一元二次方程跟的判别式

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一元二次方程的根的判别式

一、教学目标

(一)知识教学点:

1.了解根的判别式的概念.

2.能用判别式判别根的情况.

(二)能力训练点:

1.培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力.

2.进一步考察学生思维的全面性.

(三)德育渗透点:

1.通过了解知识之间的内在联系,培养学生的探索精神.

2.进一步渗透转化和分类的思想方法.

二、教学重点、难点、疑点及解决方法

1.教学重点:会用判别式判定根的情况.

2.教学难点:正确理解“当b2-4ac<0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.”

3.教学疑点:如何理解一元二次方程ax2+bx+c=0在实数范围内,当b2-4ac<0时,无解.在高中讲复数时,会学习当b2-4ac <0时,实系数的一元二次方程有两个虚数根.

三、教学步骤

(一)明确目标

在前一节的“公式法”部分已经涉及到了,当b2-4ac≥0时,可以求出两个实数根.那么b2-4ac<0时,方程根的情况怎样呢?这就是本节课的目标.本节课将进一步研究b2-4ac>0,b2-4ac=0,b2-4ac<0三种情况下的一元二次方程根的情况.

(二)整体感知

在推导一元二次方程求根公式时,得到b2-4ac决定了一元二次方程的根的情况,称b2-4ac为根的判别式.一元二次方程根的判别式是比较重要的,用它可以判断一元二次方程根的情况,有助于我们顺利地解一元二次方程,也有利于进一步学习函数的有关内容,并且可以解决许多其它问题.

在探索一元二次方程根的情况是由谁决定的过程中,要求学生从中体会转化的思想方法以及分类的思想方法,对学生思维全面性的考察起到了一个积极的渗透作用.

(三)重点、难点的学习及目标完成过程

1.复习提问

(1)平方根的性质是什么?

(2)解下列方程:

①x2-3x+2=0;②x2-2x+1=0;③x2+3=0.

问题(1)为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用.问题(2)通过自己亲身感受的根的情况,对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用.

2.任何一个一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)用配方法将

(1)当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根.

(3)当b2-4ac<0时,方程没有实数根.

教师通过引导之后,提问:究竟谁决定了一元二次方程根的情况?

答:b2-4ac.

3.①定义:把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式,通常用符号“△”表示.

②一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).

当△>0时,有两个不相等的实数根;

当△=0时,有两个相等的实数根;

当△<0时,没有实数根.

反之亦然.

注意以下几个问题:

(1)∵ a≠0,∴ 4a2>0这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用,即对上式开平方,随后有下面三种情况.正确得出三种情况的结论,需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解,所以,在课前进行了铺垫.在这里应向学生渗透转化和分类的思想方法.

(2)当b2-4ac<0,说“方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根”比较好.有时,也说“方程无解”.这里的前提是“在实数范围内无解”,也就是方程无实数根”的意思.

4.例1 不解方程,判别下列方程的根的情况:

(1)2x2+3x-4=0;(2)16y2+9=24y;

(3)5(x2+1)-7x=0.

解:

(1)∵△=32-4×2×(-4)=9+32>0,

∴原方程有两个不相等的实数根.

(2)原方程可变形为

16y2-24y+9=0.

∵△=(-24)2-4×16×9=576-576=0,

∴原方程有两个相等的实数根.

(3)原方程可变形为

5x2-7x+5=0.

∵△=(-7)2-4×5×5=49-100<0,

∴原方程没有实数根.

学生口答,教师板书,引导学生总结步骤,(1)化方程为一般形式,确定a、b、c的值;(2)计算b2-4ac的值;(3)判别根的情况.

强调两点:(1)只要能判别△值的符号就行,具体数值不必计算出.(2)判别根的情况,不必求出方程的根.

练习.不解方程,判别下列方程根的情况:

(1)3x2+4x-2=0;(2)2y2+5=6y;

(3)4p(p-1)-3=0;(4)(x-2)2+2(x-2)-8=0;

学生板演、笔答、评价.

(4)题可去括号,化一般式进行判别,也可设y=x-2,判别方程y2+2y-8=0根的情况,由此判别原方程根的情况.

又∵不论k取何实数,△≥0,

∴原方程有两个实数根.

教师板书,引导学生回答.此题是含有字母系数的一元二次方程.注意字母的取值范围,从而确定b2-4ac的取值.

练习:不解方程,判别下列方程根的情况.

(1)a2x2-ax-1=0(a≠0);

(3)(2m2+1)x2-2mx+1=0.

学生板演、笔答、评价.教师渗透、点拨.

(3)解:△=(-2m)2-4(2m2+1)×1

=4m2-8m2-4

=-4m2-4.

∵不论m取何值,-4m2-4<0,即△<0.

∴方程无实数解.

由数字系数,过渡到字母系数,使学生体会到由具体到抽象,并且注意字母的取值.

(四)总结、扩展

(1)判别式的意义及一元二次方程根的情况.

①定义:把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式.用“△”表示

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