卡诺图化简所应用的逻辑代数原理与方法
知识点3.卡诺图化简法
相邻项相加能消去一个因子，合并为一项，如:
。
卡诺图化简就是建立在相邻项的基础上的，消去多余的因子，使函
数得到简化。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
利用卡诺图化简时，首先要把函数表示成最小项之 和的形式，称为标准与或式(或最小项表达式），求函 数标准与或式有两种方法:
①从真值表中求标准与或式 ②从一般表达式利用展开法求标准与或式
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
【例1】化简逻辑函数
化简得：
最小项合并结果有时不是唯一的，但合并后的项数和每一 项的因子数是相同的！
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
【例2】 用卡诺图法化简逻辑函数Z（A，B，C，D）
=∑m(0，1，2，3，4，5，6，7，10，11)。
化简得：
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
利用前面介绍的公式法化简逻辑函数，要熟练掌 握逻辑代数的基本公式、常用公式和一些定律，并 且需要有一定的技巧，这对许多人来说有困难。借 助卡诺图化简逻辑函数比较方便，容易掌握。卡诺 图是美国工程师karnaugh在20世纪50年代提出的， 它建立在最小项的基础上，所以首先要了解有关最 小项的内容。
b.四个小方格组成一个大方格、或组成一行（列）、或 处于相邻两行（列）的两端、或处于四角时，所代表的最小 项可以合并，合并后可消去两个变量。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
c.八个小方格组成一个大方格、或组成相邻的两行 （列）、或处于两个边行（列）时，所代表的最小项可以合 并，合并后可消去三个变量。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
仔细分析上表，可以总结出最小项的性质： ①对任何一个最小项，只有一组变量的取值组合，使 它的值为1。反之，对于输入变量任何一组取值，有且 只有一个最小项的值为1。 ②任意两个最小项的乘积恒等于0 。 ③所有最小项之和为1。 ④具有相邻性的两个最小项之和能合并成一项且消去 一个因子。
逻辑代数基本原理及公式化简
2.1.3 逻辑代数的基本规则
4、附加公式
附加公式二： 一个包含有变量x、x 的函数f，可展开为 x·f和
x·f的逻辑或。 一个包含有变量x、x 的函数f，可展开为（x+f）和
（x+f）的逻辑与。
利用附加公式一，可以改写为：
2.1.3 逻辑代数的基本规则
4、附加公式
例题：化简函数 AB BD （A B）(A B)(B E)
2.1.2 逻辑代数的基本公式
基本公式验证方法： 真值表 利用基本定理化简公式 例：真值表验证摩根定律
A B A B A＋B A＋B A B 00 1 1 1 1 01 1 1 0 0 10 1 1 0 0 11 0 0 0 0
A______•____B______
__ __
A B
__ __
A B A • B
2.1.2 逻辑代数的基本公式
真值表 利用基本定理化简公式 例：证明包含律
AB AC BC AB AC
证明：
AB（C C） AC(B B ) BC(A A) 1律、互补律 ABC ABC ABC ABC ABC ABC 分配律 ABC ABC ABC ABC 重叠律 AB AC 分配律、互补律
比较两种方法，应用反演规则比较方便。
2.1.3 逻辑代数的基本规则
2、反演规则
例题：求下列函数的反函数 1、F AB CD 2、F A B BCD
2.1.3 逻辑代数的基本规则
3、对偶规则
如果将逻辑函数F 中所有的“”变成“+”,“+”变
成“”,“0”变成“1”,“1”变成“0”, 则所得到的新
A
F
A1 F
非门 （A是输入，F是输出）
电工电子技术基础知识点详解3-1-1-逻辑函数化简
逻辑代数化简主要内容：逻辑代数化简的方法；利用逻辑代数的基本运算法则和卡诺图进行化简。
重点难点：卡诺图法化简的方法。
逻辑代数化简由逻辑状态表直接写出的逻辑式及由此画出的逻辑图，一般比较复杂；若经过简化，则可使用较少的逻辑门实现同样的逻辑功能。
从而可节省器件,降低成本，提高电路工作的可靠性。
利用逻辑代数变换，可用不同的门电路实现相同的逻辑功能。
化简方法公式法卡诺图法例1： 化简 1. 应用逻辑代数运算法则化简(1) 并项法 CAB C B A C B A ABC Y+++=)()(B B C A B B AC +++=C A AC +=A=例2： 化简 CB C A AB Y++=(2) 配项法)(A A C B C A AB +++=C B A C A C AB AB +++=CA AB +=BA B A A +=+例3： 化简CB AC B A ABC Y ++=(3) 加项法 ABC C B A C B A ABC +++=ACBC +=CB C B A ++=)(CB C B A +⋅=CB A +=(4) 吸收法吸收B A AB +=C B AC B A Y++=例4： 化简例5： 化简Y =ABC +AB D +A BC +CD +BD =ABC +A B C +CD +AB +BD =AB +A B C +CD +BD =AB +B C +CD +BD=AB +CD +B (C +D )=AB +CD +BCD)(D AD B CD C B A ABC ++++=吸收吸收 吸收 B CD AB ++=CDB +=吸收2. 应用卡诺图化简卡诺图:是与变量的最小项对应的按一定规则排列的方格图，每一小方格填入一个最小项。
(1) 最小项：对于n输入变量有2n种组合, 其相应的乘积项也有2n 个，则每一个乘积项就称为一个最小项。
其特点是每个输入变量均在其中以原变量和反变量形式出现一次，且仅一次。
卡诺图化简
卡诺图化简一.画法卡诺图中变量组合采用格雷码排列，具有很强的相邻性。
0110m AB m AB1m 03m AB AB2(a)0132B (b)B A0101A0m ABC m ABC 1m 3m ABC ABC 265m ABC74ABCm m m ABCABC 0(a)(b)132457610011100BC A01BC A 1001110001m 0ABCD ABCD m 1ABCD m 3m ABCD 2m 567m m ABCD ABCD m ABCD 4ABCD ABCD m m 13ABCDABCD 1412m 15m ABCDABCDABCDm ABCD8m 1011m 9m ABCD 0132765413141512981110ABCD0000010*******10(a)(b)ABCD 0000010111111010二．步骤1．逻辑函数化为最小项表达式；写出最小项之和的形式、标准与或式2．根据变量的个数画出相应的卡诺图。
3．画卡诺圈并检查；填卡诺图（Y中包含的最小项填1），画包围圈（2n个相邻方格组，n=1，2，…4．将各卡诺圈合并为与项；各包围圈合并为一个与项（消去形式不同的变量，保留形式相同的变量5．将所有与项相加写出最简与或表达式合并后的各与项相加即为化简的逻辑函数三．注意：1．卡诺圈的面积要尽可能大，这样消去的变量就多，可保证与项中变量最少。
2．卡诺圈的个数要尽可能少，每个卡诺圈合并后代表一个与项，这样可保证与项最少。
3．每个卡诺圈内方格数为2n（n=0，1，2…），根据“去异留同”的原理将这2n个相邻的最小项结合，可以消去n个共有并且互补的变量而合并为一项。
4. 卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，不能漏下。
5．取值为1的同一方格可被不同卡诺圈重复包围，但新增卡诺圈要有新方格。
6. 相邻方格包括上下相邻、左右相邻、四角相邻（注意对角不相邻）。
综上所述，画卡诺圈时应遵循先画大圈后画小圈的顺序，同时要保证圈内方格数为2n且不能漏下任何1方格。
卡诺图化简
逻辑函数中的无关项
• 无关项在逻辑函数化简中的作用：
– 例2：用卡诺图简化下列逻辑函数，并写成最 简与或式和或与式。
Y ABC ABCD ABCD ABCD CD AB 00 约束条件：A B＝0 00 × 约束条件可表示为：AB AB 0 01 1
逻辑函数中的无关项
• 约束项：
– 表示方法：
ABC 0 ABC 0 ABC 0 ABC 0 ABC 0
或
由于约束项的值始终为 0，所以既可以将约束 项写进逻辑函数式，也 可以不写。
ABC ABC ABC ABC ABC 0
逻辑函数中的无关项
BC A 0 1
1
00
01
1 1
11
1
10
1 1
卡诺图化简法
• 利用卡诺图化简函数
– 例1：用卡诺图化简 Y AC AC BC BC
Y AC AC BC BC AC BC AB
BC A 0 1
1
00
01
1 1
11
1
10
1 1
注：卡诺图化简不是唯 一，不同的圈法得到的 简化结果不同，但实现 的逻辑功能相同的。
0
11
0
10
0
最简或与式：
Y B( A C D)( A C D)
1
0 0
1
1 0
0
1 0
1
1 0
卡诺图化简法
• 利用卡诺图化简函数
– 例3：用卡诺图化简为最简与或式和最简或与式 Y M (2,3,4,6,11,12,14)
用卡诺图化简逻辑函数合并最小项的规则
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2020/3/4
第五节 逻辑函数的化简
[例2.5.17]：用卡诺图将下式化简为最简与-或逻辑
函数式。
Y ABC ABD CD ABC ACD ACD
解： Y CD
AB 00 01 11 10
D
00 1 0 0 1
01 1 0 0 1
11 1 1 1 1
第五节 逻辑函数的化简
A A 1
可在逻辑函数式中的某一项乘 ( A A)，
然后拆成两项分别与其他项合并。
[例2.5.13]：Y BC AC AB
( A A)BC AC AB
ABC ABC AC AB
AB AC
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则可合并为一项并消去一对因子。 2. 若四个最小项相邻且排列成一个矩形组，
则可合并为一项并消去两对因子。 3. 若八个最小项相邻且排列成一个矩形组，
则可合并为一项并消去三对因子。
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2020/3/4
第五节 逻辑函数的化简
合并两个相邻最小项的情况：
BC A 00 01 11 10
01 1 0 1
B
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2020/3/4
第五节 逻辑函数的化简
卡诺图化简的步骤：
1. 将函数化为最小项之和的形式。
2. 画出表示该逻辑函数的卡诺图。
3. 找出可以合并的最小项。
4. 选取化简后的乘积项。
选取乘积项的原则： 1. 这些乘积项应包含函数式中所有的最小项。 2. 所用的乘积项数目最少。 3. 每个乘积项包含的因子最少。
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2020/3/4
代数法化简逻辑函数
2.1 逻辑代数
例1：证明 AB AB A AB B AB
证明： AB AB AB AA AB BB A A B B A B
A AB B AB A AB B AB
A AB B AB
（2）用与非门实现L。
应将表达式转换成与非—与非表达式：
L AB BC AC
L AB BC AC
AB BC AC
AB BC AC
（3）用非门、或非门实现L。
L AB BC AC
ABBC AC
ABBC AC
2.1 逻辑代数
例7化简： L AB BC BC AB
2.1 逻辑代数
例3化简： L AB AC BC CB BD DB ADE(F G) L ABC BC CB BD DB ADE(F G) （利用摩根律 ）
A BC CB BD DB ADE(F G)（利用 AAB AB ）
A BC CB BD DB （利用A+AB=A）
第二章 逻辑代数
2.1 逻辑代数 2.2 逻辑函数的卡诺图化简法
2.1 逻辑代数
二.基本定律和恒等式
1.பைடு நூலகம்基本公式 （公理）
与运算： 0۰0=0 或运算： 0+0=0
0۰1=0 0+1=1
1۰0=0 1+0=1
非运算： 0 1 1 0
2. 定律
常量与变量 运算律：
互补律：
重叠律： A+A=A
A۰ A=A
双重否定律： A A
1۰1=1 1+1=1
2.1 逻辑代数
结合律 (A+B)+C=A+(B+C) ; (AB)·C=A·(BC)
卡诺图化简法
性质3：任意两个不同的最小项的乘积必为0。
第6章
（3）最小项的性质
3 变量全部最小项的真值表
A B C m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 000 1 0 0 0 0 0 0 0 001 0 1 0 0 0 0 0 0 010 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 变0 量AB0C取值为0 001情1况下，0 各最0小项之0和为10。 1 0 0 【0因为其0 中只0有一个0最小项1为1，0其余全0 为0。0】 101 0 0 0 0 0 1 0 0 110 0 0 0 0 0 0 1 0 111 0 0 0 0 0 0 0 1
F ( A, B,C, D) ABCD ABC D ABC D ABC D ABC D ABCD ABC D
将这七个最小项填入四变量卡诺图内
化简得 F BC BD AC D
提示
（1）列出逻辑函数的最小项表达式，由最小项表达式确定变量 的个数（如果最小项中缺少变量，应按例的方法补齐）。
（2）画出最小项表达式对应的卡诺图。
（3）将卡诺图中的1格画圈，一个也不能漏圈，否则最后得到的 表达式就会与所给函数不等；1格允许被一个以上的圈所包围。 （4）圈的个数应尽可能得少。即在保证1格一个也不漏圈的前 提下，圈的个数越少越好。因为一个圈和一个与项相对应，圈 数越少，与或表达式的与项就越少。
性质1：任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1,
而在变量取其他各组值时这个最小项的值都是0。
第6章
（3）最小项的性质
3 变量全部最小项的真值表
A B C m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 000 1 0 0 0 0 0 0 0 001 0 1 0 0 0 0 0 0 010 0 0 1 0 0 0 0 0 011 0 0 0 1 0 0 0 0 100 0 0 0 0 1 0 0 0 101 0 0 0 0 0 1 0 0 110 0 0 0 0 0 0 1 0 111 0 0 0 0 0 0 0 1
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卡诺图化简所应用的逻辑代数原理与方法
kamaugh map Simplification of the application
of principles and methods of algebraic logic
【摘要】逻辑代数卡诺图化简是数字电子技术的一个重要内容，本文讨论了卡诺
图化简逻辑代数的化简原理以及基本方法。卡诺图利用了格雷码的循环相接性质
进行化简，采用画卡诺圈进行逻辑合并。
【关键词】逻辑代数；卡诺图；化简
【Abstract】Simplifying logic function by kamaugh map is an important content of
digital electronic technique. This paper explores the principle and basic methods of
Simplifying logic function by kamaugh map.
K-map use the cycle phase nature of
the Gray code to
simplifying logic function and use carnot cycle to merge logic.
【Key Word】Logic Function;Karnaugh Map;Simplifying
引言
在ASIC设计和基于PLD的设计中，最小化都是一个重要的步骤。多余的门和门
输入端需要更多的面积，从而增加了成本。但是在杂乱的代数符号中找出可结合
的项是困难的。卡诺图是逻辑函数真值表的图形表示，是一种更适于人工操作的
最小化方法，其出发点是对真值表进行图形等效，它是通过一种直观形象、易于
操作的方式来实现逻辑代数化简。
一、卡诺图化简的相关概念
1、最小和：逻辑函数F的最小和是F的一个“积之和”表达式，F的其它“积
之和”表达式不会比最小和最小和式中的乘积项更少。
2、主蕴含项定理：最小和是主蕴含项之和。
3、奇异“1”单元：是一个仅被单一主蕴含项覆盖的输入组合。
4、质主蕴含项：是覆盖一个或多个奇异“1”单元的主蕴含项。
5、蕴涵项：在函数的“与-或”表达式中,每个“与”项被称为该函数的蕴涵项
二、卡诺图的构成及化简的原理
1、卡诺图是一种平面方格阵列图，n个变量的卡诺图由2n个小方格构成。卡诺
图是真值表图形化的结果，n个变量函数的真值表是用2n行的纵列依次给出变
量的2n种取值，每行的取值与一个最小项对应；而n个变量函数的卡诺图是用
二维图形中2n个小方格的坐标值给出变量的2n种取值，每个小方格与一个最小
项对应。
2、格雷码具有循环邻接的特性，而将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩
阵形式，并且使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序排列，
这样构成的图形就是卡诺图。卡诺图上上下左右在几何上相邻的方格内只有一个
因子有差别，且同一幅卡诺图中分别处于行(或列)两端的小方格也只有一个因子
的差别，满足循环邻接的特性。这样一来我们可以从图形上直观地找出相邻最小
项合并。合并的理论依据是并项定理AB+AB’=A,即两个相邻最小项可以合并为
一个与项并消去一个变量。
例如:四变量最小项ABCD、ABC’D、A’BC’D、A’BCD，其中ABCD和ABC’D
相邻，可以合并为ABD；A’BC’D和A’BCD相邻，可以合并为A’BD；而与项
ABD和A’BD又为相邻与项，故按同样道理可进一步将两个相邻与项合并为BD。
所以有：
F=ABCD+ABC’D+A’BC’D+A’BCD=BD；
这样一来用卡诺图化简逻辑函数的基本原理就是把上述逻辑依据和图形特
征结合起来，通过把卡诺图上表征相邻最小项的相邻小方格“圈”在一起进行合并，
达到用一个简单“与”项代替若干最小项的目的。通常把用来包围那些能由一个简
单“与”项代替的若干最小项的“圈”称为卡诺圈。
三、卡诺图化简的方法
利用卡诺图化简逻辑函数的步骤如下
1、将逻辑函数写成最小项表达式
2、按最小项表达式填卡诺图 ，凡式中包含了的最小项，其对应方格填1，其余
方格填0。
3、合并最小项
我们最常用的方法是“圈1法”（要画必要且最大的卡诺圈），其基本原则如下:
a包围圈内的方格数一定是2n个，且包围圈必须呈矩形(包括正方形)，并且要包
含所有的最小项。
b几何相邻特性包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻(必须同时为1)。
c 同一方格可以被不同的包围圈重复包围多次， 但新增的包围圈中一定要有原
有包围圈未曾包围的方格。
d一个包围圈的方格数要尽可能多(以保证化简后的乘积项最简),包围圈的数目要
尽可能少(以保证化简后的乘积项数量最少)。
4、将所有包围圈对应的乘积项相加得出表达式。
相应的乘积项的变量可以直接从卡诺图中确定，每个变量的确定原则如下：
a如果圈线只覆盖图中变量为0的区域，则变量在乘积项中求反。
b如果圈线只覆盖图中变量为1的区域，则变量在乘积项中不求反。
c如果圈线覆盖图中变量为0和1的区域，则在乘积项中不出现。
5、无关项的处理
无关项可取1可取0，用d来代表，具体以实际情况来定。
四、实用举例
例一：如图的卡诺图，进行化简。
第一，合并最小项
按照上述的原则，图2可画出a、b、c、d四个包围圈，a区是把同一行的左、右
两侧及同一列的上、下端看作邻接。
第二，将每个包围圈的逻辑表达式进行逻辑加。
根据保留圈内最小项的相同变量，除去不同变量的化简规律②，对于a区，变量
A、C取值均有变化，所以消去A、C变量，变量B、D取值无变化应保留，因
此该圈化成的最简项为B ’D’。对于b区，变量A、C、D取值不变应保留，变
量B取值变化，因此消变量B，该圈化简的最简项为A’ C’D’。对于c区，变量
B、D取值均有变化，可消去B、D变量，变量A、B取值不变，应保留，因此
该圈化成的最简项为AC。同理d圈化成的最简项为A B，因此
F=Fa+Fb+Fc+Fd=B’D’+A’C’D’+AC+A’B’
就是简化后的最简逻辑表达式。
综上所述，用卡诺图法化简可以比较简便地得到最简的逻辑表达式，同时，对于
给定的逻辑函数，可不必先化其为最小项表达式，而通过一定的观察直接填出其
卡诺图，然后利用“圈1法”圈出正确的方格组，最后再根据除去圈内不同的化
简规律就可写出简化后的最简逻辑表达式。
例2：当8421BCD码其代表的十进制数≥5时，输出为“1”，求Y的最简表达
式。
解：先列真值表，再画卡诺图
A B C D Y
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 1 1
0 1 1 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1 1
【参考文献】
[1]John F.Wakerly数字设计原理与实践（第四版）.高等教育出版社
[2]百度文库
[3]逻辑代数卡诺图化简方法与技巧. 张宏亮1、贾宇向
2