2020-2021学年北师大新版九年级下册数学《第1章 直角三角形的边角关系》单元测试卷(有答案)
北师大版初三数学9年级下册 第1章(直角三角形的边角关系)单元测试卷(含答案)
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元测试卷(时间：120分钟 满分：150分)A卷(共100分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案填在下面的答题框内)题号12345678910答案1.在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则cosA＝( )A.32B.12C.3D.332．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是( )A.35B.45C.34D.433．在△ABC中，若tanA＝1，sinB＝22，你认为最确切的判断是( )A．△ABC是等腰三角形 B．△ABC是等腰直角三角形C．△ABC是直角三角形 D．△ABC是一般锐角三角形4．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，设∠ADE＝α，且cosα＝35，AB＝4，则AD的长为( )A．3 B.163C.203D.1655．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿DE 折起，使顶点C 落在C ′处，测量得AB ＝4，DE ＝8，则sin ∠C ′ED ＝( )A ．2 B.12 C.22 D.326．如图，市政府准备修建一座高AB ＝6 m 的过街天桥，已知天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角∠ACB 的正弦值为35，则坡面AC 的长度为( )A ．10 m B ．8 m C ．6 m D ．63 m7．下列不等式不成立的是( )A ．sin20°＜sin40°＜sin70°B ．cos20°＜cos40°＜cos70°C ．tan20°＜tan40°＜tan70°D ．sin30°＜cos45°＜tan60°8．如图，在离地面高5 m 处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则拉线AC 的长是( )A ．10 m B.1033 m C ．53 m D ．5 m9．如图，直线y ＝－43x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，作OA ⊥MN 于点A ，则tan ∠AON ＝( )A.45B.35C.43D.3410．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E ，∠EDC ∶∠EDA ＝1∶3，且AC ＝10，则DE 的长度是( )A ．3B ．5C ．52 D.522二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在题中的横线上)11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cosB ＝23，则a ∶b ＝____________．12．已知，在△ABC 中，∠C ＝90°，3a ＝3b ，则tanA ＝33，∠B ＝____________．13．如图，在△ABC 中，cosB ＝22，sinC ＝35，AC ＝10，则△ABC 的面积为____________．14．如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均落在格点上，则tanC ＝____________．三、解答题(本大题共6个小题，共54分) 15．(本小题满分6分)计算：(1)sin45°＋cos45°－tan30°×sin60°；(2)24sin45°＋cos230°－12tan60°＋2sin60°.16．(本小题满分8分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，求sinA，cosA，tanA.17．(本小题满分8分)如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，BC＝6，求AB的长．18．(本小题满分10分)如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24 m，小明在点E(B，E，D在一条直线上)处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8 m到达点G处，测得教学楼CD顶部的仰角为30°.已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6 m，求教学楼AB的高度．(精确到0.1 m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)19．(本小题满分10分)如图，某反比例函数图象的一支经过点A(2，3)和点B(点B在点A的右侧)，作BC⊥y轴，垂足为C，连接AB，AC.(1)求该反比例函数的表达式；(2)若△ABC的面积为6，求sin∠ABC的值；(3)求点C到直线AB的距离．20．(本小题满分12分)如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM，DN.(1)求证：四边形BMDN是菱形；(2)若AB＝2，AD＝4，求sin∠AMB的值．B卷(共50分)一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在题中的横线上)21．在△ABC中，∠C＝90°，边a，c满足c2－5ac＋6a2＝0，则cosA=_____．22．如图，在2×2的正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积为32，则sin∠CAB＝_____．23．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上．如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影子长2米，则树的高度为_____米．24．已知边长为5的菱形ABCD中，对角线AC长为6，点E在对角线BD上且tan∠EAC＝13，则BE的长为_____．25．如图，正方形ABCD的边长为22，过点A作AE⊥AC，AE＝1，连接BE，则tanE＝_____．二、解答题(本大题共3个小题，共30分)26．(本小题满分8分)如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝1 8 .(1)求BC的长；(2)利用此图形求tan15°的值．27．(本小题满分10分)如图，坡上有一棵与水平面EF垂直的大树AB，台风过后，大树倾斜后折断倒在山坡上，大树顶部B接触到坡面上的D点．已知山坡的坡角∠AEF＝30°，量得树干倾斜角∠BAC＝45°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC＝60°且AD＝4米．(1)求∠CAE的度数；(2)求这棵大树折断前的高度AB.(结果精确到个位，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，6≈2.4)28．(本小题满分12分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE＝90°.(1)当DF∥AB时，连接EF，求tan∠DEF的值；(2)当点F在线段BC上时，设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)连接CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．参考答案北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元测试卷(时间：120分钟 满分：150分)A卷(共100分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案填在下面的答题框内)题号12345678910答案A A B B B A B B C D1.在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则cosA＝(A)A.32B.12C.3D.332．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是(A)A.35B.45C.34D.433．在△ABC 中，若tanA ＝1，sinB ＝22，你认为最确切的判断是(B)A ．△ABC 是等腰三角形B ．△ABC 是等腰直角三角形C ．△ABC 是直角三角形D ．△ABC 是一般锐角三角形4．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E ，设∠ADE ＝α，且cos α＝35，AB ＝4，则AD 的长为(B)A ．3 B.163 C.203 D.1655．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿DE 折起，使顶点C 落在C ′处，测量得AB ＝4，DE ＝8，则sin ∠C ′ED ＝(B)A ．2 B.12 C.22 D.326．如图，市政府准备修建一座高AB ＝6 m 的过街天桥，已知天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角∠ACB 的正弦值为35，则坡面AC 的长度为(A)A ．10 m B ．8 m C ．6 m D ．63 m7．下列不等式不成立的是(B)A ．sin20°＜sin40°＜sin70°B ．cos20°＜cos40°＜cos70°C ．tan20°＜tan40°＜tan70°D ．sin30°＜cos45°＜tan60°8．如图，在离地面高5 m 处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则拉线AC 的长是(B)A ．10 mB.1033 mC ．53 mD ．5 m9．如图，直线y ＝－43x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，作OA ⊥MN 于点A ，则tan ∠AON ＝(C)A.45 B.35 C.43 D.3410．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E ，∠EDC ∶∠EDA ＝1∶3，且AC ＝10，则DE 的长度是(D)A ．3B ．5C ．52D.522二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在题中的横线上)11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cosB ＝23，则a ∶b ＝2∶5．12．已知，在△ABC 中，∠C ＝90°，3a ＝3b ，则tanA ＝33，∠B ＝60°．13．如图，在△ABC 中，cosB ＝22，sinC ＝35，AC ＝10，则△ABC 的面积为42．14．如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均落在格点上，则tanC ＝2．三、解答题(本大题共6个小题，共54分)15．(本小题满分6分)计算：(1)sin45°＋cos45°－tan30°×sin60°；解：原式＝22＋22－33×32＝2－12.(2)24sin45°＋cos 230°－12tan60°＋2sin60°.解：原式＝24×22＋(32)2－12×3＋2×32＝14＋34－36＋3＝1＋536.16．(本小题满分8分)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，求sinA ，cosA ，tanA.解：由勾股定理，得AC ＝AB 2－BC 2＝132－52＝12，∴sinA ＝BC AB ＝513，cosA ＝AC AB＝1213，tanA ＝BC AC ＝512.17．(本小题满分8分)如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，BC ＝6，求AB 的长．解：过点C 作CD ⊥AB 于点D.∵∠B ＝45°，∴CD ＝BD.∵BC ＝6，∴CD ＝BD ＝3.∵∠A ＝30°，tan30°＝CD AD，∴AD ＝CD tan30°＝333＝3.∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋3.18．(本小题满分10分)如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB ，CD ，大楼的底部B ，D 在同一平面上，两幢楼之间的距离BD 长为24 m ，小明在点E(B ，E ，D 在一条直线上)处测得教学楼AB 顶部的仰角为45°，然后沿EB 方向前进8 m 到达点G 处，测得教学楼CD 顶部的仰角为30°.已知小明的两个观测点F ，H 距离地面的高度均为1.6 m ，求教学楼AB 的高度．(精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：延长HF 交CD 于点N ，延长FH 交AB 于点M ，由题意，得MB ＝HG ＝FE ＝ND ＝1.6 m ，HF ＝GE ＝8 m ，MF ＝BE ，HN ＝GD ，MN ＝BD ＝24 m.设AM ＝x m ，则CN ＝x m.在Rt△AFM中，MF＝AMtan45°＝x1＝x，在Rt△CNH中，HN＝CNtan30°＝x33＝3x，∴HF＝MF＋HN－MN＝x＋3x－24，即8＝x＋3x－24，解得x≈11.7.∴AB＝11.7＋1.6＝13.3(m)．答：教学楼AB的高度约为13.3 m.19．(本小题满分10分)如图，某反比例函数图象的一支经过点A(2，3)和点B(点B在点A的右侧)，作BC⊥y轴，垂足为C，连接AB，AC.(1)求该反比例函数的表达式；(2)若△ABC的面积为6，求sin∠ABC的值；(3)求点C到直线AB的距离．解：(1)设反比例函数的表达式为y＝k x ，由题意，得k＝xy＝2×3＝6.∴反比例函数的表达式为y＝6 x .(2)设B点坐标为(a，b)，过点A作AD⊥BC于点D，则D(2，b)．∵反比例函数y＝6x的图象经过点B(a，b)，∴b＝6a.∴AD＝3－6a.∴S△ABC＝12BC·AD＝12a(3－6a)＝6，解得a＝6.∴b＝6a＝1，AD＝3－6a＝2.∴B(6，1)．∴AB＝（2－6）2＋（3－1）2＝25.∴sin∠ABC＝225＝55.(3)过点C作CE⊥BA交BA的延长线于点E，在Rt△BCE中，sin∠ABC＝CE BC＝55，BC＝6，∴CE ＝655.∴点C 到直线AB 的距离为655.20．(本小题满分12分)如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 与AD 相交于点M ，与BD 相交于点O ，与BC 相交于点N ，连接BM ，DN.(1)求证：四边形BMDN 是菱形；(2)若AB ＝2，AD ＝4，求sin ∠AMB 的值．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠A ＝90°.∴∠MDO ＝∠NBO.∵MN 是BD 的垂直平分线，∴BO ＝DO ，MN ⊥BD.在△DMO 和△BNO 中，{∠MDO ＝∠NBO ，DO ＝BO ，∠MOD ＝∠NOB ，∴△DMO ≌△BNO(ASA)．∴OM ＝ON.∵OB ＝OD ，∴四边形BMDN 是平行四边形．∵MN ⊥BD ，∴四边形BMDN 是菱形．(2)∵四边形BMDN 是菱形，∴MB ＝MD.设MD ＝x ，则AM ＝4－x ，MB ＝DM ＝x.在Rt △AMB 中，BM 2＝AM 2＋AB 2，即x 2＝(4－x)2＋22，解得x ＝52.∴sin ∠AMB ＝AB BM ＝45.B卷(共50分)一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在题中的横线上)21．在△ABC中，∠C＝90°，边a，c满足c2－5ac＋6a2＝0，则cosA＝32或223．22．如图，在2×2的正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积为32，则sin∠CAB＝35．23．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上．如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影子长2米，则树的高度为(6＋3)米．24．已知边长为5的菱形ABCD中，对角线AC长为6，点E在对角线BD上且tan∠EAC＝13，则BE的长为3或5．25．如图，正方形ABCD的边长为22，过点A作AE⊥AC，AE＝1，连接BE，则tanE＝23．二、解答题(本大题共3个小题，共30分)26．(本小题满分8分)如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝1 8 .(1)求BC的长；(2)利用此图形求tan15°的值．解：(1)过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，在Rt△ADC中，AC＝4，∵∠ACB＝150°，∴∠ACD＝30°.∴AD＝12AC＝2，CD＝AC·cos30°＝4×32＝23.在Rt△ABD中，tanB＝ADBD＝2BD＝18，∴BD＝16.∴BC＝BD－CD＝16－23.(2)在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连接AM，∵∠ACB＝150°，∴∠AMC＝∠MAC＝15°.∴tan15°＝tan∠AMD＝ADMD＝24＋23＝12＋3＝2－3.27．(本小题满分10分)如图，坡上有一棵与水平面EF垂直的大树AB，台风过后，大树倾斜后折断倒在山坡上，大树顶部B接触到坡面上的D点．已知山坡的坡角∠AEF＝30°，量得树干倾斜角∠BAC＝45°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC＝60°且AD＝4米．(1)求∠CAE的度数；(2)求这棵大树折断前的高度AB.(结果精确到个位，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，6≈2.4)解：(1)延长BA交EF于点H，则∠AHE＝90°，∠HAE＝60°.∵∠BAC＝45°，∴∠CAE＝180°－∠EAH－∠BAC＝75°.(2)过点A作AM⊥CD于点M，则∠CAM＝90°－45°＝45°，∠DAM＝75°－45°＝30°，∴AM＝AD·cos30°＝4×32＝23，MD＝12AD＝2，∵∠C ＝∠CAM ＝45°，∴CM ＝AM ＝23，AC ＝2AM ＝2×23＝26.∴AB ＝AC ＋CM ＋MD ＝26＋23＋2≈2×2.4＋2×1.7＋2＝10.2≈10.∴这棵大树折断前的高度约为10米．28．(本小题满分12分)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝6，点D 为AC 中点，点E 为边AB 上一动点，点F 为射线BC 上一动点，且∠FDE ＝90°.(1)当DF ∥AB 时，连接EF ，求tan ∠DEF 的值；(2)当点F 在线段BC 上时，设AE ＝x ，BF ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；(3)连接CE ，若△CDE 为等腰三角形，求BF 的长．解：(1)∵AC ＝BC ＝6，∠ACB ＝90°，∴AB ＝62.∵DF ∥AB ，点D 为AC 中点，∴AD ＝CD ＝12AC ＝3，DF ＝12AB ＝32.∴DE ＝322.在Rt △DEF 中，tan ∠DEF ＝DF DE ＝32322＝2.(2)过点E 作EH ⊥AC 于点H ，设AE ＝x ，∵BC ⊥AC ，∴EH ∥BC.∴∠AEH ＝∠B.∵∠B ＝∠A ，∴∠AEH ＝∠A.∴HE ＝HA ＝22x.∴HD ＝3－22x.易证△HDE ∽△CFD ，∴HDCF ＝HEDC ，即3－22x6－y ＝22x 3.∴y ＝9－92x(2≤x ≤32)．(3)∵CE ≥12AB ＝32＞3，CD ＝3，∴CE ＞CD.∴若△DCE 为等腰三角形，只有DC ＝DE 或ED ＝EC 两种可能．当DC ＝DE 时，点F 在边BC 上，过点D 作DG ⊥AE 于点G(如图1)，可得AE＝2AG＝32，即点E在AB中点．∴此时F与C重合．∴BF＝6.当ED＝EC时，点F在BC的延长线上，过点E作EM⊥CD于点M(如图2)，∵EM⊥CD，ED＝EC，∴DM＝CM＝12CD＝32.易证EM＝AM＝AD＋DM＝3＋32＝92.∵DE⊥DF，∴∠EDM＋∠FDC＝90°.∵∠FDC＋∠F＝90°，∴∠F＝∠EDM.∴△DFC∽△EDM.∴CFDM＝CDEM，即CF32＝392.∴CF＝1.∴BF＝7.综上所述，BF的长为6或7.。
2020-2021学年北师大版数学九年级下册 第一章直角三角形的边角关系提高卷
（北师大版）2020-2021学年九年级下册同步精练单元测试卷第一章直角三角形的边角关系提高卷1.在ABC △中,已知A B ∠∠、都是锐角,21|sin |+(1tan )0,2A B --=那么C ∠的度数为( )A.75°B.90°C.105°D.120°2.在 Rt ABC △中,90,4,5,C AC AB ∠===° 则tan A 的值是( ) A.23B.35C.34D.453.如图,在Rt ABC △中,CD 是斜边AB 上的高,45A ∠≠° ,则下列比值中不等于cos A 的是( )A.BDCBB.CDCBC.ACABD.ADAC4.如图，在54⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC △的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin BAC ∠的值为（ ）A.43B.34 C.35D.455.已知在ABC △中,1,tan 45,cos60AB BC ==°°2sin60AC =°,则cos A 的值为( )A.126.在Rt ABC △中，90C ∠=︒，若10AB =，3sin 5A =，则斜边上的高等于( )A.5B.4.8C.4.6D.47.如图,对折矩形纸片ABCD ,使AB 与DC 重合,得到折痕EF ,然后将纸片展开再一次折叠,使得顶点A 落在EF 上的点G 处,折痕为DH ,则 sin HDG ∠的值为( )A.128.如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB 的高度，他作了如下操作：（1）在点C 处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角ACE α∠=；（2）量得测角仪的高度CD a =；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB b =，利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为( )A.tan a b α+B.sin a b α+C.tan ba α+D.sin ba α+9.如图，某建筑物CE 上挂着“巴山渝水，魅力重庆”的宣传条幅CD ，王同学利用测倾器在斜坡的底部A 处测得条幅底部D 的仰角为60︒，沿斜坡AB 走到B 处测得条幅顶部C 的仰角为50︒，已知斜坡AB 的坡度1 2.4,13i AB ==︰米，12AE =米（点,,,,A B C D E 在同一平面内，CD AE ⊥，测倾器的高度忽略不计），则条幅CD 的长度约为（参考数据：sin 500.77,cos500.64,tan 50 1.19, 1.73︒≈︒≈︒≈≈）( )A.12.5米B.12.8米C.13.1米D.13.4米10.如图，在ABC 中，45,15AC ABC BAC ︒=∠=∠=︒，将ACB 沿直线AC 翻折至ABC 所在的平面内，得ACD .过点A 作AE ，使DAE DAC ∠=∠，与CD 的延长线交于点E ，连接BE ，则线段BE 的长为( )B.3C. D.411.计算：2cos60tan45+=°°_______.12.如图，在ABC 中，4760AB BC B ==∠=︒，，，点D 在边BC 上，3CD =，连接AD .如果将ACD 沿直线AD 翻折后，点C 的对应点为点E ，那么点E 到直线BD 的距离为________.13.在ABC 中，60,ABC AD ∠=︒为BC 边上的高，1AD CD ==，则BC 的长为_________.14.有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，90ABC ∠=︒，点,M N 分别在射线,BA BC 上，MN 长度始终保持不变，4MN E =，为MN 的中点，点D 到,BA BC 的距离分别为4和2.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE 的最小值为_________.15.人字梯为现代家庭常用的工具（如图）.若,AB AC 的长都为2 m ，当50α=︒时，人字梯顶端离地面的高度AD 是______m.（结果精确到0.1 m ，参考依据：sin500.77,cos500.64,tan50 1.19≈≈≈）16.如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B D、，某海岛上的观测塔A距离海岸5海里，在A处测得B位于南偏西22︒方向.一艘渔船从D出发，沿正北方向航行至C处，此时在A处测得C位于南偏东67︒方向，求此时观塔A渔船C之间的距离（结精确到0.1海里）.（参考数据：315212512 sin22,cos22,tan22,sin67,cos67,tan67 816513135≈≈≈≈≈≈）17.图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B A O--表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD 始终垂直于水平桌面OE，经测量： 6.8cmAO=，8cmCD=，30cmAB=，35cmBC=.（结果精确到0.1）.（1）如图2，70ABC∠=︒，//BC OE.①填空：BAO∠=____________.②求投影探头的端点D到桌面OE的距离.（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求ABC∠的大小.（参考数据：sin700.94≈）︒≈，cos53.20.60︒≈，sin36.80.60︒≈，cos200.94答案以及解析1.答案：C解析：21|sin |+(1tan )0,2A B --=21|sin |0,(1tan )0,2A B ∴-=-=1sin ,tan 1,2A B ∴==A B ∠∠、为锐角，3045,A B ∴∠=∠=,°°C ∴∠的度数为1803045105--=°°°°.故选C. 2.答案：C解析：在Rt ABC △中，90,4,5,C AC AB ∠===°3BC ∴=,3tan ,4BC A AC ∴==故选C. 3.答案：A 解析：CD 是斜边AB 上的高,90,90BDC ADC B DCB ∴∠=∠=∴∠+∠=°°.90,,ACB A DCB ∠=∴∠=∠°cos ,AC CD ADA AB CB AC∴===故选A. 4.答案：D解析：如图，过C 作CD AB ⊥于D ，则90ADC ∠=︒，5AC ∴． 4sin 5CD BAC AC ∴∠==． 故选D. 5.答案：B解析：1,tan 451,cos60AB BC ===°°2sin 60AC ==°222214,AC BC ∴+=+=2224,AB == 222,AC BC AB ∴+=ABC ∴△为直角三角形,90,C ∠=°cos AC A AB ∴== 故选B. 6.答案：B解析：如图所示，作CD AB ⊥，交AB 于点D CD ，即为斜边上的高，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，10AB =，3sin 5A =， 3sin 105BC BC A AB ∴===，6BC =，根据勾股定理得8AC =， 12ABC S AC BC =⋅△12CD AB =⋅，AC BC CD AB ⋅∴=68410⨯==.故选B. 7.答案：A解析：如图，连接,AG 对折矩形纸片,ABCD 使AB 与DC 重合，,,E DE EF AD ∴=⊥易得,.GDE GAE DG AG ≅∴=△△将纸片再一次折叠，使点A 落在点G 处，,,,AD DG ADH HDG AD DG AG ∴=∠=∠∴==ADG∴△是等边三角形，60,30,ADG HDG ∴∠=∴∠=°°1sin sin30.2HDG ∴∠==°,故选 A.8.答案：A解析：本题考查三角函数的实际应用.过点C 作CF AB ⊥于点F ，由题意得CF DB b ==，tanAFACFCF∠=，tan tanAF ACF CF b∠α∴=⨯=，tanAB AF FB AF CD a bα∴=+=+=+.故选A.9.答案：B解析：过B作BF AE⊥，交EA的延长线于F，作BG DE⊥于G.Rt ABF中，1tan2.4BFi BAFAF=∠==，13AB=米，∴5BF=（米），12AF=（米），∴24BG AF AE=+=（米），Rt BGC中，50CBG∠=︒，∴tan5024 1.1928.56CG BG=⋅︒≈⨯=（米），Rt ADE中，60DAE∠=︒，12AE=米，∴DE==，∴28.56512.8CD CG GE DE=+=+≈--（米）故选B.10.答案：C解析：本题考查三角形内角和定理、图形的翻折、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、全等角形的判定与性质.在ABC中，4515120ABC BAC ACB∠=︒∠=︒∴∠=︒，，.将ACB 沿直线AC翻折，得ACD，12015,3.0ACE ACB DAE DAC BAC CAE∴∠=∠=∠=∠=∠=︒∴∠=︒︒，在ACE中，18030CEA ACE CAE ∠=︒-∠-∠=︒，AC EC ∴=.又360120BCB ACE ACB ∠=︒-∠-∠=︒，∴在EBC 和ABC 中，EC ACECB ACB CB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，EBC ABC ∴≌，BE BA ∴=.如图，延长BC 交AE 于点F ，,,CE CA BE BA BC ==∴是线段AE 的垂直平分线，即90AFC ∠=︒，在Rt AFC 中，3022CAF AC ∠=︒=，，cos 6AF AC CAF ∴=⋅∠=.在Rt AFB 中，45,223,23ABC AB AF BE AB ∠=∴==∴=︒=，故选C.11.答案：2解析：12cos60tan 4521 2.2+=⨯+=°°12. 解析：本题考查等边三角形的判定与性质图形的折叠、锐角三角函数.如图，作出折叠后的ADE ，过点E 作EF BD ⊥，垂足为F .734BC DC BD ==∴=，，.又4AB AB BD =∴=，.60B ∠=︒，ABD ∴是等边三角形，60ADB ∠=︒，120ADC ∴∠=︒.由折叠可知120ADE ADC ∠=∠=︒，360DC DE EDF ==∴∠=︒，.在Rt EDF 中，cos303EF DE =⋅==︒E 到直线BD .13.答案：5或7解析：本题考查解直角三角形.tan B =63tan 603,6AD BD BD =∴︒===，当点D 在BC 上时，如图1，则617BC BD CD =+=+=；当点D 在BC 的延长线上时，如图2，则615BC BD CD =-=-=，BC ∴的长为5或7.14.答案：2解析：本题考查解直角三角形、直角三角形的性质最短距离问题.依题意，过点D 作DH 垂直BC 于点H ，连接,BE BD ，则124=22DH BH BE MN ===，，.在Rt BDH 中，由勾股定理得BD ,,B E D 三点共线时，DE 取得最小值，且最小值为2. 15.答案：1.5解析：本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形的应用.由题意知2m,AB AC AD BC ==⊥，在Rt ACD 中，50,sin5020.77 1.5AD AC α=∴=⋅≈⨯≈，即人字梯顶端离地面的高度AD 是1.5米.16.答案：如图，过点A 作AE BD ⊥，过点C 作CF AE ⊥.在Rt ABE 中，tan 22BEAE=︒， 2tan 22525BE AE ︒∴=⨯≈⨯=海里. 6BD =海里，624DE ∴=-=海里.四边形CFED 是矩形，4DE CF ∴==海里.在Rt ACF 中，sin 67CF AC =︒， 413 4.312sin 67313CF AC =≈=≈︒海里. 答：此观测塔A 与渔船C 之间的距离是4.3海里. 解析：本题考查解直角三角形的实际应用.作AE BD ⊥于点E ，作CF AE ⊥于点F ，构造Rt ABE 和Rt ACF ，根据三角函数的定义即可求解.17.答案：（1）①过点A 作//AF BC ，如图1，则7090160BAO BAF OAF ABC AOE ∠∠∠∠∠=+=+=+=，②过点A 作AG BC ⊥于BC 点G.30cm, 6.8cm,70AB OA ABC ∠===，30sin 7028.2(cm)AG ∴=≈，6.828.235(cm),27cm OG OA AG OG CD ∴=+=+=∴-=. ∴点D 到桌面OE 的距离是27cm.（2）如图（3），延长CD 交OE 于点M ，过点B 作OE 的平行线交DC 的延长线于点H.,//,,70CD OE OE BH CD BH ABH ∠⊥∴⊥=， 由题意，得14cm CM =，由（1）得35cm,21cm HM CH =∴=. 在Rt BCH 中，21sin 0.635CH CBH BC ∠===， 36.8CBH ∠∴=，7036.833.2ABC ABH CBH ∠∠∠∴=-=-=.。
2020—2021年北师大版初中数学九年级下册《直角三角形的边角关系》单元测试题2.docx
北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》复习题一、选择题：1、ABC Rt ∆中，∠C=90°，AC=4，BC=3，B cos 的值为…………………【】A 、51B 、53C 、34D 、43 2、已知∠A +∠B = 90°，且A cos =51，则B cos 的值为……………………【】A 、51 B 、54 C 、562D 、523、在菱形ABCD 中，∠ABC=60° ， AC=4，则BD 的长是…………………【】 A 、38B 、34C 、32D 、84、在ABC Rt ∆中，∠C=90° ，A tan =3，AC=10，则S △ABC 等于………【】A 、３B 、３00C 、350D 、1５0５、一人乘雪橇沿坡度为１:3的斜坡滑下，滑下距离Ｓ（米）与时间t （秒）之间的关系为Ｓ＝2210t t +,若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为……【】A 、 72米B 、36米C 、336米D 、318米6、在ABC Rt ∆中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c 三边，则下列式子一定成立的是………………………………………………………………【】A 、B c a sin ⋅= B 、B c a cos ⋅=C 、Bac tan = D 、A a c sin ⋅= 7、若∠A 为锐角，132tan tan =⋅οA ，则∠A 等于…………………………【】 A 、ο32 B 、ο58 C 、ο)321( D 、ο)581( 8、如果把ABC Rt ∆的三边同时扩大n 倍，则A sin 的值……………………【】A 、不变B 、扩大n 倍C 、缩小n 倍D 、不确定 9、ABC ∆中，∠C=90°，AC=52，∠A的角平分线交BC 于D ，且AD=1534，则A tan 的值为…【】 A 、1558 B 、3 C 、33D 、3110、如图ABC ∆中，A D 是B C 边上的高，∠C=30°，BC=32+，21tan =B ，那么AD 的长度为 ……………………………【】A 、21 B 、1 C 、2321+D 、331+二、填空题：11、如图P 是α∠的边OA 上一点, P 的坐标为(3,4),则=αsin 。
北师大版初三数学9年级下册 第1章(直角三角形的边角关系)测试卷 含答案)
第一单元《直角三角形的边角关系》测试卷一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分）1．如图，在量角器的圆心处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0刻度线对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是（ ）．A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°2．tan45°的值等于（ ）A ．2BC ．-1D ．13．如图，∠α的顶点为O ，一边在x 轴的正半轴上，另一边上有一点P （3，4），则sin α＝（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知中，，CD 是AB 上的高，则=（ ）A ．B ．C ．D ．5．Rt ABC 中，∠C=90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，下列关系式错误的是（ ）A ．b=c·cosB B ．b=a·tan BC ．a=c·sin AD ．a=c·cos B6．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据淄博市的地理位置设计的圭表，其中，立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）为．已知，冬至时淄博市的正午日光入射角约为°，则立柱高约为（ ）O AB 43344535ABC ∆90C ∠=︒CD BD sin A cos A tan A cot AAC BC a ABC ∠26.5ACA ．B ．C ．D．7．已知在中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝12，则∠B 的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D．8．把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin ∠，则∠2的度数为（ ）A ．120°B．135°C ．145°D ．150°9．如图，在中，，于，下列结论错误的有（ ）个①图中有两对相似三角形；②；③；④若，，则.A ．0B ．lC ．2D ．310．如图，在菱形中，，为边上的高，将沿所在直线翻折，sin 26.5a ︒cos 26.5a ︒tan 26.5a ︒tan 26.5a︒Rt ABC 1213513512125Rt ABC ∆90BCA ∠=︒CD AB ⊥D sin AD B AC =BC AC AB CD ⋅=⋅BC =8AD =4CD =ABCD 45B ∠= AE BC ABE ∆AE得到，若，则菱形的边长为（ ）AB ．C ．D11．如图，在□ABC D 中，AB=6，∠B=75°，将△ABC 沿AC 边折叠得到△AB ′C ，B ′C 交AD 于E ，∠B′AE=45°，则点A 到B ′C 的距离为（）A ．B ．CD 12．如图，平面直角坐标系中，，，将绕顶点顺时针旋转一定角度到处，此时线段与的交点为的中点，则点的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．13．如图，把三角形纸片折叠，使的对应点在上，点的对应点在上，折痕分别为，，若，，，则的长为（ ）AB E '∆1C B '=-21()0,2A ()B AOB O COD △CD BO E BO D )3-2⎫-⎪⎭ABC C E AB B D BC AD FG 30CAB ∠=︒135C ∠=︒DF =EFABC．3D．14．如图，某天然气公司的主输气管道从市的北偏东方向直线延伸，测绘员在处测得要安装天然气的小区在市的北偏东方向，测绘员由处沿主输气管道步行1000米到达点处，测得小区位于点的北偏西方向，试在主输气管道上寻找支管道连接点，使点到该小区铺设的管道最短，此时铺设的管道的最短距离约是（）．）A．366米B．650米C．634米D．700米二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）15．在方格纸中的位置如图所示，则的值是________．16．某人顺着山坡沿一条直线型的坡道滑雪，当他滑过130米长的路程时，他所在位置的竖直高度下降了50米，则该坡道的坡比是_________．17．△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则sin A+cos A＝_____．18．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF ＝3，则tan＝_____．3+A60︒AM A30°AC M C75︒NN1.414≈ 1.732≈α∠tanα43B'C'AC'B AC''∠三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）19．计算：.20．如图，在△ABC 中（1）作图，作BC 边的垂直平分线分别交于AC ，BC 于点D ，E （用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）条件下，连接BD ，若BD ＝9，BC ＝12，求∠C的余弦值．22sin 454cos 30︒-︒)0tan 603tan 45--︒+︒21．如图，中，，的平分线交于D ，交的延长线于点E ，交于点F ．（1）若，求的度数；（2）若，求的长．22．为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温监测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表．名称红外线体温检测仪安装示意图技术参数探测最大角：∠OBC=73.14°ABCAB AC =B ÐAC //AE BC BD AF AB ⊥BE 40BAC ∠=︒AFE ∠2AD DC ==AF探测最小角：∠OAC=30.97°安装要求本设备需安装在垂直于水平地面AC的支架CP上根据以上内容，解决问题：学校要求测温区域的宽度AB为4m，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．（结果精确到0.1m，参考数据：sin73.14°≈0.957，cos73.14°≈0.290，tan73.14°≈3.300，sin30.97°≈0.515，cos30.97°≈0.857，tan30.97°≈0.600）23．某挖掘机的底座高AB=0.8米，动臂BC=1.2米，CD=1.5米，BC与CD的固定夹角∠BCD=140°．初始位置如图1,斗杆顶点D 与铲斗顶点E 所在直线DE 垂直地面AM于点E，测得∠CDE=70°(示意图2)．工作时如图3，动臂BC 会绕点B 转动，当点A，B，C在同一直线时，斗杆顶点D 升至最高点(示意图4)．(1)求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC 的度数．(2)问斗杆顶点D 的最高点比初始位置高了多少米(精确到0.1米)?（考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34）1.7324．阅读材料，回答问题：小聪学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt △ABC 中，如果∠C=90°，∠=30°，BC ═a=1，，AB=c=2，那么==2．通过上网查阅资料，他又知“sin90°=1”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着==的关系．这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：（1）如图2，在R △ABC 中，∠C=90°，BC=a ，AC=b ，AB=C ，请判断此时“==”的关系是否成立？答： （2）完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角△ABC ，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究：如图3，在锐角△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，请判断此时“ ==”的关系是否成立？并证明你的判断．（提示：过点C 作CD ⊥AB 于D ，过点A 作AH ⊥BC ，再结合定义或其它方法证明）．sin a A sin b Bsin a A sin b B sin c C sin a A sin b B sin c Csin a A sin b B sin c C25．如图1，草原上有A，B，C三个互通公路的奶牛养殖基地，B与C之间距离为100千米，C 在B的正北方，A在C的南偏东60°方向且在B的北偏东30°方向．A地每年产奶3万吨；B 地有奶牛9000头，平均每头牛的年产奶量为3吨；C地养了三种奶牛，其中黑白花牛的头数占20%，三河牛的头数占35%，其他情况反映在图(2)，图(3)中．（1）通过计算补全图(3)；（2）比较B地与C地中，哪一地平均每头牛的年产奶量更高？（3）如果从B，C两地中选择一处建设一座工厂解决三个基地的牛奶加工问题，当运送一吨牛奶每千米的费用都为1元，那么从节省运费的角度考虑，应在何处建设工厂？26．如图，矩形ABCD中，已知AB＝6．BC＝8，点E是射线BC上的一个动点，连接AE并延长，交射线DC于点F．将△ABE沿直线AE翻折，点B的对应点为点B'．（1）如图1，若点E 为线段BC 的中点，延长AB '交CD 于点M ，求证：AM ＝FM ；（2）如图2，若点B '恰好落在对角线AC上，求的值；（3）若＝，求∠DAB '的正弦值．BE CE BE CE 32答案一、选择题1．B ．2．D ．3．C ．4．D ．5．A ．6．C.7．B.8．B9．B ．10．C ．11．C ．12．B ．13．A ．14．A二、填空题15．16．17．.18．三、解答题19．原式.20．解：（1）如图所示，直线DE 即为所求；（2）∵DE 是BC 的垂直平分线，∴EC＝BC ＝6，BD ＝CD ＝9，∴cos ∠C ＝＝＝．21．（1）；（2）25127514224=⨯131-+⨯3131=--+=12EC DC 6923125AFE ∠=︒AF =【解析】（1）∵，，∴．∵平分，∴， ∵，∴，∴．（2）∵，∴，又，∴，∴，∵∴，∴，∴，∴为等边三角形，∴，∴，∵，∴，在中，22．根据题意可知：OC ⊥AC ，∠OBC=73.14°，∠OAC=30.97°，AB=4m ，∴AC=AB+BC=4+BC ，AB AC =40BAC ∠=︒18040702ABC ︒︒︒-∠==BD ABC ∠170352ABD DBC ︒︒∠=∠=⨯=AF AB ⊥90BAF ∠=︒9035125AFE BAF ABD ∠=∠+∠=︒+︒=︒//AE BC E DBC ∠=∠ADE CDB ∠=∠AD CD=ADE CDB ≌AE CB =,E DBC ABD DBC∠=∠∠=∠E ABD ∠=∠AB AE =AB CB AC ==ABC 60ABC ∠=︒30ABD ∠=︒2AD DC ==4AB =Rt ABF tan 304AF AB ︒=⋅==∴在Rt △OBC 中，BC=，在Rt △OAC 中，OC=AC •tan ∠OAC ≈(4+BC)×0.6，∴OC=0.6(4+)，解得OC ≈2.9（m ）．答：该设备的安装高度OC 约为2.9m ．23．（1）如图2-1，过点C 作于点G.，，，，，，所以动臂BC 与AB 的夹角为为.（2）如图2-2，过点C 作于点P ，过点B 作于点Q 交CG 于点N.在中，（米）.在中，（米）.（米）.tan OBC 3.3OC OC ∠≈⨯ 3.3OC CG AM ⊥AB AM ⊥ DE AM ⊥////AB DECG ∴180110DCG CDE ︒︒∴∠=-∠=30BCG BCD DCG ︒∴∠=∠-∠=180150ABC BCG ︒︒∴∠=-∠=ABC ∠150︒CP DF ⊥BQ DF ⊥Rt CPD cos 700.51DP CD ︒=⨯=Rt BCN sin 60 1.04CN BC ︒=⨯≈ 2.35DE DP PQ QE DP CN AB ∴=++=++≈如图4，过点D 作于点H ，过点C 作点K.在中，（米）.（米）（米）.所以斗杆顶点D 的最高点比初始位置高了约0.8米.24．（1）∵=c ， =c ， =c ，∴“==”成立，故答案为成立．（2）作CD ⊥AB 于D ．∵在Rt △ADC 和Rt △BDC 中，∠ADC=∠BDC=90°，∴sinA=，sinB=，∴=，=，∴=，同理，作AH ⊥BC 于H ，可证=，DH AM ⊥CK DH ⊥Rt KD C sin 50 1.16DK CD ︒=⨯≈3.16DH DK KH ∴=+≈0.8DH DE ∴-≈sin a A sin b B sin c C sin a A sin b B sin c Cb CD aCD sin a A ab CD sin b B ab CD sin a A sin b Bsin b B sin c C∴==．25．解：（1）由图3可知黑白花牛2000头，占20%，则C 地养牛的总头数是：2000÷20%=10000所以三河牛的头数为：10000-2000-4500=3500条形高度在3500左右（2）C 地每种牛所占比例为：三河牛3500÷10000=35%，草原红牛4500÷10000=45%C 地每头牛的年平均产奶量为：6×20%+4×35%+3×45%=3.95（吨）而B 地每头牛的年平均产奶量为3吨；所以C 地每头牛的年平均产奶量比B 地的高；（3）由题意：C 地每年产奶量为10000×3.95＝3.95万吨，B 地每年产奶量为9000×3＝2.7万吨，A 地每年产奶量为3万吨．由题意，∠CBA ＝60°，∠ACB ＝30°，∴∠BAC ＝90°，∵BC ＝100（千米），∴AB ＝100×sin60°≈86.6（千米），∴AC ＝100×sin30°＝50（千米），如果在B 地建厂，则每年需运费W 1＝86.6×3×1＋100×3.95×1＝654.8（万元）如果在C 地建厂，则每年需运费W 2＝50×3×1＋100×2.7×1＝420（万元）而654.8＞420．答：从节省运费的角度考虑，应在C 地建设工厂．sin a A sin b B sin c C26．（1）证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ∥CD ，∴∠F ＝∠BAF ，由折叠可知：∠BAF ＝∠MAF ，∴∠F ＝∠MAF ，∴AM ＝FM ．（2）解：由（1）可知△ACF 是等腰三角形，AC ＝CF ，在Rt △ABC 中，∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC＝10，∴CF ＝AC ＝10，∵AB ∥CF ，∴△ABE ∽△FCE ，∴；（3）①当点E 在线段BC 上时，如图3，AB '的延长线交CD 于点M ，由AB ∥CF 可得：△ABE ∽△FCE ，∴，即∴CF ＝4，由（1）可知AM ＝FM ．设DM ＝x ，则MC ＝6﹣x ，则AM ＝FM ＝10﹣x ，在Rt △ADM 中，AM 2＝AD 2+DM 2，即（10﹣x ）2＝82+x 2，解得：x ＝，=63105BE AB CE CF ===32AB BE CF CE ==632CF =95则AM ＝10﹣x ＝10﹣＝，∴sin ∠DAB '＝＝．②当点E 在BC 的延长线上时，如图4，由AB ∥CF 可得：△ABE ∽△FCE ，∴，即，∴CF ＝4，则DF ＝6﹣4＝2，设DM ＝x ，则AM ＝FM ＝2+x ，在Rt △ADM 中，AM 2＝AD 2+DM 2，即（2+x ）2＝82+x 2，解得：x ＝15，则AM ＝2+x ＝17，∴sin ∠DAB '＝．综上所述：当时，∠DAB '的正弦值为或。
北师大版九年级下册第1章《直角三角形的边角关系》单元测试卷 含答案
九年级下册第1章《直角三角形的边角关系》单元测试卷满分120分时间90分钟姓名：___________班级：___________考号：___________成绩：___________一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．计算：cos45°的结果等于（）A．B．1C．D．2．将△ABC的各边都扩大3倍，则∠A的三个三角函数值都（）A．扩大3倍B．缩小3倍C．不变D．无法确定3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，则cos B＝＝（）A．B．C．D．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，则tan A的值为（）A．B．C．D．5．在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．B．C．D．6．在直角坐标平面内有一点P（2，3），OP与x轴正半轴的夹角α的正弦值为（）A．B．C．D．7．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，则AB的长为（）A．3+B．2+2C．2D．68．菱形ABCD的对角线长为6和8，则较小内角的正弦值为（）A．B．C．D．9．若△ABC的三边分别为a，b，c，且满足|a﹣12|+（5﹣b）2+≤0，则△ABC为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．面积等于30的直角三角形10．如图，某大楼DE楼顶挂着“众志成城，抗击疫情”的大型宣传牌，为了测量宣传牌的高度CD，小江从楼底点E向前行走30米到达点A，在A处测得宣传牌下端D的仰角为60°．小江再沿斜坡AB行走26米到达点B，在点B测得宣传牌的上端C的仰角为43°，已知斜坡AB的坡度i＝1：2.4，点A、B、C、D、E在同一平面内，CD⊥AE，宣传牌CD的高度约为（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，≈1.73）（）A．8.3米B．8.5米C．8.7米D．8.9米二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）11．比较大小sin60°sin30°．12．已知一斜坡的坡度为1：1，则该斜坡坡角α＝度．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AB＝10，D是AC的中点，则BD＝．14．如图是一个地铁站入口双翼闸机的示意图，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝61cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，当双翼收起时，可以通过闸机的物体最大宽度为．15．如图，在直角坐标系中，已知，△OBC中，OC＝2，∠BOC＝150°．则C点的坐标为．16．在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，AC＝，则BC的长为．17．观察下列等式：①sin30°＝，cos60°＝；②sin45°＝，cos45°＝；③sin60°＝，cos30°＝．（1）根据上述规律，计算sin2α+sin2（90°﹣α）＝．（2）计算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°＝．三．解答题（共8小题，满分62分）18．（6分）设Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若b＝6，c＝10，求sin A、cos A和tan A．19．（6分）如图所示，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，AB＝2．求BC的长．20．（6分）一艘渔船发出遇险警报，在遇险地点南偏西35°方向，距离为24海里处有一艘轮船，轮船收到警报后立即去抢险，而遇险渔船正向北偏西55°方向以每小时10海里的速度向某岛靠近，经过1小时，轮船靠近渔船，求轮船抢险的航向和速度各是多少？参考数据：tan22°37′≈，tan21°2′≈，sin24°37′≈，sin22°37′≈．21．（8分）（1）计算：tan60°+9tan30°﹣8sin60°﹣2cos45°；（2）在△ABC中，∠C＝90°，，，求∠A的度数．22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ABC的周长为24，sin B＝，点D为BC的中点．（1）求BC的长；（2）求∠BAD的正弦值．23．（8分）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB，在观测点C处测得大桥主架顶端A的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离CM为60米，且AB垂直于桥面．（点A，B，C，M在同一平面内）（1）求大桥主架在桥面以上的高度AM；（结果保留根号）（2）求大桥主架在水面以上的高度AB．（结果精确到1米）（参考数据sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，≈1.73）24．（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BC长为p，BB1是∠ABC 的平分线交AC于点B1，过B1作B1B2⊥AB于点B2，过B2作B2B3∥BC交AC于点B3，过B3作B3B4⊥AB于点B4，过B4作B4B5∥BC交AC于点B5，过B5作B5B6⊥AB于点B6，…，无限重复以上操作．设b0＝BB1，b1＝B1B2，b2＝B2B3，b3＝B3B4，b4＝B4B5，…，b n＝B n B n+1，…．（1）求b0，b3的长；（2）求bn的表达式．（用含p与n的式子表示，其中n是正整数）25．（10分）阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．过A作AD⊥BC于D（如图），则sin B＝，sin C＝，即AD＝c sin B，AD＝b sin C，于是c sin B＝b sin C，即．同理有，．所以…（*）即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．（1）在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、∠A，运用上述结论（*）和有关定理就可以求出其余三个未知元素c、∠B、∠C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：第一步：由条件a、b、∠A∠B；第二步：由条件∠A、∠B∠C；第三步：由条件c．（2）如图，已知：∠A＝60°，∠C＝75°，a＝6，运用上述结论（*）试求b．参考答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：cos45°＝×＝1．故选：B．2．解：因为三角函数值与对应边的比值有关，所以各边的长度都扩大3倍后，锐有A的各三角函数值没有变化，故选：C．3．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，∴BC＝＝，∴cos B＝＝．故选：C．4．解：∵sin B＝＝，∴设AC＝12x，AB＝13x，由勾股定理得：BC＝＝＝5x，∴tan A＝＝＝，故选：D．5．解：连接AC，由题意得到∠BAC＝90°，在△ABC为直角三角形中，AC＝，AB＝2，则tan∠ABC＝＝，故选：A．6．解：如图，作PE⊥x轴于E．∵P（2，3），∴OE＝2，PE＝3，∴OP＝＝＝，∴sinα＝＝＝，故选：D．7．解：过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD，∵∠A＝30°，AC＝2，∴CD＝，∴BD＝CD＝，由勾股定理得：AD＝＝3，∴AB＝AD+BD＝3+．故选：A．8．解：菱形的对角线互相垂直平分，因而OA＝3，OB＝4．在Rt△AOB中利用勾股定理得到：AB＝5．∴BC＝5．过A作AE⊥BC于点E，菱形ABCD的面积是•AC•BD＝BC•AE，即×6×8＝5×AE，则AE＝，所以∠ABC的正弦是＝．故选：D．9．解：根据非负数的性质，可得a﹣12＝0，b﹣5＝0，sin C＝1，进而可得：a＝12，b＝5，C＝90°，故S△ABC＝30．故选：D．10．解：过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．Rt△ABF中，i＝tan∠BAF＝，AB＝26米，∴BF＝10（米），AF＝24（米），∴BG＝AF+AE＝54（米），Rt△BGC中，∠CBG＝43°，∴CG＝BG•tan43°≈54×0.93＝50.22（米），Rt△ADE中，∠DAE＝60°，AE＝30米，∴DE＝AE＝30（米），∴CD＝CG+GE﹣DE＝50.22+10﹣30≈8.3（米）．故选：A．二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）11．解：∵60°＞30°，∴sin60°＞sin30°．12．解：坡度为1：1，∴tanα＝1，∵α为锐角，∴α＝45°．故答案为：45．13．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，∴sin A＝＝，∵AB＝10，∴BC＝AB＝6，∴AC＝＝＝8，∵D是AC的中点，∴CD＝AC＝4，∴BD＝＝＝2；故答案为：2．14．解：过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，∵AC＝61，∠PCA＝30°，∴AE＝AC＝，由对称性可知：BF＝AE，∴通过闸机的物体最大宽度为2AE+AB＝61+10＝71，故答案为：71cm．15．解：∵∠BOC＝150°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝30°，∴AC＝OC sin30°＝1，OA＝OC cos30°＝，∵C点在第二象限∴C点坐标（﹣，1）故答案为（﹣，1）．16．解：如图1，过点A作AD⊥BC于点D，∵∠B＝30°，AB＝4，∴AD＝AB＝2，BD＝AB•cos30°＝4×＝2．在Rt△ACD中，∵AD＝2，AC＝，∴DC＝＝＝，∴BC＝BD+DC＝2+＝3；如图2，同理可得，AD＝AB＝2，BD＝AB•cos30°＝4×＝2，DC＝＝＝，∴BC＝BD﹣DC＝2﹣＝．综上所述，BC的长为3或；故答案为：3或．17．解：（1）由所提供的等式可得sinα＝cos（90°﹣α）．cosα＝sin（90°﹣α），sin2α+cos2α＝1，∴sin2α+sin2（90°﹣α）＝sin2α+cos2α＝1，故答案为：1；（2）sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°＝sin21°+sin22°+sin23°+…+cos23°+cos22°+cos21°＝（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+（sin23°+cos23°）+…+sin245°＝1+1+1+…+＝44.5，故答案为：44.5．三．解答题（共8小题，满分62分）18．解：如图所示：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，b＝6，c ＝10，∴a＝＝8，∴sin A＝＝＝；cos A＝＝＝；tan A＝＝＝．19．解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示．在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∠B＝45°，AB＝2，∴AD＝BD＝AB•sin∠B＝2×＝2．在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠C＝30°，AD＝2，∴AC＝2AD＝4，CD＝AD＝2，∴BC＝BD+CD＝2+2．20．解：由题意得，∠AOF＝35°，∠BOE＝55°，∴∠AOB＝90°，又OB＝10，OA＝24，∴AB＝＝26，∴轮船的速度是每小时26海里；sin∠BAO＝＝，∴∠BAO＝22°37′，∵∠GAO＝∠AOF＝35°，∴∠GAB＝12°23′，∴轮船抢险的航向是北偏东12°23′，答：轮船抢险的航向是北偏东12°23′，速度是每小时26海里．21．解：（1）原式＝+9×﹣8×﹣2×＝﹣；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，，∴tan A＝＝，∴∠A＝60°．22．解：（1）∵sin B＝，∴＝，设AB＝5k，AC＝3k，则BC＝4k，∵△ABC的周长为24，∴3k+4k+5k＝24，∴12k＝24，∴k＝2，∴AB＝10，AC＝6，BC＝8；（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，∵AD为中线，∴S△ABD＝S△ABC＝24，∴×10DE＝12，∴DE＝，在Rt△ACD中，AD2＝CD2+AC2，∴AD＝2，∴sin∠BAD＝＝＝．23．解：（1）∵AB垂直于桥面，∴∠AMC＝∠BMC＝90°，在Rt△AMC中，CM＝60，∠ACM＝30°，tan∠ACM＝，∴AM＝CM•tan∠ACM＝60×＝20（米），答：大桥主架在桥面以上的高度AM为20米；（2）在Rt△BMC中，CM＝60，∠BCM＝14°，tan∠BCM＝，∴MB＝CM•tan∠BCM≈60×0.25＝15（米），∴AB＝AM+MB＝15+20≈50（米）答：大桥主架在水面以上的高度AB约为50米．24．解：（1）b0＝2p，在Rt△BB1B2中，b1＝P，同理：b2＝p，b3＝．（2）同（1）得：b4＝（）3p，∴b n＝（）n﹣1p（n是正整数）．25．解：（1）在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、∠B，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素c、∠A、∠C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：第一步：由条件a、b、∠B⇒⇒∠A；第二步：由条件∠A、∠B⇒∠A+∠B+∠C＝180°⇒∠C；第三步：由条件b，∠B，∠C⇒⇒c．（2）如图，已知：∠A＝60°，∠C＝75°，a＝6，运用上述结论试求b，∵∠A＝60°，∠C＝75°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∵a＝6，根据上述结论有：，即，∴b＝2．。
北师大版九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 测试题 (含答案)
直角三角形的边角关系 测试题一、选择题1.如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，cos A ＝1213，则tan A 的值为( )A.125B.1312C.1213D.512第1题图 第2题图 第3题图 第4题图2.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D .若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为( )A.53 B.255 C.52 D.233.如图，在△ABC 中，点E 在AC 上，点G 在BC 上，连接EG ，AE ＝EG ＝5，过点E 作ED ⊥AB ，垂足为D ，过点G 作GF ⊥AC ，垂足为F ，此时恰有DE ＝GF ＝4.若BG ＝25，则sin B 的值为( )A.2510B.510C.255D.55 4.如图，直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO ′B ，则点O ′的坐标是( )A ．(3，3)B ．(3，3)C ．(2，23)D ．(23，4) 5．tan45°的值为( ) A.12 B ．1 C.22D.2 6．如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin B 的值为( ) A.12 B.22 C.32D ．1第6题图 第7题图7．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A ＝35°，则直角边BC 的长是( ) A ．m sin35° B ．m cos35° C.m sin35° D.mcos35°8．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪sin A －12＋⎝⎛⎭⎫33－tan B 2＝0，则∠C 的度数为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 二、填空题9.运用科学计算器计算：317sin73°52′≈________(结果精确到0.1)． 10.计算：cos30°－sin60°＝________.11.如图，铁路的路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为1∶1.5，上底宽为6m ，路基高为4m ，则路基的下底宽为________m.12.如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，tan A ＝43，AB ＝15，AC ＝________．第11题图 第12题图 第13题图 第14 题图13.如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CM 为AB 边上的中线，AN ⊥CM ，交BC 于点N .若CM ＝3，AN ＝4，则tan ∠CAN 的值为________．14.如图，一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55°方向上的B 处，此时渔船与灯塔P 的距离约为________海里(结果取整数，参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4)．三、解答题15.如图，CD 是一高为4米的平台，AB 是与CD 底部相平的一棵树，在平台顶C 点测得树顶A 点的仰角α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E ，在点E 处测得树顶A 点的仰角β＝60°，求树高AB (结果保留根号)．16.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC 的坡度为1∶ 3.(1)求新坡面的坡角α；(2)原天桥底部正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．17.在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asin A＝bsin B＝csin C，利用上述结论可以求解如下题目，如：在△ABC中，若∠A＝45°，∠B＝30°，a＝6，求b的值．解：在△ABC中，∵asin A＝bsin B，∴b＝a sin Bsin A＝6sin30°sin45°＝6×1222＝3 2.解决问题：如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟后到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．(1)判断△A1A2B2的形状，并给出证明；(2)乙船每小时航行多少海里？参考答案与解析1.D2.A3．C 解析：在Rt △ADE 与Rt △EFG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝EG ，DE ＝GF ， ∴Rt △ADE ≌Rt △EFG (HL)，∴∠A ＝∠GEF .∵∠A ＋∠AED ＝90°，∴∠GEF ＋∠AED＝90°，∴∠DEG ＝90°.过点G 作GH ⊥AB 于点H ，则四边形DEGH 为矩形，∴GH ＝DE ＝4.在Rt △BGH 中，sin B ＝GH BG ＝425＝255.故选C.4．A 解析：过点O ′作O ′C ⊥x 轴于点C .∵直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，∴点A ，B 的坐标分别为(23，0)，(0，2)，∴tan ∠BAO ＝OB OA ＝223＝33，∴∠BAO＝30°.∵把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO ′B ，∴O ′A ＝OA ＝23，∠O ′AO ＝60°，∴CA ＝12O ′A ＝3，O ′C ＝O ′A ·sin ∠O ′AC ＝23×32＝3，∴OC ＝OA －CA ＝23－3＝3，∴点O ′的坐标为(3，3)．故选A. 5．B 6.B 7.A 8.D 9.11.9 10．0 11.18 12.913.23 解析：∵∠ACB ＝90°，CM 为AB 边上的中线，∴AB ＝2CM ＝6，CM ＝BM ，∴∠B ＝∠MCB .∵AN ⊥CM ，∴∠CAN ＋∠ACM ＝90°.又∵∠ACM ＋∠MCB ＝90°，∴∠CAN ＝∠MCB ，∴∠B ＝∠CAN .又∵∠ACN ＝∠BCA ，∴△CAN ∽△CBA ，∴CN CA ＝AN BA ＝46＝23，∴tan ∠CAN ＝CN AC ＝23.14．11 解析：过点P 作PC ⊥AB 于点C .依题意可得∠A ＝30°，∠B ＝55°.在Rt △P AC 中，∵P A ＝18海里，∠A ＝30°，∴PC ＝12P A ＝12×18＝9(海里)．在Rt △PBC 中，∵PC ＝9海里，∠B ＝55°，∴PB ＝PC sin B ≈90.8≈11(海里)．15．解：过点C 作CF ⊥AB 于点F ，则BF ＝CD ＝4米，CF ＝BD .设AF ＝x 米．在Rt △ACF 中，tan ∠ACF ＝AF CF ，∠ACF ＝α＝30°，则CF ＝AF tan30°＝3x 米．在Rt △ABE 中，AB ＝AF ＋BF ＝(x ＋4)米，tan ∠AEB ＝AB BE ，∠AEB ＝β＝60°，则BE ＝AB tan60°＝33(x ＋4)米．∵CF ＝BD ＝DE ＋BE ，∴3x ＝3＋33(x ＋4)，解得x ＝33＋42.则AB ＝33＋42＋4＝33＋122(米)． 答：树高AB 是33＋122米．16．解：(1)∵新坡面的坡度为1∶3，∴tan α＝13＝33，∴α＝30°； (2)文化墙PM 不需要拆除．理由如下：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则CD ＝6米．∵坡面BC 的坡度为1∶1，新坡面AC 的坡度为1∶3，∴BD ＝CD ＝6米，AD ＝3CD ＝63米，∴AB ＝AD －BD ＝(63－6)米＜8米，∴文化墙PM 不需要拆除．17．解：(1)△A 1A 2B 2是等边三角形．证明如下：由题意可得A 2B 2＝102海里，A 1A 2＝302×2060＝102(海里)，∴A 1A 2＝A 2B 2.又∵∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，∴△A 1A 2B 2是等边三角形；(2)由(1)可知△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝102海里，∠A 2A 1B 2＝60°，∴∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°.由题意可知∠CB 1A 1＝180°－105°＝75°，∴∠B 2B 1A 1＝75°－15°＝60°.在△A 1B 2B 1中，由正弦定理得B 1B 2sin45°＝A 1B 2sin60°，∴B 1B 2＝A 1B 2sin60° ·sin45°＝10232×22＝2033(海里)．乙船的速度为2033÷2060＝203(海里/时)． 答：乙船每小时航行203海里.。
北师大版九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 单元检测试卷(有答案)
北师大九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 单元检测试卷一、单选题（共10题；共30分）1.23 sin60°的值等于（ ）A. 13B. √36C. √33D. 43√32.已知tan (α−20°)=√33，则锐角α的度数是（ ）A. 60°B. 45°C. 50°D. 75°3.在Rt △ABC 中，∠C=90°， sinA =35 ,则 cosB 的值为（ ） A. 34 B. 43 B. 43 C. 35 D. 454.（2017·金华）在直角三角形Rt Δ ABC 中， ∠ C=90°，AB=5，BC=3，则tanA 的值是（ ）A. 34B. 43C. 35D. 455.已知sin α＜0.5，那么锐角α的取值范围是（ ）A. 60°＜α＜90°B. 30°＜α＜90°C. 0°＜α＜60°D. 0°＜α＜30°6.如图， ΔABC 中， D 为 AB 上一点， BD =3,AD =DC =8,sin ∠BCA =√32, 则 AC 的长是（）A. 323B. 8√33 C. 152√3 D. 8877.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是（ ）A. sinB =ADAB B. sinB =ACBC C. sinB =AD AC D. sinB =CDAC8.已知△ABC中，∠C=90°，tanA=12，D是AC上一点，∠CBD=∠A，则sin∠ABD=（）A. 35B. √105C. 310D. 3√10109.（2017•深圳）如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60∘，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30∘，已知斜坡CD的长度为20m，DE 的长为10m，则树AB的高度是（）mA. 20√3B. 30C. 30√3D. 4010.（2017•杭州）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC 于点D．设BD=x，tan∠ACB=y，则（）A. x﹣y2=3B. 2x﹣y2=9C. 3x﹣y2=15D. 4x﹣y2=21二、填空题（共10题；共30分）11.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= 3√2，AB= 2√6，则∠B=________．12.如图Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则cosA=________．13.如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα= 3，则t的值是________．214.如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上），为了测量B、C两地之间的距离，某工程队乘坐热气球从C地出发垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则BC两地间的距离为________ m．15.如图，为了测得铁塔的高度，小莹利用自制的测角仪，在C点测得塔顶E的仰角为45°，在D点测得塔顶E的仰角为60°，已知测角仪AC的高为1.6米，CD的长为6米，CD所在的水平线CG⊥EF于点G，铁塔EF的高为________米．（结果用带根号的式子表示）16.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，DA∥BC，tan∠DBA= 1，若CD=2 √17，则线段BC的长为2________．17.如图，点M是Rt△ABC的斜边AB的中点，连接CM，作线段CM的垂直平分线，分别交边CB和CA的，则DE=________．延长线于点D、E，若∠C=90°，AB=20，tanB= 2518.如图，小岛A在港口P的南偏东45°方向、距离港口81海里处．甲船从A出发，沿AP方向以9海里/h 的速度驶向港口；乙船从港口P出发，沿南偏西60°方向，以18海里/h的速度驶离港口．现两船同时出发，当甲船在乙船的正东方向时，行驶的时间为________ h．（结果保留根号）19.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2．则cos∠MCN=________．20.如图所示，已知：点A（0，0），B（√3，0），C（0，1）在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于________．三、解答题（共7题；共60分）21.计算：√12−|−2|+(1−√3)0−9tan30°22.如图，为了求某条河的宽度，在它的对岸岸边任意取一点A，再在河的这边沿河边取两点B、C，使得∠ABC=45°，∠ACB=30°，量得BC的长为40m，求河的宽度（结果保留根号）．23.如图，从热气球C处测得地面A,B两点的俯角分别为30°，45°，此时热气球C处所在位置到地面上点A的距离为400米.求地面上A，B两点间的距离.24.如图，某游乐园有一个滑梯高度AB，高度AC为3米，倾斜角度为58°．为了改善滑梯AB的安全性能，把倾斜角由58°减至30°，调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加多少米？（精确到0.1米）（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）25.如图，小明在操场上放风筝，已知风筝线AB长100 米，风筝线与水平线的夹角α=37°，小王拿风筝线的手离地面的高AD为1.5米，求风筝离地面的高度BE（精确到0.1米）．26.如图，在一次数学课外实践活动中，要求测量山坡前某建筑物的高度AB．小刚在D处用高1.5m的测角仪CD，测得该建筑物顶端A的仰角为45°，然后沿倾斜角为30°的山坡向上前进20m到达E，重新安装好测角仪后又测得该建筑物顶端A的仰角为60°．求该建筑物的高度AB．（结果保留根号）27.（2017·衢州）在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC，连结OB，D为OB 的中点。
2020—2021年北师大版初中数学九年级下册《直角三角形的边角关系》单元测试题及答案2.docx
北师大版九年级数学下册第一章单元检测学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（每小题4分，共10小题，满分40分） 1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，若sinA=35，则cosB 的值是（ ）A ．45B ．35C ．34D ．432．在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，cosC 的值是（ ）A．12 B ． C ．D3．在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A 的三角函数值（ ） A ．也扩大3倍 B ．缩小为原来的13C ．都不变D ．有的扩大，有的缩小 4．已知A 为锐角，且cosA ≤12，那么（ ）A ．0°≤A ≤60°B ．60°≤A ＜90°C ．0°＜A ≤30°D ．30°≤A ＜90°5．一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或结论错误的是( )A. 斜坡AB 的坡角是10°B. 斜坡AB 的坡度是tan10°C. AC=1.2tan10°米D. AB= 10sin 2.1米6．在Rt △ABC中，∠C=90°，cosB=35，AB=10cm ，则BC 的长度为( )A. 6cmB. 7cmC. 8cmD. 9cm7．轮船从B 处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C 处，在C 处观测灯塔A 位于北偏东60°方向上，则C 处与灯塔A 的距离是（ ）海里．A ．B ．25C ．50D ．258．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是堤坝高BC=50m ，则迎水坡面AB 的长度是（ ）.A ．100mB ．C ．150mD ．509．如图，小山岗的斜坡AC 的坡角α=45°，在与山脚C 距离200米的D处，测得山顶A 的仰角为26.6°，小山岗的高AB 约为（ ）.（结果取整数，参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）A ．164m B ．178m C．200m D ．1618m10．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为边AC 的中点，DE ⊥BC 于点E ，连接BD ，则tan ∠DBC 的值为（ ）A ．13B 1C ．2D ．14二、填空题（每小题5分，共4 小题，满分20分） 11．在△ABC 中，若|sinA ﹣12|+（2﹣cosB ）2=0，则∠C=度．12．如图所示，四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=2，CD=8，AC ⊥CD ，若sin ∠ACB=13，则cos ∠ADC=．13．已知在Rt △ABC中，∠C=90°，AC=4，cotA=12，则BC 的长是．14．如图，在建筑平台CD 的顶部C 处，测得大树AB 的顶部A 的仰角为45°，测得大树AB 的底部B 的俯角为30°，已知平台CD 的高度为5m ，则大树的高度为_______m （结果保留根号）。
北师大版数学九年级下册第一章 直角三角形的边角关系 单元测试卷
第一章 直角三角形的边角关系 单元测试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. sin45°的值等于（ ） A.3 B.12C. 32D. 222. 在△ABC 中，∠C=90°，AC=12，AB=13，那么cosA 的值等于（ ）A ．513B ．1213C ．512D ．1253. 已知一斜坡的坡度i=1:3，用科学计算器求坡角的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是（ ）A. =3÷1tanB. °′′′=3÷1tanC. SHIFT ）（=3÷1tanD. SHIFT）（°′′′=3÷1tan4. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=α，若BC=m ，则AB 的长为（ ） A.cos mB ．m·cos αC ．m·sin αD ．m·tan α5．如果△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝12，那么下列等式不正确的是（ ） A ．cos A ＝22B ．tan A ＝33 C ．sin B ＝32D ．tan B ＝36. 如图，点A 为∠B 边上的任意一点，过点A 作AC ⊥BC 于点C ，过点C 作CD ⊥AB 于点D.下列选项用线段比表示sin ∠BCD 的值，其中错误的是（ ） A ．BDBCB ．BCABC ．ADACD ．CDAC第6题图 第7题图 第8题图7．河堤横断面如图所示，AB ＝10米，tan ∠BAC ＝33，则AC 的长是（ ） A ．53米B ．10米C ．15米D ．103米8. 如图，在每个小正方形边长均为1的方格图中，点A，C，M，N均在格点上，AN与CM 相交于点P，则tan∠CPN的值为（）A. 3B. 1C.33D.229. 如图，钓鱼竿AC长为6 m，露在水面上的鱼线BC长为32m，钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'的长度是（）A．3 m B．33m C．23m D．4 m第9题图第10题图10. 如图，某班数学兴趣小组利用数学知识测量建筑物CD的高度.他们从点A出发沿着坡度i=1:2.4的斜坡AB步行26米到达点B处，此时测得建筑物顶端C的仰角α=35°，建筑物底端D的俯角β=30°.若AD为水平地面，则此建筑物的高度约为（参考数据：3≈1.7，sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.75）（）A．20.2米B．22.75米C．23.6米D．30米二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11. 若2cosα=1，则锐角α的度数为.12. 已知α为锐角，tanα=34，则sinα等于.13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D点，若AC＝23，tan∠BCD＝22，则BC＝．第13题图第14题图14. 如图，在△ABC中，BC=12，tanA=34，∠B=30°，则AB的长为.15. 在一次综合实践活动中，小东同学从A地出发，要到A地北偏东60°方向的C地.如图，他先沿正东方向行走了2千米到达B地，再沿北偏东15°方向行走，恰能到达目的地C，则A，C两地相距千米.（结果保留根号）第15题图第16题图16. 如图，要在宽为22米的公路两边安装路灯，路灯的灯臂CD长为2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直.当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC的高度应设计为米.（结果保留根号）三、解答题（本大题共8小题，共66分）17.（8分）已知α为锐角，sin（α+15°）＝32，计算8﹣4cosα+tanα+（13）﹣1的值．18.（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，请根据下面的条件解直角三角形的其他元素：（1）∠A＝45°，a＝10；（2）a＝23，c＝4．19.（8分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是边BC上一点，过点D作DE⊥AB于点E，连接AD.若tan∠DAE=15，求△ADE的三边长.EDCBA第19题图20.（8分）如图，上午9：00时，甲、乙两船分别在A，B两处，乙船在甲船的正东方向，且两船之间的距离为33海里.甲船以30海里/时的速度沿北偏东45°方向匀速航行，乙船同时沿北偏东30°方向匀速航行.上午11：00时，甲船航行到C处，乙船航行到D处，此时乙船仍在甲船的正东方向，求此时两船之间的距离.（结果精确到1海里；参考数据：2 1.41≈，3 1.73≈，6 2.45)≈第20题图21.（8分）如图，某居民小区广场上树立着一个“扫黑除恶，共创和谐”的矩形电子灯牌，现施工人员要在两侧增加钢丝绳来加固灯牌.已知钢丝绳底端G距灯牌立柱FD的距离GD=4米，从G点测得灯牌顶端F和底端E的仰角分别是60°和45°.（1）若AF的长为5米，求灯牌的面积；（结果保留根号）（2）若灯牌两侧增加的钢丝绳一样长，求钢丝绳的总用料.（结果保留根号）第21题图22.（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别交CD，BC于点H，E，且AH=2CH.（1）求sinB的值；（2）如果CD=5，求BE的值.第22题图23.（10分）如图，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2.90 m的顶灯.已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为1 m，矩形面与地面所成的角α为78°，李师傅的身高为1.75 m.当他攀升到头顶距天花板0.05∼0.20 m时，安装起来比较方便.他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计算判断他安装是否方便？（参考数据：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.70）第23题图24. （12分）对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°-α），cosα=-cos（180°-α），tanα=-tan（180°-α）.（1）求sin150°，cos135°，tan120°的值；（2）若△ABC三个内角的比为1:1:4，sinA，cosB是一元二次方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小.第一章 直角三角形的边角关系 单元测试卷 参考答案答案详解三、17.4.18. （1）∠B ＝45°，b ＝10，c ＝10.（2）∠A ＝60°，∠B ＝30°，b=2.19. 解：因为△ABC 是等腰直角三角形，所以∠B=45°.所以AB=sin ACB=62因为DE ⊥AB ，所以△DEB 是等腰直角三角形.所以DE=BE. 因为tan ∠DAE=15DE AE =，所以AE=5DE. 因为AB=AE+BE=6DE=622，AE=2在Rt △ADE 中，由勾股定理，得22AE DE +213. 20. 解：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，过点D 作DF ⊥AB 于点F. 根据题意，得AC=30×2=60. 在Rt △CAE 中，因为∠CAE=45°，所以AE=CE=AC·cos ∠CAE=302在Rt △DBF 中，因为DF=CE=302∠DBF=60°，所以BF=106tan DBFDF=∠因为BE=AE-AB=30233≈9.3，所以EF=BF-BE=69.3≈15.2. 所以CD=EF=15.2≈15（海里）.答：此时两船之间的距离约为15海里.21. 解：（1）在Rt △FDG 中，因为∠FGD=60°，GD=4，所以FD=GD·tan ∠FGD=3在Rt △EDG 中，因为∠EGD=45°，GD=4，所以ED=GD·tan ∠EGD=4. 所以EF=FD-ED=43所以S 矩形ABEF =AF·EF=5×（3）=（203）平方米. 答：灯牌的面积为（203-20）平方米. （2）在Rt △FDG 中，FG=8cos GDFGD=∠.答案速览一、1. D 2. B 3. D 4. A 5. A 6. C 7. A 8. B 9. B 10. B 二、11. 60° 12.3513. 6 14. 863+ 15.（1+3） 16. (1134)- 三、解答题见“答案详解”在Rt △EDG 中， EG=cos GDEGD=∠所以2（FG+EG ）=2×（8+=（16+.答：钢丝绳的总用料为（16+.22. 解：（1）因为CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，所以CD=12AB=BD.所以∠BCD=∠B. 因为AE ⊥CD ，∠ACB=90°，所以∠CAH+∠ACH=90°，∠BCD+∠ACH=90°.所以∠BCD=∠CAH.所以∠B=∠CAH.在Rt △ACH 中，AH=2CH ，由勾股定理，得CH.所以sin ∠CAH=CH AC =.所以（2）因为CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，所以AB=2CD=因为sinB=AC AB =AC=2.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得因为sin ∠CAH=CE AE =，所以CE.在Rt △ACE 中，由勾股定理，得CE 2+AC 2=AE 2，即CE 2+22=CE ）2.解得CE=1. 所以BE=BC-CE=3.23. 解：如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点D 作DF ⊥BC 于点F. 因为AB=AC ，所以BE=EC=12BC=12. 在Rt △AEC 中，因为α=78°，所以AE=EC·tanα=12×tan78°≈2.35. 因为李师傅站立在梯子的第三级踏板上，所以37DC AC =.因为sinα=AE DF AC DC =，所以DF=37AE DC AE AC ⋅=≈1.007.所以李师傅头顶距离地面的高度约为1.007+1.75=2.757（m ），头顶距离天花板的高度约为2.90-2.757=0.143（m ）.因为0.05＜0.143＜0.20，所以他方便安装.第23题图24. 解：（1）根据题意，得sin150°=sin（180°-150°）=sin30°=12；cos135°=-cos（180°-135°）=-cos45°=-22；tan120°=-tan（180°-120°）=-tan60°3.（2）因为△ABC三个内角的比是1:1:4，所以三个内角分别为30°，30°，120°.①当∠A=30°，∠B=120°时，sinA=12，cosB=-12，即一元二次方程的两个根为12，-12.将x=12代入方程，得4×212⎛⎫⎪⎝⎭-12m-1=0.解得m=0.经检验，x=-12是方程4x2-1=0的根.所以m=0符合题意.②当∠A=120°，∠B=30°时，33因为sinA，cosB是一元二次方程的两个不相等的实数根，所以这种情况不符合题意.③当∠A=30°，∠B=30°时，sinA=12，cosB=32，即一元二次方程的两个根为12，32.将x=12代入方程，得4×212⎛⎫⎪⎝⎭-12m-1=0.解得m=0.经检验，3是方程4x2-1=0的根.所以这种情况不符合题意.综上，m=0，∠A=30°，∠B=120°.。
2024九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元测试新版北师大版(含答案)
九年级数学下册新版北师大版：直角三角形的边角关系(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分) 1．2cos45°的值等于( B ) A ．22 B ． 2 C ．24D ．2 2 2．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，BC ＝6，AC ＝8，则sin A 的值为( C ) A ．45 B ．34 C ．35 D ．433．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，各边都扩大2倍，则∠A 的锐角三角函数值( C ) A ．扩大2倍 B ．缩小12C ．不变D ．无法确定4．(2023·威海)如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为28°，高为7米．用计算器求AB 的长，下列按键顺序正确的是( B )A ．7× sin 2 8 ＝B ．7 ÷ sin 2 8 ＝C ．7 × tan 2 8 ＝D ．7 ÷ tan 2 8＝ 第4题图 第6题图 第7题图5．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A －12＋(33－tan B )2＝0，则∠C 的度数为( A )A ．120°B ．90°C ．60°D ．30°6．(2023·南充)如图，小兵同学从A 处出发向正东方向走x 米到达B 处，再向正北方向走到C 处，已知∠BAC ＝α，则A ，C 两处相距( B )A ．x sin α米B ．xcos α米 C ．x ·sin α米 D ．x ·cos α米 7．在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则cos B 的值为( B ) A ．12 B ．22 C ．32 D ．338．如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A 处，底端落在水平地面的点B 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知sin α＝cos β＝35，则梯子顶端上升了( C )A ．1米B ．1.5米C ．2米D ．2.5米第8题图 第9题图 第10题图9．如图，小岛在港口P 的北偏西60°方向，距港口56海里的A 处，货船从港口P 出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P ，4小时后货船在小岛的正东方向，则货船的航行速度是( A )A ．72海里/时B ．73海里/时C ．76海里/时D ．282海里/时10．如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，cos B ＝14，点D 是边BC 的中点，以AD 为底边在其右侧作等腰三角形ADE ，使∠ADE ＝∠B ，连接CE ，则CE AD的值为( D )A ．32B ． 3C ．152D ．2 二、填空题(每小题3分，共15分)11．如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，AB ＝2，则sin B 的值是__12__．第11题图 第13题图 第14题图 第15题图12．已知，在△ABC 中，∠C ＝90°，3BC ＝3AC ，则tan A ＝3，∠B ＝__60°__． 13．如图，在△ABC 中，cos B ＝22，sin C ＝35，AC ＝10，则△ABC 的面积为__42__． 14．(2023·济宁)某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点A ，在点A 和建筑物之间选择一点B ，测得AB ＝30 m ，用高1 m(AC ＝1 m)的测角仪在A 处测得建筑物顶部E 的仰角为30°，在B 处测得仰角为60°，则该建筑物的高是1)_m__．(结果保留根号)15．(2023·广元)如图，在平面直角坐标系中，已知点A (1，0)，点B (0，－3)，点C 在x 轴上，且点C 在点A 右方，连接AB ，BC ，若tan ∠ABC ＝13，则点C 的坐标为__(94，0)__.三、解答题(共75分)16．(8分)计算：2cos 230°－2sin60°·cos45°. 解：原式＝2×(32)2－2×32×22＝32－62＝3－6217．(9分)已知，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝332，AB ＝3，利用三角函数知识，求∠A ，∠B 的度数．解：在△ABC 中，∵∠C ＝90°，AC ＝332，AB ＝3，∴sin B ＝AC AB ＝32.∴∠B ＝60°.∴∠A ＝90°－∠B ＝30°.∴∠A ，∠B 的度数分别为30°，60°18．(9分)如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D .若AB ＝12，CD ＝6，tan A ＝32，求sinA ＋cosB 的值．解：在Rt △ACD 中，CD ＝6，tan A ＝CD AD ＝32，∴AD ＝4.∴BD ＝AB －AD ＝8.在Rt △BCD 中，BC ＝82＋62＝10.∴cos B ＝BD BC ＝45.在Rt△ADC 中，AC ＝42＋62＝213.∴sin A ＝DC AC ＝6213＝31313.∴sin A ＋cos B ＝31313＋4519．(9分)(2023·通辽)如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东72°方向，距离灯塔100海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东40°方向上的B 处．这时，B 处距离灯塔P 有多远？(结果取整数．参考数据：sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan 72°≈3.08，sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)解：由题意得PC ⊥AB ，EF ∥AB ，∴∠A ＝∠EPA ＝72°，∠B ＝∠BPF ＝40°，在Rt △APC 中，AP ＝100海里，∴PC ＝AP ·sin 72°≈100×0.95＝95(海里)，在Rt △BCP 中，BP ＝PCsin40°≈950.64≈148(海里)，∴B 处距离灯塔P 约有148海里20．(9分)(2023·湖北)为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，斜面坡度i ＝3∶4是指坡面的铅直高度AF 与水平宽度BF 的比．已知斜坡CD 长度为20米，∠C ＝18°，求斜坡AB 的长．(结果精确到0.1米．参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)解：过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，由题意得AF ⊥BC ，DE ＝AF ，∵斜面AB 的坡度i ＝3∶4，∴AF BF ＝34，∴设AF ＝3x 米，则BF ＝4x 米，在Rt △ABF 中，AB ＝AF 2＋BF 2＝（3x ）2＋（4x ）2＝5x (米)，在Rt △DEC 中，∠C ＝18°，CD ＝20米，∴DE ＝CD ·sin18°≈20×0.31＝6.2(米)，∴AF ＝DE ＝6.2米，∴3x ＝6.2，解得x ＝3115，∴AB ＝5x ≈10.3(米)，∴斜坡AB 的长约为10.3米21．(10分)(永州中考)已知锐角△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，边角总满足关系式：a sin A ＝b sin B ＝csin C.(1)如图1，若a ＝6，∠B ＝45°，∠C ＝75°，求b 的值；(2)某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC 中建一座小型景观桥CD (如图2所示)，若CD ⊥AB ，AC ＝14米，AB ＝10米，sin ∠ACB ＝5314，求景观桥CD 的长度．解：(1)∵∠B ＝45°，∠C ＝75°，∴∠A ＝60°，∵a sin A ＝bsin B ＝c sin C ，∴6sin60°＝bsin45°，∴b ＝2 6(2)∵ABsin ∠ACB ＝AC sin B ，∴105314＝14sin B，∴sin B ＝32，∴∠B ＝60°，∴tan B ＝CDBD ＝3，∴BD ＝33CD ，∵AC 2＝CD 2＋AD 2，∴196＝CD 2＋(10－33CD )2，∴CD ＝83或CD ＝－33(舍去)，∴CD 的长度为83米22．(10分)(2023·衡阳)随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度，圆圆要测量教学楼AB 的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部243米的C 处，遥控无人机旋停在点C 的正上方的点D 处，测得教学楼AB 的顶部B 处的俯角为30°，CD 长为49.6米．已知目高CE 为1.6米．(1)求教学楼AB 的高度； (2)若无人机保持现有高度沿平行于CA 的方向，以43米/秒的速度继续向前匀速飞行．求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB .解：(1)过点B 作BM ⊥CD 于点M ，则∠DBM ＝∠BDN ＝30°，在Rt △BDM 中，BM ＝AC ＝243米，∠DBM ＝30°，∴DM ＝BM ·tan ∠DBM ＝243×33＝24(米)，∴AB ＝CM ＝CD －DM ＝49.6－24＝25.6(米).答：教学楼AB 的高度为25.6米 (2)连接EB 并延长交DN 于点G ，则∠DGE ＝∠MBE ，在Rt △EMB 中，BM ＝AC ＝243米，EM ＝CM －CE ＝24米，∴tan ∠MBE ＝EM BM ＝24243＝33，∴∠MBE ＝30°＝∠DGE ，∵∠EDG ＝90°，∴∠DEG ＝90°－30°＝60°，在Rt △EDG 中，ED ＝CD －CE ＝49.6－1.6＝48(米)，∴DG ＝ED ·tan60°＝483(米)，∴483÷43＝12(秒)，∴经过12秒时，无人机刚好离开了圆圆的视线23．(11分)如图，斜坡AB 的坡角∠BAC ＝13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A ，过其另一端D 安装支架DE ，DE 所在的直线垂直于水平线AC ，垂足为点F ，E 为DF 与AB 的交点．已知AD ＝100 cm ，前排光伏板的坡角∠DAC ＝28°.(1)求AE 的长(结果取整数)；(2)冬至日正午，经过点D 的太阳光线与AC 所成的角∠DGA ＝32°，后排光伏板的前端H 在AB 上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH 的最小值为多少？(结果取整数，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)解：(1)在Rt △ADF 中，cos ∠DAF ＝AFAD，∴AF ＝AD ·cos ∠DAF ＝100cos28°≈100×0.88＝88(cm)，在Rt △AEF 中，cos ∠EAF ＝AF AE ，∴AE ＝AF cos ∠EAF ＝88cos13°≈880.97≈91(cm) (2)设DG 交AB 于M ，过点A 作AN ⊥DG 于N ，∴∠AMN ＝∠MAG ＋∠DGA ＝13°＋32°＝45°，在Rt △ADF 中，DF ＝AD ·sin ∠DAC ＝100sin28°≈100×0.47＝47(cm)，在Rt △DFG 中，tan ∠DGA ＝DF FG ，∴FG ＝47tan32°≈470.62≈75.8(cm)，∴AG ＝AF ＋FG ≈88＋75.8＝163.8(cm)，在Rt△AGN 中，AN ＝AG ·sin ∠DGA ＝163.8×sin32°≈163.8×0.53≈86.8(cm)，∵∠AMN ＝45°，∴△AMN 为等腰直角三角形，∴AM ＝2AN ≈1.41×86.8≈122.4(cm)，∴EM ＝AM －AE ≈122.4－91≈31.4(cm)，∴EM ≈32 cm.当M 、H 重合时，EH 的值最小，∴EH 的最小值约为32 cm。
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2020-2021学年北师大新版九年级下册数学《第1章直角三角形的边角关系》单元测试卷一．选择题1．sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是（）A．cos28°＜cos58°＜sin58°B．sin58°＜cos28°＜cos58°C．cos58°＜sin58°＜cos28°D．sin58°＜cos58°＜cos28°2．cos30°的值是（）A．B．C．D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则cos B的值为（）A．B．C．D．4．在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，那么sin A的值是（）A．B．C．D．5．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等于（）A．B．C．D．6．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC＝3m，则AB的长度为（）A．6m B．3m C．9m D．6m7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝2，则sin A的值为（）A．B．C．D．8．如图，竖直放置的杆AB，在某一时刻形成的影子恰好落在斜坡CD的D处，而此时1米的杆影长恰好为1米，现量得BC为10米，CD为8米，斜坡CD与地面成30°角，则杆的高度AB为（）米．A．6+4B．10+4C．8D．69．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α，AC＝2，则树高BC为（）（用含α的代数式表示）A．2sinαB．2tanαC．2cosαD．10．如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT 的长）可以表示为（）A．200tan70°米B．米C．200sin 70°米D．米二．填空题11．某斜坡坡角α的正弦值sinα＝，则该斜坡的坡比为．12．在△ABC中，若（cos A﹣）2+|1﹣tan B|＝0，则∠C的大小是．13．如图，△ABC中，cos B＝，sin C＝，AB＝5，则△ABC的面积是．14．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A．正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是．B．运用科学计算器比较大小：sin37.5°．15．若cosα＝sin36°，则锐角α＝．16．已知sinα＜cosα，则锐角α的取值范围是．17．如图所示的网格是正方形网格，∠AOB∠COD．（填“＞“，“＝”或“＜“）18．如图，一轮船在A处观测灯塔P位于南偏西30°方向，该轮船沿正南方向以15海里/时的速度匀速航行2小时后到达B处，再观测灯塔P位于南偏西60°方向．若该轮船继续向南航行至灯塔P最近的位置C处，此时PC长为海里．19．在高为100米的楼顶测得地面上某十字路口的的俯角为60°，那么楼底到这十字路口的水平距离是米．20．如图，旗杆高AB＝6m，某一时刻，旗杆影子长BC＝8m，则tan C＝．三．解答题21．如图，锐角△ABC中，AB＝10cm，BC＝9cm，△ABC的面积为27cm2．求tan B的值．22．嘉琪在某次作业中得到如下结果：sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．据此，嘉琪猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，设∠A＝α，有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．（1）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立．（2）请你对嘉琪的猜想进行证明．23．已知：如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝9，∠A＝48°．求：（1）AB边上的高（精确到0.01）；（2）∠B的度数（精确到1′）．24．石室联合中学金沙校区位于三环跨线桥旁边，为了不影响学生上课，市政在桥旁安装了隔音墙，交通局也对此路段设置了限速，九年级学生为了测量汽车速度做了如下实验：在桥上依次取B、C、D三点，再在桥外确定一点A，使得AB⊥BD，测得AB之间15米，使得∠ADC＝30°，∠ACB＝60°．（1）求CD的长（精确到0.01，≈1.73，≈1.41）．（2）交通局对该路段限速30千米/小时，汽车从C到D用时2秒，汽车是否超速？说明理由．25．如图，已知某船向正东方向航行，在点A处测得某岛C在其北偏东60°方向上，前进8海里后达到点B处，测得岛C在其北偏东45°方向上．已知岛C周围10海里内有暗礁．问：如果该船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．26．当0°＜α＜45°时，有sin（α+45°）＝sinα+cosα．（1）计算sin75°；（2）如图，△ABC中，AB＝1，∠ACB＝45°，∠CAB＝α，请利用这个图形证明上述结论．27．如图，已知∠ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m，试比较PE、PF的大小；（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，且α＞β．试判断PE、PF的大小，并给出证明．参考答案与试题解析一．选择题1．解：sin58°＝cos32°．∵58°＞32°＞28°，∴cos58°＜cos32°＜cos28°，∴cos58°＜sin58°＜cos28°．故选：C．2．解：cos30°＝，故选：B．3．解：如图，∵∠C＝90°，tan A＝，∴tan A＝，设BC＝12x，AC＝5x，∴AB＝＝＝13x，∴cos B＝＝＝．故选：A．4．解：tan A＝＝，BC＝x，AC＝3x，由勾股定理，得AB＝x，sin A＝＝，故选：C．5．解：如图，作CD⊥AB于点D，作AE⊥BC于点E，由已知可得，AC＝＝，AB＝5，BC＝＝5，CD＝3，＝AB•CD＝BC•AE，∵S△ABC∴AE＝＝＝3，∴CE＝＝＝1，∴cos∠ACB＝＝＝，故选：B．6．解：∵迎水坡AB的坡比为1：，∴＝，即＝，解得，AC＝3，由勾股定理得，AB＝＝6（m），故选：A．7．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝，所以sin A＝＝＝，故选：D．8．解：如图，延长AB交DT的延长线于E．∵1米的杆影长恰好为1米，∴AE＝DE，∵四边形BCTE是矩形，∴BC＝ET＝10米，BE＝CT，在Rt△CDT中，∵∠CTD＝90°，CD＝8米，∠CDT＝30°，∴DT＝CD•cos30°＝8×＝4（米），CT＝CD＝4（米），∴AE＝DE＝ET+DT＝（10+4）（米），BE＝CT＝4（米），∴AB＝AE﹣BE＝（10+4）﹣4＝（6+4）（米），故选：A．9．解：∵BC⊥AC，AC＝2，∠BAC＝α，∴tanα＝，∴BC＝AC•tanα＝2tanα，故选：B．10．解：在Rt△PQT中，∵∠QPT＝90°，∠PQT＝90°﹣70°＝20°，∴∠PTQ＝70°，∴tan70°＝，∴PT＝＝，即河宽米，故选：B．二．填空题11．解；如图，设BC＝x，在Rt△ABC中，sin A＝＝，则AB＝2x，由勾股定理得，AC＝＝x，∴斜坡的坡比＝＝＝1：，故答案为：1：．12．解：∵（cos A﹣）2+|1﹣tan B|＝0，∴cos A﹣＝0，1﹣tan B＝0，则cos A＝，tan B＝1，∴∠A＝60°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．故答案为：75°．13．解：如图，作AH⊥BC于H．在Rt△ABH中，cos B＝，AB＝5，∴BH＝AB•cos B＝5×＝3，∴AH＝＝4．在Rt△ACH中，sin C＝，∴∠C＝45°，∴CH＝AH＝4，∴BC＝BH+CH＝3+4＝7，＝•BC•AH＝×7×4＝14，∴S△ABC故答案为：14．14．解：A．∵正多边形的外角和为360°，且一个外角是40°，∴这个正多边形的边数是360÷40＝9，故答案为：9；B．∵≈0.6180，sin37.5°≈0.6088，∴＞sin37.5°，故答案为：＞．15．解：∵sin36°＝cos（90°﹣36°），∴α＝90°﹣36°＝54°，故答案为：54°．16．解：由sinα＜cosα，得0°＜α＜45°，故答案为：0°＜α＜45°．17．解：连接CD，则CD⊥OD，过B作BE⊥OA于E，在Rt△OBE中，tan∠AOB＝＝2，在Rt△OCD中，tan∠COD＝＝＝1，∵锐角的正切值随着角度的增大而增大，∴∠AOB＞∠COD，故答案为：＞．18．解：由题意可得，∠PAC＝30°，∠PBC＝60°，∠PCB＝∠PCA＝90°，AB＝15×2＝30，设PC＝x，则tan∠PAC＝，tan∠PBC＝，即，＝，解得，x＝15，即PC的长是15海里，故答案为：15．19．解：如图所示：由题意得：∠B＝90°，∠BAC＝60°，BC＝100米，∵tan∠BAC＝，∴AB＝＝＝（米），即楼底到这十字路口的水平距离是米，故答案为：．20．解：∵旗杆高AB＝6m，旗杆影子长BC＝8m，∴tan C＝＝＝；故答案为：．三．解答题21．解：过点A作AH⊥BC于H，∵S＝27，△ABC∴，∴AH＝6，∵AB＝10，∴BH＝＝＝8，∴tan B＝＝＝．22．解：（1）当α＝30°时，sin2α+sin2（90°﹣α）＝sin230°+sin260°＝（）2+（）2＝+＝1；（2）嘉琪的猜想成立，证明如下：如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，∴sin2α+sin2（90°﹣α）＝（）2+（）2＝＝＝1．23．解：（1）作AB边上的高CH，垂足为H，∵在Rt△ACH中，，∴CH＝AC•sin A＝9sin48°≈6.69；（2）∵在Rt△ACH中，，∴AH＝AC•cos A＝9cos48°，∴在Rt△BCH中，，∴∠B≈73°32′．24．解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，AB＝15米，∴BC＝＝＝5米，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，∠ADB＝30°，∴BD＝AB＝15米，∴CD＝BD﹣BC＝10≈17.32米，∴CD的长为17.32米；（2）∵30千米/小时＝30000÷3600＝米/秒，而10÷2≈8.66＞，∴汽车超速．25．解：无触礁危险，理由如下：作CD⊥AB于点D，由题意可知，∠CAB＝30°，∠CBD ＝45°，∴∠ACB＝15°，在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，∠CBD＝45°，∴∠BCD＝45°，∴BD＝CD．∵AB＝8，∴AD＝8+CD＝．∴DC＝≈10.9＞10，∴船继续向东航行无触礁危险．26．解：（1）∵当0°＜α＜45°时，有sin（α+45°）＝sinα+cosα，∴当α＝30°时，sin（30°+45°）＝sin30°+cos30°，∴sin75°＝，解得，sin75°＝；（2）作AD⊥CB交CB的延长线于点D，∵AB＝1，∠ACB＝45°，∠CAB＝α，∴∠ABD＝∠ACB+∠ACB＝45°+α，sin∠ABD＝＝＝AD，∴sin（45°+α）＝AD，又∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，∴sin C＝，即AD＝AC•sin C＝AC×＝AC，∴AC＝AD＝sin（α+45°），作BE⊥AC于点E，∵∠CAB＝α，AB＝1，∴sinα＝＝BE，cosα＝＝AE，∵∠C＝45°，∠BEC＝90°，∴∠C＝∠CBE＝45°，∴BE＝CE，∴AC＝AE+CE＝AE+BE，∴sin（α+45°）＝sinα+cosα．27．解：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP＝＝sin40°在Rt△BPF中，sin∠FBP＝＝sin20°又sin40°＞sin20°∴PE＞PF；（2）根据（1）得sin∠EBP＝＝sinα，sin∠FBP＝＝sinβ又∵α＞β∴sinα＞sinβ∴PE＞PF．。