1,1)-，且()33()sin()sin ()f x x x x x f x -=-+-=--=-，所以函数()y f x =为奇函数，因为当(1,1)x ∈-时，()23cos 0f x x x '=+≥恒成立，所以函数()y f x =在(1,1)-为增函数，故()()20f x f x +->等价于()()2f x f x >--，即()()2f x f x >，根据函数的定义域及单调性可得221111x x x x ⎧-<<⎪-<<⎨⎪>⎩，解得11111,0x x x x -<<⎧⎪-<<⎨⎪><⎩，故x 的取值范围是()1,0-.【点睛】本题考查了函数性质的运用，判断函数的奇偶性一定要注意定义域的分析，函数单调性的判断往往可以借助导数、图像等方法进行研究. 三、解答题17．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据： x 34 5 6y 2.5 3 4 4.5（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于的线性回归方程y bx a =+； （2）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?（参考数值：3 2.543546 4.566.5⨯+⨯+⨯+⨯=，用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx ybay bx xnx ==-==--∑∑）. 【答案】（1）0.70.35y x =+；（2）19.65吨.【分析】（1）先利用所给数据求出中心点值，再代入所给公式进行求解； （2）根据（1）求出的线性回归方程进行预测. 【详解】（1）由系数公式可知：66.56394.5, 3.5,0.7, 3.50ˆˆ.70.3552x y ba -=====-⨯=， 所以线性回归方程为0.70.35y x =+.（2）当100x =时，0.71000.3570.35y =⨯+=. 所以比改造前降低了19.65吨标准煤. 18．已知函数32()39.f x x x x a =-+++ (1)求()f x 的单调减区间(2)若()f x 在区间[2,2]-上的最大值为20，求它在该区间上的最小值. 【答案】(1) （－∞，－1），（3，＋∞）(2)-7【详解】试题分析：（Ⅰ）先求出函数f （x ）的导函数f′（x ），然后令f′（x ）＜0，解得的区间即为函数f （x ）的单调递减区间；（Ⅱ）先求出端点的函数值f （﹣2）与f （2），比较f （2）与f （﹣2）的大小，然后根据函数f （x ）在[﹣1，2]上单调递增，在[﹣2，﹣1]上单调递减，得到f （2）和f （﹣1）分别是f （x ）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，建立等式关系求出a ，从而求出函数f （x ）在区间[﹣2，2]上的最小值． 解：（Ⅰ）f′（x ）=﹣3x 2+6x+9． 令f′（x ）＜0，解得x ＜﹣1或x ＞3，所以函数f （x ）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）． （Ⅱ）因为f （﹣2）=8+12﹣18+a=2+a ，f （2）=﹣8+12+18+a=22+a ， 所以f （2）＞f （﹣2）．因为在（﹣1，3）上f′（x ）＞0，所以f （x ）在[﹣1，2]上单调递增， 又由于f （x ）在[﹣2，﹣1]上单调递减，因此f （2）和f （﹣1）分别是f （x ）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=﹣2．故f （x ）=﹣x 3+3x 2+9x ﹣2，因此f （﹣1）=1+3﹣9﹣2=﹣7， 即函数f （x ）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣7．点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．以及在闭区间上的最值问题等基础知识，同时考查了分析与解决问题的综合能力．19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AD ，PB 的中点，1==PA AB .（1）求证：EF ∥平面DCP ；（2）求平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)见解析(2)5714【详解】（1）取PC 中点M ，连接,DM MF ，易得四边形DEFM 为平行四边形，从而//,EF DM所以EF ∥平面DCP ；（2）PA ⊥平面ABC ，且四边形ABCD 是正方形，,,AD AB AP ∴两两垂直，以A 为原点，AP ，AB ，AD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，求出平面EFC 与平面PDC 的法向量，代入公式得到所成锐二面角的余弦值.解：()1取PC 中点M ，连接,DM MF ，,M F 分别是,PC PB 中点, 1//,2MF CB MF CB ∴=，E 为DA 中点，ABCD 为正方形，1//,2DE CB DE CB ∴=，//,MF DE MF DE ∴=,∴四边形DEFM 为平行四边形， //,EF DM EF ∴⊄平面PDC ，DM ⊂平面PDC ，//EF ∴平面PDC .()2PA ⊥平面ABC ,且四边形ABCD 是正方形，,,AD AB AP ∴两两垂直，以A 为原点，AP ，AB ，AD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -， 则()1,0,0,P ()()0,0,1,0,1,1,D C 1110,0,,,,0222E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面EFC 法向量为()1111,,n x y z =， 11111,,,,,122222EF FC ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1100EF n FC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩, 即111111011022x y z x y z +-=⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 取()13,1,2n =-,则设平面PDC 法向量为()2222,,n x y z =，()()1,0,1,1,1,1PD PC =-=- 则2200PD n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩, 即2222200x z x y z -+=⎧⎨-++=⎩, 取()21,0,1n =， ()12121231102157cos ,14142n n n n n n ⨯+-⨯+⨯⋅===⨯⋅. ∴平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值为5714.点睛：本题主要考查线面垂直的判定定理以及用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20．已知函数()2xf x e x =-()1求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程;()2若函数()()g x f x a =-，[]1,1x ∈-恰有2个零点，求实数a 的取值范围【答案】(1) x+y-1=0.(2) 22ln 22a e -<≤-.【分析】(1)求得f （x ）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线方程； (2) 函数()()[],1,1g x f x a x =-∈-恰有2个零点转化为两个图象的交点个数问题，数形结合解题即可.【详解】（1）因为()e 2x f x x =-，所以()e 2xf x '=-.所以()0 1.f '=- 又()01,f =所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1,y x -=- 即10x y +-=.（5分）（2）由题意得，()e 2xg x x a =--，所以()e 2xg x '=-.由()e 20xg x ='-=，解得ln2x =，故当1ln2x -≤<时，()0g x '<，()g x 在[)1,ln2-上单调递减； 当ln21x <≤时，()0g x '>，()g x 在(]ln2,1上单调递增. 所以()()min ln222ln2g x g a ==--.又()11e +2g a --=-，()1e 2g a =--，若函数恰有两个零点，则()()()11e 20,1e 20,ln22220,g a g a g ln a -⎧-=+-≥⎪=--≥⎨⎪=--<⎩解得22ln2e 2a -<≤-.所以实数a 的取值范围为(]22ln2,e 2--.【点睛】本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.21．已知一动圆经过点()2,0M ，且在y 轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)过点()1,0N 任意作相互垂直的两条直线12,l l ，分别交曲线C 于不同的两点,A B 和不同的两点,D E .设线段,AB DE 的中点分别为,P Q .①求证：直线PQ 过定点R ，并求出定点R 的坐标；②求PQ 的最小值. 【答案】(1)24y x =(2)①证明见解析，(3,0)；②4【分析】（1）设圆心坐标，然后根据半径、圆心到直线距离和弦长一半之间的关系列方程化简可得；（2）设直线方程与抛物线方程联立消元，利用韦达定理表示出P 、Q 坐标，然后考察其方程可得①；用两点间距离公式表示出2PQ ，通过换元转化为二次函数求解可得. 【详解】(1)设圆心(,)C x y .则半径、圆心到y 轴距离和弦长一半满足勾股定理 2224(2)x x y ∴+=-+.化简得：24y x =∴曲线C 的方程为24y x =.(2)①易知直线12,l l 的斜率存在且不为0，设直线1l 的斜率为k ， 1122(,),(,)A x y B x y .则直线1l 的方程为1212(1),,22x x y y y k x P ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由24(1)y xy k x ⎧=⎨=-⎩消去y ，得2222(24)0k x k x k -++=. 2242(24)416160k k k ∆=+-=+>.∴1212122442,(2)x x y y k x x k k +=++=+-=.∴2221,P k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 同理可得2(12,2)Q k k +-.当1k =或1-时，直线PQ 的方程为3x =； 当1k ≠且1k ≠-时，直线PQ 的斜率为21kk -. ∴直线PQ 的方程为222(12)1ky k x k k+=---，即2(1)(3)0k y x k -+-=. ∴直线PQ 过定点R ，其坐标为(3,0). ②由①，知2221,P k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2(12,2)Q k k +-，2222422422211224PQ k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222221142k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. ∵2212k k +≥ (当且仅当1k =或1-时取等号)， 记22222119(12),4(2)424t k PQ t t t k ⎡⎤⎛⎫=+≥∴=+-=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.∴当2t =时，2PQ 的最小值为16.∴当2t =即1k =或1-时，PQ 的最小值为 4.22．已知函数2()ln ,()()3f x x g x f x ax x ，函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴. (1)求a 的值；(2)求函数()g x 的极小值；(3)设斜率为k 的直线与函数()f x 的图象交于两点112212(,),(),()A x y B x y x x ，，证明：2111kx k . 【答案】(1) 1a = (2) 函数()g x 的极小值为()12g =-.(3) 见解析【详解】试题分析：（1）求出()g x 的导数，得到函数()g x 的导数，()'1=0g 求出函数的解析式，利用导数研究函数的单调性，从而求出函数()g x 的极小值；（2）表示出k ，问题转化为即证21221211ln x x x x x x x x --<<，令()211x t t x => ，即证()11ln 11-<<->t t t t ，令ln 11k tt t t ，根据函数的单调性证明即可.试题解析：（1）依题意得，则，得∵函数的定义域为，令得或函数在上单调递增，在单调递减；在上单调递增．故函数的极小值为.（2）依题意得，令则由得，当时，，当时，，在单调递增，在单调递减，又即.。