巧用数学方法处理物理极值问题
高中物理中的极值问题
物理中的极值问题武穴育才高中 刘敬随着高考新课程改革的深入及素质教育的全面推广，物理极值问题成为中学物理教学的一个重要内容，作为对理解、推理及运算能力都有很高要求的物理学科，如何提高提高学生思维水平，运用数学知识解决物理问题的能力，加强各学科之间的联系，本文筛选出典型范例剖析，从中进行归纳总结。
极值问题常出现如至少、最大、最短、最长等关键词，通常涉及到数学知识有：二次函数配方法，判别式法,不等式法，三角函数法,求导法,几何作图法如点到直线的垂线距离最短,圆的知识等等。
1．配方法：a b ac a b x a c bx ax 44)2(222-++=++ 当a ＞0时，当2b x a =-时，y min =ab ac 442- 当a ＜0时当2b x a =-时，y max =ab ac 442- 2.判别式法：二次函数令0≥∆，方程有解求极值.3.利用均值不等式法：ab 2b a ≥+ a=b 时， y min =2ab4.三角函数法：θθcos sin b a y +==)sin(22θϕ++b a当090=+θϕ，22max b a y += 此时，ba arctan =θ 也可用求导法：ba b a y arctan 0sin cos ==-='θθθ，得令 5.求导法：对于数学中的连续函数，我们可以通过求导数的方式求函数的最大值或最小值.由二阶导数判断极值的方法．某点一阶导数为0，二阶导数大于0，说明一阶导数为增函数，判断为最小值；反之，某点一阶导数为0，二阶导数小于0，说明一阶导数为单调减函数，判断此点为最大值．6.用图象法求极值通过分析物理过程所遵循的物理规律，找到变量之间的函数关系，作出其图象，由图象求极值。
7.几何作图法研究复合场中的运动，可将重力和电场力合成后，建立直角坐标系，按等效重力场处理问题。
研究力和运动合成和分解中，可选择合适参考系，将速度及加速度合成，结合矢量三角形处理问题。
浅谈高中物理总复习中的极值
的 选 择 指 导 ，我 们 可 以根 据 这 几 种 方 法 的 特 点有 目 的 地 设 计 或 选 择 具 有 典 型 的 习题 ， 让 学 生 练 习 。使 学生在参与解题过程 中体验这些 方法的优缺点 ，从 而使学生学会优化解题方法 ，提 高解题质 量，特别 是高三 物理的复习课 教学，可能更有必要。
［ 析］两车相距的距离为 ： △ｓ —Ｓ ｌ ｔ 解 ：Ｓ ＝ Ｏ
一
（ ｔｔ ） 一 ８ 二 次 函数 的性 质 有 ： ｘ － ／ ａ ２ ＋ ＝ ｔ ＋ ｔ据 当 ＝ｂ２ 时， ＡＳ 有最 大值 ， ＡＳ ａ ＝ ４ ｃ ｂ ） ４ ， 即当 ｍ ｘ （ａ — ／ ａ
摘 要 ：在 高考 物理 复 习 中，极 值 问题是 一个重 要 的知 识点 ，老师们 一般也 只是 遇 到就讲 ，很 少系 统 的进行 阐述 归纳总 结。本文根据学生的实际情况以及本人的教学实践， 针对高中物理总复习教学中困扰学生的极值 问题， 利用数学方法、图 象法等尝试对物理极值问题的求解进行 归纳与总结 关键 词 ： 二次 函数最 值 三角 函数最值 均值 不 等式 图像 法 极 值
［ 结］ 掌握 图像 法对解 决物理 中极值 问题会 小 有 很大的帮助 ，对于那些 用常规解析法求极值较冗 长的物理 问题 ，有 时用 图像法 会很快地给予解决 ， 能 起 到 事 半 功 倍 的效 果 ， 所 以平 时 训 练 中掌 握 作 图
法是十分必要的 。
参考文献：
１ 马玉 峰． 中物理 第 一轮 复 习用 书 绿色 通 道一 一 非 常讲 练 ． 高 测 ［］人 民 日报 出版社 ．０ １ １月 Ｍ． ２１ 年 ２钟 小 平． 中物理 竞 赛培 优 教 程 ［］浙 江 大 学 出版 社 ．０ ３ ． 高 Ｍ． ２ ０
利用函数思想巧解滑动变阻器的最大电功率
利用函数思想巧解滑动变阻器的最大电功率摘要：近几年一些省市的中考物理试题中，常常出现一类与“极值问题”有关的命题，这类题目从培养学生的思维能力、运用数学规律解决物理问题的能力来看立意是最好的，但若只用物理方法求解，往往会陷入困境，借助数学方法会化难为易。
关键词：数学规律滑动变阻器最大功率2020年南充市中考物理试卷中有这样一道题目：如图甲所示，滑动变阻器的滑片从a端滑到b端的过过程中，电流表和电压表示数变化规律如图乙所示。
则下列说法正确的是：A．R的阻值为10Ω B．滑动变阻器的最大阻值为60ΩC．电源电压为8V D．滑片在滑动的过程中，滑动变阻器的最大功率为0.9W由图甲可知，定值电阻R与滑动变阻器串联，电压表测滑动变阻器两端电压，当滑片P在a端时，滑动变阻器没有连入电路，电压表示数为0V，由图乙知，此时电路中电流为Ia=0.6A，则有：电源电压 U=Ia R……①当滑片P在b端时，滑动变阻器全部连入电路，电压表示数最大，由图乙知，此时滑动变阻器两端电压为Ub =5V，电路中电流为Ib=0.1A，则有：滑动变阻器的最大值电源电压 U=Ib R+Ub……②联立①②式，代入数据解得：R=10Ω，U=6V。
故A正确，BC错误。
而D选项是求滑片在滑动的过程中，滑动变阻器的最大功率问题，仅利用物理知识是解决不了的，需要利用一些数学规律进行推理，借助数学知识求解物理问题中的极值。
下面我将用二次函数来求滑动变阻器的最大功率。
滑动变阻器的功率为当时，P滑有最大值，，故D正确。
因此本题应选AD。
通过上面的分析，我们发现滑动变阻器消耗的电功率最大时，其接入电路的电阻并不是最大，而是等于与其串联定值电阻的阻值。
因此可总结出以下规律：1、当滑动变阻器的最大阻值大于与其串联定值电阻的阻值时，移动滑片，使滑动变阻器接入电路的阻值由小变大时，滑动变阻器消耗的电功率先变大再变小。
即有如下关系：若 ,当滑动变阻器接入电路中电阻为R滑=R时，即滑动变阻器与定值电阻平分电压时，滑动变阻器消耗的电功率有最大值，即。
高考物理一轮复习 第二章 专题强化四 动态平衡问题 平衡中的临界、极值问题
个状态均可视为平衡状态.
2.做题流程 受力分析 —化—“—动—”—为—静→画不同状态平衡图构造矢量三角形 —“—静—”—中—求—动→
—定—性—分—析→ 根据矢量三角形边长关系确定矢量的大小变化
三角函数关系
—定—量—计—算→ 正弦定理
找关系求极值
相似三角形
3.三力平衡、合力与分力关系 如图，F1、F2、F3共点平衡，三力的合 力 为 零 ， 则 F1 、 F2 的 合 力 F3′ 与 F3 等 大 反 向 ， F1 、 F2 、 F3′ 构 成 矢 量 三 角 形 ， 即F3′为F1、F2的合力，也可以将F1、F2、 F3直接构成封闭三角形.
√A.MN上的张力逐渐增大
B.MN上的张力先增大后减小
C.OM上的张力逐渐增大
√D.OM上的张力先增大后减小
以重物为研究对象分析受力情况，受重力mg、OM绳上拉力F2、MN上 拉力F1，由题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示， F1、F2的夹角为π－α不变，在F2转至水平的过程中， 矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，MN上的 张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小， 所以A、D正确，B、C错误.
以结点B为研究对象，分析受力情况，作出力的合成图如图，根据平 衡条件知，F、FN的合力F合与G大小相等、方向相反. 根据三角形相似得AFC合 ＝AFB＝BFCN 又 F 合＝G 得 F＝AACB G，FN＝BACC G ∠BCA缓慢变小的过程中，AB变小，而AC、BC 不变，则F变小，FN不变，故杆BC所产生的弹 力大小不变，故选A.
2.一力恒定(如重力)，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状 态下的矢量三角形，确定力大小的变化，恒力之外的两力垂直时，有极 值出现. 基本矢量图，如图所示
专题极值法-高中物理八大解题方法含解析
高中物理解题方法之极值法高中物理中的极值问题，是物理教学研究中的活跃话题。
本文通过例题归纳综合出极值问题的四种主要解法。
一、 二次函数求极值二次函数a ac b a b x a c bx ax y 44)2(222--+=++=，当ab x 2-=时，y 有极值ab ac y m 442-=，若a>0，为极小值，若a<0，为极大值。
例1试证明在非弹性碰撞中，完全非弹性碰撞(碰撞后两物体粘合在一起)动能损失最大。
设第一个物体的质量为1m ，速度为1V 。
第二个物体的质量为2m ，速度为2V 。
碰撞以后的速度分别为'1V 和'2V 。
假使这四个速度都在一条直线上。
根据动量守恒定律有：'+'=+22112211V m V m V m V m （1）如果是完全非弹性碰撞，两物体粘合在一起，（1）则变为V m m V m V m '+=+)(212211，即212211m m V m V m V ++=' （2）现在就是要证明，在满足（1）式的碰撞中，动能损失最大的情况是（2）式。
碰撞中动能损失为ΔE k =()22()22222211222211'+'-+vm v m v m v m （3） 转变为数学问题：ΔE k 为v 的二次函数:由（1）得：v 2ˊ=2112211)(m v m v m v m '-+ （4）将（4）代入（3）得：k =++++-'12221112'1211)(2)(v m v m v m m v m m m m [2222112222112)(22m v m v m v m v m +-+] 二次函数求极值,当v 1ˊ=)()(212211m m v m v m ++ （5） 时∆E k 有极大值。
回到物理问题,将（5）代入（4）得v 2ˊ=)()(212211m m v m v m ++此两式表明,m 1和m 2碰后速度相等,即粘合在一起,此时动能损失(ΔE k )最大。
第二篇三数学方法在物理中的应用
(1)求该单色光在玻璃材料中发生全反射的临界角的正弦值；
答案
3 3
根据题意可知，光线从AB界面的P点进入玻璃棱
镜，由折射定律画出光路图，如图所示
根据几何关系，可得入射角θ1＝90°－30°＝60° 折射角 θ2＝30°，且 PO 恰好为法线，根据 n＝ssiinn θθ21可得折射率 n＝ 3 又有 sin C＝1n
入射角为θ5＝60°，由于发生全反射的临界角为C。
则有
sin
C＝
33<sin
θ5＝
3 2
即C<θ5 可知在 OD 界面发生全反射，已知 CO＝ 43R。由几何关系得，在三
角形 OFQ 中，由余弦定理得
OQ2＝OF2＋FQ2－2OF·FQcos 150°
其中
OQ＝R，OF＝OP＝
3 2R
13－3 解得 FQ＝ 4 R
答案
52 9m
若mC＝4 kg，mB＝2 kg，则
aC′＝4 m/s2，aB′＝8 m/s2
则B与A碰撞前B、C恰好共速，则v0－aC′t1＝aB′t1 解得 t1＝23 s 共同速度为 v 共 1＝136 m/s 碰后B的速度反向，设第2次共速时间t2，则
v共1－aC′t2＝－v共1＋aB′t2 解得 t2＝89 s
解得
sin
C＝
3 3
(2)现将该光束绕P点沿逆时针方向在纸面内转动
至水平方向，观察到BD面上有光线从Q点射出
(Q点未画出)。求光束在玻璃材料中的传播时间
(不考虑圆柱BD弧面部分的反射光线)。
3 3＋ 39R
答案
4c
根据题意，当光线转至水平方向入射，入射
角大小仍为θ3＝60°，画出光路图，如图所示 由折射定律可知，折射角θ4＝30°，折射光 线交OD边于F点，由题已知∠A＝30°，PC⊥AO，得在OD边界上的
高中物理求极值方法与常用结论总结
高中物理求极值方法与常用结论总结（一）利用分式的性质求极值[例1] 物体A放在水平面上，作用在A上的推力F与水平方向成30º角，如图示。
使A作匀速直线运动。
试问，当物体A与水平面之间的摩擦系数μ为多大时，不管F增大到多大，都可以使A在水平面上，作匀速直线运动?解：A受力如图所示，由已知，A处于平衡状态，有：Fcosα=fFcos30º=μ（G+Fsin30º），得F=由已知当公式的分母为零，即F→∞的匀速运动时sin30º－μcos30º=0时得μ=tg30º=0.58，则F→∞，此时都可以使A在水平面上作匀速直线运动。
（二）利用一元二次方程求根公式求极值有些问题，通过分析列关系式，最后整理出关于一个未知量的一元二次方程。
它的根就可能是要求的极值。
这种方法应用是很普遍的。
（三）利用一元二次方程判别式△=b2－4ac≥O求极值[例2] 一个质量为M的圆环，用细线悬挂着。
将两个质量为m的有孔的小珠套在环上，且可沿环无摩擦滑动，如图（a）所示。
今将两小珠从环的顶端由静止开始释放。
证明，当m>M 时，圆环能升起。
证明：取小球为研究对象，受力如图（a）。
由牛顿第二定律，得所mgcosθ+N=由机械能守恒定律，得mgR（1－cosθ）=由此二式得N=2mg－3mgcosθ（1）上式中，N>0，即cosθ<以环为研究对象，受力图如（b），在竖直方向，由牛顿第二定律，有T+2N’cosθ—Mg=Ma当环恰好能上升时，a=0，可得2N’cosθ=Mg （3）将（1）代入（3）式中，其中N’为（a）图中N的反作用力。
有2（2mg－3mgcosθ）cosθ=Mg 即6mcos2θ－4mcosθ+M=0 （4）（4）式是关于cosθ的一元二次方程。
cosθ为实数，则△≥0，即（4m）2－4（6m）M≥0，可得m≥M 当m=M时，T恰好为零，但不升起，所以取m>M为升起条件。
物理解题中的数学方法
物理解题中的数学方法《考试说明》中对学生的能力要求有五个方面，其中第四种能力即为应用数学方法处理物理问题的能力。
所谓数学方法，就是要把客观事物的状态、关系和过程用数学语言表达出来，并进行推导、演算和分析，以形成对问题的判断、解释和预测。
可以说每一物理问题的分析、处理过程，都是数学方法的运用过程。
下面介绍几种处理中学物理问题，常用的数学方法。
一、图像法中学物理中一些比较抽象的习题常较难求解，若能与数学图形相结合，再恰当引入物理图象，则可变抽象为形象，突破难点、疑点，使解题过程大大简化。
【例1】一蚂蚁离开巢沿直线爬行，已知它的速度与蚁巢中心的距离成反比。
当蚂蚁爬到离巢中心L1=1m的A点处时，速度是v1=2cm/s。
试问蚂蚁从A点爬到离巢中心L2=2m的B点时所需要的时间为多少？【解析】此题中蚂蚁的速度随时间的变化是非线性的，不能用匀速运动公式求解。
由题意蚂蚁的速度与蚁巢中心的距离成反比，可知速度的倒数与蚁巢中心的距离成正比。
我们作出与L的关系图像，这个图象是一条过原点的直线。
由图可知，直线下阴影部分的“面积”在数值上就等于所求的时间。
【小结】本题巧妙地采用了-L图像解答，不仅把速度与距离成反比（图像为曲线）转化为速度的倒数与距离成反比（图像为直线），而且同时用它的“面积”能够表示运动的时间，使原来较为复杂的运动求解变得很容易。
二、几何法利用几何法解物理题时，常用到的是“对称点的性質”、“两点间的直线距离最短”、“全等、相似三角形的性质”等相关知识。
【例2】一带电质点，质量为m、电量为q，以平行于ox轴的速度v从y 轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。
为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。
若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这个圆形区域的最小半径。
（重力忽略不计）【解析】质点在磁场中做半径为R= 的圆周运动。
根据题意，质点在磁场区域中的轨迹是半径等于R的圆上的一段圆弧。
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巧用数学方法处理物理极值问题
江苏省江阴市第一中学 傅永祝（中教二级，83984520）
内容提要： 本文旨在通过一些关于极值问题的典型例题，如求追赶问题中怎样的情况下相距最近？小球从斜面下来怎样可以使时间最短？拉着物体在水平面上匀速运动怎样施力可以使所加力最小？在电路中，怎样可以使电阻消耗的功率最大？在电场中，哪一点的电场强度最大？通过这些例题，展示一些数学方法在处理物理物理问题上的优越性，使学生认识到，扎实的数学功底对于学好物理这门课程有很大的意义。
关键词：极值问题 二次函数配方法 三角函数法 基本不等式法 极值问题在物理课程中是常见的一类问题，对于此类问题，如果能结合一些
数学上的判定方法，处理此类问题往往能达到事半功倍的效果。
（一）二次函数配方法
把二次函数y=ax 2
+bx+c 配方得a
b a
c a b x a y 44)2(2
2-++=，若a>0，则当
a b x 2-=时，y 有极小值：a
b a
c y 442
min -=；若a<0时，则当当a b x 2-=时，y 有
极大值：a
b a
c y 442
max
-=。
如果一个物理问题能建立y=ax 2+bx+c 的数学模型，就
可以用上述方法求出其极值。
例1． 一辆汽车从静止开始以1m/s 2的加速度前进，车后相距s 0=25m 处，与
车运动方向相同的某人同时开始以6m/s 的速度匀速追车，能否追上？若追不上，求人、车间的最小距离是多少？
解析 当经过时间t 后，汽车前进的位移为212
1
at x =
而人前进的位移为t x υ=2
此时人、车相距的距离为210x x s x -+=∆
代入相关数据可得7)6(2
1
2562122+-=+-=
∆t t t x 上述表达式中，x ∆是t 的二次函数，从该函数式一下子就可以看出，x
∆不可能等于0，即人不可能追上汽车，还可以看出，当t=6s 时，人、车具有最短距离x ∆min =7m 。
（二）三角函数法
三角函数里有很多关系式，如：θθθcos sin 22sin ⋅=、1cos sin 22=+θθ、
βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-等. 有时，处理物理极值问题时，这一类关系
式是很需要的。
例2． 给房屋设计屋顶时，把屋顶设计成斜面，把雨水沿着屋顶滑下的运动理想化为小球沿光滑斜面滑下的情形，为了要使雨水能尽快地滑下并从屋檐落下，则斜面的倾角应设计成多大的角度？按这种设计，雨水从屋顶到屋檐的时间为多少？ 解析 如图，设从屋顶A 到屋檐B 的水平距离为L ，
且斜面AB 的倾角为θ。
当雨水（理想化为图中的小球）从斜面滑下时，其加速度为a=gsin θ,从A 到B 的距离为L/cos θ,设从A 到B 所用的时间为t ，则
2sin 2
1
cos t g L ⋅=θθ 得θ
θθ2sin 4cos sin 2g L
g L
t =
=
当2θ=90º，sin2θ有最大值：（sin2θ）max =1。
所以，当θ=45º时，t 有最小值：t min =g
L 2
例3． 重量为G 的木块与水平地面间的动摩擦因数为μ，一人欲用最小的作
用力使木块做匀速运动，则此最小作用力的大小和方向应如何？
解析 木块在运动中受摩擦力作用，要减小摩擦力，应使
作用力F 斜向上，设当F 斜向上与水平方向的夹角为α时，F 的值最小，木块受力分析如图所示，由平衡条件知： Fcos α-μN=0 Fsin α+N-G=0 解以上二式得 α
μαμsin cos +=
G
F
令 μϕ=tan ，则2
1sin μ
μ
ϕ+=
， 2
11cos μ
ϕ+=
)cos(1)sin sin cos (cos 1sin cos 22ϕαμαϕαϕμαμα-+=++=+
可见，当α=μϕarctan =时，F 有最小值。
即2
min 1μ
μ+=G
F
（三）基本不等式法
若a>0、b>0，则有基本不等式ab b a ≥⎪⎭⎫
⎝⎛+2
2，且当a=b 时取等号，如果变
量a 与b 的积是个定值，则其和有极小值：ab b a 2)(min =+（定值）；如果变量
a 与
b 的和是个定值，则其积有极大值：2
max
2)(⎪⎭
⎫
⎝⎛+=b a ab （定值）。
例4． 在图示的电路中，电池的电动势E=5V ，内电阻r=10Ω，固定电阻R=90Ω，R 0是可变电阻，在R 0由零逐渐增加到400Ω的过程中，可变电阻R 0上消耗的热功率达最大时R 0为多大？最大值是多少？ 解析：令R+r=R ’ 电路中的电流强度为0
'R R E
I +=
可变电阻R 0上消耗的热功率为'
2''00
2202
002R R R R E R R
R E
R I P ++=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+== 由于2
002''R R R R =⋅（定值），故00
2'R R R +具有最小值，即
'
4'2'2200
22
R E R R R R E P =+⋅≤
当R ’=R 0，即R 0=100Ω时取等号。
就是说，当R 0=100Ω时，可变电阻R 0上消耗的热功率最大。
最大热功率为W W P 16
1
40025max ==
例5． 已知带等量同种电荷的两个点电荷A 、B 所带电量均为Q ，相距2a ，
则在它们连线的中垂线上，哪一点的电场强度最大？最大值为多少？
解析 设在点电荷A 、B 的连线的中垂线上有一点P ，且AP 与中垂线夹角为θ，则
221)sin (θ
a kQ
E E =
= ① 又有θcos 21⋅=E E ②
由①②可得2
2cos sin 2a
kQ E θ
θ⋅⋅= ③ 将③式左右都平方，并整理成
θθθ222222cos )sin 21
()sin 21()2(4⋅⋅=a
kQ E
由于1cos sin 21
sin 21222=++θθθ（定值）
则θθθ222cos )sin 2
1
)(sin 21(⋅存在极大值。
即
223
2
22222)2(2743cos sin 21sin 21)2(4a kQ a kQ E =⎥⎥
⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++≤θθθ 所以2
934a kQ
E ≤
当θθ22cos sin 2
1
=，即2arctan =θ时取等号。
就是说，当2arctan =θ（差不多是55º）时，P 点的电场强度最大：
2
max 934a kQ
E =
从以上各例当中可以看出，扎实的数学功底在处理物理问题当中显得很重要，这要求同学们在平时的练习中需要经常地有意识地训练自己、提升自己运用数学知识的能力。
参考资料：无。