4.第四章 频率特性分析

(0,+∞ )
对数的运算性质: 对数的运算性质
如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有： ， ， ，
log a MN = log a M + log a N
M loga = loga M − loga N N n loga M = n loga M (n ∈ R)
作业
总结 1 由频率响应求取频率特性
由频率响应求取系统的频率特性的基本思路是: ① 求取系统对谐波输入的稳态响应
x i (t ) = X i sin ωt x o (t ) = X o (ω ) sin(ωt + ϕ (ω ))
② 根据频率特性的定义,求系统的幅频特性和相频特性
A(ω ) = X o (ω ) Xi
b =N a
指数 幂
底数 真数 对数
有关性质： 有关性质：
⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ） 负数与零没有对数（ ⑵
log a 1 = 0,
log a a = 1,
⑶对数恒等式
a = N, b log a a = b
log a N
⑷常用对数： 常用对数： 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。 为底的对数叫做常用对数 我们通常将以 为底的对数叫做常用对数。 简记作 为了简便,N的常用对数 为了简便 的常用对数 log 10 N 简记作lgN。
ϕ(ω):输出相位-输入相位
③ 根据频率特性的定义,求系统的幅频特性和相频特性
F ( jω ) = A(ω )e jϕ (ω )
2 由传递函数求取频率特性
G ( jω ) = G ( s ) s = jω =
X o ( jω ) ∠G ( jω ) = ∠ X i ( jω )
X o ( s) X ( jω ) = o X i ( s ) s = jω X i ( jω )
4.1 4.4 4.5 4.7（2） 4.8 4.11（3） 4.12（1）、（4）、（9） 4.15（1）、（6）、（9）
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对数发明是17世纪数学史上的重大事件。 对数发明是17世纪数学史上的重大事件。 世纪数学史上的重大事件 恩格斯说，对数的发明与解析几何的创立、 恩格斯说，对数的发明与解析几何的创立、微积分的建立是 17世纪数学史上的3大成就。 17世纪数学史上的3大成就。 世纪数学史上的 伽利略说，给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙。 伽利略说，给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙。 布里格斯（常用对数表的发明者） 布里格斯（常用对数表的发明者）说，对数的发明，延长了 对数的发明， 天文学家的寿命。 天文学家的寿命。 对数的发明让天文学家欣喜若狂， 对数的发明让天文学家欣喜若狂，因为对数可以将乘除法变 为加减法，把天文数字变为较小的数，简化数的运算。 为加减法，把天文数字变为较小的数，简化数的运算。
⑸自然对数： 自然对数： 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828…… 在科学技术中常常使用以无理数 为底的对数， 为底的对数叫自然对数。 为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。 为底的对数叫自然对数 为了简便， 的自然对数 为了简便，N的自然对数 log e N 简记作lnN。 简记作 （6）底数a的取值范围： 0,1) U (1,+∞ ) ）底数 的取值范围： 的取值范围 ( 真数N的取值范围 真数 的取值范围 :
定义： 定义： 一般地， 一般地，如果 a(a > 0, a ≠ 1)
次幂等于N, 的b次幂等于 就是 次幂等于
a =N
b
，那么数 b叫做 叫做
以a为底 N的对数，记作 log a N = b 为底 的对数， a叫做对数的底数，N叫做真数 叫做对数的底数， 叫做真数。 叫做真数 叫做对数的底数
log a N＝b ↓↓ ↓↓ ↓ ↓ 底数
为什么要进行频率特性分析？
频域具有明确的物理概念，有利于分析系统 的特性； 任何信号都可分解为叠加的谐波信号。以此 来分析系统的稳定性和响应的快速性与准确 性等。 利用系统或环节的频率特性可以求出其传递 函数；
频域分析的优点： 无需求解微分方程，图解(频率特性图)法 可间接揭示系统性能并指明改进性能的方向； 易于实验分析； 可推广应用于某些非线性系统（如含有 延迟环节的系统）； 可方便设计出能有效抑制噪声的系统。
X o ( jω ) | G ( jω ) |= X i ( jω )
G ( jω ) = A(ω )e jϕ (ω ) = U (ω ) + jV (ω )
幅频特性 相频特性 实频特性 虚频特性
A(ω ) =| G ( jω ) |= U 2 (ω ) + V 2 (ω ) V (ω ) ϕ (ω ) = ∠G ( jω ) = tg −1 U (ω ) U (ω ) = G ( jω ) cos ϕ (ω )
在应用频率特性研究系统性能过程中， 在应用频率特性研究系统性能过程中，奈奎斯特 (Nyquist)采用了极坐标的图形表示 并在1932 采用了极坐标的图形表示， 1932年提 (Nyquist)采用了极坐标的图形表示，并在1932年提 出了著名的奈氏稳定判据， 出了著名的奈氏稳定判据，使频率特性在分析系统 中的应用达到了一个新的高度。 中的应用达到了一个新的高度。但奈氏图形绘制麻 而且还不够直观。 1945年 伯德(Bode) (Bode)提出 烦，而且还不够直观。到1945年，伯德(Bode)提出 了对数坐标图形表示方法， 了对数坐标图形表示方法，使频率特性的绘制和应 用更加方便，更加直观，更加实用。 用更加方便，更加直观，更加实用。对数频率特性 成为经典理论在工程上应用得最多的一种方法。 成为经典理论在工程上应用得最多的一种方法。
V (ω ) = G ( jω ) sin ϕ (ω )
说明
频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传递函数， ① 频率特性是传递函数的特例 因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反映了系统的固有 特性。 ② 尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的频率特性与传递函数一样 包含了系统或元部件的全部动态结构参数， 包含了系统或元部件的全部动态结构参数，因此，系统动态过程的 规律性也全寓于其中。 ③ 应用频率特性分析系统性能的基本思路：实际施加于控制系统的周 实际施加于控制系统的周 期或非周期信号都可表示成由许多谐波分量组成的傅立叶级数或用 傅立叶积分表示的连续频谱函数，因此根据控制系统对于正弦谐波 傅立叶积分表示的连续频谱函数 函数这类典型信号的响应可以推算出它在任意周期信号或非周期信 号作用下的运动情况。
数学基础
欧拉公式e = cos θ + i sin θ e
− iθ
iθ
= cos θ − i sin θ
iθ − iθ
e +e ⇒ cos θ = 2 iθ − iθ e −e sin θ = 2i
=cosx+isinx， 是自然对数的底， 是虚数单位。 eix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。 它将三角函数的定义域扩大到复数， 它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数 函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。 函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。 将公式里的x换成得到： 将公式里的x换成-x，得到： =cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到： e-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到： )/(2i)， sinx=(eix-e-ix)/(2i)，cosx=(eix+e-ix)/2. 这两个也叫做欧拉公式。 =cosx+isinx中的 取作π 中的x 这两个也叫做欧拉公式。将eix=cosx+isinx中的x取作π就 得到： 得到：e iπ +1=0. 这个恒等式也叫做欧拉公式， 这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公 它将数学里最重要的几个数学联系到了一起： 式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越 自然对数的底e 圆周率π 两个单位：虚数单位i 数：自然对数的底e，圆周率π ，两个单位：虚数单位i和 自然数的单位1 以及数学里常见的0 数学家们评价它是“ 自然数的单位1，以及数学里常见的0。数学家们评价它是“ 上帝创造的公式” 我们只能看它而不能理解它。 上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。
第四章 频率特性分析
－、引言 频率特性分析：将传递函数从复数域引到频域来分 析系统的特性。 时域分析：重点研究过渡过程，通过阶跃或脉冲输 入下系统的瞬态响应来研究系统的性能。 频域分析：通过系统在不同频率w的谐波输入作用 下的稳态响应来研究系统的性能。
1、 时域分析的缺陷 高阶系统的分析难以进行； 难以研究系统参数和结构变化对系统性能的影 响； 当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系 统的分析工作将无法进行。