2020年高考数学二轮优化提升20 圆锥曲线的基本量问题(学生版)
2020年高考“圆锥曲线与方程”专题命题分析
圆锥曲线是广泛应用于科学研究及生产和生活中的曲线，是高中数学中几何与代数知识的重要组成部分，是高中学生运用平面直角坐标系将曲线与方程、几何与代数融会贯通的重要载体，更是让学生体验和领悟数与形相互转化过程的重要途径，在高考数学中占有较大的比重.2020年高考数学试卷中圆锥曲线与方程专题部分的试题，着重考查圆锥曲线的定义、方程，以及简单的几何性质，立足“四基”，凸显基础性；注重对数形结合、代数方法与几何问题化归的考查，立意能力，在数与形之间彰显综合性、应用性；重视对数学运算、逻辑推理、直观想象等数学学科核心素养的考查，立旨素养，引导数学教学，实现数学学科的育人价值.同时，与往年相比，试题结构和难度保持稳定，既体现对主线内容、核心概念、数学本质考查的连贯性，也体现了对学生的人文关怀.一、考查内容分析2020年全国各地高考数学试卷共10套13份，具体为全国Ⅰ卷（文、理）、全国Ⅱ卷（文、理）、全国Ⅲ卷（文、理）、全国新高考Ⅰ卷、全国新高考Ⅱ卷、北京卷、上海卷、天津卷、江苏卷、浙江卷.有的试卷由国家统一命题，也有的由各省市自主命题，无论是延续2019年模式的全国卷和地方卷高考试题，还是2020年首次亮相的立足《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）的全国新高考卷试题，都是重视基础，突出能力，并围绕学生的数学学科核心素养展开全方位考查.1.布局合理，考点紧扣标准2020年高考数学试卷，以圆锥曲线的定义、基本量、标准方程、简单几何性质、位置关系等核心内容为载体，重点考查学生对平面解析几何问题基本解决过程的掌握情况：用代数语言把几何问题转化为代数问题，根据对几何问题（图形）的分析，探索解决问题的思路，运用代数方法得到结论并给出代数结论合理的几何解释解决几何问题.突出考查学生运用代数方法研究上述曲线之间的基本关系、运用平面解析几何的思想解决一些简单的实际问题的能力，旨在考查学生的直观想象、数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养.试题紧扣《标准》，以基础题、中档题为主，在总共的26道（相同试题算1道）试题中：基础题有10道、中档题有12道，占比约85%；难题4道，其中2020年高考“圆锥曲线与方程”专题命题分析段喜玲1摘要：2020年高考数学试题中的圆锥曲线与方程部分考查内容紧扣高中数学课程标准，分值、结构稳定，试题突出对“四基”的考查，注重圆锥曲线与其他知识的结合，注重对数学思维和数学学科核心素养的考查.试题体现基础性、应用性、综合性等特点，以基础知识的考查为载体，将对学生分析问题、解决问题能力的考查蕴含在解题过程之中，以实现对学生数学学科核心素养的考查.基于2020年高考试题的命题分析，给出高考复习建议，有效引导高三复习．关键词：圆锥曲线；命题分析；数形结合；数学运算收稿日期：2020-08-01基金项目：重庆市教育科学“十三五”规划2017年度规划课题——课堂教学中自主学习实施途径与策略的研究（2017-MS-13）.作者简介：段喜玲（1979—），女，中学高级教师，主要从事高中数学课堂教学研究.全国新高考Ⅰ卷第22题、全国Ⅰ卷文科第21题（同理科第20题）、全国Ⅲ卷文科第21题（同理科第20题）为压轴题，布局合理.2.分值稳定，多选双填增新彩高考试题对本专题内容的考查一般是两道客观题和一道主观题，共22分，占全卷分值的14.7%，其中北京卷24分，占全卷分值的16%，而全国Ⅰ卷文科、全国Ⅱ卷文（理）科、天津卷、江苏卷、上海卷中是一道客观题和一道主观题，共17分，占全卷分值的11.3%.考查形式、题型分布及分值比例与往年基本持平，有很高的稳定性.在全国新高考Ⅰ卷、全国新高考Ⅱ卷中出现多选题，北京卷中出现两个空的填空题，使试题形式更丰富.这是新高考题型的示范，为教学指引方向.3.文、理略异，趋同铺垫新高考2020年高考数学试卷中只有全国卷分别命制了文、理科试题.由于新高考将不再区分文科和理科，因此2020年全国卷的文、理科试题从内容到难度，差异较往年减小，姊妹题数量增加.在对圆锥曲线与方程的考查中：全国Ⅰ卷文科第21题与理科第20题相同，第11题不同，文科比理科少一道填空题；全国Ⅱ卷文科第9题与全国Ⅱ卷理科第8题相同，全国Ⅱ卷文、理科试卷第19题第（1）小题相同，第（2）小题的已知条件不同，但求解相同，方法相同；全国Ⅲ卷文科第7题、第21题与全国Ⅲ卷理科第5题、第20题相同，文科第14题不同.由此可以看出，文、理科试题虽有不同之处，但同根同源，体现趋同性，明确导向新高考.4.层次分明，数形结合思想贯穿始终《标准》对圆锥曲线与方程的要求有了解和掌握两个层次：圆锥曲线的实际背景、圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用、抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质、椭圆与抛物线的简单应用为了解；椭圆的定义、标准方程及简单几何性质为掌握.2020年高考数学试题对圆锥曲线与方程部分的考查层次分明，基础题和中档题均以抛物线和双曲线的定义、简单几何性质、位置关系为考查内容，部分较难的中档题和难题考查椭圆定义、标准方程、几何性质、简单应用，唯独上海卷的解答题考查圆和双曲线的组合，意在打破常规、力求创新，以考查学生的创新应用意识.同时，在试题中，数形结合思想这条主线贯穿始终，方程与曲线的表述与理解、代数与几何的转化与化归在数形结合中体现得淋漓尽致.5.综合性强，凸显思想育素养圆锥曲线与方程知识是平面几何、平面向量、直线与圆的知识的延续，可以将很多知识、方法（如三角形、直线位置关系、圆、向量、角度、长度、面积、坐标、方程、不等式及函数等）有机结合起来进行考查，体现在知识的交会处命题的基本原则.例如，全国Ⅰ卷理科第20题、全国Ⅲ卷理科第20题、全国新高考Ⅰ卷第22题、北京卷第20题、江苏卷第18题、浙江卷第21题，上海卷第20题综合性都较强，对学生要求较高.同时，试题凸显了数形结合、转化与化归、函数与方程等重要思想，为培育学生的数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养做好了指挥引领作用.二、命题思路分析1.注重对基础知识和基本方法的考查圆锥曲线的定义、方程、基本量、性质、位置关系是这部分知识的常规考查内容，要求学生既要对椭圆、双曲线、抛物线的共性建构良好的知识网络，又要对每种曲线的自身特点掌握得清楚准确，特别是区分不同曲线的定义、方程、基本量关系、性质、离心率的异同，这些知识容易混淆出错.借助平面直角坐标系将几何问题坐标化、用代数方法解决几何问题是解析几何的灵魂所在，因此建立方程或方程组、整体求解、设而不求等基本方法，通性、通法也是高频考点.命题围绕这些设置试题，突出考查学生对基本概念、基础知识、基本方法的掌握.例1（全国Ⅰ卷·理15）已知F为双曲线C：x2a2-y2b2=1()a>0，b>0的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C 的离心率为.【评析】该题主要考查对双曲线的离心率、直线斜率、双曲线的几何性质的应用，属于基础题.可以用方程组求出||BF，或者联立方程求得点B的坐标，再或者直接用公式求得||BF，然后用斜率公式求得离心率.该题解法常规，在运算处理上较灵活，能够对学生数学思维、数学运算进行多角度考查.例2（全国Ⅱ卷·理19）已知椭圆C1：x 2a2+y2b2=1()a>b>0的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且||CD=43||AB.（1）求C1的离心率；（2）设M是C1与C2的公共点，若||MF=5，求C1与C2的标准方程.【评析】考查椭圆、抛物线的基本量a，b，c，p 之间的关系，相交弦长（通径），椭圆离心率，抛物线定义及方程，椭圆方程.注重学生对基本量、关系式、离心率、弦长等基础知识的掌握，要求学生弄清知识之间的区别与联系.该题求解方法简单，整体法求离心率亦常见，第（2）小题利用离心率得a，c的关系，化简方程是解答关键，很好地考查了学生的数学运算素养.除了联立方程求解外，还可以用圆锥曲线的统一定义表示焦半径，简化了运算，提高了解题速度和准确率.类似试题还有全国Ⅰ卷理科第4题、第15题，全国Ⅱ卷文科第19题，全国Ⅲ文科第14题，全国新高考Ⅰ卷第9题、第13题，全国新高考Ⅱ卷第9题，北京卷第7题、第12题、第20题，天津卷第7题，江苏卷第6题，浙江卷第8题，上海卷第10题.2.注重对圆锥曲线与其他知识的综合应用的考查在知识的交会处命题一直是高考数学命题的一大特点，圆锥曲线不仅是知识交会的高频考点，更是代数与几何的完美结合体，因此将圆锥曲线内容与章节内、章节间、学段间、学科间的知识综合，既体现知识的连贯性，又体现知识的交叉性，既考查学生学习的延续性，也考查学生的综合能力.2020年高考数学试题中综合考查了圆锥曲线的方程、离心率、渐近线、弦长、交点，以及三角形的面积、周长等，综合考查圆锥曲线与向量、不等式、函数、解三角形的交会，其中不乏对特殊三角形、圆、线段中垂线等初中平面几何知识的考查，以及几何性质与代数表达式之间互相转化的考查，能有效检测学生的思维能力与水平.例3（全国Ⅲ卷·理11）设双曲线C：x2a2-y2b2=1 ()a>0，b>0的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a的值为（）.（A）1（B）2（C）4（D）8【评析】该题综合考查双曲线的定义、离心率、焦点直角三角形、三角形面积，要求学生不仅熟练掌握知识，还要熟悉求解方程组的方法，是一道题型常见、思路常规的综合性试题.例4（江苏卷·18）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B.（1）求△AF1F2的周长；（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求OP⋅QP的最小值；（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标.【评析】考查椭圆的定义、直线与椭圆相交、向量数量积和点到直线的距离.第（2）小题中数量积的最值问题考查函数与方程思想，将最值问题转化为函数问题求解的关键点是选取变量，明晰点P，Q的主、被动关系，特别是OP的纵坐标为0，即点Q的纵坐标对数量积没有影响，从而可以不求点Q的纵坐标，这是降低该题难度的关键点，需要学生有极强的数学运算素养.第（3）小题考查三角形的面积关系，实质是考查点到直线的距离，需要学生看到问题的本质，即当三角形的一边为定值时，面积取决于这一边上的高，进一步将高的值转化为椭圆上的点到直线的距离，即直线和椭圆的位置关系.这一系列问题将圆锥曲线与三角形、向量、函数、直线，以及距离流畅地结合起来，在综合考查学生基础知识的同时，考查学生灵活运用转化与化归思想以及数形结合思想解决问题的能力.例5（全国Ⅲ卷·理20）已知椭圆C ：x 225+y 2m 2=1()0<m <5的离心率为，A ，B 分别为C 的左、右顶点.（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线x =6上，且||BP =||BQ ，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积.【评析】该题是以直线与椭圆相交成图，考查三角形面积的综合问题，试题表述简洁，脉络清晰，是常规题型，但是试题却不易找到解题突破口.利用垂直关系证得三角形全等，然后用三角形全等求得关键点P ，Q 的坐标是求解该题的切入点，要求学生认识知识的联系性，将圆锥曲线与初中三角形知识自然地糅合在一起，考查学生对初中所学知识的延伸及初高中知识的融合应用，对学生的跨学段知识综合应用能力要求较高.此类型的试题还有全国Ⅰ卷文科第11题、全国Ⅱ卷理科第8题、全国Ⅲ卷文科第21题、全国新高考Ⅱ卷第21题、天津卷第18题、上海卷第10题.3.注重对数学思维、核心素养的考查《标准》对高考数学命题提出明确要求：注重对学生数学学科核心素养的考查，处理好数学学科核心素养与知识技能的关系，充分考虑对教学的积极引导作用；要适度增加试题的思维量，应特别关注数学学习过程中思维品质的形成.“一核”“四层”“四翼”的新高考评价体系也明确核心素养、关键能力等考查内容和要求.2020年高考圆锥曲线与方程的相关试题，以此为依据，注重考查数学思想方法、理性思维和学科核心素养，考查学生通过平面直角坐标系将图形定位、量化，利用代数（方程、方程组）研究平面图形的几何性质，将对数形结合思想、转化与化归思想、函数与方程思想、分类讨论思想的考查不动声色地浸润在试题里，使学生在解题中充分展示分析问题、解决问题的能力，同时注重对数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学学科核心素养的考查，对数学教学起到很好的引导作用.例6（全国新高考Ⅰ卷·22）已知椭圆C ：x 2a2+y 2b2=1()a >b >0的离心率为，且过点A ()2，1.（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足.证明：存在定点Q ，使得||DQ 为定值.【评析】该题为全国新高考Ⅰ卷的压轴题，第（2）小题是圆锥曲线中的定点、定值问题，特别之处是并不知道定点Q 的具体位置，需要学生自己寻找，增加了试题的难度.首先，学生要分析点M ，N 在椭圆上运动的过程中的变量和不变量，找出直线MN 过定点E ；其次，求得定点E 的坐标，并能在由点A ，D ，E 构成的直角三角形中找到定长.该题不仅在思维上起点高、难度大，在运算上亦是如此，设点、设线还需分类讨论验证，需要学生具有超强的运算功底.在解答过程中，充分体现对通性、通法的重视，对技巧的弱化，完整展现学生分析问题、解决问题的能力，对学生数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养有充分的检验作用.由于知识和思维跨度较大，数学运算繁杂，对学生综合能力要求较高，真正考查学生用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界的能力.例7（上海卷·20）如图2，双曲线C 1：x 24-y 2b2=1，圆C 2：x 2+y 2=4+b 2()b >0在第一象限交点为A ，A ()x A ，y A ，曲线Γ：ìíîïïx 24-y 2b 2=1，x 2+y 2=4+b2()||x >x A .图2（1）若x A =6，求b ；（2）若b =5，C 2与x 轴交点记为F 1，F 2，P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，并满足||PF 1=8，求∠F1PF2；（3）过点Sæèçöø÷0，2+b22且斜率为-b2的直线l交曲线Γ于M，N两点，用b的代数式表示OM⋅ON，并求出OM⋅ON的取值范围.【评析】该题是以双曲线系、圆系的交点为动点的轨迹问题，打破常规命题背景，有创新意识和应用意识.考查学生对曲线与方程的定义、双曲线的定义、直线与圆的位置关系、直线与直线的位置关系、向量数量积、函数最值的理解和综合应用.因为含有参数b使得轨迹不为学生所熟悉，所以要求学生对曲线方程的定义有较深的理解.第（3）小题中的直线l 与圆始终相切，切点为M是关键点，并观察直线l与一条渐近线平行，对学生的直观想象、逻辑推理素养要求较高，是一道以能力立意、考查素养、有创新意识的好题.此类型试题还有全国Ⅰ卷理科第20题、文科第21题，浙江卷第21题.三、复习建议通过对2020年高考圆锥曲线与方程试题的分析，可以看到试题对从基础知识、基本方法到运用基本数学思想解决数学问题的思维过程的考查，都体现了注重“四基”、能力立意、突出思维、落实素养的特点.因此，在高三复习过程中，要通过教学注重数学思想的渗透和学生思维能力的培养，让数学学科核心素养在课堂教学中生根发芽、开花结果.1.掌握知识，明辨异同，构建网络基础知识不仅是高考考查的重点，也是教学重点.高三复习首当其冲就是要把知识点弄清、理透、掌握牢.圆锥曲线部分的基本知识点有圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质、位置关系，每个知识点所包含的内容很丰富.例如，圆锥曲线的定义，既有各自的定义，又有统一定义，还有其他方式的定义.又如，标准方程有焦点在x轴和焦点在y轴等.这些知识虽然靠记忆，但是学生容易混淆，因此复习时要让学生明晰同一知识点之间的联系与区别、圆锥曲线与圆锥曲线之间的联系与区别，牢固掌握基础知识.同时，复习不是知识点的简单重复与堆砌，复习是立足章节对所学知识的横向再认识，是站在数学学科角度对所学知识的纵向再认识，要高站位地建构横纵知识结构网络.2.注重通法，提升运算，渗透思想做题是复习课上必不可少的教学活动，《标准》在命题原则中明确提出：注重数学本质、通性和通法、淡化解题技巧.复习的例题、习题、试题要多选用通性、通法求解的题目，让学生熟练掌握通性、通法.圆锥曲线部分的内容特点决定了解题需要学生具有超强的运算能力，常用的运算方法、运算技巧、运算素养都需要在做题中提升.高中的运算不仅仅是简单的数的运算，更多的是式的运算，需要在理解运算对象的基础上，探究运算思路、选择运算方法、求得运算结果，即数学运算素养.这需要依赖教师在教学中加强对学生运算能力的培养，不能只靠学生自己算，要重视学生在求解运算中的过程设计，如整体解法、方程思想、设而不求、点差法、同理法等.运算的速度、准确度在很大程度上决定解析几何试题的得分情况，提升运算能力、培养数学运算素养是圆锥曲线部分复习的重点和难点.教学中要有意识渗透数学思想，方程与函数思想、数形结合思想、转化与化归思想、分类讨论思想等在解题中贯穿始终，能很好地体现理性思维.3.提高能力，增强思维，培育素养能力立意，关注思维，培育核心素养是新高考命题的宗旨，也是高三复习的风向标.能力、思维、素养的培养都“润物细无声”地存在于教学过程之中，因此教学要从培育核心素养的角度思考复习方案和教学设计，并深入了解学生学习的困难，关注一题多解和多题一解的内容与题目，体现灵活性，放手让学生大胆尝试、引导学生有效反思，有助于强化学生思维，培养学生在面对新的问题情境时运用数学概念对问题进行抽象，用数学符号表达，用逻辑推理分析问题、解决问题的能力，让学生真正做到用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界，以达到提炼学生思维品质，培养学生学科核心素养的课程目标.4.克服畏惧，锻炼意志，增强信心在高考数学试卷中，本专题试题繁冗的运算、大容量的思维使得学生有畏惧心理，很多学生给自己的定位是只做解答题第（1）小题，因此纵使有些试卷的解答题不难，考查结果却差强人意.例如，全国Ⅱ卷理科第19题，仍有很多学生没有做第（2）小题.高考不仅是对知识能力的检测，也是对心理素质的检测，复习中不能根据经验或规律，让学生将圆锥曲线与方程问题定性为难题而轻易舍弃，而要以此为契机培养学生面对较繁杂问题时耐心分析、善于转化的能力与勇气，要有意识选择一些基础题和中档题，引导学生在求解的过程中磨炼意志和耐心，克服畏惧心理，以平常心对待，增强“只要有足够的时间，我一定会做出来”的信念和信心.四、模拟题欣赏1.已知F 1，F 2是双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1的左、右焦点，点M 在E 上，若△MF 1F 2是直角三角形，且sin ∠MF 1F 2=12，则双曲线E 的离心率为（）.（A ）3-1（B ）3（C ）3+1（D ）3或3+1答案：D.2.设F 为抛物线C ：y 2=3x 的焦点，过焦点F 的动直线交C 于A ，B 两点，则 OA ⋅OB 的值为.答案：-2716.3.若F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的左、右焦点，且离心率为12，若过右焦点F 2的直线与曲线C 交于A ，B 两点，求当△ABF 1面积的最大值为12时的椭圆标准方程.答案：x 216+y 212=1. 4.已知过椭圆x 24+y 2=1左顶点A 的直线l 交椭圆于另一点B ，以AB 为直径的圆过椭圆的上顶点，求直线l 的方程.答案：3x +10y +6=0.5.在平面直角坐标系xOy 中，已知1是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的右焦点，离心率为，过点F 1且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，||PQ =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过椭圆左焦点F 2且斜率为k ()k >0的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点M ，交直线x =-3于点N .求证：||OE ，||OM ，||ON 构成等比数列.答案：（1）x 23+y 22=1；（2）略.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）［M ］.北京：人民教育出版社，2018.［2］吴彤，徐明悦.2019年高考“圆锥曲线与方程”专题命题分析［J ］.中国数学教育（高中版），2019（9）：24-27.［3］任佩文，张强，霍文明.2018年高考“圆锥曲线与方程”专题命题分析［J ］.中国数学教育（高中版），2018（7/8）：122-128.［4］范美卿，张晓斌.2016年高考“直线和圆”专题命题分析［J ］.中国数学教育（高中版），2016（9）：2-8.。
(新课标)2020版高考数学二轮复习专题五解析几何第3讲圆锥曲线中的最值、范围、证明问题课件理新人教A版
令 f(t)＝3t＋1t ，则 f′(t)＝3－t12，
当 t∈[1，＋∞)时，f′(t)>0，f(t)＝3t＋1t 在[1，＋∞)上单调递增， 所以 S△F2PQ＝3t1＋2 1t ≤3，当 t＝1 时取等号， 即当 k＝0 时，△F2PQ 的面积取得最大值 3， 结合 S△F2PQ＝12·4a·r，得 r 的最大值为34， 所以△F2PQ 的内切圆面积的最大值为196π.
范围问题 1．几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、 圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决．
高考真题 (2018·高考浙江卷)如图，已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点，抛 物线 C：y2＝4x 上存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上. (1)设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴； (2)若 P 是半椭圆 x2＋y42＝1(x<0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围.
思维方法 (1)略 (2)由(1)可知yy11＋y2＝y2＝8x20－y0，y20， 所以|PM|＝18(y21＋y22)－x0＝34y20－3x0，|y1－y2|＝2 2(y20－4x0). 因此，△PAB 的面积 S△PAB＝12|PM|·|y1－y2|＝342(y20－4x0)32. [关键 1：利用根与系数的关系，用 P 点坐标表示△PAB 的面积]
高考真题 (2016·高考全国卷Ⅰ)设圆 x2＋y2＋2x－15＝0 的圆心为 A，直线 l 过点 B(1，0) 且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. (1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点 E 的轨迹方程； (2)设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M，N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线 与圆 A 交于 P，Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围.
2020届高考文科数学大二轮复习冲刺经典专题第二编讲专题专题五解析几何第3讲圆锥曲线的综合问题练习2
又直线 AF1 的方程为 y＝x＋c.④ 联立③④，得 x2＋2(x＋c)2＝2c2，即 3x2＋4cx＝0，
4 ∴x＝0 或 x＝－3c.
直线 AF1 的斜率为 1 且 A 在 x 轴上方，∴xA＝0， ∴A 的坐标为(0，b)． ∴|AF1|＝ c2＋b2＝a，∴a＝ 2，又 a＝ 2b＝ 2c， ∴b＝c＝1.
x2 y2 椭圆 C：a2＋b2＝1(a>b>0)的长轴长为 2 2，P 为椭圆 C 上异于顶点的一个动点，O 为坐标原点，A2
1 为椭圆 C 的右顶点，点 M 为线段 PA2 的中点，且直线 PA2 与直线 OM 的斜率之积恒为－2.
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)过椭圆 C 的左焦点 F1 且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线
2
∴△F1A′B 面积的最大值为 4 .
人教A版2020届高考数学二轮复习讲义及题型归纳(基础)：圆锥曲线第一章 轨迹方程
【例 2】设圆 C 与两圆 x 5 2 y2 4, x 5 2 y2 4, 一个内切，另一个外切，求 C 的圆心轨迹 L 的方程。
解析 设圆 C 的圆心为 C（ x, y ），半径为 r(r 0) ，由题意可知两圆的圆心分别为 F1( 5,0), F2 ( 5,0) ，半径均为 2，
即
=t =t
=
,解得
,
=
因为点 P 在 C 上,所以t
= 敲,
代入得t
t = 敲,
化简得t
=敲 .
1
第二节：定义法:
若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则 可根据定义直接求出方程中的待定系数，故又称待定系数法。
【例 1】 M 2, 0 和 N 2, 0 是平面上的两点，动点 P 满足 PM PN 6 ，求点 P 的
解析 设动点 P (x, y) ，由题意有 (x 1)2 y2 | x | 1，即 y2 2x 2 | x | ，当 x 0 时， y2 4x ；当 x 0 时， y 0 ， 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 y2 4x(x 0) 和 y 0(x 0) 。
第三节：相关点法:
“翻译”成含 x, y 的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊
的技巧，所以被称为直译法.
1.双曲线 − = , F1、F2 为其左右焦点, 是以 F2 为圆心且过原点的圆. (1)求 的轨迹方程;
(2)动点 在 上运动, 满足 =2 ,求 的轨迹方程.
【解答】解:(1)由已知得 a2=12,b2=4,故 c=
轨迹方程.
解析 因为 PM PN 6 MN 4 ，所以由椭圆定义，动点 P 的轨迹是以 M 2, 0 和 N 2, 0 为焦点，长轴
2020版高考数学二轮复习第二部分专题五解析几何第3讲圆锥曲线中的最值、范围、证明问题练习(含解析)
第3讲圆锥曲线中的最值、范围、证明问题最值问题函数最值法：当题目中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值．求函数最值的常用方法有（1）配方法;(2)基本不等式法；（3）判别式法;（4）单调性法；（5)三角换元法;（6）导数法等．高考真题思维方法［典型例题]（2019·安徽宣城二模）已知椭圆C的方程为错误!＋错误!＝1，A是椭圆上的一点，且A在第一象限内，过A且斜率等于－1的直线与椭圆C交于另一点B,点A关于原点的对称点为D.（1）证明：直线BD的斜率为定值；（2)求△ABD面积的最大值．【解】（1)证明：设D(x1，y1）,B（x2,y2)，则A（－x1，－y1)，直线BD的斜率k＝错误!,由错误!两式相减得错误!＝－错误!×错误!，因为k AB＝错误!＝－1，所以k＝错误!＝错误!，故直线BD的斜率为定值1 2 .(2）连接OB，因为A，D关于原点对称，所以S△ABD＝2S△OBD，由（1）可知BD的斜率k＝错误!，设BD的方程为y＝错误!x＋t，因为D在第三象限，所以－2<t<1且t≠0，O到BD的距离d＝错误!＝错误!，由错误!整理得3x2＋4tx＋4t2－8＝0，所以x 1＋x 2＝－4t 3,x 1x 2＝错误!， 所以S △ABD ＝2S △OBD ＝2×错误!×|BD ｜×d＝错误!错误!·错误!＝｜t |·错误!＝｜t |·错误!＝错误!·错误!≤2错误!.所以当且仅当t ＝－错误!时，S △ABD 取得最大值2错误!.错误!最值问题的2种基本解法［对点训练]（2017·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：错误!＋错误!＝1（a>b〉0)的离心率为错误!，焦距为2.(1)求椭圆E的方程；(2)如图，动直线l：y＝k1x－错误!交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上一点,直线OC的斜率为k2,且k1k2＝错误!，M是线段OC延长线上一点，且|MC|∶|AB｜＝2∶3，⊙M的半径为｜MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T。
2020高考数学二轮复习 小题专项练习(十一)圆锥曲线的基本性质(无答案)理
小题专项练习(十一) 圆锥曲线的基本性质一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2020·全国卷Ⅰ]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( )A.13B.12C.22 D.2232．[2020·天津益中月考]若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点到双曲线x 28－y 2p＝1的渐近线的距离为24p ，则抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝16x B ．y 2＝8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝32x3．[2020·江西重点中学协作体联考]已知F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左右焦点，P是椭圆上的点且∠F 1PF 2＝π2，则△F 1PF 2的面积是( )A ．1B ．2C ．4D ．2 34．[2020·普通高等学校冲刺试卷]已知双曲线x 212－y 2m＝1的右焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±63xD ．y ＝±33x5．[2020·全国卷Ⅱ]已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－32B ．2－ 3C.3－12D.3－1 6．[2020·安徽六安毛坦厂中学月考]已知F 是椭圆C ：x 29＋y 25＝1的左焦点，P 为C 上一点，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43，则|PA |＋|PF |的最小值为( ) A.103 B.113C ．4 D.1337．[2020·湖南省长沙模拟]已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝6，点M 与直线l 的距离不小于85，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，223B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，53C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫223，1 8．[2020·青海西宁二模]抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点A (5,3)，M 为抛物线上一点，且M 不在直线AF 上，则△MAF 周长的最小值为( )A ．6＋29B ．12C ．11D ．10 9．[2020·江西师大附中三模]已知椭圆C 1：x 216＋y 215＝1的左焦点为F ，点P 为椭圆上一动点，过点P 向以F 为圆心，1为半径的圆作切线PM ，PN ，其中切点为M ，N ，则四边形PMFN 面积的最大值为( )A ．2 6 B.14 C.15 D ．510．[2020·合肥第三次教学质量检测]已知双曲线C ：y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的上焦点为F ，M 是双曲线虚轴的一个端点，过F ，M 的直线交双曲线的下支于A 点．若M 为AF 的中点，且|AF →|＝6，则双曲线C 的方程为( )A.y 22－x 28＝1B.y 28－x 22＝1 C ．y 2－x 24＝1D.y 24－x 2＝1 11．[2020·成都第三次诊断性检测]已知A ，B 是椭圆C ：x 225＋y 29＝1上关于坐标原点O对称的两个点，P ，M ，N 是椭圆C 异于A ，B 的点，且AP ∥OM ，BP ∥ON ，则△MON 的面积为( )A.32B.32C.152D.25212．[2020·陕西黄陵中学第三次质量检测]已知过抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F 的直线l交抛物线于P ，Q 两点，若R 为线段PQ 的中点，连接OR 并延长交抛物线C 于点S ，则|OS ||OR |的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[2，＋∞)C ．(0,2]D ．(2，＋∞)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．13．[2020·广西钦州第三次质量检测]已知双曲线x 24－y 2b 2＝1的右焦点与抛物线x ＝y 212的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为________．14．[2020·辽宁模拟]已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．15．[2020·哈尔滨六中第三次模拟]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，过点Q (－2c,0)作x 轴的垂线交双曲线于点P ，连接PB 交y 轴于点E ，连接PA 交y 轴于点M ，且|OM |＝2|OE |，则双曲线的离心率为________．16．[2020·广西陆川第二次质量检测]已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若S △AOB ＝23，则双曲线的离心率e ＝________.。
2020新课标高考数学二轮讲义：第二部分专题五 第4讲 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题
第4讲圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题定点问题1．参数法：参数法解决定点问题的思路：(1)引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中的核心变量(此处设为k)；(2)利用条件找到k与过定点的曲线F(x，y)＝0之间的关系，得到关于k与x，y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，找到定点．高考真题思维方法(2017·高考全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .(1)略(2)证明：由题意知F (－1，0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，【关键1：用参数表示P ，Q 的坐标及向量OQ →，PF →】 OQ →·PF →＝3＋3m －tn ，OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n ).由OP →·PQ →＝1得－3m －m 2＋tn －n 2＝1，又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0.所以OQ →·PF →＝0，【关键2：在OP →·PQ →＝1的前提下，证明OQ →·PF →＝0】即OQ →⊥PF →.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 【关键3：利用平面内过一点作一直线的垂线的唯一性，即得直线l 过点F 】2.由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．高考真题思维方法(2017·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3(－1，32)，P 4(1，32)中恰有三点在椭圆C 上. (1)求C 的方程； (2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点. (1)略(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22. 则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设.【关键1：验证直线l 与x 轴垂直时，直线过定点的情况】 从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋（m －1）（x 1＋x 2）x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km4k 2＋1＝0.解得k ＝－m ＋12.【关键2：设出直线l 的方程，并与椭圆方程联立消去y 得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系及条件找到直线l 中两个参数的关系】当且仅当m >－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1).【关键3：将k ＝－m ＋12代入直线l 的方程，变形得到直线所过定点(2，－1)】[典型例题](2019·郑州市第一次质量预测)设M 点为圆C ：x 2＋y 2＝4上的动点，点M 在x 轴上的投影为N .动点P 满足2PN →＝3MN →，动点P 的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)设E 的左顶点为D ，若直线l ：y ＝kx ＋m 与曲线E 交于A ，B 两点(A ，B 不是左、右顶点)，且满足|DA →＋DB →|＝|DA →－DB →|，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标．【解】 (1)设点M (x 0，y 0)，P (x ，y )，由题意可知N (x 0，0)， 因为2PN →＝3MN →，所以2(x 0－x ，－y )＝3(0，－y 0)， 即x 0＝x ，y 0＝23y ， 又点M 在圆C ：x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，将x 0＝x ，y 0＝23y 代入得x 24＋y 23＝1，即轨迹E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)可知D (－2，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，Δ＝(8mk )2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝16(12k 2－3m 2＋9)>0，即3＋4k 2－m 2>0，所以x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝4（m 2－3）3＋4k 2.y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－12k 23＋4k 2，因为|DA →＋DB →|＝|DA →－DB →|，所以DA →⊥DB →，即DA →·DB →＝0， 即(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2＝0， 所以4m 2－123＋4k 2＋2×－8mk 3＋4k 2＋4＋3m 2－12k 23＋4k 2＝0，所以7m 2－16mk ＋4k 2＝0，解得m 1＝2k ，m 2＝27k ，且均满足3＋4k 2－m 2>0，当m 1＝2k 时，l 的方程为y ＝kx ＋2k ＝k (x ＋2)，直线恒过点(－2，0)，与已知矛盾； 当m 2＝27k 时，l 的方程为y ＝kx ＋27k ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋27，直线恒过点⎝⎛⎭⎫－27，0. 综上，直线l 过定点，定点坐标为⎝⎛⎭⎫－27，0.(1)求解直线和曲线过定点问题的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．(2)由直线方程确定定点时，若得到了直线的点斜式方程y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线的斜截式方程y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．[对点训练](2019·蓉城名校第一次联考)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，过点F 作倾斜角为45°的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，且|AB |＝16.(1)求抛物线C 的方程；(2)设P ，M ，N 为抛物线上不同的三点，且PM ⊥PN ，若P 点的横坐标为8，判断直线MN 是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．解：(1)由题意知，直线AB 的方程为y ＝x ＋p2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋p 2x 2＝2py ，得y 2－3py ＋p 24＝0.设A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝3p . 所以|AB |＝y 3＋y 4＋p ＝4p ＝16，所以p ＝4. 所以抛物线C 的方程为x 2＝8y .(2)法一：由(1)可得点P (8，8)，设M ⎝⎛⎭⎫x 1，x 218，N ⎝⎛⎭⎫x 2，x 228，则k PM ＝x 218－8x 1－8＝x 1＋88，同理可得k PN ＝x 2＋88.因为PM ⊥PN ，所以k PM ·k PN ＝x 1＋88·x 2＋88＝－1，化简得x 1x 2＋8(x 1＋x 2)＋128＝0.(*)易知直线MN 的斜率一定存在，设直线MN ：y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2＝8y ，得x 2－8kx －8b ＝0，所以x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－8b .代入(*)，得－8b ＋64k ＋128＝0，则b ＝8k ＋16.直线MN 的方程可化为y ＝kx ＋8k ＋16，所以直线MN 过定点(－8，16)．法二：由(1)可得点P (8，8)，设M ⎝⎛⎭⎫x 1，x 218，N ⎝⎛⎭⎫x 2，x 228，则k MN ＝x 218－x 228x 1－x 2＝x 1＋x 28，同理可得k PM ＝x 1＋88，k PN ＝x 2＋88.因为PM ⊥PN ，所以k PM ·k PN ＝x 1＋88·x 2＋88＝－1，化简得－x 1x 2＝8(x 1＋x 2)＋128.①直线MN 的方程为y －x 218＝x 1＋x 28(x －x 1)，化简得y ＝x 1＋x 28x －x 1x 28.②把①代入②得y ＝x 1＋x 28(x ＋8)＋16，所以直线MN 过定点(－8，16)．定值问题1．直接消参求定值：常见定值问题的处理方法：(1)确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示；(2)将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数．高考真题思维方法(2015·高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M . (1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝⎛⎭⎫m 3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由.(1)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．【关键1：设出直线方程及直线与椭圆交点坐标】将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2，得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0， 【关键2：把直线方程与椭圆方程联立消元得一元二次方程】 故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9.【关键3：利用根与系数的关系及中点在直线l 上求M 的坐标】 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－9k，即k OM ·k ＝－9.【关键4：求直线OM 的斜率并计算两直线斜率乘积】 所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值. (2)略2.从特殊到一般求定值：常用处理技巧：(1)在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；(2)巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算．高考真题思维方法(2016·高考北京卷)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB 的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线P A与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值. (1)略(2)证明：由(1)知，A(2，0)，B(0，1).设P(x0，y0)，则x20＋4y20＝4.当x0≠0时，直线P A的方程为y＝y0x0－2(x－2).令x＝0，得y M＝－2y0x0－2，从而|BM|＝|1－y M|＝|1＋2y0x0－2|. 【关键1：设出P点坐标，对横坐标分类讨论，用P点坐标表示|BM|】直线PB的方程为y＝y0－1x0x＋1.令y＝0，得x N＝－x0y0－1，从而|AN|＝|2－x N|＝|2＋x0y0－1|.【关键2：用P点坐标表示|AN|】所以|AN|·|BM|＝|2＋x0y0－1|·|1＋2y0x0－2|＝|x20＋4y20＋4x0y0－4x0－8y0＋4x0y0－x0－2y0＋2|＝|4x0y0－4x0－8y0＋8x0y0－x0－2y0＋2|＝4.【关键3：计算|AN|·|BM|并化简得出定值】当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，所以|AN|·|BM|＝4.【关键4：讨论特殊情况，并计算|AN|·|BM|】综上，|AN|·|BM|为定值.[典型例题](2019·福建五校第二次联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，上顶点M 到直线3x ＋y ＋4＝0的距离为3. (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 过点(4，－2)，且与椭圆C 相交于A ，B 两点，l 不经过点M ，证明：直线MA 的斜率与直线MB 的斜率之和为定值．【解】 (1)由题意可得，⎩⎨⎧e ＝c a ＝32|b ＋4|2＝3a 2＝b 2＋c2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 216＋y24＝1.(2)证明：易知直线l 的斜率恒小于0，设直线l 的方程为y ＋2＝k (x －4)，k <0且k ≠－1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝k （x －4）x 216＋y 24＝1，得(1＋4k 2)x 2－16k (2k ＋1)x ＋64k (k ＋1)＝0，则x 1＋x 2＝16k （2k ＋1）1＋4k 2，x 1x 2＝64k （k ＋1）1＋4k 2， 因为k MA ＋k MB ＝y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝ （kx 1－4k －4）x 2＋（kx 2－4k －4）x 1x 1x 2＝2k －(4k ＋4)×x 1＋x 2x 1x 2＝2k －4(k ＋1)×16k （2k ＋1）64k （k ＋1）＝2k －(2k ＋1)＝－1(为定值)．求定值问题2种常见的方法(1)从特殊值入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定值．[对点训练]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1，过A (2，0)，B (0，1)两点．(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．解：(1)由题意得，a ＝2，b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.又c ＝a 2－b 2＝3，所以离心率e ＝c a ＝32.(2)证明：设P (x 0，y 0)(x 0<0，y 0<0)，则x 20＋4y 20＝4.又A (2，0)，B (0，1)，所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)．令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2.直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1.令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1.所以四边形ABNM 的面积S ＝12|AN |·|BM |＝12⎝⎛⎭⎫2＋x 0y 0－1⎝⎛⎭⎫1＋2y 0x 0－2＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42（x 0y 0－x 0－2y 0＋2）＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2.从而四边形ABNM 的面积为定值．探究、存在性问题存在性问题的解法：先假设存在，用待定系数法，列出关于待定系数的方程组，推证满足条件的结论，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则元素(点、直线、曲线或参数)不存在．要注意的是：(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法．高考真题思维方法(2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a ＞0)交于M ，N 两点.(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程； (2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由.(1)略(2)存在符合题意的点．证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2.将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0.故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a .【关键1：设出P 点坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系写出M ，N 横坐标与参数的关系】 从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－bx 2＝2kx 1x 2＋（a －b ）（x 1＋x 2）x 1x 2＝k （a ＋b ）a.【关键2：用参数表示PM ，PN 的斜率和】当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意.【关键3：用PM ，PN 的斜率和等于零说明∠OPM ＝∠OPN ，得出定点】高考真题思维方法(2015·高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； (2)若l 过点⎝⎛⎭⎫m 3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由.(1)略(2)四边形OAPB 能为平行四边形.因为直线l 过点⎝⎛⎭⎫m 3，m ，所以l 不过原点且与椭圆C 有两个交点的充要条件是k >0，k ≠3.由(1)得直线OM 的方程为y ＝－9k x .设点P 的横坐标为x P .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2，得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km 3k 2＋9 . 【关键1：写出OM 的方程，与椭圆方程联立求出P 点横坐标】将点⎝⎛⎭⎫m 3，m 的坐标代入直线l 的方程得b ＝m （3－k ）3， 因此x M ＝k （k －3）m3（k 2＋9）.【关键2：求M 点横坐标】四边形OAPB 为平行四边形，当且仅当线段AB 与线段OP互相平分，即x P ＝2x M ，于是±km 3k 2＋9＝2×k （k －3）m 3（k 2＋9），【关键3：构造关于k 的方程】 解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7.因为k >0，k ≠3，所以当l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形. [典型例题]已知动圆C 与圆x 2＋y 2＋2x ＝0外切，与圆x 2＋y 2－2x －24＝0内切．(1)试求动圆圆心C 的轨迹方程；(2)过定点P (0，2)且斜率为k (k ≠0)的直线l 与(1)中轨迹交于不同的两点M ，N ，试判断在x 轴上是否存在点A (m ，0)，使得以AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m 的范围；若不存在，请说明理由．【解】 (1)由x 2＋y 2＋2x ＝0得(x ＋1)2＋y 2＝1，由x 2＋y 2－2x －24＝0得(x －1)2＋y 2＝25，设动圆C 的半径为R ，两圆的圆心分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，则|CF 1|＝R ＋1，|CF 2|＝5－R ，所以|CF 1|＋|CF 2|＝6，根据椭圆的定义可知，点C 的轨迹为以F 1，F 2为焦点的椭圆，所以c ＝1，a ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝9－1＝8，所以动圆圆心C 的轨迹方程为x 29＋y 28＝1.(2)存在．设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为E (x 0，y 0)．假设存在点A (m ，0)，使得以AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形，则AE ⊥MN ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 29＋y 28＝1，得(8＋9k 2)x 2＋36kx －36＝0， x 1＋x 2＝－36k9k 2＋8，所以x 0＝－18k 9k 2＋8，y 0＝kx 0＋2＝169k 2＋8，因为AE ⊥MN ，所以k AE ＝－1k，即169k 2＋8－0－18k 9k 2＋8－m ＝－1k ，所以m ＝－2k 9k 2＋8＝－29k ＋8k ，当k >0时，9k ＋8k ≥29×8＝122，所以－212≤m <0；当k <0时，9k ＋8k ≤－122，所以0<m ≤212.因此，存在点A (m ，0)，使得以AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形，且实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－212，0∪⎝⎛⎦⎤0，212.存在性问题求解的思路及策略(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论．②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．[对点训练](2019·重庆市学业质量调研)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其左、右焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，过点F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于D ，E 两点，且|AF 1|，|F 1F 2|，|AF 2|构成等差数列．(1)求椭圆C 的方程；(2)记△GF 1D 的面积为S 1，△OED (O 为坐标原点)的面积为S 2.试问：是否存在直线AB ，使得S 1＝S 2？请说明理由．解：(1)因为|AF 1|，|F 1F 2|，|AF 2|构成等差数列， 所以2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝2|F 1F 2|＝8，所以a ＝4. 又c ＝2，所以b 2＝12， 所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在直线AB ，使得S 1＝S 2，显然直线AB 不能与x ，y 轴垂直．设AB 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ≠0)，将其代入x 216＋y 212＝1，整理得(4k 2＋3)x 2＋16k 2x ＋16k 2－48＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x D ，0)，所以x 1＋x 2＝－16k 23＋4k 2，所以点G 的横坐标为x 1＋x 22＝－8k 23＋4k 2，所以G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 23＋4k 2，6k 3＋4k 2. 因为DG ⊥AB ，所以6k 3＋4k 2－8k 23＋4k 2－x D ·k ＝－1，解得x D ＝－2k 23＋4k 2，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 23＋4k 2，0， 因为Rt △GDF 1和Rt △ODE 相似，所以若S 1＝S 2，则|GD |＝|OD |， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 23＋4k 2－－2k 23＋4k 22＋⎝⎛⎭⎫6k 3＋4k 22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k 23＋4k 2，整理得8k 2＋9＝0.因为方程8k 2＋9＝0无解，所以不存在直线AB ，使得S 1＝S 2.1．(2019·安徽省考试试题)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点为P ，右顶点为Q ，直线PQ 与圆x 2＋y 2＝45相切于点M ⎝⎛⎭⎫25，45. (1)求椭圆C 的方程；(2)若不经过点P 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且P A →·PB →＝0，求证：直线l 过定点． 解：(1)由已知得直线OM (O 为坐标原点)的斜率k OM ＝2，则直线PQ 的斜率k PQ ＝－1k OM＝－12， 所以直线PQ 的方程为y －45＝－12⎝⎛⎭⎫x －25，即x ＋2y ＝2.可求得P (0，1)，Q (2，0)，故a ＝2，b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：当直线l 的斜率不存在时，显然不满足条件． 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx ＋n (n ≠1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝kx ＋n，消去y 整理得(4k 2＋1)x 2＋8knx ＋4(n 2－1)＝0， Δ＝(8kn )2－4×4(4k 2＋1)(n 2－1)＝16(4k 2＋1－n 2)>0，得4k 2＋1>n 2.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8kn 4k 2＋1，x 1x 2＝4（n 2－1）4k 2＋1.②由P A →·PB →＝0，得(x 1，y 1－1)·(x 2，y 2－1)＝0，又y 1＝kx 1＋n ，y 2＝kx 2＋n ， 所以(k 2＋1)x 1x 2＋k (n －1)(x 1＋x 2)＋(n －1)2＝0，③由②③得n ＝1(舍)，或n ＝－35，满足①.此时l 的方程为y ＝kx －35，故直线l 过定点⎝⎛⎭⎫0，－35. 2．(2019·南昌市第一次模拟测试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，P 是C 上的一个动点，且△F 1PF 2面积的最大值为4 3.(1)求C 的方程；(2)设C 的左、右顶点分别为A ，B ，若直线P A ，PB 分别交直线x ＝2于M ，N 两点，过点F 1作以MN 为直径的圆的切线，证明：切线长为定值，并求该定值．解：(1)设P (x 0，y 0)，椭圆的半焦距为c . 因为S △F 1PF 2＝12|F 1F 2|·|y 0|≤12·2c ·b ＝bc ，所以bc ＝4 3.又e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝4，b ＝23，c ＝2， 所以C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)由(1)可知A (－4，0)，B (4，0)，F 1(－2，0)． 由题可知，x 0≠2，且x 0≠±4.设直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则直线P A 的方程为y ＝k 1(x ＋4)，令x ＝2得y ＝6k 1，故M (2，6k 1)．直线PB 的方程为y ＝k 2(x －4)，令x ＝2得y ＝－2k 2，故N (2，－2k 2)． 记以MN 为直径的圆为圆D ，则D (2，3k 1－k 2)．如图，过点F 1作圆D 的一条切线，切点为T ，连接F 1D ，DT ，则|F 1T |2＝|F 1D |2－|DT |2， 所以|F 1T |2＝16＋(3k 1－k 2)2－(3k 1＋k 2)2＝16－12k 1k 2， 又k 1＝y 0x 0＋4，k 2＝y 0x 0－4，所以k 1·k 2＝y 0x 0＋4·y 0x 0－4＝y 20x 20－16，由x 2016＋y 2012＝1，得y 20＝－34(x 20－16)， 所以k 1·k 2＝－34，则|F 1T |2＝16－12k 1k 2＝16－12×⎝⎛⎭⎫－34＝25， 所以|F 1T |＝5. 故切线长为定值5.3．(2019·广州市调研测试)已知动圆C 过定点F (1，0)，且与定直线x ＝－1相切． (1)求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；(2)过点M (－2，0)的任一条直线l 与轨迹E 交于不同的两点P ，Q ，试探究在x 轴上是否存在定点N (异于点M )，使得∠QNM ＋∠PNM ＝π？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)法一：依题意知，动圆圆心C 到定点F (1，0)的距离，与到定直线x ＝－1的距离相等，由抛物线的定义，可得动圆圆心C 的轨迹E 是以F (1，0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线，其中p ＝2.所以动圆圆心C 的轨迹E 的方程为y 2＝4x .法二：设动圆圆心C (x ，y )，依题意得（x －1）2＋y 2＝|x ＋1|，化简得y 2＝4x ，即为动圆圆心C 的轨迹E 的方程．(2)假设存在点N (x 0，0)满足题设条件．由∠QNM ＋∠PNM ＝π可知，直线PN 与QN 的斜率互为相反数，即k PN ＋k QN ＝0.①易知直线PQ 的斜率必存在且不为0，设直线PQ ：x ＝my －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xx ＝my －2，得y 2－4my＋8＝0.由Δ＝(－4m )2－4×8>0，得m >2或m <－ 2. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8. 由①得k PN ＋k QN ＝y 1x 1－x 0＋y 2x 2－x 0＝y 1（x 2－x 0）＋y 2（x 1－x 0）（x 1－x 0）（x 2－x 0）＝0，所以y 1(x 2－x 0)＋y 2(x 1－x 0)＝0，即y 1x 2＋y 2x 1－x 0(y 1＋y 2)＝0. 消去x 1，x 2，得14y 1y 22＋14y 2y 21－x 0(y 1＋y 2)＝0， 即14y 1y 2(y 1＋y 2)－x 0(y 1＋y 2)＝0. 因为y 1＋y 2≠0，所以x 0＝14y 1y 2＝2，所以存在点N (2，0)，使得∠QNM ＋∠PNM ＝π.4．(2019·山东日照校际联考)已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)上在第一象限内的点H (1，t )到焦点F 的距离为2.(1)若M ⎝⎛⎭⎫－14，0，过点M ，H 的直线与该抛物线相交于另一点N ，求|NF |的值； (2)设A ，B 是抛物线E 上分别位于x 轴两侧的两个动点，且OA →·OB →＝94(其中O 为坐标原点)．①求证直线AB 必过定点，并求出该定点Q 的坐标；②过点Q 作AB 的垂线与该抛物线交于G ，D 两点，求四边形AGBD 面积的最小值． 解：(1)因为点H (1，t )到焦点F 的距离为2，所以1＋p2＝2，解得p ＝2，故抛物线E 的方程为y 2＝4x .所以当x ＝1时，t ＝2，所以直线MH 的方程为y ＝85x ＋25，则联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝85x ＋25，y 2＝4x ，可得x N ＝116，所以|NF |＝x N ＋p 2＝116＋1＝1716.(2)①由题意知直线AB 的斜率不为0，设直线AB ：x ＝my ＋n ，A ⎝⎛⎭⎫y 214，y 1，B ⎝⎛⎭⎫y 224，y 2， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，y 2＝4x ，可得y 2－4my －4n ＝0，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4n .由OA →·OB →＝94得（y 1y 2）216＋y 1y 2＝94，解得y 1y 2＝－18或y 1y 2＝2(舍去)， 即－4n ＝－18，解得n ＝92，所以直线AB 必过定点Q ⎝⎛⎭⎫92，0.②设G ⎝⎛⎭⎫y 234，y 3，D ⎝⎛⎭⎫y 244，y 4.由题意知，m ≠0，由①得|AB |＝1＋m 2|y 2－y 1|＝1＋m 2·16m 2＋72，同理，|GD|＝1＋⎝⎛⎭⎫－1m2|y4－y3|＝1＋1m2·72＋16m2则四边形AGBD的面积S＝12|AB|·|GD|＝121＋m2·16m2＋72·1＋1m2·72＋16m2＝4⎣⎡⎦⎤2＋⎝⎛⎭⎫m2＋1m2·⎣⎡⎦⎤85＋18⎝⎛⎭⎫m2＋1m2.令m2＋1m2＝μ(μ≥2)，则S＝418μ2＋121μ＋170是关于μ的增函数，故当μ＝2时，S min＝88，即当且仅当m＝±1时，四边形AGBD的面积取到最小值88.。
2020届高考数学二轮复习圆锥曲线的综合问题学案Word版含解析
第3讲圆锥曲线的综合问题年份卷别考查内容及考题位置命题分析卷Ⅰ直线与椭圆的位置关系·T19解析几何是数形结合2018卷Ⅱ卷Ⅲ直线与抛物线的位置关系、弦长问题·T的典范，是高中数学19直线与椭圆的位置关系、向量的线性运算、的主要知识板块，是证明问题·T高考考查的重点知识2020172016卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系·T20点的轨迹方程、椭圆与向量的数量积的综合问题·T20直线与抛物线的位置关系、直线的方程、圆的方程·T20定值问题、轨迹方程求法、直线与椭圆的位置关系及范围问题·T20直线与椭圆的位置关系、面积问题、范围问题·T20证明问题、轨迹问题、直线与抛物线的位置关系·T20之一，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等．试题难度较大，多以压轴题出现．解答题的热点题型有：(1)直线与圆锥曲线的位置关系．(2)圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解．(3)轨迹方程及探索性问题的求解.定点问题(综合型)[典型例题]x y已知椭圆＋＝1(a>b>0)过点(0，1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等a b差数列．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于Q，P，与椭圆分别交于点M，N，各点均不重→→→→合且满足P M＝λMQ，PN＝λNQ.12(1)求椭圆的标准方程；(2)若λ＋λ＝－3，试证明：直线l过定点并求此定点．12【解】(1)设椭圆的焦距为2c，由题意知b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，2222又 a 2＝b 2＋c 2，所以 a 2＝3.所以椭圆的方程为 ＋y 2＝1.3(2)由题意设 P (0，m )，Q (x，0)，M (x ，y )，N (x ，y)，直线 l 的方程为 x ＝t (y －m )，由P M ＝λ MQ ，知(x ，y －m )＝λ (x －x ，－y )，所以 y －m ＝－y λ，由题意 y ≠0，11 11所以 λ ＝ －1.1 y1同理由P N ＝λ NQ 知 λ ＝ －1.2 2 y2因为 λ ＋λ ＝－3，所以 －1＋ －1＝－3，1 2 y y 1 2所以 y y ＋m (y ＋y )＝0，①x 2＋3y 2＝3，联立x ＝t （y －m ），得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0，所以由题意知 Δ＝4m 2t 4－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)>0，②2mt 2 t m 2－3且有 y ＋y ＝ ，y y ＝ ，③ t 2＋3 t 2＋3③代入①得 t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0，所以(mt )2＝1，由题意 mt <0，所以 mt ＝－1，满足②，故直线 l 的方程为 x ＝ty ＋1，过定点(1，0)，即 Q 为定点．圆锥曲线中定点问题的 2 种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与 参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．2x 0 1 1 2 2 → →1 1 1 1 0 1 1 m→ → mm m1 2 1 2 21 2 1 2[提醒] (1)直线过定点，常令参数的系数等于 0 即可．如直线 y ＝kx ＋b ，若 b 为常量，b b 则直线恒过点(0，b )；若 为常量，则直线恒过点 － ，0 . k(2) 一般曲线过定点，把曲线方程变为f 1（x ，y ）＝0，f 2（x ，y ）＝0，f (x ， y ) ＋ λf (x ， y ) ＝ 0(λ 为参数 )．解方程组12[对点训练]已知抛物线 C ：y ＝2px (p >0)的焦点 F (1，0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线 C 上异于 O 的两点．(1)求抛物线 C 的方程；1(2)若直线 OA ，OB 的斜率之积为－ ，求证：直线 AB 过 x 轴上一定点．2解：(1)因为抛物线 y 2＝2px(p >0)的焦点坐标为(1，0)，所以 ＝1，即 p ＝2.所以抛物线 C 的方程为 y 2＝4x .(2)证明：①当直线 AB 的斜率不存在时，4 4.因为直线 OA ，OB 的斜率之积为－ ，2－t所以 ＝－ ，化简得 t 2＝32.t t 2 4 4所以 A (8，t )，B (8，－t)，此时直线 AB 的方程为 x ＝8. ②当直线 AB 的斜率存在时，设其方程为 y ＝kx ＋b ，A (x ，y )，B(x ，y )， y 2＝4x ，联立方程组y ＝kx ＋b ，消去 x 得 ky 2－4y ＋4b ＝0.由根与系数的关系得 y y ＝ ，A B k因为直线 OA ，OB 的斜率之积为－ ，2＝－ ，即 x x ＋2y y ＝0.k 即得定点坐标．2p2 t t 2 2 设 A ，t ，B ，－t 1t 1 2 2 A A B B4b 1所以 A By y 1即 A B ＋2y y ＝0，4 4 A B解得 y y ＝0(舍去)或 y y ＝－32.A BA B所以 y y ＝ ＝－32，即 b ＝－8k ，A B k所以 y ＝kx －8k ，即 y ＝k (x －8)．综合①②可知，直线 AB 过定点(8，0)．定值问题(综合型)[典型例题]x y (2018· 沈阳教学质量监测(一))设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 ＋ ＝1 上，过9 4→ →M 作 x 轴的垂线，垂足为 N ，点 P 满足N P ＝ 2NM .(1)求点 P 的轨迹 E 的方程；(2)过 F (1，0)的直线 l 与点 P 的轨迹交于 A ，B 两点，过 F (1，0)作与 l 垂直的直线 l1121 1与点 P 的轨迹交于 C ，D 两点，求证： ＋ 为定值．|AB | |CD |【解】 (1)设 P (x ，y )，易知 N (x ，0)，NP ＝(0，y )，→ 1 → y y 2 2 2x 2 xy 又点 M 在椭圆上，所以 ＋ ＝1，即 ＋ ＝1.9 4 9 8所以点 P 的轨迹 E 的方程为 ＋ ＝1.9 8(2)证明：当直线 l 与 x 轴重合时，|AB |＝6，|CD |＝ 3，所以 ＋ ＝ .|AB | |CD | 48当直线 l 与 x 轴垂直时，|AB |＝ ，|CD |＝6，1 3所以 ＋ ＝ .|AB | |CD | 48当直线 l 与 x 轴不垂直也不重合时，可设直线 l 的方程为 y ＝k (x －1)(k ≠0)，则直线 l 112的方程为 y ＝－ k(x －1)，2 2y y 4b2 2 →又N M ＝ NP ＝ 0， ，所以 M x ， ，y 2 2 2 2 2 2 xy 1 161 1 17161 1 171设 A (x ，y )，B (x，y )，C (x ，y )，D (x ，y)，y ＝k （x －1），联立直线 l 与曲线 E 的方程2 2＋ ＝1，得(8＋9k 2)x 2－18k 2x ＋9k 2－72＝0，可得2）2－4（8＋9k 2）（9k 2－72）＝2 304（k 2＋1）>0，18k2 x ＋x ＝，8＋9kx x 1 29k 2－72 ＝ ， 8＋9k所以|AB |＝1＋k 248（1＋k 2）（x ＋x ）2－4x x ＝ ， 1 2 1 2y ＝－ （x －1），联立直线 l 与曲线 E 的方程得＋ ＝1，9 89 8＋ 2 x －18 92 x ＋ 2－72＝0， 同理可得|CD |＝1＋k48（1＋k 2）（x ＋x ）2－4x x ＝ .9＋8k1 1 8＋9k 9＋8k17所以 ＋ ＝ ＋ ＝ .|AB | |CD | 48（k 2＋1） 48（k 2＋1） 48综上可得 ＋ 为定值． |AB | |CD |求定值问题常见的 2 种方法(1)从特殊入手，求出其值，再证明这个值与变量无关．这符合一般与特殊的思维辩证 关系．简称为：特殊探路，一般论证．(2)直接推理，计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．[对点训练]x y 3已知椭圆 C ： ＋ ＝1，A 为椭圆 C 上的一点，其坐标为 1， ，E ，F 是椭圆 C 上的4 3两动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数．求证：直线 EF 的斜率为定值，并 求出该定值．3解：设直线 AE 的方程为 y ＝k (x －1)＋ (k ≠0)，1 1 2 2 3 3 44x y 1 98 Δ＝（－18k1 2 228＋9k 21 k2 x y 2 2 2 k k k 12343 42 221 1 222 2＋ ＝1， 4 3 联立消去 y ， y ＝k （x －1）＋得(4k 2＋3)x 2＋(12k －8k 222 －12＝0，24k则 x ＝＝，①（4k 2＋3）x 4k 2＋3A又直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，4k 2＋12k －3故以上 k 用－k 代替得 x ＝ ，②4k 2＋3所以 k ＝ EFy －yF Ex －xFE＝－k （x －1）＋ － F 2x －xFEk （x －1）＋＝－k （x ＋x ）＋2kF E x －xFE把①②两式代入上式，得 k ＝ ，为定值．EF 2最值和范围问题(综合型)[典型例题]命题角度一 构建目标不等式求最值或范围方法一：利用已知条件中明显的不等关系构建目标不等式x y已知圆 x ＋y ＝1 过椭圆 ＋ ＝1(a >b >0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点， a bx y → →直线 l ：y ＝kx ＋m 与圆 x ＋y ＝1 相切，与椭圆 ＋ ＝1 相交于 A ，B 两点．记 λ＝OA ·OB ，a b2 3 且 ≤λ≤ .3 4(1)求椭圆的方程；(2)求 k 的取值范围．【解】 (1)由题意知 2c ＝2，即 c ＝1.2 2 x y323 －k )x ＋43 2 －k －12 42－12k －3EF3 3 2 E .12 22 2222 22 222故所求椭圆方程为＋y2＝1.2y＝kx＋m，(2)由直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，得m2＝k2＋1.由2＋y2＝1得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.设A(x，y11－4km2m2－2)，B(x，y)，则x＋x＝，x x＝，λ＝OA OB＝1＋2k1＋2kx x＋y y＝(1＋k2 1212)x x12＋km(x＋x12k2＋1)＋m2＝.1＋2k由231≤λ≤≤k342≤1，即k的取值范围是－1，－∪，1.2223先通过直线与圆相切得到k，m的关系，然后利用已知条件中的不等关系≤λ≤，结34合向量的数量积及根与系数的关系构造关于k，m的不等式，再由k，m的关系，消元，得到关于k的不等式，通过解不等式达到目的．方法二：利用题目中隐藏的已知参数的范围构建不等式x y已知A是椭圆E：＋＝1(t>3)的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两t 3点，点N在E上，MA⊥NA.(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．【解】(1)由|AM|＝|AN|，可得M，N关于x 轴对称，由MA⊥NA，可得直线AM的斜率k为1.因为t＝4，所以A(－2，0)，所以直线AM的方程为y＝x＋2，代入椭圆方程E：4＋＝1，可得7x2＋16x＋4＝0，解得x＝－2或x＝－，所以M－，，N－，－，3777771242144××.2749(2)由题意知t>3，k>0，A(－t，0)，将直线AM的方程y＝k(x＋t)代入＋＝1得(3＋tk2)x2＋2ttk2x＋t k2－3t＝0.设M(x，y11)，则x1(－t)＝t2k2－3t t（3－tk2），即x＝，3＋tk3＋tk故|AM|＝|x＋t|161＋k2＝t（1＋k2）1.由题设知，直线AN的方程为y＝－(x＋t)，故同3＋tk2xx2→→221212222，得222222x 2y2212212则△AMN的面积为－＋2＝722x yt 32122k2理可得|AN |＝6k t （1＋k 2） .由 2|AM |＝|AN |得3k 2＋t＝ ，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)．当 k 3＋tk 2 3k 2＋t＝ 33k （2k －1）2时上式不成立，因此 t ＝ .k 3－23k （2k －1） k 3－2k 2＋k －2 （k －2）（k 2＋1） k －2由 t >3，得 >3，所以 ＝ <0，即 <0.k 3－2 k 3－2 k 3－2 k 3－2k －2>0， k －2<0，3 3由此得 或 解得 2<k <2.因此 k 的取值范围是( 2，2)．k 3－2<0 k 3－2>0，(1)利用题目中隐藏的已知参数的范围求新参数的范围问题的核心是建立两个参数之间的等量关系，将新参数的范围问题转化为已知参数的范围问题．(2)本题通过已知条件 2|AM |＝|AN |得到新参数 k 与已知参数 t 之间的关系，然后利用题目中的已知条件 t >3 建立关于 k 的不等式．方法三：利用判别式构建目标不等式xy 已知点 F 为椭圆 E ： ＋ ＝1(a >b >0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构a bx y成一个等边三角形，直线 ＋ ＝1 与椭圆 E 有且仅有一个交点 M .4 2(1)求椭圆 E 的方程；x y(2)设直线 ＋ ＝1 与 y 轴交于点 P ，过点 P 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A ，B ，4 2若 λ|PM | ＝|PA |·|PB |，求实数 λ 的取值范围．【解】 (1)由题意，得 a ＝2c ，b ＝ 3c ，则椭圆 E 为 2＋ 2＝1.＋ ＝c 2， 4 3 由 消去 y ，得 x 2－2x ＋4－3c 2＝0.＋ ＝1 4 2因为直线 ＋ ＝1 与椭圆 E 有且仅有一个交点 M ，4 2所以 Δ＝4－4(4－3c 2)＝0，解得 c 2＝1，所以椭圆 E 的方程为 ＋ ＝1.4 32 k2 2 2 22 2 2 x y 4c 3c 2 2x y x yx y2 2x y3 (2)由(1)得 M 1，，因为直线 ＋ ＝1 与 y 轴交于 P(0，2)，4 2所以|PM |2＝ ，4①当直线 l 与 x 轴垂直时，|PA | |PB |＝(2＋ 3)×(2－ 3)＝1，所以 λ|PM |2＝|PA |·|PB | λ＝ ，5②当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y ＝kx ＋2， A (x ，y )，B (x ，y )，y ＝kx ＋2，由消去 y ，3x 2＋4y －12＝0整理得(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0，则 x x ＝ ，且 Δ＝48(4k 2－1)>0，k 2 3＋4k1> . 4所以|PA |·|PB |＝(1＋k 2)x x 1 2＝(1＋k 2 )·4 3＋4k＝1＋ ＝ 3＋4kλ ，1 所以 λ＝ 1＋ 5 3＋4k ，因为 k 2> ，所以 <λ<1. 4 5综上所述，λ的取值范围是 ，1 .5此题抓住直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A ，B 这一条件，利用判别式 Δ>0 构建关于 k的不等式，从而求得 λ 的取值范围．方法四：利用点在曲线内(外)的充要条件构建不等式设抛物线过定点 A (－1，0)，且以直线 x ＝1 为准线．(1)求抛物线顶点的轨迹 C 的方程；1(2)若直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 M ，N ，且线段 MN 恰被直线 x ＝－ 平分，设弦22 x y541 12 22 4 1 2 2 2 15 424 2 1 4 4MN 的垂直平分线的方程为 y ＝kx ＋m ，试求 m 的取值范围．【解】 (1)设抛物线的顶点为 G (x ，y )，则其焦点为 F (2x －1，y )，由题意可知点 A 到直线 x ＝1 的距离为 2，则|A F |＝2，所以4x 2＋y 2＝2，所以轨迹 C 的方程为 x 2＋ ＝1(x ≠1)．4(2)设弦 MN 的中点为 P－ ，y 2 0，M(x ，y )，N (x ，y)，则由点 M ，N 为椭圆 C 上的点，可知 4x 2 ＋y 2 ＝4，4x 2 ＋y 2 ＝4，两式相减，MMNN得 4(x －x )(x ＋x M N M N)＋(y －y )(y ＋y)＝0，①将 x ＋x ＝2×－1＝－1，y ＋y ＝2y ，y M －y N ＝－1，2 x －x kM N代入①式得 k ＝－ 0.2又点 P － ，y 2以 m ＝y ＋ k ＝ y .在弦 MN 的垂直平分线上，所以 y ＝－ k ＋m ，所由点 P － ，y 2在线段 BB ′上(B ′(x ′ ，y ′ )，B (x ，y )为直线 x ＝－与椭圆的交点，如图所示)，所以 y ′ <y <y ，即－ 3<y B 0 B 03 3 3 3< 3.所以－ <m <，且 m ≠0.故 m 的取值范围为 －，0 ∪ 0，.利用点在曲线内(外)的充要条件构建目标不等式的核心是抓住目标参数和某点的关系，根据点与圆锥曲线的位置关系构建目标不等式．命题角度二 构建函数模型求最值或范围若题目中的条件和要求的结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，然后 根据其结构特征，构建函数模型求最值，一般情况下，可以构建二次型函数、双曲线型函数、 多项式型函数等．方法一：构建二次函数模型x y 3已知椭圆 C ： ＋ ＝1(a >b >0)的离心率为 ，F ，F 分别为椭圆 C 的左、右焦 ab 3 1 2点，过 F 的直线 l 与 C 相交于 A ，B 两点，△F △ AB 的周长为 4 3.21(1)求椭圆 C 的方程；→ → → →2y1 M M N NM N M N M N M N 0 y11 2 0 1 3 2 4 0 0112 B B B B 4 43 3 3 34 4 222 210【解】 (1)由离心率 e ＝，可知 ＝ ，由△F △ 3 a 3AB 的周长为 4 3，得 4a ＝4 3，所以 a ＝ 3，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝2，故椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1.3 22 3 2 3(2)当直线 l 的斜率不存在，即λ＝－1 时，设A 在 x 轴上方，则A 1， 1，－又 T (2，0)，所以|TA ＋TB |＝－1， ＋ －1，－ ＝2.3 3当直线 l 的斜率存在，即 λ∈[－3，－1)时，设直线 l 的方程为 y ＝k (x －1)．y ＝kx －k ， 由2 2 得(2＋3k 2)x 2－6k 2 ＋ ＝1 x ＋3k 2－6＝0，设 A (x ，y )，B (x ，y)，显然 y ≠0，y26k 23k 2－6≠0，则由根与系数的关系可得 x ＋x ＝ ，x x ＝ ，y ＋y ＝k (x ＋x 1 2 1 2 1 2 1 2－4k )－2k ＝ ， 2＋3ky y ＝k 2[x x －(x ＋x 1 2 1 2 1 2－4k 2 )＋1]＝ . 2＋3kA B (1，0)，所以 ＝λ，λ<0.2－4k2易知 λ ＋ ＋ 2 ＝ ＝ ＝ ，由 λ∈[ － 3 ，－ 1) ，得 λ ＋ ∈ λ y 1y 2 －4k 2 2＋3k λ2＋3k－ ，－2 ，3即 λ＋ ＋2∈ － ，0 ，3故－ 3－4 ≤ <0，解得 k ≥ . 2＋3k→ → )，TB)，所以T A ＋TB ＝(x ＋x －4，y ＋y 1212)＝6k 2＋8 －4k － ， 2＋3k 2＋3k，113 c 3 1 2 2 xy ，B ，3 3 → → 2 3 2 3x y 3 21 12 2 1 2＋3k 2＋3k 2 2 22因为F ＝λF ，F → → y 1y 2 2 2 21 （y＋y ）2 2＋3k －4 1 1 2 2 210 1 4 λ 4 12 3 2因为T A ＝(x －2，y ＝(x －2，y1122 → → 2 2故 | TA ＋ TB |6k 2＋8＝－2＋3k2＋－4k2＋3k2＝36k 4＋112k 2＋64（2＋3k 2）2＝4（2＋3k 2）2＋ （2＋3k 2）＋（2＋3k 2）264 1 16 2＝4＋ ＋ .3 2＋3k 3 2＋3k1 1 1 1 ≥ ≤ 2＋3k 2＋3k ，即 t ∈ 0， ，所以|TA ＋TB |2＝4＋ 643t ＋16 16 52 316 t (t ＋2) 4，→ → 2 237|∈ 2， .→ → 2 237|的取值范围为 2， .本题主要考查椭圆的定义、向量的坐标表示、几何问题代数化等．其中难点是代数化后，目标函数比较复杂，若直接计算则相当麻烦，但是通过分析发现，目标函数中有相同的式子1 1，此时可把式子 看成一个整体，用一个变量去代替它，从而将函数转化成一个 2＋3k 2＋3k 简单的二次函数．b方法二：构建双曲线型函数y ＝a ＋ (b ≠0) xx y已知椭圆 C ： ＋ ＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为 F ，a b 1F ，以 F F 为直径的圆与直线 ax ＋2by － 3ab ＝0 相切．21 2(1)求椭圆 C 的离心率 e ；→ →(2)如图，过 F 作直线 l 与椭圆分别交于 P ，Q 两点，若△PQF 的周长为 4 2，求F P ·F Q1 2 2 2 的最大值．【解】 (1)由题意知|－ 3ab | a 2＋4b 2＝c ，则 3a 2b 2＝c 2(a 2＋4b 2)，即 3a 2(a 2－c 2)＝c 2[a 2＋4(a 2－c 2)]，所以 a 2＝2c 2，所以 e ＝22.(2)因为△PQF的周长为 4 2，所以 4a ＝4 2，即 a ＝ 2.12→ → 22264 16 33122令 t ＝ ，因为 k 2 ，所以 0<3 3 2 2 1 3 → → 2＝ 2－ ∈ ，27 3 3 3所以|TA ＋TB9综上，|TA ＋TB9222 2 222由(1)知 b 2＝c 2＝1，故椭圆方程为 ＋y 2＝1，2且焦点 F1(－1，0)，F (1，0)．①若直线 l 的斜率不存在，则可得 l ⊥x 轴，方程为 x ＝－1，P －1，，Q －1，－ ，2 2→ 2 → 2 → → 7 F P Q Q 2 2 2 2 2 2 2.y ＝k （x ＋1），②若直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y ＝k (x ＋1)，由 消去 y ，得x 2＋2y 2＝2(2k 2＋1)x 2＋4k 2 x ＋2k 2－2＝0.设 P (x ，y )，Q (x ，y )，4k 22k 2－2则 x ＋x ＝－ ，x x ＝ .2k 2＋1 2k 2＋1P F Q ＝(x －1，y )·(x －1，y 2 2 1 1 2 2)＝(x －1)·(x －1)＋y y ＝(k 2＋1)x x＋(k 2－1)(x ＋ 12k 2－24kx )＋k 2＋1＝(k 2＋1) ＋(k 2－1)2k 2＋17k 2－1 7 9＋k 2＋1＝ ＝ － ，2k 2＋1 2 2（2k 2＋1）2→→ 7 9 →→ 72 2 2 t 222结合①②，得F P F Q ∈ －1， ，所以F P F Q 的最大值是 .2 2 2 2 2→ →本题的求解思路是先利用向量的坐标运算及根与系数的关系得到F P ·F Q 的目标函数，2 2 b然后分离参数，构建 y ＝a ＋ (b ≠0)型函数，再利用函数的单调性求得取值范围．注意当目x标函数是分式函数时，通常可以通过分离参数的方法，将目标函数转化成双曲线型函数处理．b方法三：构建双曲线型函数 y ＝ax ＋ (ab ≠0)xx y已知椭圆 C ： ＋ ＝1(a >b >0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形， ab直线 3x ＋4y ＋6＝0 与圆 x ＋(y －b )＝a 2相切．(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知过椭圆 C 的左顶点 A 的两条直线 l ，l 分别交椭圆 C 于 M ，N 两点，且 l ⊥l ，1212求证：直线 MN 过定点，并求出定点坐标；(3)在(2)的条件下 △求AMN 面积的最大值．2x 222＝ －2， ，F ＝ －2，－ ，故F ＝P F 1 1 2 2 121 2所以F→ →1 2 1 2 1 2 2－ 2＋1 2k 2F ∈ －1， 令 t ＝2(2k ＋1)，则F F ＝ －P Q (t >2)，所以F P Q . → → 7 → → 72 222 2 2213【解】a ＝2b ，a ＝2， x 2 (1)由题意，得 解得 故椭圆 C 的方程为 ＋y ＝1.＝a ，b ＝1，(2)由题意得直线 l ，l 的斜率均存在且均不为 0，又 A (－2，0)，故可设 l ：x ＝my －2，l ：x ＝－ y －2.x ＝my －2，由得(m 2＋4)y 2－4my ＝0，所以Mx 2＋4y 2－4＝0，2－8m4m同理 N ，－.4m 2＋14m 2＋12m 2－8 4m，.m 2＋4 m 2＋4①当 m ≠±1 时，k ＝ ，l ：y ＝4（m 2－1） 4（m 2－1）－ ，0 . 565，此时直线 MN 过定点②当 m ＝±1 时，l ：x ＝－ ，此时直线 MN 过点 － ，0 .MN 5 5综上，直线 MN 恒过定点 － ，0 . 5(3) 设 M (x ， y ) ， N (x ， y ) ， 则 S △ AMN ＝1 42 × 5 |y MN 4m 4m ＋5＝8m ＋m8m＋m＝ ＝4m ＋m ＋9令 t ＝m ＋，则 S ＝ △AMN，且 t ≥2，当且仅当 m ＝±1 时取等号． 9 4t ＋又 y ＝4t ＋ 在[2，＋∞)上单调递增，所以 S≤ ，当且仅当 m ＝±1 时取等号．故(St25△ AMN16 max25.本题的难点是第 (3)问中得到的目标函数很复杂，需要进行适当的变形处理，经分析，先将目标函数分子分母同时除以 m2，然后同时除以 m ＋，再进行换元就可以看出其分母m9为双曲线型函数结构 y ＝4t ＋ ，若利用基本不等式求最值，一定要注意是否满足“一正二定t2|4b ＋6| 4 5 1 21m 1 225m5mMNMNx ＋6666 M M N N－ y | 2＋4 4m ＋1 ＝ m 2 2 34 4m ＋17m 2＋41 121m 8 t9 16 △ A MN) ＝114三相等”，显然此时不满足“相等”这一条件，故需利用函数单调性求最值．[对点训练]x y 1．(2018· 豫南九校联考)设椭圆 ＋ ＝1(a > 3)的右焦点为 F ，右顶点为 A .已知|OA |－a 3 |OF |＝1，其中 O 为原点，e 为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程及离心率 e 的值；(2)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B (B 不在 x 轴上)，垂直于 l 的直线与 l 交于点 M ，与 y 轴交于点 H .若 BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线 l 的斜率的取值范围．解：(1)由题意可知|OF |＝c ＝a 2－3，又|OA |－|OF |＝1，所以 a －a 2－3＝1，解得 a＝2，所以椭圆的方程为 ＋ ＝1，离心率 e ＝ ＝ .4 3 a 2(2)设 M (x ，y )，易知 A (2，0)， △在MAO 中，∠MOA ≤∠MAO MA ≤MO ，即(x －2)2 ＋y 2 ≤x 2 ＋y 2 ，化简得 x ≥1.MMMM设直线 l 的斜率为 k (k ≠0)，则直线 l 的方程为 y ＝k (x －2)．设B (x ，y )，由＋ ＝1， y ＝k （x －2）消去 y ，整理得(4k ＋3)x －16k 2x ＋16k 2－12＝0，8k 2－6解得 x ＝2 或 x ＝ .4k 2＋38k 2－6 －12k由题意得 x ＝ ，从而 y ＝ .4k 2＋3 4k 2＋3由(1)知 F (1，0)，设 H (0，y H)，→ → 9－4k 12k)，BF4k 2＋3 4k 2＋3.→ → 4k 2－9 12ky9－4k 4k 2＋3 4k 2＋3 12k1 9－4k所以直线 MH 的方程为 y ＝－ x ＋ .y ＝k （x －2）， 20k由 2消去 y ，得 x ＝ .12（k 2＋1）k 12k2 22 2 2 x y c 1M M M B B2 2x y 4 32 2 B B2＝ ， 则F H ＝(－1，yH2由 BF ⊥HF ，得B F FH ＝0，即 ＋H ＝0，解得 y ＝，H2k 12k 2＋99－4k1 M y ＝－ x ＋1520k 2＋9由 x ≥1，得 ≥1，解得 k ≤－ 12（k 2＋1）或 k ≥ ，所以直线 l 的斜率的取值范围 4 4为 －∞，－6 6 4 42．如图，已知抛物线 x11 3 9 ＝y ，点 A － ， ，B ， ，抛物线上的点 P (x ，y ) 13－ <x < ，过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q .(1)求直线 AP 的斜率的取值范围；(2)求|PA |·|PQ |的最大值．x 2－134 1解：(1)由题可知 P (x ，x )，－ <x < ，所以直线 AP 的斜率 k ＝ ＝x － ∈(－1，1)，x ＋故直线 AP 的斜率的取值范围是(－1，1)．(2)由(1)知 P (x ，x213 )，－<x <，所以P A ＝ － －x ， －x 2 2 4.①当直线 AP 的斜率为 0 时，P， ，Q ， ，|PA | |PQ |＝1.2 42 4－x 21 1 1 3 9 4②当直线 AP 的斜率不为 0 时，设直线 l ：y ＝kx ＋ k ＋ ，l ：y ＝－ x ＋ ＋ ，由－ －x2＝k ，整理得 x ＝k ＋ ，23＋4k －k联立直线 AP 、直线 BQ 的方程可得 Q， 2k 2＋29k 2＋8k ＋14k 2＋4，故P Q ＝1＋k －k 2－k 3 －k 4－k 3＋k 2＋k ，1＋k 1＋k，又P A ＝(－1－k ，－k 2－k )，故 |PA |·|PQ | ＝ AP PQ ＝（1＋k ）3（1－k ） 1＋k ＋k 2（1＋k ）3（1－k ） 1＋k＝ (1 ＋ k )3 (1 － k )( －1<k <1，且 k ≠0)．令 f (x )＝(1＋x )3(1－x )，－1<x <1，且 x ≠0，则 f ′(x )＝(1＋x )21(2－4x )＝－2(1＋x ) (2x －1)，由于当 x ∈(－1，0)和 x ∈ 0，时 f ′(x )>0，M 6 6 ∪ ，＋∞ .22 4 2422 122 2 1 22 2 2 →111 13 112 4k2k 41APBQ1 2→22→→ → 2 22216f (x )单调递增，当 x ∈ ，1 时 f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以 f (x )＝f max＝ ，2 16故|PA |·|PQ |的最大值为 16 .综上，|PA| |PQ |的最大值为 .16存在性问题(综合型)[典型例题]命题角度一 点、线的存在性问题x y (2018· 贵阳模拟)如图，椭圆 C ： ＋ ＝1(a >b >0)的左顶点a b与上顶点分别为 A ，B ，右焦点为 F ，点 P 在椭圆 C 上，且 PF ⊥x 轴，若 AB ∥OP ，且|AB |＝2 3.(1)求椭圆 C 的方程；(2)Q 是椭圆 C 上不同于长轴端点的任意一点，在 x 轴上是否存在一点 D ，使得直线 QA 与QD 的斜率乘积恒为定值？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，说明理由．【解】 (1)由题意得 A (－a ，0)，B (0，b )，可设 P (c ，t )(t >0)，c t b b 2＋ 2＝1，解得 t ＝ c ，，b2由 AB ∥OP 得 ＝ ，即 b ＝c ，a c所以 a 2＝b 2＋c 2＝2b 2，①又 AB ＝2 3，所以 a 2＋b 2＝12，②由①②得 a 2＝8，b 2＝4，所以椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1.8 4(2)假设存在 D (m ，0)使得直线 QA 与 QD 的斜率乘积恒为定值，设 Q (x ，y )(y≠0)，则x y 08 4＝1，③设 k ×k QAQD＝k (常数)，因为 A (－2 2，0)，y y × x ＋2 2 x －m 0 012 1 2727272 22 2 2 2 2 2 所以 ，即 P a a b ab a2 2x y 0 0 02 2＋ 0 所以 0＝k ，④1 2.，⑤由③得 y 2＝4 1－ 0将⑤代入④，得8－x . k ＝2[x 2＋（2 2－m ）x －2 2m ]0 022－m ＝0， 所以所以 m ＝2 2，k ＝－ ，所以存在点 D (2 2，0)，使得 k ×k2 QA QD22m ＝8，命题角度二 字母参数值的存在性问题已知动圆 C 与圆 x ＋y ＋2x ＝0 外切，与圆 x ＋y －2x －24＝0 内切．＝－(1)试求动圆圆心 C 的轨迹方程．(2)过定点 P (0，2)且斜率为 k (k ≠0)的直线 l 与(1)中轨迹交于不同的两点 M ，N ，试判断 在 x 轴上是否存在点 A (m ，0)，使得以 AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出 实数 m 的范围；若不存在，请说明理由．【解】 (1)由 x 2＋y 2＋2x ＝0 得(x ＋1)2＋y 2＝1，由 x 2＋y 2－2x －24＝0 得(x －1)2＋y 2＝25，设动圆 C 的半径为 R ，两圆的圆心分别为 F (－1，0)，F (1，0)，则|CF |＝R ＋1，|CF |＝5－R ，所以|CF 1|＋|CF |＝6，根据椭圆的定义可知，点 C 的轨迹为以 F，F 为焦点的椭12圆，所以 c ＝1，a ＝3，所以 b 2＝a 2－c 2＝9－1＝8，所以动圆圆心 C 的轨迹方程为 ＋ ＝9 81.(2)存在．设直线 l 的方程为 y ＝kx ＋2，设 M (x ，y )，N (x ，y)，MN 的中点为 E (x ，y)．假设存在点 A (m ，0)，使得以 AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形，则 AE ⊥MN ，y ＝kx ＋2，由2 2 得(8＋9k 2 ＋ ＝1，)x 2＋36kx －36＝0，－18kx ＋x ＝－ ，所以 x ＝ ， 9k 2＋8 9k 2＋8y ＝kx ＋2＝ ， 0 0因为 AE ⊥MN ，所以 k ＝－ ，AE k2x 0 8 212 2 2 2 1 2 12 22 2 xy 1 1 2 2 0 0x y 98 36k1 2 0162＋89k 1即－09k 2＋8 －2k －2 ＝－ ，所以 m ＝ ＝ ， －18k k 9k 2＋8 8－m k9k 2＋882≥2 9×8＝12 2，所以－ ≤m <0； 8 2k 12因此，存在点 A(m ，0)，使得以 AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形，且实数 m 的取值范围为 － ，0 ∪ 0，.存在性问题求解的思路及策略(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确， 则不存在．(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论．②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．[对点训练]1 1已知圆 C ：(x －1) ＋y ＝ ，一动圆与直线 x ＝－ 相切且与圆 C 外切．4 2 (1)求动圆圆心 P 的轨迹 T 的方程．(2)若经过定点 Q (6，0)的直线 l 与曲线 T 交于 A ，B 两点，M 是线段 AB 的中点，过 M 作 x 轴的平行线与曲线 T 相交于点 N ，试问是否存在直线 l ，使得 NA ⊥NB ，若存在，求出 直线 l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设 P (x ，y )，分析可知：动圆的圆心不能在 y 轴的左侧，故 x ≥0，因为动圆与直线 x ＝－ 相切，且与圆 C 外切，2所以|PC |－x ＋ ＝ ，所以|PC |＝x ＋1，所以 （x －1）2＋y 2＝x ＋1， 化简可得 y 2＝4x .(2)设 A (x ，y)，B (x ，y )，由题意可知，当直线 l 与 y 轴垂直时，显然不符合题意，故x ＝my ＋6，可设直线 l 的方程为 x ＝my ＋6，联立 并消去 x ，可得 y 2－4my －24＝0，y 2＝4x161 9k ＋当 k >0 时，9k ＋ k 12 当 k <0 时，9k ＋ ≤－12 2，所以 0<m ≤ .22 12 12 2 2 11 12 21 12 2显然 Δ＝16m 2＋96>0，y 1＋y 2＝4m ，由根与系数的关系可知 ①y 1y 2＝－24，又因为 x ＋x ＝(my ＋6)＋(my ＋6)，1212所以 x ＋x ＝4m 2＋12，②12因为 x x ＝ 1 2，所以 x x ＝36，③ 1 2 4 4 1 2假设存在 N (x ，y 0)，使得NA NB ＝0，y ＋y 由题意可知 y ＝ ，所以 y ＝2m ，④0 2 0由 N 点在抛物线上可知 x ＝ 0 0 4，即 x ＝m 2，⑤→ → )，NB )，若N A NB ＝0，则 x x －x (x ＋x 1 2 0 1 2)＋x 2＋y y －y (y ＋y )＋y 2＝0，由①②③④⑤代入上式化简可得：3m 4＋16m 2－12＝0，即(m 2＋6)(3m 2－2)＝0，所以 m 2＝ ，故 m ＝± ，3 3所以存在直线 3x ＋ 6y －18＝0 或 3x － 6y －18＝0，使得 NA ⊥NB .x 1．(2018· 高考全国卷Ⅰ)设椭圆 C ： ＋y ＝1 的右焦点为 F ，过 F 的直线 l 与 C 交于 A ，2B 两点，点 M 的坐标为(2，0)．(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；(2)设 O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB .解：(1)由已知得 F (1，0)，l 的方程为 x ＝1.由已知可得，点 A 的坐标为 或 2 2所以 AM 的方程为 y ＝－2 2x ＋ 2或 y ＝ x － 2.(2)证明：当 l 与 x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°.当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，所以∠OMA ＝∠OMB .2 2 y y → →12 2y 又N A ＝(x －x ，y －y ＝(x －x ，y －y1122→ →0 1 2 0 1 2 0 2 622 2 21，－ . 1， 2 2当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x ，y 11)，B (x ，y)，则 x 1< 2，x < 2，直线 MA ，MB 的斜率之和为 k ＋k ＝ 1 ＋ 2 .x －2 x －212由 y ＝kx －k ，y ＝kx －k 得1122k ＋k ＝ MAMB2kx x －3k （x ＋x ）＋4k 1 2 1 2（x －2）（x －2） 12将 y ＝k (x －1)代入 ＋y 2＝1 得2(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.4k 22k 2－2所以，x ＋x ＝ ，x x ＝ . 2k 2＋1 2k 2＋14k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k 则 2kx x －3k (x ＋x )＋4k ＝ ＝0. 1 2从而 k ＋k ＝0，故 MA ，MB 的倾斜角互补．所以∠OMA ＝∠OMB .MAMB综上，∠OMA ＝∠OMB .x y 2．(2018· 福州模拟)已知 F 为椭圆 C ： ＋ ＝1 的右焦点，M 为 C 上的任意一点．4 3(1)求|MF |的取值范围；3(2)P ，N 是 C 上异于 M 的两点，若直线 PM 与直线 PN 的斜率之积为－ ，证明：M ，N4 两点的横坐标之和为常数．解：(1)依题意得 a ＝2，b ＝ 3，所以 c ＝a 2－b 2＝1，所以椭圆 C 的右焦点 F 的坐标为(1，0)，设椭圆 C 上的任意一点 M 的坐标为(x ，y )，则 M ＋ M ＝1，4 3所以|MF |2＝(x －1)2＋y 2 ＝(x －1)2＋3－ x 2 ＝ x 2 －2x ＋4＝ (x －4)2，M M M 4 M 4 M M 4 M又－2≤x ≤2，所以 1≤|MF | ≤9，所以 1≤|MF |≤3，所以|MF |的取值范围为[1，3]．2 2 y y2 MA MB .2x 1 2 1 2 1 2 2＋1 2k2 2 M M 2 2x y 3 1 1 2 M(2)证明：设 P ，M ，N 三点的坐标分别为(x ，y )，(x ，y )，(x ，y)，设直线 PM ，PN 的斜率分别为 k ，k ，则直线 PM 的方程为 y －y ＝k 1 2 P 1(x －x )，＋ ＝1， 联立方程，得消去 y ，得＝k （x －x ），P1P(3＋4k )x 2－8k (k x －y )x ＋4k 2x 2 －8k x y ＋4y 2 －12＝0，由根与系数的关系可得 x ＋x ＝ M P8k （k x －y ）1 1 P P 3＋4k ，8k （k x －y ） 4k 2x －8k y －3x 所以 x ＝ －x ＝ ，M P 1 1同理可得 x ＋x＝ NP又 k k ＝－ ，1 2 48k （k x －y ）2 2 P P 3＋4k ，8k （k x －y ） 8 故 x ＋x ＝ ＝ 3＋4k－4k －4kx P －y P 6x ＋8k y ＝ ， 3 2 4k 2＋3 4k16x ＋8k y 4k x －8k y －3x 则 x ＝ －x ＝－ ＝－x， 4k 2＋3 3＋4k从而 x ＋x ＝0，NM即 M ，N 两点的横坐标之和为常数．x y 3．(2018· 潍坊模拟)已知椭圆 C ： ＋ ＝1(a >b >0)上动点 P 到两焦点 F ，F 的距离之a b 1 2和为 4，当点 P 运动到椭圆 C 的一个顶点时，直线 PF 恰与以原点 O 为圆心，以椭圆 C 的1离心率 e 为半径的圆相切．(1)求椭圆 C 的方程．(2)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A ，B ，若 PA ，PB 交直线 x ＝6 于不同的两点 M ，N . 问以线段 MN 为直径的圆是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．解：(1)由椭圆的定义可知 2a ＝4，a ＝2，若点 P 运动到椭圆的左、右顶点时，直线 P F 与圆一定相交，故点 P 只能在椭圆的上、1下顶点，不妨设点 P 为上顶点(0，b )，F 为左焦点(－c ，0)，1P P M M NN P 2 2x y 4 3 y －y 2 1 1 1 P P 1 P 1 P P P2 11 1 P P 1 P 1 P P3＋4k 3＋4k 2 22 232 2 P P N P 2 233P 1 P 1 1 －3＋4 1 2P 1 P 1 P1 P PN P M 2 1 1222 2则直线 PF ：bx －cy ＋bc ＝0，由题意得原点 O 到直线 PF 的距离等于椭圆 C 的离心率11e ，所以bc b 2＋c 2＝ ， a解得 b ＝1，故椭圆 C 的方程为 ＋y 2＝1.4(2)由题意知直线 PA ，PB 的斜率存在且都不为 0.设 k ＝k ，点 P (x ，y )，x≠±2，又 A(－2，0)，B (2，0)，x 1－ y y y1 1 x ＋2 x －2 x 2－4 x 2－4 4 4k 0 0 0 0直线 PA 的方程为 y ＝k (x ＋2)，令 x ＝6，得 y ＝8k ，故 M (6，8k )；1 1 4k k1 ，故 N 6，－ .因为 y y ＝8k ·M N－ ＝－8<0，所以以线段 MN 为直径的圆与 x 轴交于两点，设为 G ， kH ，并设 MN 与 x 轴的交点为 K ，在以线段 MN 为直径的圆中应用相交弦定理得，|GK | |HK |＝|MK |·|NK |＝|8k |·－ ＝8，k因为|GK |＝|HK |，所以|GK |＝|HK |＝2 2，从而以线段 MN 为直径的圆恒过两个定点 G (6－2 2，0)，H (6＋2 2，0)．x y 4．(2018· 高考全国卷Ⅲ)已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C ： ＋ ＝1 交于 A ，B 两点，4 3线段 AB 的中点为 M (1，m )(m >0)．1(1)证明：k <－ ；2→ → → → → →(2)设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且F P ＋FA ＋FB ＝0.证明：|FA |，|FP |，|FB |成等 差数列，并求该数列的公差．解：(1)证明：设 A (x ，y)，B(x ，yx y x y 4 3 4 3y －y x ＋x y ＋y 两式相减，并由 ＝k 得 ＋ k ＝0.x －x 4 3 1 2x ＋x y ＋y 3 由题设知 ＝1， ＝m ，于是 k ＝－ .①c2x PA 0 0 0 20 42 所以 k k ＝ 0 0 ＝ 0 ＝ ＝－ ，得 k ＝－ ， PA PB PB直线 PB 的方程为 y ＝－ (x －2)，令 x ＝6，得 y ＝－ k 1 1 2 21 12 2 2 2 2 2 ＋ 1 ＝1， 2 ＋ 2 ＝1. 1)，则 1 2 1 2 12 1 2 1 22 2 4m由题设得 0＜m ＜ ，故 k ＜－ .2 2(2)由题意得 F (1，0)．设 P (x ，y )，则(x －1，y 由(1)及题设得 x ＝3－(x ＋x＝－(y ＋y )＝1，y 3121 2)＋(x －1，y＝－2m ＜0.)＋(x－1，y 2)＝(0，0)．又点 P 在 C 上，所以 m ＝ ，从而 P 43 1，－，|FP |＝ .于是|FA |＝ （x－1）2＋y 2＝ 1x （x －1）2＋3 1－ 1 ＝2－ 1 2 .→ x|＝2－ .所以|FA |＋|FB |＝4－ (x ＋x)＝3.→ → → → → →|＝|FA |＋|FB |，即|FA |，|FP |，|FB |成等差数列． 设该数列的公差为 d ，则→ → 1 2|d |＝||FB |－|FA ||＝|x |＝1 2（x ＋x ）2－4x x .②将 m ＝ 代入①得 k ＝－1.4所以 l 的方程为 y ＝－x ＋ ，代入 C 的方程，并整理得 7x 2－14x ＋ ＝0.4 41 3 21x .1 2 1 2 28 28所以该数列的公差为 或－ .28 283 13 3 3 3 1 1 2 3 3 2 → 32 → 121 4 x 同理|FB2 2 → → 12 1 2 故 2|FP －x 2 1 2 1 2 1 2 37 1＝ ，代入②解得|d |＝ 故 x ＋x ＝2，x 3 21 3 21。
【人教A版】2020年高考数学二轮复习圆锥曲线《最值、定点、定值》讲义案及基础题型精讲卷
2020年高考数学二轮复习圆锥曲线第三章《最值、定点、定值》讲义案及基础题型精讲卷第一节:最值问题 (均值、函数) 求以下式子的最值（1）22842m m t +-==≤=（2）t ===≤（3）1t m m==≤=+（4）222211212m k m t k ++-==≤=+（5）234t m =+ x =，则221m x =-()2211313143x x t x x x x ====+-++上述式子可以通过配凑，换元，使用均值不等式得到最值.（6）221k t k ==+ ；（7）t ==；（8）228m t +==；（9）t==；上述式子求最值可以通过分离常数法实现.【例1】.已知椭圆.过点作圆221x y+=的切线交椭圆于两点.(1)求椭圆的焦点坐标和离心率;(2)将表示为的函数,并求的最大值.【解答】解:(1)∵椭圆一个顶点为A (2,0),离心率为,∴∴b=∴椭圆C的方程为;(2)直线y=k(x﹣1)与椭圆C联立,消元可得(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣4=0设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=∴|MN|==∵A(2,0)到直线y=k(x﹣1)的距离为∴△AMN的面积S=∵△AMN的面积为,∴∴k=±1.【例2】.已知椭圆的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.(1)求椭圆的方程;(2)设直线与椭圆交于、两点,坐标原点到直线的距离为,求面积的最大值.【解答】解:(1)设椭圆的半焦距为c,依题意∴b=1,∴所求椭圆方程为.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).(1)当AB⊥x轴时,.(2)当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m.由已知,得.把y=kx+m代入椭圆方程,整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2﹣3=0,∴.∴|AB|2=(1+k2)(x2﹣x1)2=====.当且仅当,即时等号成立.当k=0时,,综上所述|AB|max=2.∴当|AB|最大时,△AOB面积取最大值.【例3】.已知点2(0,)A﹣,椭圆的离心率为,是椭圆的右焦点,直线的斜率为,为坐标原点.(1)求的方程;(2)设过点的直线与相交于两点,当的面积最大时,求的方程. 【解答】解:(1) 设F(c,0),由条件知,得又,所以﹣c2=1,故E的方程.….(5分)(2)依题意当l⊥x轴不合题意,故设直线l:y=kx﹣2,设P(x1,y1),Q(x2,y2)将y=kx﹣2代入,得(1+4k2)x2﹣16kx+12=0,当△=16(4k2﹣3)>0,即时,从而又点O到直线PQ的距离,所以△OPQ的面积=, 设,则t>0,,当且仅当t=2,k=±等号成立,且满足△>0,所以当△OPQ的面积最大时,l的方程为:y=x﹣2或y=﹣x﹣2.第二节:定点、定值【例1】.已知抛物线2:2C y px=过点()1,1P.过点作直线与抛物线交于不同的两点,过点作轴的垂线分别与直线、交于点,其中为原点.(1)求抛物线的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:为线段的中点.【解答】解:(1)∵y2=2px过点P(1,1),∴1=2p,解得p=,∴y2=x,∴焦点坐标为(,0),准线为x=﹣,(2)证明:设过点(0,)的直线方程为y=kx+,M(x1,y1),N(x2,y2),∴直线OP为y=x,直线ON为:y=x,由题意知A(x1,x1),B(x1,),由,可得k2x2+(k﹣1)x+=0,∴x1+x2=,x1x2=∴y1+=kx1++=2kx1+=2kx1+=2kx1+(1﹣k)•2x1=2x1, ∴A为线段BM的中点.【例2】.已知,椭圆过点,两个焦点为.(1)求椭圆的方程;(2)是椭圆上的两个动点,如果直线的斜率与的斜率互为相反数,证明直线的斜率为定值,并求出这个定值.【解答】解:(1)由题意,c=1,可设椭圆方程为,解得b2=3,(舍去)所以椭圆方程为.(2)设直线AE方程为:,代入得设E(xE,yE),F(xF,yF),因为点在椭圆上,所以由韦达定理得:,所以.又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以﹣K代K,可得所以直线EF的斜率即直线EF的斜率为定值,其值为.。
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二轮复习·优化提升
精选资源·战胜高考
考点20 圆锥曲线的基本量问题
【知识框图】
【自主热身,归纳总结】
1、(2019无锡期末）以双曲线x25－y24＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是________．
2、(2019苏锡常镇调研）已知双曲线C的方程为2214xy,则其离心率为 ．
3、(2019泰州期末）若抛物线y2＝2px(p>0)的准线与双曲线x2－y2＝1的一条准线重合,则p＝________．
4、(2019南京、盐城一模）若双曲线x22－y2m＝1的离心率为2,则实数m的值为________．
5、(2019苏州期末）在平面直角坐标系xOy中,中心在原点,焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点(－
3,1),则该双曲线的离心率为________．
6、(2019常州期末） 已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0,b>0)的离心率为2,直线x＋y＋2＝0经过双曲线C的焦
点,则双曲线C的渐近线方程为________．
7、(2017年南通一模)已知椭圆x2m＋y2n＝1(m＞n＞0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是以椭圆短轴为直径的圆上
任意一点,则PF1→·PF2→＝________.
8、(2019南通、泰州、扬州一调）在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线为l,直线l与
双曲线x24－y2＝1的两条渐近线分别交于A,B两点,AB＝6,则p的值为________．
9、(2017南京三模）在平面直角坐标系xOy中,双曲线x22m2－y23m＝1的焦距为6,则所有满足条件的实数m构
成的集合是 ．
10、(2018苏州期末） 已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0,b>0)与椭圆x216＋y212＝1的焦点重合,离心率互为倒数,
设F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,P为右支上任意一点,则PF21PF2的最小值为________．
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【问题探究,变式训练】
题型一 椭圆的标准方程
知识点拨：求椭圆的标准方程,本质就是要求a,b的值,为此,要找到两个关于a,b的方程组,题目中往往涉
及到离心率或者点在圆上。
例1、(2019泰州期末）如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左顶点为A,点B是椭
圆C上异于左、右顶点的任一点,P是AB的中点,过点B且与AB垂直的直线与直线OP交于点Q.已知椭圆
C的离心率为12,点A到右准线的距离为6.
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 设点Q的横坐标为x0,求x0的取值范围．
【变式1】(2019苏州期末）如图,在平面直角坐标系xOy中,已知焦点在x轴上,离心率为12的椭圆E的左顶
点为A,点A到右准线的距离为6.
(1) 求椭圆E的标准方程；
(2) 过点A且斜率为32的直线与椭圆E交于点B,过点B与右焦点F的直线交椭圆E于M点,求M点的
坐标．
【变式2】(2016徐州、连云港、宿迁三检）在平面直角坐标系xOy中,已知点P1，32在椭圆C：x2a2＋y2b2＝
1(a>b>0)上,P到椭圆C的两个焦点的距离之和为4.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 若点M,N是椭圆C上的两点,且四边形POMN是平行四边形,求点M,N的坐标．
.
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【变式3】(2016常州期末）在平面直角坐标系xOy中,设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率是e,定义直线y＝
±be为椭圆的“类准线”．已知椭圆C的“类准线”方程为y＝±23,长轴长为4.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 点P在椭圆C的“类准线”上(但不在y轴上),过点P作圆O：x2＋y2＝3的切线l,过点O且垂直于
OP的直线与l交于点A,问点A是否在椭圆C上？证明你的结论．
【变式4】(2019南京学情调研）在平面直角坐标系xOy中,椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22,且直线
l：x＝2被椭圆E截得的弦长为2.与坐标轴不垂直的直线交椭圆E于P,Q两点,且PQ的中点R在直线l上．点
M(1,0)．
(1) 求椭圆E的方程；
(2) 求证：MR⊥PQ.
题型二 圆锥曲线的离心率问题
知识点拨：求离心率的值关键就是找到a,b,c之间的关系；求离心率的取值范围问题时,除了要根据条件来
确定离心率的取值范围外,不要忘记离心率的本身的范围,即椭圆的离心率在(0,1) 上,双曲线的离心率在
(1,＋∞)上 ,这也是求离心率的范围问题的常见错误
例1、(2019南京三模）平面直角坐标系xOy中,过双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0,b＞0)的右焦点F作一条渐近线的平
行线,交另一条渐近线于点P．若线段PF的中点恰好在此双曲线上,则此双曲线的离心率为 ．
【变式1】(2017苏北四市一模） 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知A,B1,B2分别为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a
＞b＞0)的右、下、上顶点,F是椭圆C的右焦点．若B2F⊥AB1,则椭圆C的离心率是________．
【变式2】(2017无锡期末） 设点P是有公共焦点F1,F2的椭圆C1与双曲线C2的一个交点,且PF1⊥PF2,椭
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圆C1的离心率为e1,双曲线C2的离心率为e2,若e2＝3e1,则e1＝________.
【变式3】(2017常州期末） 已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点F是椭圆y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)的一个焦点,若
P,Q是椭圆与抛物线的公共点,且直线PQ经过焦点F,则该椭圆的离心率为________．
【变式4】(2018扬州期末）在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0,b>0)的渐近线与圆x2＋y2－
6y＋5＝0没有交点,则双曲线离心率的取值范围是________．
【变式5】(2018南京、盐城、连云港二模） 在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C：x2－y2b2＝1 (b＞0) 的
两条渐近线与圆O：x2＋y2＝2的四个交点依次为A,B,C,D.若矩形ABCD的面积为b,则b的值为________．
【变式6】(2018苏中三市、苏北四市三调） 在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线2221(0)12xybb的焦
点到渐近线的距离为2,则该双曲线的离心率为 ．
【变式7】(2019南通、泰州、扬州一调）如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为
F,右顶点为A,上顶点为B.
(1) 已知椭圆的离心率为12,线段AF中点的横坐标为22,求椭圆的标准方程；
(2) 已知△ABF外接圆的圆心在直线y＝－x上,求椭圆的离心率e的值．
【变式7】(2018苏中三市、苏北四市三调）如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆
22
22
1(0)xyabab
的右焦点为F,P为右准线上一点．点Q在椭圆上,且FQFP．
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（1）若椭圆的离心率为12,短轴长为23．
① 求椭圆的方程；
② 若直线OQPQ，的斜率分别为12kk，,求12kk的值．
（2）若在x轴上方存在PQ，两点,使OFPQ，，，四点共圆,求椭圆离心率的取值范围．
【关联1】(2017南京学情调研）如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点
分别为F1,F2,P为椭圆上一点(在x轴上方),连结PF1并延长交椭圆于另一点Q,设PF1→＝λF1Q→.
(1) 若点P的坐标为1，32,且△PQF2的周长为8,求椭圆C的方程；
(2) 若PF2垂直于x轴,且椭圆C的离心率e∈12，22,求实数λ的取值范围．
【关联2】(2017扬州期末）如图,椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0),圆O：x2＋y2＝b2,过椭圆C的上顶点A的直
线l：y＝kx＋b分别交圆O、椭圆C于不同的两点P,Q,设AP→＝λPQ→.
(1) 若点P(－3,0),点Q(－4,－1),求椭圆C的方程；
(2) 若λ＝3,求椭圆C的离心率e的取值范围．
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【关联3】(2016扬州期末）如图,已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,P是椭圆上一点,M在
PF1上,且满足F1M→＝λMP→(λ∈R),PO⊥F2M,O为坐标原点．
(1) 若椭圆方程为x28＋y24＝1,且P(2,2),求点M的横坐标；
(2) 若λ＝2,求椭圆离心率e的取值范围．