高三数学一轮复习课时作业18：三角函数的图象与性质

§4.3 三角函数的图象与性质1．(2018·广州质检)下列函数中，是周期函数的为( )A ．y ＝sin|x |B ．y ＝cos|x |C ．y ＝tan|x |D ．y ＝(x －1)0答案 B解析 ∵cos|x |＝cos x ，∴y ＝cos|x |是周期函数．2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22 C.22 D ．0 答案 B解析 由已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1， 故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22.故选B.3．函数y ＝sin x 2的图象是( )答案 D解析 函数y ＝sin x 2为偶函数，排除A ，C ；又当x ＝π2时函数取得最大值，排除B ，故选D.4．(2017·成都诊断)函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别为( )A ．3，－1B ．3，－2C ．2，－1D ．2，－2答案 D解析 y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x＝－sin 2x －2sin x ＋1，令t ＝sin x ，则t ∈『－1,1』，y ＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2，所以y max ＝2，y min ＝－2.5．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象过点(0，3)，则f (x )图象的一个对称中心是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π3，0 B.⎝⎛⎭⎫－π6，0 C.⎝⎛⎭⎫π6，0D.⎝⎛⎭⎫π12，0 答案 B解析 函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象过点(0，3)，则f (0)＝2sin φ＝3， ∴sin φ＝32，又|φ|<π2，∴φ＝π3， 则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )， 则x ＝k π2－π6(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝－π6， ∴⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数f (x )的图象的一个对称中心． 6．(2017·衡水模拟)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6，则下列说法正确的是( ) A ．f (x )的周期是π2B ．f (x )的值域是{y |y ∈R ，且y ≠0}C ．直线x ＝5π3是函数f (x )图象的一条对称轴 D ．f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z 答案 D解析 函数f (x )的周期为2π，A 错；f (x )的值域为『0，＋∞)，B 错；当x ＝5π3时，12x －π6＝2π3≠k π2，k ∈Z ，∴x ＝5π3不是f (x )的对称轴，C 错；令k π－π2<12x －π6≤k π，k ∈Z ，可得2k π－2π3<x ≤2k π＋π3，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z ，D 正确． 7．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为__________．答案 ⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 解析 因为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 所以令2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )， 解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )， 所以函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )． 8．(2018·福州质检)函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最小值为____________． 答案 1－22解析 令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴当t ＝－22时，y min ＝1－22. 9．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f (x )的最小正周期为________．答案 6π5解析 由函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，可得ωπ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，∴ω＝k ＋23，又ω∈(1,2)，∴ω＝53， 从而得函数f (x )的最小正周期为2π53＝6π5. 10．(2018·珠海模拟)设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．答案 2解析 |x 1－x 2|的最小值为函数f (x )的半个周期，又T ＝4，∴|x 1－x 2|的最小值为2.11．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求函数f (x )图象的对称轴方程；(2)求f (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ， 得x ＝k π2＋π8，k ∈Z .所以函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝k π2＋π8，k ∈Z . (2)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 故f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . (3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4， 所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤22， 所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.12. (2017·武汉调研)已知函数f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫2cos 2x 2＋sin x ＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)当x ∈『0，π』时，函数f (x )的值域是『5,8』，求a ，b 的值．解 f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b＝2a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a ＋b . (1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋b －1， 由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )， ∴f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )． (2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4， ∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤1.依题意知a ≠0， ①当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5；②当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8. 综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.13．(2018·太原模拟)若f (x )＝3sin x －4cos x 的一条对称轴方程是x ＝a ，则a 的取值范围可以是( )A.⎝⎛⎭⎫0，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4D.⎝⎛⎭⎫3π4，π答案 D解析 因为f (x )＝3sin x －4cos x ＝5sin(x －φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝43且0＜φ＜π2，则sin(a －φ)＝±1， 所以a －φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即a ＝k π＋π2＋φ，k ∈Z ，而tan φ＝43且0＜φ＜π2，所以π4＜φ＜π2，所以k π＋3π4＜a ＜k π＋π，k ∈Z ，取k ＝0，此时a ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，故选D. 14．已知关于x 的方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1－a ＝0在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上存在两个根，则实数a 的取值范围是________．答案 『2,3) 解析 sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝a －12在⎣⎡⎦⎤0，2π3上存在两个根，设x ＋π6＝t ，则t ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6， ∴y ＝sin t ，t ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6的图象与直线y ＝a －12有两个交点，∴12≤a －12<1，∴2≤a <3.15．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝f (－x )恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π8＝1，则实数b 的值为( )A ．－1B ．3C ．－1或3D ．－3答案 C解析 由f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3.16．(2018·兰州模拟)已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时， －5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间． 解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈『－2a ，a 』， ∴f (x )∈『b,3a ＋b 』，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ， 其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时， g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ， ∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时， g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z . ∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z . ∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z ， 单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。