2.3.2一般位置直线的投影
第二章 正投影的基础知识(1点和直线的投影
X
ax
●
A
O a●
H
空间点用大写字母表 示，点的投影用小写 字母表示。点“ ”不 能用“ * ”
投影面展开
不动
V
a
V
●
●
a
●
X
ax
A O X
ax a H
●
O
a
向下翻转90º
●
H
点的投影规律:
① aa⊥OX轴；
② aax= Aa
aax=Aa
各种位置点的投影：
（1）处于投影面上的点
投影特点：在该投影面上的投影和空间点本身重合；另一个投 影在X轴上
d
a b d
b c
b d a 如何判断？
对于特殊位置直线， 只有两个同面投影互相 平行，空间直线不一定 平行。 求出侧面投影后可知： AB与CD不平行。
求出侧面投影
⒉ 两直线相交
V a A a c
c k
C
b d K D d k
交点是两直 线的共有点
b B a c
k
d
b
H
a
c k
d b
判别方法：
若空间两直线相交，则其同面投影必 相交，且交点的投影必符合空间一点的投 影规律。
例1：习题集P10 例2：习题集P10
2-12（1） 2-13
⒊ 两直线交叉
d
投影特性：
两直线相交吗？
b
a c c
1(2 ) 3 4
●
●
●
为什么？
●
2
●
b d
a
1 3(4 )
●
三视图的对应投影规律 三视图间的位置关系
主视图(V面)
工程制图投影的基础知识
⼯程制图投影的基础知识⼯程制图投影的基础知识 投影可分为正投影和斜投影。
正投影即是投射线的中⼼线垂直于投影的平⾯，其投射中⼼线不垂直于投射平⾯的称为斜投影。
下⾯是⼩编为⼤家整理的⼯程制图投影的基础知识，欢迎参考~ 投影法的基本知识 1、投影的形成原理。
⽤光线照射物体，在预设的⾯上绘制出被投射物体图形的⽅法，叫做投影法。
光线叫做投射线，所投射的⾯叫做投影⾯，投影⾯上等到的物体图形叫做该物体的投影。
2、投影法种 中⼼投影法：投射线都从投影中⼼出发，在投影⾯上作出物体图形的⽅法叫做中⼼投影法。
平⾏投影法：若将投射中⼼移⾄⽆穷远处，则所有的投射线就相互平⾏。
⽤相互平⾏的投射线，在投影⾯上作出物体图形的⽅法叫做平⾏投影法。
在平⾏投影法中，根据投影⾯是否垂直于投影⾯，⼜分为两种： 1）斜投影投射线倾斜于投影⾯ 2）正投影投射线平⾏于投影⾯ 正投影法能准确地表达出物体的形状结构，⽽且度量性好，因⽽在⼯程上⼴泛应⽤。
但它的缺点是⽴体感差，⼀般要⽤两个或两个以上的图形才能把物体的形状表达清楚。
机械图形主要是⽤正投影法绘制的，所以正投影法是本课程学习的主要内容。
在以后的课程中，除有特别说明外，我们提到的投影均指正投影三视图的画图步骤，根据物体或⽴体图画三视图时，应把物体摆平放正，选择形体主要特征明显的⽅向作为主视图的投影⽅向，⼀般画图步骤如下： 1、⽤点画线和细实线画出各视图的作图基准线。
2、⽤细实线、虚线，按照物体的构成，先⼤后⼩，先整体，后局部的顺序，⽤三视图的投影规律，画出物体三视图的底图。
3、底图画完后，需经过检查，没有错误后并清理图⾯，再按图线要求描深。
图线的描深顺序为：先曲线，后直线;⽔平线应⾃上⽽下，依次描深，垂线应⾃左向右依次描深。
按照这种顺序描深，可以保证曲线与直线的正确连接，提⾼描深速度，保证图⾯的清洁。
点的投影各种位置直线的投影： (1)投影⾯平⾏线 直线平⾏于⼀个投影⾯与另外两个投影⾯倾斜时，称为投影⾯平⾏线。
3-直线的投影及两只线的相对位置关系
一边平行于投影面的直角的投 影特性
例题 3
练习1
练 习 2
练习3
练习4
各种位置的直线的投影及相对位置关系
一、各种位置的直线的投影特性及应用
投影面平行线 投影面垂直线 一般位置直线
二、直线的相对位置关系
相交 平行 交叉
投影特性 及应用
一、特殊位置直线的投影及特性
1. 投影面平行线的投影及其特性：正平 线、侧平线、水平线
2. 投影面垂直线的投影及其特性：正垂 线、侧垂线、铅垂线
二、一般位置直线的投影及其 真长与倾角的图解方法
1. 一般位置直线的投影特性
2. 一般位置的直线的真长与倾角的图解 方法
直角 三角 形法 求直 线实 长的 基本 原理
三、 直线上的点的投影特性
1. 在直线的同面投影上
2. 按比例等分线段
2~4 两直线的相对位置
1. 相交
2. 平行
投影 特性
及
3. 交叉
应用
两相交直线的判断方法
两 相 交 直 线 的 投 影
例 题 1
两 平 行 直 线 的 投 影
例题 2
两交叉直线的空间位置及投影
两交叉直线的投影特性----1
重影点 可见性 的判断
交叉直线的投影----2
二、一边平行于投影面的直角的投影
1. 投影特性 2. 应用：例题：求点A到水平线BC的距 离
河北电大《画法几何与机械制图》习题答案(大部分)3
河北电大《画法几何与机械制图》习题答案（大部分）31. 在三投影面体系中，与H、V、W三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。
一般位置直线的三面投影都与三个投影轴倾斜。
（）对2. 为了求两条交叉直线的距离，只要把其中的一条直线变换为投影面垂直线，另一条直线也随之变换，则在最新的投影面上就能反映出二者的距离。
（）对1. 如下图所示的三视图中，左视图中有错误。
（）对2. 局部剖视图的剖切范围可大可小，可视机件的具体结构形状而定。
但在同一视图中，局部剖视图的数量不宜过多，以免使图形显得过于破碎。
（）对3. 被大量使用的，且被经常使用的机械零件，称之为常用件。
（）错4. 双头螺柱的有效长度L由设计人员根据计算确定；而双头螺柱的旋入端长度bm，由带螺孔的被连接件的材料决定。
（）对5. 比例是指实际机件要素与图样中相应机件要素的线性尺寸之比。
（）错6. 位于直线上的一点，其分割直线段长度之比，在投影后比值保持不变。
（）对7. 如下图所示，其所表达形体的水平投影是完全正确的。
（）对8. 如下图所示，其所表达形体的三面投影是完全正确的。
（）错9. 对于移出断面图，当剖切平面通过回转面形成的孔或凹坑的轴线时，或者当剖切平面通过非圆孔会导致完全分离的两个断面时，这些结构应按剖视图的方法绘制。
（）对10. 滚动轴承是用来支承旋转轴并承受轴上载荷、以提高转动效率的标准组件。
（）对1. 过定点P作已知线段AB的垂直线，其作图方法和步骤是:先使三角板的斜边过线段AB，然后将三角板旋转，使三角板的斜边过点A，即可作出所需的垂直线。
（）错2. 两同轴回转体的相贯线，是垂直于公共轴线的圆。
（）对3. 读图的基本要领之一，就是“弄清每个视图所有线条和线框的含义”。
（）对4. 在标注组合体尺寸时，需要用形体分析法对组合体进行形体分析。
（）对5. 组合体的尺寸标注，只需标注各部分形体的定形尺寸和定位尺寸。
（）错6. 如下图所示，其所表达形体的三面投影是错误的。
第二讲 直线的投影
投影面垂直面
铅垂面
相仿性
a b Z c c β b a o c b
相仿性
a YW
投影面 垂直面的投 影特性是：
X
积聚性
γ
1)在其所垂直的投影面上，投影为斜直 线，有积聚性；该斜直线与投影轴的夹角反映 该平面对相应投影面的倾角； 2)如用平面图形表示平面，则在另外两 个投影面上的投影不是实形，但有相仿性。
作业
• 2－10，2-11，2-12，2-14，2-15
例1 试根据各种位置直线的投影特性判断三棱锥上六 条 棱边为什么位置的直线。 AB为 水平线 SB为 侧平线
V
；BC为 水平线 ； AC为 侧垂线 ； ；SA为一般位置直线 ； SC为 一般位置直线 。
Z
s'
Z
s"
S a'
X
b'
s b
A B
投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 垂直于某一投影面
铅垂线（垂直于Ｈ面）
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
2.1 一般位置直线
直线与H、V 和W 三投影面的夹角分别用 α、β、γ表示。 投影长分别是： a b = AB cosα
ab = AB cosβ ab=AB cosγ
一般位置直线投影特性
YH
名称 铅垂面 （H）
立体图
投影图
投影特性
1)H投影为斜直线， 有积聚性，且反 映、 大小 2)V、W投影不是 实形，但有相仿 性。 1)V投影为斜直线， 有积聚性，且反 映、大小 2)H、W投影不是 实形，但有相仿 性。
正垂面 （V）
侧垂面
（W）
1)W投影为斜直线， 有积聚性，且反 映、大小 2)H、V投影不是 实形，但有相仿 性。
机械工程图学-投影理论的基础知识(平面的投影)
Wang chenggang
2-4/132
2.3 点、直线和平面的投影—2.3.2 直线的投影
作业
《机械工程图学基础教程习题集》 P10 ～ P13
Wang chenggang
2-5/132
2.3 点、直线和平面的投影—2.3.2 直线的投影
作业
《机械工程图学基础教程习题集》 P10 ～ P13
2-19/132
2.3 点、直线和平面的投影—2.3.3 平面的投影
垂直于水平面的平面称为铅垂面。
Y
a’ b’ a” b”
d’
c’ d” c”
X
O
YW
a(d) c(b)
YH
Wang chenggang
a’
b’
d’
c’
A
D
a(d)
a”
B d” b”
C
c”
b(c)
铅垂面
2-20/132
2.3 点、直线和平面的投影—2.3.3 平面的投影
平行于H 面的称为水平面，其投影特性为： ①水平投影反映平面的实形。 ②正面投影和侧面投影积聚为一条与相应轴平行的直线。
水平面的投影特性
Wang chenggang
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2.3 点、直线和平面的投影—2.3.3 平面的投影
平行于V面的称为正平面，其投影特性为： ①正面投影反映平面的实形。 ②水平投影和侧面投影积聚为一条与相应轴平行的直线。
Wang chenggang
2-24/132
2.3 点、直线和平面的投影—2.3.3 平面的投影
（2）投影面平行面
平行于一个 投影面的平面。
必然同时垂 直于另外两个投 影面！
图2-26 投影面平行面的立体图
工程制图(第二版) (2)
第2章 正投影的基本知识
点A到H面的距离Aa = a′ax = a″ay = oaz = zA。 由此可见，若已知点A的投影(a′、a、a″)，即可确定该
点的坐标，也就确定了该点的空间位置；反之亦然。 由图2-9(b)可知，点的每个投影包含了点的两个坐标；点
的任意两个投影包含了点的三个坐标，所以，根据点的任意两 个投影，也可确定点的空间位置。
正平线
① cb∥OX，c″b″∥OZ ② a′b′ = CB ③ 、 反映实形
侧平线
① ac∥OY，a′c′∥OZ ② a″c″ = AC ③ 、β 反映实形
第2章 正投影的基本知识 2) 投影面垂直线 垂直于一个投影面的直线称为投影面垂直线。根据其垂直 的投影面的不同，又可分为：
正垂线——垂直于V面，平行于H、W面的直线； 铅垂线——垂直于H面，平行于V、W面的直线； 侧垂线——垂直于W面，平行于V、H面的直线。
表2-2列出了投影面垂直线的立体图、投影图及投影特性。
第2章 正投影的基本知识
表2-2 投影面垂直线的投影特性
分类
立体图
投影图
投影特性
铅垂线
① ab 积聚为一点 ② a′b′⊥OX；a″b″⊥OY ③ a′b′ = a″b″ =AB
正垂线
① b′c′积聚为一点 ② bc⊥OX；b″c″⊥OZ ③ bc = b″c″ =BC
第2章 正投影的基本知识 图2-8 已知点的两个投影求第三投影
第2章 正投影的基本知识 4．点的投影与直角坐标的关系
若将三投影面体系看做空间的直角坐标系，则V、H、W面 相当于坐标面，OX、OY、OZ轴相当于坐标轴，点O相当于坐标
原点。 由于图2-9(a)中长方体的每组平行边分别相等，因此可得
直线的投影
2.投影面垂直线
正垂线
立 体 及 其 三 视 图
投 影 轴 测 图
直 线 投 影 图
直线的投影
铅垂线
侧垂线
投影特性： 在所垂直的
投影面上的投影 积聚为一点；
另外两个投 影反映实长，且 垂直于相应的轴。
直线的投影 二、直线对投影面的各种相对位置及投影特性
3.一般位置直线 对三个投影面都是倾斜的直线称为一般位置直线。
特殊位置直线在三面投影中能直接显示其真长及对投影面的倾角，而一般位 置直线则不能。
用直角三角形法求一般位置直线的真长和倾角。
ΔABD为直角三角形，
其中AB为实长，AD=ab，α
为AB对H面的倾角，BD=Bb-
Db=b＇bX- a＇aX=ΔZ（直 线段AB两端点的Z坐标差）。
D
因此，已知ＡＢ投影，可以
通过ab和ΔZ作辅助直角三
角形求出AB及α角。
直线的投影 三、用直角三角形法求直线的真长及对投影面的倾角
特殊位置直线在三面投影中能直接显示其真长及对投影面的倾角，而一般位 置直线则不能。
用直角三角形法求一般位置直线的真长和倾角。
D
直线的投影 三、用直角三角形法求直线的真长及对投影面的倾角
特殊位置直线在三面投影中能直接显示其真长及对投影面的倾角，而一般位 置直线则不能。
在两直线交叉垂直时，也同样具有上述特性。
直线的投影 六、一边平行于投影面的直角的投影
例5: 如图a所示，求点A到直线BC的距离AK。
分析：由图可知BC∥V面，而AK⊥BC，故根据直 角投影定理可得：a′k′⊥b′c′。
图a
用直角三角形法求AK的实长
投影。投影用粗实线绘制。
直线的投影
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点、直线、平面一般位置直线的投影
1. 掌握一般位置直线的投影规律和特点；
2. 掌握实长三角形方法。
目的和要求
直线的投影——一般位置直线
对各投影面都倾斜的直线,称为一般位置线， 一般位置线的三个投影都具有如下的投影特点:
b’
a’b’’
a’’
b
a
Z
X
Y H
Y W
B
b’
a’b’’
a’’Y
A X
Z
b
a
投影特性：① a b、 a ' b '、a " b " 均小于实长；
② a b、a ' b '、a " b " 均倾斜于投影轴； ③不反映实际的α 、β 、γ 角。
直线的投影——一般位置直线
直线的投影仍为直线, 只要作出直线上任意两点的投影，把同面投影连接起来,即得直线的三面投影。
直线对H、V和W面的倾角通常以α、β、γ分别表示。
ab=ABcosα、a′b′=ABcosβ、 a″b″=ABcosγ
直线的投影——一般位置直线
B
投影特性：1. a b、 a ' b '、a " b " 均小于实长；
2. a b、a ' b '、a " b " 均倾斜于投影轴；
3. 不反映实际的α 、β 、γ 角。
b’
a’b’’
a’’
Y
A b’a’
b’’
a’’
b a
Z
X
Y H
Y W
X
Z
b
a
直线的投影——一般位置直线
根据空间直线及直线的两面投影，从中找出几何关系，利用实长三角形法，可以求出一般位置线的实长及倾角。
直线的投影——一般位置直线
A
B
b
b '
a
a '
C
α
|z A -z B |
X
a '
a
b '
b
|z A -z B |
|z A -z B |
α
AB ab
|z A -z B |
α
AB
(1) 求直线的实长及对H面的倾角 α
直线的投影——一般位置直线
(2) 求直线的实长及对V面倾角β
A
B
b
b '
a
a '
C
X
O
|Y A -Y B |
a’
X a
b '
b
a’b’
AB
β
|Y A -Y B |
AB
β
|Y A -Y B |
βO
直线的投影——一般位置直线
(3) 求直线的实长及对W面的倾角 γ
X
Z
Y
A B
b b '
a "
b "
a
a '
Z X
a '
a”
a
O
Y H
Y W
b "
b b 'γ
|X A -X B |
|X A -X B |γ
AB
直线的投影——一般位置直线
例题. 已知线段的实长AB，求它的水平投影及α角。
a
|z A -z B |
α
AB b '
X
a '
b
AB
β
a '
b '
AB AB a 1
|y A -y B |
O
|z A -z B |
a b
a b
课 程 小 结
1. 一般位置线的投影特征；
2. 实长三角形法的基本原理；
3. 实长三角形法的应用。