双曲线斜率之积公式
高考数学专题复习：双曲线(含解析)
高考数学专题复习：双曲线(含解析)本文存在大量的格式错误和段落问题，需要进行修正和删减。
修正后的文章如下：研究目标：1.理解双曲线的定义、几何图形、标准方程以及简单几何性质。
2.理解数形结合的思想。
3.了解双曲线的实际背景及其简单应用。
一、单选题1.设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且 $F_1P=F_2P=c$，则 $\frac{c^2}{a^2-b^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】B解析】根据双曲线的性质求出 $c$ 的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可。
点睛】本题主要考查双曲线性质的意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键。
2.设 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，$A(0,b)$ 为左顶点，点$P$ 为双曲线右支上一点，且 $AP=\frac{a}{2}$，则$\frac{b^2}{a^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】D解析】先求出双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，再求出点 $P$ 的坐标，最后求$\frac{b^2}{a^2}$。
点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算，考查双曲线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力。
双曲线的通径为 $2a$。
3.已知直线$l$ 的倾斜角为$\theta$，且$l: y=x\tan\theta$，直线 $l$ 与双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右两支分别交于 $A,B$ 两点，$OA\perp$轴，$OB\perp$轴（其中 $O$、$F_1,F_2$ 分别为双曲线的坐标原点、左、右焦点），则该双曲线的离心率为：A。
双曲线方程知识点总结_公式总结
双曲线方程知识点总结_公式总结双曲线方程1. 双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：. 一般方程：.⑴①i. 焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或.②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距（两准线的距离）；通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则：构成满足（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）⑴等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.⑴共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.⑴共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程？解：令双曲线的方程为：，代入得.⑴直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.⑴若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n.简证：=.常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.。
07 圆锥曲线中的二级结论及应用(教师版)
查补易混易错点07 圆锥曲线中的二级结论及应用圆锥曲线有许多形式结构相当漂亮的结论，记住圆锥曲线中一些二级结论，能快速摆平一切圆锥曲线压轴小题。
1设P点是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，则（1）|PF1||PF2|＝2b21＋cos θ；（2）S△PF1F2＝b2tan θ2；（3）e＝sin∠F1PF2sin∠PF1F2＋sin∠PF2F1.2设P点是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)上异于实轴端点的任一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，则（1）|PF1||PF2|＝2b21－cos θ；（2）S△PF1F2＝b2tanθ2；（3）e＝sin ∠F1PF2|sin ∠PF1F2－sin ∠PF2F1|.3.设A，B为圆锥曲线关于原点对称的两点，点P是曲线上与A，B不重合的任意一点，则k AP·k BP ＝e2－1.4.设圆锥曲线以M(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦AB所在的直线的斜率为k.（1）圆锥曲线为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，则k AB＝－b2x0a2y0，k AB·k OM＝e2－1.（2）圆锥曲线为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，则k AB＝b2x0a2y0，k AB·k OM＝e2－1.（3）圆锥曲线为抛物线y2＝2px(p＞0)，则k AB＝py0.5.过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点F且倾斜角为α(α≠90°)的直线交椭圆于A，B两点，且|AF → |＝λ|FB → |，则椭圆的离心率等于1(1)cos λλα-+.6.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 且倾斜角为α(α≠90°)的直线交双曲线右支于A ，B 两点，且|AF → |＝λ|FB → |，则双曲线的离心率等于|λ－1（λ＋1）cos α|.7.过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 倾斜角为θ的直线交抛物线于A ，B 两点，则两焦半径长为p 1－cos θ，p 1＋cos θ，1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AB |＝2p sin 2θ，S △AOB ＝p 22sin θ.1.已知双曲线E 的中心为原点，F (3，0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为M (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1【答案】B【解析】由题意可知k AB ＝－15－0－12－3＝1，k MO ＝－15－0－12－0＝54，由双曲线中点弦中的斜率规律得k MO ·k AB ＝b 2a 2，即54＝b 2a 2，又9＝a 2＋b 2，联立解得a 2＝4，b 2＝5，故双曲线的方程为x 24－y 25＝1.3.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝32，经过右焦点且斜率为k (k ＞0)的直线交椭圆于A ，B 两点，已知AF → ＝3FB →，则k ＝( )A ．1 B.2 C.3 D ．2【答案】B【解析】∵λ＝3，由结论可得，e ＝32，由规律得32cos α＝3－13＋1，cos α＝33，k ＝tan α＝2.4.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( )A ．5B ．6 C.163 D.203【答案】C 【解析】因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163.6.已知双曲线C ：()22105x y k k -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且123F PF π∠=，则12F PF △的面积为（）．【答案】C【解析】由()22105x y k k -=>，b =123F PF π∠=，由结论可知122tan 2F PF b S θ==△7.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上异于A ，B 两点，若AP 与BP 的斜率之积为－12，则椭圆的离心率为（ ）【答案】22【解析】k AP ·k BP ＝－12，e 2－1＝－12，∴e 2＝12，e ＝22.8.在椭圆x 225＋y 29＝1上，△PF 1F 2为焦点三角形，如图所示．(1)若θ＝60°，则△PF 1F 2的面积是________；(2)若α＝45°，β＝75°，则椭圆离心率e ＝________．【答案】(1)33 (2)6－22【解析】(1)由结论得S △PF 1F 2＝b 2tan θ2，即S △PF 1F 2＝33.（2）由公式e ＝sin （α＋β）sin α＋sin β＝sin 60°sin 45°＋sin 75°＝6－22.9.(2022·荆州模拟)已知P是椭圆x24＋y2＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，当∠F1PF2＝π3时，则△PF1F2的面积为________．【答案】3 3【解析】由结论可得：S＝b2tan θ2，可得S＝1·tanπ6＝33.标原点，则|AB |为【答案】12【解析】易知2p ＝3，由结论可得知|AB |＝2psin 2α，所以|AB |＝3sin 230°＝12.15.设F 为抛物线C ：y 2＝16x 的焦点，过F 且倾斜角为6π的直线交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为。
斜率和积与韦达定理的应用(学生版)
斜率和积与韦达定理的应用考点分析斜率和(积)构造与韦达定理目前我们市面上的斜率型题目中一大类就是斜率和(积)构造，这其中主要特征就是一定点两动点，而定点的特征又可进一步分成在坐标轴上和一般点. 倘若定点P (0,t )，在椭圆上的动点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，那么：①k PA ⋅k PB =y 1−t x 1⋅y 2−t x 2=y 1y 2−t (y 1+y 2)+t 2x 1x 2，此时已经凑出韦达定理的形式，就无需再解点，可直接代入韦达定理求解.②k PA +k PB =y 1−t x 1+y 2−t x 2=x 1y 2+x 2y 1−t (x 1+x 2)x 1x 2,这里对交叉项x 1y 2+x 2y 1的处理可进一步代入直线方程：AB :y =kx +m ，化简可得：x 1y 2+x 2y 1=x 1kx 2+m +x 2kx 1+m =2kx 1x 2+m x 1+x 2k PA +k PB =x 1y 2+x 2y 1−t (x 1+x 2)x 1x 2=2k +(m −t )(x 1+x 2)x 1x 2(*)，再代入韦达定理.注意，这一步代入很重要，(*)式是一个非常简洁的结构，易于操作.③1k PA +1k PB =x 1(y 1−t )+x 2(y 2−t )=x 1y 2+x 2y 1−t (y 1+y 2)(y 1−t )(y 2−t ).可进一步代入直线方程：AB :x =my +n ，化简可得：x 1y 2+x 2y 1=my 1+n y 2+my 2+n y 1=2my 1y 2+n y 1+y 2精选例题1已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22，点A 0,1 在C 上．过C 的右焦点F 的直线交C 于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若动点P 满足k PM +k PN =2k PF ，求动点P 的轨迹方程．2已知点A2,1在双曲线C:x2a2-y2a2-1=1a>1上，直线l(不过点A)的斜率为-1，且交双曲线C于P、Q两点.(1)求双曲线C的方程；(2)求证：直线AP、AQ的斜率之和为定值.3已知O为坐标原点，椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为32，椭圆的上顶点到右顶点的距离为5．(1)求椭圆的方程；(2)若椭圆的左、右顶点分别为E、F，过点D(-2,2)作直线与椭圆交于A、B两点，且A、B位于第一象限，A在线段BD上，直线OD与直线FA相交于点C，连接EB、EC，直线EB、EC的斜率分别记为k1、k2，求k1⋅k2的值．4已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率是12，且过点M 1,32 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，且P ，Q 为椭圆C 上异于A 1，A 2的点，若直线PQ 过点12,0 ，是否存在实数λ，使得k A 1P =λk A 2Q 恒成立．若存在，求实数λ的值；若不存在，说明理由．5已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点F 在直线x +2y -1=0上，A ,B 分别为C 的左、右顶点，且AF =3BF .(1)求C 的标准方程；(2)已知P 2,0 ，是否存在过点G -1,0 的直线l 交C 于M ，N 两点，使得直线PM ，PN 的斜率之和等于-1?若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由.6双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，焦距为4，过右焦点F 作垂直于实轴的直线交双曲线C 于B ，D 两点，且△ABD 是直角三角形．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)M ，N 是C 右支上的两动点，设直线AM ，AN 的斜率为k 1，k 2，若k 1⋅k 2=-2，试问：直线MN 是否经过定点？证明你的结论．跟踪训练1已知椭圆C :x 24+y 2=1的左右顶点分别为A ,B ，上顶点为D ,M 为椭圆C 上异于四个顶点的任意一点，直线AM 交BD 于点P ，直线DM 交x 轴于点Q .(1)求△MBD 面积的最大值；(2)记直线PM ,PQ 的斜率分别为k 1,k 2，求证：k 1-2k 2为定值.2已知点P 4,3 为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上一点，E 的左焦点F 1到一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)不过点P 的直线y =kx +t 与双曲线E 交于A ,B 两点，若直线PA ，PB 的斜率和为1，证明：直线y =kx +t 过定点，并求该定点的坐标.3已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，a =3b ，点1,223 在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点Q 1,0 且不与y 轴垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，T 3,0 ，证明TM ，TN 斜率之积为定值．4在平面直角坐标系中，已知两定点A-4,0，B4,0，M是平面内一动点，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之间，且2MN2=AN⋅NB．(1)求动点M的轨迹Γ；(2)设过P0,1的直线交曲线Γ于C，D两点，Q为平面上一动点，直线QC，QD，QP的斜率分别为k1，k2，k0，且满足1k1+1k2=2k0．问：动点Q是否在某一定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不在，请说明理由．5设椭圆C:x22+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为2,0．(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．6设抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与E交于A，B两点，且AB=8．(1)求抛物线E的方程；(2)设P1,m为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N两点，直线PM和PN的斜率分别为k PM和k PN．求证：k PM+k PN为定值．7已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点A1,32，离心率为12．过点B0,2 的直线l与椭圆E交于不同的两点M，N．(1)求椭圆E的方程；(2)设直线AM和直线AN的斜率分别为k AM和k AN，求1k AM +1k AN的值．考点过关练8已知O 为坐标原点，过点P 2,0 的动直线l 与抛物线C :y 2=4x 相交于A ,B 两点．(1)求OA ⋅OB ；(2)在平面直角坐标系xOy 中，是否存在不同于点P 的定点Q ，使得∠AQP =∠BQP 恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．9设抛物线E :y 2=2px p >0 的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线与E 交于A ,B 两点，且AB =8.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知过点-1,0 的直线l 与E 交于不重合的两点M ,N ，且P 1,2 ，直线PM 和PN 的斜率分别为k PM 和k PN .求证：k PM +k PN 为定值.10已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左､右顶点分别为A1,A2，点P3,52在C上，且2A2P=3.(1)求C的方程；(2)直线l:y=kx+1与C交于M,N两点，记直线A1M,A2N的斜率分别为k1,k2，若k1+5k2=0，求k的值.11已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，A1、A2分别为椭圆C的左、右顶点，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，A1F1=2．(1)求椭圆C的方程；(2)设与x轴不垂直的直线l交椭圆C于P、Q两点(P、Q在x轴的两侧)，记直线A1P，A2P，A2Q，A1 Q的斜率分别为k1，k2，k3，k4．(i)求k1k2的值；(ii)若k1+k4=53k2+k3，求△F2PQ面积的取值范围．12已知曲线C上的任意一点到直线x=455的距离是它到点(5,0)的距离的255倍.(1)求曲线C的方程;(2)设M(-2,0)，N(2,0)，过点G(4,0)的直线l在y轴的右侧与曲线C相交于A，B两点，记直线AM，BN的斜率分别为k AM，k BN，求直线l的斜率k的取值范围以及k BN+3k AM的值.13已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率e=32，短轴长为2.(1)求椭圆C的方程；(2)过点4,2且斜率不为12的动直线l与椭圆C交于M、N两点，点P是直线y=12x上一定点，设直线PM、PN的斜率分别为k1、k2，若k1k2为定值，求点P的坐标.14在平面直角坐标系内，已知P,Q两点关于原点对称，且P的坐标为6,1. 曲线C上的动点R满足当直线PR，QR的斜率k1，k2都存在时，k1⋅k2=-12.(1)求曲线C的方程；(2)已知直线l过点-4,0且与曲线C交于A，B两点，问是否存在定点M，使得直线MA，MB关于x轴对称？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.15在平面直角坐标系xOy中，△ABC是直角三角形，∠CAB=π2，C0,-12，点A，B分别在x轴和y轴上运动，点A关于B的对称点为M.(1)求动点M的轨迹方程；(2)若过点C的直线l与点M的轨迹交于P，Q两点，N0,12，求直线NP，NQ的斜率之和.11。
高中双曲线上一点到渐近线的距离乘积
高中双曲线上一点到渐近线的距离乘积一、引言在高中数学中，关于双曲线和渐近线的知识常常令人感到头疼。
然而，这些知识在解决实际问题时却能发挥重要作用。
本文将围绕着高中双曲线上一点到渐近线的距离乘积这一主题展开讨论，以期帮助读者更好地理解相关概念和定理。
二、基本概念让我们简要回顾一下高中数学中与双曲线和渐近线相关的基本概念。
双曲线是一种重要的二次曲线，其数学表达式为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。
而渐近线则是双曲线的特殊直线，它们与双曲线的距离随着x的增大而趋向于零。
要求双曲线上一点到渐近线的距离乘积，我们需要运用到这些基本概念，并结合相关的定理和公式进行推导。
三、距离乘积的计算假设我们有一个双曲线的方程$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，并且它有两条渐近线$y=kx$和$y=-kx$。
现在我们要求双曲线上任意一点到这两条渐近线的距离乘积。
设双曲线上的一点为P(x, y)，则点P到$y=kx$的距离为$d_1=|y-kx|$，到$y=-kx$的距离为$d_2=|y+kx|$。
点P到两条渐近线的距离乘积为$d_1d_2=|y^2-k^2x^2|$。
四、案例分析接下来，我们通过一个具体的案例来进一步理解并应用上述推导结果。
假设双曲线的方程为$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$，渐近线为$y=\frac{3}{2}x$和$y=-\frac{3}{2}x$。
现在我们选取双曲线上的一个特定点P(3, 2)，那么点P到这两条渐近线的距离分别为$d_1=|\frac{3}{2}x-y|=|\frac{3}{2} \times 3-2|=|\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$，$d_2=|\frac{3}{2}x+y|=|\frac{3}{2}\times 3+2|=|\frac{11}{2}|=\frac{11}{2}$。
椭圆上关于原点对称的点斜率乘积
椭圆上关于原点对称的点斜率乘积
椭圆曲线是一个二次多项式，它是以原点和轴的双曲线的组合而成的几何形状。
椭圆存在于几何和分析几何中，在坐标中表示为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$其中$a$和$b$分别是椭圆曲线的长短轴，且$a > b$。
椭圆上任意一点都关于原点对称，它们的坐标都是一对类似的对称点，用$(x,y)$表示该点，那么对称点（$-x,-y$）就是椭圆上关于原点对称的点。
那么当我们求椭圆上任意两点关于原点对称的时候，他们的斜率都是相同的，即：$$\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} = k$$椭圆上任意两点关于原点对称的点的斜率乘积就是：$$k \times (-k) = -k^2$$ 所以，对于椭圆上任意两点关于原点对称的点而言，其斜率乘积都是一个确定值 -k^2。
椭圆曲线是广泛应用于几何学、空间分析及几何学、历史学等研究领域中最重要的几何曲线术语。
它的空间变换、曲线拟合、椭圆势能场等，在几何学的立体空间永恒的概念中具有很重要的作用，在许多物理工程、航空物理学等领域中也得到了广泛的应用。
总之，椭圆是几何学中的重要概念，而椭圆上任意两点关于原点对称的点的斜率乘积都是 -k^2，这种特性可以在各个领域得到应用，可以说是几何学研究中一个很有用的概念。
双曲线方程知识点详细总结-双曲线定理总结
双曲线方程1。
双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：.一般方程：.⑵①i。
焦点在x轴上：顶点：焦点: 准线方程渐近线方程：或ii。
焦点在轴上：顶点：。
焦点：. 准线方程：。
渐近线方程：或，参数方程:或 .②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c。
③离心率. ④准线距(两准线的距离）；通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则:构成满足（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算,而双曲线不带符号）⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率。
⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线。
与互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线：。
⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为。
例如:若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程？解：令双曲线的方程为:,代入得.⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线,合计2条；区域②：即定点在双曲线上,1条切线，2条与渐近线平行的直线,合计3条；区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点,1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即过原点，无切线,无与渐近线平行的直线。
小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号。
⑺若P在双曲线,则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n.简证：= .常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.双曲线的标准方程和简单几何性质常见考法在段考中，多以选择题、填空题和解答题的形式考查双曲线的简单几何性质。
双曲线方程知识点详细总结
双曲线方程1. 双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：.一般方程：.⑵①i. 焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或 .②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距（两准线的距离）；通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则：构成满足（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程？解：令双曲线的方程为：，代入得.⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.⑺若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n.简证：= .常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.双曲线的标准方程和简单几何性质常见考法在段考中，多以选择题、填空题和解答题的形式考查双曲线的简单几何性质。
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双曲线斜率之积公式
双曲线的一般方程是 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a > 0, b >
0$。
设双曲线的两个焦点为 $F_1(-c, 0)$ 和 $F_2(c, 0)$，其中 $c = \sqrt{a^2 + b^2}$。
设双曲线上任意一点为 $P(x, y)$。
根据双曲线的定义，有 $|PF_1| - |PF_2| = 2a$。
斜率 $k_{PF_1}$ 和 $k_{PF_2}$ 分别为 $\frac{y}{x + c}$ 和 $\frac{y}{x - c}$。
根据双曲线的性质，有 $k_{PF_1} \times k_{PF_2} = -\frac{b^2}{a^2}$。
因此，双曲线斜率之积的公式为 $k_{PF_1} \times k_{PF_2} = -\frac{b^2}{a^2}$。