求一般位置直线的实长和对投影面的倾角
机械制图习题集(第6版)参考答案
《机械制图》（第六版）习题集答案第3页图线、比例、制图工具的用法、尺寸注法、斜度和锥度●要掌握和理解比例、斜度、锥度的定义；各种图线的画法要规范。
第4页椭圆画法、曲线板用法、平面图形的尺寸注法、圆弧连接1、已知正六边形和正五边形的外接圆，试用几何作图方法作出正六边形，用试分法作出正五边形，它们的底边都是水平线。
●注意多边形的底边都是水平线；要规范画对称轴线。
●正五边形的画法：①求作水平半径ON的中点M；②以M为圆心，MA为半径作弧，交水平中心线于H。
③AH为五边形的边长，等分圆周得顶点B、C、D、E④连接五个顶点即为所求正五边形。
2、用四心圆法画椭圆（已知椭圆长、短轴分别为70mm、45mm）。
●参教P23四心圆法画椭圆的方法做题。
注意椭圆的对称轴线要规范画。
3~4、在平面图形上按1：1度量后，标注尺寸（取整数）。
5、参照左下方所示图形的尺寸，按1：1在指定位置处画全图形。
第6页点的投影1、按立体图作诸点的两面投影。
●根据点的两面投影的投影规律做题。
2、已知点A在V面之前36，点B在H面之上，点D在H面上，点E在投影轴上，补全诸的两面投影。
●根据点的两面投影的投影规律、空间点的直角坐标与其三个投影的关系及两点的相对位置做题。
3、按立体图作诸点的两面投影。
●根据点的三面投影的投影规律做题。
4、作出诸点的三面投影：点A（25，15，20）；点B距离投影面W、V、H分别为20、10、15；点C在A之左，A之前15，A之上12；点D在A之下8，与投影面V、H等距离，与投影面W的距离是与H面距离的3.5倍。
●根据点的投影规律、空间点的直角坐标与其三个投影的关系及两点的相对位置做题。
各点坐标为：A（25，15，20）B（20，10，15）C（35，30，32）D（42，12，12）5、按照立体图作诸点的三面投影，并表明可见性。
●根据点的三面投影的投影规律做题，利用坐标差进行可见性的判断。
（由不为0的坐标差决定，坐标值大者为可见；小者为不可见。
第2章 正投影基础
第2章正投影基础本章提要本章主要介绍投影法的基本概念和构成物体的基本几何元素点、线、面的投影特性、作图原理和方法；直线与直线、直线与平面的相对位置关系。
为解决求直线的实长和平面的实形的问题，还介绍了点、线、面的变换投影面的方法。
2.1投影法及三视图的形成2.1.1投影法在日常生活中人们注意到，当太阳光或灯光照射物体时，墙壁上或地面上会出现物体的影子。
投影法就源自这种自然现象。
如图2-1所示，平面P为投影面，不属于投影面的定点S为投影中心。
过空间点A由投影中心可引直线SA，SA为投射线。
投射线SA与投影面P的交点a，称作空间点A在投影面P上的投影。
同理，点b是空间点B在投影面P上的投影（注：空间点以大写字母表示，其投影用相应的小写字母表示）。
由此可知，投影法是投射线通过物体向预定投影面进行投影而得到图形的方法。
图2-1投影法图图2-2中心投影法2.1.2投影法的分类投影法一般分为中心投影法和平行投影法两类。
1、中心投影法投射线从投影中心出发的投影法，称为中心投影法，所得到的投影称为中心投影，如图2-2所示，通过投影中心S作出△ABC在投影面P上的投影：投射线SA、SB、SC分别与投影面P交于点a、b、c，而△abc就是△ABC在投影面P上的投影。
在中心投影法中，△ABC的投影△abc的大小随投影中心S距离△ABC的远近或者△ABC 距离投影面P的远近而变化。
因此它不适合绘制机械图样。
但是，根据中心投影法绘制的直观图立体感较强，适用于绘制建筑物的外观图。
2、平行投影法投射线相互平行的投影法，称为平行投影法，所得到的投影称为平行投影。
根据投射线与投影面的相对位置，平行投影法又分为：斜投影法和正投影法。
（1）斜投影法投射线倾斜于投影面时称为斜投影法，所得到的投影称为斜投影，如图2-3所示。
（2）正投影法投射线垂直于投影面时称为正投影法，所得到的投影称为正投影，如图2-4所示。
绘制工程图样主要用正投影，今后如不作特别说明，“投影”即指“正投影”。
求一般位置直线段实长及倾角方法的比较分析
求一般位置直线段实长及倾角方法的比较分析作者：刘英平来源：《现代企业文化·理论版》2008年第01期【摘要】直角三角形法与换面法是求解一般位置直线段的实长及其对投影面倾角的两种常用方法，文章分析了两种方法的联系与区别，指出直角三角形法是换面法的简化形式，换面法是直角三角形法的推广及一般形式。
通过比较分析，有助于学生深入理解这两种方法。
【关键词】直角三角形法；换面法；一般位置直线；实长；倾角【中图分类号】 O221 【文献标识码】A【文章编号】1674-1145（2008）02-0177-02机械制图中，有时需要由投影求出直线段的实长及其对投影面的倾角。
投影面平行线和投影面垂直线属于特殊位置直线，其投影能直接反映出线段的实长及其对投影面的倾角；一般位置直线的三个投影均呈类似性，既不能反映该线段的實长，也不能反映该线段对投影面的倾角。
对于一般位置直线，可以采用直角三角形法或换面法求其实长及对投影面的倾角[1~2]。
在求解时，采用这两种方法的任意一种都可以求出一般位置直线的实长及其对投影面的倾角，即直角三角形法和换面法是独立使用的。
通常，机械制图教材[3~4]都对这两种方法进行了介绍，并指出两种方法都可以用来求解一般位置直线段的实长及其对投影面的倾角，但并没有对其进行深入分析。
通过比较分析，发现在求解一般位置直线段的实长及其对投影面的倾角时，直角三角形法和换面法并不是孤立的，而是存在一定的关系，即：直角三角形法可以看作是换面法的简化形式，换面法可以看作是直角三角形法的推广及一般形式，这为学生深入理解这两种方法提供了一种新的模式。
一、直角三角形法二、换面法保持空间几何元素的位置不动，建立新的直角投影面体系，使几何元素在新投影面体系中处于有利于解题的位置，然后用正投影法得到几何元素的新投影，这种方法叫做变换投影面法，简称换面法。
三、直角三角形法与换面法的比较直角三角形法和换面法是求一般位置直线的实长及其对投影面的倾角的两种常用方法。
换面法-直角三角形法
二、换面法
1.点的一次换面
以H1 面替代H 面
V
ax1 a’ aX a
a1 Z
作图步骤： 投影规律： 1)画OX1 轴； 1)新投影与旧投影： a1 aX1 = aaX。 2)过a’ 作OX1 轴的垂线； 2)新投影与不变投影： a‘ a1 ⊥OX1 ； 3)在垂线上截取 a1aX1 = aaX 。
线段对不变投影面的倾角。
b'
V X H
实长
a’1
α
A
a’
X
B
α
பைடு நூலகம்
a b
b’ a O a'1
实长 α
b’1
X1
b
b'1
解题完毕
§3-3 求一般位置线段的实长
二、换面法
例2 求AB 线段的实长及β。 作图要点：X1 ∥a’b’ 分析：
a1
β
实长
b1
V 面应为不 变投影面, X1
轴平行不变投 影a’b’ ，求得线 段对V 投影面的 倾角β 。
O
R30 EF
e
解题完毕
§3-3 求一般位置线段的实长
一、直角三角形法
小结
1)实长、坐标差、投影长、倾角为直角三角形的四要素。
注意：
直线的坐标差、投影长、倾角是对同一投影面而言。
TL
(实长)
α
水平投影
坐 标 差
Z
TL
(实长)
β
正面投影
坐 标 差
Y
TL
(实长)
γ
侧面投影
坐 标 差
X
§3-3 求一般位置线段的实长
§3-3 求一般位置线段的实长
一、直角三角形法
3.3.2 求一般位置直线的实长和对投影面的倾角_机械制图_[共2页]
![3.3.2 求一般位置直线的实长和对投影面的倾角_机械制图_[共2页]](https://img.taocdn.com/s3/m/38fdf058cc22bcd126ff0ceb.png)
如图 3-23 所示，在四边形 ABba 中，过 A 点作 AC//ab，交 Bb 于 C，得直角三角形△ABC。 此时，AC = ab；BC = Bb − Aa，即两端点的 Z 坐标差；斜边 AB 即为实长；AB 与 AC 的夹角，就 是 AB 对 H 面的倾角α。
如图 3-24 中，用直角三角形法求直线 AB 的实长及直线 AB 与 V 面的倾角。 同样道理，也可以通过直角三角形法求出直线相对于 W 面的倾角。
（2）另外两个投影都垂直于相应的投影轴，且反映线段的实长，即 ab 垂直于 YH 轴，a′b′ 垂直于 OZ 轴，ab = a′b′ = AB
3.3.2 求一般位置直线的实长和对投影面的倾角
特殊位置直线的投影可直接找出实长和与投影面的倾角；一般位置直线的投影不能反映线段 的真实长度，但是，可根据线段的两面投影求出线段的实长及对各投影面的倾角。下面介绍一种 求一般位置线段的实长和倾角的方法—直角三角形法。
机械制图 直线的位置
直观图
投影图
续表
铅
垂
线 投影特性
投
（1）水平投影积聚为一点，即 b(a)
影
（2）另外两个投影都垂直于相应的投影轴，且反映线段实长，即 a′b′ 垂直于 X 轴，a′′b′′ 垂
面
直于 YW 轴， a′b′ = a′′b′′ = AB
垂
直
线
侧Hale Waihona Puke 垂线投影特性
（1）侧面投影积聚为一点，即 a′′(b′′)
36
画法几何与工程制图2-1-复习
边，半径为33mm作 弧，可截得正面投影
长③；以投影b'为圆心， 以ea0长为半径作弧， 得到a'，连接a'b'及
完成正面投影
一般位置直线段的实长及倾角
[补充题] 如图所示，已知ab、a 且知 =30 º 试求直线AB的正面
投影ab。
b
a
x
a
O a'b' 30 º 60 º
b
垂直两直线
平面立体截交线
s'
s"
2'
2"
例 求出立体被截切
后的三面投影。
1'
3'
4'
4"
1" 3"
S
a'
好镜b'cc' c"
a"
b"
4
1
a
2
s
注意：
3 b
截平面之
间的交线
A
B
〔例〕完成圆柱体左边被切凹槽，右边被切凸台后的水平投影
a'
b'
a"( b" )
a
b
AB
平面与圆锥相交
截交线的形状有几种？
圆
三角形
椭圆
φ18
54
φ10
27
★
Φ30
10 24 Φ54
适
当
105
调
12
70
整
812 30
，
标
注
全
100
部
尺
寸
65
47
R18 2-Φ18 64
机械制图习题集(第6版)参考答案(1)
第3页图线、比例、制图工具的用法、尺寸注法、斜度和锥度●要掌握和理解比例、斜度、锥度的定义；各种图线的画法要规范。
第4页椭圆画法、曲线板用法、平面图形的尺寸注法、圆弧连接1、已知正六边形和正五边形的外接圆，试用几何作图方法作出正六边形，用试分法作出正五边形，它们的底边都是水平线。
●注意多边形的底边都是水平线；要规范画对称轴线。
●正五边形的画法：①求作水平半径ON的中点M；②以M为圆心，MA为半径作弧，交水平中心线于H。
③AH为五边形的边长，等分圆周得顶点B、C、D、E④连接五个顶点即为所求正五边形。
2、用四心圆法画椭圆（已知椭圆长、短轴分别为70mm、45mm）。
●参教P23四心圆法画椭圆的方法做题。
注意椭圆的对称轴线要规范画。
3~4、在平面图形上按1：1度量后，标注尺寸（取整数）。
5、参照左下方所示图形的尺寸，按1：1在指定位置处画全图形。
第6页点的投影1、按立体图作诸点的两面投影。
●根据点的两面投影的投影规律做题。
2、已知点A在V面之前36，点B在H面之上，点D在H面上，点E在投影轴上，补全诸的两面投影。
●根据点的两面投影的投影规律、空间点的直角坐标与其三个投影的关系及两点的相对位置做题。
3、按立体图作诸点的两面投影。
●根据点的三面投影的投影规律做题。
4、作出诸点的三面投影：点A（25，15，20）；点B距离投影面W、V、H分别为20、10、15；点C在A之左，A之前15，A之上12；点D在A之下8，与投影面V、H等距离，与投影面W的距离是与H面距离的倍。
●根据点的投影规律、空间点的直角坐标与其三个投影的关系及两点的相对位置做题。
各点坐标为：A（25，15，20）B（20，10，15）C（35，30，32）D（42，12，12）5、按照立体图作诸点的三面投影，并表明可见性。
●根据点的三面投影的投影规律做题，利用坐标差进行可见性的判断。
（由不为0的坐标差决定，坐标值大者为可见；小者为不可见。
）6、已知点A距离W面20；点B距离点A为25；点C与点A是对正面投影的重影点，y 坐标为30；点D在A的正下方20。
工程制图习题及答案
2.正投影法和斜投影法。
3．多面正投影图。
4.①正面投影与点的水平投影。
②正面投影与点的侧面投影 。
③水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影。
5.一般位置直线、投影面平行线和_投影面垂直线。
1平行、相交、交叉三种。
2.同面投影也一定平行。
3.同面投影也一定相交，同面投影。
第四章
4、画组合体时，主视图选择一般将组合体按自然位置安放，选择较多地反映组合体形状特征和各组成部分相对位置鲜明的方向作为主视图的投影方向，同时兼顾其他视图中尽可能少出现虚线，使绘图简便，读图方便。
5、读组合体视图的基本要领是把几个视图联系起来进行分析、找出特征视图、注意视图中反映形体之间连接关系的图线、明确视图中图线和线框的含义、投影的类似性，读组合体视图的基本方法形体分析法和线面分析法。
5、相贯线的性质：相贯线是两立体表面的共有线，也是两立体表面的分界线；一般为封闭的空间曲线，特殊情况下可能是平面曲线或直线。选择辅助平面的一般为投影面平行面或投影面垂直面。
6、根据曲面立体的转向轮廓线可见性判别相贯线的可见性。
7、在自行车上的车架子、车座子等
第四章
1、组合体的组合形式有叠加、切割、综合。
2、形体分析法是通常假想把组合体分解成由若干个基本形体组成，并弄清各个基本形体的形状及其相对位置、组合形式和表面连接关系，以达到了解整体的目的。线面分析法是根据视图中的封闭线框和图线的意义，对线、面进行投影分析，从而读懂物体表面的局部形状和相当位置，进一步想象出物体的形状。
3、组合体相邻表面的连接关系有相交、相切、共面、不共面。
2、零件图视图选择的原则是主视图的选择，主视图是表达零件最主要的一个视图，因此在表达零件时，应首先确定主视图，然后确定其它视图。在选择主视图时应考虑以下两个方面：投影方向，选择最能反应零件形状和结构特征以及形体之间相互位置关系的方向作为主视图的投影方向。安放位置，主视图的投影方向确定后，还必须确定零件的安放位置。主视图确定以后，其它视图的选择可以考虑以下几个方面：(1)根据零件的复杂程度对零件进行结构分析或形体分析，首先考虑需要那些视图与主视图配合，然后再考虑其它视图之间的配合，使每一个视图有一个表达的重点。但是，要注意采用的视图不宜过多，以免重复，导致主次不分。(2)要考虑合理地布置视图的位置，做到既使图样清晰美观又有利于图幅的充分利用，便于读图。（3）应优先考虑采用基本视图及在基本视图上作剖视图。采用局部视图或斜视图时应尽可能按投影关系配置。
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求一般位置直线的实长和对投影面的倾角在投影面平行线和投影面垂直线的三个投影中，至少有一个投影能反映线段的真实长度及其对投影面的真实倾角。
而一般位置直线的三个投影，既不反映线段的真实长度，也不反映其对投影面的真实倾角。
下面介绍根据投影图求作一般位置直线的实长及其对投影面倾角的直角三角形法。
如图1，AB为一般位置直线，过点A作AB0∥ab，则得一直角三角形ABB0，线段AB是它的斜边，即为实长；直角边AB0=ab，BB0=Z B－Z A为线段AB两端点的 Z坐标差，也是a’、b’到X轴的距离差；∠BAB0为线段AB对H面的倾角α。
从图中可见，已知AB的两个投影，就相当于给定了直角三角形ABB0的两个直角边，因而可以求出AB的实长及对H面的倾角。
图1 AB的投影与其实长及α角的关系图2 AB的投影与其实长及β角的关系在图2中，若过A点作 AB1∥a’b’，则得直角三角形ABB1，用类似前面的分析方法，已知AB的两个投影，可以求出AB的实长及对V面的倾角。
例1：如图3a所示，根据线段AB的正面投影和水平投影，求线段AB的实长及其对H面的倾角α。
图3 例1
解: 解题步骤如下(见图3b)：
（1）以水平投影ab为一直角边，过b点（或过 a点）作bB0⊥ab，且 bB0=Z B－Z A。
Z B
－Z A,可直接在正面投影上量取。
(2) 连接aB0，aB0即为所求线段AB的实长。
(3) 实长aB0与水平投影ab的夹角即为线段AB对H面的倾角α。
实际作题时，也可以采用图3c所示的方法,即作a’B0∥X轴，延长a’B0至A0,使B0A0=ab,连接b’A0 ,b’A0即为所求线段AB的实长, b’A0与B0A0的夹角即为α。
例2：如图4a所示，根据线段CD的正面投影和水平投影，求作线段AB的实长及对V面的倾角β。
图4 例2
仿例1，做法如图4b和图4c所示。
综上所述可以看出，已知一般位置直线的两个投影，求其实长及对投影面的倾角，可以通过作直角三角形得到，因此将这种方法称为直角三角形法。
其作图方法是：以空间线段在某一投影面上的投影为一直角边，以空间线段的两端点对该投影面的坐标差为另一直角边，由此构成的直角三角形的斜边即为该线段的实长，斜边与线段投影的夹角即为线段对该投影面的倾角。
在应用直角三角形法中，三角形包含四个因素：投影、坐标差、实长及倾角，只要知道其中的两个因素，就可以把其它两个求出来。
例3: 如图5a所示，已知直线EF对V面的倾角β=30°、e’f’及 e, 求 ef。
图5 例3
解: 作图步骤如下(见图5b)：
(1) 过f’点作f’P⊥e’f’,且使∠f’e’P = 3O°,组成一直角三角形。
在直角三角形e’f’P 中，f’P = Y F-Y E。
(2) 过f’作X轴的垂线，与过e平行于X轴的直线相交于Q；在f’Q的延长线上截取Qf=Y F-Y E确定f点的位置。
(3) 连接ef,ef即为所求。
实际作题时，也可采用图5c所示的方法,即作eQ∥X轴，延长eQ至T, 且使QT= e’f’,∠QTf = 3O°, 组成直角三角形TQf，连接ef,ef即为所求。
例4: 如图6a所示，已知直线GK=30、gk及 g’, 求 g’k’。
图6 例4
仿例3，做法如图6b和c所示。
由以上讨论可归纳如下：
①已知直线的两面投影，用直角三角形法，可求其实长及其对投影面倾角；
②已知直线的一面投影，一个端点的另一面的投影及实长或与投影面夹角，可求直线的另一面投影。