2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第4节直线平面平行的判定及其性质含解析
北京专用2021版高考数学一轮复习第八章立体几何第四节直线平面平行的判定与性质夯基提能作业本文202
北京专用2021版高考数学一轮复习第八章立体几何第四节直线平面平行的判定与性质夯基提能作业本文2021052435A组基础题组1.设m,n是不同的直线,α,β是不同的平面,且m,n⊂α,则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP 的图形的序号是( )A.①③B.②③C.①④D.②④3.已知直线a,b,平面α,则以下三个命题:①若a∥b,b⊂α,则a∥α;②若a∥b,a∥α,则b∥α;③若a∥α,b∥α,则a∥b.其中真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.34.设l,m,n表示不同的直线,α,β,γ表示不同的平面,给出下列四个命题:①若m∥l,且m⊥α,则l⊥α;②若m∥l,且m∥α,则l∥α;③若α∩β=l, β∩γ=m,γ∩α=n,则l∥m∥n;④若α∩β=m, β∩γ=l,γ∩α=n,且n∥β,则l∥m.其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.45.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1 cm,过AC作平行于对角线BD1的截面,则截面面积为cm2.6.(2021课标全国Ⅲ,19,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M 为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明MN∥平面PAB;(2)求四面体N-BCM的体积.7.如图所示的几何体ABCDFE中,△ABC,△DFE差不多上等边三角形,且所在平面平行,四边形BCED是边长为2的正方形,且所在平面垂直于平面ABC.(1)求几何体ABCDFE的体积;(2)证明:平面ADE∥平面BCF.B组提升题组8.如图,四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F,H分别为线段AD,PC,CD的中点,AC与BE交于O点,G 是线段OF上一点.(1)求证:AP∥平面BEF;(2)求证:GH∥平面PAD.9.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,E为PD的中点,F在AD上,且∠FCD=30°.(1)求证:CE∥平面PAB;(2)若PA=2AB=2,求三棱锥P-ACE的体积.10.如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为2.点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH.(1)证明:GH∥EF;(2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.11.如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,PD=DC=4,AD=2,E为PC的中点.(1)求三棱锥A-PDE的体积;(2)线段AC上是否存在一点M,使得PA∥平面EDM?若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由.答案精解精析A组基础题组1.A 若m,n⊂α,α∥β,则m∥β且n∥β;若m,n⊂α,m∥β且n∥β,则α与β相交或平行,即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件.2.C 关于图形①,平面MNP与AB所在的对角面平行,即可得到AB∥平面MNP;关于图形④,AB∥PN,即可得到AB∥平面MNP;图形②③不管用定义依旧判定定理都无法证明线面平行.3.A 关于①,若a∥b,b⊂α,则应有a∥α或a⊂α,因此①是假命题;关于②,若a∥b,a∥α,则应有b∥α或b⊂α,因此②是假命题;关于③,若a∥α,b∥α,则应有a∥b或a与b相交或a与b异面,因此③是假命题.综上,选A.4.B 关于①,两条平行线中有一条与一平面垂直,则另一条也与那个平面垂直,故①正确;关于②,直线l 还可能在平面α内,故②错误;关于③,三条交线除了平行,还可能相交于同一点,故③错误;关于④,结合线面平行的性质定理可判定其正确,综上,①④正确,故选B.5.答案解析如图所示,截面ACE∥BD 1,平面BDD1∩平面ACE=EF,其中F为AC与BD的交点,∴E为DD1的中点,F为AC的中点,运算可得AE=CE= cm,AC= cm,则EF⊥AC,EF= cm,∴S△ACE=××=(cm2).6.解析(1)证明:由已知得AM=AD=2,取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TN∥BC,TN=BC=2.又AD∥BC,故TN AM,故四边形AMNT为平行四边形,因此MN∥AT.因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,因此M N∥平面PAB.(2)因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,因此N到平面ABCD的距离为PA.取BC的中点E,连接AE.由AB=AC=3得AE⊥BC,AE==.由AM∥BC得M到BC的距离为,故S△BCM=×4×=2.因此四面体N-BCM的体积V N-BCM=·S△BCM·=.7.解析(1)取BC的中点O,ED的中点G,连接AO,OF,FG,AG.则AO⊥BC,又AO⊂平面ABC,平面BCED⊥平面ABC,∴AO⊥平面BCED.同理,FG⊥平面BCED.∵A O=FG=,∴V几何体ABCDFE=×4××2=.(2)证明:由(1)知AO∥FG,AO=FG,∴四边形AOFG为平行四边形,∴AG∥OF.∵DE∥BC,DE∩AG=G,DE⊂平面ADE,AG⊂平面ADE,FO∩BC=O,FO⊂平面BCF,BC⊂平面BCF,∴平面ADE∥平面BCF.B组提升题组8.证明(1)连接EC,∵AD∥BC,BC=AD,∴BC AE,∴四边形ABCE是平行四边形,∴O为AC的中点.又∵F是PC的中点,∴FO∥AP,又FO⊂平面BEF,AP⊄平面BEF,∴AP∥平面BEF.(2)连接FH,OH,∵F,H分别是PC,CD的中点,∴FH∥PD,又FH⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,∴FH∥平面PAD.∵O是BE的中点,H是CD的中点,∴OH∥AD,又OH⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,∴OH∥平面PAD.又FH∩OH=H,∴平面OHF∥平面PAD.又∵GH⊂平面OHF,∴GH∥平面PAD.9.解析(1)证明:∵∠ACD=90°,∠CAD=60°,∴∠FDC=30°.又∠FCD=30°,∴∠ACF=60°,∴AF=C F=DF,即F为AD的中点.又E为PD的中点,∴EF∥PA,∵AP⊂平面PAB,EF⊄平面PAB,∴EF∥平面PAB.又∠BAC=∠ACF=60°,∴CF∥AB,同理可得CF∥平面PAB.又EF∩CF=F,∴平面CEF∥平面PAB,而CE⊂平面CEF,∴CE∥平面PAB.(2)∵EF∥AP,AP⊂平面APC,EF⊄平面APC,∴EF∥平面APC.又∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=60°,PA=2AB=2,∴AC=2AB=2,CD==2.∴V P-ACE=V E-PAC=V F-PAC=V P-ACF=××S△ACD·PA=×××2×2×2=.10.解析(1)证明:因为BC∥平面GEFH,BC⊂平面PBC,且平面PBC∩平面GEFH=GH,因此GH∥BC.同理可证EF∥BC,因此GH∥EF.(2)连接AC,BD交于点O,BD交EF于点K,连接OP,GK.因为PA=PC,O是AC的中点,因此PO⊥AC,同理可得PO⊥BD.又BD∩AC=O,且AC,BD都在底面内,因此PO⊥底面ABCD.又因为平面GEFH⊥平面ABCD,且PO⊄平面GEFH, 因此PO∥平面GEFH.因为平面PBD∩平面GEFH=GK,因此PO∥GK,则GK⊥底面ABCD,从而GK⊥EF.因此GK是梯形GEFH的高.由AB=8,EB=2得EB∶AB=KB∶DB=1∶4,从而KB=DB=OB,即K为OB的中点.再由PO∥GK得GK=PO,即G是PB的中点,则GH=BC=4.由已知可得OB=4,PO===6, 因此GK=3.故四边形GEFH的面积S=·GK=×3=18. 11.解析(1)因为PD⊥平面ABCD,因此PD⊥AD.又四边形ABCD是矩形,因此AD⊥CD.因为PD∩CD=D,因此AD⊥平面PCD,因此AD是三棱锥A-PDE的高.因为E为PC的中点,且PD=DC=4,因此S△PDE=S△PDC=××4×4=4.又AD=2,因此V A-PDE=AD·S△PDE=×2×4=.(2)存在.取AC的中点M,连接EM,DM,因为E为PC的中点,因此EM∥PA.又因为EM⊂平面EDM,PA⊄平面EDM,因此PA∥平面EDM.易知AM=AC=.即在线段AC上存在一点M,使得PA∥平面EDM,AM的长为.。
2021高考数学(理)一轮复习过关讲义《8.4直线、平面平行的判定与性质》
在△BDD1 中，E 为 DD1 的中点，O 为 BD 的中点， 所以 EO 为△BDD1 的中位线，则 BD1∥EO， 而 BD1⊄平面 ACE，EO⊂平面 ACE， 所以 BD1∥平面 ACE. 题组三 易错自纠 4．(2019·荆州模拟)对于空间中的两条直线 m，n 和一个平面α，下列命题中的真命题是( ) A．若 m∥α，n∥α，则 m∥n B．若 m∥α，n⊂α，则 m∥n C．若 m∥α，n⊥α，则 m∥n D．若 m⊥α，n⊥α，则 m∥n 答案 D 解析 对 A，直线 m，n 可能平行、异面或相交，故 A 错误；对 B，直线 m 与 n 可能平行， 也可能异面，故 B 错误；对 C，m 与 n 垂直而非平行，故 C 错误；对 D，垂直于同一平面 的两直线平行，故 D 正确． 5．若平面α∥平面β，直线 a∥平面α，点 B∈β，则在平面β内且过 B 点的所有直线中( ) A．不一定存在与 a 平行的直线 B．只有两条与 a 平行的直线 C．存在无数条与 a 平行的直线 D．存在唯一与 a 平行的直线 答案 A 解析 当直线 a 在平面β内且过 B 点时，不存在与 a 平行的直线，故选 A. 6．设α，β，γ为三个不同的平面，a，b 为直线，给出下列条件： ①a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；
③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b. 其中能推出α∥β的条件是______．(填上所有正确的序号) 答案 ②④ 解析 在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交； 由α∥γ，β∥γ⇒α∥β，条件②满足； 在④中，a⊥α，a∥b⇒b⊥α，又 b⊥β，从而α∥β，④满足．
题型一 直线与平面平行的判定与性质 命题点 1 直线与平面平行的判定 例 1 如图，在几何体 ABCDE 中，四边形 ABCD 是矩形，AB⊥平面 BEC，BE⊥EC，AB＝ BE＝EC＝2，G，F 分别是线段 BE，DC 的中点．
2021年高考数学考点第八章立体几何与空间向量8.3直线平面平行的判定与性质理.docx
考点8.3 直线、平面平行的判定与性质1．线面平行的判定定理和性质定理2．面面平行的判定定理和性质定理概念方法微思考1．一条直线与一个平面平行，那么它与平面内的所有直线都平行吗？提示 不都平行．该平面内的直线有两类，一类与该直线平行，一类与该直线异面．2．一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行吗？提示 平行．可以转化为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行”，这就是面面平行的判定定理．1．（2017•新课标Ⅰ）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】对于选项B ，由于//AB MQ ，结合线面平行判定定理可知B 不满足题意； 对于选项C ，由于//AB MQ ，结合线面平行判定定理可知C 不满足题意； 对于选项D ，由于//AB NQ ，结合线面平行判定定理可知D 不满足题意； 所以选项A 满足题意， 故选A ．2．（2020•上海）在棱长为10的正方体1111ABCD A B C D 中，P 为左侧面11ADD A 上一点，已知点P 到11A D 的距离为3，P 到1AA 的距离为2，则过点P 且与1A C 平行的直线相交的面是( )A ．11AAB B B ．11BBC CC ．11CCD DD ．ABCD【答案】D 【解析】如图，由点P 到11A D 的距离为3，P 到1AA 的距离为2， 可得P 在△1AA D 内，过P 作1//EF A D ，且1EFAA 于E ，EFAD 于F ，在平面ABCD 中，过F 作//FG CD ，交BC 于G ，则平面//EFG 平面1A DC ． 连接AC ，交FG 于M ，连接EM ，平面//EFG 平面1A DC ，平面1A AC ⋂平面11A DC AC =，平面1A AC ⋂平面EFM EM =， 1//EM AC ∴． 在EFM ∆中，过P 作//PN EM ，且PNFM 于N ，则1//PN AC ． 线段FM 在四边形ABCD 内，N 在线段FM 上，N ∴在四边形ABCD 内．∴过点P 且与1A C 平行的直线相交的面是ABCD ．故选D ．3．（2018•江苏）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，111AB B C ⊥．求证：（1）//AB 平面11A B C ；（2）平面11ABB A ⊥平面1A BC ．【解析】（1）平行六面体1111ABCD A B C D -中，平行六面体可得每个面均为平行四边形，所以11//AB A B ，11//AB A B ，AB ⊂/平面11A B C ，11A B ⊂平面11//A B C AB ⇒平面11A B C ；（2）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，⇒四边形11ABB A 是菱形，11AB A B ⊥．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11//B C CB ，1111AB B C AB BC ⊥⇒⊥． ∴1111111,,AB A B AB BC A B BC BA B A BC BC A BC⊥⊥⎧⎪=⎨⎪⊂⊂⎩面面 1AB ⇒⊥面1A BC ，且1AB ⊂平面11ABB A ⇒平面11ABB A ⊥平面1A BC ．1．（2020•开封三模）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱11C D ，11B C 的中点，P 是上底面1111A B C D 内一点，若//AP 平面BDEF ，则线段AP 长度的取值范围是( ) A．B．C．D．【答案】B【解析】如下图所示：分别取棱11A B 、11A D 的中点M 、N ，连接MN ，连接11B D ，M 、N 、E 、F 为所在棱的中点，11//MN B D ∴，11//EF B D ，//MN EF ∴，又MN ⊂/平面BDEF ，EF ⊂平面BDEF ，//MN ∴平面BDEF ；连接NF ，由11//NF A B ，11NF A B =，11//A B AB ，11A B AB =， 可得//NF AB ，NF AB =，则四边形ANFB 为平行四边形，则//AN FB ，而AN ⊂/平面BDEF ，FB ⊂平面BDEF ，则//AN 平面BDEF ． 又ANNM N =，∴平面//AMN 平面BDEF ．又P 是上底面1111A B C D 内一点，且//AP 平面BDEF ，P ∴点在线段MN 上．在Rt △1AA M中，AM =， 同理，在Rt △1AA N中，求得AN =AMN ∆为等腰三角形． 当P 在MN 的中点时，AP= 当P 与M 或N 重合时，AP．∴线段AP 长度的取值范围是．故选B ．2．（2020•沈阳三模）设α，β为两个不重合的平面，能使//αβ成立的是( ) A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α内有无数个点到β的距离相等D ．α，β垂直于同一平面 【答案】B【解析】对于A ，α内有无数条直线与β平行，如两个相交平面，可以找出无数条平行于交线的直线，所以A 错误；对于B ，α内有两条相交直线与β平行，根据两平面平行的判定定理知，//αβ，所以B 正确； 对于C ，α内有无数个点到β的距离相等，如两个相交平面，可以找出无数条直线平行于平面β，所以也能得出无数个点到平面β的距离相等，C 错误；对于D ，当α、β垂直于同一个平面时，α与β也可以相交，所以D 错误． 故选B ．3．（2020•安阳二模）已知正方体1111ABCD A B C D -中，E ，H 分别为1DD ，AB 的中点，点F ，G分别在线段BC ，1CC 上，且14CF CG BC ==，则在F ，G ，H 这三点中任取两点确定的直线中，与平面ACE 平行的条数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【解析】作出图形如下所示，取CE 的中点I ，可知//AI GH ， 又GH ⊂/平面ACE ，AI ⊂平面ACE ， 故//GH 平面ACE ，又HF ，GF 均不与平面ACE 平行，故在F ，G ，H 这三点中任取两点确定的直线中，与平面ACE 平行的条数为1． 故选B ．4．（2020•浦东新区二模）如图，正方体1111A B C D ABCD -中，E 、F 分别为棱1A A 、BC 上的点，在平面11ADD A 内且与平面DEF 平行的直线( )A ．有一条B ．有二条C ．有无数条D ．不存在【答案】C【解析】由题设知平面11ADD A 与平面DEF 有公共线DE ，则在平面11ADD A 内与DE 平行的线有无数条，且它们都不在平面DEF 内， 由线面平行的判定定理知它们都与面DEF 平行， 故选C ．5．（2020•重庆模拟）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，ABCD 为平行四边形，E ，F 分别在线段DB ，1DD 上，且112DE DF EB FD ==，G 在1CC 上且平面//AEF 平面1BD G ，则1(CGCC = )A ．12B ．13C ．23D ．14【答案】B【解析】四棱柱1111ABCD A B C D -中，ABCD 为平行四边形，E ，F 分别在线段DB ，1DD 上，且112DE DF EB FD ==， 1//EF BD ∴，平面11//ADD A 平面11BCC B ，G 在1CC 上，BG ⊂平面1BD G ，且平面//AEF 平面1BD G ，//AF BG ∴，∴1113CG DE CC DD ==． 故选B ．6．（2020•番禺区模拟）设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则//αβ的一个充分条件是( )A ．存在一条直线a ，//a α，//a βB ．存在一条直线a ，a α⊂，//a βC ．存在两条平行直线a 、b ，a α⊂，b β⊂，//a β，//b αD ．存在两条异面直线a 、b ，a α⊂，b β⊂，//a β，//b α 【答案】D【解析】对于A ，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故A 不对； 对于B ，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B 不对；对于C ，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C 不对；对于D ，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D 正确．故选D ．7．（2020•武汉模拟）设α、β、γ为平面，a 、b 为直线，给出下列条件： ①a α⊂、b β⊂，//a β，//b α； ②//αγ，//βγ； ③αγ⊥，βγ⊥； ④a α⊥，b β⊥，//a b ．其中能使//αβ成立的条件是( ) A ．①② B ．②③C ．②④D ．③④【答案】C【解析】①若a α⊂、b β⊂，//a β，//b α，由面面平行的判断定理与定义可得：可能//αβ或者α与β相交．所以①错误．②若//αγ，//βγ，由平面与平面平行的传递性可得：//αβ．所以②正确．③若αγ⊥，βγ⊥，则由平面与平面的位置关系可得：可能//αβ或者α与β相交．所以③错误．④若a α⊥，//a b ，由线面垂直的定义可得：b α⊥，又因为b β⊥，所以//αβ．所以④正确． 故选C ．8．（2020•天河区一模）如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2aC D 【答案】D【解析】设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点 则1A BEG 四点共面， 且平面1//A BGE 平面1B HI 又1//B F 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上，正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，112HI CD ∴==．即F 在侧面11CDD C． 故选D ．9．（2020•黑龙江二模）在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11B C ，11C D 的中点，点P 是上底面1111A B C D 内一点，且//AP 平面EFDB ，则1cos APA ∠的最小值是( ) ABC ．13D【答案】C【解析】连结AC 、BD ，交于点O ，连结11A C ，交EF 于M ，连结OM ， 设正方形1111ABCD A B C D -中棱长为1，在正方形1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11B C ，11C D 的中点， 点P 是底面1111A B C D 内一点，且//AP 平面EFDB ， AO ∴//PM =，1124AC A P C M ∴===，111cos 3A P APA AP∴∠====，即1cos APA ∠的最小值是13．故选C ．10．（2020•全国模拟）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，1CC ，1BB 的中点．则( )A ．直线1D D 与直线AF 垂直B ．直线1A G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D ．点C 与点G 到平面AEF 的距离相等 【答案】BC【解析】取1DD 中点M ，则AM 为AF 在平面11AA D D 上的射影，AM 与1DD 不垂直，AF ∴与1DD 不垂直，故A 错；取11B C 中点N ，连接1A N ，GN ，可得平面1//AGN 平面AEF ，故B 正确； 把截面AEF 补形为四边形1AEFD ，由等腰梯形计算其面积98S =，故C 正确； 假设C 与G 到平面AEF 的距离相等，即平面AEF 将CG 平分，则平面AEF 必过CG 的中点， 连接CG 交EF 于H ，而H 不是CG 中点，则假设不成立，故D 错． 故选BC ．11．（2020•金安区校级模拟）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M ，N 分别是棱BC ，1CC 的中点，则点1A 到平面AMN 的距离是__________；若动点P 在正方形11BCC B （包括边界）内运动，且1//PA 平面AMN ，则线段1PA 的长度范围是__________．【答案】43，[2【解析】取11B C 的中点E ，1BB 的中点F ，连接1A E ，1A F ，EF ，FM ， 则1//A E AM ，//EF MN ，∴平面1//A EF 平面AMN ，1A ∴到平面AMN 的距离等于F 到平面AMN 的距离，正方体棱长为2，AM ∴MN 3AN =， cosMAN ∴∠=，sin MAN ∠=，13322AMNS ∆∴==，设F 到平面AMN 的距离为h ，则13322F AMN h V h -=⨯⨯=， 又112212323F AMN A MNF V V --==⨯⨯⨯⨯=，∴223h =，即43h =． 1A ∴到平面AMN 的距离为43． 1//A P 平面AMN ，P ∴的轨迹为线段EF ．11A E A F ==EF =，∴当1A P EF ⊥时，1A P =当P 与E （或)F 重合时，1A P ．∴15A P ．故答案为：43，．12．（2020•南昌二模）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为3的正方形，PD ⊥平面ABCD ，6PD =，E 为PD 中点，过EB 作平面α分别与线段PA 、PC 交于点M ，N ，且//AC α，则PMPA=__________，四边形EMBN 的面积为__________．【答案】23； 【解析】延伸平面α，交AC 所在的平面ABCD 于RS ， 即平面α⋂平面ABCD RS =， 又B ∈平面α⋂平面ABCD ， B RS ∴∈，即R ，S ，B 三点共线，又//AC α，由线面平行的性质定理可得//AC RS ， 则4ARB ABR π∠=∠=，即AR AB =，∴点A 为RD 的中点，E 为PD 中点，则6PD RD ==，3DA DE ==，2PDA ADP π∠=∠=，PAD RED ∴∆≅∆，MPE MRA ∴∠=∠，又PME RMA ∠=∠，PE RA =，PME RMA ∴∆≅∆，则ME MA =，过M 作MK PD ⊥，交PD 于点K ，∴222PM MK MK ME MAPA AD DR RE PA ====，则2PM MA =， ∴2233PM MA PA MA ==， 23MN AC ∴== AC BD ⊥，AC PD ⊥，BD PD D =，AC ∴⊥平面PBD ， MN ∴⊥平面PBD ， MN BE ∴⊥，∴四边形EMBN 的面积为1122S MN BE =⨯⨯=⨯故答案为：23；13．（2020•韶关二模）已知长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，4AD =，110AA =，E ，F ，M 分别是棱AB ，BC ，1CC 的中点，P 是该长方体底面ABCD 上的动点，若1//PD 平面EFM ，则1PBB ∆面积的取值范围是__________． 【答案】[12，20]【解析】：补全截面EFM 为截面EFMHQR 如图，设BR AC ⊥， 直线1D P 与平面EFM 不存在公共点， 1//D P ∴平面EFMHQR ，易知平面1//ACD 平面EFMHQR ， P AC ∴∈，且当P 与R 重合时，BP BR =最短，此时1PBB ∆的面积最小； 由等积法：1122BR AC AB BC ⨯=⨯，即：113422BR ⨯⨯；125BP ∴=， 又1BB ⊥平面ABCD ，1BB BP ∴⊥，1PBB ∆为直角三角形， 1PBB ∴∆的面积为：112101225⨯⨯=，当P 与C 重合时，PB BC =最长为4，此时1PBB ∆的面积最大； 最大值为：1410202⨯⨯=；故答案为：[12，20]．14．（2020•贵州模拟）已知三个互不重合的平面α，β，γ，且直线m ，n 不重合，由下列条件： ①m n ⊥，m β⊥；②n α⊂，//αβ；③αγ⊥，βγ⊥，n α⊂； 能推得//n β的条件是__________． 【答案】②【解析】①m n ⊥，m β⊥；可能n β⊂； ②n α⊂，//αβ；面面平行的性质得出成立；③αγ⊥，βγ⊥，n α⊂；若α与β相交，n 可能与β相交， 故答案为：②．15．（2020•扬州模拟）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1BC B C =，O 为四边形11ACC A 对角线交点，F 为棱1BB 的中点，且AF ⊥平面11BCC B ．（1）证明：//OF 平面ABC ； （2）证明：四边形1l ACC A 为矩形．【解析】（1）取AC 中点D ，连接OD ，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ACC A 为平行四边形，111////BB CC AA ．且11BB AA =，因为O 为平行四边形11ACC A 对角线的交点， 所以O 为1A C 中点， 又D 为AC 中点， 所以1//OD AA ，112OD AA =， 又11//BB AA ．且11BB AA =， 所以1//OD BB ，且112OD BB =， 又F 为1BB 中点，所以//OD BF ，且OD BF =， 所以ODBF 为平行四边形， 所以//OF BD ，又因为BD ⊂平面ABC ，OF ⊂/平面ABC ， 所以//OF 平面ABC ；（2）因为1BC B C =，F 为1BB 中点， 所以1CF BB ⊥，又因为AF ⊥平面11BCC B ，1BB ⊂平面11BCC B ， 所以1AF BB ⊥，因为1CF BB ⊥，1AF BB ⊥，CF ⊂平面AFC ，AF ⊂平面AFC ，CF AF F =，所以1BB ⊥平面AFC ， 又AC ⊂平面AFC ， 所以1BB AC ⊥，又由（1）可知11//BB CC ，所以1AC CC ⊥，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形1l ACC A 为平行四边形，所以四边形1l ACC A 为矩形．16．（2020•安徽模拟）图1是矩形ABCD ，2AB =，1BC =，M 为CD 的中点，将AMD ∆沿AM 翻折，得到四棱锥D ABCM -，如图2．（Ⅰ）若点N 为BD 的中点，求证：//CN 平面DAM ； （Ⅱ）若AD BM ⊥．求点A 到平面BCD 的距离．【解析】（Ⅰ）取AD 的中点P ，连接MP ，NP ， 由N ，P 分别为BD ，AD 的中点，得//NP AB ，且12NP AB =， 又//MC AB ，且12MC AB =，//MC NP ∴且MC NP =，得四边形MCNP 为平行四边形， //CN MP ∴，又CN ⊂/平面DAM ，MP ⊂平面DAM ， //CN ∴平面DAM ；（Ⅱ）由AM BM =2AB =，可得222AB AM BM =+，得AM BM ⊥． 又BM AD ⊥，ADAM A =，BM ∴⊥平面ADM ，BM ⊂平面ABCM ，∴平面ADM ⊥平面ABCM ．取AM 的中点为E ，连接DE ，1AD DM ==，AD DM ⊥，可得2DE =，且DE ⊥平面ABCM ，∴11121332A DCB D ABC ABC V V S DE --∆==⨯=⨯⨯⨯=取BC 的中点F ，连接EF ，则32EF =，EF BC ⊥，DE ⊥平面ABCM ，可得DE EF ⊥，DE BC ⊥，DF ∴=． 由BC ⊥平面DEF ，得BC DF ⊥，∴12BCD S BC DF ∆=⨯⨯=．设点A 到平面BCD 的距离为d ，则1133A BCD BCD V S d -∆=⨯==，解得11d =．17．（2020•浙江模拟）如图，四边形ABCD 与ADEF 均为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，EF 的中点．（1）求证：//BE 平面DMF ； （2）求证：平面//BDE 平面MNG ．【解析】（1）如图，连接AE ，则AE 必过DF 与GN 的交点O ， 连接MO ，则MO 为ABE ∆的中位线，所以//BE MO ， 又BE ⊂/平面DMF ，MO ⊂平面DMF ，所以//BE 平面DMF ．（2）因为N ，G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ，EF 的中点，所以//DE GN ， 又DE ⊂/平面MNG ，GN ⊂平面MNG ，所以//DE 平面MNG ．又M为AB中点，所以MN为ABD∆的中位线，所以//BD MN，又BD⊂/平面MNG，MN⊂平面MNG，所以//BD平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面//BDE平面MNG．。
高中数学知识点总结(第八章 立体几何 第四节 直线、平面平行的判定与性质)
第四节 直线、平面平行的判定与性质一、基础知识1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言 判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)∵l ∥a ，a ⊂α， l ⊄α，∴l ∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)∵l ∥α，l ⊂β，α∩β＝b ，∴l ∥b⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备，缺一不可. 2．平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言 图形语言符号语言 判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)∵a ∥β， b ∥β， a ∩b ＝P ，a ⊂α， b ⊂α， ∴α∥β 性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行∵α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ，∴a ∥b⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤❷如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行.符号表示：a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝O ，a ′⊂β，b ′⊂β，a ∥a ′，b ∥b ′⇒α∥β.二、常用结论平面与平面平行的三个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．考点一直线与平面平行的判定与性质考法(一)直线与平面平行的判定[典例]如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，AC1的中点．求证：MN∥平面BB1C1C.[证明]如图，连接A1C.在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形．又因为N为线段AC1的中点，所以A1C与AC1相交于点N，即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点．因为M为线段A1B的中点，所以MN∥BC.又因为MN⊄平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.考法(二)线面平行性质定理的应用[典例](2018·豫东名校联考)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1D交于FG.求证：FG∥平面AA1B1B.[证明]在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.因为BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.[题组训练]1．(2018·浙江高考)已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵若m ⊄α，n ⊂α，且m ∥n ，由线面平行的判定定理知m ∥α，但若m ⊄α，n ⊂α，且m ∥α，则m 与n 有可能异面，∴“m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件．2．如图，在四棱锥P ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2，CD ＝3，M 为PC 上一点，且PM ＝2MC .求证：BM ∥平面P AD .证明：法一：如图，过点M 作MN ∥CD 交PD 于点N ，连接AN . ∵PM ＝2MC ，∴MN ＝23CD .又AB ＝23CD ，且AB ∥CD ，∴AB 綊MN ，∴四边形ABMN 为平行四边形， ∴BM ∥AN .又BM ⊄平面P AD ，AN ⊂平面P AD ， ∴BM ∥平面P AD .法二：如图，过点M 作MN ∥PD 交CD 于点N ，连接BN . ∵PM ＝2MC ，∴DN ＝2NC ， 又AB ∥CD ，AB ＝23CD ，∴AB 綊DN ，∴四边形ABND 为平行四边形， ∴BN ∥AD .∵BN ⊂平面MBN ，MN ⊂平面MBN ，BN ∩MN ＝N ， AD ⊂平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，AD ∩PD ＝D ， ∴平面MBN ∥平面P AD .∵BM ⊂平面MBN ，∴BM ∥平面P AD .3.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和P A作平面P AHG交平面BMD于GH.求证：P A∥GH.证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴P A∥MO.又MO⊂平面BMD，P A⊄平面BMD，∴P A∥平面BMD.∵平面P AHG∩平面BMD＝GH，P A⊂平面P AHG，∴P A∥GH.考点二平面与平面平行的判定与性质[典例]如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.[证明](1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.[变透练清]1.变结论在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：如图所示，连接A1C，AC1，设交点为M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵DM⊄平面A1BD1，A1B⊂平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1⊂平面AC1D，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.2．如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF 的中点，求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明：(1)如图，连接AE，设DF与GN的交点为O，则AE必过DF与GN的交点O.连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N ，G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ，EF 的中点， 所以DE ∥GN .又DE ⊄平面MNG ，GN ⊂平面MNG ， 所以DE ∥平面MNG . 又M 为AB 中点，所以MN 为△ABD 的中位线， 所以BD ∥MN .又BD ⊄平面MNG ，MN ⊂平面MNG ， 所以BD ∥平面MNG .又DE ⊂平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ， 所以平面BDE ∥平面MNG .[课时跟踪检测]A 级1．已知直线a 与直线b 平行，直线a 与平面α平行，则直线b 与α的关系为( ) A ．平行 B ．相交C ．直线b 在平面α内D ．平行或直线b 在平面α内解析：选D 依题意，直线a 必与平面α内的某直线平行，又a ∥b ，因此直线b 与平面α的位置关系是平行或直线b 在平面α内．2．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B ∈β，则在平面β内且过B 点的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一与a 平行的直线解析：选A 当直线a 在平面β内且过B 点时，不存在与a 平行的直线，故选A. 3．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶2，则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．不能确定解析：选A 如图，由AE EB ＝CFFB 得AC ∥EF .又因为EF ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ， 所以AC ∥平面DEF .4．(2019·重庆六校联考)设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α解析：选D 对于选项A ，若存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a ，使得a ∥α，a ∥β，所以选项A 的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B 、C 的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D ，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D 的内容是α∥β的一个充分条件．故选D.5.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH 所在四边形的面积为定值； ③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由题图，显然①是正确的，②是错误的； 对于③，∵A 1D 1∥BC ，BC ∥FG ，∴A 1D 1∥FG 且A 1D 1⊄平面EFGH ，FG ⊂平面EFGH ， ∴A 1D 1∥平面EFGH (水面)． ∴③是正确的；对于④，∵水是定量的(定体积V )， ∴S △BEF ·BC ＝V ，即12BE ·BF ·BC ＝V .∴BE ·BF ＝2VBC(定值)，即④是正确的，故选C.6.如图，平面α∥平面β，△P AB 所在的平面与α，β分别交于CD ，AB ，若PC ＝2，CA ＝3，CD ＝1，则AB ＝________.解析：∵平面α∥平面β，∴CD ∥AB ， 则PC P A ＝CD AB ，∴AB ＝P A ×CD PC ＝5×12＝52.答案：527．设α，β，γ是三个平面，a ，b 是两条不同直线，有下列三个条件： ①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填序号)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b ∥β，a ⊂γ时，a 和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.答案：①或③8．在三棱锥P ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△P AC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB 和AC ，则截面的周长为________．解析：如图，过点G 作EF ∥AC ，分别交P A ，PC 于点E ，F ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ，过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，连接MN ，则四边形EFMN 是平行四边形(平面EFMN 为所求截面)，且EF ＝MN ＝23AC ＝2，FM ＝EN ＝13PB ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.10．(2019·南昌摸底调研)如图，在四棱锥P ABCD 中，∠ABC ＝ ∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，AB ＝1.设M ，N 分别为PD ，AD 的中点．(1)求证：平面CMN ∥平面P AB ； (2)求三棱锥P ABM 的体积．解：(1)证明：∵M ，N 分别为PD ，AD 的中点， ∴MN ∥P A ，又MN ⊄平面P AB ，P A ⊂平面P AB ， ∴MN ∥平面P AB .在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，CN ＝AN ， ∴∠ACN ＝60°.又∠BAC ＝60°，∴CN ∥AB . ∵CN ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ， ∴CN ∥平面P AB . 又CN ∩MN ＝N ， ∴平面CMN ∥平面P AB .(2)由(1)知，平面CMN ∥平面P AB ，∴点M 到平面P AB 的距离等于点C 到平面P AB 的距离．∵AB ＝1，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，∴BC ＝3，∴三棱锥P ABM 的体积V ＝V M P AB ＝V C P AB ＝V P ABC ＝13×12×1×3×2＝33.B 级1.如图，四棱锥P ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面P AB ； (2)求四面体N BCM 的体积． 解：(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ， 由N 为PC 的中点知TN ∥BC ， TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ， 所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3，得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5. 由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5， 故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N BCM 的体积V N BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453.2.如图所示，几何体E ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD . (1)求证：BE ＝DE ；(2)若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 证明：(1)如图所示，取BD 的中点O ，连接OC ，OE . ∵CB ＝CD ，∴CO ⊥BD . 又∵EC ⊥BD ，EC ∩CO ＝C ，∴BD⊥平面OEC，∴BD⊥EO.又∵O为BD中点．∴OE为BD的中垂线，∴BE＝DE.(2)取BA的中点N，连接DN，MN.∵M为AE的中点，∴MN∥BE.∵△ABD为等边三角形，N为AB的中点，∴DN⊥AB.∵∠DCB＝120°，DC＝BC，∴∠OBC＝30°，∴∠CBN＝90°，即BC⊥AB，∴DN∥BC.∵DN∩MN＝N，BC∩BE＝B，∴平面MND∥平面BEC.又∵DM⊂平面MND，∴DM∥平面BEC.。
新高考数学(理)之立体几何与空间向量 专题04 直线、平面的平行的判定与性质(解析版)
新高考数学（理）立体几何与空间向量04 直线、平面的平行的判定与性质【考点讲解】一、具体目标：1.以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.理解以下判定定理.◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.理解以下性质定理，并能够证明.◆如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.◆垂直于同一个平面的两条直线平行.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.考点透析：以几何体为载体，考查线线、线面、面面平行证明.利用平行关系及平行的性质进行适当的转化，处理综合问题.3.备考重点：(1) 掌握相关定义、公理、定理；(2)掌握平行关系、垂直关系的常见转换方法.（3）证明平行关系，要充分利用中点、三角形中位线、平行四边形以及成比例线段二、知识概述：直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a∩α＝∅a⊂α，b⊄α，a∥b a∥αa∥α，a⊂β，α∩β＝b结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b 面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件α∩β＝∅a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥b a∥α线面、面面平行的综合应用1．平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况．2．直线和平面平行的判定(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；(2)判定定理：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α；(3)其他判定方法：α∥β；a⊂α⇒a∥β.3．直线和平面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l.4．两个平面平行的判定(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；(2)判定定理：a⊂α，b⊂α，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β；(3)推论：a∩b＝M，a，b⊂α，a′∩b′＝M′，a′，b′⊂β，a∥a′，b∥b′⇒α∥β. 5．两个平面平行的性质定理(1)α∥β，a⊂α⇒a∥β；(2)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.6．与垂直相关的平行的判定(1)a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b ； (2)a ⊥α，a ⊥β⇒α∥β.1.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面【解析】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件，由面面平行性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件，故选B ． 【答案】B2.【2018年高考浙江卷】已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】因为m ⊄α,n ⊂α,m//n ，所以根据线面平行的判定定理得m//α.由m//α不能得出m 与α内任一直线平行，所以m//n 是m//α的充分不必要条件，故选A. 【答案】A3. 【2015全国2】设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】本题考点是线面平行与面面平行与充要条件的综合应用.因为α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．若“m β∥”，则平面、αβ可能相交也可能平行，不能推出//αβ，反过来若//αβ，m α⊂，则有m β∥，则“m β∥”是“αβ∥”的必要而不充分条件，故选B. 【答案】B4.【2017年高考全国Ⅰ卷文数】如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）【真题分析】A ．B ．C ．D ．【解析】对于B ，易知AB ∥MQ ，则直线AB ∥平面MNQ ；对于C ，易知AB ∥MQ ，则直线AB ∥平面MNQ ；对于D ，易知AB ∥NQ ，则直线AB ∥平面MNQ ．故排除B ，C ，D ，选A ． 【答案】A5.【2017优选题】设,a b 是空间中不同的直线， ,αβ是不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A. //,a b b α⊂，则//a αB. ,,//a b αβαβ⊂⊂，则//a bC. ,,//,//a b b αααββ⊂⊂，则//αβD. //,a αβα⊂，则//a β【解析】本题考点是线面平行，面面平行的判定。
高考数学新增分大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.4直线平面平行的判定与性质讲义含解析041117
§8.4 直线、平面平行的判定与性质 最新考纲 考情考向分析
理解空间线面平行、面面平行的判定定理和性质定理.
直线、平面平行的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线平行、线面平行、面面平行的判定及其应用等内容．题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.
1．线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)
错误!⇒l∥α
性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)
错误!⇒l∥b
2.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) 错误!⇒α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 错误!⇒a∥b 概念方法微思考 1．一条直线与一个平面平行，那么它与平面内的所有直线都平行吗？ 提示 不都平行．该平面内的直线有两类，一类与该直线平行，一类与该直线异面． 2．一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行吗？ 提示 平行．可以转化为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行”，这就是面面平行的判定定理．
题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( × ) (2)平行于同一条直线的两个平面平行．( × ) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( × ) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( √ ) (5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( × ) (6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.( × ) 题组二 教材改编 2．[P58练习T3]平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A．存在一条直线a，a∥α，a∥β B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α 答案 D 解析 若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，
近年高考数学一轮复习第八章立体几何第四节直线、平面平行的判定与性质夯基提能作业本文(2021年整理)
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第四节直线、平面平行的判定与性质A组基础题组1.设m，n是不同的直线,α，β是不同的平面,且m，n⊂α,则“α∥β"是“m∥β且n∥β"的（)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D。
既不充分也不必要条件2.下列四个正方体图形中,A，B为正方体的两个顶点,M，N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（)A.①③B。
②③C。
①④ D.②④3.已知直线a，b，平面α,则以下三个命题：①若a∥b，b⊂α,则a∥α；②若a∥b，a∥α，则b∥α;③若a∥α,b∥α，则a∥b.其中真命题的个数是（）A.0B.1 C。
2 D。
34。
设l,m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥l,且m⊥α,则l⊥α;②若m∥l,且m∥α，则l∥α；③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n；④若α∩β=m, β∩γ=l,γ∩α=n,且n∥β,则l∥m。
其中正确命题的个数是（）A。
1 B.2 C.3 D.45.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1 cm，过AC作平行于对角线BD1的截面，则截面面积为cm2。
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第4节直线、平面平行的判定及其性质考试要求1。
以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题。
知识梳理1.直线与平面平行(1）直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行。
（2）判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面a⊄α，b⊂α,a∥b⇒a∥α性质定理一条直线和一个平面平行,则过这条a∥α，a⊂β，α∩β直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行＝b⇒a∥b2。
平面与平面平行（1）平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2）判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a⊂α,b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β性质定两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于α∥β，a⊂α⇒a∥β理另一个平面如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b3。
与垂直相关的平行的判定(1）a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β。
[常用结论与易错提醒］1.平行关系的转化2。
平面与平面平行的六个性质(1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面。
(2）夹在两个平行平面间的平行线段长度相等。
（3）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行。
(4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.（5）如果两个平面分别和第三个平面平行,那么这两个平面互相平行.(6）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行.诊断自测1.判断下列说法的正误。
(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
（)（2）若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条。
(）（3）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(）（4）如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面。
（）解析（1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内,故（1）错误。
(2)若a∥α,P∈α，则过点P且平行于a的直线只有一条，故(2)错误.(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误.答案（1）×（2）×(3）×（4）√2.(2018·浙江卷)已知平面α，直线m，n满足m⊄α,n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A.充分不必要条件B。
必要不充分条件C.充分必要条件D。
既不充分也不必要条件解析若m⊄α，n⊂α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α。
若m∥α，m⊄α，n⊂α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件。
故选A。
答案A3。
下列命题中正确的是(）A.若a，b是两条直线,且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B.若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C.若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥bD。
若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α,则b∥α解析根据线面平行的判定与性质定理知，选D.答案D4。
（必修2P56练习2改编）如图,正方体ABCD－A1B1C1D1中,E 为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________.解析连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中,O为BD的中点，E为DD1的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE,EO⊂平面ACE，所以BD1∥平面ACE.答案平行5。
用一个截面去截正三棱柱ABC－A1B1C1，交A1C1,B1C1,BC，AC分别于E，F，G，H四点，已知A1A〉A1C1,则截面的形状可以是________（把你认为可能的结果都填上).解析由题意知，当截面平行于侧棱时所得截面为矩形，当截面与侧棱不平行时，所得的截面是梯形。
答案矩形或梯形6.设α，β,γ为三个不同的平面，a，b为直线。
（1)若α∥γ，β∥γ,则α与β的关系是________；（2)若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α与β的关系是________.解析(1）由α∥γ，β∥γ⇒α∥β。
(2)a⊥α，a∥b⇒b⊥α，又b⊥β，从而α∥β。
答案（1）平行(2）平行考点一线面、面面平行的相关命题的真假判断【例1】(1）（2019·全国Ⅱ卷）设α，β为两个平面,则α∥β的充要条件是（）A.α内有无数条直线与β平行B。
α内有两条相交直线与β平行C。
α，β平行于同一条直线D.α，β垂直于同一平面（2）（一题多解)如图，在下列四个正方体中,A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()解析(1)若α∥β，则α内有无数条直线与β平行,当无数条直线互相平行时，α与β可能相交;若α，β平行于同一条直线,则α与β可以平行也可以相交;若α，β垂直于同一个平面，则α与β可以平行也可以相交,故A，C，D中条件均不是α∥β的充要条件.根据两平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行,反之也成立.因此B中条件是α∥β的充要条件。
(2）法一对于选项B,如图（1)所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD,所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C,D中均有AB∥平面MNQ。
因此A项不正确。
图(1)图（2)法二对于选项A，其中O为BC的中点(如图（2）所示)，连接OQ,则OQ∥AB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点,即AB与平面MNQ不平行。
A项不正确。
答案（1)B（2)A规律方法（1)判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题,都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项.（2）①结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.②特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.【训练1】(1）（2020·杭州质检)已知三个不同的平面α，β,γ和直线m，n，若α∩γ＝m，β∩γ＝n，则“α∥β"是“m∥n"的()A。
充分不必要条件B。
必要不充分条件C。
充要条件D。
既不充分也不必要条件(2）设m,n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ,m⊥α，则m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，m∥α,则m∥β;④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中是真命题的是________（填上正确命题的序号）.解析(1）可知当“α∥β”时有“m∥n”,反之,不一定成立，则“α∥β”是“m∥n”的充分不必要条件，故选A.（2)①m∥n或m,n异面，故①错误；易知②正确；③m∥β或m⊂β，故③错误；④α∥β或α与β相交，故④错误。
答案（1）A（2）②考点二直线与平面平行的判定与性质多维探究角度1直线与平面平行的判定【例2－1】如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD,N 为PC的中点。
（1)证明：MN∥平面PAB；（2)求四面体N－BCM的体积。
（1）证明由已知得AM＝错误!AD＝2.如图,取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，TN＝错误!BC＝2。
又AD∥BC，故TN綉AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB。
(2）解因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为12PA.如图,取BC的中点E,连接AE。
由AB＝AC＝3得AE⊥BC,AE＝错误!＝错误!。
由AM∥BC得M到BC的距离为错误!，故S△BCM＝错误!×4×错误!＝2错误!.所以四面体N－BCM的体积V N－BCM＝13×S△BCM×错误!＝错误!。
角度2直线与平面平行性质定理的应用【例2－2】如图,四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2错误!。
点G，E,F，H分别是棱PB,AB，CD，PC 上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH。
（1)证明:GH∥EF；（2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积.（1）证明因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC。
同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.(2)解如图，连接AC，BD交于点O,BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PA＝PC，O是AC的中点,所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC,BD都在底面ABCD内，所以PO⊥底面ABCD.又因为平面GEFH⊥平面ABCD,且PO⊄平面GEFH,所以PO∥平面GEFH。
因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，PO⊂平面PBD.所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，又EF⊂平面ABCD，从而GK⊥EF.所以GK是梯形GEFH的高.由AB＝8，EB＝2及EK∥AD，得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4,从而KB＝错误!DB＝错误!OB,即K为OB的中点。
再由PO∥GK得GK＝12PO,即G是PB的中点，且GH＝错误!BC＝4.由已知可得OB＝4错误!，PO＝错误!＝错误!＝6,所以GK＝3.故四边形GEFH的面积S＝错误!·GK＝错误!×3＝18.规律方法（1）判断或证明线面平行的常用方法有：①利用反证法（线面平行的定义)；②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α,a∥b⇒a∥α)；③利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β）。
（2）利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线。
【训练2】在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝错误!AD，E,F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G 是线段OF上一点。
（1）求证：AP∥平面BEF;（2)求证：GH∥平面PAD.证明(1）连接EC,∵AD∥BC，BC＝错误!AD，E为AD的中点，∴BC綉AE，∴四边形ABCE是平行四边形，∴O为AC的中点，又∵F是PC的中点，∴FO∥AP，又FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF,∴AP∥平面BEF。