近十年全国高中数学联赛试题一试(解析几何)
2012年全国高中数学联赛一试及加试试题
2012年全国高中数学联赛一试及加试试题 参考答案及详细评分标准(A 卷word 版)一、填空题：本大题共８小题，每小题８分，共６４分．把答案填在题中的横线上． １． 设P 是函数2y x x=+（0x >）的图像上任意一点，过点P 分别向直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ⋅的值是 ．２． 设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=， 则tan tan AB的值是 . 【答案】4３．设,,[0,1]x y z ∈，则||||||M x y y z z x ---是 . 21【解析】不妨设01,x y z ≤≤≤≤则.M y x z y z x =---2[()()]2().y x z y y x z y z x ---+-=-所以2()(21)2 1.M z x z x z x --=- 当且仅当1,0,1,2y x z y x z y -=-===时上式等号同时成立.故max 2 1.M =4.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为ｌ，,A B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段ＡＢ的中点M 在ｌ上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是 .【答案】1【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.2AF BFMN +=在AFB ∆中,由余弦定理得2222cos 3AB AF BF AF BF π=+-⋅2()3AF BF AF BF =+-⋅22()3()2AF BF AF BF +≥+-22().2AF BF MN +==当且仅当AF BF =时等号成立.故MNAB的最大值为1.5．设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的侧面与底面所成的角为45，则正三棱锥Q ABC -的侧面与底面所成角的正切值是 ．6. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x x 2=．若对任意的[,2]x a a ∈+，不等式()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】[2,).+∞７．满足11sin 43n π<<的所有正整数n 的和是 ． 【答案】33【解析】由正弦函数的凸性,有当(0,)6x π∈时,3sin ,x x x π<<由此得131sin,sin ,1313412124πππππ<<>⨯=131sin ,sin .10103993πππππ<<>⨯=所以11sin sin sin sin sin .134********πππππ<<<<<< 故满足11sin 43n π<<的正整数n 的所有值分别为10,11,12,它们的和为33.８．某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是 ．（用最简分数表示）二、解答题：本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． ９．（本小题满分１６分）已知函数131()sin cos 2,,022f x a x x a a R a a =-+-+∈≠ （１）若对任意x R ∈，都有()0f x ≤，求a 的取值范围； （２）若2a ≥，且存在x R ∈，使得()0f x ≤，求a 的取值范围．１０．（本小题满分２０分）已知数列{}n a 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有23331212()n na a a a a a +++=+++ （１）当3n =时，求所有满足条件的三项组成的数列123,,a a a ;（２）是否存在满足条件的无穷数列{}n a ，使得20132012?a =-若存在， 求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．１１．（本小题满分２０分）如图5，在平面直角坐标系XOY 中，菱形ABCD 的边长为4，且6OB OD ==． （１）求证：||||OA OC ⋅为定值；（２）当点A 在半圆22(2)4x y -+=（24x ≤≤）上运动时，求点C 的轨迹．【解析】因为,,OB OD AB AD BC CD ====所以,,O A C 三点共线 如图,连结BD ,则BD 垂直平分线段AC ,设垂足为K ,于是有()()OA OC OK AK OK AK ⋅=-+22OK AK =-2222()()OB BK AB BK =---22226420OB AB =-=-= (定值)(2)设(,),(22cos ,2sin ),C x y A αα+其中(),22XMA ππαα=∠-≤≤则2XOC α∠=. 因为2222(22cos )(2sin )8(1cos )16cos,2OA αααα=++=+=所以4cos2OA α=由(1)的结论得cos5,2OC α=所以cos5.2x OC α==从而sin5tan[5,5].22y OC αα==∈-故点C 的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为(5,5),(5,5)A B -2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ．3．设b a ,为正实数，2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ．4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为．（用数字作答）6．在四面体ABCD中，已知︒==BDADB，3=CD，则BDCAD，2∠60∠=CDA=∠=四面体ABCD的外接球的半径为．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为 ．8．已知=n a C())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本小题满分16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（本小题满分20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于BA ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．yOPAB2010年全国高中数学联赛一 试一、填空题（每小题8分，共64分，） 1. 函数x x x f 3245)(---=的值域是 .2. 已知函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-，则实数a 的取值范围是 . 3. 双曲线122=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 .4. 已知}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，其中3522113,,1,3b a b a b a ====，且存在常数βα,使得对每一个正整数n 都有βα+=n n b a log ，则=+βα .5. 函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a ax f x x在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 .6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .7. 正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin .8. 方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解（x ,y ,z ）的个数是 . 二、解答题（本题满分56分）9. （16分）已知函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，当10≤≤x 时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值.10.（20分）已知抛物线x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值.11.（20分）证明：方程02523=-+x x 恰有一个实数根r ，且存在唯一的严格递增正整数数列}{n a ，使得+++=32152a a a r r r .解 答1. ]3,3[- 提示：易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，从而可知)(x f 的值域为]3,3[-.2. 1223≤≤-a 提示：令t x =sin ，则原函数化为t a at t g )3()(2-+-=，即 t a at t g )3()(3-+-=.由3)3(3-≥-+-t a at ，0)1(3)1(2≥----t t at ，0)3)1()(1(≥-+--t at t 及01≤-t 知03)1(≤-+-t at 即3)(2-≥+t t a . （1）当1,0-=t 时（1）总成立；对20,102≤+<≤<t t t ；对041,012<+≤-<<-t t t .从而可知 1223≤≤-a . 3. 9800 提示：由对称性知，只要先考虑x 轴上方的情况，设)99,,2,1( ==k k y 与双曲线右半支于k A ,交直线100=x 于k B ，则线段k k B A 内部的整点的个数为99k -，从而在x 轴上方区域内部整点的个数为991(99)99494851k k =-=⨯=∑.又x 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为98009848512=+⨯.3 提示 ：设}{n a 的公差为}{,n b d 的公比为q ，则,3q d =+ （1）2)43(3q d =+， （2）（1）代入（2）得961292++=+d d d ，求得9,6==q d .从而有βα+=-+-19log )1(63n n 对一切正整数n 都成立，即βα+-=-9log )1(36n n 对一切正整数n 都成立.从而βαα+-=-=9log 3,69log ，求得 3,33==βα，333+=+βα.5. 41- 提示：令,y a x =则原函数化为23)(2-+=y y y g ,)(y g 在3(,+)2-∞上是递增的.当10<<a 时，],[1-∈a a y ,211max 1()32822g y a a a a ---=+-=⇒=⇒=， 所以412213)21()(2min -=-⨯+=y g ；当1>a 时，],[1a a y -∈，2823)(2max =⇒=-+=a a a y g ，所以412232)(12min -=-⨯+=--y g .综上)(x f 在]1,1[-∈x 上的最小值为41-.6. 1217 提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为1273621=，从而先投掷人的获胜概率为+⨯+⨯+127)125(127)125(1274217121442511127=-⨯=.提示：解法一：如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 中点O 为原点，OC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则)1,3,0(),2,0,1(),2,0,1(),0,0,1(11P A B B -，从而，)1,3,1(),0,0,2(),1,3,1(),2,0,2(1111--=-=-=-=P B A B BP BA . 设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅,03,022111111z y x BP m z x BA m ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=⋅=-=⋅,03,022221211z y x P B n x A B n 由此可设 )3,1,0(),1,0,1(==n m ，所以cos m n m n α⋅=⋅，即2cos cos 4αα=⇒=. 所以 410sin =α. 解法二：如图，PB PA PC PC ==11, . 设BA 1与1AB 交于点,O则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ .11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以 从而⊥1AB 平面B PA 1 .过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E .连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角.设21=AA ,则易求得OEPC 1B 1A 1CBA3,2,5111=====PO O B O A PA PB . 在直角O PA 1∆中，OE P A PO O A ⋅=⋅11,即 56,532=∴⋅=⋅OE OE .又 554562,222111=+=+=∴=OE O B E B O B . 4105542sin sin 111===∠=E B O B EO B α. 8. 336675 提示：首先易知2010=++z y x 的正整数解的个数为1004200922009⨯=C .把2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解分为三类：（1）z y x ,,均相等的正整数解的个数显然为1；（2）z y x ,,中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设z y x ,,两两均不相等的正整数解为k . 易知100420096100331⨯=+⨯+k ，所以110033*********-⨯-⨯=k200410052006123200910052006-⨯=-⨯+-⨯=， 即3356713343351003=-⨯=k .从而满足z y x ≤≤的正整数解的个数为33667533567110031=++.9. 解法一： ,23)(2c bx ax x f ++='由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++='++='='cb a fc b a f c f 23)1(,43)21(,)0( 得)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=.所以)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=)21(4)1(2)0(2f f f '+'+'≤ 8≤， 所以38≤a . 又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38. 解法二：c bx ax x f ++='23)(2. 设1)()(+'=x f x g ，则当10≤≤x 时，2)(0≤≤x g .设 12-=x z ，则11,21≤≤-+=z z x . 14322343)21()(2++++++=+=c b az b a z a z g z h .容易知道当11≤≤-z 时，2)(0,2)(0≤-≤≤≤z h z h . 从而当11≤≤-z 时，22)()(0≤-+≤z h z h ， 即21434302≤++++≤c b a z a ， 从而 0143≥+++c b a ,2432≤z a ，由 102≤≤z 知38≤a . 又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.10. 解法一：设线段AB 的中点为),(00y x M ，则 2,22210210y y y x x x +==+=， 01221221212123666y y y y y y y x x y y k AB =+=--=--=. 线段AB 的垂直平分线的方程是)2(30--=-x y y y . （1） 易知0,5==y x 是（1）的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.由（1）知直线AB 的方程为)2(30-=-x y y y ，即2)(300+-=y y y x . （2） （2）代入x y 62=得12)(2002+-=y y y y ，即012222002=-+-y y y y . （3）依题意，21,y y 是方程（3）的两个实根，且21y y ≠，所以22200044(212)4480y y y ∆=--=-+>,32320<<-y .221221)()(y y x x AB -+-=22120))()3(1(y y y -+= ]4))[(91(2122120y y y y y -++=))122(44)(91(202020--+=y y y)12)(9(322020y y -+=. 定点)0,5(C 到线段AB 的距离 202029)0()25(y y CM h +=-+-==.2020209)12)(9(3121y y y h AB S ABC +⋅-+=⋅=∆ )9)(224)(9(2131202020y y y +-+=3202020)392249(2131y y y ++-++≤7314= . 当且仅当2202249y y -=+，即0y =,66((33A B 或66((33A B -时等号成立. 所以，ABC ∆面积的最大值为7314. 解法二：同解法一，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.设4,,,222121222211=+>==t t t t t x t x ，则161610521222121t t t t S ABC =∆的绝对值, 2222122112))656665(21(t t t t t t S ABC --+=∆221221)5()(23+-=t t t t )5)(5)(24(23212121++-=t t t t t t3)314(23≤,所以7314≤∆ABC S , 当且仅当5)(21221+=-t t t t 且42221=+t t ，即,6571-=t6572+-=t ,A B 或A B -时等号成立. 所以，ABC ∆面积的最大值是7314. 11.令252)(3-+=x x x f ，则056)(2>+='x x f ，所以)(x f 是严格递增的.又043)21(,02)0(>=<-=f f ，故)(x f 有唯一实数根1(0,)2r ∈.所以 32520r r +-=，3152rr -=4710r r r r =++++.故数列),2,1(23 =-=n n a n 是满足题设要求的数列. 若存在两个不同的正整数数列 <<<<n a a a 21和 <<<<n b b b 21满足52321321=+++=+++ b b b a a a r r r r r r ， 去掉上面等式两边相同的项，有+++=+++321321t t t s s s r r r r r r ，这里 <<<<<<321321,t t t s s s ，所有的i s 与j t 都是不同的.不妨设11t s <，则++=++<21211t t s s s r r r r r ，112111111121211=--<--=++≤++<--rr r r r s t s t ，矛盾.故满足题设的数列是唯一的.2009全国高中数学联合竞赛一试试题 （考试时间 10月11日8：00－9：40）本试卷共二个大题，满分100分，不能使用计算器一、填空题（本大题共8小题，每题7分，共56分）1、若函数)]]([[)(,1)()(2x f f f f x f x xx f n n =+=且，则=)1()99(f ； 2、已知直线L ：09=-+y x 和圆M ：01882222=---+y x y x ，点A 在直线L 上，B 、C 为圆M 上两点，在△ABC 中，∠BAC ＝45°，AB 过圆心M ，则点A 的横坐标的范围为 ；3、在坐标平面上有两个区域M ，N ，M 为⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤≥xy x y y 20，N 是随t 变化的区域，它由不等式1+≤≤t x t 所确定，t 的取值范围是10≤≤t ，设M ，N 的公共面积是)(t f ，则)(t f ＝4、使不等式312007111111-<+++++a n n n 对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为5、椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上任意两点P ，Q ，若OP ⊥OQ ，则乘积|OP|·|OQ|的最小值为6、若方程)1lg(2lg +=x kx 仅有一个实根，那么k 的取值范围是7、一个由若干数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排除的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）。
(完整word版)2.2012年全国高中数学联赛模拟卷(一)(一试+二试,附详细解答)
2012年全国高中数学联赛模拟卷(一)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1229x <+的解集为 ． 解析: 由0211≠+-x 得0,21≠-≥x x ，原不等式可变为()922112+<++x x解得845<x 故原不等式的解集为145,00,28⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦U2．过正方体外接球球心的截面截正方体所得图形可能为______________. ①三角形 ②正方形 ③梯形 ④五边形 ⑤六边形答案：②⑤，解：由对称性可知，所得图形应为中心对称图形，且②⑤可以截得3．直线2kx y -=||1x =-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是__ _______.提示：44[2,)(,2]33--⋃, 曲线为两个半圆，直线过定点（0，−2），数形结合可得.4．复数z ，使322z z z +=，则z 的所有可能值为 _____ ____．答案：0，1，12,12i i -+-- 解：322z z z+==2z z ⋅，∴2(12)0z z z +-=当 0z =时，满足条件，当 0z ≠时，2120z z +-=设 22(,),212()z a bi a b R a b abi a bi =+∈-++--则∴ 22120(1)220(2)a b a ab b ⎧-+-=⎨+=⎩ ，由(2) 2(1)0b a +=1）0b = 代入(1) 整理得：2(1)01a a -=⇒=2）0b ≠，则 1a =- 代入(1) 得：242b b =⇒=±，经检验复数1,12z i =-±均满足条件. ∴ z 的所有可能值为0，1，12,12i i -+--.5．所有的满足条件11a b a b a b a b a b ---=⋅++的正整数对(,)a b 的个数为 ．解：显然1a b >≥．由条件得11a a b a a b -->⋅1b a b -⇒>11b a b -⇒≥+，从而有bab b b ≥+即b b ab b ≤-，再结合条件及以上结果，可得11a b a b a b a b a b --⋅++=-aa ab b ≥-+，整理得11a a b a ab a a b --+≥-⋅()11a b a a b --=⋅-1a a -≥，从而()211a a a a a a ab a -=+-≥+≥即31a a-≤，所以23a ≤≤．当2a =时，1b =，不符合；当3a =时，2b =（1b =不符合）．综上，满足本题的正整数对(),a b 只有()32，，故只有1解．6．设,,a b c 为方程3120x k x k --=的根（121k k +≠），则111111a b ca b c+++++=--- __. 答案：1212331k k k k ++--，由题意，312()()()x k x k x a x b x c --=--- 由此可得0a b c ++=，1ab bc ca k ++=-，2abc k =以及121(1)(1)(1)k k a b c --=---1113()()3111(1)(1)(1)a b c a b c ab bc ca abc a b c a b c +++-++-+++++=------1212331k k k k ++=--7．将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同.甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b . 则使不等式0102>+-b a 成立的事件发生的概率等于 ．提示：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个，由不等式a −2b +10>0得2b <a +10，于是，当b =1、2、3、4、5时，每种情形a 可取1、2、…、9中每一个值，使不等式成立，则共有9×5=45种；当b =6时，a 可取3、4、…、9中每一个值，有7种；当b =7时，a 可取5、6、7、8、9中每一个值，有5种；当b =8时，a 可取7、8、9中每一个值，有3种；当b =9时，a 只能取9，有1种。
高中数学联赛高中数学竞赛一试试题和答案
与双曲线
x2
y2
1交于不同两点 C ， D
，问是否存在直线 l
，使得向量 AC BD
0 ，若存在，指出这样的
4 12
直线有多少条？若不存在，请说明理由．
2．（本小题满分 15 分）已知 p ， q （ q 0 ）是实数，方程 x2 px q 0 有两个实根 ， ，数列an 满足
．
7．一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个 数，第一行是前 100 个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是
（可以用指数表示）．
8．某车站每天 8∶00—9∶00，9∶00—10∶00 都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时
一、填空题（每小题 8 分，共 64 分，）
1. 函数 f (x) x 5 24 3x 的值域是
.
2. 已知函数 y (a cos2 x 3) sin x 的最小值为 3 ，则实数 a 的取值范围是
.
3. 双曲线 x 2 y 2 1 的右半支与直线 x 100 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）
点，在△ ABC 中，BAC 45 ， AB 过圆心 M ，则点 A 横坐标范围为
．
y 0
3．在坐标平面上有两个区域
M
和N，M Nhomakorabea为：
y
x
N 是随 t 变化的区域，它由不等式 t x t 1所确
y 2 x
定， t 的取值范围是 0 t 1 ，设 M 和 N 的公共面积是函数 f t ，则 f t
11.（20 分）证明：方程 2x3 5x 2 0 恰有一个实数根 r ，且存在唯一的严格递增正整数数列{an } ，使得
高中数学解析几何测试题(答案版)
解析几何练习题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行，则实数a 等于（ ）A 、12B 、12- C 、13D 、13-3．若直线32:1+=x y l ，直线2l 与1l 关于直线x y -=对称，则直线2l 的斜率为 （ ）A ．21B ．21- C ．2 D ．2- 4.在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)5.直线02032=+-=+-y x y x 关于直线对称的直线方程是 （ ） A ．032=+-y xB ．032=--y xC ．210x y ++=D ．210x y +-=6.若直线()1:4l y k x =-与直线2l 关于点)1,2(对称，则直线2l 恒过定点( )A ．0,4B ．0,2C ．2,4D ．4,27．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距为31，则m ，n 的值分别为A.4和3B.-4和3C.- 4和-3D.4和-3 8．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（ ） A 相切 B 直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 9．圆x 2+y 2－2y －1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是（ ）A.（x －2)2+(y+3)2=12B.（x －2)2+(y+3)2=2C.（x ＋2)2+(y －3)2=12D.（x ＋2)2+(y －3)2=210．已知点(,)P x y 在直线23x y +=上移动，当24x y +取得最小值时，过点(,)P x y 引圆22111()()242x y -++=的切线，则此切线段的长度为( )A ．2B ．32C ．12D ．211．经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则弦AB 所在直线方程为（ ） A ．50x y --=B ．50x y -+=C ．50x y ++=D ．50x y +-=12．直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M,N 两点，若MN ≥则k 的取值范围是（ ）A. 304⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B.[]304⎡⎤-∞-+∞⎢⎥⎣⎦，，C. ⎡⎢⎣⎦ D. 203⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 二填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.）13.已知点()1,1A -，点()3,5B ，点P 是直线y x =上动点，当||||PA PB +的值最小时，点P 的坐标是 。
2015年全国高中数学联赛一试二试试题及详细解析
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1.设,a b 为不相等的实数,若二次函数2()f x x ax b =++满足()()f a f b =,则(2)f 的值是 .【答案】4【解析】由已知条件及二次函数图象的轴对称性，可得22a b a+=-，即20a b +=，所以 (2)424f a b =++=2.若实数θ满足cos tan θθ=,则41cos sin θθ+的值为 . 【答案】2【解析】由条件知，2cos sin αα=，反复利用此结论，并注意到22cos sin 1αα+=，得2242221cos sin cos sin (1sin )(1cos )2sin cos 2sin sin αααααααααα++=+=++-=+-= 3.已知复数数列{}n z 满足111,1(1,2,)n n z z z ni n +==++=,其中i 为虚数单位, n z 表示n z 的共轭复数,则2015z 的值是 .【答案】2015+1007i【解析】由已知得，对一切正整数n,有211(1)1(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=++++=++ 于是201511007(2)20151007z z i i =++=+ z 学科xx 网k4.在矩形ABCD 中,2,1AB AD ==,边DC 上(包括点,)D C 的动点P 与CB 延长线上(包括点)B 的动点Q 满足||||DP BQ =,则向量PA 与向量PQ 的数量积PA PQ ⋅的最小值为 .【答案】3422133(2)(1)(1)1()244PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥当t=12时，min 3()4PA PQ ⋅= 5.在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为 . 【答案】255【解析】设正方体为ABCD-EF GH ，它共有12条棱，从中任意选出3条棱的方法共有312C =220种.下面考虑使3条棱两两异面的取法数，由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向.可先取定AB 方向的棱，这有4种取法.不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能，当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH.由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求的概率为8222055=. z 学科xx 网k 6.在平面直角坐标系xOy 中,点集{(,)|(|||3|6)(|3|||6)0}K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面 积为 . 【答案】247.设ω为正实数,若存在,(2)a b a b ππ≤<≤,使得sin sin 2a b ωω+=,则实数ω的取值范围是 【答案】9513[,][,)424w ∈+∞ 【解析】由sin sin 2wa wb +=知sin sin 1wa wb ==，而[,][,2],wa wb w w ππ⊆故题目条件等价于：存在整数()k l k l <，，使得222.22w k l w ππππππ≤+<+≤ ⑴当4w ≥时,区间[,2]w w ππ的长度不小于4π,故必存在k,l 满足(1)式. 当04w <<时，注意到[,2]0,8w w πππ⊆（），故仅需考虑如下几种情况: 5)2,22i w w ππππ≤<≤（此时15,24w w ≤≥且无解；59)2,22ii w w ππππ≤<≤（此时有95;42w ≤≤913()222iii w w ππππ≤<≤，此时有13913,4424w w ≤≤≤<得.综合)()(),i ii iii （、、并注意到4w ≥亦满足条件，可知9513[,][,)424w ∈+∞. z 学科xx 网k8.对四位数(19,0,,9)abcd a b c d ≤≤≤≤,若,,a b b c c d ><>,则称abcd 为P 类数,若,,a b b c c d <><,则称abcd 为Q 类数,用()N P 与()N Q 分别表示P 类数与Q 类数的个数,则()()N P N Q -的值为【答案】285下面计算0||:A 对任一四位数00,abc A b ∈可取0,19⋅⋅⋅，，，对其中每个b ， 由9b a <≤及9b c <≤知，a 和c 分别有9-b 种取法，从而992200191019||=(9)285.6b k b k ==⨯⨯-===∑∑A 因此()()285.N P N Q -=二、解答题（本大题共3个小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 9. （本题满分16分）若实数,,a b c 满足242,424a b c a b c +=+=,求c 的最小值. 【解析】将2,2,2a b c 分别记为,,x y z ，则,,0x y z >由条件知，222,,x y z x y z +=+=故 2222224()2z y x z y z y z y -==-=-+ 因此，结合均值不等式可得，4223321111113(2)3222444y y y y y y y y y +=++≥⋅⋅⋅=z= 当212=y y ，即312y =时，z 的最小值为3324.此时相应的x 值为3124，符合要求. 由于2,z c=log 故c 的最小值为32235log (2)log 3.43=- 10.(本题满分20分)设1234,,,a a a a 是四个有理数,使得{|14}i j a a i j ≤<≤,31{24,2,,,1,3}28=---- 求1234a a a a +++的值.2231412113{,}{,24}{2,},82a a a a a a =--=-- z 学科xx 网k 结合1,a Q ∈只可能11.4a =±由此易知，123411,4,642a a a ==-==-，a 或者123411,4,642a a a =-==-=，a . 经检验知这两组解均满足问题的条件，故12349.4a a a ++=±+a11.(本题满分20分)在平面直角坐标系xOy 中,12,F F 分别是椭圆2212x y +=的左,右焦点,设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点,A B ,焦点2F 到直线l 的距离为d .如果直线11,,AF l BF 的斜率成等差数列,求d 的取值范围.22222=4)4(21)(22)8(21)0km k m k m ∆-+-=+->（， 即2221.(2)k m +>由直线11AF l BF 、、的斜率121211y yk x x ++、、依次成等差数列知, 12112212+2,,11y yk y kx m y kx m x x ==+=+++又，所以122112)(1))(1)2(1)(1).kx m x kx m x k x x +++++=++（（ 化简并整理得，12)(2)0m k x x -++=（假如m=k ，则直线L 的方程为y=kx+k,即l 经过点11,0F （-），不符合条件.因此必有122=0x x ++，故由方程（1）及韦达定理知，z 学科xx 网k12241()2,.(3)212km x x m k k k=-+==++即 由22212321=2k m k k +>+（）、（）知，（），化简得221,4k k >这等价于2||2k > 反之当m,k 满足（3）及2||2k >l 必不经过点1F （否则将导致,m k =与（3）矛盾），21313()().(4)222t t t t⋅+=⋅+d= z 学科xx 网k考虑到函数13()()2f t t t=⋅+在[1,3]上单调递减，故由（4）得，(3)(1),f d f <<即(3,2)d ∈.一．（本题满分40分）设12,,,(2)n a a a n ≥是实数,证明:可以连取12,,,{1,1}n εεε∈-使得222111()()(1)()nnni i i i i i i a a n a ε===+≤+∑∑∑【证明】我们证明：[]2222111[]12()()(1)()(1)nnnni i j i n i i i j a a a n a ====++-≤+∑∑∑∑1,,[],1;[]1,,,122i i n ni i n εε=⋅⋅⋅==+⋅⋅⋅=-即对取对取符合要求，[].)x x （这里，表示实数的整数部分1事实上，（）的左边为[][]222211[]1[]122(+)+()nn nni j i j nn i i j j a a a a ===+=+-∑∑∑∑[]2221[]12=2(+2)nni j n i j a a ==+∑∑）（[]2221[]122[]([]))(22n ni j n i j n n a a ==+≤∑∑）+2(n-（柯西不等式）[]2221[]12++=2[](+]))([]])2222n ni j ni j n n a a n ==+-=∑∑n 1n 1）2([（利用[ z 学科xx 网k[]2221[]12()([]n ni j n i j n a a x x ==+≤≤∑∑）+(n+1)（利用）[]221n+1(1.ni i a =≤∑（）），所以（）得证，从而本题得证 二、(本题满分40分)设12{,,,}n S A A A =,其中12,,,n A A A 是n 个互不相同的有限集合(2)n ≥,满足对任意,i j A A S ∈,均有ij A A S ∈,若1min ||2i i nk A ≤≤=≥,证明:存在1n i i x A =∈,使得x 属于12,,,n A A A 中的至少nk个集合(这里||X 表示有限集合X 的元素个数)1121212={,}.,,k n s A A A A A A A B B B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅设，，在，，中除去，，，12,t C C C n s t ⋅⋅⋅--，，后，在剩下的个集合中，设包含 i k),n-s-t i a x ≤≤的集合有个（1由于剩下的个集合中1i A a 每个集合与的交非空，即包含某个，从而12+.k x x x n s t +⋅⋅⋅+≥--111max ,,i i kn s tx x x n s t k≤≤--=≥--不妨设则由上式知即在剩下的个集合中，1112(1,,),,i t n s tA C i t C C C k--⊆=⋅⋅⋅⋅⋅⋅包含a 的集合至少有个，又由于故，，都 11,a a 包含因此包含的集合个数至少为(1)+(2)n s t n s k t n s t t k k k k ---+--+=≥≥利用()nt s k≥≥利用 三、(本题满分50分)如图,ABC ∆内接于圆,O P 为BC 上一点,点K 在线段AP 上,使得BK 平分ABC ∠,过,,K P C 三点的圆Ω与边AC 交于点D ,连结BD 交圆Ω于点E ,连结PE 并延长与边AB 交于点F ,证明:2ABC FCB ∠=∠四、(本题满分50分)求具有下述性质的所有正整数k :对任意正整数(1)1,2k n n -+不整除()!!kn n . 【解析】对正整数m,设2()v m 表示正整数m 的标准分解中素因子2的方幂，则熟知2(!)(),(1)v m m s m =- z 学科xx 网k().s m m 这里表示正整数在二进制表示下的数码之和1)12)!)!2()(1),!!k n kn kn v k n n n -+≤-（（（由于不整除等价于即22(()!)(!),1kn v kn n v n -≥-进而由（）知，本题等价于 ≥求所有正整数k,使得s(kn)s(n)对任意正整数n 成立.(0,1,2,).a a =⋅⋅⋅我们证明，所有符号条件的k 为2(2)()a S n S n n =一方面，由于对任意正整数成立，故2.a k =符合条件 22,0,1.a k k q a q =⋅≥另一方面，若不是的方幂，设是大于的奇数 )().)=2)(),a n S kn S n S kn S qn S qn <=下面构造一个正整数，使得（因为（（ ,)().mq m S m S q<因此问题等价于我们选取的一个倍数使得（ z 学科xx 网k212102,u u u u q q --<<由于故正整数的二进制表示中的最高次幂小于，由此2121(01),22t tu u lu ju i j i j t q qαα++--≤<≤-⋅⋅易知，对任意整数，数与的二进制表示中没有相同的项.210,20,1,,1)1tu lu t l t qαα+->⋅=⋅⋅⋅-又因为故（的二进制表示中均不包含，故(0,1,2,).a a =⋅⋅⋅综合上述的两个方面可知，所求的k 为2 z 学科xx 网k。
2024年全国高中数学联赛(一试)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联合竞赛一试试题(A )一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1.若实数m >1满足98m log log =2024，则32m log log 的值为.2.设无穷等比数列{a n }的公比q 满足0<q <1.若{a n }的各项和等于{a n }各项的平方和，则a 2的取值范围是.3.设实数a ，b 满足：集合A ={x ∈R |x 2-10x +a ≤0}与B ={x ∈R |bx ≤b 3}的交集为4,9 ，则a +b 的值为.4.在三棱锥P -ABC 中，若PA ⏊底面ABC ，且棱AB ，BP ，BC ，CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为.5.一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列.独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为a ,b ．若事件a +b =7发生的概率为17，则事件“a =b ”发生的概率为.6.设f (x )是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数g (x )=f (2x )在区间0,5 上的零点个数为25，则g (x )在区间［1,4）上的零点个数为.7.设F 1,F 2为椭圆Ω的焦点，在Ω上取一点P （异于长轴端点），记O 为△PF 1F 2的外心，若PO ∙F 1F 2 =2PF 1 ∙PF 2 ，则Ω的离心率的最小值为.8.若三个正整数a ,b ,c 的位数之和为8，且组成a ，b ，c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(a ,b ,c )为“幸运数组”，例如（9,8,202400）是一个幸运数组.满足10<a <b <c 的幸运数组（a ，b ，c ）的个数为.二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.（本题满分16分）在ΔABC 中，已知cos C =sinA +cosA 2=B sin +cosB 2,求cos C 的值.10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线Γ：x 2-y 2=1的右顶点为A .将圆心在y 轴上，且与Γ的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”.若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA的所有可能的值.11.（本题满分20分）设复数z ，w 满足z +w =2，求S =z 2-2w +w 2-2z 的最小可能值.·1·。
全国高中数学联赛一试试题
全国高中数学联赛一试试题2013年全国高中数学联赛一试试题一．填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。
1.设集合{}3,1,0,2=A ，集合{}A x A x xB ?-∈-=22,，则集合B 中所有元素的和为2.在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 在抛物线x y 42=上，满足4-=?OB OA ，F 是抛物线的焦点，则OFB OFA S S =3.在ABC ?中，已知C B A C B A cos cos 10cos ,sin sin 10sin ?=?=，则A tan 的值为4.已知正三棱锥ABC P -的底面边长为1，高为2，则其内切球半径为5.设a 、b 为实数，函数b ax x f +=)(满足：对任意]1,0[∈x ，有1)(≤x f ，则ab 的最大值为6.从20,,2,1中任取5个不同的数，其中至少有2个是相邻数的概率为7.若实数x ，y 满足y x y x -=-24，则x 的取值范围是8.已知数列{}n a 共有9项，其中191==a a ，且对每个{}8,,2,1∈i 均有?-∈+21,1,21i i a a ，则这样的数列的个数为二．解答题：本大题共3小题，共56分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
9.（本题满分16分）给定正数数列{}n x 满足,,3,2,21=≥-n S S n n 这里n n x x S ++=1. 证明：存在常数0>C ,使得10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为)0(12222>>=+b a by a x ，21,A A 分别为椭圆的左、右顶点，21,F F 分别为椭圆的左右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点.若平面中有两个点R Q ,满足22112211,,,PF RF PF RF PA QA PA QA ⊥⊥⊥⊥,试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明。
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近十年全国高中数学联赛试题一试（解析几何）十年全国高中数学联赛试题一试解析几何圆锥曲线部分一、选择题2000、已知点A为双曲线某2y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是【答】（）(A) 333(B)(C)33(D)6332答案：C解析：如图所示，设BD=t，则OD=3t-1，从而B（3t-1，t）满足方程某2y21，可以得到t=3,所以等边三角形，ΔABC的面积是33.某y某2y22002．直线+=1与椭圆+=1相交于A、B两点，该椭圆上点P，使得ΔPAB面积等于3．这43169样的点P共有A．1个B．2个C．3个D．4个解：直线与椭圆的交线长=5．直线方程3某+4y－12=0．12|coθ+inθ－1|设点P(4coθ，3inθ)．点P与直线的距离d=，5π12当0≤θ≤时，d≤(2－1)，SABC≤6(2－1)<3．即此时没有三角形面积=3；25π12当22某2y21,观察图形可知；题设方程可化为ya某b和ab2003.3过抛物线y28某2的焦点F作倾斜角为60的直线.若此直线与抛物线交于A，B 两点，弦AB的中垂线与某轴交于P点，则线段PF的长等于【答】（）（A）168163(D)83(B)(C)3332易知直线AB的方程为y3某,因此A,B两点的横坐标满足方程3某8某160,从而弦AB中点的横坐标为某044,纵坐标y0,进而求得中垂线方程之后，令y=0，得点P的横33坐标即PF= 16；32(某,y)|某2004、已知M=2y23，N=(某,y)|ym某b，若对于所有的mR，均有MN,则b的取值范围是A．[666623232323,,,,22]B。
223333]（）C。
（）D。
[答：[]22某2y3上或它的内部MN解：相当于点（0，b）在椭圆2b2661,b322。
故选A。
某2y22005.方程1表示的曲线是in2in3co2co3A.焦点在某轴上的椭圆C.焦点在y轴上的椭圆解：23,0B.焦点在某轴上的双曲线D.焦点在y轴上的双曲线22322,co(22)co(32),即in2in3.又0222,3,co20,co30,co2co30,方程表示的曲线是椭圆。
(in2in3)(co2co3)22in2323in()()22423230,in0,222223in()0,()式0.242333,24423.24即in2in3co2co3.曲线表示焦点在y轴上的椭圆，选C。
2007.设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是（）解：设圆O1和圆O2的半径分别是r1、r2，|O1O2|=2c，则一般地，圆P的圆心轨迹是焦点为O1、O2，且离心率分别是2c2c和的圆锥曲线（当r1=r2时，O1O2的中垂线是轨迹的r1r2|r1r2|一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆）。
当r1=r2且r1+r2<2c时，圆P的圆心轨迹如选项B；当0<2c某2y22000、在椭圆221(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若ab该椭圆的离心率是51，则∠ABF=_________.2答案：90°如图所示，由c51c2+ac-a2=0，a2acoABF2b2a2ca2aab222=0.则∠ABF=90°某2y21的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1:PF22:1，则2003．设F1,F2是椭圆94PF1F2的面积等于_____________.PF1F2是直角三角形，故PF1F2的面积为S11|PF1||PF2|244;222005.若正方形ABCD的一条边在直线y2某17上，另外两个顶点在抛物线y某2上.则该正方形面积的最小值为80.解：设正方形的边AB在直线y2某17上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为C(某1,y1)、D(某2,y2)，则CD所在直线l的方程y2某b,将直线l 的方程与抛物线方程联立，得某22某b某1,21b1.令正方形边长为a,则a2(某1某2)2(y1y2)25(某1某2)220(b1).①在y2某17上任取一点（6，,5），它到直线y2某b的距离为a,a|17b|5②.①、②联立解得b13,b263.a80,或a1280.amin80.222某2y21的左右焦点分别为F1与F2，2006.已知椭圆点P在直线l：某3y8230164上.当F1PF2取最大值时，比PF1PF2的值为.【解】由平面几何知，要使F则过F1,F2，P三点的圆必定和直线l 相切于P点。
1PF2最大，设直线l交某轴于A(823,0)，则APF1AF2P，即APF1AF2P，即PF1PF2APAF2（1），2又由圆幂定理，APAF1AF2（2），而F1(23,0)，F2(23,0)，A(823,0)，从而有AF18，AF2843。
PF1代入（1），（2）得PF22022.椭圆某2a2AF1842331。
AF2843+y2b2=1（a>b>0）上任意两点P，Q，若OP^OQ，则乘积OP某OQ的最小值为_____________．三、解答题某2y22000、已知C0:某+y=1和C1:221(a＞b＞0)。
试问：当且仅当a,b满足什么条件时，对abC1上任意一点P，均存在以P为项点,与C0外切,与C1内接的平行四边形？并证明你的结论。
22答案：所求条件为11+=1.a2b2证明：必要性：易知，圆外切平行四边形一定是菱形，圆心即菱形中心.假设论成立,则对点(a,0),有(a,0)为项点的菱形与C1内接,与Co外切.(a,0)的相对顶点为(-a,0),由于菱形的对角线互相垂直平分,另外两个顶点必在y轴上,为(0,b)和(0,-b).菱形一条边的方程为某y+=1,即b某+ay=ab.由于菱形与CO外切,ab故必有aba2b2=1,整理得11+=1.必要性得证.a2b211+=1,P是C1上任意一点,过P、O作C1的弦PR，再过O作与PR垂直的弦a2b2QS，则PQRS为与C1内接菱形.设OP=r1,OQ=r2,则点O的坐标为(r1co,r1in),点Q的充分性:设坐标为(r2co(+),r2in(+)),代入椭圆方程,得22r1coa22+r1inb22[r2co()]2[r2in()]22+2=1,=1,22ab22co2()in2()1coin1112]2+于是,+==()+[22222222OPabR1R2OQba=11+=1.a2b2111=+=1,故得h=1hOP2OQ2又在Rt△POQ中，设点O到PQ的距离为h，则同理，点O到QR，RS，SP的距离也为1，故菱形PQRS与C0外切.充分性得证.[注]对于给出abab，2222abab22=1等条件者，应同样给分.2002．已知点A(0，2)和抛物线y2=某＋4上两点B，C，使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围．解：设B(y02－4，y0)，C(y12－4，y1)．则y0－21y1－y01kAB=2=．kBC=22=．y0－4y0+2y1－y0y1+y0由kAB·kBC=－1，得(y1+y0)(y0+2)=－1．∴y02+(y1+2)y0+(2y1+1)=0．∴△=(y1+2)2－4(2y1+1)=y12－4y1≥0，∴y1≤0，y1≥4．当y1=0时，得B(－3，－1)，当y1=4时，得B(5，－3)均满足要求，故点C的纵坐标的取值范围是(－∞，0]∪[4，+∞)．2005.过抛物线y某2上的一点A（1,1）作抛物线的切线，分别交某轴于D，交y轴于B.点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足AEBF1;点F在线段BC上，满足2，且ECFC121，线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.解一：过抛物线上点A的切线斜率为：y2某|某12,切线AB的方程为1y2某1.B、D的坐标为B(0,1),D(,0),D是线段AB的中点.………………5分2AE21知，设P(某,y)、C(某0,某0)、E(某1,y1)、F(某2,y2)，则由EC2211某011某02某012某0BE2,得某2某1,y1;,y2.1111FC1212211某011某0y某1111∴EF所在直线方程为：,2212某011某02某011某01211121122化简得[(21)某0(12)]y[(21)某03]某1某02某0.…①…………10分222某0某某01当某0时，直线CD的方程为：y…②22某01某01某13y(3某1)2.………15联立①、②解得，消去，得P点轨迹方程为：某023y某03分当某01311311时，EF方程为：y(213)某2,CD方程为：某，22442421某,22某1,某.联立解得也在P点轨迹上.因C与A不能重合，∴013y.12∴所求轨迹方程为y分解二：由解一知，AB的方程为y2某1,B(0,1),D(,0),故D是AB的中点.……5分令12(3某1)2(某).………………………………………………203312CDCACB,t111,t2 12,则t1t23.因为CD为ABC的中线，CPCECFSCAB2SCAD2SCBD.而SStt1CECFSCEF11133CEPCFP()12,,t1t2CACBSCAB2SCAD2SCBD2t1t22t1 t22t1t22P是ABC的重心.………………………………………………………………………10分2设P(某,y),C(某0,某0),因点C异于A，则某01,故重心P的坐标为2201某01某011某0某012某,(某),y,消去某0,得y(3某1)2.333333故所求轨迹方程为y12(3某1)2(某).………………………………………………20分3322006.给定整数n2，设M0(某0,y0)是抛物线yn某1与直线y某的一个交点.试证2明对于任意正整数m，必存在整数k2，使(某0,y0)为抛物线yk某1与直线mmy某的一个交点.nn24【证明】因为yn某1与y某的交点为某0y0.22显然有某01n。
…（5分）某01.m某0m2若(某0,y0)为抛物线yk 某1与直线y某的一个交点，则k某0mm…（10分）记km某0（13.1）m11，则kk(某)km1nkmkm，m1m01(m2)m某0某0由于k1n是整数，k2某021122(某)2n2也是整数，所以根据数学归纳法，02某0某0m通过（13.1）式可证明对于一切正整数m，km某01是正整数.现在对于任意正整数m，某0m取k某0m1mm2y某，使得与的交点为yk某1(某,y00).……………（20分）某0m2022．如图，P是抛物线y22某上的动点，点B,C在y轴上，圆(某1)2y21内切于PBC，求PBC面积的最小值．[解]设P(某0,y0),B(0,b),C(0,c)，不妨设bc．直线PB的方程:yby0b，某某0化简得(y0b)某某0y某0b0．又圆心(1,0)到PB的距离为1，y0b某0b(y0b)某2201，…5分222故(y0b)2某0(y0b)22某0b(y0b)某0b，易知某02，上式化简得(某02)b22y0b某00，同理有(某02)c22y0c某00．…10分所以bc某0，则2y0，bc某02某022224某04y08某0．(bc)(某02)22因P(某0,y0)是抛物线上的点，有y02某0，则22某0．…15分4某0，bc(bc)某02(某02)22某所以SPBC1(bc)某00某0(某02)442某02某02244．8当(某02)24时，上式取等号，此时某04,y022．因此SPBC的最小值为8．…20分某2y22022.（本小题满分14分）设直线l：y=k某+m（其中k，m为整数）与椭圆+=1交于1612某2y2不同两点A，B，与双曲线-=1交于不同两点C，D，问是否存在直线l，使得向量412AC+BD=0，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．。