概率论与数理统计题库

概率论与数理统计试卷

一、填空题（每题3分，共21分）

1、设A 、B 、C 是三个事件，4/1)()()(===C P B P A P ，12/1)()(==AC P AB P ，

0)(=BC P ，则事件A 、B 、C 全不发生的概率为 5/12 ；

2、设10件中有3件是次品。今从中随机地任取4件，设随机变量X 为这4件产品中次品

的件数，则X 的概率分布律为.3,2,1,0,}{4

10

47

3===-k C C C k X P k

k ； 3、一份密码由三人独立破译，他们能破译出的概率分别是31、41、5

1

，则该密码被破译出的概率为3/5(或0.6) ；

4、随机变量X 的分布函数是??

?

??≥<≤<=.

1,1,10,3/1,

0,0)(x x x x F ，则)1(=X P =32;

5、设随机变量X 与Y 相互独立同分布，且X 的分布函数为)(x F ，则},max{Y X Z =的分布函数为)(2

z F 。

6、设)(~λπX ，且}2{}1{===X P X P ，则=λ__2___；

7、设随机变量X 与Y 相互独立且均服从区间），（10上的均匀分布，=<-)2/1(Y X P 3/4；

二、单项选择题（本大题共7小题，每题3分，共21分）

1、某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p ，则在第5次射击时恰好第2次命中目标的概率为（ A ）

(A) 3

2

)1(4p p -； (B) 3

2

)1(10p p -； (C) 3

2

)1(5p p -； (D) 3

)1(4p p -； 2、设随机变量X 的分布函数为()F x ，则12-=X Y 的分布函数为（B ）

（A ）

21)(21+y F ；

（B ）)2

1

21(+y F ；（C ） )1)(2-y F ；（D ）)12(-y F ； 3、设随机变量X 的概率分布律为Λ,2,1,0,!

}{===k k A

k X P ，则参数=A （D ）

(A) 0 ； (B) 1； (C) e ； (D) 1

-e ；

4、设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为

(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)

1111

69183X Y P αβ

若Y X ,独立，则βα,的值为 （A ）

（A ）91,92==

βα（B ）92,91==βα（C ） 61,61==βα（D ）18

1

,185==βα. 5、从5双不同鞋子中任取4只，则这4只鞋子恰能配成2双的概率为（ A ）

(A) 1/21； (B) 13/21； (C) 10/21； (D) 1/2； 6、若X 服从标准正态分布)1,0(N ，则)1|(|>X P =（B ）

（A ）1)1(2-Φ；（B ）)]1(1[2Φ-；（C ）)1(2Φ-；（D ）)1(21Φ-；

7、设连续型随机变量X 的概率密度为∞<<-∞+=x x

A

x f ,1)(2

，则参数=A （D ） (A) 0 ； (B) 1； (C) π； (D) π/1；

三（本大题共2小题，每题10分，共20分）

1、假设有两种同种零件：第一箱内装10件，其中2件为一等品；第二箱内装5件，其中3件是一等品。现从两箱中任意挑取一箱，然后从该箱中先后随机地取出2个零件(取出的零件均不放回)。求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率。 （1）由全概率公式

)()()()()(2121111A B P A P A B P A P B P +==5

2

532110221=?+? ……5分

（2）所求概率为)

()

()(12112B P B B P B B P =，其中)(1B P 已经求出，

1611.0180

29

4523219101221)()()()()(2212121121==???+???=+=A B B P A P A B B P A P B B P

所以4028.072

29

5/2180/29)(12===B B P 。 ………………………………8分

2、随机变量X 的概率密度为：+∞<<-∞=-x Ae x f x ,)(，

求（1）常数A ； （2）X 的分布函数)(x F ； （3）}11{<<-X P 解：（1）[]

A Ae dx e A dx Ae

dx x f x

x x

222)(10

=-====

+∞

-∞+-∞+∞

--∞+∞

-?

?

?

，

∴ 2

1

=

A ……………………………………（2） （2）当0

1

21)()(===??∞-∞-，当0≥x 时，x x

t t x t t x

e e e dt e dt e dt t

f x F --∞--∞-∞--=???

???-+??????=+==???21121212121)()(0

00

，

X 的分布函数为?????≥-<=-.

0,1,0,

)(2121x e x e x F x

x (3)

（3）.1)1()1(}11{1

--=--=<<-e F F X P . (2)

四（本大题共2小题，每题10分，共20分）

1、已知某型电子器件寿命X (以小时计)的概率密度函数为:

???

??≤>=.100,0,100,100

)(2

x x x x f （1）求X 的分布函数()F x 。 （2）现有一大批此种器件(设各器件损坏与否相互独立)，任取10只，以Y 表示寿命大于150小时的器件的只数，求Y 的分布律。 解：（1）因为 当100≤x 时，00)(==

?

∞

-x

dx x F ，当100>x 时，

x x dx x dx x F x x

10011001000)(1001002100-=??????-=+=??

∞

-，故?????≤>-

=.100,

0,100,100

1)(x x x x F （4分） （2）因为任意一只器件寿命X 大于150小时的概率为3

2

)150(1=-=F p ， 又各器件损坏与否相互独立，所以Y 服从)3

2,10(b ，概率分布律为

.10,,2,1,0,313210}{10Λ=??

?

????? ?????? ??==-k k k X P k

k ………………（8分）

2、设系统L 由两个相互独立的子系统1L 和2L 连接而成，其寿命分别为X 和Y ，已知它们

的独立同分布且X 的概率密度为?

??≤>=-.0,0,

0,)(x x e x f x X 求（1）子系统1L 和2L 串联时；（2）

子系统1L 和2L 并联时系统L 的寿命Z 的概率密度。

解：X 和Y 的分布函数分别为???≤>-=-.0,0,0,1)(x x e x F x X 和???≤>-=-.0,0,

0,1)(y y e y F y Y ……（3分）

（1）串联时},min{Y X Z =，其分布函数为???≤>-=-.

0,0,

0,1)(2min z z e z F z ,

所以概率密度为???≤>=-.0,0,

0,2)(2min z z e z f z ………………………………………………（3分）

（2）并联时},max{Y X Z =，其分布函数为???≤>-=-.0,0,

0,)1()(2max z z e z F z ,

所以概率密度为???≤>-=--.

0,0,

0,22)(2max z z e e z f z z …………………………………（2分）

五、 （本大题共2小题，每小题9分，共18分） 1、设)1,0(~N X ，求X Y =的概率密度。

解：当0

2

22

)()()(')(y X X Y Y e

y f y f y F y f -

=

-+==π

，…………5分

综上，??

???<≥=-.0,0,

0,2)(22

y y e y f y

Y π …………6分

2、设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为?

??+∞<≤+∞≤≤=--.,0.

0,0,),(2其他y x Ce y x f y x

求（1）常数C ；（2）边缘概率密度函数)(x f X ，)(y f Y

解：（1）因为

121),(),(100200??=?===?

?

?

??

?+∞

-+∞

-+∞+∞

+∞∞-+∞

∞-C dy e dx e

C dxdy y x f dxdy y x f y

x

所以2=C ………………………………………………………………2分 （2）???<≥==-∞

+∞

-?

.

0,0,

0,2),()(2x x e dy y x f x f x X ，………………………4分

?

??<≥==-∞

+∞

-?

.0,0,

0,),()(y y e dx y x f y f y Y …………………………6分