七年级数学平方根知识点复习
七年级下数学平方根知识点
七年级下数学平方根知识点在七年级下学期的数学课程中，平方根是重要的知识点之一。
平方根是数学中最基础的概念之一，它在各个领域都发挥着重要的作用。
本文将会详细介绍七年级下学期中平方根的相关知识点。
一、平方数与非平方数首先，我们需要了解平方数和非平方数的概念。
平方数指的是某个数的平方，例如1、4、9、16、25等等。
而非平方数则是某个数不是平方数，例如2、3、5、7等等。
二、平方根的概念平方根是指某个数的平方等于它的数，即可称为该数的平方根。
例如，2的平方根为√2，因为√2 × √2 = 2。
同样的，4的平方根为2，因为2 × 2 = 4。
需要注意的是，非负数都有平方根，但负数没有实数平方根。
三、平方根的运算法则接下来，我们需要了解一些平方根的运算法则。
首先是平方根的乘法，即√a × √b = √ab。
例如，4的平方根乘以9的平方根等于36的平方根，即2 × 3 = 6。
其次是平方根的除法，即(√a) ÷ (√b) = √(a ÷ b)。
例如，16的平方根除以4的平方根等于4的平方根。
最后是平方根的加减法，即√a ± √b = √(a ± b)。
例如，3的平方根加上2的平方根等于√(9+4) = √13。
四、平方根的化简对于一些带根式的运算，我们可以通过化简的方式来简化结果。
具体来说，我们需要将分子里的平方数提取出来。
例如，把√50化简成√(25×2)，再把25的平方根提取出来，即为5√2。
在实际计算中，平方根的化简可以大大简化运算过程，提高计算的效率。
五、平方根的应用在生活和工作中，平方根有着广泛的应用。
例如，在建筑中，需要计算建筑面积和体积等数据时，就需要用到平方根。
此外，在学习科学和技术时，平方根也是重要的工具之一。
例如，在物理中，速度的计算就需要用到平方根。
总结：在七年级下学期的数学课程中，平方根是基础和重要的知识点之一。
人教版七年级下册数学《平方根》实数教学说课复习课件(第3课时)
6.1 平方根
第3课时
课件
导入新知
1.什么叫做算术平方根？
如果一个正数x的平方等于a,那么这个正数x叫做a的
算术平方根.
2.判断下列各数有没有算术平方根，如果有，请求出它
们的算术平方根.
36
100； 1；
;
121
0; －0.0025; (-3)2 ; －25.
导入新知
3. 填空:
例如：
4的平方根表示为 ：
4，
4 2
5的平方根表示为 ：
5，
25
25
25
5
，
：
的平方根表示为
36
36
36
6
0的平方根表示为: 0
规定
：
0 0. 0 0
0的平方根为0.
探究新知
考 点 1
利用平方根的表示求平方根
分别求下列各数的平方根：
（1）36 ;
25
（2）
典例精析
例2 下列说法正确的是( A
)
A．因为62＝36，所以6是36的算术平方根
B．因为(－6)2＝36，所以－6是36的算术平方根
C．因为(±6)2＝36，所以6和－6都是36的算术平方根
D．以上说法都不对
例3 16的算术平方根是
4
例4 下列说法正确的是
①
①4是25的算术平方根.
② 0.01是0.1的算术平方根.
边长是多少分米？
实际上就是要求出一个数，使
它的平方等于9，即：
(
)
2
9
9平方分米
显然，括号里应是±3，但－3不符
七年级下册根号知识点
七年级下册根号知识点在数学中，根号被广泛应用于各种不同类型的问题，包括几何、代数、三角学和微积分等。
在七年级下册的数学学习中，学生们将会开始学习根号相关的知识点。
本文将介绍七年级下册根号知识点的详细解释，帮助学生更好地理解和掌握数学中根号的相关知识。
一、根号的定义根号符号“√”表示一个非负实数的正的平方根。
例如，“√4”表示正的平方根，即2。
数学中，“√”符号通常被称为“根号”。
二、根号的基本性质1.根号的奇偶性方程“x²=a”有正负两个解，这时称为这个方程的根号是一个“二次根式”，通常写成“±√a”。
例如，方程“x²=4”有两个解，即“x=2或x=-2”。
这两个解都可以写成“x=±√4”。
2.根号的分配律“√(a+b)”一般不能化简，也不能用“√a+√b”写成。
但是有时可以将它转化为一个类似于“a²-b²”的形式，例如：√(a²-b²) = √(a+b) × √(a-b)其中，a和b都是正实数。
三、根号的运算1.根号与整数的运算“√a”表示“a”的正平方根。
例如，√4 = 2。
2.根号的乘法“√ab = √a × √b”，其中a和b都是非负实数。
例如，√2 × √8 = 2√2 × 2√2 = 4 × 2 = 8。
3.根号的除法“√(a/b) = √a/√b”，其中a和b都是非负实数，且b不为0。
例如，√8/√2 = 2√2。
四、根号的应用1.用根号求直角三角形的斜边根据勾股定理，“a²+b²=c²”。
如果已知一条直角边的长度a和另一条直角边的长度b，就可以求得斜边的长度c。
2.用根号求长方形的对角线如果已知长方形的长和宽，就可以求出长方形的对角线。
根据勾股定理，“对角线²=长²+宽²”。
3.用根号求圆的周长和面积圆的周长C和面积S和它的半径r有关，式子分别为“C=2πr”和“S=πr²”，其中π≈3.14。
初中数学平方根知识点归纳
初中数学平方根知识点归纳平方根是初中数学中一个重要的概念，它与平方和开方有着密切的关系。
在初中数学教学中，平方根的概念和性质是学生掌握的基础知识之一。
本文将围绕初中数学平方根知识点进行归纳和总结，以帮助学生更好地理解和应用平方根概念。
一、平方根的定义和性质平方根的定义：对于任意一个非负实数a，如果存在一个非负实数x，使得x的平方等于a，那么x就是a的平方根。
符号表示：√平方根的性质：平方根具有以下性质：1. 非负实数的平方根是非负实数；2. 0的平方根是0；3. 正实数的平方根有两个值，一个是正数，另一个是负数；4. 通过平方运算，平方根是可逆的，即(√a)²=a，其中a≥0。
二、平方根的计算方法求一个数的平方根可以通过多种方法进行计算，下面介绍两种常用的计算方法。
1. 精确计算法：当被开方数是一个完全平方数时，可以直接提取根号。
例如，√16=4；√25=5。
2. 近似计算法：对于非完全平方数，可以使用近似计算法来获取平方根的估计值。
其中一种方法是利用长除法，逐步逼近平方根的准确值。
另一种方法是利用二分法，根据平方根的大小与区间中点的大小关系，逐渐缩小区间范围，直到精度满足要求。
三、平方根的性质与运算1. 合并根号：对于正实数a和b，有√(a × b) = √a × √b；2. 开方运算的基本性质：a) √(a × b) = √a × √b，其中a≥0，b≥0；b) √(a ÷ b) = √a ÷ √b，其中a≥0，b>0；c) √(a ÷ b) ≠ √(a) ÷ √(b)，当a≥0，b>0且a≠b时，两者不等；3. 平方根与乘方运算：(a^2)^0.5 = |a|，其中a可以是任意实数。
四、应用举例平方根的应用广泛存在于各个领域，在初中数学中也有一些常见的应用举例。
1. 利用平方根求直角三角形的斜边：在一个直角三角形中，已知两条边的长度，可以利用勾股定理求解未知边的长度，其中需要涉及到平方根的运算。
七年级下数学根号知识点
七年级下数学根号知识点数学中，根号是常见的符号之一。
它的使用非常广泛，包括平方根、立方根、三次方根等等。
在初中数学中，同学们要学会如何使用根号，掌握根号的基本概念和计算方法。
本文将为大家详细介绍七年级下数学根号知识点。
一、根号的定义在初中数学中，根号通常表示“平方根”。
一个数的平方根就是另一个数的平方。
例如，数值为9的平方根是3，因为3×3=9。
数值为25的平方根是5，因为5×5=25。
数值为x的平方根可以用符号√x表示。
二、根号的基本性质根号有许多基本性质。
以下是几个常见的根号的性质：1.对于任何非负实数x和y，有√（xy）=√x × √y。
2.对于任何非负实数x和y，有√（x/y）=√x / √y。
3.对于任何非负实数x和y，有√x ± √y ≠ √（x±y）。
4.对于任何非负实数x，有√x²=x。
这些基本性质可以帮助同学们更好地理解根号运算的规律。
三、根号的计算方法1.整数的平方根对于整数的平方根，如果是完全平方数，则很容易求得它的平方根。
例如，数值为16的平方根是4，因为4×4=16。
如果一个数不是完全平方数，则需使用纵横相乘法求取它的近似值。
例如，如果要求数值为17的平方根，可以使用如下方法：- 以一个合适的整数P为基准值，如P = 4；- 将17与P的平方做差，得到3；- 求出（4+17÷4）÷2=4.25；- 将4.25的平方做差，得到0.0625；- 重复步骤3和4，得到更精确的根号近似值。
2.分式的根号对于类似√（a/b）这样的分式，可以采用以下方法化简：- 化简分子和分母；- 将原来存在于分式内的根号分别移到分母和分子；- 继续用已知的根号性质来化简。
例如，化简√（8/50）可以按照以下步骤进行：- 8的质因数分解为2×2×2，50的质因数分解为2×5×5；- 将2的因子分别移到分母和分子，得到√（2/25）；- 将根号移至分母，得到2/√25=2/5。
七年级数学下册平方根与立方根【九大题型】(举一反三)(人教版)
专题6.1 平方根与立方根【九大题型】【人教版】【题型1 平方根、立方根的概念及表示】 (1)【题型2 平方根性质的运用】 (2)【题型3 开平方、开立方的运算】 (4)【题型4 利用开平方、开立方解方程】 (5)【题型5 算术平方根的概念及非负性】 (7)【题型6 开方运算中的小数点移动规律】 (8)【题型7 平方根与立方根综合】 (10)【题型8 算术平方根、立方根的应用】 (11)【题型9 算术平方根、立方根的规律探究】 (13)【例1】（2022春•海淀区校级期中）下列各数中，一定没有平方根的是（）A．﹣a B．﹣a2+1C．﹣a2D．﹣a2﹣1【分析】根据平方根的被开方数不能是负数，可得答案．【解答】解：在﹣a，﹣a2+1，﹣a2，﹣a2﹣1中，﹣a2﹣1是负数，没有平方根．故选：D．【变式1-1】（2022春•鞍山期末）下列说法正确的是（）A．﹣1是1的平方根B．﹣1是-1的平方根C．﹣1是1的立方根D．﹣1没有立方根【分析】根据平方根和立方根的概念与性质进行辨别即可．【解答】解：∵±1都是1的平方根， ∴选项A 符合题意； ∵-1没有平方根， ∴选项B 符合题意； ∵1的立方根是1， ∴选项C 不符合题意； ∵﹣1的立方根是﹣1， ∴选项D 符合题意， 故选：A ．【变式1-2】（2022春•应城市期末）下列各式中，正确的是（ ） A ．−√−9=3B ．√−273=−3C ．√183=±12D ．√83=−2【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义解决此题． 【解答】解：A ．−√−9无意义，故A 不符合题意． B ．√−273=−3，故B 符合题意． C ．√183=12，故C 不符合题意． D ．√83=2，故D 不符合题意． 故选：B ．【变式1-3】（2022春•高安市期中）下列叙述中，错误的是（ ） A ．0只有一个平方根 B ．若x 2＝3，则x ＝±√3C ．√64的立方根是2D ．512的立方根是±8【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案． 【解答】解：A 、0只有一个平方根，故A 不符合题意． B 、若x 2＝3，则x ＝±√3，故B 不符合题意． C 、√64=8，8的立方根是2，故C 不符合题意． D 、512的立方根是8，故D 符合题意． 故选：D ．【例2】（2022春•临洮县期中）一个正数x 的两个平方根分别是2a ﹣1与﹣a +2，求a 的值和这个正数x 的值．【分析】正数x 有两个平方根，分别是﹣a +2与2a ﹣11，所以﹣a +2与2a ﹣1互为相反数；即﹣a +2+2a ﹣1＝0解答可求出a ；根据x ＝（﹣a +2）2，代入可求出x 的值．【解答】解：∵正数x有两个平方根，分别是﹣a+2与2a﹣1，∴﹣a+2+2a﹣1＝0解得a＝﹣1．所以x＝（﹣a+2）2＝（1+2）2＝9．【变式2-1】（2022•工业园区期中）一个正数M的两个平方根分别是2a+3和2b﹣1，求（a+b）2022．【分析】利用正数的平方根有2个，且互为相反数求出a+b的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：2a+3+2b﹣1＝0，整理得：a+b＝﹣1，则原式＝1．【变式2-2】（2022春•孟村县期中）已知正实数x的两个平方根是m和m+b．（1）当b＝8时，m的值是﹣4；（2）若m2x+（m+b）2x＝4，则x＝√2．【分析】（1）利用正实数平方根互为相反数即可求出m的值；（2）利用平方根的定义得到（m+b）2＝x，m2＝x，代入式子m2x+（m+b）2x＝4即可求出x值．【解答】解：（1）∵正实数x的平方根是m和m+b∴m+m+b＝0，∵b＝8，∴2m+8＝0∴m＝﹣4；（2）∵正实数x的平方根是m和m+b，∴（m+b）2＝x，m2＝x，∵m2x+（m+b）2x＝4，∴x2+x2＝4，∴x2＝2，∵x＞0，∴x=√2．故答案为：（1）﹣4；（2）√2．【变式2-3】（2022春•建安区期中）若a是（﹣4）2的平方根，b的一个平方根是2，则代数式a+b的值为（）A．8B．0C．8或0D．4或﹣4【分析】先依据平方根的定义和性质求得a、b的值，然后依据有理数的加法法则求解即可．【解答】解：∵a是（﹣4）2的平方根，∴a＝±4．∵b的一个平方根是2，∴b＝4．∴当a＝4，b＝4时，a+b＝8；当a＝﹣4，b＝4时，a+b＝0．故选：C．【例3】（2022春•雨花区校级月考）根据图中呈现的运算关系，可知a＝﹣2020，b＝﹣2020．【分析】利用立方根和平方根的定义及性质即可解决问题．【解答】解：依据图中呈现的运算关系，可知2020的立方根是m，a的立方根是﹣m，∴m3＝2020，（﹣m）3＝a，∴a＝﹣2020；又∵n的平方根是2020和b，∴b＝﹣2020．故答案为：﹣2020，﹣2020．【变式3-1】（2022春•绥棱县期末）已知x、y为实数，且满足√1+x+√1−y=0，那么x2022﹣y2022＝0．【分析】根据√1+x+√1−y=0，且√1+x与√1−y均大于等于0，以此解出x、y值进而计算出结果．【解答】解：∵√1+x+√1−y=0，且√1+x与√1−y均≥0，∴1+x＝0，1﹣y＝0，得x＝﹣1，y＝1，x2022﹣y2022＝（﹣1）2022﹣12022＝1﹣1＝0，故答案为：0．【变式3-2】（2022春•五常市期末）1106的平方根是±11000，﹣27的立方根是﹣3．【分析】根据平方根、立方根的定义进行计算即可．【解答】解：1106的平方根为±√1106=±1103=±11000；﹣27的立方根为√−273=−3，故答案为：±11000，﹣3．【变式3-3】（2022春•龙岩期末）有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（）A．2√2B．2C．√2D．±√2【分析】直接利用立方根以及算术平方根、无理数的定义分析得出答案．【解答】解：由题意可得：64的立方根为4，4的算术平方根是2，2的算术平方根是√2，即y=√2．故选：C．【题型4 利用开平方、开立方解方程】【例4】（2022•靖江市期末）求出下列x的值：（1）4x2﹣9＝0；（2）8（x+1）3＝125．【分析】（1）移项，把二次项系数化为1，开平方求出x；（2）把二次项系数化为1，开立方求出x．【解答】解：（1）4x2﹣9＝0，4x2＝9，x2=94，x1=32，x2=−32；（2）8（x+1）3＝125，（x+1）3=1258，x+1=52，x＝1.5．【变式4-1】（2022春•阆中市期中）（1）已知4（x﹣3）2＝64，求x的值．（2）已知（x+1）3+27＝0，求x的值．【分析】（1）根据题意可化为（x﹣3）2＝16，根据平方根的定义可得x﹣3=±√16，计算即可得出答案；（2）根据题意可化为（x+1）3＝﹣27，根据立方根的定义可得x+1=√−273，计算即可得出答案．【解答】解：（1）4（x﹣3）2＝64，（x﹣3）2＝16，x﹣3=±√16，x﹣3＝±4，x﹣3＝4或x﹣3＝﹣4，x＝7或x＝﹣1；（2）（x+1）3+27＝0，（x+1）3＝﹣27，x+1=√−273，x+1＝﹣3，x＝﹣4．【变式4-2】（2022春•安陆市期中）求x的值：（1）2x2＝50；（2）（x+1）3+3=−38．【分析】（1）根据等式的性质以及平方根的定义就求出答案；（2）根据等式的性质以及立方根的定义即可求出答案．【解答】解：（1）2x2＝50，两边都除以2得，x2＝25，根据平方根的定义得，x＝±5；（2）（x+1）3+3=−38，移项得，（x+1）3=−38−3，合并同类项得，（x+1）3=−278，根据立方根的定义得，x+1=−32，解得x=−52．【变式4-3】（2017秋•金牛区校级月考）解方程：若（x﹣1）2﹣1＝8，则x＝﹣2或4；若x3−827=0，则x＝23．【分析】（1）方程利用平方根定义开方即可求出x的值；（2）方程变形后，利用立方根定义开立方即可求出x的值．【解答】解：（1）（x﹣1）2﹣1＝8，（x﹣1）2＝9，x﹣1＝±3，x＝﹣2或4；（2）x3−827=0，x3=8，27x=2．3．故答案为：﹣2或4；23A．（x2+4）4B．（x2+4）2C．x2+4D．√x2+4【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根．我们把正的平方根叫a的算术平方根，由此即可求出√(x2+4)2的算术平方根．【解答】解：∵√(x2+4)2=x+4，∴√(x2+4)2的算术平方根是√x2+4．故选：D．【变式5-1】（2022春•巴彦县期末）若x﹣5有算术平方根，则x满足的条件是x≥5．【分析】根据非负数有平方根列式求解即可．【解答】解：根据题意得，x﹣5≥0，解得x≥5，故答案为：x≥5．【变式5-2】（2022春•宁县期末）若√7−x为整数，x为正整数，则x的值为3或6或7．【分析】根据算术平方根的定义解决此题．【解答】解：由题意得，7﹣x≥0．∴x≤7．∵x为正整数，∴x可能为1、2、3、4、5、6、7．∵√7−x为整数，∴x＝3或6或7．故答案为：3或6或7．【变式5-3】（2022春•椒江区期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣9，﹣4，﹣1这三个数，√(−9)×(−4)=6，√(−9)×(−1)=3，√(−4)×(−1)=2，其结果6，3，2都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“完美组合数”．（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．（2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值．【分析】（1）对于三个互不相等的负整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，由此定义分别计算可作判断；（2）分两种情况讨论：①当√−3m=12时，②当√−12m=12时，分别计算即可．【解答】解：（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”，理由如下：∵√(−18)×(−8)=12，√(−18)×(−2)=6，√(−8)×(−2)=4，∴﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”；（2）∵√(−3)×(−12)=6，∴分两种情况讨论：①当√−3m=12时，﹣3m＝144，∴m＝﹣48；②当√−12m=12时，﹣12m＝144，∴m＝﹣12（不符合题意，舍）；综上，m的值是﹣48．【题型6 开方运算中的小数点移动规律】【例6】（2022春•遵义期末）如下表，被开方数a和它的算术平方根√a的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为a0.06250.625 6.2562.5625625062500625000√a0.250.791m n2579.1250791（注：表中部分数值为近似值）（）A．m＝0.025，n≈7.91B．m＝2.5，n≈7.91C．m≈7.91，n＝2.5D．m＝2.5，n≈0.791【分析】根据二次根式的乘法法则以及算术平方根的定义解决此题．【解答】解：由题意得，√0.0625=0.25，√0.625≈0.791，√6.25=m，√62.5=n．∵√6.25=√0.0625×100=√0.0625×10=0.25×10＝2.5， √62.5=√0.625×100=√0.625×10≈0.791×10≈7.91， ∴m ＝2.5，n ≈7.91． 故选：B ．【变式6-1】（2022•乐清市校级期中）（1）填表：a0.000001 0.001 1 1000 1000000 √a 30.010.1110100（2）由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律．被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向 右 移动 1 位； （3）根据你发现的规律填空：①已知√33=1.442，则√30003= 14.42 ； ②已知√0.0004563=0.07696，则√4563= 7.696 ． 【分析】（1）开立方运算，然后填表即可； （2）根据表格信息，可得答案； （3）根据（2）的规律求解即可． 【解答】解：（1）如表格所示；（2）被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动1位； （3）①已知√33=1.442，则√30003=14.42； ②已知√0.0004563=0.07696，则 √4563=7.696；【变式6-2】（2022春•岳麓区校级期中）已知√25.36≈5.03587，√253.6≈15.92482，则√253600≈ 503.587 （结果保留3位小数）．【分析】根据算术平方根的定义，被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位，进行解答即可． 【解答】解：√25.36≈5.03587， √253600 =√25.36×104， =√25.36×√104， ＝5.03587×100， ＝503.587． 故答案为：503.587．【变式6-3】（2022•无棣县期末）先填写下表，观察后回答下列问题：a… ﹣0.001 0 0.001 1 1000 … √a 3…﹣0.11…（1）被开方数a 的小数点位置移动和它的立方根的小数点位置移动有无规律？若有规律，请写出它的移动规律．（2）已知：√a 3=−50，√0.1253=0.5，你能求出a 的值吗？【分析】（1）首先依据立方根的定义进行计算，然后依据计算结果找出其中的规律即可； （2）依据规律进行计算即可． 【解答】解：填表结果为0.1，10；（1）有规律，当被开方数的小数点每向左（或向右）移动3位，立方根的小数点向左（或向右）移动1位； （2）能求出a 的值； ∵√0.1253=0.5， ∴√−0.1253=−0.5，由﹣0.5和﹣50，小数点向右移动了2位，则﹣0.125的小数点向右移动6位， ∴a ＝﹣125 000【题型7 平方根与立方根综合】【例7】（2022春•海珠区校级期中）一个正数m 的两个平方根分别为1﹣3a 和a +5，则这个正数m 的立方根是 4 ．【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，根据互为相反数的两个数的和为0，列出方程求出a ，再求出平方根，然后根据平方根的平方求出m ，最后求m 的立方根． 【解答】解：根据题意，得：（1﹣3a ）+（a +5）＝0， 1﹣3a +a +5＝0， ﹣3a +a ＝﹣1﹣5， ﹣2a ＝﹣6， a ＝3．∴a +5＝3+5＝8， ∴m ＝82＝64， ∴64的立方根为4． 故答案为：4．【变式7-1】（2022春•海珠区期末）若实数5x +19的立方根是4，则实数3x +9的平方根是 ±6 ．【分析】根据立方根的定义列出方程求出x ，然后求出3x +9的值，最后求它的平方根即可．【解答】解：∵5x +19的立方根是4， ∴5x +19＝43＝64， ∴x ＝9，∴3x+9＝3×9+9＝36，∴36的平方根为±6，故答案为：±6．m−2是n﹣m+3的算术平方根，B=【变式7-2】（2022春•兴仁市月考）已知A=√n−m+3m−2n+3是m+2n的立方根，求B﹣A的平方根．√m+2n【分析】首先利用算术平方根的定义以及结合立方根的定义得出n，m的值，进而利用平方根的定义求出答案．【解答】解：由题意得：m﹣2＝2，m﹣2n+3＝3，解得：m＝4，n＝2，3=2，则A=√2−4+3=1，B=√4+2×2∴B﹣A＝2﹣1＝1，则B﹣A的平方根为：±1．【变式7-3】（2022•兴化市月考）若a、b满足a2＝9，b3＝﹣8，则a﹣b的值为5或﹣1．【分析】根据平方根与立方根的定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：a＝±3，b＝﹣2，当a＝3时，原式＝3﹣（﹣2）＝3+2＝5．当a＝﹣3时，原式＝﹣3﹣（﹣2）＝﹣1．故答案为：5或﹣1．【题型8 算术平方根、立方根的应用】【例8】（2022•桥西区校级期中）解答下列应用题：（1）某房间的面积为17.6m2，房间地面恰好由110块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是多少？（2）已知第一个正方体水箱的棱长是60cm，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多81 000cm3，则第二个水箱需要铁皮多少平方米？【分析】（1）先求出一块地砖的面积，再求出边长即可；（2）先求出第一个正方体水箱的体积，再根据第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多81 000cm3，求出第二个水箱的棱长，进而求出表面积即可．【解答】解：（1）每块地砖的面积为：17.6÷110＝0.16（m2），所以正方形地砖的边长为：√0.16=0.4（m）．答：每块地砖的边长是0.4m；（2）由题意可知，第一个正方体水箱的体积为：603＝216000（cm3），所以第二个正方体水箱的体积为：3×216000+81000＝729000（cm3），3=90（cm），所以第二个正方体水箱的棱长为：√729000所以需要铁皮90×90×6＝48600cm2＝4.86m2．【变式8-1】（2022秋•沂源县期末）有一个底面为正方形的水池，水池深2m，容积为11.52m3，则此水池底面正方形的边长为（）A．2.4m B．4.2m C．9.25m D．13.52m【分析】设水池底面正方形的边长为xm，由题意得2x2＝11.52，再根据算术平方根的定义求得x＝2.4．【解答】解：设水池底面正方形的边长为xm．由题意得，2x2＝11.52．∴x＝2.4．∴此水池底面正方形的边长为2.4 m．故选：A．【变式8-2】（2022•南安市校级月考）要制造一个长方体箱子，底面为正方形，体积为0.25m3，且长方体的高是底面边长的2倍．（1）求长方体的底面边长；（2）求长方体的表面积．【分析】（1）设出地面边长，然后根据高是底面边长的2倍表示出高，利用正方体的体积公式求得底边长即可；（2）利用其表面积的计算方法求得其表面积即可．【解答】解：（1）设底面边长为xm，则高为2x（m），则x2•2x＝0.25解得：x＝0.5，故长方形的底面边长为0.5m；（2）S全＝2S底+4S侧＝2×0.25+4×0.5＝2.5m2【变式8-3】（2022春•奈曼旗期中）小明打算用一块面积为900cm2的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为588cm2桌面，并且的长宽之比为4：3，你认为能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，请说明理由．【分析】根据长方形的面积，可得一个元二次方程，根据解方程，可得长方形的边长，根据长方形的边长与正方形的边长的比，可得答案．【解答】解：能做到，理由如下设桌面的长和宽分别为4x（cm）和3x（cm），根据题意得，4x×3x＝588．12x2＝588x2＝49，x＞0，x=√49=7∴4x＝4×7＝28 （cm）3x＝3×7＝21（cm）∵面积为900cm2的正方形木板的边长为30cm，28cm＜30cm∴能够裁出一个长方形面积为588 cm2并且长宽之比为4：3的桌面，答：桌面长宽分别为28cm和21cm．【题型9 算术平方根、立方根的规律探究】【例1】（2022春•崇川区校级期中）将1、√2、√3、√6按如图方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（5，4）与（12，3）表示的两数之和是1+√2．【分析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m﹣1排有（﹣1）个数，从第一排到（m﹣1）排共有：1+2+3+4+…+（m﹣1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n 个数到底是哪个数后再计算．【解答】解：（5，4）表示第5排从左向右第4个数是√2，×11×（11+1）＝66（个）．∵前11排共有12∴（12，3）表示第12排从左向右第3个数是第69个数，每4个数一个循环，∴69÷4＝17……1，∴（12，3）表示的数是1，两数之和是1+√2．故答案为：1+√2．【变式1-1】（2022春•青山区期中）请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①√13；②√13+23；③√13+23+33；④√13+23+33+43，观察你计算的结果，用你发现的规律写出下面式子的值：√13+23+33+⋯+263=351．【分析】先计算出前4个式子的值，据此得出√13+23+33+⋯⋯+n 3=1+2+3+……+n ，据此求解可得．【解答】解：∵①√13=1；②√13+23=3＝1+2；③√13+23+33=6＝1+2+3；④√13+23+33+43=10＝1+2+3+4，……∴√13+23+33+⋯+263=1+2+3+ (26)(1+26)×262=351，故答案为：351．【变式1-2】（2022春•孝义市月考）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘．华罗庚给出了如下方法：（1）由103＝1000，1003＝1000000，确定√593193是两位数；（2）由59319个位上的数是9，确定√593193个位上的数是9；（3）划去59319后面的三位319得到59，而33＝27，43＝64，由此确定√593193十位上的数是3．请你类比上述过程，确定21952的立方根是 28 ．【分析】根据题目提供的方法，类推确定21952的立方根．【解答】解：（1）由103＝1000，1003＝1000000，确定√219523是两位数；（2）由21952个位上的数是2，确定√219523个位上的数是8；（3）划去21952后面的三位952得到21，而23＝8，33＝27，由此确定√219523十位上的数是2，所以√219523=28，故答案为：28．【变式1-3】（2022春•越秀区校级期中）将一组数√3，√6，√9，√12，⋯，√180，按下面的方式进行排列：√3，√6，√9，√12，√15，√18√21，√24，√27，√30，√33，√36⋯⋯若√12的位置记为（1，4），√24的位置记为（2，2），则这组数据中最大的有理数的位置记为 （8，6） ．【分析】观察数据的规律为3的倍数的算术平方根，6个为一排，共10列，其中最大的有理数应该为12，据此规律解答即可．【解答】解：∵这组数据是3的倍数的算术平方根，其中最大的有理数是√144=12， 又√144在第八行第六列，∴这组数据中最大的有理数√144的位置记为（8，6），故答案为：（8，6）．。
七年级下册数学平方根学霸笔记
七年级下册数学平方根学霸笔记一、平方根的概念和性质平方根是指一个数的平方等于它自己的根。
如√4=2，因为2²=4。
平方根可以是正数、负数，也可以是虚数。
1.正数的平方根：对于正数a，如果一个数x的平方等于a，那么x就是a的平方根，记作x=√a。
2.零的平方根：对于零，它的平方根是零，即√0=0。
3.负数的平方根：对于负数a，负号可以提取出来，即√a=±√(-a)。
其中，±表示两个相反的数。
4.平方根的性质：a.正数的平方根永远是正数。
b.零的平方根是零本身。
c.负数的平方根是虚数。
d.非负数的平方根都是唯一的。
二、求平方根的方法1.开平方法：利用开平方法求一个数的平方根。
步骤如下：a.将这个数开平方，得到一个近似值。
b.将近似值的平方，与原数进行比较，如果近似值的平方与原数相差较小，则近似值接近这个数的平方根。
c.可以通过不断调整近似值，逐步逼近这个数的平方根。
2.估算法：当需要估算某个数的平方根时，可以采用估算法，步骤如下：a.首先先估算这个数在哪两个连续整数的平方之间。
b.再估算这个数在这两个连续整数之间的位置。
c.对估算的整数进行调整，可以得到一个较准确的估算值。
三、平方根的运算规则1.等式规则：a.求平方根的重要性质是：一个数的平方根的平方等于这个数本身。
即(√a)²=a。
b.平方根和平方运算可以互相抵消，即(√a)²=a，a≥0。
2.乘法规则：对于a≥0和b≥0，有(√a)·(√b)=√(a·b)。
3.除法规则：对于a≥0和b>0，有(√a)/(√b)=√(a/b)。
四、平方根的应用1.面积求解：平方根可以用来解决面积相关的问题。
例如，已知一个正方形的面积为16平方米，求边长为多少。
解：设正方形的边长为x，则根据面积公式，有x²=16。
通过求平方根，可以得到x=√16=4。
因此，正方形的边长为4米。
2.距离求解：平方根可以用来解决距离相关的问题。
初中数学平方根知识点归纳
初中数学平方根知识点归纳数学中的平方根是许多初中生在学习中常常接触到的知识点之一。
平方根可以说是代表着数学中的一种特殊运算，它可以帮助我们解决一些平方数的性质和问题。
在本文中，我将为您归纳总结初中数学中与平方根相关的知识点。
首先，让我们明确平方根的概念。
平方根是指一个数的平方等于另一个数的时候，这个数就是另一个数的平方根。
以数学符号表示，如果a²=b，那么a为b的平方根。
例如，4的平方根是2，因为2²=4。
接下来，我们可以讨论一下平方数和非平方数。
平方数是指等于一个数的平方的数字，而非平方数则是指不是平方数的数字。
以平方根的概念来理解，平方数的平方根一定是一个整数，而非平方数的平方根则是一个无理数，即无法用两个整数比值来表示的数。
在初中数学中，我们还需要了解一些关于求平方根的基本方法。
最常见的方法是通过计算器求平方根。
大多数科学计算器都有求平方根的功能，只需要按下相应的按钮，即可得到平方根的近似值。
另外一种方法是通过各种数值逼近方法来计算平方根，例如牛顿迭代法和二分法。
这些方法是更加高级的方法，初中阶段一般不需要深入学习。
了解了基本方法后，我们可以进一步探讨平方根在代数中的运算规则。
首先是平方根的乘法和除法规则。
如果a和b都是正数，那么(a√b)的平方等于a²乘以b。
例如，2√3的平方等于2²乘以3，即12。
另外，a√b除以a等于√b。
例如，4√7除以4等于√7。
这些规则可以帮助我们简化平方根的运算。
在初中数学中，我们还会遇到一些关于平方根的应用问题。
例如，通过求平方根可以帮助我们计算一些几何图形的边长。
以正方形为例，如果已知正方形的面积，我们可以通过求平方根来计算出正方形的边长。
同样地，在解决勾股定理的应用问题时，平方根也是一个重要的工具。
勾股定理告诉我们，一个直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
当我们已知两个直角边的长度时，可以通过求平方根来计算出斜边的长度。
人教版七年级数学第六章实数6.1平方根
a
－a
表示的 a 的算术平方 a 的算术平方
意义
根
根的相反数
±a a 的平方根
感悟新知
特别解读 平方与开平方是互逆运算，平方的结果叫做幂，
而开平方的结果叫做平方根.
感悟新知
例6 求下列各数的平方根和算术平方根：
(1)121；(2)2 7 ；(3)－(－4)3；(4)
9
49 .
解题秘方：先根据平方运算找出平方等于这个数的
数，然后根据平方根和算术平方根的定义确定.
感悟新知
解：(1)因为(±11)2=121，
所以121 的平方根是±11，算术平方根是11.
(2)
27 9
25 9
，因为
5 3
2
25 , 9
所以2
7
的平方根是±
5
，算术平方根是
5
.
9
3
3
感悟新知
(3) －( －4)3=64，因为( ±8)2=64， 所以－ (－4)3 的平方根是±8，算术平方根是8.
感悟新知
解：(1)因为1＜ 3＜2，所以0＜ 3－1＜1.
所以 3－1＜ 1 . 22
(2)因为 401＞ 400=20，
所以 401－5＞ 400－5 20－5 3.75.
4
4
4
感悟新知
4-1. 比较下列各组数的大小.
(1)－ 10与－3.2;
(2) 6－1 与 2＋1；
2
2
(3) 99－7 与 8 . 25
1. 定义：一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数 叫做a 的平方根或二次方根 . 这就是说，如果x2=a，那 么x 叫做a的平方根. 表示方法：非负数a 的平方根记为± a ，读作“正、 负根号a”.
七年级数学下册【平方根】知识点
七年级数学下册【平方根】知识点1、平方根（1）平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根．即：如果x2=a，那么x叫做a的平方根．（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。
（3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3（4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算；0的平方根是0.（5）符号：正数a的正的平方根可用表示，也是a的算术平方根；正数a的负的平方根可用-表示．（6）<—>a是x的平方 x的平方是ax是a的平方根 a的平方根是x2、算术平方根（1）算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式(x≥0)中，规定x=。
（2）的结果有两种情况：当a是完全平方数时，是一个有限数；当a不是一个完全平方数时，是一个无限不循环小数。
（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小（5）(x≥0)<—>a是x的平方x的平方是ax是a的算术平方根 a的算术平方根是x（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
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二、知识要点
1、二次根式的概念：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式。
注意:在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意：因为负
数没有平方根，所以a≥0是a为二次根式的前提条件，如5，21x，等是二次根式，而5，
2
x
等都不是二次根式.
2、取值范围
（1）、二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知，当a≧0时，a有意义，是二次根式,所以要使二
次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
（2）、二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，a没有意义。
3、二次根式a（a≥0）的非负性
a（a≥0）表示a的算术平方根，也就是说，a（a≥0）是一个非负数，即a
0(a≥0）.
注意：因为二次根式a(a≥0）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，
所以非负数（a≥0）的算术平方根是非负数，即2()a（a≥0)，这个性质也就是非负数的算术平方根的
性质，和绝对值、偶次方类似.这个性质在解答题目时应用较多，如若0ab,则a=0,b=0；若
20ab，则a=0,b=0；若2
0ab
,则a=0,b=0。
4、二次根式2()a的性质:2()aa（a≥0）
描述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注意:二次根式的性质公式2()aa（a≥0）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来
应用：若a≥0，则2()aa,如:22(2),211()22.
5、二次根式的性质
2
(0)(0)aaaaaa
描述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注意：（1）、化简2a时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本
身，即2(0)aaaa；若a是负数，则等于a的相反数—a，
即21.41431.73252.236 72.646； ； ；;
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2、2a中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值，2a一定有意义;
3、化简2a时，先将它化成a，再根据绝对值的意义来进行化简。
6、2()a与2a的异同点
1、不同点：2()a与2a表示的意义是不同的，2()a表示一个正数a的算术平方根的平方,而2a表
示一个实数a的平方的算术平方根；在2()a中，而2a中a可以是正实数,0，负实数.但2()a与
2
a
都是非负数，即2()0a，20a。因而它的运算的结果是有差别的，2()aa（a≥0) ，而
2
(0)(0)aaaaaa
2、相同点：当被开方数都是非负数,即a≥0时,2()a=2a；a＜0时，2()a无意义，而2aa。
7、二次根式的运算
(1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么,就可以用它的算术根代替而移到
根号外面;如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式,•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之
也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
(3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除)，将被开方数相乘（除）,所得的积(商)仍作积（商）的被开
方数并将运算结果化为最简二次根式．
abab•
（a≥0，b≥0)； bbaa（b≥0，a>0)．
（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，
都适用于二次根式的运算．