第四章5系统频率特性及稳定性
2011-1-23
信号与系统
例：图示反馈系统，求系统函数分析稳定性 图示反馈系统，
2011-1-23
信号与系统
系统函数小结： 系统函数小结：
系统函数的确定方法
由定义式确定： 由定义式确定：已知输入信号和零状态响应或冲激响应 由系统数学模型得出 由系统的S 由系统的S域模型求解 由系统的模拟框图确定
2011-1-23
信号与系统
4.10全通系统和最小相移系统 4.10全通系统和最小相移系统
一、全通系统
全通系统是指系统的幅频特性为常数，也就是说对于全 全通系统是指系统的幅频特性为常数，也就是说对于全 幅频特性为常数 部频率的正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过 的正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过。 部频率的正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过。
4.8由系统函数零、 4.8由系统函数零、极点分布分析频响特性 由系统函数零
一、系统的频响特性
1、频响特性
在正弦信号激励下稳态响应随频率的变化
H ( jω ) = H ( jω ) e jϕ (ω )
幅频特性 相频特性
2011-1-23
信号与系统
分析正弦信号e(t ) = Em sin ω0t u (t )激励下系统的响应？ H ( s )为稳定系统，极点在左半开平面,自由响应为暂态响应 E ω 极点p1,2 = ± jω0 E (s) = 2 m 0 2 , s + ω0
K
H( jω)
ω
0
系统的零 极点分布→ 系统的零、极点分布→系统的频率响应特性 零、极点分布特点？？ 极点分布特点？？
2011-1-23 信号与系统
全通系统的零、 全通系统的零、极点分布
•极点在S左半平面，零点在右半平面 极点在S左半平面， •极点数＝零点数，且与虚轴成镜像对称 极点数＝零点数，
2011-1-23 信号与系统
2011-1-23 信号与系统
1 1 >> R1C1 R2C2
2011-1-23
信号与系统
小结： 小结：
(232页 (232页)
若函数有一对非常靠近j 若函数有一对非常靠近jω轴的极点，则ω 靠近 极点， 在极点附近，幅频特性出现峰点 峰点， 在极点附近，幅频特性出现峰点，相频特性 迅速下降 迅速下降 若函数有一对非常靠近 靠近j 零点， 若函数有一对非常靠近jω轴的零点，则ω 在零点附近，副频特性出现下陷 下陷， 在零点附近，副频特性出现下陷，相频特性 迅速上升 迅速上升 若系统函数的零、极点远离 远离j 若系统函数的零、极点远离jω轴，则对频 率响应特性曲线的影响较小 影响较小， 率响应特性曲线的影响较小，只是大小有所 增减。 增减。
幅频特性： 幅频特性：
相频特性： 相频特性：
2011-1-23
信号与系统
二、最小相移系统
考察下列系统的频率特性的区别： 考察下列系统的频率特性的区别：
零、极点在左半平面
2011-1-23 信号与系统
极点在左半平面
最小相移系统的极零点分布：零点全部分布在 平面 最小相移系统的极零点分布：零点全部分布在S平面 的左半平面或jω轴上 轴上。 的左半平面或 轴上。
例：如图放大器的输入阻抗为无限大，输出信号VO ( s ) 与差分输入信号V1 ( s )和V2 ( s )之间满足关系式： Vo ( s ) Vo ( s ) = A[V2 ( s ) − V1 ( s )]，求：（1）H( s) = V1 ( s ) (2)A满 (2)A满足什么条件，系统稳定？
2011-1-23 信号与系统
例：RC高通滤波网络的频响特性 H ( s) = V2 ( s ) s = V1 ( s ) s + 1 / RC
2011-1-23
信号与系统
2011-1-23
信号与系统
例：RC低通滤波网络的频响特性 V ( s) 1/sc 1 1 H ( s) = 2 = = V1 ( s ) 1 / sc + R Rc s + 1 / Rc
H(s)全部极点在 左半开平面，稳定 全部极点在s左半开平面 全部极点在 左半开平面， H(s)的极点在右半开平面，或虚轴上有二阶极 的极点在右半开平面， 的极点在右半开平面 点，不稳定 H(s)虚轴上单极点，不稳定（边界稳定） 虚轴上单极点， 虚轴上单极点 不稳定（边界稳定）
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信号与系统
2011-1-23
信号与系统
2011-1-23
信号与系统
例：二阶 RC滤波网络的频响特性， 图中kv3为受控电 滤波网络的频响特性， 压源， 压源，且 R1c1 << R2 c2
LP
HP
1 k V2 ( s ) R2 k s sc1 H (s) = = = V1 ( s ) R + 1 R + 1 R1c1 ( s + 1 )( s + 1 ) 1 2 sc1 sc2 R1c1 R2 c2
பைடு நூலகம்
稳态响应分量 rss (t ) = Em H ( jω 0 ) sin(ω 0t + ϕ (ω 0 )) H ( jω 0 ) = H ( j ω 0 ) e j ϕ ( ω 0 )
H ( jω ) = H ( s ) s = j ω
2011-1-23
条件：系统稳定或系统函数 的收敛域包含jω轴
信号与系统
−∞ ∞
e(t ) ≤ Me r (t ) ≤ Me ∫ h(τ )dτ
−∞ ∞
有界， 要使 r (t ) 有界，则∫ h(τ ) dτ＜∞
−∞
∞
稳定系统的充要条件： 稳定系统的充要条件：
2011-1-23
∫
∞
−∞
h(τ )dτ＜∞
信号与系统
2、根据系统函数零、极点分布判断稳定性 、根据系统函数零、 系统稳定的条件
信号与系统
2011-1-23
作业
4-39(a)(c)(e) 4-42 (b) (d) 4-44 4-45
自读4.9节内容 自读4.9节内容 4.13章节内容 预习 4.12 4.13章节内容
2011-1-23 信号与系统
2、滤波器的滤波特性
根据幅频特性的不同，可划分成如下几种
截止频率－－下降3dB的频率点
2011-1-23 信号与系统
二、由极、零点分布分析频响特性 由极、
H (s) = K
∏ (s − z )
j
m
∏ (s − p )
i =1 i
j =1 n
s沿虚轴移动 s = jω
H( jω) = K
∏( jω − z )
系统函数的应用
由系统函数求解系统响应：零状态响应 由系统函数求解系统响应： 自由响应、强迫响应、暂态响应、 自由响应、强迫响应、暂态响应、稳态响应的分析 特定情况下零输入响应的确定 系统的极零点图 确定系统的时域响应特性、 确定系统的时域响应特性、系统稳定性分析 绘制系统的幅频响应和相频响应特性曲线， 绘制系统的幅频响应和相频响应特性曲线，通频特性分析
非最小相移函数＝最小相移函数× 非最小相移函数＝最小相移函数×全通函数
系统的串联） （系统的串联）
2011-1-23
信号与系统
4.11 线性系统的稳定性
1、稳定系统 、
有限（界）激励，产生有限（界）激励，稳定系统 有限（界）激励，产生无限（界）激励，为不稳定系统
r (t ) = h(t ) * e(t ) = ∫ h(τ )e(t − τ )dτ
j
m
∏( jω − p )
i i=1
j =1 n
2011-1-23
信号与系统
N1 N 2 ...N m | H ( jω ) |= K M 1M 2 ...M n
ϕ (ω ) = (ϕ1 + ϕ2 + ... + ϕm ) − (θ1 + θ 2 + ... + θ n )
由系统零、极点图绘制系统的频率响应特性曲线，包括幅 由系统零、极点图绘制系统的频率响应特性曲线，包括幅 频特性曲线和相频特性曲线 曲线和相频特性 频特性曲线和相频特性曲线
自动控制原理与系统控制系统的频率特性
如图4-6所示。
12
四、惯性环节 传递函数 ： G(s) C(s) 1
R(s) Ts 1
频率特性 ： G( j) C( j) 1
R( j) jT 1
对数频率特性 ： L() 20lg
1
20lg
(T)2 1
(T)2 1
Bode图 ： arctanT
▪对数幅频特性L(ω)是一条曲线,逐点描绘很烦琐,通常采用近似的 绘制方法,用两条渐进线近似表示.
（极坐标表示法）
U () jV ()
（直角坐标表示法）
（A指(数表)e示j法 (）)
图4-2
A() G(j) U 2 () V 2 ()
() G( j) arctan 1 V () U ()
6
例4-1 写出惯性环节的幅频特性、相频特性和频率特性。
解：惯性环节的传递函数为
G(s) 1 Ts 1
2
• 系统（或环节）输出量与输入量幅值之比为幅值频率特性， 简称幅频特性，它随角频率ω变化，常用M(ω)表示。
A()
A c
A r
• 输出量与输入量的相位差为相位频率特性，简称相频特性，它 也随角频率ω变化，常用φ(ω)表示，
c r
幅频特性和相频特性统称为频率特性，用G( jω)表示
3
频率特性就是线性系统(或环节)在正弦输入信号 作用下稳态时输出相量与输入相量之比。
G (j) G(j) G(j)
A() G(j)
() G(j)
幅频特性是输出量与输入量幅值之比M(ω),描述系统 对不同频率正弦输入信号在稳态时的放大（或衰减） 特性。
相频特性是输出稳态相对于正弦输入信号的相位差 φ(ω),描述系统稳态输出时对不同频率正弦输入信号 在相位上产生的相角迟后（或超前）的特性。
第四章频率特性
第四章控制系统的频域分析法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 165 频率特性法本章是通过对系统的频率特性研究分析自动控制系统，是一种经典方法。
问题：什么是频率特性，如何描述？如何利用频率特性分析控制系统？5.1 频率特性5.1.1频率特性的基本概念我们知道，系统（包括开环系统和闭环系统）对正弦输入信号的稳态反应是用以描述系统性能的一种广泛应用的工程方法。
频率特性描述了系统在正弦输入信号作用下，其输出信号与输入信号之间的关系。
设系统的传递函数为又设其中：的振幅为常值：正弦函数的角频率有一般地A（s），B（s）为s的多项式;为的极点，包括实数和共扼复数对稳定的系统而言均具有负实部。
（设系统无重极点）其中，待定，是的共扼复数，为待定系数。
由拉氏反变换可得：则输出信号的稳态分量：（对于稳定的系统具有负实部）注：如果系统中含有k个重极点，则在中将会出现象（j=0，1，2，……，k-1）这样一些项，然而对于稳定的系统来说，由于具有负实部，所以各项都将随着趋于无穷大而趋于零。
因此具有重极点的稳定系统的稳态分量具有和上式相同的形式。
可按下式计算：（由留数公式）及其中为一复数，可表示为其中，模幅角同样可以证明，是的偶函数是的奇函数证明：设式中则有是的偶函数是的奇函数稳定的线性定常系统在正弦输入下的稳态响应为：可见：线性定常系统在正弦信作用下的稳态响应仍是与输入信号同频率的正弦信号。
其振幅是输入信号振幅R的倍，在相位上，正弦输出相对于输入的相移，同样是的函数，对确定的来说，振幅C及相移将是确定的。
综上：在正弦输入信号的作用下，线性定常系统的输出信号的稳态分量是和正弦输入信号同频率的正弦函数，其振幅C与输入正弦的振幅R 的比值C/R=是角频率的函数。
它描述系统对不同频率的输入信号在稳态情况下的衰减（或放大）特性，定义这种振幅比依赖于频率的函数为系统的幅频特性。
相对于输入信号r(t)的相移也是的函数，是系统输出信号的稳态分量对正弦输入信号r(t)的相移为该系统的相频特性，它描述系统的稳态输出对不同频率的正弦输入信号在相位上产生相角滞后或相角超前的特性。
第四章 稳定性分析——Nyquist 稳定性判据(4-2)
三、奈魁斯特稳定性判据 1．奈氏路径
s j j 0 j 0 j j
顺时针方向包围整个 s 右半面。 由于不能通过F(s)的任何零、极点，所以当F(s)有若干个极点 处于 s 平面虚轴（包括原点）上时，则以这些点为圆心，作 半径为无穷小的半圆，按逆时针方向从右侧绕过这些点。
5
（2）G(s)H(s)平面上的系统稳定性分析--奈氏判据
因为1+ G(s)H(s) 与G(s)H(s) 之间相差1，所以系统的稳定性 可表达成：
奈氏判据：闭环系统稳定的充要条件是：s沿着奈氏路绕一 圈，G(jω)H(jω)曲线逆时针绕（-1，j0）点的P圈。 P——为G(s)H(s)位于s右半平面的极点数。
j
j s平面
j1
R
F ( s ) 的极点
j0 j0
j1
j
4
2. 奈氏判据 设： F S 1 Gs H s ——闭环系统特征多项式 显然：F(s) 的零点就是闭环系统的极点。
(1) 1＋G(S)H(S)平面上的系统稳定性分析 假如s沿着奈氏路径绕一圈，根据幅角定理，F(s)平 面上绘制的F(s)曲线ΓF逆时针方向绕原点的圈数N则为 F(s)在s右半开平面内极点个数P与的零点个数Z之差： N= P - Z 当Z=0时，说明系统闭环传递函数无极点在s右半开 平面，系统是稳定的；反之，系统则是不稳定的。
i
z1
2) –Pj在Γs外， 结论：相角无变化 1) –Zi在Γs内， 2) –Pj在Γs内，
s p j 0
。
0
s1
z2 s
Re
s zi 2。(顺时针
)
s p j 2
自动控制理论第四章
若用一个复数G（jω）来表示，则有 指数表示法: G（jω）=∣G（jω）∣· j∠G（jω）=A（ω）· j e e 幅角表示法: G（jω）=A(ω)∠ (ω) G（jω）就是频率特性通用的表示形式，是ω的函数。 当ω是一个特定的值时，可以在复平面上用一个 向量去表示 G （ jω）。向量的长度为 A(ω)，向量与 正实轴之间的夹角为 (ω)，并规定逆时针方向为正， 即相角超前；规定顺时针方向为负，即相角滞后。 可由图4.3表示。
对输出求拉氏反变换可得
c(t ) ( K1e
p1t
K 2e
p2t
Kne
pn t
) (K c e
jt
K c e )
jt
系统的输出分为两部分，第一部分为指数瞬态分量， 对应特征根为单根时的响应；第二部分为稳态分量， 它取决于输入信号的形式。对于一个稳定系统，系统 所有的特征根的实部均为负，瞬态分量必将随时间趋 于无穷大而衰减到零。因此，系统响应正弦信号的稳 态分量为：
r（t）
sint 线 性 定 Asin（ωt+）
Css（t） t
常系统
图4-2，线性系统及频率响应示意图
4.1.2频率特性
一、基本概念 对系统的频率响应作进一步的分析，由于输入输出 的幅值比A与相位差 只与系统的结构、参数及输入正 弦信号的频率ω有关。在系统结构、参数给定的前提下， 幅值比 A与相位差 仅是ω的函数，可以分别表示为A （ω）与（ω）。 若输入信号的频率ω在0→∞的范围内连续变化，则 系统输出与输入信号的幅值比与相位差将随输入频率的 变化而变化，反映出系统在不同频率输入信号下的不同 性能，这种变化规律可以在频域内全面描述系统的性能。
信号与系统讲义第四章5系统频率特性及稳定性汇总
（系统的串联）
2020/3/10
信号与系统
2020/3/10
信号与系统
4.11 线性系统的稳定性
1、稳定系统
有限（界）激励，产生有限（界）输出，稳定系统 有限（界）激励，产生无限（界）输出，为不稳定系统
r(t) h(t)*e(t) h( )e(t )d
4.8由系统函数零、极点分布分析频响特性
一、系统的频响特性
1、频响特性
在正弦信号激励下稳态响应随频率的变化
H( j) H( j) e j()
幅频特性 相频特性
2020/3/10
信号与系统
分析正弦信号e(t) Em sin 0t u(t)激励下系统的响应？
H (s)为稳定系统，极点在左半开平面,自由响应为暂态响应
➢ 系统的极零点图 ➢ 确定系统的时域响应特性、系统稳定性分析 ➢ 绘制系统的幅频响应和相频响应特性曲线，通频特性分析
2020/3/10
信号与系统
作业
4-39(a)(e) 4-42 (b) 4-45
自读4.9节内容 预习 4.12 4.13章节内容
2020/3/10
信号与系统
H ( j)
K
0
系统的零、极点分布→系统的频率响应特性 零、极点分布特点？？
2020/3/10
信号与系统
全通系统的零、极点分布
•极点在S左半平面，零点在右半平面 •极点数＝零点数，且与虚轴成镜像对称
2020/3/10
信号与系统
幅频特性： 相频特性：
2020/3/10
信号与系统
二、最小相移系统
e(t) Me
第四章系统的频率特性分析
第四章 频率特性分析4.1 什么是频率特性？解 对于线性定常系统，若输入为谐波函数，则其稳态输出一定是同频率的谐波函数，将输出的幅值与输入的幅值之比定义为系统的幅频特性；将输出的相位于输入的相位之差定义为系统的相频特性。
将系统的幅频特性和相频特性统称为系统的频率特性。
4.2 什么叫机械系统的动柔度，动刚度和静刚度？解 若机械系统的输入为力，输出为位移（变形），则机械系统的频率特性就是机械系统的动柔度；机械系统的频率特性的倒数就是机械系统的动刚度；当0=w 时，系统频率特性的倒数为系统的静刚度。
4.3已知机械系统在输入力作用下变形的传递函数为 12+s (mm/kg)，求系统的动刚度，动柔度和静刚度。
解 根据动刚度和动柔度的定义有 动柔度()()()12+====jw jw s s G jw G jw λ mm/kg 动刚度 )(jw K =)(1jw G =21+jw kg/mm 静刚度 ()()5.0021010==+====K w jw w jw G w jw kg/mm4.4若系统输入为不同频率w 的正弦函数Asinwt,其稳态输出相应为Bsin(wt+ϕ).求该系统的频率特性。
解：由频率特性的定义有 G （jw ）=AB e jw。
4.5已知系统的单位阶跃响应为）（。
t x =1-1.8te 4-+0.8te9-，试求系统的幅辐频特性与相频特性。
解：先求系统的传递函数，由已知条件有）（。
t x =1-1.8te 4-+0.8te9-（t 0≥））（S X i =s 1）（。
S X =s 1-1.841+s +0.891+s ）（S G =）（）（。
S X S X =()()9436++s s ）（jw G =jw s s G =）（=()()jw jw ++9436）（w A =）（jw G =22811636ww +•+）（w ϕ=0-arctan 4w -arctan 9w =-arctan 4w -arctan 9w4.6 由质量、弹簧、阻尼器组成的机械系统如图所示。
控制工程基础课程第四章习题答案
2007机械工程控制基础第四章习题答案第4章频率特性分析4.1什么是系统的频率特性？答：对于线性系统，若输入为谐波函数，则其稳态输出一定是同频率的谐波函数，将输出的幅值与输入的幅值之比定义为系统的幅频特性，将输出的相位之差定义为系统的相频特性。
系统的幅频特性和相频特性简称为系统的频率特性。
4.4若系统输入为不同频率ω的正弦t A ωsin ，其稳态输出相应为)sin(ϕω+t B 。
求该系统的频率特性。
解：由系统频率特性的定义知：ϕωj e AB j G =)( 4.5已知系统的单位阶跃响应为)0(8.08.11)(94≥+-=--t e e t x t t o ，试求系统的幅频特性与相频特性。
解：由已知条件得：s s X i 1)(=，98.048.11)(+++-=s s s s X o得系统传函为：)9)(4(36)()()(++==s s s X s X s G i o 得系统频率特性：)9)(4(36)(ωωωj j j G ++=，其中幅频特性为：22811636)()(ωωωω+⋅+==j G A相频特性为：9arctan4arctan)(ωωωϕ--=4.6由质量、弹簧、阻尼组成的机械系统如图（4.6）所示。
已知m=1kg ，k 为弹簧刚度，c 为阻尼系数。
若外力tN t f 2sin 2)(=，由实验得到系统稳态响应为)22sin(π-=t x oss 。
试确定k 和c 。
解：由系统结构知系统的动力学方程为： 当m=1时，得系统传函为：kcs s s G ++=21)(，得系统频率特性为： ωωωjc k j G +-=21)(。
图（题4.6）其中，幅频特性为2222)(1)(ωωωc k j G +-=，相频特性为2arctan)(ωωωϕ--=k c 由题意，当输入信号为t t f 2sin 2)(=时，2=ω，由其与稳态输出信号)22sin(π-=t x oss 对应关系知：2222)(121)(ωωωc k j G +-==，2arctan 2)(ωωπωϕ--=-=k c 解得4=k ，1=c 。
机械工程控制基础(第4章 系统的频率特性分析)
（4.1.10）
根据频率特性的定义可知，系统的幅频特性和相频特性分别为：
G ( j ) Xi ( ) G ( j ) A ( ) X o ( )
（4.1.11）
故 G ( j ) G ( j ) e
j G ( j )
就是系统的频率特性，它是将 G ( s )
d dt
微分方程
dt
s 传递函数 s
系统
j
频率特性
j
图4.1.2 系统的微分方程、传递 函数和频率特性相互转换关系图
中原工学院
机电学院
4.1.4 频率特性的特点和作用
第1
系统的频率特性就是单位脉冲响应函数的Fourier变换，即频谱。 所以，对频率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分析。
第2
K
所以
A
X o Xi
1 T
2
2
arctan T
或
K 1 T
2 2
e
j arctan T
中原工学院
机电学院
2. 将传递函数中的s换为 j (s=j )来求取
由上可知，系统的频率特性就是其传递函数G(s)中复变量s j 的特殊情况。由此得到一个极为重要的结论与方法，即将系统的传递
G
j 端点的轨迹即为频率特性的极坐标图, 或称为Nyquist 图, 如
中原工学院
机电学院
图4.2.1所示。它不仅表示幅频特性和相频特性, 而且也表示实频特性和
虚频特性。图中的箭头方向为从小到大的方向。
正如4.1节所述, 系统的幅频特性和相频特
性分别为
A ( ) X o ( ) Xi G
信号与系统讲义第四章5系统频率特性及稳定性
06.06.2019
信号与系统
例：图示反馈系统，求系统函数分析稳定性 Q(s)
稳定系统的充要条件： h()d＜
06.06.2019
信号与系统
2、根据系统函数零、极点分布判断稳定性
系统稳定的条件
H(s)全部极点在s左半开平面，稳定 H(s)的极点在右半开平面，或虚轴上有二阶以
上高阶极点，不稳定 H(s)虚轴上单极点，不稳定（边界稳定）
06.06.2019
根据幅频特性的不同，可划分成如下几种
06.06.2019
截止频率－－下降3dB的频率点
信号与系统
二、由极、零点分布分析频响特性
m
(s z j)
H (s) K
j 1 n
(s pi)
i 1
s沿 虚 轴 移s 动j
m
( j z j )
H ( j) K
j 1 n
信号与系统
1 1 R1C1 R2C2
06.06.2019
信号与系统
小结： (232页)
若函数有一对非常靠近jω轴的极点，则ω 在极点附近，幅频特性出现峰点，相频特性 迅速下降
若函数有一对非常靠近jω轴的零点，则ω 在零点附近，副频特性出现下陷，相频特性 迅速上升
若系统函数的零、极点远离jω轴，则对频 率响应特性曲线的影响较小，只是大小有所 增减。
信号与系统
4.11 线性系统的稳定性
1、稳定系统
有限（界）激励，产生有限（界）输出，稳定系统 有限（界）激励，产生无限（界）输出，为不稳定系统
自动控制理论期末复习(知识点总结第四章-第五章)
Automatic Control Theory自动控制理论第四章 线性系统的根轨迹法根轨迹法是一种图解方法，它是经典控制理论中对系统进行分析和综合的基本方法之一。
由于根轨迹图直观地描述了系统特征方程的根(即系统的闭环极点)在s 平面上的分布，因此，用根轨迹法分析自动控制系统十分方便，特别是对于高阶系统和多回路系统，应用根轨迹法比用其他方法更为方便，因此在工程实践中获得了广泛应用。
1、根轨迹的基本概念闭环系统的稳定性取决于闭环系统的极点分布，其它性能取决于其零极点分布。
因此，可以用系统的零极点分布来间接研究控制系统的性能。
伊万思在1948年提出了一种在复平面上由开环零极点确定闭环零极点的图解方法——根轨迹法。
将开环系统的某一个参数(比如开环放大系数)的全部值与闭环特征根的关系表示在一张图上。
根轨迹定义开环系统传递函数的某一个参数从零变到无穷时，闭环系统特征方程的根在复平面上变化的轨迹。
研究根轨迹的目的：分析系统的各种性能（稳定性、动态和稳态性能） 相关术语：*01210121()()()()()()()()()()mim i nn jj s z b s z s z s z G s H s K a s p s p s p s p ==----==----∏∏❖ 开环零点：指系统开环传递函数中分子多项式方程的根 ❖ 开环极点：指系统开环传递函数中分母多项式方程的根 ❖ 根轨迹增益：K *为开环系统根轨迹增益❖ 闭环零点：指系统闭环传递函数中分子多项式方程的根 ❖闭环极点：指系统闭环传递函数中分母多项式方程的根1*11()()()()1()()()()nj j n mjij i G s s p G s s G s H s s p K s z ===-Φ==+-+-∏∏∏闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成。
对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。
闭环极点与开环零、极点以及根轨迹增益K*均有关。