2019-2020年高中数学竞赛教案讲义(16)平面几何

2019-2020年高中数学竞赛教案讲义（16）平面几何

一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成）

梅涅劳斯定理 设分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若三点共线，则 梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上，若则三点共线。

塞瓦定理 设分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若三线平行或共点，则塞瓦定理的逆定理 设分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若则三线共点或互相平行。

角元形式的塞瓦定理 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 所在直线上的点，则平行或共点的充要条件是.1'sin 'sin 'sin 'sin 'sin 'sin =∠∠?∠∠?∠∠BA

B CBB CB

C ACC AC A BAA 广义托勒密定理 设ABC

D 为任意凸四边形，则AB ?CD+BC ?AD ≥AC ?BD ，当且仅当A ，B ，C ，D 四点共圆时取等号。

斯特瓦特定理 设P 为ΔABC 的边BC 上任意一点，P 不同于B ，C ，则有

AP 2=AB 2?+AC 2

?-BP ?PC.

西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。 西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。

九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。

蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幂（即切线长）相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴）

欧拉定理 ΔABC 的外心O ，垂心H ，重心G 三点共线，且

二、方法与例题

1．同一法。即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。

例1 在ΔABC 中，∠ABC=700，∠ACB=300，P ，Q 为ΔABC 内部两点，∠QBC=∠QCB=100，∠PBQ=∠PCB=200，求证：A ，P ，Q 三点共线。

2面积法。

例2 ◇ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点，且BE=DF，BE交DF于P，求证：AP为∠BPD的平分线

3．几何变换。

例3 （蝴蝶定理）AB是⊙O的一条弦，M为AB中点，CD，EF为过M的任意弦，CF，DE分别交AB于P，Q。求证：PM=MQ。

例4 平面上每一点都以红、蓝两色之一染色，证明：存在这样的两个相似三角形，它们的相似比为1995，而且每个三角形三个顶点同色。

4．三角法。

例5 设AD，BE与CF为ΔABC的内角平分线，D，E，F在ΔABC的边上，如果∠EDF=900，求∠BAC的所有可能的值。

5．向量法。

例6 设P是ΔABC所在平面上的一点，G是ΔABC的重心，求证：PA+PB+PC>3PG.

6．解析法。

例7 H 是ΔABC 的垂心，P 是任意一点，HLPA ，交PA 于L ，交BC 于X ，HMPB ，交PB 于M ，交CA 于Y ，HNPC 交PC 于N ，交AB 于Z ，求证：X ，Y ，Z 三点共线。

7．四点共圆。

例8 直线l 与⊙O 相离，P 为l 上任意一点，PA ，PB 为圆的两条切线，A ，B 为切点，求证：直线AB 过定点。

三、习题精选

1．⊙O 1和⊙O 2分别是ΔABC 的边AB ，AC 上的旁切圆，⊙O 1与CB ，CA 的延长线切于E ，G ，⊙O 2与BC ，BA 的延长线切于F ，H ，直线EG 与FH 交于点P ，求证：PABC 。

2．设⊙O 的外切四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的中点分别为E ，F ，求证：E ，O ，F 三点共线。

3．已知两小圆⊙O 1与⊙O 2相外切且都与大圆⊙O 相内切，AB 是⊙O 1与⊙O 2的一条外公切线，A ，B 在⊙O 上，CD 是⊙O 1与⊙O 2的内公切线，⊙O 1与⊙O 2相切于点P ，且P ，C 在直线AB 的同一侧，求证：P 是ΔABC 的内心。

4．ΔABC 内有两点M ，N ，使得∠MAB=∠NAC 且∠MBA=∠NBC ，求证：

.1=??+??+??CB

CA CN CM BA BC BN BM AC AB AN AM 5．ΔABC 中，O 为外心，三条高AD ，BE ，CF 相交于点H ，直线ED 和AB 相交于点M ，直线FD 和AC 相交于点N ，求证：（1）OBDF ，OCDE ；（2）OHMN 。

6．设点I ，H 分别是锐角ΔABC 的内心和垂心，点B 1，C 1分别是边AC ，AB 的中点，已知射线B 1I 交边AB 于点B 2(B 2≠B)，射线C 1I 交AC 的延长线于点C 2，B 2C 2与BC 相交于点K ，A 1为ΔBHC

的外心。试证：A，I，A1三点共线的充要条件是ΔBKB2和ΔCKC2的面积相等。

7．已知点A1，B1，C1，点A2，B2，C2，分别在直线l1,l2上，B2C1交B1C2于点M，C1A2交A1C2于点N，B1A2交B2A1于L。求证：M，N，L三点共线。

8．ΔABC中，∠C=900，∠A=300，BC=1，求ΔABC的内接三角形（三个顶点分别在三条边上的三角形）的最长边的最小值。

9．ΔABC的垂心为H，外心为O，外接圆半径为R，顶点A，B，C关于对边BC，CA，AB的对称点分别为，求证：三点共线的充要条件是OH=2R。

2019-2020年高中数学竞赛教案讲义（18）组合

一、方法与例题

1．抽屉原理。

例1 设整数n≥4,a1,a2,…,a n是区间(0,2n)内n个不同的整数，证明：存在集合{a1,a2,…,a n}的一个子集，它的所有元素之和能被2n整除。[证明] （1）若n{a1,a2,…,a n},则n个不同的数属于n-1个集合{1,2n-1}，{2,2n-2},…,{n-1,n+1}。由抽屉原理知其中必存在两个数a i,a j(i≠j)属于同一集合，从而a i+a j=2n被2n整除；

（2）若n∈{a1,a2,…,a n}，不妨设a n=n，从a1,a2,…,a n-1(n-1≥3)中任意取3个数a i, a j, a k(a i,0)不被n整除，考虑n个数a1,a2,a1+a2,a1+a2+a3,…,a1+a2+…+a n-1。

ⅰ）若这n个数中有一个被n整除，设此数等于k n，若k为偶数，则结论成立；若k为奇数，则加上a n=n知结论成立。

ⅱ）若这n个数中没有一个被n整除，则它们除以n的余数只能取1,2,…,n-1这n-1个值，由抽屉原理知其中必有两个数除以n的余数相同，它们之差被n整除，而a2-a1不被n整除，故这个差必为a i, a j, a k-1中若干个数之和，同ⅰ）可知结论成立。

2 极端原理。

例2 在n×n的方格表的每个小方格内写有一个非负整数，并且在某一行和某一列的交叉点处如果写有0，那么该行与该列所填的所有数之和不小于n。证明：表中所有数之和不小于。[证明] 计算各行的和、各列的和，这2n个和中必有最小的，不妨设第m行的和最小，记和为k，则该行中至少有n-k个0，这n-k个0所在的各列的和都不小于n-k，从而这n-k列的数的总和不小于(n-k)2，其余各列的数的总和不小于k2，从而表中所有数的总和不小于(n-k)2+k2≥

3.不变量原理。

俗话说，变化的是现象，不变的是本质，某一事情反复地进行，寻找不变量是一种策略。

例3 设正整数n是奇数，在黑板上写下数1，2，…，2n，然后取其中任意两个数a,b,擦去这两个数，并写上|a-b|。证明：最后留下的是一个奇数。

[证明] 设S是黑板上所有数的和，开始时和数是S=1+2+…+2n=n(2n+1)，这是一个奇数，因为|a-b|与a+b有相同的奇偶性，故整个变化过程中S的奇偶性不变，故最后结果为奇数。

例4 数a1, a2,…,a n中每一个是1或-1，并且有S=a1a2a3a4+ a2a3a4a5+…+a n a1a2a3=0. 证明：4|n. [证明] 如果把a1, a2,…,a n中任意一个a i换成-a i，因为有4个循环相邻的项都改变符号，S 模4并不改变，开始时S=0，即S≡0，即S≡0(mod4)。经有限次变号可将每个a i都变成1，而始终有S≡0(mod4)，从而有n≡0(mod4)，所以4|n。

4．构造法。

例5 是否存在一个无穷正整数数列a1,

[证明] 存在。取a n=(n!)3即可。当A=0时，{a n}中没有素数；当|A|≥2时，若n≥|A|，则a n+A均为|A|的倍数且大于|A|，不可能为素数；当A=±1时，a n±1=(n!±1)?[(n!)2±n!+1]，当≥3时均为合数。从而当A为整数时，{(n!)3+A}中只有有限个素数。

例6 一个多面体共有偶数条棱，试证：可以在它的每条棱上标上一个箭头，使得对每个顶点，指向它的箭头数目是偶数。

[证明] 首先任意给每条棱一个箭头，如果此时对每个顶点，指向它的箭头数均为偶数，则命题成立。若有某个顶点A，指向它的箭头数为奇数，则必存在另一个顶点B，指向它的箭头数也为奇数（因为棱总数为偶数），对于顶点A与B，总有一条由棱组成的“路径”连结它们，对该路径上的每条棱，改变它们箭头的方向，于是对于该路径上除A，B外的每个顶点，指向它的箭头数的奇偶性不变，而对顶点A，B，指向它的箭头数变成了偶数。如果这时仍有顶点，指向它的箭头数为奇数，那么重复上述做法，又可以减少两个这样的顶点，由于多面体顶点数有限，经过有限次调整，总能使和是对每个顶点，指向它的箭头数为偶数。命题成立。5．染色法。

例7 能否在5×5方格表内找到一条线路，它由某格中心出发，经过每个方格恰好一次，再回到出发点，并且途中不经过任何方格的顶点？

[解] 不可能。将方格表黑白相间染色，不妨设黑格为13个，白格为12个，如果能实现，因黑白格交替出现，黑白格数目应相等，得出矛盾，故不可能。

6．凸包的使用。

给定平面点集A，能盖住A的最小的凸图形，称为A的凸包。

例8 试证：任何不自交的五边形都位于它的某条边的同一侧。

[证明] 五边形的凸五包是凸五边形、凸四边形或者是三角形，凸包的顶点中至少有3点是原五边形的顶点。五边形共有5个顶点，故3个顶点中必有两点是相邻顶点。连结这两点的边即为所求。

7．赋值方法。

例9 由2×2的方格纸去掉一个方格余下的图形称为拐形，用这种拐形去覆盖5×7的方格板，每个拐形恰覆盖3个方格，可以重叠但不能超出方格板的边界，问：能否使方格板上每个方格被覆盖的层数都相同？说明理由。

[解] 将5×7方格板的每一个小方格内填写数-2和1。如图18-1所示，每个拐形覆盖的三个数之和为非负。因而无论用多少个拐形覆盖多少次，盖住的所有数字之和都是非负的。另一方面，方格板上数字的总和为12×(-2)+23×1=-1，当被覆盖K层时，盖住的数字之和等于

8．图论方法。

例10 生产由六种颜色的纱线织成的双色布，在所生产的双色布中，每种颜色的纱线至少与其他三种颜色的纱线搭配过。证明：可以挑出三种不同的双色布，它们包含所有的颜色。

[证明] 用点A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6表示六种颜色，若两种颜色的线搭配过，则在相应的两点之间连一条边。由已知，每个顶点至少连出三条边。命题等价于由这些边和点构成的图中有三条边两两不相邻（即无公共顶点）。因为每个顶点的次数≥3，所以可以找到两条边不相邻，设为A 1A 2，A 3A 4。

（1）若A 5与A 6连有一条边，则A 1A 2，A 3A 4，A 5A 6对应的三种双色布满足要求。

（2）若A 5与A 6之间没有边相连，不妨设A 5和A 1相连，A 2与A 3相连，若A 4和A 6相连，则A 1A 2，A 3A 4，A 5A 6对应的双色布满足要求；若A 4与A 6不相连，则A 6与A 1相连，A 2与A 3相连，A 1A 5，A 2A 6，A 3A 4对应的双色布满足要求。

综上，命题得证。

二、习题精选

1．药房里有若干种药，其中一部分药是烈性的。药剂师用这些药配成68副药方，每副药方中恰有5种药，其中至少有一种是烈性的，并且使得任选3种药恰有一副药方包含它们。试问：全部药方中是否一定有一副药方至少含有4种烈性药？（证明或否定）

2．21个女孩和21个男孩参加一次数学竞赛，（1）每一个参赛者最多解出6道题；（2）对每一个女孩和每一个男孩至少有一道题被这一对孩子都解出。求证：有一道题至少有3个女孩和至少有3个男孩都解出。

3．求证：存在无穷多个正整数n ，使得可将3n 个数1, 2,…, 3n 排成数表

a 1, a 2…a n

b 1, b 2…b n

c 1, c 2…c n

满足：（1）a 1+b 1+c 1= a 2+b 2+c 2=…= a n +b n +c n =，且为6的倍数。

（2）a 1+a 2+…+a n = b 1+b 2+…+b n = c 1+c 2+…+c n =，且为6的倍数。

4．给定正整数n ，已知克数都是正整数的k 块砝码和一台天平可以称出质量为1，2，…，n 克的所有物品，求k 的最小值f(n)。

5．空间中有1989个点，其中任何3点都不共线，把它们分成点数各不相同的30组，在任何3个不同的组中各取一点为顶点作三角形。试问：为使这种三角形的总数最大，各组的点数应分别为多少？

6．在平面给定点A 0和n 个向量a 1，a 2，…，a n ，且使a 1+a 2+…+a n =0。这组向量的每一个排列都定义一个点集：A 1，A 2，…，A n =A 0，使得n n i i i A A a A A a A A a n

12110,,,21-===

求证：存在一个排列，使由它定义的所有点A 1，A 2，…，A n-1都在以A 0为角顶的某个600

角的内部和边上。

7．设m, n, k ∈N ，有4个酒杯，容量分别为m,n,k 和m+n+k 升，允许进行如下操作：将一个杯中的酒倒入另一杯中或者将另一杯倒满为止。开始时，大杯中装满酒而另3个杯子却空着，问：为使对任何S ∈N ，S

8．设有30个人坐在一张圆桌的周围，其中的每个人都或者是白痴，或者是聪明人。对在座的每个人都提问：“你右边的邻座是聪明人还是白痴？”聪明人总是给出正确的答案，而白痴既可能回答正确，也可能回答不正确。已知白痴的个数不超过F ，求总可以指出一位聪明人的

最大的F。

9．某班共有30名学生，每名学生在班内都有同样多的朋友，期末时任何两人的成绩都可分出优劣，没有相同的。问：比自己的多半朋友的成绩都要好的学生最多能有多少人？