线性代数4-1()
线性代数第一章习题解答
a 4 9 a2 b 4 9 b2 + c 4 9 c2 d
1 d d
2
1 4a 1 4b 1 4c
4 9
1 = 0 0
d 2 1 4d
1 b−a
(4) 法 1：
1 b b
2
1 c c
2
1 c−a c 2 − ac c 4 − a 2c 2
a4
b4
c4
d4
b 2 − ab 0 b 4 − a 2b 2
( 2n − 1) 2， ( 2n − 1) 4， ( 2n − 1) 6，…， ( 2n − 1) ( 2n − 2)
n( n − 1) ： 2
1个 2个 3个 …
( n − 1) 个
（6）逆序数为 n( n − 1) 32 52，54 ………………
( 2n − 1) 2， ( 2n − 1) 4， ( 2n − 1) 6，…， ( 2n − 1) ( 2n − 2)
3 − 1 2 1 r2 + r1 5 0 6 2 = = 0. 1 2 3 2 1 2 3 2 5 0 6 2 5 0 6 2
e −e
3
c −c c
−1 1
1 −1 1
1 1 = 4abcdef −1
(3)
bd bf
de = adf b
e = adfbce 1
(4)
a −1 0 0
1 b −1 0
也即我们要求的D是多项式f (x)中x3系数的负值. 另一方面， f (x)是一范得蒙得行列式，故
；
（2）
2 1 4 1 3 −1 2 1 1 5 2 0
1 b −1 0
3 2 6 2
0 1
；
(完整word版)线性代数经典试题4套及答案
线性代数经典试题4套及答案试卷1一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
线性代数课后习题1-4作业答案(高等教育出版社)
第一章 行列式1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式:(1)381141102---;解381141102--- =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4.(3)222111c b a cb a ;解222111c b a c b a=bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).4. 计算下列各行列式:(1)7110025*******214; 解 7110251020214214010014231020211021473234-----======c c c c 34)1(143102211014+-⨯---=143102211014--=01417172001099323211=-++======c c c c .(2)2605232112131412-;解 2605232112131412-260503212213041224--=====cc 041203212213041224--=====rr000003212213041214=--=====r r .(3)efcf bf decd bd ae ac ab ---;解 ef cf bf de cd bd ae ac ab ---e c b ec b e c b ad f ---=a b c d e fa d fbc e 4111111111=---=.(4)dc b a 100110011001---.解dc b a100110011001---dc b a ab ar r 10011001101021---++=====d c a ab 101101)1)(1(12--+--=+01011123-+-++=====cdc ad a ab dc ccdad ab +-+--=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1. 6. 证明:(1)1112222b b a a b ab a +=(a -b )3;证明1112222b b a a b ab a +00122222221213ab a b a a b a ab ac c c c ------=====ab a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--==(a -b )3 . (2)yx z x z y zy x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++;证明bzay by ax bx az by ax bx az bz ay bxaz bz ay by ax +++++++++bz ay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=bz ay y x by ax x z bxaz z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22z y x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+=y x z x z y zy x b y x z x z y z y x a 33+=yx z x z y zy x b a )(33+=.8. 计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式):(1)aaD n 11⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0; 解a a a a a D n 0 0010 000 00 0000 0010 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n行展开))1()1(10 00 000 0010 000)1(-⨯-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=n n n aa a )1()1(2 )1(-⨯-⋅⋅⋅⋅-+n n n a a a n n n nn a a a+⋅⋅⋅-⋅-=--+)2)(2(1 )1()1(=an-a n -2=a n -2(a 2-1).(2)xa a a x aa a xD n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得ax x a ax x a a x x a aa a x D n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=000 0 00 0 ,再将各列都加到第一列上, 得ax ax a x aaa a n x D n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-+=0000 0 000 00 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n 第二章 矩阵及其运算 1. 计算下列乘积: (5)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.2. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B ,求3AB -2A 及A T B .解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T.3.已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换. 解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z ,所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .4.设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问:(1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗? 解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A , ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A ,故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2.5. 举反列说明下列命题是错误的: (1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0.(2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y . 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y ,则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y . 7.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A ,求A k .解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=kA kk kk k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫.用数学归纳法证明: 当k =2时, 显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ,由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121.8. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵.证明 因为A T =A , 所以(B T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T AB , 从而B T AB 是对称矩阵. 11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫⎝⎛5221;解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A |=1, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故 *||11A A A =-⎪⎭⎫⎝⎛--=1225.(3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---145243121;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=145243121A . |A |=2≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A ,所以*||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n ≠0) .解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n a a a A 10011211 .12. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x ,故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x ,从而有⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x . 19.设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A =P Λ11P -1.|P |=3, ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ11111120 012001,故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731. 20. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511,求ϕ(A )=A 8(5E -6A +A 2). 解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)]=diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A )=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111111114.21. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为 E -A k =(E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1), 所以 (E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A )可逆, 且 (E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 一方面, 有E =(E -A )-1(E -A ).另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A )+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k ) =(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 故 (E -A )-1(E -A )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 两端同时右乘(E -A )-1, 就有(E -A )-1(E -A )=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.22. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E )-1.证明 由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A (A -E )=2E , 或 E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-.由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E )(A -3E )=-4E , 或 E A E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A +2E )可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A |=2, 即 |A ||A -E |=2, 故 |A |≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E |=|A 2|=|A |2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A (A -E )=2E⇒A -1A (A -E )=2A -1E ⇒)(211E A A -=-,又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E )A -3(A +2E )=-4E ⇒ (A +2E )(A -3E )=-4 E ,所以 (A +2E )-1(A +2E )(A -3E )=-4(A +2 E )-1, )3(41)2(1A E E A -=+-.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛--340313021201(下一步: r 2+(-2)r 1, r 3+(-3)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020*********(下一步: r 2÷(-1), r 3÷(-2). )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010*********(下一步: r 3-r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201(下一步: r 3÷3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100031001201(下一步: r 2+3r 3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100001001201(下一步: r 1+(-2)r 2, r 1+r 3. ) ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001.(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311;解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311(下一步: r 2-3r 1, r 3-2r 1, r 4-3r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311(下一步: r 2÷(-4), r 3÷(-3) , r 4÷(-5). )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311(下一步: r 1-3r 2, r 3-r 2, r 4-r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011.3. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换. 解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .4. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛323513123;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101011001200410123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1012002110102/102/3023~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/922/7003~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/33/26/7001 故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----21021211233267.(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1210232112201023.解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----10000100001000011210232112201023~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00100301100001001220594012102321~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------20104301100001001200110012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106124301100001001000110012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------10612631110`1022111000010000100021~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106126311101042111000010********* 故逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------10612631110104211.5. (2)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=433312120A , ⎪⎭⎫⎝⎛-=132321B , 求X 使XA =B .解 考虑A T X T =B T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=134313*********) ,(T T B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411007101042001 ~r ,所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-417142)(1T T T B A X ,从而 ⎪⎭⎫⎝⎛---==-4741121BA X . 9. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0).解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000001000001010001100001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量. 12.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=32321321k k k A ,问k 为何值, 可使(1)R (A )=1; (2)R (A )=2; (3)R (A )=3. 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----)2)(1(0011011 ~k k k k k r .(1)当k =1时, R (A )=1; (2)当k =-2且k ≠1时, R (A )=2; (3)当k ≠1且k ≠-2时, R (A )=3. P106/ 1.已知向量组A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ;B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=312123111012421301402230) ,(B A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------971820751610402230421301~r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------531400251552000751610421301~r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000000531400751610421301~r知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示. 由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000000110201110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2. 因为R (B )≠R (B , A ), 所以A 组不能由B 组线性表示. 4. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ; (2) (2, 3, 0)T , (-1, 4, 0)T , (0, 0, 2)T .解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A . 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000110121220770121101413121~~r r A ,所以R (A )=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B . 因为022200043012||≠=-=B ,所以R (B )=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.5. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1, a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T . 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A . 由)1)(1(111111||+-=--=a a a aa a A知, 当a =-1、0、1时, R (A )<3, 此时向量组线性相关.9.设b 1=a 1+a 2, b 2=a 2+a 3, b 3=a 3+a 4, b 4=a 4+a 1, 证明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.证明 由已知条件得a 1=b 1-a 2, a 2=b 2-a 3, a 3=b 3-a 4, a 4=b 4-a 1,于是 a 1 =b 1-b 2+a 3 =b 1-b 2+b 3-a 4 =b 1-b 2+b 3-b 4+a 1, 从而 b 1-b 2+b 3-b 4=0,这说明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.11.(1) 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组:(1)a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T , a 3=(-2, -4, 2, -8)T ; 解 由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000000010291032001900820291844210141002291) , ,(~~321r r a a a ,知R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1与a 2的分量不成比例, 故a 1, a 2线性无关, 所以a 1, a 2是一个最大无关组.12.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组: (1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4820322513454947513253947543173125;解 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛482032251345494751325394754317312513121433~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛531053103210431731253423~r r r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00003100321043173125, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---14011313021512012211. 解 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1401131302151201221113142~r r r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------222001512015120122112343~r r r r +↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00000222001512012211, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组. 13. 设向量组(a , 3, 1)T , (2, b , 3)T , (1, 2, 1)T , (2, 3, 1)T的秩为2, 求a , b .解 设a 1=(a , 3, 1)T , a 2=(2, b , 3)T , a 3=(1, 2, 1)T , a 4=(2, 3, 1)T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=52001110311161101110311131********) , , ,(~~2143b a a b a b a r r a a a a ,而R (a 1, a 2, a 3, a 4)=2, 所以a =2, b =5. 20.求下列齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵进行初等行变换, 有 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=00004/14/3100401 2683154221081~r A ,于是得⎩⎨⎧+=-=43231)4/1()4/3(4x x x x x .取(x 3, x 4)T =(4, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-16, 3)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 4)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T . 因此方程组的基础解系为ξ1=(-16, 3, 4, 0)T , ξ2=(0, 1, 0, 4)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=+--03678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x . 解 对系数矩阵进行初等行变换, 有 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000019/719/141019/119/201 367824531232~r A ,于是得⎩⎨⎧+-=+-=432431)19/7()19/14()19/1()19/2(x x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(19, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-2, 14)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 19)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 7)T . 因此方程组的基础解系为ξ1=(-2, 14, 19, 0)T , ξ2=(1, 7, 0, 19)T .26. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+3223512254321432121x x x x x x x x x x ;解 对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100013011080101 322351211250011~r B . 与所给方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=213 843231x x x x x . 当x 3=0时, 得所给方程组的一个解η=(-8, 13, 0, 2)T . 与对应的齐次方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧==-=043231x x x x x . 当x 3=1时, 得对应的齐次方程组的基础解系ξ=(-1, 1, 1, 0)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=-++=-+-6242163511325432143214321x x x x x x x x x x x x . 解 对增广矩阵进行初等行变换, 有 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=0000022/17/11012/17/901 6124211635113251~r B . 与所给方程组同解的方程为⎩⎨⎧--=++-=2)2/1((1/7)1)2/1()7/9(432431x x x x x x . 当x 3=x 4=0时, 得所给方程组的一个解η=(1, -2, 0, 0)T .与对应的齐次方程组同解的方程为⎩⎨⎧-=+-=432431)2/1((1/7))2/1()7/9(x x x x x x . 分别取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , (0, 1)T , 得对应的齐次方程组的基础解系ξ1=(-9, 1, 7, 0)T . ξ2=(1, -1, 0, 2)T .。
4_1方阵的特征值与特征向量
(l+2)2(l-4)0， 矩阵A的特征值为 l1l2-2, l34 .
对于特征值l1l2-2, 解线性方程组(-2E-A)Xo, 1 -1 得其基础解系 1 及 0 ， 0 1 于是，A的对应于l1l2-2 的全部特征向量为 1 -1 c1 1 +c2 0 (c1,c2不全为0) . 0 1
A 2Ｘ ＝ l A Ｘ ,
把AＸ＝lＸ代入上式得
A2Ｘ＝l(lＸ) l2Ｘ，
依次类推可得
AmＸ＝lmＸ，
即lm是Am一个特征值，Ｘ为对应的特征向量．
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性质4 设l是方阵A的一个特征值，X为对应的特征向量，m是
一个正整数，则lm是Am的一个特征值，X为对应的特征向量．
推论 设l是方阵A的一个特征值，则
1 c1 1
矩阵A的特征值为 l14，l2-2 .
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(c1不为0) .
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方程 |lE-A|0 的每个根都是矩阵A的特征值. 方程(lE-A)Xo的每个非零解都是l对应的特征向量.
例1．求矩阵A 3 1 5 -1 的特征值与特征向量.
| lE-AT | | (lE-A)T | | (lE-A) |， 所以它们的特征值相同． 即A与AT 有相同的特征多项式，
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例6. 设n阶矩阵A满足A2=A，证明A有特征值为0或1.
证明: 因为A2=A ，所以A2-A=o, 设A的特征值为l ，则由性质
4之推论可得l 2- l =0，解得，l 1＝0， l 2＝1. 证毕.
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线性代数 第4章 向量空间 - 习题详解
第4章 向量空间4.1 向量及其线性组合练习4.11. 设1231031,1,4010ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦求12αα-及12332ααα+-.解 12101011111001011αα-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦12332ααα+-10330303121432410100202⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-=+-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦2. 设 1233()2()5()αααααα-++=+,求α. 其中1232104511,,1513101ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦解 由1233()2()5()αααααα-++=+得12362020611525122111(325)31051836669205244αααα⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-=+-== ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭3. 将线性方程组12312312310232x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩写成向量形式及矩阵形式.解 向量形式：123111*********x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦矩阵形式：123111*********x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦4. 设123,,,αααβ是已知列向量，若122ααβ+=，记矩阵123[,,]A ααα=，求线性方程组Ax β=的一个解.解 由12320αααβ++=得方程组Ax β=的一个解为T [1,2,0]x =5. 问β是否可由向量组4321,,,αααα线性表示？其中（1）12341111121111,,,,1111111111βαααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（2）12342111201022,,,,0124231132βαααα-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦解 （1）令[]123411111111,,,11111111A αααα⎡⎤⎢⎥--⎢⎥==⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦由[]111111005/41111201001/41111100101/41111100011/4r A β⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=−−→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦得Ax β=有唯一解[]T15,1,1,14x =--，从而β可由向量组4321,,,αααα唯一线性表示： 23451114444βαααα=+--（2）令[]123411121022,,,12421132A αααα-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦由[]111221220102200110012420000011132300000r A β-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦得Ax β=无解，从而β不能由向量组4321,,,αααα线性表示.6. 已知12341111101121,,,,2324335185a b a ααααβ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（1）,a b 取何值时，β不能由4321,,,αααα的线性表示？（2）,a b 取何值时，β可由4321,,,αααα唯一线性表示式？并写出表示式. 解 令[]1234,,,A αααα=，考察方程组Ax β=是否有解.[]11111011212224335185A a b a β⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥++⎢⎥+⎣⎦1111101121012102252r a b a ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥−−→⎢⎥+⎢⎥-+⎣⎦1111101121001000010r a b a ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥−−→⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦（1）当0,1≠-=b a 时，方程组Ax β=无解，故β不能由4321,,,αααα的线性表示. （2）当1-≠a 时， 继续进行初等行变换[]A β2100011111101121101001001010010101000010rr b a a b a b b a a -⎡⎤⎢⎥⎡⎤+⎢⎥⎢⎥-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→−−→+⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦得方程组Ax β=有唯一解：T21,,,0111b a b b x a a a ++⎡⎤=-⎢⎥+++⎣⎦故β可由4321,,,αααα的唯一线性表示. 表示式为：1234210111b a b ba a a ++=-++++++βαααα 7. 用标准坐标向量证明：如果对任意向量x 有0Ax =，则A 是零矩阵. 证 设12[,,,]n A ααα= 是m n ⨯矩阵. 特别地取(1,2,,)n i x e R i n =∈= ，则0(1,2,,)i i Ae i n α===即A O =.8. 设向量组12,ββ可由向量组123,,ααα线性表示如下：112321232,βαααβααα=+-=-+写出形如（4.5）的矩阵形式.解[][]1212321,,,1111ββααα⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦9. 设123123032204103124,,,,,210111321213αααβββ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥======⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦证明向量组{}123,,βββ可由向量组{}123,,ααα线性表示，但向量组{}123,,ααα不能由向量组{}123,,βββ线性表示. 证 令[]123,,A ααα=，[]123,,B βββ=由[]400111040222004135000000rA B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−→⎢⎥-⎢⎥⎣⎦知向量组{}123,,βββ可由向量组{}123,,ααα线性表示. 由[]204032022012000210000000rBA ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥−−→⎢⎥-⎢⎥⎣⎦知12,αα都不能由向量组{}123,,βββ线性表示，故向量组{}123,,ααα不能由向量组{}123,,βββ线性表示.10. 设12123011131,1,0,2,210111ααβββ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦证明向量组{}12,αα与向量组{}123,,βββ等价.方法1 令[][]12123,,,,A B ααβββ==. 由[]101110111300000rA B -⎡⎤⎢⎥−−→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦知向量组{}123,,βββ可由向量组{}12,αα线性表示.[]1020.50.50110.50.500000rBA --⎡⎤⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦知向量组{}12,αα可由向量组{}123,,βββ线性表示.所以{}{}12123,,,ααβββ≅.方法2 令T1TT 12T T 23,A B βαβαβ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，则101011rA -⎡⎤−−→⎢⎥⎣⎦，101011000rB -⎡⎤⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦记T T12[1,0,1],[0,1,1]γγ=-=，根据行等价矩阵的行向量组等价，由上知{}{}{}{}121212312,,,,,,ααγγβββγγ≅≅所以{}{}12123,,,ααβββ≅.4.2 向量组的线性相关性练习4.21. 证明：含有零向量的向量组必线性相关. 证 不妨设向量组为{}123,,ααα，其中10α=，则1231000ααα++=根据定义{}123,,ααα线性相关.2. 证明：含两个向量的向量组线性相关的充要条件是它们的分量对应成比例. 问含三个向量的向量组线性相关的充要条件是不是它们对应的分量成比例？证 设112212[,,,],[,,,]T T n n a a a b b b αα== 且{}12,αα线性相关. 于是存在不全为零的数12,k k 使得11220k k αα+=，不妨设10k ≠，从而21221k k k ααα==，即 (1,2,,)i i a kb i n ==即1α与2α的对应分量成比例.反之，如果(1,2,,)i i a kb i n == ，则12k αα=,即1210k αα-=，故{}12,αα线性相关.由三个向量构成的向量组如果对应分量成比例，则显然线性相关. 但线性相关，它们的对应分量不一定成比例. 如123111,,123ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦或1231121,2,3134ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦3. 判别下列向量组的线性相关性： （1）[]12,5Tα=，[]21,3Tα=-（2）[][][]1231,2,3,0,2,5,1,0,2TTTααα=-=-=- （3）[][][]1232,4,1,1,0,1,2,0,1,1,1,3,0,0,1TTTααα==-=解（1） 令1221[,]53A αα-⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，由110A =≠，知A 是可逆矩阵，故其列向量组{}12,αα线性无关.（2）类似（1），由 1012200352--=-，得{}123,,ααα线性相关. (3) 易知向量组()()()T T T 1,0,0,1,1,0,0,1,1321===βββ线性无关，而向量组{}123,,ααα是向量组{}123,,βββ的加长向量组，故{}123,,ααα也线性无关.4. 设[][][]1231,1,1,1,2,3,1,3,TTTt ααα===, (1) 问t 为何值时, 向量组321,,ααα线性相关？ (2) 问t 为何值时, 向量组321,,ααα线性无关？解 令11112313A t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，计算得5A t =- （1）当5t =时，A 是不可逆矩阵，其列向量组321,,ααα线性相关. （2）当5t ≠时，A 是可逆矩阵，其列向量组321,,ααα线性无关. 5. 证明由阶梯矩阵的非零行构成的向量组一定线性无关. 证 不妨设阶梯矩阵12340000000000T T T T U αααα⊗****⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⊗**⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⊗*⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中0⊗≠. 考察下面方程组112233123000000x x x x x x ααα⊗⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥*⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++=++=*⊗⎢⎥⎢⎥⎢⎥**⊗⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥***⎣⎦⎣⎦⎣⎦显然该方程组只有零解，故{}123,,ααα线性无关.4.3 向量组的秩练习4.31. 设[][][][]T T T T12341,2,3,4,2,3,4,5,3,4,5,6,4,5,6,7====αααα求向量组1234,,,αααα的秩及其一个极大无关组, 并把其余向量用所求的极大无关组线性表示.解 1234[,,,]A =αααα12341012234501233456000045670000r --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦因此{}12,αα是{}1234,,,αααα的一个最大无关组，且2132ααα+-=，21432ααα+-=2. 设向量组2123,,2,31311a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的秩为2，求,a b .解 记12342123,,2,31311a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦αααα，由于{}1234rank ,,,2=αααα，所以{}341,,ααα线性相关，{}342,,ααα也线性相关.由[]3411212,,2330132111002ra a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ααα 得2a =.由[]342122122,,23014113005rb b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ααα 得5b =.3. 证明极大无关组的定义4.5与定义4.6的等价性.证 （定义4.5⇒定义4.6） 设121,,,r βββ+ 是V 中任意1r +个向量. 由定义4.5（2）知121,,,r βββ+ 可由12,,,r ααα 线性表示，由定理4.9，121,,,r βββ+ 线性相关，即定义4.6（2）成立.（定义4.6⇒定义4.5）设β是V 中任意一个向量. 则12,,,,r αααβ 是1r +个向量，由定义4.6（2），12,,,,r αααβ 线性相关，又12,,,r ααα 线性无关，再由唯一表示定理，β可由12,,,r ααα 线性表示，即定义4.5（2）成立.4.4 矩阵的秩练习4.41. 求下面矩阵的秩（1）1121021120331101⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，（2）123222123333123111a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（其中123,,a a a 互不相等）. 解 （1）由11211121021102112033002011010000r A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=−−→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦得()3r A = （2）记123222123333123111a a a A a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，由于范德蒙行列式1232221231110a a a a a a ≠，得()3r A = 2. （1）设A 是23⨯矩阵，且rank 2A =，写出A 的等价标准形； （2）设A 是32⨯矩阵，且rank 2A =，写出A 的等价标准形. 解 （1）[]20A E ≅，（2）20E A ⎡⎤≅⎢⎥⎣⎦3. 设22139528A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦（1）求一个42⨯矩阵B 使得0AB =，且rank 2B =; （2）求一个42⨯矩阵C 使得AC E =，且rank 2C =. 解 （1）求解方程组0Ax =得两个线性无关的解12[1,5,8,0],[1,11,0,8]T T ββ==-令[]1211511,8008B ββ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦则rank 2,B AB O ==，B 即为所求.（2）解1Ax e =得一个解11[5,9,0,0]8Tβ=--，解2A x e =得一个解21[2,2,0,0]8Tβ= 令[]1252921,00800C ββ-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦则2rank 2,C AC E ==，C 即为所求.4. 设m n n m m m A B C ⨯⨯⨯=，若C 是可逆矩阵，则()()r A r B m ==.证 ()()()()m r C r A B r A m r A m===≤⇒= ()()()()m r C r AB r B m r B m ===≤⇒=5. 证明：()()()r A B r A r B +≤+. 方法1 设12[,,,]n A ααα= ,[]12,,,n B βββ= ,(),()r A s r B t ==不妨设{}12,,,t ααα 是A 的列向量组的极大无关组，{}12,,,s βββ 是B 的列向量组的极大无关组. 显然A B +的列向量可由{}11,,,,,t s ααββ 线性表示，于是()r A B +=()A B +的列秩{}11r ,,,,,()()t s s t r A r B ααββ≤≤+=+证明：)()()(B r A r B A r +≤+ 方法2 由],[],[B A B B A c−→−+得[,][,]r A B B r A B +=，从而（用到例题的结论）)()(],[],[)(B r A r B A r B B A r B A r +≤=+≤+6. 用等价标准形定理证明：rank 1m n A ⨯=的充要条件是T A αβ=其中0,0m n R R αβ≠∈≠∈.证 设rank 1A =，由等价标准形定理，存在可逆矩阵,m m n n P R Q R ⨯⨯∈∈，使得1000A P Q ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦[]101,0,,00P Q ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦令α是P 的第一列，T β是Q 的第一行，显然0,0αβ≠≠，上式就是T A αβ=.反之，如果TA αβ=()0,0αβ≠≠，则1()()1()1r A r r A α≤≤=⇒=4.5 向量空间练习4.51. 设{}31123123123(,,)|,,,0T V x x x x x x x R x x x R ==∈++=⊂ {}32123123123(,,)|,,,1T V x x x x x x x R x x x R ==∈++=⊂证明1V 是3R 的子空间, 2V 不是3R 的子空间. 证 1V 是齐次线性方程组的解集，2V 是非齐次线性方程组的解集，同例题的证明一样.2. 设343443434,,x x x x V x x x x R R x x ⎧⎫+⎡⎤⎪⎪⎢⎥-⎪⎪⎢⎥==∈⊂⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭证明V 是4R 的子空间，并求V 的维数及V 的一个基.证 把V 中向量改写为34314211111001x x x x x αα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则12span(,)V αα=，又{}12,αα线性无关，所以{}12,αα是V 的一个基，dim 2V =.3. 设12342112,1,1,010541αααα----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦求123span(,,)ααα两个不同的基, 并分别求α在所求的基下的坐标.解 易知{}123rank ,,2ααα=，又{}13,αα线性无关，{}23,αα线性无关，所以{}13,αα与{}23,αα都是123span(,,)ααα的基.解方程组1123x x ααα+=得120.5,1x x ==-于是α在基{}13,αα下的坐标是[]0.5,1T-.解方程组1223x x ααα+=得121,1x x ==-于是α在基{}23,αα下的坐标是[]1,1T-.4. 设121211201011,,,01310131ααββ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦证明：1212span(,)span(,)ααββ=. 证 只需证{}{}1212,,ααββ≅由[]12121011013100000000rααββ-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦知{}12,ββ可由{}12,αα线性表示. 由[]1212100.50.501 1.50.500000000rββαα⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦知{}12,αα可由{}12,ββ线性表示.所以{}{}1212,,ααββ≅. 5. 已知3R 的两个基为1231111,0,0111ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 及 1231232,3,4143βββ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦求由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵.解 由[]123123100234,,,,,010*********rαααβββ⎡⎤⎢⎥−−→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦得[][]123123234,,,,010101βββααα⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵为234010101P ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦4.6 线性方程组解的结构练习4.61. 求齐次线性方程组1232340x x x x x x -+=⎧⎨-+=⎩ 两个不同的基础解系，并写出通解.解 记系数矩阵为A ，则10010111rA ⎡⎤−−→⎢⎥-⎣⎦同解方程为14234x x x x x =-⎧⎨=-⎩ 分别取3410,01x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦得1201,11x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得基础解系为 120111,1001αα-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别取3411,01x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦得1201,10x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得基础解系为 120110,1101ββ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦通解为112212,(,)x k k k k R αα=+∈或112212,(,)x k k k k R ββ=+∈2. 求一个齐次线性方程组，使它的基础解系为T T 12[0,1,2,3],[3,2,1,0]ξξ==解 设所求方程组为0=Ax ，由题设()12,0A ξξ=.记()12,B ξξ=，则0=AB 即0=T T A B ，这说明T A 的列都是方程组0=x B T 的解.解方程组0=x B T ，即2341232303230x x x x x x ++=⎧⎨++=⎩ 得基础解系为T )0,1,2,1(1-=α，T )1,0,3,2(2-=α令],[21αα=T A ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1032012121T T A αα所求方程组为0=Ax ，即⎩⎨⎧=+-=+-03202421321x x x x x x 3. 求下面非齐次方程组的一个解及对应的齐次方程组的基础解系1212341234522153223x x x x x x x x x x +=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 解 对增广矩阵初等行变换化最简阶梯形[]1100510108211210110135322300012rA b -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦等价方程组为132348132x x x x x =--⎧⎪=+⎨⎪=⎩ 令30x =得方程组的一个解*[8,13,0,2]T η=-对应的齐次方程组的等价方程组为132340x x x x x =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ 令31x =得基础解系[1,1,1,0]T α=-4. 设142536A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求使得方程组Ax b =有解的所有向量b . 解 向量b 是A 的列向量的线性组合，即12121425,,36b k k k k R ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦5. 设12,,,s ηηη 是非齐次方程组b Ax =的s 个解向量，令112212,,,,s s s k k k k k k R ηηηη=+++∈证明:（1）η是非齐次方程组Ax b =的解的充要条件是121s k k k +++= ； （2）η是齐次方程组0Ax =的解的充要条件是120s k k k +++= . 证 （1） 1122s s k k k ηηη+++ 是b Ax =的解⇔ ()1122s s A k k k b ηηη+++= ⇔ ()12s k k k b b +++= (≠b 0) ⇔ 121s k k k +++=（2） 1122s s k k k ηηη+++ 是0=Ax 的解⇔ ()11220s s A k k k ηηη+++= ⇔ ()120s k k k b +++= (≠b 0) ⇔ 120s k k k +++=6. 设4rank 3m A ⨯=, 321,,ηηη是非齐次方程组b Ax =的3个解向量, 并且T T )4,3,2,1( , )5,4,3,2(321=+=ηηη求方程组b Ax =的通解.解 由3)(4=⨯m A r 知，知0=Ax 的基础解系只含一个向量，取T )6,5,4,3()(2321=+-=ηηηξ则ξ是0=Ax 的基础解系. 从而非齐次方程组b Ax =的通解为1x k ηξ=+，（k R ∈） 7. 设矩阵[]1234,,,=A αααα, 其中432,,ααα线性无关,3212ααα-=, 向量4321ααααβ+++=. 求线性方程组βx A =的通解.解 由假设易知()3r A =，从而0=Ax 的基础解系只含一个向量. 由12312342200=-⇔-++=ααααααα得[1,2,1,0]T ξ=-为0=Ax 的基础解系.由1234+++=ααααβ得[1,1,1,1]T η=为βx A =的一个解. 于是βx A =的通解是,()x k k R ηξ=+∈习题四1. 设βααα,,,,21r 都是n 维向量，β可由r ααα,,,21 线性表示，但β不能由121,,,-r ααα 线性表示，证明：r α可由121,,,,r αααβ- 线性表示.证 因为β可由r ααα,,,21 线性表示，设r r r r k k k k ααααβ++++=--112211又因为β不能由121,,,-r ααα 线性表示，所以0≠r k ，因此11111-----=r rr r r r k k k k k ααβα 即r α可由121,,,,r αααβ- 线性表示.2. 设123123111221,,1,1,,114a a a a a a a αααβββ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥======⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦确定常数a , 使向量组321,,ααα可由向量组321,,βββ线性表示, 但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示.解 记],,[321ααα=A ，],,[321βββ=B ，由于{}123,,βββ不能由{}123,,ααα线性表示，所以3)(<A r ，从而0)2()1(2=+--=a a A得1=a 或2-=a .当1=a 时，1321βααα===，故321,,ααα可由321,,βββ线性表示，但2β不能由321,,ααα线性表示. 所以1=a 符合题意.当2-=a 时，由[]122112006033000033rBA ---⎡⎤⎢⎥−−→--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦知{}123,,ααα不能由{}123,,βββ线性表示，与题设矛盾. 综上，1=a .3. 设121,,,-m ααα （3≥m ）线性相关, m ααα,,32 线性无关, 讨论:（1）1α能否由132,,-m ααα 线性表示; （2）m α能否由121,,,-m ααα 线性表示.方法1 （1）因为m ααα,,32 线性无关，故132,,-m ααα 线性无关. 又因为121,,,-m ααα 线性相关，由唯一表示定理，1α可由132,,-m ααα 唯一表示.（2）设m α能由121,,,-m ααα 线性表示112211--+++=m m m αλαλαλα由（1），1α又能由132,,-m ααα 线性表示，故m α也能由132,,,-m ααα 线性表示，从而m ααα,,32 线性相关，这与假设矛盾. 故m α不能由121,,,-m ααα 线性表示.方法2 由假设{}121,,,1m r m ααα-<- ，{}23,,,1m r m ααα=-（1） 由{}{}231231,,,,,m m m r r ααααααα-=≤ {}131,,11m r m ααα-≤+≤-得{}{}23123,,,,,1m m r r m ααααααα==-由唯一表示定理，1α能由132,,-m ααα 唯一表示.（2）由(1)，{}121,,,,1m m r m αααα-=- ，而{}121,,,1m r m ααα-<- 故{}{}121121,,,,,,,m m m r r ααααααα--≠m α不能由121,,,-m ααα 线性表示.4. 设nn RA ⨯∈, n R ∈α（0≠α）, 0=αk A , 01≠-αk A , 证明向量组{}21,,,,k A A Aαααα-线性无关.证 设0112210=++++--ααααk k A k A k A k k上式两边左乘1-k A得010=-αk A k ，由于01≠-αk A，得00k =，因此011221=+++--αααk k A k A k A k上式两边左乘2-k A ，类似可推出01=k . 进而再推出210k k k -=== .5. 设nn RA ⨯∈,n R ∈321,,ααα（01≠α）, 如果11αα=A , 212ααα+=A , 323ααα+=A证明321,,ααα线性无关.证 由题设23121)(,)(,0)(ααααα=-=-=-E A E A E A设0332211=++αααk k k两边左乘E A -得02312=+ααk k再左乘E A -得013=αk由01≠α得03=k ，往上逐一代入210,0k k ==. 故321,,ααα线性无关.6. 设向量组12:,,,m S ααα 线性无关, 1β能由S 线性表示, 而2β不能由S 线性表示,证明:（1）向量组122,,,,m αααβ 线性无关.（2）对R k ∈∀, 向量组1221,,,,m k αααββ+ 线性无关.证 （1）由于12,,,m ααα 线性无关，而2β不能由12,,,m ααα 线性表示，故221,,,,βαααm 线性无关. 否则，由唯一表示定理，2β能由12,,,m ααα 唯一表示，与假设矛盾.（2）由（1）122rank[,,,,]1m m αααβ=+再由1β可由12,,,m ααα 线性表示，得1221122[,,,,][,,,,]cm m k αααββαααβ+−−→从而1221rank[,,,,]m k αααββ+= 122rank[,,,,]1m m αααβ=+1221,,,,m k αααββ+ 线性无关.7. 设12,,,,m αααβ nR ∈（0β≠）且0(1,2,,)T i i m βα== , 证明： (1) β不能由12,,,m ααα 线性表示；(2) 如果12,,,m ααα 线性无关, 则12,,,,m αααβ 也线性无关. 证 (1) 反证. 设β可由12,,,m ααα 线性表示1122m m k k k βααα=+++两边左乘Tβ得0Tββ=，这与0β≠矛盾.(2) 反证. 如果12,,,,m αααβ 线性相关，则由唯一表示定理，β由12,,,m ααα 唯一表示. 与(1)矛盾.8. 已知321,,ααα线性无关, 试问常数k m ,满足什么条件时, 向量组{}213213,,k m αααααα---线性无关？方法1设0)()()(313232121=-+-+-ααααααx m x k x整理得0)()()(332221113=-+-+-αααx m x x k x x x由于321,,ααα线性无关，故上式又等价于⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=+-000322131x m x x kx x x ⇔ 12310110001x k x m x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦312312,,αααααα---m k 线性无关的充要条件是上面方程组只有零解. 即1011010101kmk mk m --=-≠⇔≠- 方法2 记313232121,,ααβααβααβ-=-=-=m k . 写成矩阵形式[][]123123101,,,,1001k m βββααα-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦由例4.14，321,,βββ线性无关⇔101rank 10301k m -⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⇔1≠mk9. 已知向量组m ααα,,,21 （2≥m ）线性无关. 设111322211,,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=--m m m m m试讨论向量组m βββ,,,21 的线性相关性.证 把题设写成矩阵形式[][]1212,,,,,,m m C βββααα=其中100111011011m m⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C 经计算12,1(1)0,m m C m +⎧=+-=⎨⎩若为奇数若为偶数同上一题完全类似，有两种方法. 结论是m βββ,,,21 线性无关⇔0C ≠⇔m 为奇数时 m βββ,,,21 线性相关⇔0C =⇔m 为偶数时10. 设,m n n p A B ⨯⨯是满足AB O =的两个非零矩阵，证明A 的列向量组线性相关, 且B 的行向量组线性相关.方法1 B 的列向量都是方程组0=Ax 的解，又B 为非零矩阵，说明0=Ax 存在非零解，所以n A r <)(，从而A 的列向量组线性相关.考虑0=TT A B ，又知TB 的列向量组即B 的行向量组线性相关.方法2 由例题，()()r A r B n +≤又()0,()0r A r B >>，所以(),()r A n r B n <<，于是A 的列向量组线性相关，且B 的行向量组线性相关.11. 证明：rank rank rank ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦A O AB O B .方法1 把,A B 用初等行变换化为阶梯矩阵，设12,00r rU U A B ⎡⎤⎡⎤−−→−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中12,U U 的行向量都是非零行向量. 则1122000000000000r r U U U U ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−→−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A O OB 显然上式右边也是阶梯形矩阵，从而1122rank rank rank rank U U U U ⎡⎤⎡⎤==+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦O A O A B O O B 的行数的行数方法2 设12rank ,rank r r ==A B ，A 有子式10r A ≠，B 有子式20r B ≠，因此⎡⎤⎢⎥⎣⎦A O OB 有子式1122000r r r r A A B B =≠，从而12rank r r ⎡⎤≥+⎢⎥⎣⎦A O O B又12rank rank rank r r ⎡⎤⎡⎤⎡⎤≤+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A O A O OB O B 所以12rank rank rank r r ⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦A O AB O B12. 设*A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵()2≥n , 证明：,()()1,()10,()1n r A nr A r A n r A n *=⎧⎪==-⎨⎪<-⎩证 当n A r =)(时，0≠A ，由行列式的展开定理：E A A A =*，立即知A *是可逆矩阵，即()r A n *=.当1)(-<n A r 时，A 的所有1-n 阶子式都等于零，这时*A 是零矩阵，故0)(=*A r . 当1)(-=n A r 时，0=A ，由行列式的展开定理0==*E A A A由例题n A r A r ≤+*)()(()1r A *⇒≤再由1)(-=n A r 知A 有一个1-n 阶子式不等于零，故*A 至少有一个元素不为零，因此()0r A *>. 综上，1)(=*A r .13.设rank m n A m ⨯=, 证明存在矩阵m n B ⨯, 使m m n n m E B A =⨯⨯.方法1 由题设m A r n m =⨯)(和例题，对任意的mb R ∈，线性方程组Ax b =都有解. 特别地取b 为标准单位向量12,,,m m e e e R ∈ ，方程组m n i A x e ⨯=(1,2,,)i m =的解记为12,,,n m b b b R ∈ ，令()12,,,n m m B b b b ⨯=则m m n n m E B A =⨯⨯易知()n m r B m ⨯=证法 2 由题设m A r n m =⨯)(（此时m n ≤），故只用列变换就可将A 化为标准形，即存在可矩阵n Q 使得()m AQ E O =把Q 分块，()1n mQ B Q ⨯=，则m m n n m E B A =⨯⨯易知()n m r B m ⨯=14. 证明Sylvester 不等式:r()r()r()m n n p n ⨯⨯+-≤A B A B方法1 设r AB r t B r s A r p n n m ===⨯⨯)(,)(,)(由等价标准形定理知有可逆矩阵Q P ,使⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000sEPAQ 因此11120()()000sB E s B s PAB PAQ Q B B n s n s -⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦1()()()r AB r PAB r B ==112()()B t r B r Q B r B -⎡⎤===⎢⎥⎣⎦122()()()()()r B r B r AB r B r n s ≤+=+≤+-移项得r n t s ≤-+，即r()r()r()n +-≤A B AB15. 设rank m n n ⨯=P ，证明rank()rank =PA A . 证法1 记C PA =，则()()()r C r PA r A =≤再由习题13，存在矩阵M 使得MP E =. 在C PA =两边左乘M 得MC A =从而()()()r A r MC r C =≤综上，()()()r C r PA r A ==.证法2 设A 是m n ⨯阶矩阵，()r m =P ，由Sylvester 不等式()()()r A r P r A m =+-≤()()r PA r A ≤从而r()r()=PA A16. 设n 阶矩阵A 满足2A A =，证明()()r A r A E n +-= 证 由()-=A E A O 和例题r()r()n +-≤A E A又[]()r()r ()r r()n ==+-≤+-E A E A A E A综上r()r()n +-=A E A .17. 证明满秩分解定理: 设rank m n A r ⨯=, 则A 有如下分解：m r r n A H L ⨯⨯=其中rank rank H L r ==.方法1 由等价标准形定理，存在可逆矩阵m P 和n Q 使得[]1111000rr r r n m rEE A P Q P E O Q O ----⨯⨯⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦令[]11,r rE H P L E O Q O --⎡⎤==⎢⎥⎣⎦则n r r m L H A ⨯⨯=，且显然有r L r H r ==)()(.方法2 不妨设A 的列向量组的极大无关组为12,,,r ααα ，并记矩阵[]12,,,m r r H ααα⨯=则A 的所有列向量都可由12,,,r ααα 线性表示，即存在矩阵r n L ⨯使得n r r m L H A ⨯⨯=又()()()()m r r n m r r r A r H L r H r r H r ⨯⨯⨯==≤≤⇒=同理()r L r =.18. 证明：r()r()r()r()ABC AB BC B ≥+-. 证 设rank()n k B r ⨯=，B 的满秩分解为B MN =由Sylvester 不等式rank()rank[()()]rank()rank()r ABC AM NC AM NC =≥+- rank()rank()r rank()rank()rank()AMN MNC AB BC B ≥+-=+-19. 设12,V V 都是nR 的子空间, 令{}12121122|,V V V V ααααα+==+∈∈, {}1212|V V V V ααα=∈∈ 且证明12V V +与12V V 都是nR 的子空间. 举例说明{}1212|V V V V ααα=∈∈ 或不是nR 的子空间.证 易（略）20. 证明基的扩张定理定理4.14：设1,,m αα 是nR 的一个线性无关组, m n <, 则存在n m -个向量1,,m n a α+ , 使得11,,,,,m m n αααα+ 成为n R 的一个基.证 由于m n <，故12,,,m ααα 不是nR 的基，从而至少有一个向量1m +α不能由12,,,m ααα 线性表示. 则121,,,,m m +αααα 必线性无关（否则，由唯一表示定理得出矛盾）.如果1m n +=，则证毕. 否则，如果1m n +<，同上知，存在向量2m +α使得1212,,,,,m m m ++ααααα 线性无关. 依此类推，得证. 21. 若矩阵()ij n n A a ⨯=满足1(1,2,,)nii ij j j ia a i n =≠>=∑则称A 是严格对角占优矩阵. 证明严格对角占优矩阵必是可逆矩阵.证 反证. 假设A 是不可逆矩阵, 则0Ax =有非零解, 记一个非零解为12(,,,)T n x x x x = . 再记1max 0k i i nx x ≤≤=>考察0Ax =的第k 个方程11220k k kn n a x a x a x +++=即1nkk k kj j j j ka x a x =≠=-∑两边取绝对值111nnnk kk kj j kkjkk kj j j j j kj kj kx a a x x aa a ===≠≠≠≤≤⇒≤∑∑∑这与假设矛盾. 因此A 是可逆矩阵. 22. 证明方程组TTA Ax A b =一定有解.证 只需证方程组系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等. 由例题()T T T T Tr()r()r ,r (,)r()r()⎡⎤=≤=≤=⎣⎦A A A A A A b A A b A A故()T T T r()r ,=A A A A A b从而方程组b A Ax A T T =一定有解.23. 设=Ax 0与=Bx 0都是n 元的齐次方程组, 证明下面三个命题等价： （1）=Ax 0与=Bx 0同解； （2）rank rank rank ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A AB B ； （3）A 的行向量组与B 的行向量组等价. 证 记（I ）=Ax 0，（II ）=Bx 0，（III ）=⎧⎨=⎩Ax Bx 0（1）⇒（2） 由于（I ）的解都是（II ）的解，所以（I ）的解也都是（III ）的解. 又显然（III ）的解都是（I ）的解. 因此，（I ）与（III ）同解. 同样的道理，（II ）与（III ）也是同解的. 因此它们基础解系所含向量个数相等，即()()r r r n n n ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭A AB B于是()()r r r ⎛⎫== ⎪⎝⎭A AB B（2）⇒（3） 命题（2）等价于()()()T T T T r r r ,==A B A B由定理4.3，TA 的列向组与TB 的列向量组等价. 即A 的行向量组与B 的行向量组等价.（3）⇒（1） 这是显然.24．设B A ,均是n 阶的方阵，证明)()(B r AB r =的充要条件是方程组0)(=x AB 与方程组0=Bx 同解.证 （⇒）显然0=Bx 的解必是0)(=x AB 的解. 又)()(B r AB r =，0=Bx 的基础解系也是0)(=x AB 的基础解系. 所以，方程组0)(=x AB 与方程组0=Bx 同解.（⇐）易25. 若n 阶矩阵[]121,,,,n n A αααα-= 的前1n -个列向量线性相关，后1n -个列向量线性无关，12n βααα=+++ ，证明：（1）方程组Ax β=必有无穷多解；（2）若T 12(,,,)n k k k 是Ax β=的任一解，则1n k =. 证 （1）由12n βααα=+++ , 知(1,1,,1)T x = 是Ax β=的一个解. 又()1r A n =-，故Ax β=有无穷多解.（2）121,,,n ααα- 线性相关，存在不全为零的数121,,,n l l l - 使1122110n n l l l ααα--++=说明()121,,,,0Tn l l l - 是0Ax =基础解系. Ax β=的通解为()()121(1,1,,1),,,,0,,,1T TT n k l l l -+=⨯⨯26. 设线性方程组(I)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++m n mn m m n n bx a x a x a b x a x a x a 221111212111 (II)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++100221122*********m m m nm n n m m y b y b y b y a y a y a y a y a y a证明：方程组（I ）有解⇔方程组（II ）无解.证 记方程组（I ）为=Ax b ，则方程组（II ）可写成T T 1⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A y b 0易知TTT r r()1r()11⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭A A A b0 这样(II)无解⇔TT T TT T r r 1r()1r 11⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⇔+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A A A b b b 0 ()T T r()r r()r ⎛⎫⇔=⇔=⇔ ⎪⎝⎭A A A A b b （I ）有解27. 设线性方程组(I) ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++m n mn m m n n bx a x a x a b x a x a x a 221111212111(II) ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++022111221111m nm n n m m y a y a y a y a y a y a(III) 02211=+++m m y b y b y b证明：方程组（I ）有解⇔方程组（II ）的解都是方程组（III ）的解.证 记n m ij a A ⨯=)(，T n x x x x ),,,(21 =，T m y y y y ),,,(21 =，T m b b b b ),,,(21 =则三个方程可写为(I) b Ax =，(II) 0=y A T ，(III) 0=y b T因此(I)有解⇔],[)(b A r A r =⇔⎥⎦⎤⎢⎣⎡=T T Tb A r A r )((由例5.2)⇔（II ）的解都是（III ）的解28. 设齐次方程组123423412422000x x x x x cx cx x cx x +++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解空间的维数是2, 求其一个基础解系.解 由dim N()r()n =-A A 知，系数矩阵的秩r()422=-=A .221212101222010110100(1)(1)r c c A c c cc c c c --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭由r()2=A ，得1c =. 原方程组的等价方程组为13234x x x x x =⎧⎨=--⎩ 取3410,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 得一个基础解系为T T 12(1,1,1,0),(0,1,0,1)=-=-αα29. 设四元齐次线性方程组(I) ⎩⎨⎧=-=+004221x x x x还知道另一齐次线性方程组(II)的通解为T T k k )1,2,2,1()0,1,1,0(21-+求方程组（I ）与（II ）的公共解.解法1 将方程组(II)的通解T T k k x )1,2,2,1()0,1,1,0(21-+=212122(,2,2,)T k k k k k k =-++代入组方程组(I)得到关于21,k k 的线性方程组2121212220020k k k k k k k k -++=⎧⇔+=⎨+-=⎩ 令k k =2，则k k -=1，故方程组(I)与方程组(II)的公共解为T T T k k k x )1,1,1,1()1,2,2,1()0,1,1,0(21-=-+=（R k ∈）解法2 易求方程组(I)的基础解系为T )0,1,0,0(1=α，T )1,0,1,1(2-=α其通解为3142x k k αα=+令两个方程组的通解相等T T k k x )1,2,2,1()0,1,1,0(21-+=T k )0,1,0,0(3=T k )1,0,1,1(4-+得关于4321,,,k k k k 的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-+=-+=+-0020********2142k k k k k k k k k k 解之得k k k k k k k k ===-=4321,,,因此两个方程组公共解为T T T k k k x )1,1,1,1()1,2,2,1()0,1,1,0(-=-+-=30. 设n n ij a A ⨯=)(, 0≠A , 证明：n r <时, 齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0022111212111n rn r r n n x a x a x a x a x a x a 的一个基础解系为T jn j j j A A A ),,,(21 =ξ，（n r j ,,1 +=） 其中jk A 为A 的),(k j 元的代数余子式（n k j ,,2,1, =）.证 由行列式展开定理02211=+++jn in j i j i A a A a A a （n r j r i ,,1;,,1 +==）所以j ξ（n r j ,,1 +=）是齐次方程组的解（共r n -个）.由0≠A ⇒齐次方程组系数矩阵的秩为r ，所以齐次方程组基础解系所含向量个数为r n -. 再由0≠A n A r =⇒)(*⇒*A 的r n -个行向量的转置n r ξξ,,1 +线性无关.综上可知，n r ξξ,,1 +是齐次方程组的一个基础解系.31. 设rank m n A r ⨯=, *η是非齐次方程组b Ax =的一个特解, 12,,,n r ξξξ- 是其对应的齐次方程组0=Ax 的一个基础解系. 证明{}****12,,,,n r ηηαηαηα-+++是Ax b =解集V 的一个极大无关组, 从而rank 1V n r =-+.证 记{}****12,,,,n r T ηηαηαηα-=+++显然T 中的向量都是b Ax =的解，即T V ⊂.下面证明T 线性无关. 设0)()()(12211=++++++++---ηξηξηξηr n r n r n k k k k把上式整理为0)(1212211=+++++++++----ηξξξr n r n r n r n k k k k k k k上式两边左乘A 得0)(121=+++++--b k k k k r n r n由0≠b 得0121=+++++--r n r n k k k k往上代入得02211=+++--r n r n k k k ξξξ由r n -ξξξ,,,21 线性无关性得021====-r n k k k再往上代入又得01=+-r n k . 这说明T 是线性无关的向量组.下面再证明V 中的任一向量都可由T 线性表示. 由于V 中的任一向量都可写为r n r n k k k x --++++=ξξξη 2211即)()()()1(221121r n r n r n k k k k k k x ---+++++++----=ξηξηξηη这说明V 中的任一向量都可由T 线性表示. 综上，向量组T 是Ax b =解集V 的一个极大无关组，rank r()1S n =-+A .32. 已知T T T 111121,2221222,212,2(,,),(,,,),,(,,,)n n n n n n n b b b b b b b b b ===βββ是方程组1111221,222112222,221122,2200 0n n n nn n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 的基础解系. 证明T T T 111121,2221222,212,2(,,),(,,,),,(,,,)n n n n n n n a a a a a a a a a ===ααα是方程组1111221,222112222,221122,22000n n n nn n n n n b x b x b x b x b x b x b x b x b x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 的基础解系.证 记矩阵T 1T 2T n ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ααA α ，T 1T 2T n ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ββB β则方程组（I ）和（II ）可分别写为（I ）=Ax 0 和 （II ）=Bx 0（2n∈x R ）因为12,,,n βββ 是方程组=Ax 0的基础解系，所以r ()2n n n =-=A ，从而12,,,n ααα 线性无关. 而且，12,,,n βββ 线性无关，r()n =B . 因此，方程组=Bx 0的基础解系所含解向量的个数为2r()n n -=B .由假设()T T 12,,,n =⇒=⇒=A βββO AB O BA O()T 12,,,n ⇒=⇒=BA O B αααO知12,,,n ααα 是方程组=Bx 0的n 个线性无关的解. 因此，12,,,n ααα 就是方程组=Bx 0的一个基础解系.。
线性代数课件2-4(1)
至少有一个 3 阶子式不为零 即不为零 子式的最高阶数 是3， 而所有的 4 阶子式 全为零
∴r( A) = 3 .
10
P D F c re a te d w ith p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
例题与讲解
3 3 0 − 2 例2: 设 A = − 1 − 4 3 0 , 1 − 5 6 − 2
0 0 0 1 1 0 0 0 列向量组 : β 1 = 0 , β 2 = 0 , β 3 = 0 , β 4 = 1 , 0 0 0 0
行向量组为 :
α 1 = (1, 0, 0, 0) , α 2 = ( 0, 1, 0, 0 ) , α 3 = ( 0, 0, 0, 1) , α 4 = ( 0, 0, 0, 0 ) ,
α 1 , α 2 , α 3 , α 4 线性 相关, α 1 , α 2 , α 3 线性无关,
∴ r (α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) = 3 , 即A的行秩是 3;
初等行变换
1 2 s 1 2 s
1
2
s
1
2
s
1
2
s
1
2
s
5
P D F c re a te d w ith p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
定理3 矩阵的行秩和列秩相等 . 证明: 当 A = O 时, 显然. 当 A ≠ O 时, 即A的元素不全为零 , 则
线性代数课后答案_习题一
习题一1.计算下列排列的逆序数 1）9级排列 134782695； 2）n 级排列 (1)21n n - 。
解：（1）(134782695)04004200010τ=++++++++= ； （2）[(1)21]n n τ-= (1)(1)(2)102n n n n --+-+++= 。
2.选择i 和k ，使得：1）1274i 56k 9成奇排列； 2）1i 25k 4897为偶排列。
解：（1）令3,8i k ==，则排列的逆序数为：(127435689)5τ=，排列为奇排列。
从而3,8i k ==。
（2）令3,6i k ==，则排列的逆序数为：(132564897)5τ=，排列为奇排列。
与题意不符，从而6,3i k ==。
3.由定义计算行列式11122122313241424344455152535455000000000a a a aa aa a a a aa aaaa。
解：行列式＝123451234512345()12345(1)j j j j j j j j j j j j j j j a a a a a τ-∑，因为123,,j j j 至少有一个大于3，所以123123j j j a a a 中至少有一数为0，从而12345123450j j j j j a a a a a =（任意12345,,,,j j j j j ），于是123451234512345()12345(1)j j j j j j j j j j j j j j j a a a a a τ-=∑。
4.计算行列式：1）402131224---； 2）111111*********1----； 3）41241202105200117；4）1464161327912841512525--；5）2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)aa a ab b b bc c c c dd d d ++++++++++++。
线性代数知识点总结(第4章)
线性代数知识点总结（第4章）（一）方程组的表达形与解向量1、解的形式：(1)一般形式(2)矩阵形式：Ax=b；(3)向量形式：A=（α1，α2，…，αn）2、解的定义：若η=（c1，c2，…，c n）T满足方程组Ax=b，即Aη=b，称η是Ax=b的一个解（向量）（二）解的判定与性质3、齐次方程组：（1）只有零解←→r（A）=n（n为A的列数或是未知数x的个数）（2）有非零解←→r（A）＜n4、非齐次方程组：（1）无解←→r（A）＜r（A|b）←→r（A）=r（A）-1（2）唯一解←→r（A）=r（A|b）=n（3）无穷多解←→r（A）=r（A|b）＜n5、解的性质：（1）若ξ1，ξ2是Ax=0的解，则k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解（2）若ξ是Ax=0的解，η是Ax=b的解，则ξ+η是Ax=b的解（3）若η1，η2是Ax=b的解，则η1-η2是Ax=0的解【推广】（1）设η1，η2，…，ηs是Ax=b的解，则k1η1+k2η2+…+k sηs为Ax=b的解（当Σk i=1）Ax=0的解（当Σk i=0）（2）设η1，η2，…，ηs是Ax=b的s个线性无关的解，则η2-η1，η3-η1，…，ηs-η1为Ax=0的s-1个线性无关的解。
变式：①η1-η2，η3-η2，…，ηs-η2②η2-η1，η3-η2，…，ηs-ηs-1（三）基础解系6、基础解系定义：（1）ξ1，ξ2，…，ξs是Ax=0的解（2）ξ1，ξ2，…，ξs线性无关（3）Ax=0的所有解均可由其线性表示→基础解系即所有解的极大无关组注：基础解系不唯一。
任意n-r（A）个线性无关的解均可作为基础解系。
★7、重要结论：（证明也很重要）设A施m×n阶矩阵，B是n×s阶矩阵，AB=O（1）B的列向量均为方程Ax=0的解（2）r（A）+r（B）≤n（第2章，秩）8、总结：基础解系的求法（1）A为抽象的：由定义或性质凑n-r（A）个线性无关的解（2）A为数字的：A→初等行变换→阶梯型自由未知量分别取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量得到基础解系（四）解的结构（通解）9、齐次线性方程组的通解（所有解）设r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r为Ax=0的基础解系，则Ax=0的通解为k1η1+k2η2+…+k n-rηn-r （其中k1，k2，…，k n-r为任意常数）10、非齐次线性方程组的通解设r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r为Ax=0的基础解系，η为Ax=b的特解，则Ax=b的通解为η+ k1η1+k2η2+…+k n-rηn-r （其中k1，k2，…，k n-r为任意常数）（五）公共解与同解11、公共解定义：如果α既是方程组Ax=0的解，又是方程组Bx=0的解，则称α为其公共解12、非零公共解的充要条件：方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解←→有非零解←→13、重要结论（需要掌握证明）（1）设A是m×n阶矩阵，则齐次方程A T Ax=0与Ax=0同解，r（A T A）=r（A）（2）设A是m×n阶矩阵，r（A）=n，B是n×s阶矩阵，则齐次方程ABx=0与Bx=0同解，r（AB）=r（B）。
线性代数 第四章 (1-2节)
第四章线性方程组§1 消元法在实际问题中，我们经常要研究一个线性方程组的解，解线性方程组最常用的方法就是消元法，其步骤是逐步消除变元的系数，把原方程组化为等价的三角形方程组，再用回代过程解此等价的方程组，从而得出原方程组的解.例1 解线性方程组解 将第一个方程加到第二个方程，再将第一个方程乘以（-2）加到第三个方程得在上式中交换第二个和第三个方程，然后把第二个方程乘以-2加到第三个方程得再回代,得.分析上述例子，我们可以得出两个结论：（1） 我们对方程施行了三种变换：① 交换两个方程的位置；② 用一个不等于0的数乘某个方程；③ 用一个数乘某一个方程加到另一个方程上.我们把这三种变换叫作线性方程组的初等变换.由初等代数可知，以下定理成立.定理1 初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组.（2） 线性方程组有没有解,以及有些什么样的解完全决定于它的系数和常数项，因此我们在讨论线性方程组时，主要是研究它的系数和常数项.定义1 我们把线性方程组的系数所组成的矩阵叫做线性方程组的系数矩阵，把系数及常数所组成的矩阵叫做增广矩阵.设线性方程组则其系数矩阵是增广矩阵是显然，对一个方程组实行消元法求解，即对方程组实行了初等变换，相当于对它的增广矩阵实行了一个相应的初等变换.而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵，这样，不但讨论起来比较方便，而且能够给予我们一种方法，利用一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出.例2 解线性方程组解 增广矩阵是,交换矩阵第一行与第二行，再把第一行分别乘以和(-2)加到第二行和第三行，再把第二行乘以(-2)得,在中将第二行乘以2加到第三行得,相应的方程组变为三角形(阶梯形)方程组：回代得.§2 线性方程组有解判别定理上一节我们讨论了用消元法解方程组(4.1)这个方法在实际解线性方程组时比较方便，但是我们还有几个问题没有解决，就是方程组(4.1)在什么时候无解?在什么时候有解?有解时，又有多少解?这一节我们将对这些问题予以解答.首先，由第三章，我们有下述定理定理2 设A是一个m行n列矩阵，通过矩阵的初等变换能把A化为以下形式这里ｒ≥0，ｒ≤ｍ，ｒ≤ｎ.注：以上形式为特殊标准情况，不过，适当交换变元位置，一般可化为以上形式.由定理2，我们可以把线性方程组(4.1)的增广矩阵进行初等变换化为：（4.２）与(4.2)相应的线性方程组为：（4.3）由定理1知：方程组(4.1)与方程组(4.3)是同解方程组，要研究方程组(4.1)的解，就变为研究方程组(4.3)的解.① 若ｄｒ＋１，ｄｒ＋２，…，ｄｍ中有一个不为0，方程组(4.3)无解，那么方程组(4.1)也无解.② 若ｄｒ＋１，ｄｒ＋２，…，ｄｍ全为0，则方程组(4.3)有解，那么方程组(4.1)也有解.对于情形①，表现为增广矩阵与系数矩阵的秩不相等，情形②表现为增广矩阵与系数矩阵的秩相等，由此我们可以得到如下定理.定理3 (线性方程组有解的判别定理)线性方程组（4.1）有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩r.① 当r等于方程组所含未知量个数n时，方程组有惟一的解；② 当r＜ｎ时，方程组有无穷多解.线性方程组（4.1）无解的充分必要条件是：系数矩阵A的秩与增广矩阵B的秩不相等.在方程组有无穷多解的情况下，方程组有n-r个自由未知量，其解如下：其中是自由未知量，若给一组数就得到方程组的一组解例3 研究线性方程组解 写出增广矩阵对进行初等行变换可化为由此断定系数矩阵的秩与增广矩阵的秩不相等，所以方程组无解.例4 在一次投料生产中，获得四种产品，每次测试总成本如下表:生产批次产品（公斤）总成本（元）ⅠⅡⅢⅣ12001001005029002500250200100705031004002013604400180160605500试求每种产品的单位成本.解 设Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四种产品的单位成本分别为，由题意得方程组：化简，得写出增广矩阵对其进行初等行变换，化为由上面的矩阵可看出系数矩阵与增广矩阵的秩相等，并且等于未知数的个数，所以方程组有唯一解：例5 解线性方程组解 这里的增广矩阵是对其进行初等行变换，化为由上式可看出系数矩阵与增广矩阵的秩相等，所以方程组有解，对应的方程组是把移到右边，作为自由未知量，得原方程组的一般解为给自由未知量一组固定值：，我们就得到方程组的一个解.事实上，在例5中，也可作为自由未知量.我们同样可考察.。
线性代数chapter 2-3,2-4(1)
向量组等价的性质: 记为：1 , 2 ,, s 1 , 2 ,, t .
(1) 反身性: 任一向量组和它自身等价。 (2) 对称性: 1 , 2 ,, s 1 , 2 ,, t . 则1 , 2 ,, t {1 , 2 ,, s . (3) 传递性: 若1 , 2 ,, s 1 , 2 ,, t . 1 , 2 ,, t 1 , 2 , , p ,
Amn
A1
则 A1的列向量与 A 的列向量之间有相同的线性关系． 结论2: 矩阵的初等列变换不改变行向量间的线性关系. 问题:向量间的线性关系有哪些?
两矩阵列向量之间有相同的线性关系：
A (1 , 2 ,...,n ) A' (1 , 2 ,...,n )
0 4 12 0 0 1 1 3 3
1 r3 4 r2 0 0
0 0 0 1 1 r2 4 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 c3 1 c2 4 c4 1 c2 4 r ( A) 0 1 0 0 0 0 0 0 0 4 0
r行
等价标准形
问题:如何求矩阵的等价标准形?如何求矩阵的行秩和列秩?
推论: 定义2.14
r 矩阵Amn的行秩与列秩相等，统称为矩阵的秩. 记为： ( A)
对矩阵Amn ( aij ) mn 施行初等变换，可得矩阵的等价标准形.
对于矩阵 mn , A 结论 ： 0 r( A) min( , n) 1 m 结 论2： 若r ( A) m, 则A的 行 向 量 组 线 性 无 关 ， 满秩矩阵 此时矩阵 为行满秩矩阵。 A