浙江大学数学建模精品课程

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象。
2
几何级数的增长
N/人

1.5
1
0.5
0 1950
2000
2050 t/年
2100
2150
2200
模型2 Logistic模型
人口净增长率应当与人口数量有关，即： r=r(N)
从(3而.9)式有还：有dd另Nt 一解r(释N )，N由于空间和资源（都3.7是）有限的，不可能供养无限 增恶长 化对的、马种疾群病尔个增萨体多斯，等模当原型种因群，引数 出入量 生一过 率次多 将项时 降， 低（由 而竞于 死争人 亡项均 率）资 却源 会，占 提令有高率。r(的设N)下环=r降境-a及能N环供境养 的K-N种恰此群为时数环量得境的到还上微能界供分为养方K（的程近种：似群地数将量K，看（成3.常9）数指）出，，N种表群示增当长前率的与种两群者数的量乘， 积也被成称正为比统，计正筹好dd算符Nt 律合的统(r原计为ra因规(NN了。律))最得N，简出得或单一到个的d了dN有t形实实式验r际是(结1意常果KN义数的)，N支此持（，3.这8）就是（3.9）
t
N
(t)

K
N(t)的图形请看图3.5
（3.10）
图3-5
模型检验
用Logistic模型来描述种群增长的规律效果如何呢？1945 年克朗皮克（Crombic）做了一个人工饲养小谷虫的实验，数 学生物学家高斯（E·F·Gauss）也做了一个原生物草履虫实验， 实验结果都和Logistic曲线十分吻合。
2N0 N0erT
r
模型检预验测
假比如较人历口年数的真人能口保统持计每资3料4.，6年可增发加现一人倍口，增那长么的人实口际数情将况
与 以马几尔何萨级斯数模的型方的式预增报长结。果例基如本，相到符251，0年例，如人，口19达61年2×世10界14人个，
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大量实验资料表明用Logistic模型来描述种群的增长，效
果还是相当不错的。例如，高斯把5只草履虫放进一个盛有
0.5cm3营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天230.9%
的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量
375个，实验数据与r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logistic
例5 赝品的鉴定
历史背景:
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d为死亡率），
既：
1 N
dN dt
r
或
dN dt
rN
（3.5）
（3.1）的解为：
N (t)

N er (tt0 ) 0
（3.6）
其中N0=N(t0)为初始时刻t0时的种群数。
马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需 的时间是固定的。
令种群数量翻一番所需的时间为T，则有：
故 T ln 2
曲线： N (t )

1
375 74e2.309t
几乎完全吻合，见图3.6。
图3-6
Malthus模型和Logistic模型的总结
Malthus模型和Logistic模型均为对微分方程（3.7） 所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率r为一常 数，（r被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环 境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。
对（3.9）分离变量：

1 N

K
1
N

dN

kKdt
两边积分并整理得： 令N(0)=N0，求得：
N

K 1 CekKt
C K N0 N0
故（3.9）的满足初始条件N(0)=N0的解为：
易见：
N (t)

N0
N0K (K N0 )ekKt
N(0)=N0
，
lim
用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对 求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。 相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原 因，对模型进行修改。
Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的 增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这 些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可，下面我们来看两 个较为有趣的实例。
行建立相应的模型。
美丽的大自然
种群的数量本应取离散值，但由于种群数 量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群 数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量， 由此引起的误差将是十分微小的。
模型1 马尔萨斯（Malthus）模型
马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，
人口净增长率r基本上是一常数，（r=b-d,b为出生率，
§3.2 Malthus模型与Logistic模型
为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并 控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。
本节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一
下这方面离的散问化题为。连一续般，生方态系统的分析可以通过一些简单模
型的复合来研究便，研大究家若有兴趣可以根据生态系统的特征自