苏科版九年级数学全册知识点整理

苏科版九年级数学全册

知识点整理

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

苏科版数学九年级全册知识点梳理

第一章图形与证明（二）

1 等腰三角形的性质定理：

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）。

等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。

等腰三角形的判定定理：

如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。

2 直角三角形全等的判定定理：

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称“HL”）。

角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。直角三角形中，30°的角所对的直角边事斜边的一半。

3 平行四边形的性质与判定：

定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

定理1：平行四边形的对边相等。

定理2：平行四边形的对角相等。

定理3：平行四边形的对角线互相平分。

判定——从边：1两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

3两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

从角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

矩形的性质与判定：

定义：有一个角的直角的平行四边形是矩形。

定理1：矩形的4个角都是直角。

定理2：矩形的对角线相等。

定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

判定：1有三个角是直角的四边形是矩形。

2对角线相等的平行四边形是矩形。

菱形的性质与判定：

定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

定理1：菱形的4边都相等。

定理2：菱形的对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

判定：1四条边都相等的四边形是菱形。

2对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

正方形的性质与判定：

正方形的4个角都是直角，4条边都相等，对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形，它具有矩形和菱形的所有性质。

判定：1有一个角是直角的菱形是正方形。

2有一组邻边相等的平行四边形是正方形。

1.4 等腰梯形的性质与判定

定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

定理1：等腰梯形同一底上的两底角相等。

定理2：等腰梯形的两条对角线相等。

判定：1在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

2对角线相等的梯形是等腰梯形。

2

1.5 中位线

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

梯形的中位线平行于两底，并且等于两底的一半。

中点四边形：依次连接一个四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形（中点四边形一定是平行四边形）。

原四边形对角线中点四边形

相等菱形

互相垂直矩形

相等且互相垂直正方形

第二章数据的离散程度

2.1 极差：

一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差。计算公式：极差=最大值-最小值。

极差是刻画数据离散程度的一个统计量，可以反映一组数据的变化范围。一般说，极差越小，则说明数据的波动幅度越小。

2.2 方差

各个数据与平均数的差的平均数叫做这组数据的方差，记作S2。

巧用方差公式：

1、基本公式：S2=[(X 1-)2+(X 2-)2+……+(X n-)2]

2、简化公式：S2=[(X12+X22+……+X n2)-n2]可写成：S2=(X12+X22+……+X n2)-2

3、简化②：S2=[(X’12+X’22+……+X’n2)-n2] 也可写成: S2=(X’12+X’22+……+X’n2)-2

标准差:

方差的算术平方根叫做这组数据的标准差,记作S。

意义：

1、极差、方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征，常用来比较两组数据的波动大小，我们通常研究的是这组数据的个数相等、平均数相等或比较接近的情况。

2、方差较大的波动较大，方差较小的波动较小。

3、方差大，标准差就大，方差小，标准差就小。因此标准差同样反映数据的波动大

小。

注意：对两组数据来说，极差大的那一组不一定方差大，反过来，方差大的极差也不一定大。

第三章二次根式

3.1 二次根式

定义：一般地，式子（a≧0）叫做二次根式，a叫做被开方数。

有意义条件：当a≧0时，有意义；当a≦0时，无意义。

性质：1、≧0（a≧0） 2、（）2=a（a≧0）

2=∣a∣= a（a≧0）

a（a＜0）

3.2 二次根式的乘除法

法则：√a·√b=√ab(a≧0,b≧0)

=√（a≧0,b＞0）

化简：①√ab=√a·√b(a≧0,b≧0)

②√=（a≧0,b＞0）

3

③==（a≧0,b＞0）

第四章一元二次方程

4.1 概念：

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

一般形式是aX2+bX+c=0(a、b、c是常数，a≠0)，其中aX2称为二次项，a称为二次项系数，bX称为一次项，b称为一次项系数，c称为常数项。

4.2 解法：

1、直接开平方

2、配方法：先把一元二次方程变形为（X+h）2=k的形式（其中h,k都是常数），如果k ≧0，再通过直接开平方法求出方程的解

3、公式法（求根公式）：一元二次方程aX2+bX+c=0 前提：（a≠0）b2-4ac≧0，记住

求根公式：

a ac

b

b

x

2

4 2-

±

-

=（注意在找abc时须先把方程化为一般形式）4分解因式法把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）

※根与系数的关系：当b2-4ac>0时，方程有两个不等的实数根；

当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；

当b2-4ac<0时，方程无实数根。反之，也成立。

※如果一元二次方程0

2=

+

+c

bx

ax的两根分别为x1、x2，则有：

a

c

x

x

a

b

x

x=

?

-

=

+

2

1

2

1

。

※一元二次方程的根与系数的关系的作用：

（1）已知方程的一根，求另一根；

（2）不解方程，求二次方程的根x1、x2的对称式的值，

4、因式分解法（重点是十字相乘法）

根的判别式

一元二次方程aX2+bX+c=0 （a≠0）的根的情况可由b2-4ac来判定，因此b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式。

当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根

当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根

当b2-4ac＜0时，方程没有实数根。

在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：①设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为x；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；

②寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话

即可根据其列出方程）。

※处理问题的过程可以进一步概括为：解答

检验

求解

方程

抽象

分析

问题→

→

第五章中心对称图形（二）

5.1 圆

定义：圆是定点的距离等于定长的点的集合。其中，定点叫做圆心，定长叫做半径。

与圆有关的概念：

4

1、连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。

2、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。

3、定点在圆上的角叫做圆心角。

4、圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。能够互相重合的两个圆叫做等圆。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

与圆的位置关系：

在平面内，点与圆有3中位置关系：点在圆内，点在圆上，点在圆外。如果设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么“点P在圆内←→d＜r;点P在圆上←→d=r；点P在圆外←→d＞r”

5.2 圆的对称性

圆是中心对称图形，圆心是对称中心。

圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。

圆心角、弧、弦之间的关系（等对等定理）：

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

5.3 圆周角

概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。（圆心与圆周角的位置关系分为三种情况：圆心在角的一边上；圆心在角的内部；圆心在角的外部）

推论：1、直径（或半圆）所对的圆周角是直角。

2、90°的圆周角对的弦是直径。

5.4 确定圆的条件

条件：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

三角形的外接圆：

三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

外接圆的圆心是三角形的三边的垂直平分线的交点，这个点叫做三角形的外心。这个三角形叫做圆的内接三角形

5.5 直线与圆的位置关系

1、直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交。（d＜r）

2、直线与圆有唯一的公共点，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共

点叫做切点。（d=r）

3、直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。（d＞r）

直线与圆的位置关系可以用它们的交点的个数来区分，也可以用圆心到直线的距离与半径的大小关系来区分，它们的结果是一致的。

切线的性质与判定：

判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线式圆的切线。

性质：（圆的切线垂直于过切点的半径）

经过圆心且垂直于切线的直接必经过切点。

经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

切线与圆只有一个公共点；切线与圆心的距离等于半径；切线垂直于过切点的半径。

内心：

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三角形的三条角平分线的交点。

这个三角形叫做圆的外切三角形。

5.6 圆与圆的位置关系

性质与判定：

如果两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么

两圆外离←→d＞R+r

两圆外切←→d=R+r

5

6

图5

O

B

C

A

B

A

O

B

A

O

两圆相交←→R-r ＜d ＜R+r （R ＞r ） 两圆内切←→d=R-r(R ＞r) 两圆内含←→0≤d ＜R-r （R ＞r ） 连心线的性质：

圆是轴对称图形，从上表中可以看出它们都是轴对称图形。沿O 1、O 2所在直线（连心线）对折，发现：两圆相切，直线O 1O 2必过切点；两圆相交，连心线垂直平分它们的公共弦。

5.7 正多边形与圆

正多边形概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。

性质：正多边形都是对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，没条对称轴都通过正n 边形的中心。一个正多边形如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形。如果一个正多边形是中心对称图形，那么它的中心就是对称中心。

边数相同的正多边形相似。

任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。

友情提醒：（1）边数相同的正多边形相似，这是解与正多边形有关问题常用到的知

识。

（2）任何三角形都有外接圆和内切圆，但只有正三角形的外接圆和内切圆才是同心圆。过正多边形任意三个顶点的圆就是这个正多边形的外接圆。

作正多边形：作半径为R 的正n 边形的关键是n 等分圆。这就要学习两种方法： 用量角器等分圆，可以作任意正多边形，这是近似作法。具体地说先计算出顶点在圆

心的角的度数，即正n 边形的圆心角为，然后依次用量角器将圆

等分，顺次连接各分点，就作出正n 边形。

用尺规等分圆，作正方形和正六边形。具体地说：先作出两条互相垂直的直径，将圆

四等分，顺次连接各分点，就做出正方形；用圆规从圆上一点顺次截取等与半径的弦，将圆六等分，顺次连接各等分点，就作出正六边形。

友情提醒：在作正多边形时，要从圆周上某一点开始连续截取等弧，否则，易产生误

差。

5.8 弧长及扇形的面积 1. 圆周长公式:

圆周长C=2πR (R 表示圆的半径) ※2. 弧长公式:

弧长180

R n l

π=

(R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)

※3. 扇形定义:

一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形. ※4. 弓形定义:

由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高. ※5. 圆的面积公式. 圆的面积2R S

π= (R 表示圆的半径)

※6. 扇形的面积公式: 扇形的面积360

2R n S π=

扇形

(R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)

※弓形的面积公式:(如图5)