函数的图像
高中数学常见的函数图象
图像
函数表达式
y
8
y=
cosx x
6
4
2
y=
x cosx
2π 2
2π
x
4
6
8
y
5 4 3 2 1
21 1 2
y = lnx + ex
1 2345x
y = lnx - ex
y
5 4 3 2 1
21 1 2 3
y = exlnx
1 2 3 4 5x
y
2 1
1
1 2 3 4x
1
2
y=
ex lnx
3
4
5
6
y=
y
6
5
4
3
2
1
O
54321
-1,-
1 e
1
y = xex
1 2 3x
函数表达式
y
=
ex x
函数极值点
1,e
y = x + sinx
y = xsinx
y=
sinx x
图像
y
5 4 3 2 1
4 3 2 1O 1 2 3
y=
x ex
1,e
1 2 3 4x
函数表达式
y
=
x ex
函数极值点
1,
1 e
y
6
5
1 2 3 4x
y
6 5 4 3 2 1
321 1
y=
ex x2
1 2 3 4 5x
函数表达式
y = exsinx
y = ex - sinx
y=
sinx ex
y = ex + cosx
函数图像知识点总结
函数图像知识点总结基本初等函数的图像：一次函数：图像是直线，根据斜率k的正负，函数可能单调递增或递减。
二次函数：图像是抛物线，其开口方向由a决定，与x轴的交点由判别式b^2-4ac决定，对称轴两边函数的单调性不同。
反比例函数：图像是双曲线，当k>0时，图像经过一、三象限；当k<0时，图像经过二、四象限。
指数函数：当底数不同时，其图像会有所变换。
对数函数：底数不同时，图像也会发生变换。
对勾函数：对于函数y=x+k/x，当k>0时，是对勾函数，可以通过均值定理找到其最值。
函数图像的基本性质：定义域和值域：函数的定义域是指函数所能接收的自变量的集合，值域是指函数所能取到的因变量的集合。
函数图像应当包含在定义域和值域的笛卡尔积上。
单调性：如果函数在定义域内递增，那么函数图像应当从左向右逐渐上升；如果函数在定义域内递减，那么函数图像应当从左向右逐渐下降。
奇偶性：如果函数是偶函数，那么函数图像在原点处具有对称性；如果函数是奇函数，那么函数图像在原点处具有中心对称性。
周期性：如果函数具有周期性，那么函数图像在一段区间内会重复出现，并且重复的间隔是固定的。
极值：函数在定义域内的最大值和最小值分别称为函数的最大值和最小值，对应的自变量称为函数的极大值和极小值。
函数图像在极值处存在驻点，即切线斜率为零。
函数图像在数学中的应用：函数图像可以直观地表示函数的性质与特征，例如单调性、极值点、零点等。
通过观察函数图像，我们可以更好地理解函数的表现特征和性质。
函数图像不仅在数学中有应用，还涉及其他相关领域，如经济学、生物学、人文社科等。
函数图像可以帮助解释实验现象，描述物理现象的变化规律，并帮助人们理解和解释实验结果。
这些知识点对于理解和分析函数图像非常重要，通过熟练掌握和应用这些知识点，可以更好地理解函数的性质，解决实际问题。
常见函数类型的图像分析
常见函数类型的图像分析1. 线性函数线性函数是最简单和常见的函数类型之一，具有形如y = kx + b的表达式。
其中，k表示斜率，决定了函数图像的斜率方向和倾斜程度；b表示截距，决定了函数图像与y轴的截距位置。
当斜率k大于0时，函数图像呈现递增的趋势，即从左下方向右上方逐渐上升；当斜率k小于0时，函数图像呈现递减的趋势，即从左上方向右下方逐渐下降。
截距b代表函数图像与y轴的交点位置，当b大于0时，函数图像在y轴上方与其交点位置较远；当b小于0时，函数图像在y轴下方与其交点位置较远。
2. 二次函数二次函数是一类具有形如y = ax^2 + bx + c的表达式的函数，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
二次函数的图像通常为抛物线。
当a大于0时，二次函数的抛物线开口向上，形如"U"的形状；当a小于0时，二次函数的抛物线开口向下，形如"∩"的形状。
抛物线的顶点处为函数的极值点，即最高点或最低点。
通过求解二次函数的导数可以确定极值点的位置。
3. 幂函数幂函数是一类具有形如y = x^n的表达式的函数，其中n为常数。
幂函数的图像形状随着幂数n的不同而变化。
当n大于1时，幂函数呈现递增趋势，随着x的增大，y值也随之增大；当0 < n < 1时，幂函数呈现递减趋势，x值增大，y值减小的速率越来越慢；当n小于0时，幂函数呈现曲线，随着x的增大或减小，y值同样呈现递减趋势。
4. 指数函数指数函数是一类具有形如y = a^x的表达式的函数，其中a为常数且大于0且不等于1。
指数函数的图像通常呈现指数曲线。
当a大于1时，指数函数呈现递增趋势，x值增大，y值也随之增大；当0 < a < 1时，指数函数呈现递减趋势，x值增大，y值减小的速率越来越快。
指数函数的图像还具有特殊的性质，即通过过点(0,1)，可以得到指数函数的对数函数。
5. 对数函数对数函数是指数函数的反函数，具有形如y = log(x)的表达式。
经典数学函数图像大全
函数图形基本初等函数幂函数（1)幂函数（2)幂函数（3)指数函数（1）指数函数（2）指数函数（3）对数函数（1）对数函数（2）三角函数（1）三角函数（2）三角函数（3）三角函数（4）三角函数（5）反三角函数（1）反三角函数（2）反三角函数（3）反三角函数（4）反三角函数（5）反三角函数（6）反三角函数（7）反三角函数（8）双曲函数（1）双曲函数（2）双曲函数（3）双曲函数（4）双曲函数（5）双曲函数（6）双曲函数（7）反双曲函数（4）反双曲函数（1）反双曲函数（2）反双曲函数（3）反双曲函数（5）反双曲函数（6）y=sin(1/x) (1) y=sin(1/x) (2)y=sin(1/x) (3) y=sin(1/x) (4) y = [1/x](1) y = [1/x](2)y=21/xy=21/x (2)y=xsin(1/x)y=arctan(1/x)y=e1/xy=sinx (x->∞)绝对值函数y = |x| 符号函数y = sgnx 取整函数y= [x]极限的几何解释(1)极限的几何解释(2)极限的几何解释(3)极限的性质(1) (局部保号性)极限的性质(2) (局部保号性)极限的性质(3) (不等式性质)极限的性质(4) (局部有界性)极限的性质(5) (局部有界性)两个重要极限y=sinx/x (1)y=sinx/x (2)limsinx/x的一般形式y=(1+1/x)^x (1)y=(1+1/x)^x (2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(1) lim(1+1/x)^x 的一般形式(2) lim(1+1/x)^x 的一般形式(3)e的值(1)e的值(2)等价无穷小(x->0)sinx等价于xarcsinx等价于xtanx等价于xarctanx等价于x1-cosx等价于x^2/2sinx等价于x数列的极限的几何解释海涅定理渐近线水平渐近线铅直渐近线y=(x+1)/(x-1)y=sinx/x (x->∞) 夹逼定理(1)夹逼定理(2) 数列的夹逼性(1) 数列的夹逼性(2)。
数学函数图像大全
基本初等函数幂函数（1)幂函数（2)指数函数（1）指数函数（2）指数函数（3）对数函数（1）对数函数（2）三角函数（1）三角函数（2）三角函数（3）三角函数（4）三角函数（5）反三角函数（1）反三角函数（2）反三角函数（3）反三角函数（4）反三角函数（5）反三角函数（6）反三角函数（7）反三角函数（8）双曲函数（1）双曲函数（2）双曲函数（3）双曲函数（4）双曲函数（5）双曲函数（6）双曲函数（7）反双曲函数（1）反双曲函数（2）反双曲函数（3）反双曲函数（4）反双曲函数（5）反双曲函数（6）y=sin(1/x) (1)y=sin(1/x) (2)y=sin(1/x) (3)y=sin(1/x) (4)y = [1/x](1)y = [1/x](2)y=21/xy=21/x (2)y=xsin(1/x)y=arctan(1/x)y=e1/xy=sinx (x->∞)绝对值函数 y =|x| 符号函数y = sgnx 取整函数 y=[x]极限的几何解释 (1)极限的几何解释 (2)极限的几何解释 (3)极限的性质 (1) (局部保号性)极限的性质 (2) (局部保号性)极限的性质 (3) (不等式性质)极限的性质 (4) (局部有界性)极限的性质 (5) (局部有界性)两个重要极限y=sinx/x (1)y=sinx/x (2)limsinx/x的一般形式y=(1+1/x)^x (1)y=(1+1/x)^x (2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(1)lim(1+1/x)^x 的一般形式(2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(3)e的值(1)e的值(2)等价无穷小(x->0)sinx等价于xarcsinx等价于x1-cosx等价于x^2/2数列的极限的几何解释海涅定理渐近线水平渐近线铅直渐近线y=(x+1)/(x-1)y=sinx/x (x->∞)夹逼定理(1)夹逼定理(2)数列的夹逼性 (1)数列的夹逼性 (2)pi 是派的意思(如果你没有切换到公式版本)^是次方的意思,$是公式的标记符,切换到公式版(安装mathplayer)就看不到$了1.诱导公式sin(-a)=-sin(a)cos(-a)=cos(a)$sin(pi/2-a)=cos(a)$$cos(pi/2-a)=sin(a)$$sin(pi/2+a)=cos(a)$$cos(pi/2+a)=-sin(a)$$sin(pi-a)=sin(a)$$cos(pi-a)=-cos(a)$$sin(pi+a)=-sin(a)$$cos(pi+a)=-cos(a)$2.两角和与差的三角函数$sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)$$cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)$$sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)$$cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)$$tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b))$$tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)tan(b))$3.和差化积公式$sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)$$sin(a)−sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)$$cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)$$cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)$4.积化和差公式 (上面公式反过来就得到了)$sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]$$cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]$$sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]$5.二倍角公式$sin(2a)=2sin(a)cos(a)$$cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)=2cos^2(a)-1=1-2sin^2(a)$ 6.半角公式$sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2$$cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2$$tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))$7.万能公式$sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))$$cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))$$tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))$8.其它公式(推导出来的 )$a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c)$ 其中 $tan(c)=b/a$ $a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c)$ 其中 $tan(c)=a/b$ $1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2$$1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2$其他非重点$csc(a)=1/sin(a)$$sec(a)=1/cos(a)$1 三角函数的定义1.1 三角形中的定义图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图 在直角三角形ABC，如下定义六个三角函数：•正弦函数•余弦函数•正切函数•余切函数•正割函数•余割函数1.2 直角坐标系中的定义图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中，如下定义六个三角函数： •正弦函数•余弦函数•正切函数•余切函数•正割函数•余割函数2 转化关系2.1 倒数关系2.2 平方关系2 和角公式3 倍角公式、半角公式 3.1 倍角公式3.2 半角公式3.3 万能公式4 积化和差、和差化积 4.1 积化和差公式4.2 和差化积公式。
函数图像总结
函数图像总结函数图像是数学中的重要概念，它反映了数学函数在坐标系中的表现形式。
通过观察函数图像，我们可以了解函数的性质、特征以及与其他函数的关系。
本文将对常见的函数图像进行总结，以便读者更好地理解和掌握函数的图像特点。
一、线性函数图像线性函数是最简单也是最容易理解的函数之一。
它的图像即一条直线。
线性函数的一般形式为：y = kx + b，其中k和b为常数。
当k大于0时，直线是向上倾斜的，当k小于0时，直线是向下倾斜的。
b则表示直线与y轴的交点，称为截距。
通过改变k和b的取值，我们可以观察到直线的斜率和截距对图像的影响。
二、二次函数图像二次函数的一般形式为：y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
二次函数的图像通常是一个抛物线。
抛物线的开口方向由a的正负决定，当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
同时，b和c的取值也会对抛物线的位置产生影响。
通过调整a、b、c的值，我们可以观察到抛物线的顶点、焦点以及与x轴和y轴的交点等特征。
三、指数函数图像指数函数的一般形式为：y = aⁿ，其中a为常数且a > 0，n为自变量。
指数函数图像的特点是随着自变量的增大，函数值呈现出迅速增长或迅速衰减的趋势。
当a大于1时，指数函数图像是递增的；当a位于0和1之间时，指数函数图像是递减的。
指数函数还可以通过调整a的值来改变函数增长或衰减的速度。
四、对数函数图像对数函数的一般形式为：y = logₐx，其中a为底数，x为自变量。
对数函数图像的特点是随着自变量的增大，函数值的增长速度逐渐减缓。
当底数a大于1时，对数函数图像是递增的；当底数a位于0和1之间时，对数函数图像是递减的。
不同底数的对数函数之间在图像形状上有所差异，但都满足递增或递减的特点。
五、三角函数图像三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们的图像都是一条曲线，周期性地在坐标轴上反复出现。
常见函数的图像及其性质
常见函数的图像及其性质数学中的函数就像我们日常生活中的“机器”，通过给出一个输入，便能得到一个输出。
而函数所表示的“规律”，可以通过数学的方法加以描述和解释。
在数学中，常见的函数有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
本文将介绍这些函数的图像及其性质。
一、线性函数线性函数是最基本、最简单的函数之一。
线性函数的一般形式为：y = kx + b其中，k和b是常数，x是自变量，y是因变量。
这里k表示直线斜率，b表示直线截距。
线性函数的图像是一条直线，其特点是斜率恒定。
当直线斜率为正时，函数是增长函数；当直线斜率为负时，函数是减少函数；斜率为0时，函数是常量函数。
二、二次函数二次函数是一种二次多项式函数，其一般形式为：y = ax² + bx + c其中，a、b、c是常数，x是自变量，y是因变量。
二次函数的图像是一个开口朝上或开口朝下的抛物线，因为其自变量是平方项的形式。
二次函数的性质包括：1. 当a > 0时，函数开口向上，有最小值；当a < 0时，函数开口向下，有最大值。
2. 当二次函数的判别式b²-4ac > 0时，函数图像与x轴有两个交点；当b²-4ac = 0时，函数图像与x轴有一个交点；当b²-4ac < 0时，函数图像与x轴没有交点。
三、指数函数指数函数是一种以常数e（自然对数常数）为底，自变量是指数的函数。
其一般形式为：y = a^x其中，a是一个大于0且不等于1的常数，x是自变量，y是因变量。
指数函数的图像有如下特点：1. 当a > 1时，函数在x轴右侧增长；当0 < a < 1时，函数在x 轴左侧增长。
2. 当a > 1时，函数的y值无上限，但x轴是渐近线；当0 < a < 1时，函数的y值趋于0，但x轴是渐近线。
四、对数函数对数函数是指既然函数，其一般形式为：y = logₐx其中，a是底数，a > 0且a ≠ 1，x是自变量，y是因变量。
高中数学10个函数图像
高中数学10个函数图像线性函数是最简单的函数，它表示把一个数值转换为另一个数值的公式。
它以一条直线的形式表示，如y=mx+b，其中m表示斜率，b 表示y轴（垂直）截距。
当图像为一条直线时，可以确定是线性函数。
二、二次函数二次函数也被称为抛物线函数，它可以用y=ax2+bx+c表示，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项，当图像为一条抛物线时，则可以确定为二次函数。
三、三次函数三次函数可以表示为y=ax3+bx2+cx+d，其中a为三次项系数，b 为二次项系数，c为一次项系数，d为常数项，当图像为一条S形曲线时，则可以确定为三次函数。
四、正弦函数正弦函数可表示为y=asinx+b，其中a为正弦函数的振幅，b为正弦函数的相位移动量，当图像为一条波形曲线时，则可以确定为正弦函数。
五、余弦函数余弦函数可表示为y=acosx+b，其中a为余弦函数的振幅，b为余弦函数的相位移动量，当图像为一条波形曲线时，则可以确定为余弦函数。
六、指数函数指数函数可表示为y=aex+b，其中a为指数函数的指数，b为指数函数的幂次，当图像为一条指数函数曲线时，则可以确定为指数函数。
七、对数函数对数函数可表示为y=alogx+b，其中a为对数函数的底，b为对数函数的位移量，当图像为一条对数函数曲线时，则可以确定为对数函数。
八、双曲函数双曲函数可表示为y=a/cosx+b，其中a为双曲函数的振幅，b为双曲函数的相位移动量，当图像为一条椭圆形的双曲线时，则可以确定为双曲函数。
九、正切函数正切函数可表示为y=atannx+b，其中a为正切函数的振幅，b为正切函数的位移量，当图像为一条波形状曲线时，则可以确定为正切函数。
十、反正切函数反正切函数可表示为y=atan2x+b，其中a为反正切函数的振幅，b为反正切函数的位移量，当图像为一条波形状曲线时，则可以确定为反正切函数。
高中数学中10个函数图像不仅对数学学习具有极大的意义，而且对我们日常生活也有着重要的指导作用，如物价波动、货币贬值等，它们都可以用函数图像来分析。
经典数学函数图像大全
函数图形基本初等函数幂函数（1)幂函数（2)幂函数（3)指数函数（1）指数函数（2）指数函数（3）对数函数（1）对数函数（2）三角函数（1）三角函数（2）三角函数（3）三角函数（4）三角函数（5）反三角函数（1）反三角函数（2）反三角函数（3）反三角函数（4）反三角函数（5）反三角函数（6）反三角函数（7）反三角函数（8）双曲函数（1）双曲函数（2）双曲函数（3）双曲函数（4）双曲函数（5）双曲函数（6）双曲函数（7）反双曲函数（4）反双曲函数（1）反双曲函数（2）反双曲函数（3）反双曲函数（5）反双曲函数（6）y=sin(1/x) (1) y=sin(1/x) (2)y=sin(1/x) (3) y=sin(1/x) (4) y = [1/x](1) y = [1/x](2)y=21/xy=21/x (2)y=xsin(1/x)y=arctan(1/x)y=e1/xy=sinx (x->∞)绝对值函数y = |x| 符号函数y = sgnx 取整函数y= [x]极限的几何解释(1)极限的几何解释(2)极限的几何解释(3)极限的性质(1) (局部保号性)极限的性质(2) (局部保号性)极限的性质(3) (不等式性质)极限的性质(4) (局部有界性)极限的性质(5) (局部有界性)两个重要极限y=sinx/x (1)y=sinx/x (2)limsinx/x的一般形式y=(1+1/x)^x (1)y=(1+1/x)^x (2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(1) lim(1+1/x)^x 的一般形式(2) lim(1+1/x)^x 的一般形式(3)e的值(1)e的值(2)等价无穷小(x->0)sinx等价于xarcsinx等价于xtanx等价于xarctanx等价于x1-cosx等价于x^2/2sinx等价于x数列的极限的几何解释海涅定理渐近线水平渐近线铅直渐近线y=(x+1)/(x-1)y=sinx/x (x->∞) 夹逼定理(1)夹逼定理(2) 数列的夹逼性(1) 数列的夹逼性(2)。
函数图像总结
函数图像总结函数图像总结函数图像是数学中的一个重要概念，它是一种以数学函数为基础的图形表达方式。
通过对函数的定义域和值域的探究，可以得出函数的图像特征。
本文将对常见的函数图像进行总结和解析，并通过Markdown文本格式输出。
直线函数直线函数是最简单的一类函数图像，表达式为 $y = kx + b$，其中 $k$ 是斜率，$b$ 是 $y$ 轴的截距。
直线函数的图像特征如下：- 斜率 $k$ 表示了直线的倾斜程度，当 $k>0$ 时，直线向右上方倾斜；当$k<0$ 时，直线向右下方倾斜；当 $k=0$ 时，直线水平。
- 截距 $b$ 表示了直线与 $y$ 轴的交点位置。
当 $b>0$ 时，直线在 $y$ 轴的上方交点；当 $b<0$ 时，直线在 $y$ 轴的下方交点；当 $b=0$ 时，直线经过原点。
平方函数平方函数是一类二次函数图像，表达式为 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a$、$b$、$c$ 是常数。
平方函数的图像特征如下：- 平方函数的图像一般呈现 U 形，称为抛物线。
- 当 $a>0$ 时，抛物线开口朝上；当 $a<0$ 时，抛物线开口朝下。
- 抛物线在 $x = -\\frac{b}{2a}$ 处达到极值，当 $a>0$ 时，极小值；当 $a<0$ 时，极大值。
- 抛物线与 $y$ 轴的交点为 $c$。
- 抛物线的轴对称线为 $x = -\\frac{b}{2a}$。
开方函数开方函数是一类具有根号形式的函数图像，表达式为 $y = \\sqrt{x}$。
开方函数的图像特征如下：- 开方函数在定义域内，即 $x \\geq 0$ 范围内有定义。
- 开方函数的图像为一条右上方向的曲线。
- 开方函数的图像在原点处有切线，斜率为 $1$。
- 开方函数在 $x = 0$ 处为最小值点。
正弦函数正弦函数是一类周期性的函数图像，表达式为 $y = a\\sin(bx+c)$，其中 $a$、$b$、$c$ 是常数。
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第八节函数的图像 考纲解读 1•掌握描绘函数图像的两种基本方法 一一直接描点法(列表描点)和图像变换法 • 2•会利用函数图像进一步研究函数的性质，解决方程和不等式中的问题 3•会用数形结合、转化与化归的思想，分析解决数学问题 命题趋势探究 基本初等函数的图像是高考中的重要考点之一， 是用来研究其他图像问题的基础， 是研究函 数性质的重要工具. 解决此类问题的重要思路是要利用函数性质与图像之间的对应关系去比照， 如定义域、单调 性、奇偶性、特殊点等• 高考中总是以几类基本初等函数的图像为基础来考查函数图像，往往结合函数行之一并考 察，题型主要是选择题与填空题，考查的形式主要有知式选图、知图选式、图像变换(平移 变换、对称变换)以及灵活地应用图像解题，属于每年必考内容之一 知识点精讲 一、 掌握基本初等函数的图像 (1) 一次函数；(2)二次函数；(3)反比例函数；(4)指数函数；(5)对数函数；(6)三 角函数• 二、 函数图像作法 1.直接画 ①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性(或其他对称性) 、单调性、周期性、 凹凸性；④特殊点、极值点、与横 /纵坐标交点；⑤特殊线(对称轴、渐近线等) 2.图像的变换 (1)平移变换
的； (2) 对称变换
①i：函数y = f (x)与函数y = f (-x)的图像关于
ii：函数y =f(x)与函数y - -f (x)的图像关于x轴对称； iii:函数y = f(X)与函数y - - f (-X)的图像关于坐标原点(0,0)对称; ②i:若函数f (x)的图像关于直线X二a对称，则对定义域内的任意 x都有
①函数 y二f (x - a)(a - 0)的图像是把函数 f(x)的图像沿 x轴向左平移 a个单位得到 的; ②函数 y = f (x -a)(a - 0)的图像是把函数 f(x)的图像沿 x轴向右平移 a个单位得到
的; ③函数 y = f (x) a(a 0)的图像是把函数 f(x)
的图像沿 y轴向上平移 a
个单位得到
的; ④函数 f (x) a(a 0)的图像是把函数 f(x)的图像沿 y轴向下平移 a个单位得到
y轴对称; f (a - x)二f (a x)或f (x)二f (2a - x)(实质上是图像上关于直线 x = a对称的两点
连线的中点横坐标为 a，即(a —X)(a x) = &
为常数)；
2
ii：若函数f (x)的图像关于点(a,b)对称，则对定义域内的任意 x都有 f (x) =2b - f (2a-x)或f (a -x) = 2b - f (a x) ③ y = | f (x)的图像是将函数 f (x)的图像保留x轴上方的部分不变， 将x轴下方的部分 关于x轴对称翻折上来得到的(如图 2-21( a)和图2-21( b))所示 ④ y二f (x)的图像是将函数f (x)的图像只保留y轴右边的部分不变，并将右边的图像
关于y轴对称得到函数 y = f (x)左边的图像即函数 y = f (x)是一个偶函数(如图2-21(c)
图 2-21
注：f(x)的图像先保留f(x)原来在x轴上方的图像，做出 x轴下方的图像关于 x轴对称 图形，然后擦去x轴下方的图像得到；而 f(x)的图像是先保留f(x)在y轴右方的图像， 擦去y轴左方的图像，然后做出 y轴右方的图像关于 y轴的对称图形得到•这两变换又叫翻 折变换•
⑤函数y=f'(x)与y = f(x)的图像关于y = x对称• (3) 伸缩变换 ① y二Af(x)(A 0)的图像，可将y二f (x)的图像上的每一点的纵坐标伸长 (A 1)或缩短
(0 ：：： A ：：：1)到原来的A倍得到•
② y = f(「x)C「0)的图像，可将y = f(x)的图像上的每一点的横坐标伸长 (0 —「：：1)或 1 缩短1)到原来的一倍得到• co 题型归纳及思路提示
题型31 由式选图（识图） 思路提示 利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项, 从而筛选出正确答案
例2.70 函数y = 2x - X2的图像大致是（）
A B D 变式3 函数y=ax?+bx与y = log^ x, ab^ 0, a式b在同一直角坐标系中的图像可能
变式2 在同一坐标系中画出函数 y二loga x, y二ax, y = x • a
的图像，可能正确的是（）
是（）
D 题型32 函数图像的应用 思路提示1 利用函数图像判断方程解的个数 •由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得
到方程解的个数.
例2.71函数f(x) =2X log°.5X -1
的零点个数为( )
变式4已知函数 f(X)_ ln(x 1) -x， 则y = f (x)的图像大致为(
A1 B.2 C.3 D.4 A v 2 I- x X2
变式1 已知函数f(x)二/ ,若关于x的方程f (x) = k有两个不同的实根, 1)3,XC2
则实数k的取值范围是
2 变式2 直线y=1与曲线y=x-x+a有4个交点，则a的取值范围是
变式3 函数f(x) =2In x的图像与函数g(x) = x2-4x • 5
的图像的交点个数为()
A3 B.2C.1 D.0变式4 设定义域为R的函数f(x)=『g x7以知)，则关于x
的方程
[0(x = 1)
If (x) f +bf (x) +c =0有7个不同实数解的充要条件是()
Ab ：：0且 c 0 B.b 0且 c ：：0 C.b ：：0且c =0 Db 0且c =0
『5仪4 _ i x x 0) 变式5 设定义域为R的函数f (x) ，若关于x的方程 乂 +4x +4(x c 0)
if(x)!2 -2mxf( x) 2 m 有)7个不同实数解，则 m =思路提示2 利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围 •先作出所研究对象的图像，求出它们的 交点，根据题意结合图像写出答案
[2」-1(xM0)
例2.72设函数f (x) = ! ，若f (x0) • 1，则X0的取值范围是() x2 (x> 0)
C.(-：：,2)U(0, D.( —1)U(1,
变式1 (2010新课标全国卷理 24)设函数f x二 空，求a的取值范围•2x - 4 1,若不等式f x三ax的解集非 ,X2, X3，贝U X1X2X3的取值范围是
变式2已知函数f（X ）= *
「 / ）若不等式f（2-a2）：＞f（a ），则实数a
的取值
范围 4x _ x （x c 0 ） 是（ ）
A、：i — 2 亠—I B、：；：—1,2 C、：i — 2,1 D、[ •「，「2 ]. [1, •：：
产 2 , a —ab,a 兰 b
a* b= J 2
p2 - ab, a > b
变式3 （2012福建理15 ）对于实数a和b，定义运算 ，设 ,X2, X3，贝U X1X2X3的取值范围是
f xi=i.2x -1 * x-1，且关于x的方程f xi；=m m R恰有3个互不相等的实数根 为 ::x 空 10)
. ,若 a,b,c互不相等，且 f (a )= f (b )= f (c)则 --x 6 x 10 abc的取值范围是
思路提示3
利用函数图像求函数的最值， 先做出所涉及到的函数图像， 根据题目对函数的要求， 从
图像上寻找取得最值的位置，计算出结果，这体现出了数形结合的思想。 例 2、73 用 min E,b,c｝表示 a,b,c三个数中的最小值，设 f(x)=min <2x,x + 2,10 — x>
x 一 0，贝y f x的最大值为 ( )
变式 1 设 f(x)=1 —2x2,g(x)=x2 —2x,若 F(x)= f(x )； g(x )_ 丨f(x ); gx \
则卩⑴
的最大值为 ___________ .
'igx(o f (x I 1 变式4已知函数
A、 1,10 B、
5,6 C、 10,12 D、 20,24 变式2已知两条直线h ： y二m和l2 : y 一 m 0 , li与函数y = log2 x的图像从左 2m +1 到右相交于点A, B，I2与y = log? x的图像从左到右相交于点 C,D，记线段AC和BD在 K x轴上的投影长度分别为 a,b.当m变化时，一的最小值为（）
a
A、16. 2 B、8、,2 C、83 4 D、43 4