数学：第二章《二次函数》复习课件(鲁教版九年级上)
九年级上册22.1.1二次函数课件(数学)
思考： 这三个函数关系式有什么共同点？
y 6x
2
2
1 2 1 m n n 2 2
y 20 x 40 x 20
2．通过实例，归纳二次函数的定义
y ax bx c
二次函数的定义：一般地，形如 2 （a ，b ，c 是常数， a ≠ 0）
的函数，叫做二次函数．其中， x 是自变量，
3．练习、巩固二次函数的定义
解：由题意，得 ∵ x＞y＞0， ∴
∴
． 2 x 2 y 18，y 9 x
9 x 的取值范围是 ＜x＜9， 2 S矩形 = xy = x（9 - x）= -x2+9x．
2 （ m 2 ） x + mx - 3 （m 为常数）． y= 练习3 函数
≠ 2 时，这个函数为二次函数； （1）当 m ______ = 2 时，这个函数为一次函数． （2）当 m ______ （3） n 支球队参加比赛，每两队之间进行两场 比赛，则比赛场次数 m 与球队数 n 之间的关系式是 m =n（ n-1 ） ________________ ．
4．小结
我的收获是· · · · · ·
（1）一个函数是否为二次函数的关键是什么？ （2）实际问题中列二次函数解析式需要考虑什么？
课堂检测
• 《学案》P25： 巩固训练1~ 4.
1 2 1 m n n 2 2
问题3：
某种产品现在的年产量是 20 t ，计划今后两年增加 产量．如果每一年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两 年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定， y 与 x 之间的关系应该怎样表示？
y 20 （ 1 x）
2
即
y 20 x 40 x 20
鲁教版-数学-九年级上册-3.4 二次函数y=ax^2 bx c的图象与性质(2) 课件
y 0.0225 x2 0.9x 10
y/m 10
桥面 -5 0 5
x/m
解： y 0.0225 x2 0.9x 10 0.0225 x 20 2 1. 且左右两条钢缆关于 y轴对称, 右边的钢缆的表达式为 : y 0.0225 x 20 2 1.
y/m 10
桥面 -5 0 5
x/m
解： y 0.0225 x2 0.9x 10
由顶点坐标公式
b 2a
,
4ac 4a
b2
得:
b
0.9
20, 4ac b2 4 0.0225 10 0.92 1.
2a 2 0.0225
4a
4 0.0225
∴这条抛物线的顶点坐标是（-20,1）. 由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m.
能否转化为上一节课所学知识？
解：
提取二次项系数 配方 整理
化简:去掉中括号
顶点式
y 2x2 8x 7
2
x2
4x
7 2
2
x2
4 x 4
4
7 2
2
x
22
1 2
2 x 22 1.
试一试：分析函数 y=3x²-6x+7 的图象
解： 根据顶点式 y=3(x-1)2+4 ∵a=3>0, ∴开口向上;对称轴是直线x=1;顶点坐标为(1,4). 因此，将抛物线y=3x2 的图象向右平移1个单位， 再向上平移4个单位就能得到该函数的图象.
化简:去掉中括号
a
x2
b a
x
b 2a
2
b 2a
2
c a
a
初中数学鲁教版九年级上册3.4.二次函数y=a(x-h)2的图像与性质(第2课时)(31张PPT)
(1) y (2) y
1 x2 2 1(x 2
y 1 x 22
2
2)2
(3) y 1 ( x 2)2 2
-8
-6
-4
5 4 3 2 1
-2 B
-1
-2
-3
感悟新知
y 1 x2 2
y 1 x 22
2
2
4
6
感悟新知
y
1 2
(x
2)2
向左平移2 个单位
y 1 x2 2
向右平移2 个单位
y 1 (x 2)2 2
B．(2，0)
C．(0，－2)
D．(0，2)
2. 在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝－2
的是( A )
A．y＝(x＋2)2
B．y＝2x2－2
C．y＝－2x2－2
D．y＝2(x－2)2
感悟新知
3. 对于抛物线y＝2(x－1)2，下列说法正确的有( C ) ①开口向上；②顶点为(0，－1)；
③对称轴为直线x＝1；
2 在此坐标系中画出抛物线y=－
1
2 x2 (见图中虚线部
分 物)线, 观y=察－抛12物x2线有y什=么－关12 系(x？+1)2，2y=－
1 2
(x－1)2与抛
感悟新知
抛物线 y 1 (x 1)2 与抛物线 y 1 (x 1)2 y 1 x2
2
2
2
有什么关系?
感悟新知
y
1 2
x
2向1个左单平位移y
a＜0
在对称轴的左侧，y的值随x值的增大而增大； 在对称轴的右侧，y的值随x值的增大而减小
例1 下列命题中，错误的是( )
感悟新知
确定二次函数的表达式课件鲁教版(五四制)数学九年级上册
例题讲授
例1 已知二次函数图象的顶点坐标为（－1，－6），
并且该图象经过点（2，3），求这个二次函数 的表达式. 解：设所求的二次函数表达式为 y=a(x＋1)2-6 因为该图象经过点（2，3), 将坐标代入上式得
3=a(2+1)2-6
解得 a=1
所以这个二次函数的表达式为 y=(x＋1)2-6
即：y=x2+2x－5
（1）已知图象的顶点是原点，且图象经过点（2，－5）. （2）已知图象的顶点坐标是（ －1， － 2），且图象经
过点（1，10）. （3 ）抛物线的对称轴是x= －2,且经过（ －1， － 1），
（ －4，0）两点.
用待定系数法求函数表达式的一般步骤:
1 、设出合适的函数表达式； 2 、把已知条件代入函数表达式中，得到关于 待定系数的方程或方程组； 3、 解方程（组）求出待定系数的值； 4、 写出一般表达式。
y= -(x-1)2+4
例5：某商贸公司成立以来，5年的利润情况如下图所示， 图中的折线近似于抛物线的一部分。
（1）试求出图象过A，C，D三点的二次函数的表达式； （2）利用（1）的结果，分别求出当x=2和x=5时该二次函数的函 数值，并分别与点B、点E的纵坐标比较
（1）试求出图象过A，C，D三点的二次函数的表达式； 解:设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c， 由已知，将A(1，2.6)，C(3，3.8)，D(4，5)分别 代入表达式，得
课堂小结
在确定二次函数的表达式时 （1）若已知图像上三个非特殊点，常设一般式 ； （2）若已知二次函数顶点坐标或对称轴，常设 顶点式较为简便； （3）若已知二次函数与x轴的两个交点，常设交 点式较为简单。
鲁教版九年级数学上册《二次函数的应用2》课件1
何时橙子总产量最大
还记得本章第2节中涉及的“种多少棵橙子树”的问 题吗？
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子. 现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种 树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就 会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树 就会少结5个橙子.
(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？ 哪些是因变量？
定要注意二次函数
自变量的取值范围.
符合
判断是否
符合实际背景
建立二次函数关系式
计 算 检验
Байду номын сангаас求出最值
在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的 总产量最多？
x/棵 1 2 3 4 5 6 7 y/个 60095 60180 60225 60320 60375 60420 60455 x/棵 8 9 10 11 12 13 14 y/个 60480 60495 60500 60495 60480 60455 60420
若你是商店经理，你需要多长时间定出这个销售单 价？
谈谈你的收获和体会！
1、求二次函数最值的方法： (1)利用图象，找顶点，求最值； (2)利用配方化为顶点式，求最值； (3)利用顶点坐标公式，求最值.
2、利用二次函数知识解决实际问题中最值的步骤：
实际问题
解 决
实际问题 结论
分析
转
解决提实出际最问值题问时题一 化
解：设每间客房的日租金提高x个10元，则每天客房 出租数会减少6x间.设客房日租金总收入为y元，则
y=(160+10x)(120-6x)=-60(x-2)2+19440.
因为x ≥0，且120-6x>0， 所以0 ≤x<20. 当x=2时，y有最大值19440.
鲁教版五四制数学九年级上册3.5《确定二次函数的表达式2》课件2
有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为
16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里，求
抛物线的解析式．
解：设抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋c，
根据题意可知抛物线经过(0，0)，
(20，16)和(40，0)三点
可得方程组
通过利用给定的条件列出a、
c=0
b、c的三元一次方程组，求
400a+20b+c=16 1600a+40b+c=0
用待定系数法求二次函数的解析式
例1 已知一个二次函数的图象过点（－1，10）、 （1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式.
解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c
由已知得：
a-b+c=10
a+b+c=4 4a+2b+c=7
解方程得： a=2, b=-3，c=5
因此：所求二次函数是：y=2x2-3x+5
出a、b、c的值，从而确定 函数的解析式．过程较繁杂.
解得 a= 1 , b= 8 , c=0
25
5
故所求的抛物线解析式为
y= 1 x2+ 8 x
25 5
有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为 16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里(如图 所示)，求抛物线的解析式．
解： 设抛物线为y=a(x-20)2＋16
a-b+c=0 a+b+c=0 c=1
解得 a=-1, b=0, c=1 故所求的抛物线解析式为 y=-x2+1
知识应用
例4：某商贸公司成立以来，5年的利润情况如 下图所示，图中的折线近似于抛物线的一部分.
鲁教版-数学-九年级上册- 二次函数的应用1 课件2
二次函数的应用
最大面积是多少？
在Rt△AMN内部作一个矩形ABCD
N
30
A
40
M
在Rt△AMN内部作一个矩形ABCD
N
30
A
40
M
在Rt△AMN内部作一个矩形ABCD
N30A40 NhomakorabeaM
矩形ABCD何时面积最大？为多少？
N
3 x
4
30 D
xC
3
30 x
4
A xB
M
40
矩形ABCD何时面积最大？为多少？
xx
y
窗框总长 为15m. 当x等于 多少时， 窗户面积 是最大？
x
y
1、如图，用长为18m的篱笆(虚线部分)，两 面靠墙围成矩形的苗圃.
1.设矩形的一边为x(m)，面积为y(m2)， 求y与x的函数关系，并写出x的取值范围； 2.当x为何值时，所围苗圃面积最大， 最大面积是多少m2？
2、已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从 它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三 角形和一个梯形，且这条射线与矩形的一边所 成的角的正切值等于0.5，设梯形的面积为S， 梯形中较短的底边长为x，试写出梯形的面积S 关于x的函数关系式，并指出x的取值范围.
N
30 D
C
x
x
A
4 40 x
B
4 x
M
3
3
40
如图所示：AB=40，AC=30
在Rt△ABC内部作一个矩形PQMN
C P
3 30 x
5
N
3 x
x
5
A
4 3 NP 30 x
5 5
Q
M
鲁教版初三(上)数学：二次函数
二次函数1．二次函数的定义（1）二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c （a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为_____，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是__________，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．2．二次函数的性质二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是______________，对称轴直线____________，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向____，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向____，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．3．根据实际问题列二次函数关系式根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据_______的取值范围来确定．①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．1.二次函数的定义．【例1】（2014•山东沂水县中学期末）函数y=3x2+x﹣4是（）A．一次函数B．二次函数C．正比例函数D．反比例函数练1.二次函数y=x2+2x﹣7的函数值是8，那么对应的x的值是（）A．3 B．5 C．﹣3和5 D．3和﹣5练2.下列函数不属于二次函数的是（）A．y=（x﹣1）（x+2）B．y=（x+1）2C．y=2（x+3）2﹣2x2D．y=1﹣x22.二次函数求值．【例2】（2015•辽宁抚顺二中月考）若函数y=4x2+1的函数值为5，则自变量x的值应为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．练3.若函数y=（m2+m）是二次函数，则m=．3．根据实际问题列二次函数关系式．【例3】（2015•吉林四平中学月考）如图，一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s（m）与时间t（s）的数据如下表．那么s与t之间的函数关系式是s=．时间t/s 1 2 34 …距离s/m 2 8 18 32 …练4.在边长为6 cm的正方形中间剪去一个边长为x cm（x＜6）的小正方形，剩下的四方框形的面积为y，y与x之间的函数关系是．4．二次函数的顶点、对称轴．【例4】（2015•天津南开中学月考）抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是．练5.抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是．练6.抛物线y=（x﹣1）2+3的对称轴是直线．5．二次函数的变化趋势；【例5】（2014•陕西安康黄冈中学期末）函数y=（x﹣1）2+3，当x时，函数值y随x的增大而增大．练7．已知抛物线y=﹣2（x+1）2﹣3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是．1．下列函数不属于二次函数的是（）A．y=（x﹣1）（x+2）B．y=（x+1）2C．y=2（x+3）2﹣2x2D．y=1﹣x22．下列函数关系中，可以看做二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）模型的是（）A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B．我国人口年自然增长率1%，这样我国人口总数随年份的关系C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D．圆的周长与圆的半径之间的关系3．下列函数中，是二次函数的是（）A．y=8x2+1 B．y=8x+1 C．D．4．下列函数中，不是二次函数的是（）A．y=1﹣x2 B．y=2（x﹣1）2+4 C．y=（x﹣1）（x+4）D．y=（x﹣2）2﹣x25．在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y与x的函数关系式为（）A．y=πx2﹣4 B．y=π（2﹣x）2C．y=﹣（x2+4）D．y=﹣πx2+16π6．某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（）A．y=x2+a B．y=a（x﹣1）2C．y=a（1﹣x）2 D．y=a（1+x）2__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．当m=时，函数y=（m﹣1）是关于x的二次函数．2．在边长为6 cm的正方形中间剪去一个边长为x cm（x＜6）的小正方形，剩下的四方框形的面积为y，y与x之间的函数关系是．3．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，DE∥AC，交AB与点E，点F在AC上，DC=DF，若BC=3，EB=4，CD=x，CF=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．4．二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与坐标轴分别交于点（﹣1，0）和（0，﹣1），顶点在第四象限，若n=a+b+c，则n的取值范围是．5．抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x …﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …y …﹣6 0 4 6 6 …容易看出，（﹣2，0）是它与x轴的一个交点，则它与x轴的另一个交点的坐标为．6．开口向下的抛物线y=（m2﹣2）x2+2mx+1的对称轴经过点（﹣1，3），则m=．7．已知，二次函数的表达式为y=4x2+8x．写出这个函数图象的对称轴和顶点坐标，并求图象与x 轴的交点的坐标．8．求二次函数y=x2﹣2x﹣1的顶点坐标及它与x轴的交点坐标．9．已知抛物线y=x2+x﹣．（1）用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；（2）若抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．10．已知抛物线y=4x2﹣11x﹣3．（Ⅰ）求它的对称轴；（Ⅱ）求它与x轴、y轴的交点坐标．课程顾问签字： 教学主管签字：。
3.2二次函数-2024-2025学年数学鲁教九年级数学上册课件
知识小结
知识点二 根据实际问题列二次函数表达式
建立实际问题中二次函数关系式的一般步骤：
①审清题意，找出实际问题中的已知量(常量)，并分析
它们之间的关系，将文字或图形语言转化为数学符号语言；
②找等量关系，找到已知量和变量间的关系，并用等式
表示； ③列函数关系式，设出表示变量的字母，把等量关系用
含字母的代数式替换，并将关系式写成用自变量表示因变量
新课进行时
例 2 [教材补充例题] 已知 y＝(m－3)xm2－7 是关于 x -3
的二次函数，则 m＝________． [归纳总结] 二次函数中的待定字母要同时满足两个条
件：一是使二次项次数为 2，二是使二次项系数不等于 0.
新课进行时 核心知识点二 列二次函数表达式
例 3 [教材补充例题] 某同学计划用纸糊正方体形状的粉笔 盒(6 个面)，粉笔盒的棱长为 x cm.
文本
的形式，即 y＝ax2＋bx＋c 的形式．
④确定自变量 x 的取值范围．实际问题中的二次函数关 系，由于受到实际问题的要求和限制，其自变量的取值范围 往往不是全体实数．
反思
[反思] 忽略 a≠0 的前提条件 若 y＝(2－m)xm2－2＋3x－2 是关于 x 的二次函数，求 m 的 值． 解：∵y＝(2－m)xm2－2＋3x－2 是关于 x 的二次函数， ∴m2－2＝2，解得 m＝±2. 以上解答过程正确吗？
鲁教版九年级上册
第三章 二次函数
3.2 二次函数
新课目标
1．经历探索并归纳二次函数的定义的过程，掌握二次函 数满足的条件，会判断一个函数是不是二次函数，并根据 其定义求字母的值． 2．经历探索、分析和建立两个变量之间的函数关系的过 程，能根据实际问题列二次函数表达式．
九年级数学上册 2.3 二次函数y=ax2的图象和性质课件1 鲁教版五四制
3分钟的时间自学课本p45-p46 “议一议”上面内容并准确画出y=x2 图像。
二次函数y=x2的性质
抛物线 顶点坐标 位置 开口方向
y= x2 （0，0）
在x轴上方（除顶点外） 向上
对称轴
Y轴
增 减性
当x<0时；当x>0时
最
值
当x=0时，y的值最小， 最小值为0
思索y=x2与y=-x2的关系
课前两分钟回顾
A.判断函数概念的“三步骤”。 B.函数的三种表示法；画函数图象的方法。 C.判断函数自变量取值范围的依据。 D.二次函数的一般式；判断二次函数的“三
步骤”。
课堂目标及任务： 1、掌握利用描点法作出y=x2的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ象。 2、能根据图像理解二次函数y=x2的性质。 3、比较y=x2 与y=-x2 图像的异同，建立函 数关系式与图像之间的联系，利用其性质 解决实际问题。
巩固练习：
3.
4.
谢谢各位老师！
不足之处敬请指教！
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x
… -2 -1 0 1 2 3 4 …
y 3x 12 2 … 29 14 5 2 5 14 29 …
4.画对称轴,描点,连线:作出二次函数y=3(x-1)2+2 的图象．
做一做 5
顶点坐标公式 ?
y a x
b
2
4ac
b2
.
2a
4a
因此,二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线.
二次函数y=ax2+bx+c的
图象和x轴交点
一元二次方程
ax2+bx+c=0的根
有两个交点
有两个相异的实数根
一元二次方程ax2+bx+c=0根
的判别式Δ=b2-4ac
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
的图象?
பைடு நூலகம்
3
1.配方:
3
x2
2x11
5 3
配方:加上再减去一次项 系数绝对值一半的平方
3x
12
2 3
整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项
3x 12 2.
化简:去掉中括号
想一想 4
直接画函数y=ax²+bx+c的图象
2.根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称轴,顶点坐标. ∵a=3>0,∴开口向上;对称轴:直线x=1;顶点坐标:(1,2). 3.列表:根据对称性,选取适当值列表计算.
当x b 时,最大值为 4ac b2
2a
4a
小结 拓展 回味无穷
函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax²的关系
1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同). (2)都是轴对称图形. (3)都有最(大或小)值. (4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增 大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而 增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
a
x
2
b a
x
b 2a
2
b 2a
2
c a
减去一次项系 数绝对值一半 的平方
a x b
a x
2a b 2
2a
2
4ac 4a2
4ac b 4a
b2
整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项
小结 拓展 回味无穷
函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax²的关系
2.不同点:
(1)位置不同(2)顶点不同:分别是
(3)对称轴不同:分别是 (4)最值不同:分别是4ac
直 b线2 和x 0 .2ba
和 2bya ,轴4ac4.a
b2
和(0,0).
3.联系:
4a
函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿
5.用具体例子说明如何更恰当或更有效地利用二次函 数的表达式,表格和图象刻画变量之间的关系. 6.用自己的语言描述二次函数y=ax2+bx+c的图象与方 程ax2+bx+c=0的根之间的关系.
想一想 2
y a x
b
2
4ac
b2
.
2a 4a
函数y=ax²+bx+c的顶点式
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 时,最小值为 4ac b2
2a
4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
2
.化简:去掉中括号
想一想 3
函数y=ax²+bx+c的图象
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线
y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.
怎样直接作出 y 3x2 6x 5
函数y=3x2-6x+5 3 x2 2x 5
提取二次项系数
它的对称轴是直线: x b . 2a
它的顶点是
b 2a
,
4ac 4a
b2
.
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
?
1.y 2x2 12 x 13; 2.y 5x2 80 x 319;
3.y 2 x 1 x 2; 4.y 32x 12 x.
九年级数学(上)第二章 二次函数
回顾与思考---二次函数小结
想一想 1
回顾与思考
驶向胜利 的彼岸
1.你在哪些情况下见到过抛物线的“身影”?用语言 或图形进行描述.
2.你能用二次函数的知识解决哪些实际问题?与同伴 交流.
3.小结一下作二次函数图象的方法. 4.二次函数的图象有哪些性质?如何确定它的开口方 向,对称轴和顶点坐标?请用具体例子进行说明.
x当|个轴单整位体 2<ba(左0当时(右,4向ac)平右b2 移>平0|移时)向2b,a再上|个沿平单对移位称;(当轴当整4ac体2bba2 上><00(时时下,,)向向平左下移平平| 移移4ac4a;)b2
4a
4a
得到的.
想一想P66 9
二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点, 有一个交点,没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交 点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程 ax2+bx+c=0的根.
一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我们可以利用配方法
推导出它的对称轴和顶点坐标.
例.求次函数 y ax2 bx c
y=ax²+bx+c的对 称轴和顶点坐标．
a x2 b x c a c
提取二次项系数 配方:加上再
1.配方:
老师提示:
这个结果通常 称为求顶点坐 标公式.
2
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和
１.顶点坐标与对称轴
性质
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
根据图形填表：
抛物线 顶点坐标
对称轴 位置
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
y=ax2+bx+c(a<0)